第一篇：工程測量豎曲線程序及公式

豎曲線程序要素

已知要素

? 1.變坡點里程樁號2.變坡點高程 3.豎曲線半徑4.變坡點前坡度（上坡為正，下坡為負）5.變坡點后坡度（上坡為正，下坡為負）6.待求點里程

計算公式

?

?

?

?

?凹凸型：當(dāng)前坡度-后坡度為正，則為凸型，反之為凹型 轉(zhuǎn)坡角（曲折角）：前坡度–后坡度 豎曲線長：半徑 * 轉(zhuǎn)坡角 切線長：豎曲線長 / 2 外矢距：切線長的平方 / 2倍半徑

? 待求點到變坡點距離：待求點樁號–變坡點樁號（取絕對值）

? 曲線起終點樁號：

起點：變坡點的樁號–切線長終點：變坡點的樁號 + 切線長

? 任意點切線標(biāo)高：變坡點的標(biāo)高±測點與變坡點里程距離*該里程對應(yīng)坡度 ? 任意點設(shè)計標(biāo)高：

1.凸型：該樁號在切線上的設(shè)計標(biāo)高–修正值

2.凹型：該樁號在切線上的設(shè)計標(biāo)高 + 修正值

程序條件

? 條件：如果待求點≦變坡點，則待求點–起點=間距，反之待求點>變坡點，則終點–待求點=間距

? 曲線點間距：待求點 – 起點或終點 –待求點

? 豎曲線上點的高程修正值：曲線點間距的平方 / 2倍半徑

? 如果待求點≦變坡點，則任意點設(shè)計標(biāo)高=變坡點高程-（變坡點-待求點）* 前坡度(取絕對值)-修正值，反之待求點>變坡點，則變坡點任意點設(shè)計標(biāo)高=變坡點高程-（待求點-變坡點）* 后坡度(取絕對值)-修正值

? 條件：凹型豎曲線如果待求點≦變坡點，則任意點設(shè)計標(biāo)高=變坡點高程 +（待求點-變坡點）* 前坡度(取絕對值)+修正值，反之待求點>變坡點，則變坡點任意點設(shè)計標(biāo)高=變坡點高程 +（變坡點-待求點）* 后坡度(取絕對值)+修正值

第二篇：測量圓曲線心得體會

測 設(shè) 實 訓(xùn)

報

告

實習(xí)名稱： 圓曲線計算及放樣指導(dǎo)教師： 所在小組 : 第三組 專業(yè)班級： 11建筑301班 姓名：

學(xué)號： 201160130142

日 期 ： 2013年5月8日

心得體會

通過本次實習(xí)，鞏固、擴大和加深我們從課堂上所學(xué)的理論知識，掌握了全站儀的基本操作，還有學(xué)會了施工放樣及地形圖的繪制方法，獲得了測量實際工作的初步經(jīng)驗和基本技能，著重培養(yǎng)了我們的獨立工作能力，進一步熟練了測量儀器的操作技能，提高了計算和繪圖能力.一次測量實習(xí)要完整的做完，單靠一個人的力量和構(gòu)思是遠遠不夠的，只有小組的合作和團結(jié)才能讓實習(xí)快速而高效的完成。這次測量實習(xí)培養(yǎng)了我們小組的分工協(xié)作的能力，增進了同學(xué)之間的感情。我們完成這次實習(xí)的原則也是讓每個組員都學(xué)到知識而且會實際操作，而不是搶時間，趕進度，草草了事收工。所以，我們每個組員都分別獨立的觀察，記錄每一站，并準(zhǔn)確進行計算。做到步步有“檢核”，這樣做不但可以防止誤差的積累，及時發(fā)現(xiàn)錯誤，更可以提高測量的效率。我們懷著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度，錯了就返工，決不馬虎。直至符合測量要求為止。我們深知搞工程這一行，需要的就是細心，做事嚴(yán)謹(jǐn)。

