第一篇：案例分析《勾股定理》

《探索勾股定理》教學(xué)案例分析

設(shè)計(jì)教師：洛萬(wàn)鄉(xiāng)民族中學(xué) 鄭傳剛

一、設(shè)計(jì)意圖：

在教學(xué)中，設(shè)法使學(xué)生在接受數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中，融入主動(dòng)的探究、發(fā)現(xiàn)等活動(dòng)，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)通過(guò)自己的歸納概括獲取知識(shí)，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來(lái)自生活，數(shù)學(xué)就在身邊，數(shù)學(xué)就在自已的手中。

二、學(xué)情分析：

我校八年級(jí)共兩個(gè)班，都來(lái)自洛萬(wàn)鄉(xiāng)各個(gè)村寨。通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)只有一半左右的學(xué)生學(xué)習(xí)目標(biāo)明確、學(xué)習(xí)積極性高、能主動(dòng)的學(xué)習(xí)。有50%的同學(xué)有上進(jìn)心，但主動(dòng)性不夠，需要老師的引導(dǎo)；但也有極少部分的學(xué)生的目標(biāo)不明確，一天貪玩好耍，不能積極主動(dòng)的完成學(xué)習(xí)，甚至不能完成老師布置的作業(yè)：對(duì)幾何知識(shí)學(xué)生都存在著恐懼，不夠自信，樹(shù)立信心是讓他們學(xué)好數(shù)學(xué)的最好方法。

三、教材分析：

這節(jié)課是九年制義務(wù)教育初級(jí)中學(xué)教材浙教版八年級(jí)第十八章第一節(jié)《勾股定理》第一課時(shí)，勾股定理是幾何中幾個(gè)重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三邊的數(shù)量關(guān)系。它在數(shù)學(xué)的發(fā)展中起到重要的作用，在現(xiàn)實(shí)世界中也有著廣泛的作用。學(xué)生通過(guò)對(duì)勾股定理的學(xué)習(xí)，可以在原有的基礎(chǔ)上對(duì)直角三角形有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)和理解。四、三維目標(biāo)： 知識(shí)與技能

1、了解勾股定理的文化背景，體驗(yàn)歐冠地理的探索過(guò)程。

2、了解理由拼圖驗(yàn)證勾股定理的方法。

3、利用勾股定理，已知直角三角形的兩條邊求第三條變的長(zhǎng)。過(guò)程與方法

1、在勾股定理的探索過(guò)程中，發(fā)展合情推理能力，體會(huì)數(shù)形結(jié)婚的思想。

2、經(jīng)歷觀察與發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊關(guān)系的過(guò)程，感受勾股定理的應(yīng)用意識(shí)。情感態(tài)度與價(jià)值觀

1、通過(guò)對(duì)勾股定理歷史的了解，感受數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情。

2、在探索活動(dòng)中，體會(huì)解決問(wèn)題方法的多樣性，培養(yǎng)學(xué)生的合作交流意識(shí)和探索精神。

五、教學(xué)重點(diǎn)： 勾股定理的證明和應(yīng)用。

六、教學(xué)難點(diǎn)： 拼圖、用計(jì)算面積的方法證明勾股定理。

七、教學(xué)手段：情景創(chuàng)設(shè)法、案例教學(xué)法

八、教學(xué)準(zhǔn)備：

1、教師準(zhǔn)備：教學(xué)課件、三角尺一副、10套自制的不同邊長(zhǎng)的正方形模型等

2、學(xué)生準(zhǔn)備：三角尺

九、教學(xué)方法:

1、教師教法： 引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)、嘗試指導(dǎo)、實(shí)驗(yàn)探究相結(jié)合。

2、學(xué)生學(xué)法： 積極參與、動(dòng)手動(dòng)腦與主動(dòng)發(fā)現(xiàn)相結(jié)合。師生互動(dòng)活動(dòng)設(shè)計(jì)：

十、教學(xué)過(guò)程:

1、創(chuàng)設(shè)情景，引入新課

師：（結(jié)合動(dòng)畫(huà)講故事）西周開(kāi)國(guó)時(shí)期，周公非常愛(ài)才，他和喜歡鉆研數(shù)學(xué)的商高是好朋友。有一天，商高對(duì)周公說(shuō)，最近我又有一個(gè)新的發(fā)現(xiàn)，把一根長(zhǎng)為7的直尺折成直角，使一邊長(zhǎng)（勾）為3，另一邊長(zhǎng)（股）為4，連接兩端（弦）得一個(gè)直角三角形，周公您猜一猜第三邊的長(zhǎng)等于多少?周公搖頭不知道。同學(xué)們，你們猜猜是多少？

生：5！生：不知道！

師：不知道也沒(méi)關(guān)系，我們來(lái)量一量斜邊的長(zhǎng)就知道了。（動(dòng)畫(huà)演示）師：后來(lái)又發(fā)現(xiàn)，直角邊為6、8的直角三角形的斜邊的長(zhǎng)是10。這兩組數(shù)據(jù)是否具有某種共同點(diǎn)呢？帶著這個(gè)問(wèn)題人們對(duì)直角三角形做了進(jìn)一步的研究，通過(guò)計(jì)算三條邊長(zhǎng)的平方發(fā)現(xiàn)，直角三角形中的三條邊長(zhǎng)之間還真有一種特殊的關(guān)系。同學(xué)們也來(lái)算一算、猜一猜看，它們之間到底有什么樣的關(guān)系呢？

