第一篇：高考數(shù)學(xué)考點歸納 垂直與平行問題

高考網(wǎng)http://004km.cn 高考數(shù)學(xué)考點歸納 垂直與平行問題

垂直與平行是高考的重點內(nèi)容之一，考查內(nèi)容靈活多樣.本節(jié)主要幫助考生深刻理解線面平行與垂直、面面平行與垂直的判定與性質(zhì)，并能利用它們解決一些問題.●難點磁場

(★★★★)已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，A1C1=B1C1=2，D、D1分別是AB、A1B1的中點，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，異面直線AB1和C1B互相垂直.(1)求證：AB1⊥C1D1；(2)求證：AB1⊥面A1CD；

(3)若AB1=3，求直線AC與平面A1CD所成的角.●案例探究

［例1］兩個全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求證：MN∥平面BCE.命題意圖：本題主要考查線面平行的判定，面面平行的判定與性質(zhì)，以及一些平面幾何的知識，屬★★★★級題目.知識依托：解決本題的關(guān)鍵在于找出面內(nèi)的一條直線和該平面外的一條直線平行，即線(內(nèi))∥線(外)?線(外)∥面.或轉(zhuǎn)化為證兩個平面平行.錯解分析：證法二中要證線面平行，通過轉(zhuǎn)化證兩個平面平行，正確的找出MN所在平面是一個關(guān)鍵.技巧與方法：證法一利用線面平行的判定來證明.證法二采用轉(zhuǎn)化思想，通過證面面平行來證線面平行.證法一：作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q為垂足，則MP∥AB，NQ∥AB.∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF，∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45° ∴Rt△MCP≌Rt△NBQ

∴MP=NQ,故四邊形MPQN為平行四邊形 ∴MN∥PQ

∵PQ?平面BCE，MN在平面BCE外，∴MN∥平面BCE.證法二：如圖過M作MH⊥AB于H，則MH∥BC，∴

AMAH ?ACABFNAH ?BFAB京翰教育http://004km.cn/ 連結(jié)NH，由BF=AC，F(xiàn)N=AM，得

高考網(wǎng)http://004km.cn

∴MN∥平面BCE.［例2］在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，側(cè)面BB1C1C⊥底面ABC.(1)若D是BC的中點，求證：AD⊥CC1；

(2)過側(cè)面BB1C1C的對角線BC1的平面交側(cè)棱于M，若AM=MA1，求證：截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C；

(3)AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要條件嗎？請你敘述判斷理由.命題意圖：本題主要考查線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)，屬★★★★★級題目.知識依托：線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì).錯解分析：(3)的結(jié)論在證必要性時，輔助線要重新作出.技巧與方法：本題屬于知識組合題類，關(guān)鍵在于對題目中條件的思考與分析，掌握做此類題目的一般技巧與方法，以及如何巧妙作輔助線.(1)證明：∵AB=AC，D是BC的中點，∴AD⊥BC ∵底面ABC⊥平面BB1C1C，∴AD⊥側(cè)面BB1C1C ∴AD⊥CC1.(2)證明：延長B1A1與BM交于N，連結(jié)C1N ∵AM=MA1，∴NA1=A1B1

∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1 ∴C1N⊥C1B1

∵底面NB1C1⊥側(cè)面BB1C1C，∴C1N⊥側(cè)面BB1C1C ∴截面C1NB⊥側(cè)面BB1C1C ∴截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C.(3)解：結(jié)論是肯定的，充分性已由(2)證明，下面證必要性.過M作ME⊥BC1于E，∵截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C ∴ME⊥側(cè)面BB1C1C，又∵AD⊥側(cè)面BB1C1C.∴ME∥AD，∴M、E、D、A共面 ∵AM∥側(cè)面BB1C1C，∴AM∥DE ∵CC1⊥AM，∴DE∥CC1

∵D是BC的中點，∴E是BC1的中點

∴AM=DE=CC1?121AA1，∴AM=MA1.2●錦囊妙計

垂直和平行涉及題目的解決方法須熟練掌握兩類相互轉(zhuǎn)化關(guān)系： 1.平行轉(zhuǎn)化

2.垂直轉(zhuǎn)化

每一垂直或平行的判定就是從某一垂直或平行開始轉(zhuǎn)向另一垂直或平行最終達到目的.例如：有兩個平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進

京翰教育http://004km.cn/

高考網(wǎng)http://004km.cn 一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.●殲滅難點訓(xùn)練

一、選擇題

1.(★★★★)在長方體ABCD—A1B1C1D1中，底面是邊長為2的正方形，高為4，則點A1到截面AB1D1的距離是（）A.8 B.3 8

C.4 3

D.42.(★★★★)在直二面角α—l—β中，直線a?α,直線b?β,a、b與l斜交，則（）A.a不和b垂直，但可能a∥b

B.a可能和b垂直，也可能a∥b C.a不和b垂直，a也不和b平行

D.a不和b平行，但可能a⊥b

二、填空題

3.(★★★★★)設(shè)X、Y、Z是空間不同的直線或平面，對下面四種情形，使“X⊥Z且Y⊥Z?X∥Y”為真命題的是_________(填序號).①X、Y、Z是直線

