第一篇：§2.4用向量討論垂直與平行
一、學習目標
1、理解用向量方法解決立體幾何問題的思想；
2、掌握用向量方法解決立體幾何中的垂直與平行問題
二、學習重、難點
1、重點: 用向量方法解決立體幾何中的垂直與平行問題；
2、難點：怎樣用向量方法解決立體幾何中的垂直與平行問題。
三、提煉精要，理清脈絡
（一）溫故
1、復習必修2回答問題：
①線線平行判定方法：
②線面平行判定方法：
③面面平行判定方法：
④線線垂直判定方法：
⑤線面垂直判定方法 ：
⑥面面垂直判定方法：
2、怎樣證明兩個空間向量平行和垂直？
（二）知新
閱讀課本P40—41，回答問題：
??
3、若兩條直線l1、l2的方向向量分別為a1???、a2，怎樣用向量的方法證明兩條直線垂直
和平行？
??
4、若兩個平面?
1、?2的法向量向量分別為n1???、n2，怎樣用向量的方法證明兩個平面
垂直和平行？
??
5、若直線l1的方向向量分別為a1??，平面?1的法向量向量分別為n1，怎樣用向量的方法
證明直線和平面垂直和平行？
四、典例探究，深化理解
例
1、（P40）用向量證明線面垂直判定定理
若一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，則該直線與此平面垂直。
例
2、（P40）用向量證明面面平行判定定理
pc
a
若一個平面內(nèi)兩條相交直線都平行另一個平面，則這兩個平面平行。
例
3、(P41)用向量證明三垂線定理
若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面外的一條直線在該平面上的投影，則這兩條直線垂直。
思考與交流：
1、用向量證明三垂線定理的逆定理（P42 A組1）
2、借助向量知識證明面面垂直判定定理
練習：P4112
3總結(jié)歸納：
1、用向量方法解決立體幾何的垂直與平行問題的本質(zhì)是什么？
2、注意將常規(guī)方法與向量法相結(jié)合3、建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，求出直線的方向向量和平面的法向量坐標
作業(yè)：P42 A組23B組
五、題型分析
（一）線線垂直或平行問題：
1、在直三棱柱ABC?A1B1C1中，?ABC?900，CB?1，CA?
2，AA1?中點，求證：AM?BA
1CB1，點M是CC1的M
C
（二）線面垂直或平行問題：
如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥
CE=EF=1.（Ⅰ）求證：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求證：CF⊥平面BDE；
A
（三）面面垂直或平行問題：
1、P57A組132、金太陽導學案P27例
3??的探究拓展u,v
六、練習
?????
1、若兩條直線l1、l2的方向向量分別為a1??1,0,?1?、a2???2,0,?2?，則兩條直線l1、l
2的位置關系（）
A平行B相交C垂直D不能確定
?????
2、若兩平面?
1、?2的法向量分別為n1??1,0,?2?、n2???1,0,2?，則兩平面?
1、?2的位置關系（）
A平行B相交C垂直D不能確定
???1?
3、若直線l的方向向量為a??2,1,m?，平面?的法向量為n??1，2?，且l??，則
?2?
m?_______
4、在長方體ABCD?A1B1C1D1中，DA=3，DC=4，DD1?2，AP?2PA1，C1S?2SC，R、Q分別是AB、D1C1中點，求證：PQ?RS
R
S C
A
5．如圖，E,F,G,H分別為正方體AC1A1B1,A1D1,B1C1,D1C1的中點，求證：（1）E,F,D,B四點共面；（2）平面AEF//平面BDHG．
FA
1E
B1
D1H
G
C1
DA
B
C
七、小結(jié)：
設兩不同直線，則
??的方向向量分別為a,b，兩不同平面
??，的法向量分別為u,v，????
①線線平行：l//m?a//b?a??b,??R
????
②線線垂直：l?m?a?b?a?b?0；
????
③線面平行：在平面外，l//??a?u?a?u?0；
????
