全等三角形問題中常見的輔助線的作法(有答案)
總論：全等三角形問題最主要的是構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造二條邊之間的相等，構(gòu)造二個角之間的相等
【三角形輔助線做法】
圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。
也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。
角平分線平行線，等腰三角形來添。
角平分線加垂線，三線合一試試看。
線段垂直平分線，常向兩端把線連。
要證線段倍與半，延長縮短可試驗。
三角形中兩中點，連接則成中位線。
三角形中有中線，延長中線等中線。
1.等腰三角形“三線合一”法：遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題
2.倍長中線：倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形
3.角平分線在三種添輔助線
4.垂直平分線聯(lián)結(jié)線段兩端
5.用“截長法”或“補(bǔ)短法”：
遇到有二條線段長之和等于第三條線段的長，6.圖形補(bǔ)全法：有一個角為60度或120度的把該角添線后構(gòu)成等邊三角形
7.角度數(shù)為30、60度的作垂線法：遇到三角形中的一個角為30度或60度，可以從角一邊上一點向角的另一邊作垂線，目的是構(gòu)成30-60-90的特殊直角三角形，然后計算邊的長度與角的度數(shù)，這樣可以得到在數(shù)值上相等的二條邊或二個角。從而為證明全等三角形創(chuàng)造邊、角之間的相等條件。
8.計算數(shù)值法：遇到等腰直角三角形，正方形時，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常計算邊的長度與角的度數(shù)，這樣可以得到在數(shù)值上相等的二條邊或二個角，從而為證明全等三角形創(chuàng)造邊、角之間的相等條件。
常見輔助線的作法有以下幾種：最主要的是構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造二條邊之間的相等，二個角之間的相等。
1)
遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”法構(gòu)造全等三角形．
2)
遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”
法構(gòu)造全等三角形．
3)
遇到角平分線在三種添輔助線的方法，（1）可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理．（2）可以在角平分線上的一點作該角平分線的垂線與角的兩邊相交，形成一對全等三角形。（3）可以在該角的兩邊上，距離角的頂點相等長度的位置上截取二點，然后從這兩點再向角平分線上的某點作邊線，構(gòu)造一對全等三角形。
4)
過圖形上某一點作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”
5)
截長法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明．這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目．
6)
已知某線段的垂直平分線，那么可以在垂直平分線上的某點向該線段的兩個端點作連線，出一對全等三角形。
特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答．
一、倍長中線（線段）造全等
例1、（“希望杯”試題）已知，如圖△ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_________.例2、如圖，△ABC中，E、F分別在AB、AC上，DE⊥DF，D是中點，試比較BE+CF與EF的大小.例3、如圖，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點，求證：AD平分∠BAE.應(yīng)用：
1、（09崇文二模）以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點．探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．
（1）如圖①
當(dāng)為直角三角形時，AM與DE的位置關(guān)系是，線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是；
（2）將圖①中的等腰Rt繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)(0<<90)后，如圖②所示，（1）問中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由．
二、截長補(bǔ)短
1、如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CD⊥AC2、如圖，AD∥BC，EA,EB分別平分∠DAB,∠CBA，CD過點E，求證;AB＝AD+BC。
3、如圖，已知在內(nèi)，，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP4、如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求證：
