第一篇：2010年高考數(shù)學幾何證明試題分類解析(學生版)

2010年高考數(shù)學幾何證明試題分類解析

1、（2010陜西文數(shù)）15.（幾何證明選做題）如圖，已知Rt△ABC的兩條直角邊AC，BC的長分別為3cm，4cm，以AC為直徑的圓與AB交于點D，則BD＝cm.2、（2010北京理數(shù)）（12）如圖，?O的弦ED，CB的延長線交于點A。若BD?AE，AB＝4, BC＝2, AD＝3,則DE＝；CE＝。

3、（2010天津文數(shù)）（11）如圖，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長AB和DC相交于點P。若PB=1，PD=3，則的值為。

4、（2010天津理數(shù)）（14）如圖，四邊形ABCD是圓

O的內(nèi)接四邊形，延長AB和DC相交于點P，若

PB

PA=1PC1BC,=,則的值為。2PD3ADBCAD5、（2010廣東理數(shù)）

14、（幾何證明選講選做題）

如圖3，AB，CD是半徑為a的圓O的兩條弦，它們

相交于AB的中點P，PD=2a

3，∠OAP=30°，則CP＝______.6、（2010廣東文數(shù)）14.（幾何證明選

做題）如圖3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB,CB?AB,AB=AD=a,CD=a

2,點E,F分別為線段AB,AD的中點，則EF=

7、（2010遼寧理數(shù)）（22）（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講 如圖，?ABC的角平分線AD的延長線交它的外接圓于點E（I）證明：?ABE

?ADC

（II）若?ABC的面積S?12AD?AE，求?BAC的大小。

8、（2010江蘇卷）21.選修4-1：幾何證明選講 AB是圓O的直徑，D為圓O上一點，過D作圓O的切線交AB延長線于點C，若DA=DC，求證：AB=2BC。

第二篇：2010年高考數(shù)學幾何證明試題分類解析(教師版)

2010年高考數(shù)學幾何證明試題分類解析

1、（2010陜西文數(shù)）15.（幾何證明選做題）如圖，已知Rt△ABC的兩條直角邊AC，BC的長分別為3cm，4cm，以AC為直徑的圓與AB交于點D，則BD＝

解析：?CD?AB,由直角三角形射影定理可得 16cm.5BC2?BD?BA,又BC?4,BA?5,所以BD?16 52、（2010北京理數(shù)）（12）如圖，?O的弦ED，CB的延長線交于

點A。若BD?AE，AB＝4, BC＝2, AD＝3,則DE＝；

CE＝。

答案：

53、（2010天津文數(shù)）（11）如圖，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長AB和DC相交于點P。若PB=1，PD=3，則

【答案】BC的值為。AD1

3【解析】本題主要考查四點共圓的性質(zhì)與相似三角形的性

質(zhì)，屬于容易題。

因為A,B,C,D四點共圓，所以?DAB??PCB,?CDA??PBC,因為?P為公共角，所以 ⊿PBC∽⊿PAB,所以BCPB1== ADPD3

【溫馨提示】四點共圓時四邊形對角互補，圓與三角形綜合問題是高考中平面幾何選講的重要內(nèi)容，也是考查的熱點。

4、（2010天津理數(shù)）（14）如圖，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長AB和DC相交于點P，若PB1PC1BC=,=,則的值為。

PA2PD3AD

【解析】本題主要考查四點共圓的性質(zhì)與相似三角

形的性質(zhì)，屬于中等題。

因為A,B,C,D四點共圓，所以?DAB??PCB,?CDA??PBC,因為?P為公共角，所以

⊿PBC∽⊿PAB,所以PBPCBCxy??.設(shè)OB=x，PC=y，則有，所以??x?

