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      用向量證明正弦定理
      
        
       時(shí)間：2019-05-13 06:37:29下載本文作者：會(huì)員上傳
      
      
      
      
      
簡(jiǎn)介：寫(xiě)寫(xiě)幫文庫(kù)小編為你整理了多篇相關(guān)的《用向量證明正弦定理》，但愿對(duì)你工作學(xué)習(xí)有幫助，當(dāng)然你在寫(xiě)寫(xiě)幫文庫(kù)還可以找到更多《用向量證明正弦定理》。

      
	
      

      第一篇：用向量證明正弦定理
      

      用向量證明正弦定理
      如圖1，△ABC為銳角三角形，過(guò)點(diǎn)A作單位向量j垂直于向量AC，則j與向量AB的夾角為90°-A，j與向量CB的夾角為90°-C
      由圖1，AC+CB=AB(向量符號(hào)打不出)
      在向量等式兩邊同乘向量j,得·
      j·AC+CB=j·AB
      ∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)
      =│j││AB│cos(90°-A)
      ∴asinC=csinA
      ∴a/sinA=c/sinC
      同理，過(guò)點(diǎn)C作與向量CB垂直的單位向量j，可得
      c/sinC=b/sinB
      ∴a/sinA=b/sinB=c/sinC
      2步驟
      1記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c
      ∴a+b+c=0
      則i(a+b+c)
      =i·a+i·b+i·c
      =a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)
      =-asinC+csinA=0
      接著得到正弦定理
      其他
      步驟2.在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點(diǎn)H
      CH=a·sinB
      CH=b·sinA
      ∴a·sinB=b·sinA
      得到a/sinA=b/sinB
      同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC
      步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
      任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是直角,所以∠DAB=90度
      因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R
      類(lèi)似可證其余兩個(gè)等式。
      3用向量叉乘表示面積則s=CB叉乘CA=AC叉乘AB
      =>absinC=bcsinA(這部可以直接出來(lái)哈哈，不過(guò)為了符合向量的做法)
      =>a/sinA=c/sinC
      2011-7-1817:16jinren92|三級(jí)
      記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,接著得到正弦定理其他步驟2.在銳角△ABC中，證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：任意三角形ABC,4過(guò)三角形ABC的頂點(diǎn)A作BC邊上的高，垂足為D.(1)當(dāng)D落在邊BC上時(shí)，向量AB與向量AD的夾角為90°-B，向量AC與向量AD的夾角為90°-C，由于向量AB、向量AC在向量AD方向上的射影相等，有數(shù)量積的幾何意義可知向量AB*向量AD=向量AC*向量AD即向量AB的絕對(duì)值*向量AD的絕對(duì)值*COS(90°-B)=向量的AC絕對(duì)值*向量AD的絕對(duì)值*cos(90°-C)所以csinB=bsinC即b/sinB=c/sinC(2)當(dāng)D落在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，同樣可以證得
      第二篇：向量證明正弦定理
      向量證明正弦定理
      表述：設(shè)三面角∠p-ABC的三個(gè)面角∠BpC，∠CpA，∠ApB所對(duì)的二面角依次為∠pA，∠pB，∠pC，則Sin∠pA/Sin∠BpC=Sin∠pB/Sin∠CpA=Sin∠pC/Sin∠ApB。
      目錄
      1證明2全向量證明
      證明
      過(guò)A做OA⊥平面BpC于O。過(guò)O分別做OM⊥Bp于M與ON⊥pC于N。連結(jié)AM、AN。顯然，∠pB=∠AMO，Sin∠pB=AO/AM;∠pC=∠ANO，Sin∠pC=AO/AN。另外，Sin∠CpA=AN/Ap，Sin∠ApB=AM/Ap。則Sin∠pB/Sin∠CpA=AO×Ap/(AM×AN)=Sin∠pC/Sin∠ApB。同理可證Sin∠pA/Sin∠BpC=Sin∠pB/Sin∠CpA。即可得證三面角正弦定理。
      全向量證明
      如圖1，△ABC為銳角三角形，過(guò)點(diǎn)A作單位向量j垂直于向量AC，則j與向量AB的夾角為90°-A，j與向量CB的夾角為90°-C
      由圖1，AC+CB=AB(向量符號(hào)打不出)
      在向量等式兩邊同乘向量j,得·
      j·AC+CB=j·AB
      ∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)
      =│j││AB│cos(90°-A)
      ∴asinC=csinA
      ∴a/sinA=c/sinC
      同理，過(guò)點(diǎn)C作與向量CB垂直的單位向量j，可得
      c/sinC=b/sinB
      ∴a/sinA=b/sinB=c/sinC
      2步驟
      1記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c
      ∴a+b+c=0
      則i(a+b+c)
      =i·a+i·b+i·c
      =a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)
      =-asinC+csinA=0
      接著得到正弦定理
      其他
      步驟2.在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點(diǎn)H
      CH=a·sinB
