第一篇：初二三角形常見輔助線做法總結(jié)及相關(guān)試題_周末

數(shù)學(xué)專題——三角形中的常用輔助線

常見輔助線的作法有以下幾種：

（1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”。

例1：如圖，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于點D，CE垂直于BD，交BD的延長線于點E。求證：BD=2CE。

2）解題思路：要求證BD=2CE，可用加倍法，延長短邊，又因為有BD平分∠ABC的條件，可以和等腰三角形的三線合一定理結(jié)合起來。

解答過程：

證明：延長BA，CE交于點F，在ΔBEF和ΔBEC中，∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，從而CF=2CE。又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。

在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。

（2）若遇到三角形的中線，可倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。

例2：如圖，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：ΔABC是等腰三角形。

證明：延長AD到E，使DE=AD，連接BE。又因為AD是BC邊上的中線，∴BD=DC 又∠BDE=∠CDA ΔBED≌ΔCAD，故EB=AC，∠E=∠2，∵AD是∠BAC的平分線 ∴∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，從而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。

（3）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理。

例3：已知，如圖，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD。求證：∠B+∠ADC=180°。

2）解題思路：因為AC是∠BAD的平分線，所以可過點C作∠BAD的兩邊的垂線，構(gòu)造直角三角形，通過證明三角形全等解決問題。

解答過程：

證明：作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F。∵AC平分∠BAD，∴CE=CF。

在Rt△CBE和Rt△CDF中，∵CE=CF，CB=CD，∴Rt△CBE≌Rt△CDF，∴∠B=∠CDF，∵∠CDF+∠ADC=180°，∴∠B+∠ADC=180°。解題后的思考：

①關(guān)于角平行線的問題，常用兩種輔助線；

②見中點即聯(lián)想到中位線。

（4）過圖形上某一點作特定的平行線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”

例4：如圖，ΔABC中，AB=AC，E是AB上一點，F(xiàn)是AC延長線上一點，連EF交BC于D，若EB=CF。求證：DE=DF。

2）解題思路：因為DE、DF所在的兩個三角形ΔDEB與ΔDFC不可能全等，又知EB=CF，所以需通過添加輔助線進(jìn)行相等線段的等量代換：過E作EG//CF，構(gòu)造中心對稱型全等三角形，再利用等腰三角形的性質(zhì)，使問題得以解決。

解答過程：

證明：過E作EG//AC交BC于G，則∠EGB=∠ACB，又AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠EGB，∴∠EGD=∠DCF，∴EB=EG=CF，∵∠EDB=∠CDF，∴ΔDGE≌ΔDCF，∴DE=DF。

解題后的思考：此題的輔助線還可以有以下幾種作法：

例5：△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求證：AB+BP=BQ+AQ。

2）解題思路：本題要證明的是AB+BP=BQ+AQ。形勢較為復(fù)雜，我們可以通過轉(zhuǎn)化的思想把左式和右式分別轉(zhuǎn)化為幾條相等線段的和即可得證。可過O作BC的平行線。得△ADO≌△AQO。得到OD=OQ，AD=AQ，只要再證出BD=OD就可以了。

解答過程：

證明：如圖（1），過O作OD∥BC交AB于D，∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，∴∠ADO=∠AQO，又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，∴△ADO≌△AQO，∴OD=OQ，AD=AQ，又∵OD∥BP，∴∠PBO=∠DOB，又∵∠PBO=∠DBO，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD，又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°，∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°，∴∠BOP=∠BPO，∴BP=OB，∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。

解題后的思考：（1）本題也可以在AB上截取AD=AQ，連OD，構(gòu)造全等三角形，即“截長法”。（2）本題利用“平行法”的解法也較多，舉例如下：

①如圖（2），過O作OD∥BC交AC于D，則△ADO≌△ABO從而得以解決。

④如圖（5），過P作PD∥BQ交AC于D，則△ABP≌△ADP從而得以解決。

例6：如圖甲，AD∥BC，點E在線段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。

求證：CD=AD+BC。

2）解題思路：結(jié)論是CD=AD+BC，可考慮用“截長補短法”中的“截長”，即在CD上截取CF=CB，只要再證DF=DA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問題，從而達(dá)到簡化問題的目的。