5、如圖在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P為AD上任意一點，求證;AB-AC＞PB-PC
應(yīng)用：
三、平移變換
例1
AD為△ABC的角平分線，直線MN⊥AD于A.E為MN上一點，△ABC周長記為，△EBC周長記為.求證＞.例2
如圖，在△ABC的邊上取兩點D、E，且BD=CE，求證：AB+AC>AD+AE.四、借助角平分線造全等
1、如圖，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分線AD,CE相交于點O，求證：OE=OD2、如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.（1）說明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的長.應(yīng)用：
1、如圖①，OP是∠MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以O(shè)P所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：
（1）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；
(第23題圖)
O
P
A
M
N
E
B
C
D
F
A
C
E
F
B
D
圖①
圖②
圖③
（2）如圖③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請問，你在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。
五、旋轉(zhuǎn)
例1
正方形ABCD中，E為BC上的一點，F(xiàn)為CD上的一點，BE+DF=EF，求∠EAF的度數(shù).例2
D為等腰斜邊AB的中點，DM⊥DN,DM,DN分別交BC,CA于點E,F。
（1）
當(dāng)繞點D轉(zhuǎn)動時，求證DE=DF。
（2）
若AB=2，求四邊形DECF的面積。
例3
如圖，是邊長為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以D為頂點做一個角，使其兩邊分別交AB于點M，交AC于點N，連接MN，則的周長為；
應(yīng)用：
1、已知四邊形中，，，繞點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長線）于．
當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到時（如圖1），易證．
當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明．
（圖1）
（圖2）
（圖3）
2、（西城09年一模）已知:PA=,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點落在直線AB的兩側(cè).(1)如圖,當(dāng)∠APB=45°時,求AB及PD的長;
(2)當(dāng)∠APB變化,且其它條件不變時,求PD的最大值,及相應(yīng)∠APB的大小.3、在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，D為外一點，且，BD=DC.探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長Q與等邊的周長L的關(guān)系．
圖1
圖2
圖3
（I）如圖1，當(dāng)點M、N邊AB、AC上，且DM=DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是；
此時；
（II）如圖2，點M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DMDN時，猜想（I）問的兩個結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；
（III）
如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，若AN=，則Q=
（用、L表示）．
參考答案與提示
一、倍長中線（線段）造全等
例1、（“希望杯”試題）已知，如圖△ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_________.解：延長AD至E使AE＝2AD，連BE，由三角形性質(zhì)知
AB-BE
<2AD 故AD的取值范圍是1 例2、如圖，△ABC中，E、F分別在AB、AC上，DE⊥DF，D是中點，試比較BE+CF與EF的大小.解：(倍長中線,等腰三角形“三線合一”法)延長FD至G使FG＝2EF，連BG，EG,顯然BG＝FC，在△EFG中，注意到DE⊥DF，由等腰三角形的三線合一知 EG＝EF 在△BEG中，由三角形性質(zhì)知 EG 故：EF 例3、如圖，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點，求證：AD平分∠BAE.解：延長AE至G使AG＝2AE，連BG，DG,顯然DG＝AC，∠GDC=∠ACD 由于DC=AC，故 ∠ADC=∠DAC 在△ADB與△ADG中，BD＝AC=DG，AD＝AD，∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC＝∠ADG 故△ADB≌△ADG，故有∠BAD=∠DAG，即AD平分∠BAE 應(yīng)用： 1、（09崇文二模）以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點．