②X、Y是直線，Z是平面

③Z是直線，X、Y是平面

④X、Y、Z是平面 4.(★★★★)設(shè)a,b是異面直線，下列命題正確的是_________.①過不在a、b上的一點P一定可以作一條直線和a、b都相交 ②過不在a、b上的一點P一定可以作一個平面和a、b都垂直 ③過a一定可以作一個平面與b垂直 ④過a一定可以作一個平面與b平行

三、解答題

5.(★★★★)如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PA垂直于底面，E、F分別是AB、PC的中點.(1)求證：CD⊥PD;(2)求證：EF∥平面PAD;(3)當(dāng)平面PCD與平面ABCD成多大角時，直線EF⊥平面PCD？

6.(★★★★)如圖，在正三棱錐A—BCD中，∠BAC=30°，AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分別交AB、BD、DC、CA于點E、F、G、H.(1)判定四邊形EFGH的形狀，并說明理由.(2)設(shè)P是棱AD上的點，當(dāng)AP為何值時，平面PBC⊥平面EFGH，請給出證明.7.(★★★★)如圖，正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱長都相等，D、E分別是CC1和AB1的中點，點F在BC

京翰教育http://004km.cn/

高考網(wǎng)http://004km.cn 上且滿足BF∶FC=1∶3.(1)若M為AB中點，求證：BB1∥平面EFM；(2)求證：EF⊥BC；

(3)求二面角A1—B1D—C1的大小.8.(★★★★★)如圖，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形且∠C1CB= ∠C1CD=∠BCD=60°,(1)證明：C1C⊥BD；

(2)假定CD=2，CC1=(3)當(dāng)3，記面C1BD為α,面CBD為β,求二面角α—BD—β的平面角的余弦值； 2CD的值為多少時，可使A1C⊥面C1BD？ CC1

參考答案

難點磁場

1.(1)證明：∵A1C1=B1C1，D1是A1B1的中點，∴C1D1⊥A1B1于D1，又∵平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，∴C1D1⊥平面A1B1BA，而AB1?平面A1ABB1，∴AB1⊥C1D1.(2)證明：連結(jié)D1D，∵D是AB中點，∴DD

1CC1，∴C1D1∥CD，由(1)得CD⊥AB1，又∵C1D1⊥平面A1ABB1，C1B⊥AB1，由三垂線定理得BD1⊥AB1，又∵A1D∥D1B，∴AB1⊥A1D而CD∩A1D=D，∴AB1⊥平面A1CD.(3)解：由(2)AB1⊥平面A1CD于O，連結(jié)CO1得∠ACO為直線AC與平面A1CD所成的角，∵AB1=3，AC=A1C1=2，∴AO=1，∴sinOCA=∴∠OCA=AO1?，AC2?.6殲滅難點訓(xùn)練

一、1.解析：如圖，設(shè)A1C1∩B1D1=O1，∵B1D1⊥A1O1，B1D1⊥AA1，∴B1D1⊥平面AA1O1，故平面AA1O1⊥AB1D1，交線為AO1，在面AA1O1內(nèi)過A1作A1H⊥AO1于H，則易知A1H長即是點A1到平面AB1D1的距離，在Rt△A1O1A中，A1O1=2，AO1=32，由A1O1·A1A=h·AO1,可得A1H=

4.3京翰教育http://004km.cn/

高考網(wǎng)http://004km.cn

答案：C

2.解析：如圖，在l上任取一點P，過P分別在α、β內(nèi)作a′∥a,b′∥b,在a′上任取一點A，過A作AC⊥l，垂足為C，則AC⊥β,過C作CB⊥b′交b′于B，連AB，由三垂線定理知AB⊥b′，∴△APB為直角三角形,故∠APB為銳角.答案：C

二、3.解析：①是假命題，直線X、Y、Z位于正方體的三條共點棱時為反例，②③是真命題，④是假命題，平面X、Y、Z位于正方體的三個共點側(cè)面時為反例.答案：②③ 4.④

三、5.證明：(1)∵PA⊥底面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD內(nèi)的射影，∵CD?平面ABCD且CD⊥AD，∴CD⊥PD.(2)取CD中點G，連EG、FG，∵E、F分別是AB、PC的中點，∴EG∥AD，F(xiàn)G∥PD ∴平面EFG∥平面PAD，故EF∥平面PAD

(3）解：當(dāng)平面PCD與平面ABCD成45°角時，直線EF⊥面PCD

證明：G為CD中點，則EG⊥CD,由(1)知FG⊥CD，故∠EGF為平面PCD與平面ABCD所成二面角的平面角.即∠EGF=45°，從而得∠ADP=45°，AD=AP

由Rt△PAE≌Rt△CBE,得PE=CE

又F是PC的中點，∴EF⊥PC，由CD⊥EG，CD⊥FG，得CD⊥平面EFG，CD⊥EF即EF⊥CD，故EF⊥平面PCD.6.(1)證明：

同理EF∥FG，∴EFGH是平行四邊形

∵A—BCD是正三棱錐，∴A在底面上的射影O是△BCD的中心，∴DO⊥BC，∴AD⊥BC，∴HG⊥EH，四邊形EFGH是矩形.(2)作CP⊥AD于P點，連結(jié)BP，∵AD⊥BC，∴AD⊥面BCP