      CH=b·sinA
      ∴a·sinB=b·sinA
      得到a/sinA=b/sinB
      同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC
      步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
      任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是直角,所以∠DAB=90度
      因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R
      類(lèi)似可證其余兩個(gè)等式。
      3用向量叉乘表示面積則s=CB叉乘CA=AC叉乘AB
      =>absinC=bcsinA(這部可以直接出來(lái)哈哈，不過(guò)為了符合向量的做法)
      =>a/sinA=c/sinC
      2011-7-1817:16jinren92|三級(jí)
      記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,接著得到正弦定理其他步驟2.在銳角△ABC中，證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：任意三角形ABC,4過(guò)三角形ABC的頂點(diǎn)A作BC邊上的高，垂足為D.(1)當(dāng)D落在邊BC上時(shí)，向量AB與向量AD的夾角為90°-B，向量AC與向量AD的夾角為90°-C，由于向量AB、向量AC在向量AD方向上的射影相等，有數(shù)量積的幾何意義可知向量AB*向量AD=向量AC*向量AD即向量AB的絕對(duì)值*向量AD的絕對(duì)值*COS(90°-B)=向量的AC絕對(duì)值*向量AD的絕對(duì)值*cos(90°-C)所以csinB=bsinC即b/sinB=c/sinC(2)當(dāng)D落在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，同樣可以證得
      第三篇：向量法證明正弦定理
      向量法證明正弦定理
      證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
      任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是直角,所以∠DAB=90度
      因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R
      2如圖1，△ABC為銳角三角形，過(guò)點(diǎn)A作單位向量j垂直于向量AC，則j與向量AB的夾角為90°-A，j與向量CB的夾角為90°-C
      由圖1，AC+CB=AB(向量符號(hào)打不出)
      在向量等式兩邊同乘向量j,得·
      j·AC+CB=j·AB
      ∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)
      =│j││AB│cos(90°-A)
      ∴asinC=csinA
      ∴a/sinA=c/sinC
      同理，過(guò)點(diǎn)C作與向量CB垂直的單位向量j，可得
      c/sinC=b/sinB
      ∴a/sinA=b/sinB=c/sinC
      2步驟
      1記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c
      ∴a+b+c=0
      則i(a+b+c)
      =i·a+i·b+i·c
      =a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)
      =-asinC+csinA=0
      接著得到正弦定理
      其他
      步驟2.在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點(diǎn)H
      CH=a·sinB
      CH=b·sinA
      ∴a·sinB=b·sinA
      得到a/sinA=b/sinB
      同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC
      步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
      任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是直角,所以∠DAB=90度
      因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R
      類(lèi)似可證其余兩個(gè)等式。
      3用向量叉乘表示面積則s=CB叉乘CA=AC叉乘AB
      =>absinC=bcsinA(這部可以直接出來(lái)哈哈，不過(guò)為了符合向量的做法)
      =>a/sinA=c/sinC
      2011-7-1817:16jinren92|三級(jí)
      記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,接著得到正弦定理其他步驟2.在銳角△ABC中，證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：任意三角形ABC,4過(guò)三角形ABC的頂點(diǎn)A作BC邊上的高，垂足為D.(1)當(dāng)D落在邊BC上時(shí)，向量AB與向量AD的夾角為90°-B，向量AC與向量AD的夾角為90°-C，由于向量AB、向量AC在向量AD方向上的射影相等，有數(shù)量積的幾何意義可知向量AB*向量AD=向量AC*向量AD即向量AB的絕對(duì)值*向量AD的絕對(duì)值*COS(90°-B)=向量的AC絕對(duì)值*向量AD的絕對(duì)值*cos(90°-C)所以csinB=bsinC即b/sinB=c/sinC(2)當(dāng)D落在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，同樣可以證得
      第四篇：用正弦定理證明三重向量積
      用正弦定理證明三重向量積
      作者：光信1002班 李立
      內(nèi)容：通過(guò)對(duì)問(wèn)題的討論和轉(zhuǎn)化，最后用正弦定理來(lái)證明三重向量積的公式——(a?b)?c??(c?b)a?(c?a)b。
      首先，根據(jù)叉乘的定義，a、b、a?b可以構(gòu)成一個(gè)右手系，而且對(duì)公式的觀察與分析我們發(fā)現(xiàn)，在公式中，a與b是等價(jià)的，所以我們不妨把a(bǔ)、b、a?b放在一個(gè)空間直角坐標(biāo)系中，讓a與b處于oxy面上，a?b與z軸同向。如草圖所示：
