第一篇：高中幾何證明定理

高中幾何證明定理

一.直線與平面平行的(判定)

1.判定定理.平面外一條直線如果平行于平面內(nèi)的一條直線,那么這條直線與這個平面平行.2.應用:反證法(證明直線不平行于平面)

二.平面與平面平行的(判定)

1.判定定理:一個平面上兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行

2.關(guān)鍵：判定兩個平面是否有公共點

三.直線與平面平行的(性質(zhì))

1.性質(zhì)：一條直線與一個平面平行，則過該直線的任一與此平面的交線與該直線平行2.應用：過這條直線做一個平面與已知平面相交，那么交線平行于這條直線

四.平面與平面平行的(性質(zhì))

1.性質(zhì)：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么他們的交線平行

2.應用：通過做與兩個平行平面都相交的平面得到交線，實現(xiàn)線線平行

五：直線與平面垂直的(定理)

1.判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直

2.應用：如果一條直線與一個平面垂直，那么這條直線垂直于這個平面內(nèi)所有的直線(線面垂直→線線垂直)

六.平面與平面的垂直(定理)

1.一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直

(或者做二面角判定)

2.應用:在其中一個平面內(nèi)找到或做出另一個平面的垂線,即實現(xiàn)線面垂直證面面垂直的轉(zhuǎn)換

七.平面與平面垂直的(性質(zhì))

1.性質(zhì)一:垂直于同一個平面的兩條垂線平行

2.性質(zhì)二:如果兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直

3.性質(zhì)三:如果兩個平面互相垂直,那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)的一點垂直于第二個平面內(nèi)的直線,在第一個平面內(nèi)(性質(zhì)三沒什么用,可以不用記)

以上,是立體幾何的定理和性質(zhì)整理.是一定要記住的基本!。

想要變-態(tài)的這里多的是--

歐拉定理&歐拉線&歐拉公式(不一樣)

九點圓定理

葛爾剛點

費馬定理(費馬點(也叫做費爾馬點))

海倫-公式

共角比例定理

張角定理

帕斯卡定理

曼海姆定理

卡諾定理

芬斯勒-哈德維格不等式(幾何的)

外森匹克不等式(同上)

琴生不等式(同上)

塞瓦定理

梅涅勞斯定理

斯坦納定理

托勒密定理

分角線定理(與角分線定理不同)

斯特瓦爾特定理

切點弦定理

西姆松定理。

第二篇：幾何證明定理

幾何證明定理

一.直線與平面平行的(判定)

1.判定定理.平面外一條直線如果平行于平面內(nèi)的一條直線,那么這條直線與這個平面平行.2.應用:反證法(證明直線不平行于平面)

二.平面與平面平行的(判定)

1.判定定理:一個平面上兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行

2.關(guān)鍵：判定兩個平面是否有公共點

三.直線與平面平行的(性質(zhì))

1.性質(zhì)：一條直線與一個平面平行，則過該直線的任一與此平面的交線與該直線平行2.應用：過這條直線做一個平面與已知平面相交，那么交線平行于這條直線

四.平面與平面平行的(性質(zhì))

1.性質(zhì)：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么他們的交線平行

2.應用：通過做與兩個平行平面都相交的平面得到交線，實現(xiàn)線線平行

五：直線與平面垂直的(定理)

1.判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直

2.應用：如果一條直線與一個平面垂直，那么這條直線垂直于這個平面內(nèi)所有的直線(線面垂直→線線垂直)

六.平面與平面的垂直(定理)

1.一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直

(或者做二面角判定)

2.應用:在其中一個平面內(nèi)找到或做出另一個平面的垂線,即實現(xiàn)線面垂直證面面垂直的轉(zhuǎn)換

七.平面與平面垂直的(性質(zhì))

1.性質(zhì)一:垂直于同一個平面的兩條垂線平行

2.性質(zhì)二:如果兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直

3.性質(zhì)三:如果兩個平面互相垂直,那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)的一點垂直于第二個平面內(nèi)的直線,在第一個平面內(nèi)(性質(zhì)三沒什么用,可以不用記)