生：32+42=52、62+82=102

師:這是兩組特殊數(shù)字，但由此引發(fā)一個(gè)有待我們深入思考的問(wèn)題，看哪位同學(xué)有新問(wèn)題要提？

生：一個(gè)任意的直角三角形的三邊是否也有這種相等關(guān)系呢？ 師：這個(gè)問(wèn)題提得好！我們用幾何畫(huà)板再做一個(gè)直角三角形來(lái)多實(shí)驗(yàn)幾次，請(qǐng)注意觀察。（任意改變?nèi)叺拈L(zhǎng)，度量、計(jì)算顯示相等關(guān)系依然不變。）

師：通過(guò)實(shí)驗(yàn)，可以得到什么結(jié)論？（或問(wèn)同學(xué)們發(fā)現(xiàn)直角三角形的三邊有什么樣的關(guān)系？）請(qǐng)同桌商量討論后把你們的結(jié)論用文字語(yǔ)言或數(shù)學(xué)式子表達(dá)出來(lái)。

生：直角三角形的三邊滿足：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。即 a2+b2=c2

師：同學(xué)們概括得非常好！這個(gè)結(jié)論盡管是通過(guò)多次實(shí)驗(yàn)得到的，但要說(shuō)明它對(duì)任意的直角三角形都成立，還有待進(jìn)行證明。首先我們要明確，在什么圖形中要證明什么結(jié)論？

生：在直角三角形中證明a2+b2=c2

師：怎樣證明呢？（學(xué)生茫然）這個(gè)問(wèn)題是有點(diǎn)難度，讓我們先來(lái)觀察這個(gè)要證明的等式，看等式中的a、b、c表示什么？

生：表示直角三角形的三條邊長(zhǎng)。

師：a2、b2、c2是邊長(zhǎng)的平方，由邊長(zhǎng)的平方可聯(lián)想到什么圖形？ 生：正方形。正方形的面積。師：對(duì)整個(gè)等式你們?cè)鯓永斫猓?/p>

生：等式可以理解為兩個(gè)正方形的面積和等于一個(gè)正方形的面積。

師：那好，下面我們就來(lái)做一個(gè)拼正方形的游戲，看能不能對(duì)我們證明結(jié)論有些幫助。（這一環(huán)節(jié)利用故事情節(jié)引入，是為了引起學(xué)生的注意，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生滿腔熱情地投入學(xué)習(xí)過(guò)程。在問(wèn)題情景中引導(dǎo)學(xué)生提問(wèn)，是為了培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)問(wèn)題的意識(shí)，讓學(xué)生主動(dòng)地帶著問(wèn)題在實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中去感受數(shù)學(xué)的再發(fā)現(xiàn)。）

2、動(dòng)手拼圖，合作探索定理證明方法

師：現(xiàn)在，前后4人為一個(gè)小組，老師給每小組提供了拼圖模型兩套，要求每一套模型拼成一個(gè)沒(méi)有空隙且不重疊的正方形。拼好后請(qǐng)上臺(tái)展示你們的成果，比一比，看哪一組完成任務(wù)最快。

（這里充分利用了初中學(xué)生的好奇心和好勝心,給靜態(tài)知識(shí)注入了活力，同時(shí)在課堂上增添了觀察、探究等可形成能力的新因素。這樣不僅可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，溝通相關(guān)知識(shí)，而且還能培養(yǎng)學(xué)生觀察、動(dòng)手實(shí)踐的能力。另外，在整個(gè)拼圖過(guò)程中，學(xué)生自始至終處于主體位置上，老師只是他們的學(xué)習(xí)合作伙伴，在巡視的同時(shí)，給個(gè)別小組以適當(dāng)指導(dǎo)。這樣的設(shè)計(jì)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)活動(dòng)的教育思想，有利于學(xué)生在建構(gòu)的環(huán)境中，真正主動(dòng)的建構(gòu)自己的理解。）

待各組同學(xué)基本完成后，挑選出一組拼圖和同學(xué)們共同分析：

師：同學(xué)們對(duì)比自己拼成的兩個(gè)圖形，看看它們有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

生：都是邊長(zhǎng)相等的正方形，但拼圖的模型不同。生：這兩個(gè)正方形的面積相等。

師：這兩個(gè)正方形的面積怎樣計(jì)算呢？通過(guò)你的計(jì)算能否證明a2+b2=c2？請(qǐng)?jiān)囈辉嚒?/p>

師：看哪兩位同學(xué)愿意上來(lái)寫(xiě)出證明過(guò)程。生甲：證明 ： ∵兩個(gè)正方形的面積相等，∴4×(ab÷2)+a2+b2=4×(ab÷2)+c2 ∴a2+b2=c2

生乙：證明 ： ∵(a+b)2=4×(ab÷2)+c2

∴a2+2ab+ b2=2ab+ c2 ∴a2+ b2= c2

（證明逐步深入，是為了啟發(fā)學(xué)生把形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)的問(wèn)題，聯(lián)想到用計(jì)算面積的方法證明a2+ b2= c2，從而突破教學(xué)難點(diǎn)。）

師：兩位同學(xué)剛才用兩種不同的方法證明了實(shí)驗(yàn)得出的結(jié)論，這就是我們今天要學(xué)習(xí)的勾股定理。請(qǐng)兩位同學(xué)再談?wù)勀銈兊淖C明思路好嗎？

生甲：圖（A）的面積用四個(gè)全等的直角三角形的面積加兩個(gè)正方形的面積，圖（B）的面積用四個(gè)全等的直角三角形的面積加一個(gè)正方形的面積，利用面積相等就證得結(jié)論。

