第一篇：淺談?dòng)孟蛄糠ㄗC明立體幾何中的幾個(gè)定理

淺談?dòng)孟蛄糠ㄗC明立體幾何中的幾個(gè)定理

15號(hào)

海南華僑中學(xué)（570206）王亞順

摘要：向量是既有代數(shù)運(yùn)算又有幾何特征的工具，在高中數(shù)學(xué)的解題中起著很重要的作用。在立體幾何中像直線(xiàn)與平面平行的判定，平面與平面平行的判定，直線(xiàn)與平面垂直的判定等定理都沒(méi)有給出證明，而用向量法很容易證明這些定理。

關(guān)鍵詞：向量法直線(xiàn)平面平行垂直立體幾何

在高中階段我們學(xué)習(xí)了平面向量與空間向量的基本知識(shí)，而向量本身既可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算又含有幾何特征，這是很典型的知識(shí)，促使其在代數(shù)或幾何方面都可以得到很好的應(yīng)用，因此，在解題方面我們運(yùn)用向量知識(shí)及本身含有的運(yùn)算去解決問(wèn)題的方法，我們稱(chēng)為向量法。即向量法既能解決代數(shù)問(wèn)題也能解決幾何問(wèn)題。

立體幾何是我們高中學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，關(guān)鍵在于其抽象性及理解定理的基礎(chǔ)上靈活運(yùn)用，抽象性在此就不多言了，我們來(lái)談下定理的問(wèn)題。在高中人教A版的第二章《點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系》中，對(duì)于直線(xiàn)與平面平行的判定，平面與平面平行的判定，直線(xiàn)與平面垂直的判定等定理都沒(méi)有給出證明，課本中只是探究說(shuō)明，讓學(xué)生體會(huì)而得到。如果能給出證明，就能夠很好地體現(xiàn)定理的嚴(yán)密性，在此可以用向量法來(lái)證明。

下面我們就用向量法證明這些定理，先介紹一些向量知識(shí)及相關(guān)

定理。

定義1??兩個(gè)向量?與?的長(zhǎng)度與他們之間的夾角的余弦的乘積

?????????稱(chēng)為?與?的數(shù)量積。記為?????cos?。特別地，若非零向量?與

???????【1】 ?垂直，即???，則????0

定義2 ????空間任意兩個(gè)向量?與?的向量積是一個(gè)向量，記為???

?????????。它的模為?????sin?，其中?為向量?與?之間的（或???,??）??????夾角，它的方向與?和?都垂直，并且按向量?、?、???這個(gè)順序

構(gòu)成右手坐標(biāo)系【2】。如圖

1圖1

【3】定理1兩個(gè)向量?與?共線(xiàn)的充分必要條件是????0。?????

定義3????給定空間的三個(gè)向量?、?、?，如果先做前兩個(gè)向量?????與?的向量積???，再做所得向量與第三個(gè)向量?的數(shù)量積，最后得

?????【4】 到的這個(gè)數(shù)叫做三個(gè)向量的混合積。記作???,?或者?,?,?。?????

定理2輪換混合積的三個(gè)因子，并不改變的它的值，對(duì)調(diào)任何兩個(gè)因子要改變混合積的符號(hào)，即

???????????????????【5】 ?,?,???,?,???,?,????,?,????,?,????,?,?。???????????

下面我們用以上的向量知識(shí)證明立體幾何的幾個(gè)定理。

直線(xiàn)與平面平行的判定定理平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則該直線(xiàn)與此平面平行。

已知：如圖2，a??,b??,且a?b,證明：a??。

圖2圖

3???分析：在平面?內(nèi)找到一直線(xiàn)c，證明a,b?c?0即可。??

證明：如圖3，在平面?內(nèi)的直線(xiàn)b上取一點(diǎn)o，過(guò)o點(diǎn)作一直

??線(xiàn)c與直線(xiàn)b交于o點(diǎn)；設(shè)直線(xiàn)a、b、c上分別有非零向量a、b、?c。

??????a?b?a與b共線(xiàn)即a?b?0.?????????

根據(jù)定理2，有a,b?c?c,a?b?0，即a與b?c垂直。????