解答過程：

證明：在CD上截取CF=BC，如圖乙

∴△FCE≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1。又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠CDE=90°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4。

在△FDE與△ADE中，∴△FDE≌△ADE（ASA），∴DF=DA，∵CD=DF+CF，∴CD=AD+BC。小結(jié)：三角形

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角形。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。

第二篇：初二三角形常見輔助線做法總結(jié)及相關(guān)試題 周末

數(shù)學(xué)專題——三角形中的常用輔助線

找全等三角形的方法：

（1）可以從結(jié)論出發(fā)，尋找要證明的相等的兩條線段（或兩個角）分別在哪兩個可能全等的三角形中；

（2）可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個三角形全等；（3）可從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能確定哪兩個三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。三角形中常見輔助線的作法：

①延長中線構(gòu)造全等三角形；②利用翻折，構(gòu)造全等三角形； ③引平行線構(gòu)造全等三角形；④作連線構(gòu)造等腰三角形。常見輔助線的作法有以下幾種：

（1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”。

例1：如圖，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于點D，CE垂直于BD，交BD的延長線于點E。求證：BD=2CE。

思路分析：

1）題意分析：本題考查等腰三角形的三線合一定理的應(yīng)用

2）解題思路：要求證BD=2CE，可用加倍法，延長短邊，又因為有BD平分∠ABC的條件，可以和等腰三角形的三線合一定理結(jié)合起來。

解答過程：

證明：延長BA，CE交于點F，在ΔBEF和ΔBEC中，∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，從而CF=2CE。又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。

在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。

解題后的思考：等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的逆命題在添加輔助線中的應(yīng)用不但可以提高解題的能力，而且還加強了相關(guān)知識點和不同知識領(lǐng)域的聯(lián)系，為同學(xué)們開拓了一個廣闊的探索空間；并且在添加輔助線的過程中也蘊含著化歸的數(shù)學(xué)思想，它是解決問題的關(guān)鍵。

（2）若遇到三角形的中線，可倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。

例2：如圖，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：ΔABC是等腰三角形。

思路分析：

1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識。

2）解題思路：在證明三角形的問題中特別要注意題目中出現(xiàn)的中點、中線、中位線等條件，一般這些條件都是解題的突破口，本題給出了AD又是BC邊上的中線這一條件，而且要求證AB=AC，可倍長AD得全等三角形，從而問題得證。

解答過程：

證明：延長AD到E，使DE=AD，連接BE。又因為AD是BC邊上的中線，∴BD=DC 又∠BDE=∠CDA ΔBED≌ΔCAD，故EB=AC，∠E=∠2，∵AD是∠BAC的平分線 ∴∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，從而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。

解題后的思考：題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常加倍延長此線段，再將端點連結(jié)，便可得到全等三角形。

（3）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理。

例3：已知，如圖，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD。求證：∠B+∠ADC=180°。

思路分析：

1）題意分析：本題考查角平分線定理的應(yīng)用。

2）解題思路：因為AC是∠BAD的平分線，所以可過點C作∠BAD的兩邊的垂線，構(gòu)造直角三角形，通過證明三角形全等解決問題。

解答過程：

證明：作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F。∵AC平分∠BAD，∴CE=CF。

在Rt△CBE和Rt△CDF中，∵CE=CF，CB=CD，∴Rt△CBE≌Rt△CDF，∴∠B=∠CDF，∵∠CDF+∠ADC=180°，∴∠B+∠ADC=180°。解題后的思考：

①關(guān)于角平行線的問題，常用兩種輔助線；

②見中點即聯(lián)想到中位線。

（4）過圖形上某一點作特定的平行線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”