PDPAAD3y2xBCx ??AD3y65、（2010廣東理數(shù)）

14、（幾何證明選講選做題）如圖3，AB，CD是半徑為a的圓O的兩條弦，它們相交于AB的中點P，PD=2a，∠OAP=30°，則CP＝______.9 14．a(chǎn)．因為點P是AB的中點，由垂徑定理知，OP?AB.8

在Rt?OPA中，BP?AP?acos30??.由相交線定理知，2BP?AP?CP?DP92?CP?a，所以CP?a． 836、（2010廣東文數(shù)）14.（幾何證明選講選做題）如圖3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB,CB?AB,AB=AD=a,CD=

點E,F分別為線段AB,AD的中點，則EF= a, 2a

2解：連結(jié)DE，可知?AED為直角三角形。則EF是Rt?DEA斜

邊上的中線，等于斜邊的一半，為a.27、（2010遼寧理數(shù)）（22）（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講

如圖，?ABC的角平分線AD的延長線交它的外接圓于點E

?ADC（I）證明：?ABE

（II）若?ABC的面積S?1AD?AE，求?BAC的大小。

2證明：

（Ⅰ）由已知條件，可得?BAE??CAD

B?因為?AE與

?AEB=?ACD AC是同弧上的圓周角，所以

故△ABE∽△ADC.……5分

ABAD?，即AB·AC=AD·AE.AEAC

11又S=AB·ACsin?BAC，且S=AD·AE，故AB·ACsin?BAC= AD·AE.22

則sin?BAC=1，又?BAC為三角形內(nèi)角，所以?BAC=90°.……10分（Ⅱ）因為△ABE∽△ADC，所以

8、（2010江蘇卷）21.選修4-1：幾何證明選講（本小題滿分10分）AB是圓O的直徑，D為圓O上一點，過D作圓O的切線交AB延長線于點C，若DA=DC，求證：AB=2BC。

[解析] 本題主要考查三角形、圓的有關(guān)知識，考查推理論證能力。

（方法一）證明：連結(jié)OD，則：OD⊥DC，又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，所以∠DCO=300，∠DOC=600，所以O(shè)C=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。

（方法二）證明：連結(jié)OD、BD。

因為AB是圓O的直徑，所以∠ADB=900，AB=2 OB。

因為DC 是圓O的切線，所以∠CDO=900。

又因為DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，于是△ADB≌△CDO，從而AB=CO。

即2OB=OB+BC，得OB=BC。

故AB=2BC。

第三篇：中考數(shù)學幾何證明、計算題及解析

1、如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2.(1)求證：DC=BC;

(2)E是梯形內(nèi)一點，F(xiàn)是梯形外一點，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，試判斷△ECF的形狀，并證明你的結(jié)論；

(3)在（2）的條件下，當BE：CE=1：2，∠BEC=135°時，求sin∠BFE的值.AB[解析]（1）過A作DC的垂線AM交DC于M,則AM=BC=2.又tan∠ADC=2,所以DM?

(2)等腰三角形.2?1.即DC=BC.2F

D

C證明：因為DE?DF,?EDC??FBC,DC?BC.所以，△DEC≌△BFC

所以，CE?CF,?ECD??BCF.所以，?ECF??BCF??BCE??ECD??BCE??BCD?90?

即△ECF是等腰直角三角形.（3）設(shè)BE?k,則CE?CF?

2k，所以EF?.因為?BEC?135?，又?CEF?45?，所以?BEF?90?.所以BF??3k 所以sin?BFE?k1?.3k32、已知：如圖，在□ABCD 中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線，AG∥DB交CB的延長線于G．

（1）求證：△ADE≌△CBF；

（2）若四邊形 BEDF是菱形，則四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論．

[解析]（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD ．

∵點E、F分別是AB、CD的中點，∴AE＝11AB，CF＝CD ． 2

2∴AE＝CF

∴△ADE≌△CBF ．

（2）當四邊形BEDF是菱形時，四邊形 AGBD是矩形．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC ．