以上,是立體幾何的定理和性質(zhì)整理.是一定要記住的基本！

31推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

32等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和高互相重合33推論3等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°34等腰三角形的判定定理如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(等角對等邊)

35推論1三個角都相等的三角形是等邊三角形

36推論2有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

37在直角三角形中，如果一個銳角等于30°那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

38直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半

39定理線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等

40逆定理和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上

41線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合42定理1關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形

43定理2如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線

44定理3兩個圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上

45逆定理如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱

46勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即a+b=c

47勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a、b、c有關(guān)系a+b=c，那么這個三角形是直角三角形

48定理四邊形的內(nèi)角和等于360°

49四邊形的外角和等于360°

50多邊形內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角的和等于(n-2)×180°

51推論任意多邊的外角和等于360°

52平行四邊形性質(zhì)定理1平行四邊形的對角相等

53平行四邊形性質(zhì)定理2平行四邊形的對邊相等

54推論夾在兩條平行線間的平行線段相等

55平行四邊形性質(zhì)定理3平行四邊形的對角線互相平分

56平行四邊形判定定理1兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

57平行四邊形判定定理2兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

58平行四邊形判定定理3對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

59平行四邊形判定定理4一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形

60矩形性質(zhì)定理1矩形的四個角都是直角

61矩形性質(zhì)定理2矩形的對角線相等

62矩形判定定理1有三個角是直角的四邊形是矩形。

第三篇：高中幾何基本定理

（高中）競賽平面幾何必備定理綱要

一·中線定理（巴布斯定理）設△ABC的邊BC的中點為P，則有AB2?AC2?2(AP2?BP2)； 中線長：ma?2b2?2c2?a2．

222221． 垂線定理：AB?CD?AC?AD?BC?BD． 高線長：ha?2bcp(p?a)(p?b)(p?c)?sinA?csinB?bsinC． aa

2． 角平分線定理：三角形一個角的平分線分對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應成比例．如△ABC中，AD平

22bcA分∠BAC，則BD?AB；（外角平分線定理）．角平分線長：ta?(p?a)?cos（其中b?cb?c2DCAC

周長一半）．

43． 張角定理：sin?BAC? sin?BAD?sin?DAC．

ADACABp為

4． 斯特瓦爾特(Stewart)定理：設已知△ABC及其底邊上B、C兩點間的一點D，則有AB2·DC+AC2·BD－AD2·BC

＝BC·DC·BD．

5． 圓周角定理：同弧所對的圓周角相等，等于圓心角的一半．（圓外角如何轉(zhuǎn)化？）

6． 弦切角定理：弦切角等于夾弧所對的圓周角．

7． 圓冪定理：（相交弦定理：垂徑定理：切割線定理（割線定理）：切線長定理：）

8． 布拉美古塔（Brahmagupta）定理： 在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AC⊥BD，自對角線的交點P向一邊作垂線，其

延長線必平分對邊．

9． 點到圓的冪：設P為⊙O所在平面上任意一點，PO=d，⊙O的半徑為r，則d2－r2就是點P對于⊙O的冪．過P

任作一直線與⊙O交于點A、B，則PA·PB= |d2－r2|．“到兩圓等冪的點的軌跡是與此二圓的連心線垂直的一條直線，如果此二圓相交，則該軌跡是此二圓的公共弦所在直線”這個結(jié)論．這條直線稱為兩圓的“根軸”．三個圓兩兩的根軸如果不互相平行，則它們交于一點，這一點稱為三圓的“根心”．三個圓的根心對于三個圓等冪．當三個圓兩兩相交時，三條公共弦(就是兩兩的根軸)所在直線交于一點．

10．11．

12． 托勒密（Ptolemy）定理：圓內(nèi)接四邊形對角線之積等于兩組對邊乘積之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命蝴蝶定理：AB是⊙O的弦，M是其中點，弦CD、EF經(jīng)過點M，CF、DE交AB于P、Q，求證：MP=QM．費馬點：定理1等邊三角形外接圓上一點，到該三角形較近兩頂點距離之和等于到另一頂點的距離；不在等題成立)．（廣義托勒密定理）AB·CD+AD·BC≥AC·BD．

