第一篇：塞瓦定理證明

塞瓦定理

在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，直線AO、BO、CO分別交對(duì)邊于D、E、F，則(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1證法簡介

（Ⅰ）本題可利用梅涅勞斯定理證明：

∵△ADC被直線BOE所截，∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ①

而由△ABD被直線COF所截，∴(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1

（Ⅱ）也可以利用面積關(guān)系證明

∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③

同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤

③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

利用塞瓦定理證明三角形三條高線必交于一點(diǎn):

設(shè)三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F，根據(jù)塞瓦定理逆定理，因?yàn)?AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點(diǎn)。

可用塞瓦定理證明的其他定理;

三角形三條中線交于一點(diǎn)（重心）:如圖5 D , E分別為BC , AC 中點(diǎn) 所以BD=DC AE=EC 所以BD/DC=1 CE/EA=1

且因?yàn)锳F=BF 所以 AF/FB必等于1，所以三角形三條中線交于一點(diǎn)，即為內(nèi)心

用賽瓦定理還可以證明三條角平分線交于一點(diǎn)

此外，可用定比分點(diǎn)來定義塞瓦定理：

在△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上分別取L、M、N三點(diǎn)，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三線交于一點(diǎn)的充要條件是λμν=1。（注意與梅涅勞斯定理相區(qū)分，那里是λμν=-1

第二篇：正弦定理證明

正弦定理證明1.三角形的正弦定理證明： 步驟1.在銳角△ABC中，設(shè)三邊為a，b，c。作CH⊥AB垂足為點(diǎn)H CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到

a/sinA=b/sinB 同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC 步驟2.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如圖，任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是直角,所以∠DAB=90度 因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R a/SinA=BC/SinD=BD=2R 類似可證其余兩個(gè)等式。2.三角形的余弦定理證明：平面幾何證法： 在任意△ABC中 做AD⊥BC.∠C所對(duì)的邊為c，∠B所對(duì)的邊為b，∠A所對(duì)的邊為a 則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根據(jù)勾股定理可得： AC^2=AD^2+DC^2 b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2 b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2 b^2=c^2+a^2-2ac*cosB cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac 3 在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b 則c^2=a^2+b^2-2ab*cosC a^2=b^2+c^2-2bc*cosA b^2=a^2+c^2-2ac*cosB 下面在銳角△中證明第一個(gè)等式，在鈍角△中證明以此類推。過A作AD⊥BC于D，則BD+CD=a 由勾股定理得：

c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2 所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2 =(a-CD)^2-(CD)^2+b^2 =a^2-2a*CD +(CD)^2-(CD)^2+b^2 =a^2+b^2-2a*CD 因?yàn)閏osC=CD/b 所以CD=b*cosC 所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC 題目中^2表示平方。2 談?wù)?、余弦定理的多種證法 聊城二中 魏清泉

正、余弦定理是解三角形強(qiáng)有力的工具，關(guān)于這兩個(gè)定理有好幾種不同的證明方法.人教A版教材《數(shù)學(xué)》(必修5)是用向量的數(shù)量積給出證明的，如是在證明正弦定理時(shí)用到作輔助單位向量并對(duì)向量的等式作同一向量的數(shù)量積，這種構(gòu)思方法過于獨(dú)特，不易被初學(xué)者接受.本文試圖通過運(yùn)用多種方法證明正、余弦定理從而進(jìn)一步理解正、余弦定理，進(jìn)一步體會(huì)向量的巧妙應(yīng)用和數(shù)學(xué)中“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合.定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,則(1)(正弦定理)= =;(2)(余弦定理)c2=a2+b2-2abcos C, b2=a2+c2-2accos B, a2=b2+c2-2bccos A.一、正弦定理的證明

證法一：如圖1，設(shè)AD、BE、CF分別是△ABC的三條高。則有 AD=b?sin∠BCA，BE=c?sin∠CAB，CF=a?sin∠ABC。

所以S△ABC=a?b?csin∠BCA =b?c?sin∠CAB =c?a?sin∠ABC.證法二：如圖1，設(shè)AD、BE、CF分別是△ABC的3條高。則有 AD=b?sin∠BCA=c?sin∠ABC，BE=a?sin∠BCA=c?sin∠CAB。證法三：如圖2，設(shè)CD=2r是△ABC的外接圓 的直徑，則∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。