測量實習(xí)，讓我學(xué)到了很多實實在在的東西，對以前零零碎碎學(xué)的測量知識有了綜合應(yīng)用的機會。全站儀等測量儀器與工具。很好的鞏固了理論教學(xué)知識，提高實際操作能力，同時也拓展了與同學(xué)之間的交際合作的能力。當(dāng)然其中不乏老師的教誨和同學(xué)的幫助。出現(xiàn)問題就讓我們及時改正?？傊瑑芍苤形覀円搀w會了不少酸甜苦辣，有的測量很順利甚至零誤差，有時測量處處碰壁，但也算過去了。但這兩周實習(xí)也給了我們不少教訓(xùn)：由于某個數(shù)據(jù)的讀錯、記錯及算錯都給我們帶來了不少麻煩，從而讓我們知道了做任何事都要認真。一個組的團結(jié)也是至關(guān)重要的，它關(guān)系到整個組的進度。先前我們組由于配合不夠默契，分工也不夠合理，整體進度受到極大的影響，后來通過組內(nèi)的交流，徹底解決了以上問題。實習(xí)進度有了很大的改觀，進度和效果自然就提上來了。

我很珍惜學(xué)校為我們安排實習(xí)這理論與現(xiàn)實連接的重要環(huán)節(jié)?？傊x謝學(xué)校在為促進學(xué)生實踐能力所安排的這段實習(xí)，我將永遠珍惜這段經(jīng)歷。同時這段實習(xí)生活也是我一生中最值得難忘的。

第三篇：公路工程測量公式

一、曲線要素計算

已知：JDZH、JDX、JDY、R、LS1、LS2、LH、T、A1、A2（LH=LS1+LS2+圓曲線長）

1、求ZH點（或ZY點）坐標(biāo)及方位角

L?DZH?ZHZHx?L?L5/(40R2ls1)y?L3/(6Rls1)

?T?A1?i?l2/(2Rls1)?180/??

?DX?ZHX?xcosA1?i?ysinA1?DY?ZHY?xsinA?i?ycosA

11?

中樁距離，左正右負）

?ZHZH?JDZH?T

?

?ZHX?JDX?TcosA1 ?ZHY?JDY?TsinA

1?

2、求HZ點（或YZ點）坐標(biāo)及方位角

?T?T??

?

?BDX?X?NcosT ?BDY?Y?NsinT?

七、縱斷面高程計算

（1）直線段上高程計算 已知：直線上任一點樁號（ZH）、高程（H）、縱坡（i）

DH?H?i*(DZH?ZH)

（2）豎曲線上高程計算

已知：豎曲線起點樁號（ZH）、起點高程（H）、豎曲線半徑R、起點坡度（i）、k（凸曲線+

1、凹曲線-1）

?HZZH?JDZH?T?LH

?

?HZX?JDX?TcosA2 ?HZY?JDY?TsinA

2?

3、求解切線長T、外距E、曲線長L

（1）圓曲線

四、圓曲線上各樁號點坐標(biāo)及方位角計算

已知：ZHZH、ZHX、ZHY、A1、R、LS1、i（Z+1Y-1

L?DZH?ZHZH?ls1

x?Rsin(ls1/2R?L/R)?ls1/2?ls1/240R2y?R[1?cos(ls1/2R?L/R)]?ls1/24R其中

??0?ls1/2R?32?q?ls1/2?ls1/240R?2p?l/24Rs1?

?T?A?i?(ls1/2R?L/R)?180/??

?DX?ZHX?xcosA1?i?ysinA1?DY?ZHY?xsinA?i?ycosA

11?

l?DZH?ZH

DH?H?il?k?l/(2R)

?/2)?T?Rtan（?

?E?R(1/cos(?/2)?1)?L?R??/180?

（2）緩圓曲線

?/2)?q?TH?(R?p)?tan（?

?LH?R(??2?0)??/180?2ls

?E?(R?p)/cos(?/2)?R

?H

其中??l2/2Rls(當(dāng)l?ls時?0?ls/2R)

二、直線上各樁號坐標(biāo)及方位角計算

已知：ZH、X、Y、A

L?DZH?ZH?T?A

?

DX?X?LcosA?

?DY?Y?LsinA?

注：

JDZH、JDX、JDY：交點樁號、交點X、Y坐標(biāo) R、LS1、LS2：半徑、緩和曲線

1、緩和曲線2 LH：緩和曲線1長 +圓曲線長+ 緩和曲線2長 A1、A2：方位角

1、方位角2

T：在曲線要素中代表切線長；在坐標(biāo)計算中代表被

五、第二緩和曲線上個樁號坐標(biāo)及方位角計算 求解點的坐標(biāo)方位角。

已知：HZZH、HZX、HZY、A2、R、LS2、i（Z+1Y-1 DLJJ：道路交角（右夾角?）。

BZJL：L?HZZH?DZH

DZH、DX、DY、DH、BDX、BDY：被求解點樁號、2

x?L?L5/(40R2ls2)

點X值、點Y值、點高程值、邊樁點X值、邊樁點

y?L/(6Rls2)Y值

i（Z+1Y-1)：JD?T?A2?i?l2/(2Rls2)?180/?