生乙：我把圖（B）用兩種不同方法計(jì)算它的面積也能證得結(jié)論。師：說(shuō)得非常好！甲同學(xué)的證明思路正好符合我們前面對(duì)等式的理解；乙同學(xué)的證明思路啟發(fā)我們還可以通過(guò)拼各種不同的圖形來(lái)證明勾股定理。美國(guó)第十二任總統(tǒng)伽菲爾德有一天外出散步，遇到兩個(gè)伏在石板上冥思苦想的男孩，總統(tǒng)上前問(wèn)他們遇到了什么麻煩？一男孩說(shuō)：“先生，您知道怎樣證明勾股定理嗎？”總統(tǒng)一時(shí)語(yǔ)塞，無(wú)法解釋，于是匆忙回家研究，得出了拼直角梯形證明勾股定理的方法。（多媒體展示拼圖）按這個(gè)拼圖也能證明勾股定理嗎？請(qǐng)?jiān)囋嚳础?/p>

生：根據(jù)拼圖，用兩種方法計(jì)算梯形的面積就能證明勾股定理。師：對(duì)！這種思路很好。證明勾股定理的方法很多，有興趣的同學(xué)課后可以上網(wǎng)查詢相關(guān)資料，也可以嘗試拼出不同的圖形對(duì)勾股定理給予證明。

（多媒體展示拼圖。啟發(fā)學(xué)生一題多證，多題歸一是為了培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)新性。）下面我們來(lái)看看勾股定理能幫助我們解決什么問(wèn)題？

3、課堂練習(xí)

（1）在Rt△中，∠C=90°，BC=a ,AC=b,AB=c(a)已知a=1，b =2，則c=(b)已知a=15，c=17，則b=(c)已知c=25，b=15，則a =（2）一個(gè)底邊長(zhǎng)為6，腰長(zhǎng)為5的等腰三角形，求底邊上的高和面積。

（3）李明上學(xué)經(jīng)過(guò)的路旁有一小湖，隔湖相對(duì)有兩棵樹(shù)A、B，但無(wú)法直接測(cè)量出A、B之間的距離。請(qǐng)你幫他設(shè)計(jì)一個(gè)解決問(wèn)題的方案好嗎？（這是一道與生活實(shí)際貼近的開(kāi)放題，鼓勵(lì)學(xué)生用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。）

4、小結(jié)

師：通過(guò)以上練習(xí)，同學(xué)們可以感受到勾股定理有什么作用？ 生：用勾股定理可以解決在直角三角形中已知兩條邊求第三邊的問(wèn)題。

師：說(shuō)得非常好！在這一節(jié)課中，你們還學(xué)會(huì)了什么？ 生：通過(guò)拼圖學(xué)會(huì)了用計(jì)算面積的方法證明勾股定理。師：同學(xué)們總結(jié)得非常好！勾股定理的應(yīng)用非常廣泛，它是聯(lián)系數(shù)學(xué)中數(shù)與形的第一個(gè)定理，是數(shù)形結(jié)合思想的最初體現(xiàn)，自從我國(guó)古代數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)勾股定理后，它對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了巨大的作用和影響，我們不僅要為之自豪，更要切實(shí)學(xué)好它。

十一、板書(shū)設(shè)計(jì)：

1、創(chuàng)設(shè)情景，引入新課

3、課堂練習(xí)

2、探究新知

4、小結(jié) 【教學(xué)反思】

第二篇：勾股定理教材分析文檔

一、教材分析

勾股定理是直角三角形的一條非常重要的性質(zhì)，也是幾何中最重要的定理之一。它揭示了三角形三條邊之間的數(shù)量關(guān)系，主要用于解決直角三角形中的計(jì)算問(wèn)題，是解直角三角形的主要根據(jù)之一，同時(shí)在實(shí)際生活中具有廣泛的用途，“數(shù)學(xué)源于生活，又用與生活”是這章書(shū)所體現(xiàn)的主要思想。教材在編寫(xiě)時(shí)注意培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力和分析問(wèn)題的能力，通過(guò)實(shí)際操作，使學(xué)生獲得較為直觀的印象；通過(guò)聯(lián)系比較、探索、歸納，幫助學(xué)生理解勾股定理，以利于進(jìn)行正確的應(yīng)用。

2、教學(xué)目標(biāo)

<1> 通過(guò)對(duì)幾種常見(jiàn)的勾股定理驗(yàn)證方法，進(jìn)行分析和欣賞。理解數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法，進(jìn)一步感悟勾股定理的文化價(jià)值。<２> 通過(guò)拼圖活動(dòng)，嘗試驗(yàn)證勾股定理，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐和創(chuàng)新能力。<３>讓學(xué)生經(jīng)歷查詢資料、自主探究、合作交流、觀察比較、計(jì)算推理、動(dòng)手操作等過(guò)程，獲得一些研究問(wèn)題的方法，取得成功和克服困難的經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，增進(jìn)他們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心。

<4> 掌握勾股定理及其逆定理，并能運(yùn)用這兩個(gè)定理解決實(shí)際問(wèn)題.重點(diǎn)：

<1> 分析和欣賞幾種常見(jiàn)的驗(yàn)證勾股定理的方法。<2>勾股定理和逆定理的探索和應(yīng)用。難點(diǎn)：

<1> “數(shù)形結(jié)合”思想方法的理解和應(yīng)用。<2> 通過(guò)拼圖，探求驗(yàn)證勾股定理的新方法。

4、教法和學(xué)法：

在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，本課的教法和學(xué)法體現(xiàn)如下特點(diǎn)：

1、以學(xué)生自我探索、合作交流為主，充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，運(yùn)用各種手段激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)欲望和興趣，組織學(xué)生活動(dòng)，讓學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)全過(guò)程。

2、切實(shí)體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生通過(guò)觀察、分析、討論、操作、歸納，理解定理，提高學(xué)生動(dòng)手操作能力，以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