例4：如圖，ΔABC中，AB=AC，E是AB上一點，F(xiàn)是AC延長線上一點，連EF交BC于D，若EB=CF。求證：DE=DF。

思路分析：

1）題意分析： 本題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。

2）解題思路：因為DE、DF所在的兩個三角形ΔDEB與ΔDFC不可能全等，又知EB=CF，所以需通過添加輔助線進(jìn)行相等線段的等量代換：過E作EG//CF，構(gòu)造中心對稱型全等三角形，再利用等腰三角形的性質(zhì)，使問題得以解決。

解答過程：

證明：過E作EG//AC交BC于G，則∠EGB=∠ACB，又AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠EGB，∴∠EGD=∠DCF，∴EB=EG=CF，∵∠EDB=∠CDF，∴ΔDGE≌ΔDCF，∴DE=DF。

解題后的思考：此題的輔助線還可以有以下幾種作法：

例5：△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求證：AB+BP=BQ+AQ。

思路分析：

1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。

2）解題思路：本題要證明的是AB+BP=BQ+AQ。形勢較為復(fù)雜，我們可以通過轉(zhuǎn)化的思想把左式和右式分別轉(zhuǎn)化為幾條相等線段的和即可得證?？蛇^O作BC的平行線。得△ADO≌△AQO。得到OD=OQ，AD=AQ，只要再證出BD=OD就可以了。

解答過程：

證明：如圖（1），過O作OD∥BC交AB于D，∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，∴∠ADO=∠AQO，又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，∴△ADO≌△AQO，∴OD=OQ，AD=AQ，又∵OD∥BP，∴∠PBO=∠DOB，又∵∠PBO=∠DBO，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD，又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°，∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°，∴∠BOP=∠BPO，∴BP=OB，∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。

解題后的思考：（1）本題也可以在AB上截取AD=AQ，連OD，構(gòu)造全等三角形，即“截長法”。（2）本題利用“平行法”的解法也較多，舉例如下：

①如圖（2），過O作OD∥BC交AC于D，則△ADO≌△ABO從而得以解決。

④如圖（5），過P作PD∥BQ交AC于D，則△ABP≌△ADP從而得以解決。

小結(jié)：通過一題的多種輔助線添加方法，體會添加輔助線的目的在于構(gòu)造全等三角形。而不同的添加方法實際是從不同途徑來實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移的，體會構(gòu)造的全等三角形在轉(zhuǎn)移線段中的作用。從變換的觀點可以看到，不論是作平行線還是倍長中線，實質(zhì)都是對三角形作了一個以中點為旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造了全等三角形。

（5）截長法與補短法，具體作法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。

例6：如圖甲，AD∥BC，點E在線段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。求證：CD=AD+BC。

思路分析：

1）題意分析： 本題考查全等三角形常見輔助線的知識：截長法或補短法。2）解題思路：結(jié)論是CD=AD+BC，可考慮用“截長補短法”中的“截長”，即在CD上截取CF=CB，只要再證DF=DA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問題，從而達(dá)到簡化問題的目的。

解答過程：

證明：在CD上截取CF=BC，如圖乙

∴△FCE≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1。又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠CDE=90°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4。

在△FDE與△ADE中，∴△FDE≌△ADE（ASA），∴DF=DA，∵CD=DF+CF，∴CD=AD+BC。

解題后的思考：遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長法或補短法：

截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；

補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。

1）對于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法將其放在一個三角形中證明。

2）在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，如直接證明不出來，可連接兩點或延長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關(guān)系證明。

小結(jié)：三角形

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角形。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。

第三篇：數(shù)學(xué)常見輔助線做法與小結(jié)

幾何最難的地方就是輔助線的添加了，但是對于添加輔助線，還是有規(guī)律可循的，下面可小編給大家整理了一些常見的添加輔助線的方法，掌握了對你一定有幫助！

三角形中常見輔助線的添加

1.與角平分線有關(guān)的（1）可向兩邊作垂線。

（2）可作平行線，構(gòu)造等腰三角形

（3）在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形

2.與線段長度相關(guān)的（1）截長：證明某兩條線段的和或差等于第三條線段時，經(jīng)常在較長的線段上截取一段，使得它和其中的一條相等，再利用全等或相似證明余下的等于另一條線段即可