邊三角形外接圓上的點，到該三角形兩頂點距離之和大于到另一點的距離．定理2 三角形每一內(nèi)角都小于120°時，在三角形內(nèi)必存在一點，它對三條邊所張的角都是120°，該點到三頂點距離和達到最小，稱為“費馬點”，當三角形有一內(nèi)角不小于120°時，此角的頂點即為費馬點．

13．14．九點圓（Nine point round或歐拉圓或費爾巴赫圓）：三角形中，三邊中心、從各頂點向其對邊所引垂線的垂足，以及垂心與各頂點連線的中點，這九個點在同一個圓上，九點圓具有許多有趣的性質(zhì),例如:（1）三角形的九點圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半;（2）九點圓的圓心在歐拉線上,且恰為垂心與外心連線的中點;（3）三角形的九點圓與三角形的內(nèi)切圓,三個旁切圓均相切〔費爾巴哈定理〕．

15．16．

17． 歐拉（Euler）線：三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心依次位于同一直線（歐拉線）上． 歐拉（Euler）公式：設三角形的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，外心與內(nèi)心的距離為d，則d2=R2－2Rr． 銳角三角形的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的和等于外心到各邊距離的和．

18．x?xB?xCyA?yB?yC 重心：三角形的三條中線交于一點，并且各中線被這個點分成2：1的兩部分；G(A,)

重心性質(zhì)：（1）設G為△ABC的重心，連結(jié)AG并延長交BC于D，則D為BC的中點，則AG:GD?2:1；

（2）設G為△ABC的重心，則S?ABG

?S?BCG?S?ACG?S?ABC；

（3）設G為△ABC的重心，過G作DE∥BC交AB于D，交AC于E，過G作PF∥AC交AB于P，交BC

DEFPKH2DEFPKH

???;???2； BCCAAB3BCCAAB22222

2（4）設G為△ABC的重心，則①BC?3GA?CA?3GB?AB?3GC；②

GA2?GB2?GC2?(AB2?BC2?CA2)；③PA2?PB2?PC2?GA2?GB2?GC2?3PG2（P

222

為△ABC內(nèi)任意一點）；④到三角形三頂點距離的平方和最小的點是重心，即GA?GB?GC最?。?/p>

于F，過G作HK∥AB交AC于K，交BC于H，則

⑤三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點是重心；反之亦然（即滿足上述條件之一，則G為△ABC的重心）． 19．

垂

心

：

三

角

形的三

條

高

線的交

點；

abcabc

xA?xB?xCyA?yB?yC

cosAcosBcosCcosAcosBcosCH(,)

????cosAcosBcosCcosAcosBcosC

垂心性質(zhì)：（1）三角形任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍；（2）垂心H關(guān)于△ABC的三邊的對稱點，均在△ABC的外接圓上；（3）△ABC的垂心為H，則△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圓是等圓；（4）設O，H分別為△ABC的外心和垂心，則?BAO??HAC,?CBO??ABH,?BCO??HCA． 20．

內(nèi)心：三角形的三條角分線的交點—內(nèi)接圓圓心，即內(nèi)心到三角形各邊距離相等；

I（axA?bxB?cxCayA?byB?cyC

（1）設I為△ABC的內(nèi)心，則I到△ABC三邊的距離相等，,)內(nèi)心性質(zhì)：

a?b?ca?b?c

1?90???A,?AIC?90???B,?AIB?90???C；

222

（3）三角形一內(nèi)角平分線與其外接圓的交點到另兩頂點的距離與到內(nèi)心的距離相等；反之，若?A平分線交△ABC

反之亦然；（2）設I為△ABC的內(nèi)心，則?BIC

外接圓于點K，I為線段AK上的點且滿足KI=KB，則I為△ABC的內(nèi)心；（4）設I為△ABC的內(nèi)心，AIAKIKb?c

；（5）???