證法四：如圖3，設(shè)單位向量j與向量AC垂直。因?yàn)锳B=AC+CB，所以j?AB=j?(AC+CB)=j?AC+j?CB.因?yàn)閖?AC=0，j?CB=| j ||CB|cos(90°-∠C)=a?sinC，j?AB=| j ||AB|cos(90°-∠A)=c?sinA.二、余弦定理的證明

法一：在△ABC中，已知，求c。

第三篇：正弦定理證明

正弦定理

1.在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，且等于其外接圓半徑的兩倍，即

abc???2R sinAsinBsinC

證明：如圖所示，過B點(diǎn)作圓的直徑BD交圓于D點(diǎn)，連結(jié)AD BD=2R, 則 D=C，?DAB?90 在Rt?ABD中 ?A ?sinC?sinD??c 2RD

b c c?2R sinCab同理：?2R,?2R

sinAsinBabc所以???2R

sinAsinBsinC2.變式結(jié)論

1）a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC 2）sinA?C

a

B abc ,sinB?,sinC?2R2R2R3）asinB?bsinA,asinC?csinA,csinB?bsinC 4）a:b:c?sinA:sinB:sinC

例題

在?ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c，若(3b?c)cosA?acosC，求cosA的值.解：由正弦定理 a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC得

(3sinB?sinC)cosA?sinAcosC

?3sinBcosA?sin(A?C)?sin(A?C)?sinB?3sinBcosA?sinB?B?(0,?)?0?sinB?1?cosA?33

第四篇：幾何證明定理

幾何證明定理

一.直線與平面平行的(判定)

1.判定定理.平面外一條直線如果平行于平面內(nèi)的一條直線,那么這條直線與這個(gè)平面平行.2.應(yīng)用:反證法(證明直線不平行于平面)

二.平面與平面平行的(判定)

1.判定定理:一個(gè)平面上兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行

2.關(guān)鍵：判定兩個(gè)平面是否有公共點(diǎn)

三.直線與平面平行的(性質(zhì))

1.性質(zhì)：一條直線與一個(gè)平面平行，則過該直線的任一與此平面的交線與該直線平行2.應(yīng)用：過這條直線做一個(gè)平面與已知平面相交，那么交線平行于這條直線

四.平面與平面平行的(性質(zhì))

1.性質(zhì)：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么他們的交線平行

2.應(yīng)用：通過做與兩個(gè)平行平面都相交的平面得到交線，實(shí)現(xiàn)線線平行

五：直線與平面垂直的(定理)

1.判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直

2.應(yīng)用：如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)所有的直線(線面垂直→線線垂直)

六.平面與平面的垂直(定理)

1.一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直

(或者做二面角判定)

2.應(yīng)用:在其中一個(gè)平面內(nèi)找到或做出另一個(gè)平面的垂線,即實(shí)現(xiàn)線面垂直證面面垂直的轉(zhuǎn)換

七.平面與平面垂直的(性質(zhì))

1.性質(zhì)一:垂直于同一個(gè)平面的兩條垂線平行

2.性質(zhì)二:如果兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直

3.性質(zhì)三:如果兩個(gè)平面互相垂直,那么經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面內(nèi)的直線,在第一個(gè)平面內(nèi)(性質(zhì)三沒什么用,可以不用記)

以上,是立體幾何的定理和性質(zhì)整理.是一定要記住的基本！

31推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

32等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和高互相重合33推論3等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°34等腰三角形的判定定理如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(等角對(duì)等邊)

35推論1三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形

36推論2有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

37在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半

38直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半

39定理線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等

40逆定理和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上

41線段的垂直平分線可看作和線段兩端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合42定理1關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形

43定理2如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線

44定理3兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長線相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上

45逆定理如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱

46勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即a+b=c

47勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a、b、c有關(guān)系a+b=c，那么這個(gè)三角形是直角三角形