∵AG∥BD，∴四邊形 AGBD 是平行四邊形．

∵四邊形 BEDF 是菱形，∴DE＝BE ． ∵AE＝BE，∴AE＝BE＝DE ．

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．

∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2∠2＋2∠3＝180°． ∴∠2＋∠3＝90°． 即∠ADB＝90°．∴四邊形AGBD是矩形

3、如圖13－1，一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起．現(xiàn)正方形ABCD保持不動，將三角尺GEF繞斜邊EF的中點O（點O也是BD中點）按順時針方向旋轉(zhuǎn)．

（1）如圖13－2，當EF與AB相交于點M，GF與BD相交于點N時，通過觀察或測量BM，F(xiàn)N的長度，猜想BM，F(xiàn)N滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

（2）若三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖13－3所示的位置時，線段FE的延長線與AB的延長線相交于點M，線段

BD的延長線與GF的延長線相交于點N，此時，（1）中的猜想還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

A(B(E)

圖13－1 圖13－

2圖13－

3[解析]（1）BM=FN．

證明：∵△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF． 又∵∠BOM=∠FON，∴ △OBM≌△OFN ． ∴ BM=FN．

（2）BM=FN仍然成立．

（3）證明：∵△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF． ∴∠MBO=∠NFO=135°．

又∵∠MOB=∠NOF，∴ △OBM≌△OFN ． ∴ BM=FN．

4、如圖，已知⊙O的直徑AB垂直于弦CD于E，連結(jié)AD、BD、OC、OD，且OD＝5。

（1）若sin∠BAD?，求CD的長；

5（2）若 ∠ADO：∠EDO＝4：1，求扇形OAC（陰影部分）的面積（結(jié)果保留?）。

[解析]（1）因為AB是⊙O的直徑，OD＝5

所以∠ADB＝90°，AB＝10

BD

AB

3BD

3?，所以BD?6 又sin∠BAD?，所以

5105

在Rt△ABD中，sin∠BAD?

AD?

AB2?BD2?2?62?8

因為∠ADB＝90°，AB⊥CD

所以DE·AB?AD·BD，CE?DE 所以DE?10?8?6 所以DE?5

485

所以CD?2DE?

（2）因為AB是⊙O的直徑，AB⊥CD

所以CB?BD，AC?AD

所以∠BAD＝∠CDB，∠AOC＝∠AOD 因為AO＝DO，所以∠BAD＝∠ADO 所以∠CDB＝∠ADO

設(shè)∠ADO＝4x，則∠CDB＝4x

由∠ADO：∠EDO＝4：1，則∠EDO＝x 因為∠ADO＋∠EDO＋∠EDB＝90° 所以4x?4x?x?90? 所以x＝10°

所以∠AOD＝180°－（∠OAD＋∠ADO）＝100° 所以∠AOC＝∠AOD＝100°

⌒⌒⌒⌒

S扇形OAC?

100125

???52??360185、如圖，已知：C是以AB為直徑的半圓O上一點，CH⊥AB于點H，直線AC與過B點的切線相交于點D，E為CH中點，連接AE并延長交BD于點F，直線CF交直線AB于點G.

（1）求證：點F是BD中點；（2）求證：CG是⊙O的切線；（3）若FB=FE=2，求⊙O的半徑．

[解析](1)證明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF

∴

EHAECE，∵HE＝EC，∴BF＝FD

??

BFAFFD

(2)方法一：連接CB、OC，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°∵F是BD中點，∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO ∴∠OCF=90°,∴CG是⊙O的切線---------6′

方法二：可證明△OCF≌△OBF(參照方法一標準得分)(3)解：由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC可證得：FA＝FG，且AB＝BG由切割線定理得：（2＋FG）2＝BG×AG=2BG2○2 在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2＝FG2－BF2 ○

1、○2得：FG2-4FG-12=0 由○

解之得：FG1＝6，F(xiàn)G2＝－2（舍去）

∴AB＝BG＝42 ∴⊙O半徑為226、如圖，已知O為原點，點A的坐標為（4，3），⊙A的半徑為2．過A作直線l平行于x軸，點P在直線l上運動．（１）當點P在⊙O上時，請你直接寫出它的坐標；

（２）設(shè)點P的橫坐標為12，試判斷直線OP與⊙A的位置關(guān)系，并說明理由.[解析]

解: ⑴點P的坐標是（2,3）或（6,3）

⑵作AC⊥OP,C為垂足.∵∠ACP=∠OBP=90,∠1=∠

1∴△ACP∽△OBP

?

