第一篇：用向量法證明直線與直線平行

用向量法證明直線與直線平行、直線與平面平行、平面與平面平行導(dǎo)學(xué)案

一、知識梳理

???????

1、設(shè)直線l1和l2的方向向量分別是為v1和v2，由向量共線條件得l1∥l2或l1與l2重合?v1???∥v2。

2、直線與平面平行的條件 ?????已知兩個不共線向量v1、v2與平面a共面（圖（2）），??一條直線l的一個方向向量為v1，則由共面向量定理，可得l∥a或l在平面a內(nèi)?存在兩個實數(shù)x、y，使

???????v1＝xv1＋yv2。

3、平面與平面平行的條件 ?????已知兩個不共線的向量v1、v2與平面a共面，則由兩個平面平行的判定定理與性質(zhì)得 ?????a∥?或a與?重合?v1∥?且v2∥?

4、點M在平面ABC內(nèi)的充要條件

由共面向量定理，我們還可得到：如果A、B、C三點不共線，則點M在平面ABC內(nèi)的充分

?????????????必要條件是，存在一對實數(shù)x、y，使向量表達式AM?xAB?yAC成立。

?????????????????對于空間任意一點O，由上式可得OM?(1?x?y)OA?xOB?yOC，這也是點M位于平

面ABC面內(nèi)的充要條件。

知識點睛用向量法證明直線與直線平行、直線與平面平行、平面與平面平行時要注意：

（1）若l1、l2的方向向量平行，則包括l1與l2平行和l1與l2重合兩種情況。

（2）證明直線與平面平行、平面與平面平行時要說明它們沒有公共點。

例1：如圖3－28，已知正方體ABCD－A′B′C′D′，點M，N

分別是面對角線A′B與面對角線A′C′的中點。

求證：MN∥側(cè)面AD′；MN∥AD′，并且MN＝12AD′。

已知正方體ABCD－A′B′C′D′中，點M，N分別是棱BB′與對角線CA′的中點。求證：MN∥BD，MN＝

[例2] 在長方體OAEB－O1A1E1B1中，|OA|＝3，|OB|＝4，|OO1|＝2，點P在棱AA1上，且|AP|＝2|PA1|，點S在棱BB1上，且|SB1|＝2|BS|，點Q、R分別是O1B1、AE的中點，求證：PQ∥RS 12BD。

在正方體AC1中，O，M分別為BD1，D1C1的中點．證明：OM∥BC1.例3] 如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是C1C、B1C1的中點．求證：MN∥平面A1BD.變式應(yīng)用

3如圖所示，已知正方形ABCD和正方形ABEF相交于AB，點M，N分別在AE，BD上，且AM＝DN.求證：MN∥平面BCE.堂鞏固訓(xùn)練

→＝AB→，則點B應(yīng)為1．設(shè)M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，若OM

()

A．(－1,3，－3)B．(9,1,1)C．(1，－3,3)D．(－9，－1，－1)

→2→，則C的坐標(biāo)是2．已知A(3，－2,4)，B(0,5，－1)，若OC3

1410A．(2，－，331410B．(－2，－)33

14101410C．(2，－，－)D．(－2，－)3333

3．已知A、B、C三點的坐標(biāo)分別為A(4,1,3)B(2，－5,1)，C(3,7，λ)，→⊥AC→，則λ等于()若AB

A．λ＝28B．λ＝－28

C．λ＝14D．λ＝－14

4．已知a＝(2，－2,3)，b＝(4,2，x)，且a⊥b，則x＝____.

第二篇：證明直線平行

證明直線平行

證明：如果a‖b,a‖c,那么b‖c證明:假使b、c不平行則b、c交于一點O又因為a‖b,a‖c所以過O有b、c兩條直線平行于a這就與平行公理矛盾所以假使不成立所以b‖c由同位角相等，兩直線平行，可推出：內(nèi)錯角相等，兩直線平行。同旁內(nèi)角互補，兩直線平行。因為a‖b,a‖c,所以b‖c(平行公理的推論)

2“兩直線平行，同位角相等.”是公理，是無法證明的，書上給的也只是說明而已，并沒有給出嚴(yán)格證明，而“兩直線平行，內(nèi)錯角相等“則是由上面的公理推導(dǎo)出來的，利用了對等角相等做了一個替換，上面兩位給出的都不是嚴(yán)格的證明。