48定理四邊形的內(nèi)角和等于360°

49四邊形的外角和等于360°

50多邊形內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角的和等于(n-2)×180°

51推論任意多邊的外角和等于360°

52平行四邊形性質(zhì)定理1平行四邊形的對(duì)角相等

53平行四邊形性質(zhì)定理2平行四邊形的對(duì)邊相等

54推論夾在兩條平行線間的平行線段相等

55平行四邊形性質(zhì)定理3平行四邊形的對(duì)角線互相平分

56平行四邊形判定定理1兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形

57平行四邊形判定定理2兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形

58平行四邊形判定定理3對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

59平行四邊形判定定理4一組對(duì)邊平行相等的四邊形是平行四邊形

60矩形性質(zhì)定理1矩形的四個(gè)角都是直角

61矩形性質(zhì)定理2矩形的對(duì)角線相等

62矩形判定定理1有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。

第五篇：數(shù)學(xué)定理證明

一．基本定理： 1．（極限或連續(xù)）局部保號(hào)性定理（進(jìn)而證明保序性定理）2．局部有界性定理． 3．拉格朗日中值定理．

4．可微的一元函數(shù)取得極值的必要條件． 5．可積函數(shù)的變上限積分函數(shù)的連續(xù)性． 6．牛頓——萊布尼茨公式．

7．多元函數(shù)可微的必要條件（連續(xù)，可導(dǎo)）． 8．可微的二元函數(shù)取得極值的必要條件． 9．格林定理．

10．正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件：其部分和數(shù)列有界． 11．冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂性的阿貝爾定理． 12．（數(shù)學(xué)三、四）利潤取得最大值的必要條件是邊際成本與邊際收入相等． 二．基本方法：

1．等價(jià)無窮小替換：若x?a時(shí)，有?(x)~?(x)，試證明lim?(x)f(x)?lim?(x)f(x)。

x?a

x?a

2．微元法：若f(x)是區(qū)間[a,b]（a?0）上非負(fù)連續(xù)函數(shù)，試證明曲邊梯形D??(x,y)a?x?b,0?y?f(x)? 繞 軸旋轉(zhuǎn)，所得的體積為V?2?

?

ba

xf(x)dx。

3．常數(shù)變易法：若P(x)和Q(x)是連續(xù)函數(shù)，試證明微分方程y??P(x)y?Q(x)的通解為

?P(x)dx?y?e?C?

??

?

?Q(x)e

P(x)dx

?dx。??

三．一些反例也是很重要的：

1．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)不一定是連續(xù)函數(shù)。反例是：函數(shù)點(diǎn)不連續(xù)。

2．f?(a)?0，但不一定存在x?a點(diǎn)某個(gè)鄰域使函數(shù)f(x)在該鄰域內(nèi)單調(diào)增加。反例是：函數(shù)

1?

?x?100x2sin,f(x)??x

?0,?

x?0, x?0,1?2

?xsin,f(x)??x

?0,?

x?0,在x?0點(diǎn)可導(dǎo)，但f?(x)x?0,在x?0

3．多元函數(shù)可（偏）導(dǎo)點(diǎn)處不一定連續(xù)。反例是：函數(shù)

xy?,?2

f(x,y)??x?y2

?0,?

(x,y)?(0,0),(x,y)?(0,0),4．多元函數(shù)在不可（偏）導(dǎo)點(diǎn)處，方向?qū)?shù)不一定不存在。反例是：函數(shù) f(x,y)?處兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)都不存在，但是函數(shù)在在(0,0)點(diǎn)處沿任一方向的方向?qū)?shù)都存在。

an?1an

?

x?y

在(0,0)點(diǎn)

?

5．?1，既不是正項(xiàng)級(jí)數(shù)?an收斂的充分條件，也不是它收斂的必要條件。反例一，正項(xiàng)級(jí)數(shù)?

n?1

n?1

?

n

1n

滿

足

an?1an

?1但不收斂。反例二，正項(xiàng)級(jí)數(shù)?

n?1

5?3(?1)

n

不滿足

an?1an

?a2n?

?，但是它是收斂的。?2?1?1? ?a?

?2n?1?