（2）補短：證明某兩條線段的和或差等于第三條線段時，也可以在較短的線段上延長一段，使得延長的部分等于另外一條較短的線段，再利用全等或相似證明延長后的線段等于那一條長線段即可

（3）倍長中線：題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，方法是將中線延長一倍，再將端點連結(jié)，便可得到全等三角形。

（4）遇到中點，考慮中位線或等腰等邊中的三線合一。3.與等腰等邊三角形相關(guān)的（1）考慮三線合一

（2）旋轉(zhuǎn)一定的度數(shù)，構(gòu)造全都三角形，等腰一般旋轉(zhuǎn)頂角的度數(shù)，等邊旋轉(zhuǎn)60 °

四邊形中常見輔助線的添加

特殊四邊形主要包括平行四邊形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解決一些和四邊形有關(guān)的問題時往往需 要添加輔助線。下面介紹一些輔助線的添加方法。1.和平行四邊形有關(guān)的輔助線作法

平行四邊形是最常見的特殊四邊形之一，它有許多可以利用性質(zhì)，為了利用這些性質(zhì)往往需要添加輔助線構(gòu)造平行四邊形。（1）利用一組對邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形

（2）利用兩組對邊平行構(gòu)造平行四邊形（3）利用對角線互相平分構(gòu)造平行四邊形

2.與矩形有輔助線作法

（1）計算型題，一般通過作輔助線構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問題（2）證明或探索題，一般連結(jié)矩形的對角線借助對角線相等這一性質(zhì)解決問題.和矩形有關(guān)的試題的輔助線的作法較少.3.和菱形有關(guān)的輔助線的作法

和菱形有關(guān)的輔助線的作法主要是連接菱形的對角線，借助菱形的判定定理或性質(zhì)定定理解決問題.（1）作菱形的高

（2）連結(jié)菱形的對角線

4.與正方形有關(guān)輔助線的作法

正方形是一種完美的幾何圖形，它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，有關(guān)正方形的試題較多.解決正 方形的問題有時需要作輔助線，作正方形對角線是解決正方形問題的常用輔助線

圓中常見輔助線的添加

1.遇到弦時（解決有關(guān)弦的問題時）

常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結(jié)過弦的端點的半徑。

作用： ①

利用垂徑定理

②

利用圓心角及其所對的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系

③

利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關(guān)量 2.遇到有直徑時，常常添加（畫）直徑所對的圓周角

作用：利用圓周角的性質(zhì)得到直角或直角三角形

3.遇到90度的圓周角時，常常連結(jié)兩條弦沒有公共點的另一端點 作用：利用圓周角的性質(zhì)，可得到直徑

4.遇到弦時，常常連結(jié)圓心和弦的兩個端點，構(gòu)成等腰三角形，還可連結(jié)圓周上一點和弦的兩個端點

作用： ①可得等腰三角形

②據(jù)圓周角的性質(zhì)可得相等的圓周角

5.遇到有切線時，常常添加過切點的半徑（連結(jié)圓心和切點）

作用：利用切線的性質(zhì)定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形

常常添加連結(jié)圓上一點和切點

作用：可構(gòu)成弦切角，從而利用弦切角定理。

6.遇到證明某一直線是圓的切線時

（1）若直線和圓的公共點還未確定，則常過圓心作直線的垂線段。

作用：若OA=r，則l為切線

（2）若直線過圓上的某一點，則連結(jié)這點和圓心（即作半徑）作用：只需證OA⊥l，則l為切線

（3）有遇到圓上或圓外一點作圓的切線 7.遇到兩相交切線時（切線長）

常常連結(jié)切點和圓心、連結(jié)圓心和圓外的一點、連結(jié)兩切點

作用：據(jù)切線長及其它性質(zhì)，可得到

①

角、線段的等量關(guān)系

②

垂直關(guān)系

③

全等、相似三角形

8.遇到三角形的內(nèi)切圓時

連結(jié)內(nèi)心到各三角形頂點，或過內(nèi)心作三角形各邊的垂線段

作用：利用內(nèi)心的性質(zhì)，可得

① 內(nèi)心到三角形三個頂點的連線是三角形的角平分線 ② 內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等