三、第一緩和曲線上各樁號點坐標(biāo)及方位角計算

已知：ZHZH、ZHX、ZHY、A1、R、LS1、i（Z+1Y-1

六、邊樁坐標(biāo)求解

已知：DZH、X、Y、T、BZJL（Z+Y-）、DLJJ、N（距

?

?DX?HZX?xcosA2?i?ysinA2?DY?HZY?xsinA?i?ycosA

22?

第四篇：曲線積分與格林公式總結(jié)

一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)

曲線形構(gòu)件的質(zhì)量?

設(shè)一曲線形構(gòu)件所占的位置在xOy面內(nèi)的一段曲線弧L上? 已知曲線形構(gòu)件在點(x? y)處的線密度為?(x? y)? 求曲線形構(gòu)件的質(zhì)量?

把曲線分成n小段? ?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn(?si也表示弧長)?

任取(?i ? ?i)??si? 得第i小段質(zhì)量的近似值?(?i ? ?i)?si?

整個物質(zhì)曲線的質(zhì)量近似為M???(?i,?i)?si?

i?1n

令??max{?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn}?0? 則整個物質(zhì)曲線的質(zhì)量為

M?lim??(?i,?i)?si?

??0i?1n

這種和的極限在研究其它問題時也會遇到?

定義

設(shè)L為xOy面內(nèi)的一條光滑曲線弧? 函數(shù)f(x? y)在L上有界? 在L上任意插入一點列M1? M2? ? ? ?? Mn?1把L分在n個小段.設(shè)第i個小段的長度為?si? 又(?i? ?i)為第i個小段上任意取定的一點? 作乘積f(?i? ?i)?si?(i?1? 2?? ? ?? n)? 并作和?f(?i,?i)?si? 如果當(dāng)各小弧

i?1n段的長度的最大值??0? 這和的極限總存在? 則稱此極限為函數(shù)f(x? y)在曲線弧L上對弧長

n的曲線積分或第一類曲線積分? 記作

lim?f(?i,?i)?si?

?Lf(x,y)ds? 即?Lf(x,y)ds???0i?1其中f(x? y)叫做被積函數(shù)? L 叫做積分弧段?

設(shè)函數(shù)f(x? y)定義在可求長度的曲線L上? 并且有界?

將L任意分成n個弧段? ?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn? 并用?si表示第i段的弧長?

在每一弧段?si上任取一點(?i? ?i)? 作和?f(?i,?i)?si?

i?1n

令??max{?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn}? 如果當(dāng)??0時? 這和的極限總存在? 則稱此極限為函數(shù)f(x? y)在曲線弧L上對弧長的 曲線積分或第一類曲線積分? 記作

n?Lf(x,y)ds? 即

lim?f(?i,?i)?si?

?Lf(x,y)ds???0i?1其中f(x? y)叫做被積函數(shù)? L 叫做積分弧段?

曲線積分的存在性? 當(dāng)f(x? y)在光滑曲線弧L上連續(xù)時? 對弧長的曲線積分是存在的?

以后我們總假定f(x? y)在L上是連續(xù)的?

?Lf(x,y)ds

根據(jù)對弧長的曲線積分的定義?曲線形構(gòu)件的質(zhì)量就是曲線積分

?L?(x,y)ds的值? 其中?(x? y)為線密度?

對弧長的曲線積分的推廣?

lim?f(?i,?i,?i)?si?

??f(x,y,z)ds???0i?1n

如果L(或?)是分段光滑的? 則規(guī)定函數(shù)在L(或?)上的曲線積分等于函數(shù)在光滑的各段上的曲線積分的和? 例如設(shè)L可分成兩段光滑曲線弧L1及L2? 則規(guī)定

?L?L12f(x,y)ds??f(x,y)ds??f(x,y)ds?

L1L

2閉曲線積分? 如果L是閉曲線? 那么函數(shù)f(x? y)在閉曲線L上對弧長的曲線積分記作

?Lf(x,y)ds?

對弧長的曲線積分的性質(zhì)?

性質(zhì)1 設(shè)c1、c2為常數(shù)? 則

?L[c1f(x,y)?c2g(x,y)]ds?c1?Lf(x,y)ds?c2?Lg(x,y)ds?