一、怎樣證明兩直線平行證明兩直線平行的常用定理(性質(zhì))有:1.兩直線平行的判定定理:①同位角相等,兩直線平行;②內(nèi)錯角相等,兩直線平行;③同旁內(nèi)角互補,兩直線平行;④平行(或垂直)于同一直線的兩直線平行.2、三角形或梯形的中位線定理.3、如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例,那么這條直線平行于三角形的第三邊.4、平行四邊形的性質(zhì)定理.5、若一直線上有兩點在另一直線的同旁).(A)藝l=匕3(B)/2=藝3(C)匕4二藝5(D)匕2+/4=18)分析:利用平行線判定定理可判斷答案選C認(rèn)六一值!小人﹃夕叱的一試勺洲洲川JLZE一B/（一、圖月一飛/匕一|求且它們到該直線的距離相等,則兩直線平行.例1(2003年南通市)已知:如圖l,下列條件中,不能判斷直線l,//l:的是(B).例2(2003年泉州市)如圖2,△注Bc中,匕BAC的平分線AD交BC于D,④O過點A,且和BC切于D,和AB、Ac分別交B于E、F,設(shè)EF交AD于C,連結(jié)DF.(l)求證:EF//Bc

(1)根據(jù)定義。證明兩個平面沒有公共點。

由于兩個平面平行的定義是否定形式，所以直接判定兩個平面平行較困難，因此通常用反證法證明。

(2)根據(jù)判定定理。證明一個平面內(nèi)有兩條相交直線都與另一個平面平行。

(3)根據(jù)“垂直于同一條直線的兩個平面平行”，證明兩個平面都與同一條直線垂直。

2.兩個平行平面的判定定理與性質(zhì)定理不僅都與直線和平面的平行有邏輯關(guān)系，而且也和直線與直線的平行有密切聯(lián)系。就是說，一方面，平面與平面的平行要用線面、線線的平行來判定;另一方面，平面

與平面平行的性質(zhì)定理又可看作平行線的判定定理。這樣，在一定條件下，線線平行、線面平行、面面平行就可以互相轉(zhuǎn)化。

3.兩個平行平面有無數(shù)條公垂線，它們都是互相平行的直線。夾在兩個平行平面之間的公垂線段相等。

因此公垂線段的長度是唯一的，把這公垂線段的長度叫作兩個平行平面間的距離。顯然這個距離也等于其中一個平面上任意一點到另一個平面的垂線段的長度。

兩條異面直線的距離、平行于平面的直線和平面的距離、兩個平行平面間的距離，都歸結(jié)為兩點之間的距離。

1.兩個平面的位置關(guān)系，同平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系相類似，可以從有無公共點來區(qū)分。因此，空間不重合的兩個平面的位置關(guān)系有：

(1)平行—沒有公共點;

(2)相交—有無數(shù)個公共點，且這些公共點的集合是一條直線。

注意：在作圖中，要表示兩個平面平行時，應(yīng)把表示這兩個平面的平行四邊形畫成對應(yīng)邊平行。

2.兩個平面平行的判定定理表述為：

4.兩個平面平行具有如下性質(zhì)：

(1)兩個平行平面中,一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面。

簡述為：“若面面平行,則線面平行”。

(2)如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。

簡述為：“若面面平行,則線線平行”。

(3)如果兩個平行平面中一個垂直于一條直線，那么另一個也與這條直線垂直。

(4)夾在兩個平行平面間的平行線段相等

用反證法

A平面垂直與一條直線，設(shè)平面和直線的交點為p

B平面垂直與一條直線，設(shè)平面和直線的交點為Q

假設(shè)A和B不平行，那么一定有交點。

設(shè)有交點R，那么

做三角形pQR

pR垂直pQQR垂直pQ

沒有這樣的三角形。因為三角形的內(nèi)角和為180

所以A一定平行于B

第三篇：3、2、1用向量法證明直線與直線平行、直線與平面平行、平面與平面平行（共）

高二數(shù)學(xué)B3、2、1用向量法證明直線與直線平行、直線與平面平行、平面與平面平行

編號：9編制：戴金娜審核：劉紅英時間：2012－2－1

5一、學(xué)習(xí)重點：掌握用向量的方法證明直線與直線平行、直線與平面平行點在平面內(nèi)。學(xué)習(xí)難點：靈活用向量方法證明空間中平行關(guān)系

二、知識梳理 ?????

1、設(shè)直線l1和l2的方向向量分別是為v1和v2，由向量共線條件得l1∥l2或l1與l2重合??????v1∥v2。

2、直線與平面平行的條件 ?????已知兩個不共線向量v1、v2與平面a共面（圖（2）），??一條直線l的一個方向向量為v1，則由共面向量定理，可得l∥a或l在平面a內(nèi)?存在兩個實數(shù)x、y，使 ???????v1＝xv1＋yv2。

3、平面與平面平行的條件 ?????已知兩個不共線的向量v1、v2與平面a共面，則由兩個平面平行的判定定理與性質(zhì)得 ?????a∥?或a與?重合?v1∥?且v2∥?