∵HG∥AD，∴HG⊥面BCP，HG?面EFGH.面BCP⊥面EFGH，京翰教育http://004km.cn/

高考網(wǎng)http://004km.cn

3a.27.(1)證明：連結(jié)EM、MF，∵M、E分別是正三棱柱的棱AB和AB1的中點，∴BB1∥ME，又BB1?平面EFM，∴BB1∥平面EFM.(2)證明：取BC的中點N，連結(jié)AN由正三棱柱得：AN⊥BC，又BF∶FC=1∶3，∴F是BN的中點，故MF∥AN，∴MF⊥BC，而BC⊥BB1，BB1∥ME.∴ME⊥BC，由于MF∩ME=M，∴BC⊥平面EFM，又EF平面EFM，∴BC⊥EF.(3)解：取B1C1的中點O，連結(jié)A1O知，A1O⊥面BCC1B1，由點O作B1D的垂線OQ，垂足為Q，連結(jié)A1Q，在Rt△APC中，∠CAP=30°，AC=a,∴AP=由三垂線定理，A1Q⊥B1D，故∠A1QD為二面角A1—B1D—C的平面角，易得∠A1QO=arctan15.8.(1)證明：連結(jié)A1C1、AC，AC和BD交于點O，連結(jié)C1O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC=CD

又∵∠BCC1=∠DCC1，C1C是公共邊，∴△C1BC≌△C1DC，∴C1B=C1D ∵DO=OB，∴C1O⊥BD，但AC⊥BD，AC∩C1O=O ∴BD⊥平面AC1，又C1C?平面AC1，∴C1C⊥BD.(2)解：由(1)知AC⊥BD，C1O⊥BD，∴∠C1OC是二面角α—BD—β的平面角.33313，∠BCC1=60°，∴C1B2=22+()2－2×2××cos60°=.222413∵∠OCB=30°,∴OB=,BC=1,C1O=,即C1O=C1C.2233作C1H⊥OC，垂足為H，則H是OC中點且OH=，∴cosC1OC=

23在△C1BC中，BC=2，C1C=(3)解：由(1)知BD⊥平面AC1，∵A1O?平面AC1，∴BD⊥A1C，當(dāng)菱形，同理可證BC1⊥A1C，又∵BD∩BC1=B，∴A1C⊥平面C1BD.CD=1時，平行六面體的六個面是全等的CC1京翰教育http://004km.cn/

第二篇：高考數(shù)學(xué)重點難點26 垂直與平行

高中數(shù)學(xué)難點26 垂直與平行

垂直與平行是高考的重點內(nèi)容之一，考查內(nèi)容靈活多樣.本節(jié)主要幫助考生深刻理解線面平行與垂直、面面平行與垂直的判定與性質(zhì)，并能利用它們解決一些問題.●難點磁場

(★★★★)已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，A1C1=B1C1=2，D、D1分別是AB、A1B1的中點，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，異面直線AB1和C1B互相垂直.(1)求證：AB1⊥C1D1；(2)求證：AB1⊥面A1CD；

(3)若AB1=3，求直線AC與平面A1CD所成的角

●案例探究

［例1］兩個全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求證：MN∥平面BCE.命題意圖：本題主要考查線面平行的判定，面面平行的判定與性質(zhì)，以及一些平面幾何的知識，屬★★★★級題目.知識依托：解決本題的關(guān)鍵在于找出面內(nèi)的一條直線和該平面外的一條直線平行，即線(內(nèi))∥線(外)?線(外)∥面.或轉(zhuǎn)化為證兩個平面平行.錯解分析：證法二中要證線面平行，通過轉(zhuǎn)化證兩個平面平行，正確的找出MN所在平面是一個關(guān)鍵.技巧與方法：證法一利用線面平行的判定來證明.證法二采用轉(zhuǎn)化思想，通過證面面平行來證線面平行.證法一：作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q為垂足，則MP∥AB，NQ∥AB.∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF，∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45° ∴Rt△MCP≌Rt△NBQ

∴MP=NQ,故四邊形MPQN為平行四邊形 ∴MN∥PQ

∵PQ?平面BCE，MN在平面BCE外，∴MN∥平面BCE.證法二：如圖過M作MH⊥AB于H，則MH∥BC，∴AMAH ?ACABFNAH ?BFAB連結(jié)NH，由BF=AC，F(xiàn)N=AM，得

∴MN∥平面BCE.［例2］在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，側(cè)面BB1C1C⊥底面ABC.(1)若D是BC的中點，求證：AD⊥CC1；

(2)過側(cè)面BB1C1C的對角線BC1的平面交側(cè)棱于M，若AM=MA1，求證：截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C；