ACAP

?OBOP

AC? 在Rt?OBP中,OP又AP=12-4=8,∴ 3∴

∴

AC=241.9

4∵1.94<

2∴OP與⊙A相交.7、如圖，延長⊙O的半徑OA到B，使OA=AB，DE是圓的一條切線，E是切點，過點B作DE的垂線，垂足為點C.求證：∠ACB=

∠OAC.3O

A

B

[解析]

證明：連結(jié)OE、AE，并過點A作AF⊥DE于點F，（3分）

∵DE是圓的一條切線，E是切點，∴OE⊥DC，又∵BC⊥DE,∴OE∥AF∥BC.∴∠1=∠ACB，∠2=∠

3.∵OA=OE，∴∠4=∠3.∴∠4=∠2.又∵點A是OB的中點，∴點F是EC的中點.∴AE=AC.∴∠1=∠2.∴∠4=∠2=∠1.即∠ACB=

∠OAC.3

?

8、如圖１，一架長4米的梯子AB斜靠在與地面OM垂直的墻壁ON上，梯子與地面的傾斜角α為60． ⑴求AO與BO的長；

⑵若梯子頂端A沿NO下滑，同時底端B沿OM向右滑行.①如圖2，設(shè)A點下滑到C點，B點向右滑行到D點，并且AC:BD=2:3，試計算梯子頂端A沿NO下滑多少米；

②如圖３，當A點下滑到A’點，B點向右滑行到B’點時，梯子AB的中點P也隨之運動到P’點．若∠POP’＝ 15，試求AA’的長．

?

[解析]

⑴Rt?AOB中,∠O=90,∠α=60 ∴,∠OAB=30，又ＡＢ＝4米，?

?

?

AB?2米

.2

OA?AB?sin60??4?.--------------(3分)

∴OB?

⑵設(shè)AC?2x,BD?3x,在Rt?COD中,OC?2x,OD?2?3x,CD?4

根據(jù)勾股定理:OC2?OD2?CD2

∴?2x

?

??2?3x?2

?42-------------(5分)

∴13x2

??12?x?0 ∵x?0∴13x?12?83?0

∴x?-------------(7分)

即梯子頂端A沿NO

.----(8分)

⑶∵點P和點P?分別是Rt?AOB的斜邊AB與Rt?A'OB'的斜邊A'B'的中點∴PA?PO，P'

A'?P'O-------------(9分)∴?PAO??AOP,?P?A?O??A?OP?-------(10分)∴?P?A?O??PAO??A?OP???AOP

∴?P?A?O??PAO??POP??15?

∵?PAO?30?

∴?P?A?O?45?

-----------------------(11分)

∴A?O?A?B??cos45?

?4?

分)

∴AA??OA?A?O?米.--------(13分)

第四篇：2012高考試題分類：推理和證明

推理和證明

1.【2011江西高考理】觀察下列各式：55＝3 125,56＝15 625，57＝78 125，…，則52 011的末四位數(shù)字為

()

A．3125B．5625C．0625D．8125 2.【2012高考上海文】若Sn?sin

個數(shù)是（）

A、16B、72C、86D、100【答案】C 3.【2011陜西高考理】觀察下列等式

1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49

……

照此規(guī)律，第n個等式為__________．

4.【2010陜西高考理】觀察下列等式：1＋2＝31＋2＋3＝61＋2＋3＋4＝10，…，根據(jù)上述規(guī)

律，第五個等式為__________． ．．．．．5.【2012高考陜西文】觀察下列不等式

1?