性質(zhì)2 若積分弧段L可分成兩段光滑曲線弧L1和L2? 則

?Lf(x,y)ds??Lf(x,y)ds??L1f(x,y)ds?

2性質(zhì)3設(shè)在L上f(x? y)?g(x? y)? 則

?Lf(x,y)ds??Lg(x,y)ds?

?Lf(x,y)ds|??L|f(x,y)|ds 特別地? 有

|

二、對弧長的曲線積分的計算法

根據(jù)對弧長的曲線積分的定義? 如果曲線形構(gòu)件L的線密度為f(x? y)? 則曲線形構(gòu)件L的質(zhì)量為

?Lf(x,y)ds?

x??(t)? y??(t)(??t??)?

另一方面? 若曲線L的參數(shù)方程為 則質(zhì)量元素為

f(x,y)ds?f[?(t), ?(t)]曲線的質(zhì)量為

即

??2(t)???2(t)dt?

???f[?(t), ?(t)]??2(t)???2(t)dt?

f(x,y)ds??f[?(t), ?(t)]??2(t)???2(t)dt?

???L

定理 設(shè)f(x? y)在曲線弧L上有定義且連續(xù)? L的參數(shù)方程為

x??(t)? y??(t)(??t??)?

其中?(t)、?(t)在[?? ?]上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)? 且??2(t)???2(t)?0? 則曲線積分且

?Lf(x,y)ds存在?

?Lf(x,y)ds??f[?(t),?(t)]??2(t)???2(t)dt(?

??

證明（略）

應(yīng)注意的問題? 定積分的下限?一定要小于上限??

討論?

(1)若曲線L的方程為y??(x)(a?x?b)? 則提示?

L的參數(shù)方程為x?x? y??(x)(a?x?b)?

?Lf(x,y)ds?? ?Lf(x,y)ds??f[x,?(x)]1???2(x)dx?

ab

(2)若曲線L的方程為x??(y)(c?y?d)? 則提示?

L的參數(shù)方程為x??(y)? y?y(c?y?d)?

?Lf(x,y)ds?? ?Lf(x,y)ds??cdf[?(y),y]??2(y)?1dy?

(3)若曲?的方程為x??(t)? y??(t)? z??(t)(??t??)?

則??f(x,y,z)ds??

提示? ??f(x,y,z)ds??f[?(t),?(t),?(t)]??2(t)???2(t)???2(t)dt?

??

例1 計算?Lyds? 其中L是拋物線y?x2上點O(0? 0)與點B(1? 1)之間的一段弧?

解 曲線的方程為y?x2(0?x?1)? 因此

?L11yds??x21?(x2)?2dx??x1?4x2dx?1(55?1)?

001

2例2 計算半徑為R、中心角為2?的圓弧L對于它的對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量I(設(shè)線密度為??1)?

解 取坐標(biāo)系如圖所示? 則I?

曲線L的參數(shù)方程為

x?Rcos?? y?Rsin?(????

于是

I???Ly2ds?

?Ly2ds??R2sin2?(?Rsin?)2?(Rcos?)2d?

??

?R3???sin2?d??R(??sin? cos?)?

3?

例3 計算曲線積分

??(x2?y2?z2)ds? 其中?為螺旋線x?acost、y?asint、z?kt上相應(yīng)于t從0到達2?的一段弧?

解 在曲線?上有x2?y2?z2?(a cos t)2?(a sin t)2?(k t)2?a2?k 2t 2? 并且

ds?(?asint)2?(acost)2?k2dt?a2?k2dt?

于是

??(x2?y2?z2)ds??(a2?k2t2)a2?k2dt

02?

?2?a2?k2(3a2?4?2k2)?

3小結(jié)? 用曲線積分解決問題的步驟?

(1)建立曲線積分?

(2)寫出曲線的參數(shù)方程(或直角坐標(biāo)方程)? 確定參數(shù)的變化范圍?

(3)將曲線積分化為定積分?

(4)計算定積分?

§10? 對坐標(biāo)的曲線積分

一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)

變力沿曲線所作的功?

設(shè)一個質(zhì)點在xOy面內(nèi)在變力F(x? y)?P(x? y)i?Q(x? y)j的作用下從點A沿光滑曲線弧L移動到點B? 試求變力F(x? y)所作的功?