      其中，向量c可以沿著z軸方向與平行于oxy平面的方向分解，即：
      c?cz?cxy
      將式子帶入三重向量積的公式中，發(fā)現(xiàn)，化簡(jiǎn)得：
      （a?b）?cxy??(cxy?b)a?(cxy?a)?b這兩個(gè)式子等價(jià)
      現(xiàn)在我們考慮(a?b)?c剛好被a與b反向夾住的情況，其他的角度情況以此類(lèi)推。
      由圖易得，(a?b)?c與a、b共面，a與b不共線，不妨設(shè)（a?b)?c?xa?yb，a,cxy
      ?（?,?),b,cxy
      ?(0,?)，所以：
      在三角形中使用正弦定理，得
      a?b）?cSin[?-a,b]
      ?Sin[
      xa
      ?
      yb
      Sin[a,cxy?
      ?k]
      ?
      ?b,cxy?
      又因?yàn)閍?b）?c?abcSina,b
      所以，解得k=abc，于是解得：
      x= bcxyCosb,cxyy??acxyCosa,cxy
      ?b?cxy ??a?cxy
      由圖示和假定的條件，(a?b)?c在a和b方向上的投影皆為負(fù)值，所以x，y都取負(fù)值，所以，（a?b）?cxy??(cxy?b)a?(cxy?a)?b
      其他的相對(duì)角度關(guān)系，以此類(lèi)推，也能得到相同的答案，所以：
      (a?b)?c??(c?b)a?(c?a)b，命題得證。
      小結(jié)論：當(dāng)直觀解答有困難時(shí)，可以通過(guò)分析轉(zhuǎn)化的方法來(lái)輕松地解決。
      第五篇：用向量法證明正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)（推薦）
      用向量法證明正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)
      一、教學(xué)目標(biāo)
      1、知識(shí)與技能：掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會(huì)運(yùn)用正弦定理解決一
      些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題。
      2、過(guò)程與方法：讓學(xué)生通過(guò)向量方法證明正弦定理，了解知識(shí)之間的聯(lián)系，讓學(xué)生在應(yīng)用定理解決問(wèn)題的過(guò)程中更深入地理解定理及其作用。
      3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明過(guò)程體驗(yàn)數(shù)學(xué)的探索
      性與創(chuàng)造性，讓學(xué)生體驗(yàn)成功的喜悅。
      二、教學(xué)重難點(diǎn)分析
      重點(diǎn)：正弦定理的向量證明過(guò)程并運(yùn)用正弦定理解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)
      題。
      難點(diǎn)：正弦定理的發(fā)現(xiàn)并證明過(guò)程以及已知兩邊以及其中一邊的對(duì)角解三角形
      時(shí)解的個(gè)數(shù)的判斷。
      三、教學(xué)過(guò)程
      1.借助Rt△ABC，中找出邊角關(guān)系。
      在Rt?ABC中，設(shè)BC=a, AC=b, AB=c, 根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有sin A=,sinB=,sinC=, 則在這三個(gè)式子中，能得到c===從而在直角三角
      abc形ABC中，??C sinsinsin2.那么在任意三角形中這個(gè)結(jié)論是否成立？通過(guò)向量進(jìn)行證明。
      過(guò)點(diǎn)A作單位向量j?AC，由向量的加法可得AB?AC?CB
      ??????????????
      則 j?AB?j?(AC?CB)
      ????????????????∴j?AB?j?AC?j?CB????????????????
      ??????????jABcos?900?A??0?jCBcos?900?C?
      ac?∴csinA?asinC，即bc??????n同理，過(guò)點(diǎn)C作j?BC，可得從而
      a
      siAn?b?sBinsin c
      從上面的研探過(guò)程，可得以下定理
      3.正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即
      abc??sinAsinBsinC
      4.總結(jié)正弦定理適用范圍
      范圍a：已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角，求另外一邊的對(duì)角
      范圍b：已知三角形兩角一邊求出另外一邊
      5.定理變形：
      a:b:c=sinA:sinB:sinC
      6.例題講解
      例1：在△ABC中，已知A=32.0°，B=81.8°，a=42.9cm，解三角形。
      評(píng)述：此類(lèi)問(wèn)題結(jié)果為唯一解，學(xué)生較易掌握，先利用內(nèi)角和180°求出
      第三角，再利用正弦定理.7.能力提升
      例2：在△ABC中，°，a=2,求b,B,C。
      評(píng)述：此類(lèi)問(wèn)題結(jié)果為多解，學(xué)生容易產(chǎn)生漏解的情況，在此題的解題過(guò)程
      中，讓學(xué)生自主練習(xí)，然后在課堂上討論，通過(guò)相互交流，總結(jié)出存在多解的情況，應(yīng)與大邊對(duì)大角結(jié)合分情況討論，培養(yǎng)學(xué)生分類(lèi)討論的思想。
      8.課堂總結(jié)
      總結(jié)本堂課的內(nèi)容：正弦定理、正弦定理適用范圍、正弦定理應(yīng)該注意的問(wèn)題
      9.課后作業(yè)
      （1）在?ABC中，已知角
      ?B?45?，c?22,b???43，則角A的值是 ??A.15B.75C.105D.75或15
      （2）在△ABC中,若A?30?,B?60?,則a:b:c?
      ?B?60，b?76,a?14，則A=?ABC（3）在中，若
      ?a?,b?2,B?45?ABC（4）在中，已知，解三角形。
       