9.遇到三角形的外接圓時，連結(jié)外心和各頂點

作用：外心到三角形各頂點的距離相等

10.遇到兩圓外離時（解決有關(guān)兩圓的外、內(nèi)公切線的問題）

常常作出過切點的半徑、連心線、平移公切線，或平移連心線

作用： ①利用切線的性質(zhì)；

②利用解直角三角形的有關(guān)知識

11.遇到兩圓相交時

常常作公共弦、兩圓連心線、連結(jié)交點和圓心等

作用： ①

利用連心線的性質(zhì)、解直角三角形有關(guān)知識

②

利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

③

利用兩圓公共的圓周的性質(zhì)

④ 垂徑定理

12．遇到兩圓相切時 常常作連心線、公切線

作用： ①

利用連心線性質(zhì)

②

切線性質(zhì)等

13.遇到三個圓兩兩外切時

常常作每兩個圓的連心線

作用：可利用連心線性質(zhì)

14.遇到四邊形對角互補或兩個三角形同底并在底的同向且有相等“頂角”時

常常添加輔助圓

作用：以便利用圓的性質(zhì)

第四篇：初二證明題中輔助線的做法

過三角形中點的輔助線的一類做法

1.在△ABC中，D是BC邊上的一點，CD=AB且∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中線，求證：

AC=2AE

2.在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC邊上的中線，且AD=2，求BC的長

3.在△ABC中，∠C=2∠B，AD為角平分線，求證：

AB=AC+CD

4.在△ABC中，AD為中線，交AC與E，且AF=FD求證：AE=AC 31

5.AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求證：

BF=AC

6.BD，CE是△ABC的高，G F是BC和DE中點，求證：FG⊥

DE

7.邊長為6的菱形ABCD中∠DAB=600，E為AB的中點，F(xiàn)是AC上一動點，則EF+BF的最小值為

如圖已知AC⊥BC,AD//BC,E是BD中點,當(dāng)BC=3,AC=4,AD=6,求CE的長

在正方形ABCD中,E是AB的中點,F是AD上的一點，且AF=1

4AD,求證:CE平分∠FAB

8.已知一個凸四邊形的四條邊長順次分別是a b c d且a2+ab-ac-bc=0，b2+bc-bd-cd=0那么這個四邊形是

1.已知對角線互相垂直的四邊形其對角線分別為6和8，那么順次連接這個四邊形的各邊中點所得到的四邊形的面積為（）

A 12B 13C 15D 10

2.如圖在梯形ABCD中，AD//BC，現(xiàn)分別以A,B,C,D為圓心，1cm長為半徑畫圖，則圖中陰影部分面積是（）Ａ．πcm231Ｂ．πcm2 21Ｃ．πcm2Ｄ．2πcm2 3.已知x為正數(shù)，求x2?1?(4?x)2?4的最小值是（）

A 4B 5C 6D 7

4.已知：a，b是整數(shù)，且a+b=2，則a2?1?b2?4的最小值是（）ABCD

5.已知正方形ABCD的邊長為8，點E，F(xiàn)在AB 和AC邊上。AE=1，AF=3，P是對角線上的動點，則PE+PF的最小值是

6.已知正方形ABCD的邊長為8，點M在DC上，且DM=2，N是AC上一動點，則DN+MN的最小值是

7.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC⊥BD，且AC=6cm，BD?6cm，則此梯形的高為cm．

8.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB?CD?AD?1，?B?60?，直線MN為梯形的對稱軸，P為MN上一點，那么PC?PD的最小

值為． ABCD

B

C

9.菱形ABCD中，EF分別是BC，CD上的點，若∠B=∠EAF=600，∠BAE=200求∠CEF的度數(shù)

010.已知六邊形ABCDEF的6個內(nèi)角都是120，CD=20，BC=8，AB=8AF=5，求這個六邊形的周長

9.從等邊三角形內(nèi)一點向三邊做垂線，已知這三條垂線段的長分別為1，3，5求這個三角形的面積。

10.在矩形ABCD中AE⊥D B，已知AB=2，AD=22，連接EC求，求EC的長

如圖在正方形ABCD中，GE⊥CB，GF⊥DC，求證：AE=EF

在梯形ABCD中E，F(xiàn)分別是兩底的中點，求證:EF=1

2(AB-CD)