用曲線L上的點A?A0? A1? A2? ? ? ?? An?1? An?B把L分成n個小弧段?

設(shè)Ak?(xk ? yk)? 有向線段AkAk?1的長度為?sk? 它與x軸的夾角為?k ? 則

AkAk?1?{cos?k,sin?k}?sk(k?0? 1? 2? ? ? ?? n?1)?

???顯然? 變力F(x? y)沿有向小弧段Ak Ak?1所作的功可以近似為

F(xk,yk)?AkAk?1?[P(xk,yk)cos?k?Q(xk,yk)sin?k]?sk? 于是? 變力F(x? y)所作的功

W??從而

W??[P(x,y)cos??Q(x,y)sin?]ds?

L這里???(x? y)? {cos?? sin?}是曲線L在點(x? y)處的與曲線方向一致的單位切向量?

n?1?F(xk,yk)?AkAk?1k?1n?1???[P(xk,yk)cos?k?Q(xk,yk)sin?k]?sk?

k?

1把L分成n個小弧段? L1?

L2? ? ? ??

Ln?

變力在Li上所作的功近似為?

F(?i? ?i)??si?P(?i? ?i)?xi?Q(?i? ?i)?yi ?

變力在L上所作的功近似為?

?[P(?i,?i)?xi?Q(?i,?i)?yi]?

i?1nn

變力在L上所作的功的精確值?

W?lim??0?[P(?i,?i)?xi?Q(?i,?i)?yi]?

i?1其中?是各小弧段長度的最大值?

提示?

用?si?{?xi??yi}表示從Li的起點到其終點的的向量? 用?si表示?si的模?

對坐標(biāo)的曲線積分的定義?

定義 設(shè)函數(shù)f(x? y)在有向光滑曲線L上有界? 把L分成n個有向小弧段L1?

L2? ? ? ??

Ln? 小弧段Li的起點為(xi?1? yi?1)? 終點為(xi? yi)? ?xi?xi?xi?1? ?yi?yi?yi?1?(?i? ?)為Li上任意一點? ?為各小弧段長度的最大值?

如果極限lim??0?f(?i,?i)?xi總存在? 則稱此極限為函數(shù)

i?1n f(x? y)在有向曲線L上對坐標(biāo)x的曲線積分? 記作

?Lf(x,y)dx? 即

lim?f(?i,?i)?xi? ?Lf(x,y)dx???0i?1

如果極限limn??0?f(?i,?i)?yi總存在? 則稱此極限為函數(shù)

i?1n f(x? y)在有向曲線L上對坐標(biāo)x的曲線積分? 記作

?Lf(x,y)dy? 即

lim?f(?i,?i)?yi?

?Lf(x,y)dy???0i?1

設(shè)L為xOy面上一條光滑有向曲線? {cos?? sin?}是與曲線方向一致的單位切向量? 函數(shù)P(x? y)、Q(x? y)在L上有定義?

如果下列二式右端的積分存在? 我們就定義

n?LP(x,y)dx??LP(x,y)cos?ds?

?LQ(x,y)dy??LQ(x,y)sin?ds? 前者稱為函數(shù)P(x? y)在有向曲線L上對坐標(biāo)x的曲線積分? 后者稱為函數(shù)Q(x? y)在有向曲線L上對坐標(biāo)y的曲線積分? 對坐標(biāo)的曲線積分也叫第二類曲線積分?

定義的推廣?

設(shè)?為空間內(nèi)一條光滑有向曲線? {cos?? cos?? cos?}是曲線在點(x? y? z)處的與曲線方向一致的單位切向量? 函數(shù)P(x? y? z)、Q(x? y? z)、R(x? y? z)在?上有定義? 我們定義(假如各式右端的積分存在)

??P(x,y,z)dx???P(x,y,z)cos?ds?

??Q(x,y,z)dy???Q(x,y,z)cos?ds? ??R(x,y,z)dz???R(x,y,z)cos?ds?

nlim?f(?i,?i,?i)?xi?

?Lf(x,y,z)dx???0i?1lim?f(?i,?i,?i)?yi?

?Lf(x,y,z)dy???0i?1lim?f(?i,?i,?i)?zi? ?Lf(x,y,z)dz???0i?1對坐標(biāo)的曲線積分的簡寫形式?

nn?LP(x,y)dx??LQ(x,y)dy??LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?

??P(x,y,z)dx???Q(x,y,z)dy???R(x,y,z)dz

??P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz?