      
    
      

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        1．直角三角形中：sinA= ，sinB=， sinC=1即c=∴abc， c= ，c=．sinAsinBsinCacbcabc== sinAsinBsinC2．斜三角形中證明一：（等積法）在任意斜△ABC當(dāng)中S△ABC=absinC?acsinB?bcsinA兩邊同除以abc即......
        正弦定理證明
         正弦定理證明1.三角形的正弦定理證明： 步驟1. 在銳角△ABC中，設(shè)三邊為a，b，c。作CH⊥AB垂足為點(diǎn)H CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到 a/sinA=b/sinB 同理，在△ABC中，......
        正弦定理證明范文合集
        正弦定理證明1.三角形的正弦定理證明：步驟1.在銳角△ABC中，設(shè)三邊為a，b，c。作CH⊥AB垂足為點(diǎn)HCH=a·sinBCH=b·sinA∴a·sinB=b·sinA得到a/sinA=b/sinB同理，在△ABC中，b/sinB=c/s......
        正弦定理證明
        正弦定理 1.在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，且等于其外接圓半徑的兩倍， 即abc???2R sinAsinBsinC 證明：如圖所示，過(guò)B點(diǎn)作圓的直徑BD交圓于D點(diǎn)，連結(jié)AD BD=2R, 則 D=C，?DAB......
        正弦定理學(xué)生用
        1.1.1正弦定理學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)：①發(fā)現(xiàn)并掌握正弦定理及其證明方法；②會(huì)用正弦定理解決三角形中的簡(jiǎn)單問(wèn)題。 預(yù)習(xí)自測(cè)1. 正弦定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式2. 一般地,把三角形的三個(gè)角A,B,C和......
        正弦定理的證明
        正弦定理的證明用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2COSc=(a^2+b^2-c^2)/2abSINc^2=1-COSc^2SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2=/4a^2*b^2*c^2同理可推倒得SINa^2......