?

?sin

2?7

?...?sin

n?7

（n?N?），則在S1,S2,...,S100中，正數(shù)的332,3332,33332

?

1?

?

?

53，1?

?

??

1413

??

5314

……

?15

照此規(guī)律，第五個不等式為【答案】1?．．．

222

?

?

116

.6.【2102高考福建文20】某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)。

（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°

（4）sin2（-18°）+cos248°-sin2（-18°）cos248°（5）sin2（-25°）+cos255°-sin2（-25°）cos255°（Ⅰ）試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)

（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的計算結(jié)果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣位三角恒等式，并證明你的結(jié)論。

|x|?|y|?2的不同7.【2012高考江西文】觀察下列事實|x|?|y|?1的不同整數(shù)解(x,y)的個數(shù)為4，整數(shù)解(x,y)的個數(shù)為8，|x|?|y|?3的不同整數(shù)解(x,y)的個數(shù)為12 ….則|x|?|y|?20的不同整數(shù)解(x,y)的個數(shù)為

A.76B.80C.86D.92【答案】B

8.【2012高考湖北】傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家經(jīng)常在沙灘上畫點或用小石子表示數(shù)．他們研

究過如圖所示的三角形數(shù)：

將三角形數(shù)1,3,6,10，…記為數(shù)列{an}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個新數(shù)列{bn}．可以推測：

(1)b2 012是數(shù)列{an}中的第______項；(2)b2k－1＝______.(用k表示)

9.【2012高考湖北文】傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家經(jīng)常在沙灘上面畫點或用小石子表示數(shù)。他

們研究過如圖所示的三角形數(shù)：

將三角形數(shù)1,3，6,10，…記為數(shù)列{an}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個新數(shù)列{bn}，可以推測：

（1）b2012是數(shù)列{an}中的第______項；

（2）b2k-1=______。（用k表示）【答案】（1）5030；（2）

xx?2

5k?5k?1?

10.【2011年高考山東卷理科】設(shè)函數(shù)f(x)?

xx?2, x3x?4

x7x?8

x15x?16, , ,(x?0),觀察:

f1(x)?f(x)?

f2(x)?f(f1(x))?f3(x)?f(f2(x))?f4(x)?f(f3(x))?

??

根據(jù)以上事實，由歸納推理可得：

?

當n?N且n?2時，fn(x)?f(fn?1(x))?11.【2011年高考安徽卷理科】在平面直角坐標系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點(x,y)為整點，下列

命題中正確的是_____________（寫出所有正確命題的編號）.①存在這樣的直線，既不與坐標軸平行又不經(jīng)過任何整點 ②如果k與b都是無理數(shù)，則直線y?kx?b不經(jīng)過任何整點 ③直線l經(jīng)過無窮多個整點，當且僅當l經(jīng)過兩個不同的整點

④直線y?kx?b經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是：k與b都是有理數(shù) ⑤存在恰經(jīng)過一個整點的直線

12.【2011年高考湖北卷理科】給n個自上而下相連的正方形著黑色或白色．當n≤4時，在所有不同的著

色方案中，黑色正方形互不相鄰的著色方案如下圖所示：

．．．．

由此推斷，當n＝6時，黑色正方形互不相鄰的著色方案共有__________種，至少有兩個黑色正方形．．．．相鄰的著色方案共有__________種．(結(jié)果用數(shù)值表示)．．

13.觀察下列數(shù)字

照此規(guī)律，2013在第______行第________列 14.觀察下列數(shù)字

照此規(guī)律，2013在第______行第________列 15.觀察下列數(shù)字

照此規(guī)律，第2013個數(shù)字是______

第5題第6題

16.【2012高考全國文12】正方形ABCD的邊長為1，點E在邊AB上，點F在邊BC上，AE?BF?