IDKIKDa

設I為△ABC的內(nèi)心，BC?a,AC?b,AB?c,I在BC,AC,AB上的射影分別為D,E,F，內(nèi)切圓半徑為r，BC?a,AC?b,AB?c, ?A平分線交BC于D，交△ABC外接圓于點K，則

令

p?(a?b?c)，則①S?ABC?pr；②AE?AF?p?a;BD?BF?p?b;CE?CD?p?c；③

abcr?p?AI?BI?CI．

外心：三角形的三條中垂線的交點——外接圓圓心，即外心到三角形各頂點距離相等；

21．O（sin2AxA?sin2BxB?sin2CxCsin2AyA?sin2ByB?sin2CyC,)

sin2A?sin2B?sin2Csin2A?sin2B?sin2C

外心性質(zhì)：（1）外心到三角形各頂點距離相等；

（2）設O為△ABC的外心，則?BOC?2?A或?BOC?360??2?A；

（3）R?abc；（4）銳角三角形的外心到三邊的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和．

4S?

22．旁心：一內(nèi)角平分線與兩外角平分線交點——旁切圓圓心；設△ABC的三邊BC?a,AC?b,AB?c,令

p?(a?b?c)，分別與BC,AC,AB外側(cè)相切的旁切圓圓心記為IA,IB,IC，其半徑分別記為rA,rB,rC．

旁心性質(zhì)：（1）?BIAC?90???A,?BIBC??BICC??A,（對于頂角B，C也有類似的式子）；

（2）（3）設AIA的連線交△ABC的外接圓于D，則DIA?DB?DC（對于BIB,CIC?IAIBIC?(?A??C)；

有同樣的結(jié)論）；（4）△ABC是△IAIBIC的垂足三角形，且△IAIBIC的外接圓半徑R'等于△ABC的直徑為2R．

23．三

角

形

面

積

公

式

：

S?ABC?

11abca2?b2?c2

aha?absinC??2R2sinAsinBsinC?

224R4(cotA?cotB?cotC)

R為外接圓半徑，其中ha表示BC邊上的高，r為內(nèi)切圓半徑，p?(a?b?c)．?pr?p(p?a)(p?b)(p?c)，24．

三

角

形

中

內(nèi)

切

圓，旁

切

圓

和

外

接

圓

半

徑的相

互

關(guān)

系

：

ABCABCABCABC

r?4Rssnsn;nra?4Rscncs,srb?4Rcsscn,src?4Rccsss222222222222

r?

a

rrr1111,rb?,rc?;???.BCACABrarbrcrtantantantantantan

222222

25． 梅涅勞斯（Menelaus）定理：設△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線和一條不經(jīng)過它們?nèi)我豁旤c的直線的交點分別為P、Q、R則有 26．

BPCQAR

???1．（逆定理也成立）PCQARB

梅涅勞斯定理的應用定理1：設△ABC的∠A的外角平分線交邊CA于Q，∠C的平分線交邊AB于R，∠B的平分線交邊CA于Q，則P、Q、R三點共線．32梅涅勞斯定理的應用定理2：過任意△ABC的三個頂點A、B、C作它的外接圓的切線，分別和BC、CA、AB的延長線交于點P、Q、R，則P、Q、R三點共線． 27．

塞瓦(Ceva)定理：設X、Y、Z分別為△ABC的邊BC、CA、AB上的一點，則AX、BY、CZ所在直線交于一點

AZBXCY

=1． ZBXCYA的充要條件是28． 29． 30． 31． 32． 33． 34． 35．

塞瓦定理的應用定理：設平行于△ABC的邊BC的直線與兩邊AB、AC的交點分別是D、E，又設BE和CD塞瓦定理的逆定理的應用定理1：三角形的三條中線交于一點，三角形的三條高線交于一點，三角形的三條角塞瓦定理的逆定理的應用定理2：設△ABC的內(nèi)切圓和邊BC、CA、AB分別相切于點R、S、T，則AR、BS、史坦納定理：設△ABC的垂心為H，其外接圓的任意點P，這時關(guān)于△ABC的點P的西摩松線通過線段PH的牛頓定理1：四邊形兩條對邊的延長線的交點所連線段的中點和兩條對角線的中點，三點共線．這條直線叫做牛頓定理2：圓外切四邊形的兩條對角線的中點，及該圓的圓心，三點共線．