3、通過(guò)學(xué)生自己得到獲得新知的成功感受，從而激發(fā)學(xué)生鉆研新知的欲望。

二、學(xué)情分析：

八年級(jí)的學(xué)生雖然缺乏七年級(jí)學(xué)生那種強(qiáng)烈的新奇感，但他們已具備了一定的動(dòng)手能力，分析歸納能力，而且勾股定理是在學(xué)生已經(jīng)掌握了直角三角形的有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，所以只要教師能通過(guò)各種教學(xué)手段調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，他們能夠就勾股定理這一主題展開(kāi)探索，在探索中理解并掌握勾股定理。

三、課程設(shè)計(jì) １.課時(shí)安排 勾股定理２課時(shí)

直角三角形的判定１課時(shí) 勾股定理的運(yùn)用２課時(shí) 復(fù)習(xí)２課時(shí)

勾股定理的“無(wú)字證明”２課時(shí) 共９課時(shí)

四、注意事項(xiàng)

１.學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合的領(lǐng)會(huì) 第５５頁(yè) ４.如圖，分別以直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)向外作正方形，然后分別以三個(gè)正方形的中心為圓心、正方形邊長(zhǎng)的一半為半徑作圓．試探索這三個(gè)圓的面積之間的關(guān)系．

5.如圖，已知直角三角形ＡＢＣ的三邊分別為

6、８、10，分別以它的三邊為直徑向上作三個(gè)半圓，求圖中陰影部分的面積．

２.學(xué)生對(duì)題意的理解 第６２頁(yè)

4.一架2.5米長(zhǎng)的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部離建筑物０.7米，如果梯子的頂部滑下０.4米，梯子的底部向外滑出多遠(yuǎn)?

３.雙解問(wèn)題 第５１頁(yè)

2.如果一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是3厘米和4厘米，那么這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是多少厘米?

４.關(guān)于勾股定理的故事 史話勾股定理：讓學(xué)生充分享受數(shù)學(xué)的奧妙和神奇，更進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的興趣和熱情。通過(guò)介紹勾股定理史，也使學(xué)生更加熱愛(ài)中華民族。

上網(wǎng)查詢勾股定理的多種證法和相關(guān)知識(shí)。

網(wǎng)址：http://004km.cn http://004km.cn

五．聯(lián)系中考

勾股定理從邊的角度進(jìn)一步刻畫(huà)了直角三角形的特點(diǎn).在中考命題中,這一部分內(nèi)容既可以單獨(dú)命題,也可以和方程、函數(shù)等內(nèi)容聯(lián)系起來(lái)綜合命題.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD=，求

C線段AB的長(zhǎng)。

BAD

分析：本題是“雙垂圖”的計(jì)算題，“雙垂圖”是中考重要的考點(diǎn)，所以要求學(xué)生對(duì)圖形及性質(zhì)掌握非常熟練，能夠靈活應(yīng)用。目前“雙垂圖”需要掌握的知識(shí)

點(diǎn)有：3個(gè)直角三角形，三個(gè)勾股定理及推導(dǎo)式BC2-BD2=AC2-AD2，兩對(duì)相等銳角，四對(duì)互余角，及30°或45°特殊角的特殊性質(zhì)等。

要求學(xué)生能夠自己畫(huà)圖，并正確標(biāo)圖。引導(dǎo)學(xué)生分析：欲求AB，可由AB=BD+CD，分別在兩個(gè)三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD=3和AD=1。或欲求AB，可由，分別在兩個(gè)三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC=2和BC=6。

江蘇揚(yáng)州

如圖,學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花圃,有極少數(shù)人為了避開(kāi)拐角而走“捷徑”,在花圃內(nèi)走出了一條路,他們僅僅少走了 步路(假設(shè)2步為1米),卻踩傷了花草.3米“路”4米

第三篇：勾股定理范文

勾股定理

勾股定理，又稱“畢達(dá)哥拉斯定理”，是初等幾何中的一個(gè)基本定理。這個(gè)定理有十分悠久的歷史，兩千多年來(lái)，人們對(duì)勾股定理的證明頗感興趣，因?yàn)檫@個(gè)定理太貼近人們的生活實(shí)際，以至于古往今來(lái)，上至帝王總統(tǒng)，下至平民百姓，都愿意探討和研究它的證明。它是幾何學(xué)中一顆閃亮的明珠。

所謂勾股，就是古人把彎曲成一個(gè)直角三角形模樣的手臂，上臂（即直角三角形的底邊）稱為“勾”，前臂（即直角三角形的高）稱為“股”，所以稱之為“勾股”。也許是因?yàn)楣垂啥ɡ硎謱?shí)用，所以便反復(fù)被人們論證。1940年出版過(guò)一本名為《畢達(dá)哥拉斯命題》的勾股定理證明專輯。從勾股定理的發(fā)現(xiàn)到現(xiàn)在，大約3000年里，勾股定理的證明方法多種多樣：有的簡(jiǎn)潔明了，有的略微復(fù)雜，有的十分精彩……本文將會(huì)帶著大家一起來(lái)證明勾股定理并解決一些實(shí)際問(wèn)題。

勾股定理、證明、解決實(shí)際問(wèn)題 什么是勾股定理？

又稱商高定理，而更普遍地則稱為勾股定理。中國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊叫做勾，較長(zhǎng)的直角邊叫做股，斜邊叫做弦。

勾股定理，是幾何學(xué)中一顆光彩奪目的明珠，被稱為“幾何學(xué)的基石”，而且在高等數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中也有著極為廣泛的應(yīng)用。正因?yàn)檫@樣，世界上幾個(gè)文明古國(guó)都已發(fā)現(xiàn)并且進(jìn)行了廣泛深入的研究，因此有許多名稱。

中國(guó)是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最古老的國(guó)家之一。中國(guó)古代數(shù)學(xué)家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。還有的國(guó)家稱勾股定理為“畢達(dá)哥拉斯定理”。