13。

動點P從E出發(fā)沿直線向F運動，每當碰到正方形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角，當點P第一次碰到E時，P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為

（A）8（B）6（C）4（D）3 【答案】B

17.【2012高考湖南文16】對于n?N?，將n表示為n?ak?2k?ak?1?2k?1???a1?21?a0?20,當i?k

時ai?1，當0?i?k?1時ai為0或1，定義bn如下：在n的上述表示中，當a0,a1，a2，…，ak中等于1的個數(shù)為奇數(shù)時，bn=1；否則bn=0.（1）b2+b4+b6+b8=__；

（2）記cm為數(shù)列{bn}中第m個為0的項與第m+1個為0的項之間的項數(shù)，則cm的最大值是___.【答案】（1）3；（2）2.18.【2011高考湖南理】對于n∈N，將n表示為n?a0?2k?a1?2k?1?a2?2k?2???ak?1?21?ak?20，當i＝0時，ai＝1，當1?i?k時，ai為0或1.記I(n)為上述表示中ai為0的個數(shù)(例如：1＝1×20，4＝1×22＋0×2＋0×2，故I(1)＝0，I(4)＝2)，則

127

*

(1)I(12)＝______；(2)

?2

n?1

I(n)

?______.19.【2102高考北京文】設(shè)A是如下形式的2行3列的數(shù)表，滿足性質(zhì)P：a，b，c，d，e，f∈[-1,1],且a+b+c+d+e+f=0.記ri（A）為A的第i行各數(shù)之和（i=1,2），Cj（A）為第j列各數(shù)之和（j=1，2，3）；

記k（A）為|r1(A)|, |r2(A)|, |c1(A)|，|c2(A)|，|c3(A)|中的最小值。

對如下數(shù)表A，求k（A）的值

設(shè)數(shù)表A形如

其中-1≤d≤0，求k（A）的最大值；

（Ⅲ）對所有滿足性質(zhì)P的2行3列的數(shù)表A，求k(A)的最大值。

第五篇：2012高考數(shù)學幾何證明選講

幾何證明選講

模塊點晴

一、知識精要

值叫做相似比（或相似系數(shù)）。

由于從定義出發(fā)判斷兩個三角形是否相似，需考慮

6個元素，即三組對應(yīng)角是否分別相等，三組對應(yīng)邊是否分別成比例，顯然比較麻煩。所以我們曾經(jīng)給出過如下幾個判定兩個三角形相似的簡單方法：

（1）兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似；

（2）兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；

（3）三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似。

形與三角形相似。

對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)

對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。

對于任意兩個三角形，如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應(yīng)

條直線平行于三角形的第三邊。

1）如果兩個直角三角形有一個銳角對應(yīng)相等，那么它們相似；

（2）如果兩個直角三角形的兩條直角邊對應(yīng)成比例，那么它們相似。

（1）相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)平分線的比都等于相似比；

（2）相似三角形周長的比等于相似比；

（3）相似三角形面積的比等于相似比的平方。

相似三角形外接圓的直徑比、周長比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方。

它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項。

°的圓周角所對的弦是直徑。

圓內(nèi)接四邊形判定定理：如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓。

切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。的比例中項。

兩條切線的夾角。

二、方法秘笈

⒈幾何證明選講內(nèi)容的考點雖多，主要還是集中在對圓的相關(guān)內(nèi)容的考查，而圓中又主要以與切線有關(guān)的性質(zhì)、圓冪定理、四點共圓這幾個內(nèi)容的考查為主。

⒉雖然本書內(nèi)容主要是由原初三內(nèi)容改編過來，而在初中，相關(guān)內(nèi)容也已經(jīng)刪去，似乎教師教與學生學都有一定難度，但是由于學生經(jīng)過兩年的高中學習，邏輯性、嚴密性都有了較大的提高，只要教學得法，學生對這部分的學習應(yīng)該并不會感到困難。