?

對坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)?

(1)如果把L分成L1和L2? 則

?LPdx?Qdy??LPdx?Qdy??LPdx?Qdy?

2(2)設(shè)L是有向曲線弧? ?L是與L方向相反的有向曲線弧? 則

??LP(x,y)dx?Q(x,y)d???LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?

兩類曲線積分之間的關(guān)系?

設(shè){cos?i? sin?i}為與?si同向的單位向量? 我們注意到{?xi? ?yi}??si? 所以 ?xi?cos?i??si? ?yi?sin?i??si?

lim?f(?i,?i)?xi ?Lf(x,y)dx???0i?1n

?limf(?i,?i)cos?i?si??f(x,y)cos?ds?

?L??0i?1nn

lim?f(?i,?i)?yi ?Lf(x,y)dy???0i??lim??0?f(?i,?i)sin?i?si??Lf(x,y)sin?ds?

i?1n即

?LPdx?Qdy??L[Pcos??Qsin?]ds?

?LA?dr??LA?tds? 或

其中A?{P? Q}? t?{cos?? sin?}為有向曲線弧L上點(x? y)處單位切向量? dr?tds?{dx? dy}?

類似地有

或

??Pdx?Qdy?Rdz???[Pcos??Qcos??Rcos?]ds?

??A?dr???A?tds???Atds?

其中A?{P? Q? R}? T?{cos?? cos?? cos?}為有向曲線弧?上點(x? y? z)處單們切向量? dr?Tds ?{dx? dy? dz }? A t為向量A在向量t上的投影?

二、對坐標(biāo)的曲線積分的計算?

定理? 設(shè)P(x? y)、Q(x? y)是定義在光滑有向曲線 L? x??(t)? y??(t)?

上的連續(xù)函數(shù)? 當(dāng)參數(shù)t單調(diào)地由?變到?時? 點M(x? y)從L的起點A沿L運動到終點B? 則

討論? 提示?

??LP(x,y)dx???P[?(t),?(t)]??(t)dt?

?LQ(x,y)dy??Q[?(t),?(t)]??(t)dt?

???LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?？

?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy??{P[?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dt?

??

定理? 若P(x? y)是定義在光滑有向曲線

L?

x??(t)? y??(t)(??t??)上的連續(xù)函數(shù)? L的方向與t的增加方向一致? 則

??LP(x,y)dx???P[?(t),?(t)]??(t)dt?

簡要證明? 不妨設(shè)???? 對應(yīng)于t點與曲線L的方向一致的切向量為{??(t)? ??(t)}? 所以cos????(t)?

22??(t)???(t)從而

?LP(x,y)dx??LP(x,y)cos?ds

?????P[?(t),?(t)]??(t)??2(t)???2(t)dt

??2(t)???2(t)

? ??P[?(t),?(t)]??(t)dt?

應(yīng)注意的問題?

下限a對應(yīng)于L的起點? 上限? 對應(yīng)于L的終點? ?不一定小于? ?

例1?計算?Lxydx? 其中L為拋物線y?x上從點A(1? ?1)到點B(1? 1)的一段弧?

2解法一? 以x為參數(shù)? L分為AO和OB兩部分?

AO的方程為y??x? x從1變到0? OB 的方程為y?x? x從0變到1?

因此

?Lxydx??AOxydx??OBxydx

??1x(?10x)dx??xxdx?2?0113x2dx?4? 05

第二種方法? 以y為積分變量? L的方程為x?y2? y從?1變到1? 因此?

22?4xydx?yy(y)dy?2ydy??L??1??1

51例2? 計算?Ly2dx?

(1)L為按逆時針方向繞行的上半圓周x2+y2=a2 ?

(2)從點A(a? 0)沿x軸到點B(?a?

0)的直線段?

解

(1)L 的參數(shù)方程為 x?a cos?? y?a sin??

?從0變到??

因此

4a3?

22232ydx?asin?(?asin?)d??a(1?cos?)dcos????L?0?032?a??(2)L的方程為y?0? x從a變到?a?

因此

?Lydx??a0dx?0?

2例

3計算?L2xydx?x2dy?(1)拋物線y?x上從O(0? 0)到B(1? 1)的一段弧?(2)拋物線x?y2上從O(0? 0)到B(1? 1)的一段弧?(3)從O(0? 0)到A(1? 0)? 再到R(1? 1)的有向折線OAB ?