(3)AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要條件嗎？請你敘述判斷理由.命題意圖：本題主要考查線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)，屬★★★★★級題目.知識依托：線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì).錯解分析：(3)的結(jié)論在證必要性時，輔助線要重新作出.技巧與方法：本題屬于知識組合題類，關(guān)鍵在于對題目中條件的思考與分析，掌握做此類題目的一般技巧與方法，以及如何巧妙作輔助線.(1)證明：∵AB=AC，D是BC的中點，∴AD⊥BC ∵底面ABC⊥平面BB1C1C，∴AD⊥側(cè)面BB1C1C ∴AD⊥CC1.(2)證明：延長B1A1與BM交于N，連結(jié)C1N ∵AM=MA1，∴NA1=A1B1

∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1 ∴C1N⊥C1B1

∵底面NB1C1⊥側(cè)面BB1C1C，∴C1N⊥側(cè)面BB1C1C ∴截面C1NB⊥側(cè)面BB1C1C ∴截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C.(3)解：結(jié)論是肯定的，充分性已由(2)證明，下面證必要性.過M作ME⊥BC1于E，∵截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C ∴ME⊥側(cè)面BB1C1C，又∵AD⊥側(cè)面BB1C1C.∴ME∥AD，∴M、E、D、A共面 ∵AM∥側(cè)面BB1C1C，∴AM∥DE ∵CC1⊥AM，∴DE∥CC1

∵D是BC的中點，∴E是BC1的中點

11∴AM=DE=CC1?AA1，∴AM=MA1.22●錦囊妙計

垂直和平行涉及題目的解決方法須熟練掌握兩類相互轉(zhuǎn)化關(guān)系： 1.平行轉(zhuǎn)化

2.垂直轉(zhuǎn)化

每一垂直或平行的判定就是從某一垂直或平行開始轉(zhuǎn)向另一垂直或平行最終達到目的.例如：有兩個平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.●殲滅難點訓(xùn)練

一、選擇題

1.(★★★★)在長方體ABCD—A1B1C1D1中，底面是邊長為2的正方形，高為4，則點A1到截面AB1D1的距離是（）83

43B.C.D.38342.(★★★★)在直二面角α—l—β中，直線a?α,直線b?β,a、b與l斜交，則（）A.a不和b垂直，但可能a∥b

B.a可能和b垂直，也可能a∥b C.a不和b垂直，a也不和b平行

D.a不和b平行，但可能a⊥b

二、填空題

3.(★★★★★)設(shè)X、Y、Z是空間不同的直線或平面，對下面四種情形，使“X⊥Z且Y⊥Z?X∥Y”為真命題的是_________(填序號).①X、Y、Z是直線

②X、Y是直線，Z是平面

③Z是直線，X、Y是平面

④X、Y、Z是平面

4.(★★★★)設(shè)a,b是異面直線，下列命題正確的是_________.①過不在a、b上的一點P一定可以作一條直線和a、b都相交 ②過不在a、b上的一點P一定可以作一個平面和a、b都垂直 ③過a一定可以作一個平面與b垂直 ④過a一定可以作一個平面與b平行

三、解答題

5.(★★★★)如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PA垂直于底面，E、F分別是AB、PC的中點.(1)求證：CD⊥PD;(2)求證：EF∥平面PAD;(3)當(dāng)平面PCD與平面ABCD成多大角時，直線EF⊥平面PCD？ A.6.(★★★★)如圖，在正三棱錐A—BCD中，∠BAC=30°，AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分別交AB、BD、DC、CA于點E、F、G、H.(1)判定四邊形EFGH的形狀，并說明理由.(2)設(shè)P是棱AD上的點，當(dāng)AP為何值時，平面PBC⊥平面EFGH，請給出證明.7.(★★★★)如圖，正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱長都相等，D、E分別是CC1和AB1的中點，點F在BC上且滿足BF∶FC=1∶3.(1)若M為AB中點，求證：BB1∥平面EFM；(2)求證：EF⊥BC；

(3)求二面角A1—B1D—C1的大小.8.(★★★★★)如圖，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形且∠C1CB= ∠C1CD=∠BCD=60°,(1)證明：C1C⊥BD；

(2)假定CD=2，CC1=的余弦值；

(3)當(dāng)

3，記面C1BD為α,面CBD為β,求二面角α—BD—β的平面角2CD的值為多少時，可使A1C⊥面C1BD？ CC1

參考答案

難點磁場

1.(1)證明：∵A1C1=B1C1，D1是A1B1的中點，∴C1D1⊥A1B1于D1，又∵平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，∴C1D1⊥平面A1B1BA，而AB1?平面A1ABB1，∴AB1⊥C1D1.(2)證明：連結(jié)D1D，∵D是AB中點，∴DD

1CC1，∴C1D1∥CD，由(1)得CD⊥AB1，又∵C1D1⊥平面A1ABB1，C1B⊥AB1，由三垂線定理得BD1⊥AB1，又∵A1D∥D1B，∴AB1⊥A1D而CD∩A1D=D，∴AB1⊥平面A1CD.(3)解：由(2)AB1⊥平面A1CD于O，連結(jié)CO1得∠ACO為直線AC與平面A1CD所成的