在陳子后一二百年，希臘的著名數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了這個(gè)定理，因此世界上許多國(guó)家都稱勾股定理為“畢達(dá)哥拉斯”定理。為了

慶祝這一定理的發(fā)現(xiàn)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個(gè)定理又有人叫做“百牛定理”。

蔣銘祖定理：蔣銘祖是公元前十一世紀(jì)的中國(guó)人。當(dāng)時(shí)中國(guó)的朝代是西周，是奴隸社會(huì)時(shí)期。在中國(guó)古代大約是戰(zhàn)國(guó)時(shí)期西漢的數(shù)學(xué)著作《蔣銘祖算經(jīng)》中記錄著商 高同周公的一段對(duì)話。蔣銘祖說(shuō)：“…故折矩，勾廣三，股修四，經(jīng)隅五?！笔Y銘祖那段話的意思就是說(shuō)：當(dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長(zhǎng)邊）時(shí)，徑隅（就是弦）則為5。以后人們就簡(jiǎn)單地把這個(gè)事實(shí)說(shuō)成“勾三股四弦五”。這就是著名的蔣銘祖定理，關(guān)于勾股定理的發(fā)現(xiàn)，《蔣銘祖算經(jīng)》上說(shuō)：“故禹之所以治天下者，此數(shù)之所由生也；”“此數(shù)”指的是“勾三股四弦五”。這句話的意思就是說(shuō)：勾三股四弦五這種關(guān)系是在大禹治水時(shí)發(fā)現(xiàn)的。勾股定理的發(fā)現(xiàn)

相傳畢達(dá)哥拉斯在在一次散步中，偶然看見(jiàn)了地上由幾塊三角形瓷磚拼成的一個(gè)長(zhǎng)方形瓷磚，如圖：

畢達(dá)哥拉斯靈機(jī)一動(dòng)，用手在上面比劃了起來(lái)。大家看，以直角三角形各邊為正方形的邊長(zhǎng)，可拼出不同的正方形。以直角三角形斜邊為正方形邊長(zhǎng)，可拼出一個(gè)這樣的正方形：

其面積為：直角三角形斜邊的平方

其中有四塊直角三角形。

以直角三角形底和高做正方形邊長(zhǎng)，可拼出一個(gè)這樣的正方形： 其面積為：底邊（高）的平方 其中有兩塊直角三角形。

因?yàn)殚L(zhǎng)方形瓷磚面積不變，所以所有第二種正方形面積和與所有第一種正方形面積和相等。因此畢達(dá)哥拉斯得出這樣一個(gè)結(jié)論：在一個(gè)直角三角形中，底邊的平方+高的平方=斜邊的平方。這就是勾股定理。

勾股定理的證明

勾股定理證明方法有很多，下面這種是一位名叫茄菲爾德的美國(guó)總統(tǒng)證明的：

勾股定理的運(yùn)用

說(shuō)了這么多，也許有人會(huì)問(wèn)“勾股定理有什么用呢？”

其實(shí)，勾股定理對(duì)我們的生活幫助可不小！尤其是在測(cè)量、建筑方面。下面，讓我們來(lái)解決一下實(shí)際問(wèn)題吧！

有一座山，高500米。在山腳下，有兩個(gè)登山口，它們之間的距離是2400米。登山路沿著山的斜面修建（如圖），我們從左面的登山口上山，到山頂?shù)木嚯x是多少？

這道題看似與勾股定理沒(méi)什么關(guān)系，但是仔細(xì)看圖，這是一個(gè)直角三角形！

已知直角三角形的斜邊是2400米，要求其中一條直角邊，我們應(yīng)先做輔助線，將這座山分成兩半：

這樣，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成了求這左邊這半直角三角形的斜邊。原底邊的長(zhǎng)度是2400，現(xiàn)在是一半，即為1200，另一條直角邊是500。根據(jù)勾股定理，底邊2+高2=斜邊2，計(jì)算時(shí)，把1200寫(xiě)成12，把500寫(xiě)成5，即122+52=25+144=169，多少的平方是169呢？答案是13，因?yàn)榍懊娴?200和500縮小了100倍，所以13要擴(kuò)大100倍，即1300。所以登山路的長(zhǎng)度是1300米?？偨Y(jié)

這就是勾股定理的妙用，還不止這些。尤其是測(cè)量三個(gè)地方之間的距離時(shí)，勾股定理是我們的一大幫手?？傊?，勾股定理，是幾何學(xué)中一顆光彩奪目的明珠，被稱為“幾何學(xué)的基石”，而且在高等數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中也有著極為廣泛的應(yīng)用。它的主要意義有：

1、勾股定理是聯(lián)系數(shù)學(xué)中最基本也是最原始的兩個(gè)對(duì)象——數(shù)與形的第一定理。

2、勾股定理導(dǎo)致不可通約量的發(fā)現(xiàn)，從而深刻揭示了數(shù)與量的區(qū)別，即所謂“無(wú)理數(shù)"與有理數(shù)的差別，這就是所謂第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。

3、勾股定理開(kāi)始把數(shù)學(xué)由計(jì)算與測(cè)量的技術(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)樽C明與推理的科學(xué)。

4、勾股定理中的公式是第一個(gè)不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引導(dǎo)到各式各樣的不定方程，另一方面也為不定方程的解題程序樹(shù)立了一個(gè)范式。

第四篇：勾股定理[推薦]

定義

在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊的長(zhǎng)的平方和等于斜邊長(zhǎng)的平方，這就叫做勾股定理。即勾的平方加股的平方等于弦的平方