⒊緊扣課本中的例習題進行學習，重視各個定理的來龍去脈，理解其中滲透的重要的數(shù)學思想方法，因為高考試題中所采取的一些方法多來自課本中定理的證明方法及例習題的證明方法；

試題解析

一、選擇題

例1.（2012北京、理科）如圖.∠ACB=90o，CD⊥AB于點D，以BD為直徑的圓與BC交于

點E.則()

A.CE·CB=AD·DBB.CE·CB=AD·AB C.AD·AB=CD 2D.CE·EB=CD 2

【解析】A。在?ACB中，∠ACB=90o，CD⊥AB于點D，所以CD理的CD

二、填空題

例1.（2012全國、文科）如圖，已知AB和AC是圓的兩條弦，過點B作圓的切線與AC的延長線相交于D.過點C作BD的平行線與圓交于點E,與AB相交于點

F,AF?3,FB?1,EF?

?AD?DB,由切割線定

?CE?CB,所以CE·CB=AD·DB。

32,則線段CD的長為

【解析】如圖連結(jié)BC，BE，則∠1=∠2，∠2=∠A

??A??1，又∠B=∠B，??CBF∽?ABC，CBBFCBCF??,?,代入數(shù)值得BC=2，ABBCABAC

AC=4，又由平行線等分線段定理得解得CD=

ACCD

?

AFFB,.【答案】

例2.(2012湖南、理科)如圖2，過點P的直線與圓O相交于A，B兩點.若PA=1，AB=2，PO=3，則圓O的半徑等于

_______.PO交圓O于C，D，如圖，設(shè)圓的半徑為R，由割線定理知

PA?PB?PC?PD,即1?(1?2)?(3-r)(3?r),?r?

P

例3.（2012天津、理科）如圖，已知AB和AC是圓的兩條弦.過點B作圓的切線與AC的延長線相交于點D,過點C作BD的平行線與圓相交于點Ｅ，與AB相交于點F，AF=3，F(xiàn)B=1，EF=

32，則線段CD的長為

【解析】∵AF=3，F(xiàn)B=1，EF=

432

ABAF，由相交弦定理得AF?FB=EF?FC，所以FC=2，?FC=83

又∵BD∥CE，∴

AFAB

=

FCBD，BD=

?2=

83，設(shè)CD=x，則AD=4x，再由切

割線定理得BD=CD?AD，即x?4x=（練習題

1.（2012湖北、理科）)，解得x=，故CD=

43.如圖，點D在⊙O的弦AB上移動，AB=4，連接OD，過點D作OD的垂線交⊙O于點C，則CD的最大值為_____________。

答案：

22.（2012陜西、文理科）如圖，在圓O中，直徑AB與弦CD垂直，垂足為E，EF?DB，垂足為F，若AB?6，AE?1，則DF?DB?5。

三、解答題

例1(2012年全國新課標卷)如圖，D，E分別為△ABC邊AB，AC的中點，直線DE交△ABC的外接圓于F，G兩點，若CF//AB，證明：

G

F

(Ⅰ)CD=BC；

(Ⅱ)△BCD∽△GBD

【解析】（1）CF//AB，DF//BC?CF//BD//AD?CD?BFCF//AB?AF?BC?BC?CD

（2）BC//GF?BG?FC?BD

BC//GF??GDE??BGD??DBC??BDC??BCD??GBD

O相交例2．（2012遼寧、文理科）如圖，⊙O和⊙

/

于A,B兩點，過A作兩圓的切線分別交兩圓于C，D

兩點，連接DB并延長交⊙O于點E。

證明

（Ⅰ）AC?BD?AD?AB；（Ⅱ）AC?AE。

例3.（2012江蘇、理科）如圖，AB是圓O的直徑，D，E為圓上位于AB異側(cè)的兩點，連結(jié)

BD并延長至點C，使BD = DC，連結(jié)AC，AE，DE．

求證：?E??C．

【解析】

21-A題）