解

(1)L? y?x2? x從0變到1? 所以

?L2xydx?x2dy??(2x?x2?x2?2x)dx?4?x3dx?1?

0021211(2)L? x?y2? y從0變到1? 所以

?L2xydx?xdy??0(2y?y?2y?y)dy?5?y4dy?1 ?

041

(3)OA? y?0? x從0變到1? AB? x?1? y從0變到1?

?L2xydx?x2dy??OA2xydx?x2dy??AB2xydx?x2dy

?(2x?0?x2?0)dx?(2y?0?1)dy?0?1?1? ?01?01

例4? 計算??x3dx?3zy2dy?x2ydz? 其中?是從點A(3? 2? 1)到點B(0? 0? 0)的直線段AB?

解? 直線AB的參數(shù)方程為

x?3t? y?2t? x?t?

t從1變到0? 所以 所以

I?87?

3223[(3t)?3?3t(2t)?2?(3t)?2t]dt?87tdt???1?1400

例5? 設(shè)一個質(zhì)點在M(x? y)處受到力F的作用? F的大小與M到原點O的距離成正比? F

x2?y2?1的方向恒指向原點?

此質(zhì)點由點A(a? 0)沿橢圓2按逆時針方向移動到點B(0? b)? 2ab求力F所作的功W?

x2?y2?1

例5? 一個質(zhì)點在力F的作用下從點A(a? 0)沿橢圓2按逆時針方向移動到點

ab2B(0? b)? F的大小與質(zhì)點到原點的距離成正比? 方向恒指向原點? 求力F所作的功W?

解? 橢圓的參數(shù)方程為x?acost? y?bsint ? t從0變到? ??

r?OM?xi?yj? F?k?|r|?(?其中k>0是比例常數(shù)?

r)??k(xi?yj)?

|r|?xdx?ydy?

于是

W??? ?kxdx?kydy??k?A ABB

??k

?02(?a2costsint?b2sintcost)dt

????k(a2?b2)02sintcostdt?k(a2?b2)?

三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系

由定義? 得

?LPdx?Qdy??L(Pcos??Qsin?)ds ?L?L

?{P,Q}?{cos?,sin?}ds?F?dr?

其中F?{P? Q}? T?{cos?? sin?}為有向曲線弧L上點(x? y)處單位切向量? dr?Tds?{dx? dy}?

類似地有

??Pdx?Qdy?Rdz???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds ????

?{P,Q,R}?{cos?,cos?,cos?}ds?F?dr?

其中F?{P? Q? R}? T?{cos?? cos?? cos?}為有向曲線弧?上點(x? y? z)處單們切向量? dr?Tds ?{dx? dy? dz }?

一、格林公式

單連通與復(fù)連通區(qū)域?

設(shè)D為平面區(qū)域? 如果D內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于D?

則稱D為平面單連通區(qū)域? 否則稱為復(fù)連通區(qū)域?

對平面區(qū)域D的邊界曲線L? 我們規(guī)定L的正向如下? 當(dāng)觀察者沿L的這個方向行走時? D內(nèi)在他近處的那一部分總在他的左邊?

區(qū)域D的邊界曲線L的方向?

定理1設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成? 函數(shù)P(x? y)及Q(x? y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則有

??(D?Q?P?)dxdy??Pdx?Qdy?

L?x?y其中L是D的取正向的邊界曲線?

簡要證明?

僅就D即是X－型的又是Y－型的區(qū)域情形進行證明?

設(shè)D?{(x? y)|?1(x)?y??2(x)? a?x?b}? 因為

?P連續(xù)? 所以由二重積分的計算法有 ?y?Pdxdy?b{?2(x)?P(x,y)dy}dx?b{P[x,?(x)]?P[x,?(x)]}dx?

21???y?a??1(x)?y?aD另一方面? 由對坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)及計算法有

?LPdx??LPdx??LPdx??aP[x,?1(x)]dx??bP[x,?2(x)]dx

12ba

?{P[x,?1(x)]?P[x,?2(x)]}dx?

因此

??ab?Pdxdy?Pdx? ???y?LD

設(shè)D?{(x? y)|?1(y)?x??2(y)? c?y?d}? 類似地可證

?Q???xdxdy??LQdx?

D由于D即是X－型的又是Y－型的? 所以以上兩式同時成立? 兩式合并即得

??Q?P???dxdy??Pdx?Qdy?

???L?x?y?D?