角，∵AB1=3，AC=A1C1=2，∴AO=1，∴sinOCA=∴∠OCA=

AO1?，AC2?.6殲滅難點訓(xùn)練

一、1.解析：如圖，設(shè)A1C1∩B1D1=O1，∵B1D1⊥A1O1，B1D1⊥AA1，∴B1D1⊥平面AA1O1，故平面AA1O1⊥AB1D1，交線為AO1，在面AA1O1內(nèi)過A1作A1H⊥AO1于H，則易知A1H長即是點A1到平面AB1D1的距離，在Rt△A1O1A中，A1O1=2，AO1=32，由A1O1·A1A=h·AO1,可得A1H=4.3

答案：C

2.解析：如圖，在l上任取一點P，過P分別在α、β內(nèi)作a′∥a,b′∥b,在a′上任取一點A，過A作AC⊥l，垂足為C，則AC⊥β,過C作CB⊥b′交b′于B，連AB，由三垂線定理知AB⊥b′，∴△APB為直角三角形,故∠APB為銳角.答案：C

二、3.解析：①是假命題，直線X、Y、Z位于正方體的三條共點棱時為反例，②③是真命題，④是假命題，平面X、Y、Z位于正方體的三個共點側(cè)面時為反例.答案：②③ 4.④

三、5.證明：(1)∵PA⊥底面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD內(nèi)的射影，∵CD?平面ABCD且CD⊥AD，∴CD⊥PD.(2)取CD中點G，連EG、FG，∵E、F分別是AB、PC的中點，∴EG∥AD，F(xiàn)G∥PD ∴平面EFG∥平面PAD，故EF∥平面PAD

(3）解：當(dāng)平面PCD與平面ABCD成45°角時，直線EF⊥面PCD 證明：G為CD中點，則EG⊥CD,由(1)知FG⊥CD，故∠EGF為平面PCD與平面ABCD所成二面角的平面角.即∠EGF=45°，從而得∠ADP=45°，AD=AP

由Rt△PAE≌Rt△CBE,得PE=CE

又F是PC的中點，∴EF⊥PC，由CD⊥EG，CD⊥FG，得CD⊥平面EFG，CD⊥EF即EF⊥CD，故EF⊥平面PCD.6.(1)證明：

同理EF∥FG，∴EFGH是平行四邊形

∵A—BCD是正三棱錐，∴A在底面上的射影O是△BCD的中心，∴DO⊥BC，∴AD⊥BC，∴HG⊥EH，四邊形EFGH是矩形.(2)作CP⊥AD于P點，連結(jié)BP，∵AD⊥BC，∴AD⊥面BCP

∵HG∥AD，∴HG⊥面BCP，HG?面EFGH.面BCP⊥面EFGH，3a.27.(1)證明：連結(jié)EM、MF，∵M、E分別是正三棱柱的棱AB和AB1的中點，∴BB1∥ME，又BB1?平面EFM，∴BB1∥平面EFM.(2)證明：取BC的中點N，連結(jié)AN由正三棱柱得：AN⊥BC，又BF∶FC=1∶3，∴F是BN的中點，故MF∥AN，∴MF⊥BC，而BC⊥BB1，BB1∥ME.∴ME⊥BC，由于MF∩ME=M，∴BC⊥平面EFM，又EF平面EFM，∴BC⊥EF.(3)解：取B1C1的中點O，連結(jié)A1O知，A1O⊥面BCC1B1，由點O作B1D的垂線OQ，垂足為Q，連結(jié)A1Q，由三垂線定理，A1Q⊥B1D，故∠A1QD為二面角A1—B1D—C的平面在Rt△APC中，∠CAP=30°，AC=a,∴AP=角，易得∠A1QO=arctan15.8.(1)證明：連結(jié)A1C1、AC，AC和BD交于點O，連結(jié)C1O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC=CD

又∵∠BCC1=∠DCC1，C1C是公共邊，∴△C1BC≌△C1DC，∴C1B=C1D ∵DO=OB，∴C1O⊥BD，但AC⊥BD，AC∩C1O=O ∴BD⊥平面AC1，又C1C?平面AC1，∴C1C⊥BD.(2)解：由(1)知AC⊥BD，C1O⊥BD，∴∠C1OC是二面角α—BD—β的平面角.在△C1BC中，BC=2，C1C==

333，∠BCC1=60°，∴C1B2=22+()2－2×2××cos60°22213.4∵∠OCB=30°,∴OB=

13,BC=1,C1O=,即C1O=C1C.2233，∴cosC1OC= 23CD=1時，平行六面CC1作C1H⊥OC，垂足為H，則H是OC中點且OH=(3)解：由(1)知BD⊥平面AC1，∵A1O?平面AC1，∴BD⊥A1C，當(dāng)體的六個面是全等的菱形，同理可證BC1⊥A1C，又∵BD∩BC1=B，∴A1C⊥平面C1BD.