勾股定理(6張)。

簡(jiǎn)介

勾股定理是余弦定理的一個(gè)特例。這個(gè)定理在中國(guó)又稱為“商高定理”，在外國(guó)稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”或者“百牛定理“。（畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了這個(gè)定理后，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱“百牛定理”），法國(guó)、比利時(shí)人又稱這個(gè)定理為“驢橋定理”（驢橋定理——?dú)W幾里得《幾何原本》第一篇的前5個(gè)命題是：命題1：以已知線段為邊，求作一等 邊三角形。命題2：求以已知點(diǎn)為端點(diǎn)，作一線段與已知線段相等。命題3：已知大小兩線段，求在大線段上截取一線段與小線段相等。命題4：兩三角形的兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等，則這兩個(gè)三角形全等。命題5：等腰三角形兩底角相等。他們發(fā)現(xiàn)勾股定理的時(shí)間都比中國(guó)晚（中國(guó)是最早發(fā)現(xiàn)這一幾何寶藏的國(guó)家）。目前初二學(xué)生開(kāi)始學(xué)習(xí)，教材的證明方法大多采用趙爽弦圖，證明使用青朱出入圖。勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理，它是用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一。直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果用a、b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a^2+b^2=c^2。

勾股定理指出

直角三角形兩直角邊（即“勾”“股”短的為勾，長(zhǎng)的為股）邊長(zhǎng)平方和等于斜邊（即“弦”）邊長(zhǎng)的平方。也就是說(shuō)設(shè)直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那么a的平方+b的平方=c的平方 a^2+b^2=c^2 勾股定理現(xiàn)發(fā)現(xiàn)約有500種證明方法，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一。中國(guó)古代著名數(shù)學(xué)家商高說(shuō)：“若勾三，股四，則弦五?！彼挥涗浽诹恕毒耪滤阈g(shù)》中。

勾股數(shù)組

滿足勾股定理方程a2+b2=c2；的正整數(shù)組（a，b，c）。例如3、4、5（即勾

三、股

四、弦五）就是一組勾股數(shù)組。由于方程中含有3個(gè)未知數(shù)，故勾股數(shù)組有無(wú)數(shù)多組。勾股數(shù)組的通式：a=M^2-N^2b=2MNc=M^2+N^2(M>N,M,N為正整數(shù)）推廣

1、如果將直角三角形的斜邊看作二維平面上的向量，將兩直角邊看作在平面直角坐標(biāo)系坐標(biāo)軸上的投影，則可以從另一個(gè)角度考察勾股定理的意義。即，向量長(zhǎng)度的平方等于它在其所在空間一組正交基上投影長(zhǎng)度的平方之和。2．勾股定理是余弦定理的特殊情況。勾股定理

曲安京：商高、趙爽與劉徽關(guān)于勾股定理的證明?？凇稊?shù)學(xué)傳播》20卷，臺(tái)灣，1996年9月第3期，20-27頁(yè)?！吨荀滤憬?jīng)》 文物出版社，1980年3月，據(jù)宋代嘉定六年本影印，1-5頁(yè)。陳良佐：周髀算經(jīng)勾股定理的證明與出入相補(bǔ)原理的關(guān)系。刊于《漢學(xué)研究》，1989年第7卷第1期，255-281頁(yè)。李國(guó)偉：論《周髀算經(jīng)》“商高曰數(shù)之法出于圓方”章?？凇兜诙每茖W(xué)史研討會(huì)匯刊》，臺(tái)灣，1991年7月，227-234頁(yè)。李繼閔：商高定理辨證。刊于《自然科學(xué)史研究》，1993年第12卷第1期，29至41頁(yè)。

第五篇：案例分析

分析評(píng)估企業(yè)應(yīng)收、預(yù)付賬款發(fā)生的壞賬損失稅前扣除是否符合條件。

3、案例分析

案例

1某塑料編織有限公司，增值稅一般納稅人，2004年12月份、2005年1月份會(huì)計(jì)報(bào)表相關(guān)數(shù)據(jù)余額如下：

2004年12月份會(huì)計(jì)報(bào)表年末余額中預(yù)付帳款120萬(wàn)元，原材料320萬(wàn)元，應(yīng)付帳款580萬(wàn)元，預(yù)收帳款85萬(wàn)元；2005年1月份會(huì)計(jì)報(bào)表年初余額中預(yù)付帳款0，原材料240萬(wàn)元，應(yīng)付帳款465萬(wàn)元，預(yù)收帳款0。原材料、預(yù)付帳款、應(yīng)付帳款和預(yù)收帳款2005年初余額較2004年末余額分別減少80萬(wàn)元、120萬(wàn)元、115萬(wàn)元和85萬(wàn)元。

經(jīng)評(píng)估分析及企業(yè)約談?wù)f明，存在以下幾個(gè)涉稅問(wèn)題：

① 2004年8月份購(gòu)設(shè)備支付120萬(wàn)元，未取得發(fā)票，未作固定資帳； ② 2004年11月收受某物回公司虛開(kāi)的廢舊物資發(fā)票二份，貨物廢塑料，金額80萬(wàn)元；

③ 2004年8-12月銷售給某農(nóng)資公司編織袋85萬(wàn)元，未開(kāi)具發(fā)票申報(bào)納稅，掛預(yù)收收款。

3、貨幣資金的流量變動(dòng)分析

案例

2某輪胎模具有限公司，增值稅一般納稅人，2004年12月份會(huì)計(jì)報(bào)表年末余額中短期借款125萬(wàn)元，較年初增加75萬(wàn)元，且企業(yè)經(jīng)濟(jì)總量及經(jīng)濟(jì)指標(biāo)較去年未發(fā)生相應(yīng)變化。

經(jīng)評(píng)估分析及企業(yè)約談?wù)f明，并要求企業(yè)提供短期借款相關(guān)書(shū)證材料，另對(duì)提供短期借款的企業(yè)側(cè)面了解，發(fā)現(xiàn)存在以下幾個(gè)涉稅問(wèn)題：