笛沙格定理1：平面上有兩個三角形△ABC、△DEF，設它們的對應頂點（A和D、B和E、C和F）的連線交笛沙格定理2：相異平面上有兩個三角形△ABC、△DEF，設它們的對應頂點（A和D、B和E、C和F）的連

交于S，則AS一定過邊BC的中點 分線交于一點． CT交于一點．中心．．

這個四邊形的牛頓線．

于一點，這時如果對應邊或其延長線相交，則這三個交點共線．

線交于一點，這時如果對應邊或其延長線相交，則這三個交點共線．

第四篇：高中幾何證明

高中幾何證明

一、已知平行四邊形ABCD，過ABC三點的圓O1，分別交AD.BD于E.F、過CDF三點的圓O2交AD于G。設圓O1.O2半徑分別為R,r。

1.求證AC^2=AG*AD

2.AD:EG=R^2:r^

2連接AC、GC。利用兩個圓轉(zhuǎn)化角的關(guān)系，∠AGC=180-∠DGC=180-∠DFC=∠BFC=∠BAC=∠ACD

于是兩個三角形ACG和ADC相似。第一問由此立得。

同樣利用上述相似，∠GCA=∠ADC=∠ABC。于是由“弦切角等于圓周角”，說明GC與圓O1相切。于是GC^2=GE*GA。

在兩個圓中利用正弦定理，不難發(fā)現(xiàn)R/r=BC/CD=AD/CD。此時

AD/EG=AG*AD/AG*EG=AC^2/GC^2=(AC/GC)^2=(AD/CD)^

2最后一個等式仍然源于前述相似

二、因為不能上傳圖片，所以口敘述一下，高手們都可以想象出來吧

在一個圓的圓上選不重合的四點，，連接成一個非平行四邊形非梯形的四邊形，也就是內(nèi)切四邊形吧，然后延長其中兩條邊，交于點A，再延長另外兩條邊交于點B，然后過A點做圓的兩條切線，切線交圓于點C和D，怎樣證明B,C,D共線?

用調(diào)和點列的方法較為容易但方法的掌握不在高中的要求內(nèi)

下面采用簡單的定理來證明比較麻煩

首先，設圓內(nèi)接四邊形為四邊形ABCD,AB與DC交于點p，AD與BC交于點Q，過點Q做圓O的兩條切線,切點分別為點E和點F.再設AC與BD交于點R,下面來證明一個更強的結(jié)論：p、F、R、E共線.設OQ交EF于L,pR交AQ于M,EF交AQ于點M',連結(jié)OF、OE、AL、OA、OD，并延長AL到S.由Menelaus定理，AB/Bp×pC/CD×DQ/QA=1-----------------

1由Ceva定理，AB/Bp×pC/CD×DM/MA=1-----------------

2由1、2，DM/MA=DQ/QA------------------*

另一方面，由射影定理，QE^2=QL×QO-3

由切割線定理，QE^2=QD×QA-4

由3，4，QL*QO=QD*QA

所以O，L，D，A四點共圓

第五篇：初一常用幾何證明的定理

初一常用幾何證明的定理總結(jié)

平面直角坐標系各個象限內(nèi)和坐標軸的點的坐標的符號規(guī)律：

（1）x軸將坐標平面分為兩部分，x軸上方的縱坐標為正數(shù)；x軸下方的點縱坐標為負數(shù)。即第一、二象限及y軸正方向（也稱y軸正半軸）上的點的縱坐標為正數(shù)；第三、四象限及y軸負方向（也稱y軸負半軸）上的點的縱坐標為負數(shù)。

反之，如果點P（a，b）在x軸上方，則b>0；如果P（a，b）在x軸下方，則b<0。

(2)y軸將坐標平面分成兩部分，y軸左側(cè)的點的橫坐標為負數(shù)；y軸右側(cè)的點的橫坐標為正數(shù)。即第二、三象限和x軸的負半軸上的點的橫坐標為負數(shù)；第一、四象限和x軸正半軸上的點的橫坐標為正數(shù)。

（3）規(guī)定坐標原點的坐標為（0，0）

（4

(5)