探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系． （1）如圖① 當(dāng)為直角三角形時，AM與DE的位置關(guān)系是，線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是； （2）將圖①中的等腰Rt繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)(0<<90)后，如圖②所示，（1）問中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由． 解：（1），； 證明：延長AM到G，使，連BG，則ABGC是平行四邊形 G C H A B D M N E ∴，又∵ ∴ 再證： ∴，延長MN交DE于H ∵ ∴ ∴ （2）結(jié)論仍然成立． 證明：如圖，延長CA至F，使，F(xiàn)A交DE于點P，并連接BF ∵，∴ F C P A B D M N E ∵在和中 ∴（SAS） ∴，∴ ∴ 又∵，∴，且 ∴，二、截長補(bǔ)短 1、如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CD⊥AC 解：（截長法）在AB上取中點F，連FD △ADB是等腰三角形，F(xiàn)是底AB中點，由三線合一知 DF⊥AB，故∠AFD＝90° △ADF≌△ADC（SAS） ∠ACD＝∠AFD＝90°即：CD⊥AC2、如圖，AD∥BC，EA,EB分別平分∠DAB,∠CBA，CD過點E，求證;AB＝AD+BC 解：（截長法）在AB上取點F，使AF＝AD，連FE △ADE≌△AFE（SAS） ∠ADE＝∠AFE，∠ADE+∠BCE＝180° ∠AFE+∠BFE＝180° 故∠ECB＝∠EFB △FBE≌△CBE（AAS） 故有BF＝BC 從而;AB＝AD+BC3、如圖，已知在△ABC內(nèi)，，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP 解：（補(bǔ)短法,計算數(shù)值法）延長AB至D，使BD＝BP，連DP 在等腰△BPD中，可得∠BDP＝40° 從而∠BDP＝40°＝∠ACP △ADP≌△ACP（ASA） 故AD＝AC 又∠QBC＝40°＝∠QCB 故 BQ＝QC BD＝BP 從而BQ+AQ=AB+BP4、如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求證： 解：（補(bǔ)短法）延長BA至F，使BF＝BC，連FD △BDF≌△BDC（SAS） 故∠DFB＝∠DCB，F(xiàn)D＝DC 又AD＝CD 故在等腰△BFD中 ∠DFB＝∠DAF 故有∠BAD+∠BCD＝180° 5、如圖在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P為AD上任意一點，求證;AB-AC＞PB-PC 解：（補(bǔ)短法）延長AC至F，使AF＝AB，連PD △ABP≌△AFP（SAS） 故BP＝PF 由三角形性質(zhì)知 PB－PC＝PF－PC CF＝AF－AC＝AB－AC 應(yīng)用： 分析：此題連接AC，把梯形的問題轉(zhuǎn)化成等邊三角形的問題，然后利用已知條件和等邊三角形的性質(zhì)通過證明三角形全等解決它們的問題。 解：有 D E A C B F 連接AC，過E作并AC于F點 則可證為等邊三角形 即，∴ 又∵，∴ D E A C B 又∵ ∴ 在與中，∴ ∴ ∴ 點評：此題的解法比較新穎，把梯形的問題轉(zhuǎn)化成等邊三角形的問題，然后利用全等三角形的性質(zhì)解決。 三、平移變換 例1 AD為△ABC的角平分線，直線MN⊥AD于A.E為MN上一點，△ABC周長記為，△EBC周長記為.求證＞.解：（鏡面反射法）延長BA至F，使AF＝AC，連FE AD為△ABC的角平分線,MN⊥AD 知∠FAE＝∠CAE 故有 △FAE≌△CAE（SAS） 故EF＝CE 在△BEF中有： BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC 從而PB=BE+CE+BC>BF+BC=BA+AC+BC=PA 例2 如圖，在△ABC的邊上取兩點D、E，且BD=CE，求證：AB+AC>AD+AE.證明：取BC中點M,連AM并延長至N,使MN=AM,連BN,DN.∵BD=CE,∴DM=EM,∴△DMN≌△EMA(SAS),∴DN=AE,同理BN=CA.延長ND交AB于P,則BN+BP>PN,DP+PA>AD,相加得BN+BP+DP+PA>PN+AD,各減去DP,得BN+AB>DN+AD,∴AB+AC>AD+AE。 四、借助角平分線造全等 1、如圖，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分線AD,CE相交于點O，求證：OE=OD，DC+AE =AC 證明L(角平分線在三種添輔助線,計算數(shù)值法)∠B=60度,則∠BAC+∠BCA=120度; AD,CE均為角平分線,則∠OAC+∠OCA=60度=∠AOE=∠COD; ∠AOC=120度.在AC上截取線段AF=AE,連接OF.又AO=AO;∠OAE=∠OAF .則⊿OAE≌ΔOAF(SAS),OE=OF;AE=AF; ∠AOF=∠AOE=60度.則∠COF=∠AOC-∠AOF=60度=∠COD; 又CO=CO;∠OCD=∠OCF.故⊿OCD≌ΔOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=OD DC+AE=CF+AF=AC.2、如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.