④線面垂直：l???a//u?a??u,??R；
????
⑤面面平行：?//??u//v?u??v,??R；
????
⑥面面垂直：????u?v?u?v?0.八、作業(yè)P42A組4P56A組101112
第二篇：《用向量討論垂直與平行》說課稿
作為一名默默奉獻的教育工作者，可能需要進行說課稿編寫工作，編寫說課稿助于積累教學經(jīng)驗，不斷提高教學質(zhì)量。那么優(yōu)秀的說課稿是什么樣的呢？下面是小編為大家收集的《用向量討論垂直與平行》說課稿，僅供參考，大家一起來看看吧。
一、教材分析
1.在教材中的地位與作用
本章內(nèi)容《空間向量與立體幾何》是在學習了立體幾何的基本理論（必修2）和空間向量知識（必修4）的基礎上提出的，本章的前三節(jié)已經(jīng)將平面向量中的相關知識推廣到了空間，為本節(jié)的學習和研究奠定了基礎.本節(jié)主要是利用向量工具研究空間中的線線、線面、面面的位置關系，是立體幾何的重要方向，是向量工具應用的重要方面，更是向量法解決立體幾何問題的重要課題，是本章的核心內(nèi)容.2.教學目標分析
根據(jù)《新課程標準》的理念，基于對教材的理解和分析，考慮到學生已有的認知結(jié)構(gòu)及心理特征，制定如下三維教學目標：
（1）知識與技能目標
能用向量語言表述空間中線線、線面、面面的垂直與平行的位置關系；
掌握平面的法向量的求法.（2）過程與方法目標
結(jié)合已有的立體幾何知識，運用向量方法，解決立體幾何中垂直與平行的問題.（3）情感態(tài)度與價值觀目標
體驗科學探索的曲折過程，感受在探索問題的過程中的挫折感和成就感，培養(yǎng)合作意識和創(chuàng)新
3.教學重難點分析
根據(jù)以上教學目標，教學重難點確定如下：
教學重點：能用向量方法判斷垂直與平行的位置關系；會求平面的法向量.教學難點：結(jié)合已有的立體幾何知識，運用向量方法，用向量語言證明垂直與平行的問題.二、學情分析
學生已經(jīng)學習了立體幾何中線線、線面、面面的.位置關系，具備有關知識儲備，對坐標法解決幾何問題也有了初步的認識.但是利用向量工具解決空間中垂直與平行的問題還沒有系統(tǒng)的學習過，需要老師循序漸進的引導.三、教法學法分析
1．教學：啟發(fā)引導、數(shù)形結(jié)合、案例分析、構(gòu)建模型.2.學法：觀察分析、自主探究、合作交流、討論歸納.四、教學過程展示
本節(jié)課主要分五個環(huán)節(jié)來完成：復習引入、自主探究、知識運用、課堂
(一)復習引入
給出三個問題，讓學生思考：什么是直線的方向向量？什么是平面的法向量？如何利用向量知識判斷直線與平面間的平行或垂直問題？
設計意圖:1.個問題是引導學生復習已有的知識，為本節(jié)課的學習起到鋪墊作用；2.個問題是引導學生思考與本節(jié)課有關的問題.(二)自主探究
觀察圖形，并用向量語言表述以下位置關系：
設計意圖：1.本節(jié)課本給出的三個例題都是證明題，起點相對較高，考慮到學生的認知結(jié)構(gòu)及心理特征，先給出兩個例題（非證明題）作為鋪墊.2.引導學生用向量方法思考問題，讓學生體會利用向量判斷垂直與平行的方法，突破重點.3.由例1體會到判斷線面位置關系時，平面法向量的重要性.如何求平面的法向量？引出例2.
設計意圖：1.掌握平面法向量的求法.至此突破重點.2.本題用到的理論依據(jù)是線面垂直的判定定理，這個定理用向量方法如何證明？引出例3.例3.（線面垂直判定定理）若一條直線垂直于一個平面內(nèi)的兩條相交直線，則該直線與此平面垂直.設計意圖：讓學生從理論上學會用向量方法證明幾何問題，從另一個側(cè)面體現(xiàn)了利用向量方法研究垂直與平行的重要性，至此突破難點.