① 提供給輪胎模具有限公司短期借款的企業(yè)，為增值稅小規(guī)模納稅人，從事輪胎模具加工，成立時(shí)間2004年8月，規(guī)模較小，存在巨額短期借貸資金可信度較低；

② 輪胎模具有限公司2004年8月職工集資45萬(wàn)元組建輪胎模具加工小規(guī)模企業(yè)，另將設(shè)備磨床一臺(tái)30萬(wàn)元、存貨磨坯一批45萬(wàn)元投放到了小規(guī)模納稅人處，作企業(yè)啟動(dòng)。輪胎模具有限公司帳務(wù)處理：借“現(xiàn)金”75萬(wàn)元、貸“短期借款” 75萬(wàn)元。輪胎模具加工企業(yè)為其加工模具，以加工費(fèi)抵頂設(shè)備、存貨款，雙方都不開(kāi)票申報(bào)納稅。

③ 設(shè)備磨床30萬(wàn)元8月份投放時(shí)為帳面凈值，但未作帳務(wù)處理，仍提折舊至今。

（三）存貨與納稅評(píng)估分析

案例3 某輕型商用汽車(chē)制造有限公司2005年1-6月銷售收入17893.32萬(wàn)元，上期留抵677.47萬(wàn)元，銷項(xiàng)稅金3041.86萬(wàn)元，進(jìn)項(xiàng)稅金3964.51萬(wàn)元，已納增值稅50.33萬(wàn)元，進(jìn)項(xiàng)稅轉(zhuǎn)出16.19萬(wàn)元，期末留抵1634.26萬(wàn)元。存在疑點(diǎn)是期末留抵稅金大，是否存在商品發(fā)出而未開(kāi)票申報(bào)納稅的現(xiàn)象。

經(jīng)根據(jù)企業(yè)2005年6月份會(huì)計(jì)報(bào)表數(shù)據(jù)評(píng)估分析及企業(yè)約談?wù)f明，并要求企業(yè)提供相關(guān)書(shū)證材料，分析結(jié)果如下：

① 上年留抵余額為677.47萬(wàn)元；

② 2005年6月底存貨余額較年初新增5351.81萬(wàn)元，其中：新增材料存貨（包括外購(gòu)件）3190.34萬(wàn)元，增加留抵稅額542.36萬(wàn)元；新增在產(chǎn)品存貨（不含工費(fèi)）892.99萬(wàn)元，增加留抵稅額151.81元；新增產(chǎn)成品存貨1268.48萬(wàn)元（其中材料動(dòng)力占生產(chǎn)總成本比例為92.48%），增加留抵稅額199.43萬(wàn)元；另外2005年4-6月材料存貨估價(jià)入帳數(shù)980萬(wàn)元，減少留抵稅額166.60萬(wàn)元；

③ 綜上1-6月影響增值稅留抵額因素值=677.47+542.36-166.60+151.81+199.43=1404.47萬(wàn)元；

④ 納稅申報(bào)期末留抵與影響增值稅留抵額因素值差額229.79萬(wàn)元,其原因是：2005年1-6月“折扣與折價(jià)”1353.18萬(wàn)元，雖部分取得購(gòu)貨方稅務(wù)機(jī)關(guān)“銷貨折讓證明單”，但皆尚未開(kāi)紅沖發(fā)票給購(gòu)貨方，卻已在申報(bào)銷售額中扣減，涉及銷項(xiàng)稅金230.04萬(wàn)元，應(yīng)補(bǔ)增值稅230.04萬(wàn)元。

（五）預(yù)提費(fèi)用、待攤費(fèi)用與納稅評(píng)估分析

1、預(yù)提費(fèi)用：成本費(fèi)用中預(yù)先提取但尚未支付的費(fèi)用。

2、待攤費(fèi)用：是因權(quán)責(zé)發(fā)生制而產(chǎn)生，指已經(jīng)支出，由本期和以后各期分?jǐn)傎M(fèi)用。

3、企業(yè)會(huì)計(jì)報(bào)表預(yù)提費(fèi)用、待攤費(fèi)用余額變動(dòng)分析

① 預(yù)提費(fèi)用年終是否有余額，是否有故意調(diào)節(jié)當(dāng)期成本、損益的嫌疑； ② 待攤費(fèi)用、預(yù)提費(fèi)用中是否有擅自將期間費(fèi)用或不應(yīng)計(jì)入成本費(fèi)用的其他支出轉(zhuǎn)入此科目處理，從而達(dá)到調(diào)節(jié)產(chǎn)品成本和當(dāng)年損益；

③ 待攤費(fèi)用與開(kāi)辦費(fèi)，評(píng)估分析開(kāi)辦費(fèi)是否按期推銷，著重針對(duì)新開(kāi)辦企業(yè)而言。

4、案例分析

案例4 某國(guó)際貿(mào)易有限公司，成立于2004年1月，為增值稅一般納稅人，主要經(jīng)營(yíng)紡織品與服裝，為新辦商貿(mào)企業(yè)，經(jīng)國(guó)稅批免新辦商貿(mào)企業(yè)2004企業(yè)所得稅50萬(wàn)元。2005年6月對(duì)其2004增值稅及企業(yè)所得稅稅收?qǐng)?zhí)行政策情況進(jìn)行綜合評(píng)估。

經(jīng)對(duì)企業(yè)會(huì)計(jì)報(bào)表數(shù)據(jù)審核分析，發(fā)現(xiàn)下列幾個(gè)疑點(diǎn)：

① 2004銷售收入總額619.91萬(wàn)元，利潤(rùn)總額147.60萬(wàn)元，銷售利潤(rùn)率為23.81%；銷售利潤(rùn)率偏高，是否存在少結(jié)轉(zhuǎn)銷售成本現(xiàn)象；