（1）說明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的長.解：(垂直平分線聯(lián)結(jié)線段兩端)連接BD，DC DG垂直平分BC，故BD＝DC 由于AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，故有 ED＝DF 故RT△DBE≌RT△DFC（HL） 故有BE＝CF。 AB+AC＝2AE AE＝（a+b）/2 BE=(a-b)/2 應(yīng)用： 1、如圖①，OP是∠MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以O(shè)P所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題： （1）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系； (第23題圖) O P A M N E B C D F A C E F B D 圖① 圖② 圖③ （2）如圖③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請問，你在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。 解：（1）FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系為 （2）答：（1）中的結(jié)論仍然成立。 證法一：如圖1，在AC上截取，連結(jié)FG ∵，AF為公共邊，∴ ∴，F(xiàn) B E A C D 圖 G ∵，AD、CE分別是、的平分線 ∴ ∴ ∴ ∵及FC為公共邊 ∴ ∴ ∴ 證法二：如圖2，過點F分別作于點G，于點H F B E A C D 圖 H G ∵，AD、CE分別是、的平分線 ∴可得，F(xiàn)是的內(nèi)心 ∴，又∵ ∴ ∴可證 ∴ 五、旋轉(zhuǎn) 例1 正方形ABCD中，E為BC上的一點，F(xiàn)為CD上的一點，BE+DF=EF，求∠EAF的度數(shù).證明：將三角形ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90度，至三角形ABG 則GE=GB+BE=DF+BE=EF 又AE=AE，AF=AG，所以三角形AEF全等于AEG 所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF 又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90 所以∠EAF=45度 例2 D為等腰斜邊AB的中點，DM⊥DN,DM,DN分別交BC,CA于點E,F。 (1)當(dāng)繞點D轉(zhuǎn)動時，求證DE=DF。 (2)若AB=2，求四邊形DECF的面積。 解：(計算數(shù)值法)（1）連接DC，D為等腰斜邊AB的中點，故有CD⊥AB，CD＝DA CD平分∠BCA＝90°，∠ECD＝∠DCA＝45° 由于DM⊥DN，有∠EDN＝90° 由于 CD⊥AB，有∠CDA＝90° 從而∠CDE＝∠FDA＝ 故有△CDE≌△ADF（ASA） 故有DE=DF （2）S△ABC=2,S四DECF= S△ACD=1 例3 如圖，是邊長為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以D為頂點做一個角，使其兩邊分別交AB于點M，交AC于點N，連接MN，則的周長為； 解：(圖形補(bǔ)全法,“截長法”或“補(bǔ)短法”,計算數(shù)值法) AC的延長線與BD的延長線交于點F，在線段CF上取點E，使CE＝BM ∵△ABC為等邊三角形，△BCD為等腰三角形，且∠BDC=120°，∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°，∠DCE=180°-∠ACD=180°-∠ABD=90°，又∵BM=CE，BD=CD，∴△CDE≌△BDM，∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，∵在△DMN和△DEN中，DM=DE ∠MDN=∠EDN=60° DN=DN ∴△DMN≌△DEN，∴MN=NE ∵在△DMA和△DEF中，DM=DE ∠MDA=60°-∠MDB=60°-∠CDE=∠EDF (∠CDE=∠BDM) ∠DAM=∠DFE=30° ∴△DMN≌△DEN (AAS)，∴MA=FE的周長為AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6 應(yīng)用： 1、已知四邊形中，，，繞點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長線）于． 當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到時（如圖1），易證． 當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明． （圖1） （圖2） （圖3） 解：（1）∵，，∴（SAS）； ∴，∵，∴，為等邊三角形 ∴，∴ （2）圖2成立，圖3不成立。 證明圖2，延長DC至點K，使，連接BK K A B C D E F M N 圖 則 ∴，∵，∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 即 圖3不成立，AE、CF、EF的關(guān)系是 2、（西城09年一模）已知:PA=,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點落在直線AB的兩側(cè).