第三篇：四年級數(shù)學(xué)《平行與垂直》教案設(shè)計

四年級數(shù)學(xué)《平行與垂直》教案設(shè)計

教學(xué)目標: 1.使學(xué)生通過探究活動知道在同一個平面內(nèi)兩條直線存在著相交、平行的位置關(guān)系，掌握平行、垂直的概念。2.能正確判斷在同一個平面內(nèi)兩線之間的關(guān)系。

3.通過合作交流，使學(xué)生獨立思考能力與合作精神得到和諧發(fā)展。

4.培養(yǎng)學(xué)生學(xué)以致用的習(xí)慣，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用與美感，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強自信心。教學(xué)重難點：

在自主探索中，理解平行與垂直的概念。教學(xué)準備：課件、直尺、三角板。教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

1.親愛的孩子們，你們最喜歡玩什么游戲？在玩游戲的時候，請你們注意觀察你扔出的筷子會是什么情形？開始吧。2.你們知道嗎？在這個游戲中存在著許多的數(shù)學(xué)知識？這節(jié)課，老師想和同學(xué)們一起來把他找出來，好嗎？

3.（課件出示）扔筷子的情境圖，讓學(xué)生找出哪種情形是在同一平面內(nèi)？

4.這節(jié)課，老師就和同學(xué)們一起來研究在同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系。5.板書:在同一平面內(nèi)

二、新課講授 1.學(xué)生畫直線。

（1）請同學(xué)們拿出一張白紙，閉上眼睛想象一下，把白紙無限擴大。然后，出現(xiàn)一條直線，再出現(xiàn)另一條直線。好，請把眼睛睜開，把你剛想到的兩條直線畫在白紙上，只畫一種情況，開始吧。

（2）巡視學(xué)生畫直線情況，張貼不同情形于黑板。2.小組探索學(xué)習(xí)。

（1）同學(xué)們的想象力可真豐富，畫了這么多的情形。老師把這些作品編上號碼。（2）請四人小組討論一下，你們按什么標準把這些作品進行分類？怎樣分？（3）四人小組討論。

（4）學(xué)生匯報交流，并上臺嘗試分類。（5）板書:相交不相交

3.揭示“互相平行”的概念。

（1）請問你們對哪一號作品產(chǎn)生疑問？（2）（課件出示）你是怎樣知道的？

（3）小結(jié):這種看似相交，實際不相交的情形，在判斷的時候，要注意把它延長后再判斷。

（4）（課件出示）這種情形相交嗎？延長后，相交了嗎？（沒有）再延長，相交嗎？（沒有）無限延長，相交了嗎？（沒有）

（5）像這種情形，在數(shù)學(xué)中叫做什么？（6）板書:互相平行

（7）讓學(xué)生試著說出完整的概念。（課件出示）

（8）請同學(xué)們小聲地讀一讀，找出哪些是重點詞語？并想想有什么疑問需要跟大家研究一下。5.揭示“互相垂直”的概念。

（1）我們再來看看相交的情形，你們發(fā)現(xiàn)了什么？（課件出示）

（2）板書:成直角、不成直角

（3）哪些是成直角？哪些是不成直角？在黑板上進行分類。（4）成直角的這種情形在數(shù)學(xué)上叫做什么？（5）板書:互相垂直

（6）用完整的話說出來。（課件出示）

6.小結(jié):判斷兩條直線是否平行或垂直，必須滿足兩個條件。請說一說。

三、鞏固練習(xí)1.擺一擺。

（1）請先擺一根藍色的小棒，再擺一根綠色的小棒與藍色的小棒平行，然后再擺一根藍色的小棒與綠色的小棒平行，觀察一下兩根藍色的小棒，你發(fā)現(xiàn)了什么？（2）請先擺一根藍色的小棒，再擺一根綠色的小棒與藍色的小棒平行，然后再擺一根藍色的小棒與綠色的小棒垂直，觀察一下兩根藍色的小棒，你發(fā)現(xiàn)了什么？ 2.找一找。

（1）在生活中，垂直與平行就在我們的身邊，來，我們一起到操場去找一找。（課件出示）

（2）孩子們，平時可要加強鍛煉身體，只有加強鍛煉身體，才能有強健的體魄。3.摘蘋果。（課件出示）4.判斷。（課件出示）

下面的說法對嗎？對的打“√”，錯的打“×”。（1）不相交的兩條直線叫平行線。（）（2）如圖:直線a叫做垂線。（）（3）如圖:直線b叫做平行線。（）

5.分小組在教室中找出平行與垂直的例子，并記錄下來。四：課堂小結(jié)

提問：今天你有什么收獲？

小結(jié)：通過剛才的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道了同一平面內(nèi)兩條直線間有兩種關(guān)系：一種是相交，一種是不相交。同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，也可以說這兩條直線互相平行；如果兩條直線相交成直角，那么這兩條直線互相垂直。

板書設(shè)計：

在同一平面內(nèi)平行 垂直

第四篇：四年級數(shù)學(xué)平行與垂直教案

四年級數(shù)學(xué)教案—《垂直與平行》教學(xué)設(shè)計

【教學(xué)內(nèi)容】義務(wù)教育課程標準實驗教科書四年級上冊第64~65頁內(nèi)容

【教學(xué)目標】

1、使學(xué)生通過探究活動知道在同一個平面內(nèi)兩條直線存在著相交、平行的位置關(guān)系，掌握垂直、平行的概念。

2、能正確判斷在同一個平面內(nèi)兩線之間的關(guān)系。

3、通過合作交流，使學(xué)生獨立思考能力與合作精神得到和諧發(fā)展。

4、培養(yǎng)學(xué)生學(xué)以致用的習(xí)慣，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用與美感，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、增強自信心。