應(yīng)注意的問題?

對復(fù)連通區(qū)域D? 格林公式右端應(yīng)包括沿區(qū)域D的全部邊界的曲線積分? 且邊界的方向?qū)^(qū)域D來說都是正向?

設(shè)區(qū)域D的邊界曲線為L? 取P??y? Q?x? 則由格林公式得

2??dxdy??Lxdy?ydx? 或A???dxdy?2?Lxdy?ydx?

D1D

例1? 橢圓x?a cos? ? y?b sin? 所圍成圖形的面積A?

分析?

只要?Q?P?Q??1? 就有??(??P)dxdy???dxdy?A?

?x?y?x?yDD

解? 設(shè)D是由橢圓x=acos? ? y=bsin? 所圍成的區(qū)域?

令P??1y? Q?1x? 則?Q??P?1?1?1?

?x?y2222于是由格林公式?

A?1ydx?1xdy?1?ydx?xdy dxdy?????L222?LD

?2?112?(absin22??abcos?)d??ab?d???ab?

?0220

例2 設(shè)L是任意一條分段光滑的閉曲線? 證明

?L2xydx?x2dy?0?

?Q?P??2x?2x?0?

?x?y

證? 令P?2xy? Q?x2? 則因此? 由格林公式有?L2xydx?x2dy????0dxdy?0?(為什么二重積分前有“?”號？)

D2

例3? 計算??e?ydxdy? 其中D是以O(shè)(0? 0)? A(1? 1)? B(0? 1)為頂點的三角形閉區(qū)域?

D

分析? 要使?Q?P?y22??e? 只需P?0? Q?xe?y?

?x?y

2解? 令P?0? Q?xe?y? 則

?Q?P?y2??e? 因此? 由格林公式有 ?x?y?y2

??eD?y2dxdy?OA?AB?BO?xedy??xeOA?y2dy??xe?xdx?1(1?e?1)?

0212

例4 計算xdy?ydx?Lx2?y2? 其中L為一條無重點、分段光滑且不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線? L的方向為逆時針方向?

?y?Qy2?x2?Px22

解? 令P?2? Q?2? 則當(dāng)x?y?0時? 有?

???x(x2?y2)2?yx?y2x?y2記L 所圍成的閉區(qū)域為D? 當(dāng)(0? 0)?D時? 由格林公式得

xdy?ydx?Lx2?y2?0?

當(dāng)(0? 0)?D時? 在D內(nèi)取一圓周l? x2?y2?r 2(r>0)? 由L及l(fā)圍成了一個復(fù)連通區(qū)域D 1? 應(yīng)用格林公式得

xdy?ydxxdy?ydx?Lx2?y2??lx2?y2?0?

其中l(wèi)的方向取逆時針方向?

2?r2cos2??r2sin2?xdy?ydxxdy?ydxd??2?? ??22 ??于是?0Lx2?y2lx?yr2

解 記L 所圍成的閉區(qū)域為D?

當(dāng)(0? 0)?D時? 由格林公式得

xdy?ydx?Q?P?(?Lx2?y2???x??y)dxdy?0?

D

當(dāng)(0? 0)?D時? 在D內(nèi)取一圓周l? x2?y2?r2(r?0)? 由L及l(fā)圍成了一個復(fù)連通區(qū)域D1? 應(yīng)用格林公式得 xdy?ydx?Q?P?(?L?lx2?y2???x??y)dxdy?0?

D1即xdy?ydxxdy?ydx?Lx2?y2??lx2?y2?0?

其中l(wèi)的方向取順時針方向?

于是

xdy?ydxxdy?ydx2?r2cos2??r2sin2?d??2?? ??Lx2?y2?l?x2?y2??0r2?y?Qy2?x2?Px22分析? 這里P?2? Q?2? 當(dāng)x?y?0時? 有?

???x(x2?y2)2?yx?y2x?y2

第五篇：測量曲線的方法

測量曲線的長度 以直代曲法：用圓規(guī)取一定長度如1cm，然后逐段去測量曲線，最后得出曲線長度。滾輪法：用硬幣緊貼著曲線，從一端滾到另一端記下滾動的圈數(shù)，再測硬幣的周長，最后算出曲線長度。覆蓋法 用繩子沿曲線覆蓋，從一端到另一端，最后將繩子拉直進行測量！

測量一張紙的厚度

累積法：先測出許多張紙的厚度，再算出一張紙的厚度。