(1)如圖,當(dāng)∠APB=45°時,求AB及PD的長; (2)當(dāng)∠APB變化,且其它條件不變時,求PD的最大值,及相應(yīng)∠APB的大小.分析：（1）作輔助線，過點A作于點E，在中，已知，AP的值，根據(jù)三角函數(shù)可將AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在中，根據(jù)勾股定理可將AB的值求出；求PD的值有兩種解法，解法一：可將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，可得，求PD長即為求的長，在中，可將的值求出，在中，根據(jù)勾股定理可將的值求出；解法二：過點P作AB的平行線，與DA的延長線交于F，交PB于G，在中，可求出AG，EG的長，進(jìn)而可知PG的值，在中，可求出PF，在中，根據(jù)勾股定理可將PD的值求出； （2）將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，得到，PD的最大值即為的最大值，故當(dāng)、P、B三點共線時，取得最大值，根據(jù)可求的最大值，此時． E P A D C B 解：（1）①如圖，作于點E ∵中，∴ ∵ ∴ 在中，∴ P′ P A C B D E ②解法一：如圖，因為四邊形ABCD為正方形，可將將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，可得，∴，∴，∴； 解法二：如圖，過點P作AB的平行線，與DA的延長線交于F，設(shè)DA的延長線交PB于G． G F P A C B D E 在中，可得，在中，可得，在中，可得 （2）如圖所示，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn),得到，PD的最大值，即為的最大值 ∵中，，且P、D兩點落在直線AB的兩側(cè) ∴當(dāng)、P、B三點共線時，取得最大值（如圖） P′ P A C B D P′ P A C B D 此時，即的最大值為6 此時 3、在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，D為外一點，且，BD=DC.探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長Q與等邊的周長L的關(guān)系． 圖1 圖2 圖3 （I）如圖1，當(dāng)點M、N邊AB、AC上，且DM=DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是； 此時； （II）如圖2，點M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DMDN時，猜想（I）問的兩個結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明； （III） 如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，若AN=，則Q= （用、L表示）． 分析：（1）如果，因為，那么，也就有，直角三角形MBD、NCD中，因為，根據(jù)HL定理，兩三角形全等。那么，三角形NCD中，，在三角形DNM中，，因此三角形DMN是個等邊三角形，因此，三角形AMN的周長，三角形ABC的周長，因此． （2）如果，我們可通過構(gòu)建全等三角形來實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換。延長AC至E，使，連接DE．（1）中我們已經(jīng)得出，那么三角形MBD和ECD中，有了一組直角，，因此兩三角形全等，那么，．三角形MDN和EDN中，有，有一條公共邊，因此兩三角形全等，至此我們把BM轉(zhuǎn)換成了CE，把MN轉(zhuǎn)換成了NE，因為，因此．Q與L的關(guān)系的求法同（1），得出的結(jié)果是一樣的。 （3）我們可通過構(gòu)建全等三角形來實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換，思路同（2）過D作，三角形BDM和CDH中，由（1）中已經(jīng)得出的，我們做的角，因此兩三角形全等（ASA）．那么，三角形MDN和NDH中，已知的條件有，一條公共邊ND，要想證得兩三角形全等就需要知道，因為，因此，因為，那么，因此，這樣就構(gòu)成了兩三角形全等的條件．三角形MDN和DNH就全等了．那么，三角形AMN的周長 ．因為，因此三角形AMN的周長． 解：（1）如圖1，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系：；此時． 圖 N M A D C B （2）猜想：結(jié)論仍然成立． 證明：如圖2，延長AC至E，使，連接DE ∵，且 ∴ 又是等邊三角形 E 圖 N M A D C B ∴ 在與中 H 圖 N M A D C B ∴（SAS） ∴，∴ 在與中 ∴（SAS） ∴ 故的周長 而等邊的周長 ∴ （3）如圖3，當(dāng)M、N分別在AB、CA的延長線上時，若，則（用x、L表示）． 點評：本題考查了三角形全等的判定及性質(zhì)；題目中線段的轉(zhuǎn)換都是根據(jù)全等三角形來實現(xiàn)的，當(dāng)題中沒有明顯的全等三角形時，我們要根據(jù)條件通過作輔助線來構(gòu)建于已知和所求條件相關(guān)的全等三角形。
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