（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（化為向量問題）
（2）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關系等問題；（進行向量運算）
（3）把向量的運算結(jié)果“翻譯”成相應的幾何意義.（回到圖形問題）
設計意圖：由例3歸納解題步驟，幫助學生梳理解題思路，構(gòu)建知識體系.學生練習：完成課本41頁練習：1.2.3.(以上三道題目考察的知識點依次是：線線位置關系，線面位置關系，面面位置關系)
設計意圖：學生自己檢驗是否掌握了所學知識，并對所學方法加深理解.（四）課堂
(1)用向量表示線線、線面、面面垂直與平行的關系；
(2)求法向量的步驟；
(3)用向量方法解決立體幾何問題的步驟.設計意圖：引導學生對本節(jié)知識進行回顧，同時檢驗學生對本節(jié)知識的掌握程度，有利于教師更好的根據(jù)學生的情況進行針對性的輔導.（五）布置作業(yè)(反饋提升)
1.課本42頁第2、3題；2.學有余力的同學完成課本41頁的思考交流
(第2、3題考察的知識點依次是：線線位置關系，面面位置關系；思考交流是對“面面垂直的判定定理”的證明)
設計意圖：分層布置作業(yè)，盡可能適應不同層次學生的需要.通過完成作業(yè)，學生可以鞏固所學知識，反饋學習效果，同時也起到了復習的作用.在做作業(yè)的同時，可以加深對知識的理解，提升思維能力.五、教學反思
（1）以屬性結(jié)合的
（2）根據(jù)學生已有的知識水平合理設計本節(jié)課的例題，體現(xiàn)了以學定教，以學生為主體，合作探究的新課程理念；
（3）題目梯度設置合理，有效學生突破重難點；
（4）在知識的鞏固練習部分還有待加強，更好的提升學生思維水平和能力。
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第三篇：9-5用向量方法證明平行與垂直
2012-2013學第一學期數(shù)學理科一輪復習導學案編號：9-5班級：姓名：學習小組：組內(nèi)評價：教師評價：
例2．（線線垂直）
如圖所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°.BC＝1，AA1＝，M是例5．（面面平行）
如圖所示：正方體AC1中，M，N，E，F(xiàn)分別是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中點．求證：平CC1的中點．求證：AB1⊥A1M.例3．（線面平行）
在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是C1C、B1C1的中點．求證：MN∥平面A1BD.例4．（線面垂直）
在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為棱AB和BC的中點，試在棱B1B上找一點M，使得D1M⊥平面EFB1.第三頁
面AMN∥平面EFDB.例6。（面面垂直）
如圖，底面ABCD是正方形，SA?底面ABCD，且SA?AB平面ABCD.第四頁E是SC中點.求證：
平面BDE?y，2012-2013學第一學期數(shù)學理科一輪復習導學案編號：9-5班級：姓名：學習小組：組內(nèi)評價：教師評價：
8．平面α的一個法向量為v1＝(1,2,1)，平面β的一個法向量v2＝－(2,4,2)，則平面α與平面β()A．平行
B．垂直C．相交
D．不能確定
9．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點，則()A．面AED∥面A1FD1B．面AED⊥面A1FD1 C．面AED與面A1FD相交但不垂直D．以上都不對
10．已知l∥α，且l的方向向量為(2，m,1)，平面α的法向量為?