4、點M在平面ABC內(nèi)的充要條件

由共面向量定理，我們還可得到：如果A、B、C三點不共線，則點M在平面ABC內(nèi)的充?????????????分必要條件是，存在一對實數(shù)x、y，使向量表達式AM?xAB?yAC成立。?????????????????對于空間任意一點O，由上式可得OM?(1?x?y)OA?xOB?yOC，這也是點M位于平面ABC面內(nèi)的充要條件。

知識點睛用向量法證明直線與直線平行、直線與平面平行、平面與平面平行時要注意：

（1）若l1、l2的方向向量平行，則包括l1與l2平行和l1與l2重合兩種情況。

（2）證明直線與平面平行、平面與平面平行時要說明它們沒有公共點。

例1：如圖3－28，已知正方體ABCD－A′B′C′D′，點M，N

分別是面對角線A′B與面對角線A′C′的中點。

求證：MN∥側(cè)面AD′；MN∥AD′，并且MN＝1AD′。

2高二數(shù)學(xué)B

變式訓(xùn)練

已知正方體ABCD－A′B′C′D′中，點M，N分別是棱BB′與對角線CA′的中點。求證：MN∥BD，MN＝1BD。2

例2：求證四點A（5、2、7）B（4、5、2）C（2、7、2）D、（3、4、7）共面

三、課堂檢測

1、已知正三棱柱ABC－A1B1C1，D是AC的中點，求證：AB1∥平面DBC1.2、已知矩形ABCD和矩形ADEF，AD為公共邊，但它們不在同一平面上，點M，N分別在對角線BD，AE上，且BM＝11BD，AN＝AE。證明。直線MN∥平面CDE。333、求證：四點A（3、0、5），B（2、3、0），C（0、5、0），D（1、2、5）共面。

4、已知A、B、C三點不共線，對平面ABC外任一點O，滿足下面條件的點M是否一定在平面ABC內(nèi)？

?????1????1????1?????????????????????（1）OM?OA?OB?OC；（2）OM?2OA?OB?OC.333

第四篇：兩直線平行證明

兩直線平行相關(guān)證明題目

1、如圖，已知∠ABC=30，∠ADC=60，DE為ADC的平分線，請你判斷哪兩條直線平行，并說明理由。

2、如圖，在△ABC中，∠B=90,D在AC邊上，DF⊥BC于點F，DE⊥AB于點E，那么AB與DF平行嗎？CB與DE平行嗎？為什么？

3、如圖，根據(jù)下列條件：∠A=∠AOD，∠ACB=∠F，∠BED+∠B=180，分別可以判定哪兩條直線平行？并說明判定的依據(jù)。

4、如圖，已知BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∠1=∠2，那么直線AB與CD的位置關(guān)系如何？

5、如圖，EF平分∠BEG，GF平分∠DGE，若∠1+∠2=90，猜測AB、CD的位置關(guān)系，并說明理由。

6、如圖，AE∥BC，∠

B=

∠C，試說明∠

1=∠2。

7、如圖，AD∥BC，∠A = ∠C，試說明AB∥CD8、如圖，AB∥CD，∠B=∠D,試說明BF∥DE.9、如圖，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，求∠EMF的度數(shù)10、1.已知∠BED=∠B+∠D，試判斷AB與CD的位置關(guān)系。

2.如圖，AB∥CD,猜想∠E與∠B、∠D之間有何關(guān)系，試說明你的結(jié)論。

11、如圖，AB∥CD, ∠1: ∠2:

∠，求證：

BA平分

EBF

第五篇：直線平行證明分析

關(guān)于平行線證明

（1）條件中出現(xiàn)平行,則有三種寫法

1．Z形：a//b,?1??2(內(nèi)錯角形式）2．F形：c//d,?3??5（同位角形式）

3．U形：c//d,?2??4?180?（同旁內(nèi)角形式）（2）條件中出現(xiàn)角平分線，有兩種形式

AE平分?DAC,則

c

db

4a

DA

?DAC 2

2．?DAC?2?1?2?2

1．?1??2?

E

BC

(3)注意隱含條件：1.對頂角：?1??2（如此題中，∠A=∠1，∠D=∠2，則AB//CD此題中，加上隱含條件有三個等式，因此一般會有等量變換。

2.互補：此圖中，隱含條件?FAC?180,即?FAB??BAC?180(∠BAF=46°∠ACE=136°CE⊥CD證：CD∥AB)

（4）如上圖，出現(xiàn)CE?CD, 則有?DCE?90(5)條件中出現(xiàn)?1和?2互余，?3和?4互補，則?1??2?90,?3??4?180

（6）當(dāng)圖中出現(xiàn)三角形時，注意隱含條件?2??4??5?180

B

?

?

?

?

??

A 5

條件中出現(xiàn)兩角相等，要注意分析：這兩個角是什么關(guān)系？是內(nèi)錯角還是同位角，若都不是，必為等量代換的一個式子。此時要分析這兩個角在圖中各自的內(nèi)錯角或同位角，便于下一步等量代換使用。

同樣，條件中出現(xiàn)兩角互補，要注意分析：這兩個角是什么關(guān)系？是不是同旁內(nèi)角，若不是，必為等量代換的一個式子。此時要分析這兩個角在圖中各自的同旁內(nèi)角，便于下一步等量代換使用。