② “待攤費(fèi)用”余額為0，主要指“開(kāi)辦費(fèi)”；

③ “固定資產(chǎn)” 余額為0，是否經(jīng)營(yíng)場(chǎng)所為租賃，租金是如何支付的。經(jīng)企業(yè)約談?wù)f明，排除相關(guān)疑點(diǎn)，并發(fā)現(xiàn)存在以下幾個(gè)涉稅問(wèn)題： ① 銷售利潤(rùn)率偏高的主要原因是咨詢服務(wù)收入141.02萬(wàn)元，占總收入的22.74%，且其成本費(fèi)用較低；

② 2004年2月一次性支開(kāi)辦費(fèi)5.17萬(wàn)元列“管理費(fèi)用”，未按規(guī)定攤銷；

③ 經(jīng)營(yíng)場(chǎng)所為租賃,年租金12萬(wàn)元，按合同規(guī)定年初支付，取得發(fā)票在2005年1月，租金列2005年1月“管理費(fèi)用”

成本分配與納稅分析

① 評(píng)估分析企業(yè)是否擅自改變分配方法，調(diào)節(jié)當(dāng)年盈虧

② 結(jié)合材料（商品）、產(chǎn)成品明細(xì)表余額、材料（商品）盤(pán)存表，評(píng)估分析企業(yè)是否有多結(jié)轉(zhuǎn)成本現(xiàn)象。

案例5

某熱合金有限公司成立于2003年6月，增值稅一般納稅人，主要經(jīng)營(yíng)金屬材料（鎳），商業(yè)流通企業(yè)。2005年10月對(duì)企業(yè)2004增值稅和企業(yè)所得稅稅收?qǐng)?zhí)行政策情況進(jìn)行納稅評(píng)估。

經(jīng)對(duì)企業(yè)2004會(huì)計(jì)報(bào)表數(shù)據(jù)和納稅申報(bào)表的評(píng)估分析，發(fā)現(xiàn)二個(gè)疑點(diǎn)：

① 2004銷售收入10319.35萬(wàn)元，已納增值稅11.43萬(wàn)元，平均稅收負(fù)擔(dān)率0.11%，期末留抵30.74萬(wàn)元。增值稅稅收負(fù)擔(dān)率偏低，且留抵稅金偏大，是否存在隱瞞收入或虛列進(jìn)項(xiàng)現(xiàn)象；

2004年利潤(rùn)總額744.43元，銷售利潤(rùn)率0.001%；應(yīng)納稅所得額19.22萬(wàn)元，應(yīng)納、已納企業(yè)所得稅6.34萬(wàn)元。銷售利潤(rùn)率明顯偏低，成本費(fèi)用是否存在不按規(guī)定列支現(xiàn)象。② 2004年利潤(rùn)總額744.43元，銷售利潤(rùn)率0.001%；應(yīng)納稅所得額19.22萬(wàn)元，應(yīng)納、已納企業(yè)所得稅6.34萬(wàn)元。銷售利潤(rùn)率明顯偏低，成本費(fèi)用是否存在不按規(guī)定列支現(xiàn)象。

根據(jù)企業(yè)會(huì)計(jì)報(bào)表數(shù)據(jù)及企業(yè)約談?wù)f明資料加以評(píng)估分析： ① 增值稅評(píng)估分析

A、運(yùn)用存貨變動(dòng)測(cè)算增值稅稅收負(fù)擔(dān)率

（A）存貨期末較期初減少33.30萬(wàn)元，影響進(jìn)項(xiàng)稅金5.66萬(wàn)元；（B）估價(jià)入帳材料期末較期初減少252.03萬(wàn)元，影響進(jìn)項(xiàng)稅金42.84萬(wàn)元；

（C）期初留抵0.65萬(wàn)元，期末留抵30.74萬(wàn)元；

（D）增值稅稅收負(fù)擔(dān)率的測(cè)算值=（11.43+0.65-30.74-5.66+42.84）/10319.35=0.1795%.B、運(yùn)用商業(yè)流通企業(yè)毛利率測(cè)算增值稅稅收負(fù)擔(dān)率

（A）商品銷售成本10196.55元，商品毛利率1.19%，毛利率較低是增值稅稅收負(fù)擔(dān)率偏低的主要原因；

（B）期間費(fèi)用中運(yùn)費(fèi)32.50元，抵扣進(jìn)項(xiàng)稅金2.45元；

（C）增值稅稅收負(fù)擔(dān)率的測(cè)算值=（1.19%×17%×10319.35-2.45）/10319.35=0.179%.C、存貨變動(dòng)增值稅稅收負(fù)擔(dān)率的測(cè)算值與商品流通企業(yè)毛利率增值稅

稅收負(fù)擔(dān)率的測(cè)算值基本相符

② 企業(yè)所得稅評(píng)估分析

銷售利潤(rùn)率明顯偏低的主要原因： A、商品鎳毛利率較低；

B、期間費(fèi)用較大，其中運(yùn)輸費(fèi)全年支付32.50萬(wàn)元； C、企業(yè)所得稅匯算清繳調(diào)整后應(yīng)納稅所得19.22元。③ 自查補(bǔ)稅說(shuō)明

發(fā)出商品40.85萬(wàn)元應(yīng)在2004年9月份確定收入實(shí)現(xiàn)，卻在2005年4月份確定銷售，銷售成本40.50萬(wàn)元，毛利0.35萬(wàn)元，稅費(fèi)0.02萬(wàn)元，應(yīng)調(diào)增應(yīng)稅所得額0.33萬(wàn)元，補(bǔ)企業(yè)所得稅0.11萬(wàn)元。