1?1，2，2??，則m＝________.11．如右上圖所示，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一個點Q滿足PQ⊥QD，則a的值等于________．
9.如下圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點． 證明：(1)AE⊥CD；(2)PD⊥平面ABE.第三頁
10.已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E、F、G分別是BB1、DD1、DC的中點，求證：(1)平面ADE∥平面B1C1F；(2)平面ADE⊥平面A1D1G；
(3)在AE上求一點M，使得A1M⊥平面DAE.11.如圖所示,PD⊥平面ABCD,且四邊形ABCD為正方形,AB=2,E是PB的中點,cos〈DP,AE〉=33
.(1)建立適當?shù)目臻g坐標系,寫出點E的坐標；(2)在平面PAD內(nèi)求一點F,使EF
⊥平面
PCB
.第四頁
第四篇：用向量方法證明空間中的平行與垂直
用向量方法證明空間中的平行與垂直
1.已知直線a的方向向量為a，平面α的法向量為n，下列結(jié)論成立的是(C)
A．若a∥n，則a∥αB．若a·n＝0，則a⊥α
C．若a∥n，則a⊥αD．若a·n＝0，則a∥α
解析：由方向向量和平面法向量的定義可知應選C.對于選項D，直線a?平面α也滿足a·n＝0.2.已知α，β是兩個不重合的平面，其法向量分別為n1，n2，給出下列結(jié)論：
①若n1∥n2，則α∥β；②若n1∥n2，則α⊥β；
③若n1·n2＝0，則α⊥β；④若n1·n2＝0，則α∥β.其中正確的是(A)
A．①③B．①④
C．②③D．②④
→平行的一個向量的坐 3.(原創(chuàng))已知A(3，－2,1)，B(4，－5,3)，則與向量AB
標是(C)
1A．(3，1,1)B．(－1，－3,2)
13C．(－2，2，－1)D．(2，－3，－ 2)
→＝(1，－3,2)＝－2(－131)，解析：AB22
13→所以與向量AB平行的一個向量的坐標是(－2，2，－1)，故選C.4.設l1的方向向量為a＝(1,2，－2)，l2的方向向量為b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，則m等于 2.5.設平面α的法向量為(1,2，－2)，平面β的法向量為(－2，－4，k)，若α∥β，則k＝ 4.解析：因為α∥β，所以(－2，－4，k)＝λ(1,2，－ 2)，所以－2＝λ，k＝－2λ，所以k＝4.→＝(1,5，－2)，BC→＝(3,1，z)．若AB→⊥BC→，BP→＝(x－1，y，－3)，6.已知AB
4015且BP⊥平面ABC，則實數(shù)x＝ 7，y＝ －7，z＝ 4.?→·→＝x－1＋5y＋6＝0解析：由已知?BPAB
→·→＝3?x－1?＋y－3z＝0?BPBC
4015解得x＝7，y＝－7z＝4.→·→＝3＋5－2z＝0ABBC，7.(原創(chuàng))若a＝(2,1，－3)，b＝(－1,5，3)，則以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積為 58.解析：因為a·b＝(2,1，－3)·(－1,5，3)＝0，所以a⊥b，又|a|＝22，|b|29，所以以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積為
|a|·|b|＝22×29＝258.8.如圖，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E，F(xiàn)，O分別為PA，PB，AC的中點，AC＝16，PA＝PC＝10.設G是OC的中點，證明：FG∥平面BOE
.證明：如圖，連接OP，因為PA＝PC，AB＝BC，所以PO⊥AC，BO⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，所以可以以點O為坐標原點，分別以OB，OC，OP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系O-xyz
.則O(0,0,0)，A(0，－8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，－4,3)，F(xiàn)(4, 0,3)．由題意，得G(0,4,0)．
→＝(8,0,0)，OE→＝(0，－4,3)，因為OB
設平面BOE的一個法向量為n＝(x，y，z)，→??n·OB＝0?x＝0則?，即?，→＝0?－4y＋3z＝0?OE?n·
取y＝3，則z＝4，所以n＝(0,3,4)．
→＝(－4,4，－3)，得n·→＝0.由FGFG
又直線FG不在平面BOE內(nèi)，所以FG∥平面BOE
.9.如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA
＝AD＝2，E，F(xiàn)，H分別是線段PA，PD，AB的中點．
(1)求證：PB∥平面EFH；
(2)求證：PD⊥平面AHF
.證明：建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，所以A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(xiàn)(0,1,1)，H(1，0,0)．
→＝(2,0，－2)，EH→＝(1,0，－1)，(1)因為PB
→＝2EH→，所以PB
因為PB?平面EFH，且EH?平面EFH，所以PB∥平面EFH.→＝(0,2，－2)，AH→＝(1,0,0)，AF→＝(0,1,1)，(2)因為PD
→·→＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，所以PDAF
→·→＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0，PDAH
所以PD⊥AF，PD⊥AH，又因為AF∩AH＝A，所以PD⊥平面AHF.