第五篇：三角形中的常用輔助線方法總結(jié)

數(shù)學(xué)：三角形中的常用輔助線

典型例題

人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗。

全等三角形輔助線 找全等三角形的方法：

（1）可以從結(jié)論出發(fā)，尋找要證明的相等的兩條線段（或兩個角）分別在哪兩個可能全等的三角形中；

（2）可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個三角形全等；（3）可從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能確定哪兩個三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。三角形中常見輔助線的作法： ①延長中線構(gòu)造全等三角形； ②利用翻折，構(gòu)造全等三角形； ③引平行線構(gòu)造全等三角形； ④作連線構(gòu)造等腰三角形。

常見輔助線的作法有以下幾種：

（1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”。

例1：如圖，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于點D，CE垂直于BD，交BD的延長線于點E。求證：BD=2CE。

思路分析：

1）題意分析：本題考查等腰三角形的三線合一定理的應(yīng)用

2）解題思路：要求證BD=2CE，可用加倍法，延長短邊，又因為有BD平分∠ABC的條件，可以和等腰三角形的三線合一定理結(jié)合起來。

解答過程：

證明：延長BA，CE交于點F，在ΔBEF和ΔBEC中，∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，從而CF=2CE。又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。

在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。解題后的思考：等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的逆命題在添加輔助線中的應(yīng)用不但可以提高解題的能力，而且還加強了相關(guān)知識點和不同知識領(lǐng)域的聯(lián)系，為同學(xué)們開拓了一個廣闊的探索空間；并且在添加輔助線的過程中也蘊含著化歸的數(shù)學(xué)思想，它是解決問題的關(guān)鍵。

（2）若遇到三角形的中線，可倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。

例2：如圖，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：ΔABC是等腰三角形。

思路分析：

1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識。

2）解題思路：在證明三角形的問題中特別要注意題目中出現(xiàn)的中點、中線、中位線等條件，一般這些條件都是解題的突破口，本題給出了AD又是BC邊上的中線這一條件，而且要求證AB=AC，可倍長AD得全等三角形，從而問題得證。

解答過程：

證明：延長AD到E，使DE=AD，連接BE。又因為AD是BC邊上的中線，∴BD=DC 又∠BDE=∠CDA ΔBED≌ΔCAD，故EB=AC，∠E=∠2，∵AD是∠BAC的平分線 ∴∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，從而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。

解題后的思考：題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常加倍延長此線段，再將端點連結(jié)，便可得到全等三角形。

（3）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理。

例3：已知，如圖，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD。求證：∠B+∠ADC=180°。

思路分析：

1）題意分析：本題考查角平分線定理的應(yīng)用。

2）解題思路：因為AC是∠BAD的平分線，所以可過點C作∠BAD的兩邊的垂線，構(gòu)造直角三角形，通過證明三角形全等解決問題。

解答過程：

證明：作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F。∵AC平分∠BAD，∴CE=CF。

在Rt△CBE和Rt△CDF中，∵CE=CF，CB=CD，∴Rt△CBE≌Rt△CDF，∴∠B=∠CDF，∵∠CDF+∠ADC=180°，∴∠B+∠ADC=180°。解題后的思考：

①關(guān)于角平行線的問題，常用兩種輔助線；

②見中點即聯(lián)想到中位線。

（4）過圖形上某一點作特定的平行線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”

例4：如圖，ΔABC中，AB=AC，E是AB上一點，F(xiàn)是AC延長線上一點，連EF交BC于D，若EB=CF。求證：DE=DF。

思路分析：

1）題意分析： 本題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。

2）解題思路：因為DE、DF所在的兩個三角形ΔDEB與ΔDFC不可能全等，又知EB=CF，所以需通過添加輔助線進(jìn)行相等線段的等量代換：過E作EG//CF，構(gòu)造中心對稱型全等三角形，再利用等腰三角形的性質(zhì)，使問題得以解決。