【教學(xué)重難點】

在自主探索中，理解垂直與平行的概念。

【教學(xué)準備】

課件、直尺、三角板

【教學(xué)過程】

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新知。

`

1、親愛的孩子們，你們最喜歡玩什么游戲？在玩游戲的時候，請你們注意觀察你扔出的筷子會是什么情形？開始吧。

2、你們知道嗎？在這個游戲中存在著許多的數(shù)學(xué)知識？這節(jié)課，老師想和同學(xué)們一起來把他找出來，好嗎？

3、（課件出示）扔筷子的情境圖，讓學(xué)生找出哪種情形是在同一平面內(nèi)？

4、這節(jié)課，老師就和同學(xué)們一起來研究在同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系。

5、板：在同一平面內(nèi)

二、動手實踐，感悟新知。

1、學(xué)生畫直線。

（1）請同學(xué)們拿出一張白紙，閉上眼睛想象一下，把白紙無限擴大。然后，出現(xiàn)一條直線，再出現(xiàn)另一條直線。好，請把眼睛睜開，把你剛想到的兩條直線畫在白紙上，只畫一種情況，開始吧。

（2）巡視學(xué)生畫直線情況，張貼不同情形于黑板。

2、小組探索學(xué)習(xí)。

（1）同學(xué)們的想象力可真豐富，畫了這么多的情形。老師把這些作品編上號碼。

（2）請四人小組討論一下，你們按什么標準把這些作品進行分類？怎樣分？

（3）四人小組討論。

（4）學(xué)生匯報交流，并上臺嘗試分類。

（5）板：相交不相交

3、揭示“互相平行”的概念。

（1）請問你們對哪一號作品產(chǎn)生疑問？

（2）（課件出示）：你是怎樣知道的？

（3）小結(jié)：這種看似相交，實際不相交的情形，在判斷的時候，要注意把它延長后再判斷。

（4）（課件出示）：這種情形相交嗎？延長后，相交了嗎？（沒有）再延長，相

交嗎？（沒有）無限延長，相交了嗎？（沒有）

（5）象這種情形，在數(shù)學(xué)叫做什么？

（6）板：互相平行

（7）讓學(xué)生試著說出完整的概念。（課件出示）

（8）請同學(xué)們小聲地讀一讀，找出哪些是重點詞語？并想想有什么疑問需要跟大家研究一下。

4、練習(xí)。（課件出示）

判斷下面哪組直線互相平行？在下面的（）里打在“√”。

（）（）（）

5、揭示“互相垂直”的概念。

（1）我們再來看看相交的情形，你們發(fā)現(xiàn)了什么？（課件出示）

（2）板：成直角不成直角

（3）哪些是成直角？哪些是不成直角？在黑板進行分類。

（4）成直角的這種情形在數(shù)學(xué)上叫做什么？

（5）板：互相垂直

（6）用完整的話說出來。（課件出示）

6、練習(xí)。（課件出示）

判斷下面哪組直線互相平行？在下面的（）里打在“√”。

（）（）（）

7、小結(jié)：判斷兩條直線是否平行或垂直，必須滿足兩個條件。請說一說。

8、出示課題。（垂直與平行）

三、聯(lián)系生活，鞏固新知。

1、擺一擺。

（1）請先擺一根藍色的小棒，再擺一根綠色的小棒與藍色的小棒平行，然后再擺一根藍色的小棒與綠色的小棒平行，觀察一下兩根藍色的小棒，你發(fā)現(xiàn)了什么？

（2）請先擺一根藍色的小棒，再擺一根綠色的小棒與藍色的小棒平行，然后再擺一根藍色的小棒與綠色的小棒垂直，觀察一下兩根藍色的小棒，你發(fā)現(xiàn)了什么？

2、找一找。

（1）在生活中，垂直與平行就在我們的身邊，來，我們一起到操場去找一找。（課件出示）

（2）孩子們，平時可要加強鍛煉身體，只有加強鍛煉身體，才能有強健的體魄。

3、摘蘋果。（課件出示）

4、判斷。（課件出示）

下面的說法對嗎？對的打“√”，錯的打“×”。

（1）不相交的兩條直線叫平行線。（）

（2）┐如圖：直線A叫做垂線。（）

（3）如圖：直線b叫做平行線。（）

5、分小組在課室中找出平行與垂直的例子，并記錄下來。

四、回顧新知，總結(jié)交流。

1、現(xiàn)在我們一起回顧這節(jié)課所學(xué)過的內(nèi)容。（課件出示）

2、在這節(jié)課里，你知道了什么知識？請與大家分享一下你的收獲。

五、欣賞新知、拓展延伸。

1、生活中平行與垂直的現(xiàn)象隨處可見，它裝點著我們美麗的世界，請大家隨著音樂欣賞重直與平行為我們的生活帶來的美。（課件出示）

2、請畫出平行作品的同學(xué)先離開教室，再請畫出相交作品的同學(xué)離開

第五篇：數(shù)學(xué)試講教案《垂直與平行》

數(shù)學(xué)試講教案|《垂直與平行》

歡迎來到福建教師招考信息網(wǎng)，福建中公教育考試網(wǎng)提供真實可靠的福建教師招聘、教師資格證考試最新資訊，包括招考公告、考錄進程、考試培訓(xùn)、面試輔導(dǎo)、資料下載等。我們在福建教師招考信息網(wǎng)等著你回來。