第五篇：3.2.1用向量方法證明平行與垂直關系
§3.2.1用向量方法證明平行與垂直
1、直線的方向向量
直線的方向向量是指和這條直線或的向量，一條直線的方向向量有個。2.平面的法向量
直線l??，取直線l的a,則向量a叫做平面?的。
3、空間中平行關系的向量表示（1）線線平行與垂直
設直線l,m的方向向量分別為a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2)，且a2,b2,c2≠0，則
l//m???l?m???（2）設直線設直線l的方向向量為的法向量。
題型二 利用向量方法證平行關系
【例2】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中點，求證：B1C//平面ODC
1【練習2】如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF,∠BCF=∠CEF=90o, AD=3,EF=2,求證：AE//平面DCF.D
A a=(a1,b1,c1)，平面若?的法向量為u=(a2,b2,c2),則l//????。l?????（3）面面平行
設平面?，? 的法向量分別為u=(a1,b1,c1),F
題型三 用向量方法證垂直關系
【例3】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分
別是棱AB，BC的中點，試在棱BB1上找一點M，v=(a2,b2,c2),則?//???
使得D1M⊥平面EFB1.?；?????
?
題型一 求平面的法向量 【例
經(jīng)過三點A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0)，試求平面?的一個法向量。
【練習1】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別為BB1,CD的中點，求證：AE是平面A1D1F
【練習3】在正三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C⊥A1B,求證：AC1 ⊥A1B.1】已知平面?
課時作業(yè)
一、選擇題
1、已知A(3,5,2),B(-1,2,1)，把AB按向量a=(2,1,1)平移后所得的向量是 A.(-4,-3,0)B.(-4,-3,-1)C.(-2,-1,0)D.(-2,-2,0)2.平面?的一個法向量為（1，2，0），平面?的一個法向量為（2，－1，0），則平面?與?的位置關系是
A.平行 B.相交但不垂直C.垂直 D.不能確定 3.從點A(2,-1,7)沿向量a=(8,9,-12)的方向取線段長AB=34,則B點坐標為
A.（－9，－7，7）B.（18，17，－17）C.（9，7，－7）D.（－14，－19，31）
4、已知a=（2，4，5）b=（3，x,y）分別是直線l1,l2的方向向量，若l1//l2，則 A.x=6,y=15B.x=3,y=C.x=3,y=15D.x=6,y=
1521
52B
C9、△ABC是一個正三角形，EC⊥平面ABC,BD//CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中點，求證：平面DEA⊥平面ECA.10、在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F(1)證明：PA//平面EDB;(2)證明：PB⊥平面EFD.5、若直線l的方向向量為a=(1,0，2,)，平面?的法向量為u=(-2,0,-4),則
A.l//?B.l ⊥?C.l??D.l與?斜交
二、填空題
6、已知A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,-1，5),若|a|=3,且a ⊥AB, a ⊥AC,則向量a的坐標為
7、已知平面?經(jīng)過點O（0，0，0），且e=(1,1,1)是?的法向量，M(x,y,z)是平面?內(nèi)任意一點，則x,y,z滿足的關系式是。
三、解答題
8、如圖，已知P是正方形ABCD平面外一點，M,N分別是PA,BD上的點，且PM:MA=BN:ND=5:8,求證：直線MN//平面PBC
0-
E
A
B
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