解答過程：

證明：過E作EG//AC交BC于G，則∠EGB=∠ACB，又AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠EGB，∴∠EGD=∠DCF，∴EB=EG=CF，∵∠EDB=∠CDF，∴ΔDGE≌ΔDCF，∴DE=DF。

解題后的思考：此題的輔助線還可以有以下幾種作法：

例5：△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求證：AB+BP=BQ+AQ。

思路分析：

1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。

2）解題思路：本題要證明的是AB+BP=BQ+AQ。形勢較為復(fù)雜，我們可以通過轉(zhuǎn)化的思想把左式和右式分別轉(zhuǎn)化為幾條相等線段的和即可得證?？蛇^O作BC的平行線。得△ADO≌△AQO。得到OD=OQ，AD=AQ，只要再證出BD=OD就可以了。

解答過程：

證明：如圖（1），過O作OD∥BC交AB于D，∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，∴∠ADO=∠AQO，又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，∴△ADO≌△AQO，∴OD=OQ，AD=AQ，又∵OD∥BP，∴∠PBO=∠DOB，又∵∠PBO=∠DBO，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD，又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°，∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°，∴∠BOP=∠BPO，∴BP=OB，∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。

解題后的思考：（1）本題也可以在AB上截取AD=AQ，連OD，構(gòu)造全等三角形，即“截長法”。（2）本題利用“平行法”的解法也較多，舉例如下：

①如圖（2），過O作OD∥BC交AC于D，則△ADO≌△ABO從而得以解決。

④如圖（5），過P作PD∥BQ交AC于D，則△ABP≌△ADP從而得以解決。

小結(jié)：通過一題的多種輔助線添加方法，體會添加輔助線的目的在于構(gòu)造全等三角形。而不同的添加方法實際是從不同途徑來實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移的，體會構(gòu)造的全等三角形在轉(zhuǎn)移線段中的作用。從變換的觀點可以看到，不論是作平行線還是倍長中線，實質(zhì)都是對三角形作了一個以中點為旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造了全等三角形。

（5）截長法與補短法，具體作法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。例6：如圖甲，AD∥BC，點E在線段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。求證：CD=AD+BC。

思路分析：

1）題意分析： 本題考查全等三角形常見輔助線的知識：截長法或補短法。2）解題思路：結(jié)論是CD=AD+BC，可考慮用“截長補短法”中的“截長”，即在CD上截取CF=CB，只要再證DF=DA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問題，從而達(dá)到簡化問題的目的。

解答過程：

證明：在CD上截取CF=BC，如圖乙

∴△FCE≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1。又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠CDE=90°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4。

在△FDE與△ADE中，∴△FDE≌△ADE（ASA），∴DF=DA，∵CD=DF+CF，∴CD=AD+BC。

解題后的思考：遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長法或補短法：

截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；

補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。

1）對于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法將其放在一個三角形中證明。

2）在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，如直接證明不出來，可連接兩點或延長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關(guān)系證明。

小結(jié)：三角形

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角形。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。

同步練習(xí)

（答題時間：90分鐘）

這幾道題一定要認(rèn)真思考啊，都是要添加輔助線的，開動腦筋好好想一想吧！加油！你一定行！

1、已知，如圖1，在四邊形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC。求證：∠BAD+∠BCD=180°。

2、已知，如圖2，∠1=∠2，P為BN上一點，且PD⊥BC于點D，AB+BC=2BD。求證：∠BAP+∠BCP=180°。

3、已知，如圖3，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求證：AB=AC+CD。

試題答案

1、分析：因為平角等于180°，因而應(yīng)考慮把兩個不在一起的角通過全等轉(zhuǎn)化成為平角，圖中缺少全等的三角形，因而解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形，可通過“截長法或補短法”來實現(xiàn)。