小編推薦>>> 教師考試面試備考指導(dǎo)|13個學(xué)科教案【匯總篇】（按住ctrl點擊查看）

一、教學(xué)目標 【知識與技能】

明晰同一平面兩條直線的兩種特殊位置關(guān)系：垂直、平行，初步認識垂線和平行線?！具^程與方法】

通過演示—觀察—操作—交流—驗證—解釋應(yīng)用的過程，發(fā)展空間觀念，滲透猜想與驗證的思想方法?！厩楦袘B(tài)度與價值觀】

體會數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，能對生活中簡單物體間位置關(guān)系和現(xiàn)象作出初步解釋，學(xué)生養(yǎng)成自主探究的良好學(xué)習(xí)方式。

二、教學(xué)重難點 【重點】

正確理解“同一平面”、“相交”、“互相平行”、“互相垂直”等概念，發(fā)展學(xué)生的空間想象能力?！倦y點】

相交現(xiàn)象的正確理解，尤其是對看似不相交而實際上是相交現(xiàn)象的理解。

三、教學(xué)過程(一)導(dǎo)入新課

請同學(xué)們觀察多媒體展示的體育器材雙杠、圓規(guī)等，我們可以把它們看成是兩條直線，這兩條直線有著這樣的位置關(guān)系呢? 設(shè)置懸念引發(fā)學(xué)生思考，從而揭示課題-垂直與平行。(二)生成新知 1.擺一擺：

老師事先為大家準備好的兩根小棒，請在桌面上擺一擺，看一下可以擺出幾種不同的位置關(guān)系。2.畫一畫：把一張白紙看作一個平面，將剛剛擺的幾種情形分別畫在白紙上。

3.分一分：小組討論將畫的圖形進行分類整理。教師收集學(xué)生的不同作品，分別展示在黑板上。4.說一說：學(xué)生匯報所展示圖形的分類理由。根據(jù)學(xué)生的分類，給出“相交”和“不相交”的區(qū)別。

1不相交：無論怎么延伸都不會相交，得出在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線，也可以說這兩條直線互相平行。用手指比劃一下，弄清“同一平面”的含義，并用自己的語言說一說“互相平行”。

提問：兩根小棒互相平行，如果拿走其中一根小棒，只剩另一根小棒時，叫平行線嗎?讓學(xué)生更深入地理解“互相”的含義。

2相交：引導(dǎo)學(xué)生仔細觀察另一類圖片，它們相交成了角，在這些相交的情況中，哪種最特殊?你是怎么知道的? 引導(dǎo)學(xué)生用三角板量一量驗證結(jié)論，發(fā)現(xiàn)有時候兩條直線相交成直角，從而引出“互相垂直”、“垂線”、“垂足”等數(shù)學(xué)概念。

(三)深化新知

師：大家思考一下平面內(nèi)的垂直關(guān)系與兩條直線所放置的方向有關(guān)嗎? 生：兩條直線是否互相垂直關(guān)鍵在與看它們相交所成的角是否為直角，與兩條直線放置的方向沒有關(guān)系。

師：大家注意平行的定義是從相交的對立面來定義的。有時候兩條直線的位置關(guān)系看上去并沒有相交，但是將其延長之后可以相交，這種情況不能定義為兩條直線互相平行，注意兩直線平行是指無論怎么延伸都不會相交。

(四)應(yīng)用新知 1.說一說

找出課程開始前出示的多媒體課件中，哪些是互相平行?哪些互相垂直?從而驗證開課時的設(shè)疑、猜想。2.找一找

生活中有哪些平行或垂直的例子。3.擺一擺

1把兩根小棒都擺成和第三根小棒平行，看一看這兩根小棒平行了嗎? 2把兩根小棒都擺成和第三根小棒垂直，這兩根小棒有什么關(guān)系? 4.看一看

下面的各組直線，哪組互相平行?哪組互相垂直?檢驗一下? 5.折一折

①把一張長方形紙折兩次，使三條折痕互相平行。②把一張正方形紙折兩次，使兩條折痕互相垂直。(五)課堂小結(jié)

師：今天收獲了哪些知識?能談?wù)勀愕氖斋@嗎?還有哪些疑問?課后完成做一做。

四、板書設(shè)計

五、教學(xué)反思

查看更多教案，推薦您閱讀：教師考試面試備考指導(dǎo)|13個學(xué)科教案【匯總篇】（按住ctrl點擊查看）