證明：過點D作DE垂直BA的延長線于點E，作DF⊥BC于點F，如圖1-2

∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)，∴∠DAE=∠DCF。

又∠BAD+∠DAE=180°，∴∠BAD+∠DCF=180°，即∠BAD+∠BCD=180°

2、分析：與1相類似，證兩個角的和是180°，可把它們移到一起，讓它們成為鄰補角，即證明∠BCP=∠EAP，因而此題適用“補短”進(jìn)行全等三角形的構(gòu)造。

證明：過點P作PE垂直BA的延長線于點E，如圖2-2

∴Rt△APE≌Rt△CPD(SAS)，∴∠PAE=∠PCD

又∵∠BAP+∠PAE=180°?！唷螧AP+∠BCP=180°

3、分析：從結(jié)論分析，“截長”或“補短”都可實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，即延長AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC。

證明：方法一（補短法）

延長AC到E，使DC=CE，則∠CDE＝∠CED，如圖3-2

∴△AFD≌△ACD（SAS），∴DF=DC，∠AFD＝∠ACD。又∵∠ACB＝2∠B，∴∠FDB＝∠B，∴FD=FB?！逜B=AF+FB=AC+FD，∴AB=AC+CD。

4、證明：（方法一）

將DE兩邊延長分別交AB、AC于M、N，在△AMN中，AM+AN>MD+DE+NE； ① 在△BDM中，MB+MD>BD； ② 在△CEN中，CN+NE>CE； ③ 由①+②+③得：

AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE ∴AB+AC>BD+DE+EC（方法二：圖4-2）

延長BD交AC于F，延長CE交BF于G，在△ABF、△GFC和△GDE中有： AB+AF>BD+DG+GF

① GF+FC>GE+CE

② DG+GE>DE

③ 由①+②+③得：

AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE ∴AB+AC>BD+DE+EC。

5、分析：要證AB+AC>2AD，由圖想到：AB+BD>AD，AC+CD>AD，所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，左邊比要證結(jié)論多BD+CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形中去

∴△ACD≌△EBD（SAS）

∴BE=CA（全等三角形對應(yīng)邊相等）

∵在△ABE中有：AB+BE>AE（三角形兩邊之和大于第三邊）∴AB+AC>2AD。

6、分析：欲證AC=BF，只需證AC、BF所在兩個三角形全等，顯然圖中沒有含有AC、BF的兩個全等三角形，而根據(jù)題目條件去構(gòu)造兩個含有AC、BF的全等三角形也并不容易。這時我們想到在同一個三角形中等角對等邊，能夠把這兩條線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形中，只要說明轉(zhuǎn)移到同一個三角形以后的這兩條線段，所對的角相等即可。

思路

一、以三角形ADC為基礎(chǔ)三角形，轉(zhuǎn)移線段AC，使AC、BF在三角形BFH中

方法一：延長AD到H，使得DH=AD，連結(jié)BH，證明△ADC和△HDB全等，得AC=BH。

通過證明∠H=∠BFH，得到BF=BH。

∴ △ADC≌△HDB(SAS)

∴ AC=BH，∠H=∠HAC

∵ EA=EF

∴ ∠HAE=∠AFE

又∵ ∠BFH=∠AFE

∴BH=BF

∴BF=AC

方法二：過B點作BH平行AC，與AD的延長線相交于點H，證明△ADC和△HDB全等即可。

小結(jié)：對于含有中點的問題，通過“倍長中線” 可以得到兩個全等三角形。而過一點作已知直線的平行線，可以起到轉(zhuǎn)移角的作用，也起到了構(gòu)造全等三角形的作用。

思路

二、以三角形BFD為基礎(chǔ)三角形。轉(zhuǎn)移線段BF，使AC、BF在兩個全等三角形中

方法三：延長FD至H，使得DH=FD，連接HC。證明△CDH和△BDF全等即可。

∴ △BFD≌△CHD(SAS)∴ ∠H=∠BFH ∵ AE=FE ∴ ∠HAC=∠AFE 又∵ ∠AFE=∠BFH ∴ ∠H=∠HAC ∴ CH=CA ∴ BF=AC 方法四：過C點作CH平行BF，與AD的延長線相交于點H，證明△CDH和△BDF全等即可。