?直線(xiàn)a與平面?的垂線(xiàn)垂直，又直線(xiàn)a在平面?外，?a??。證畢

平面與平面平行的判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)與另一平面平行，則這兩個(gè)平面平行。

已知：如圖4，a??,b??,a?b?P,a??,b??,證明：???。

圖4圖

5分析：證明平面?內(nèi)任一條直線(xiàn)都平面?平行即可。

證明：如圖5，設(shè)直線(xiàn)m為平面?內(nèi)任一條直線(xiàn)，在平面?內(nèi)取兩條相交直線(xiàn)c與d，又設(shè)直線(xiàn)a、b、c、d、m上分別有非零向

???????量a、b、c、d、m。由于a、b是平面內(nèi)兩條不共線(xiàn)的向量，則

???由平面向量基本定理可知，m??a??b。

?a??,b?????????a,c?d?b,c?d?0 ????

??????????????m,c?d??a??b,c?d??a,c?d??b,c?d?0 ????????

即直線(xiàn)m與平面?平行，又直線(xiàn)m為平面?內(nèi)任一條直線(xiàn)。

????。證畢

直線(xiàn)與平面垂直的判定定理一條直線(xiàn)與一平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，則該直線(xiàn)與此平面垂直。

已知：如圖6，l

證明：l??。

?a,l?b,a??,b??,a?b?P

分析：由線(xiàn)面垂直定義，直線(xiàn)l垂直于平面?內(nèi)任一條直線(xiàn)。證明：如圖7，設(shè)直線(xiàn)c為平面?內(nèi)任一條直線(xiàn)，又設(shè)直線(xiàn)a、b、??????c、l上分別有非零向量a、b、c、l。由于a與b是平面內(nèi)兩個(gè)不

???共線(xiàn)的向量，由平面向量基本定理，有c??1a??2b。

?????l?a,l?b?a?l?b?l?0

??????????c?l??1a??2b?l??1a?l??2b?l?0 ??

???c?l即直線(xiàn)l與直線(xiàn)c垂直，又直線(xiàn)c為平面?內(nèi)任一條

直線(xiàn)，由線(xiàn)面垂直定義可知l??。證畢

用向量法證明立體幾何中的直線(xiàn)與平面平行的判定、平面與平面平行的判定、直線(xiàn)與平面垂直的判定等定理，解題思路清晰、過(guò)程簡(jiǎn)潔。對(duì)立體幾何的常見(jiàn)問(wèn)題都可以起到化繁為簡(jiǎn)，化難為易的效果，體現(xiàn)了向量法解決幾何問(wèn)題的優(yōu)越性。向量作為一種工具，在一定程度上可以使空間的幾何學(xué)代數(shù)化，數(shù)量化，可以為學(xué)生提供全新的視角，使學(xué)生形成一種新的思維方式。

參考文獻(xiàn)：

【1】 王仁發(fā)，編著，《代數(shù)與解析幾何》東北師范大學(xué)出

版社，1999年9月，107；

【2】 王仁發(fā)，編著，《代數(shù)與解析幾何》東北師范大學(xué)出

版社，1999年9月，110；

【3】 王仁發(fā)，編著，《代數(shù)與解析幾何》東北師范大學(xué)出

版社，1999年9月，110；

【4】 王仁發(fā)，編著，《代數(shù)與解析幾何》東北師范大學(xué)出

版社，1999年9月，116；

【5】

王仁發(fā)，編著，《代數(shù)與解析幾何》東北師范大學(xué)出

版社，1999年9月，117；

第二篇：立體幾何證明的向量公式和定理證明

高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題——立體幾何

遵循先證明后計(jì)算的原則，即融推理于計(jì)算之中，突出模型法，平移法等數(shù)學(xué)方法。注重考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想。

立體幾何證明的向量公式和定理證明

附表2

第三篇：向量法證明正弦定理

向量法證明正弦定理

證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

2如圖1，△ABC為銳角三角形，過(guò)點(diǎn)A作單位向量j垂直于向量AC，則j與向量AB的夾角為90°-A，j與向量CB的夾角為90°-C

由圖1，AC+CB=AB(向量符號(hào)打不出)

在向量等式兩邊同乘向量j,得·

j·AC+CB=j·AB

∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)

=│j││AB│cos(90°-A)

∴asinC=csinA

∴a/sinA=c/sinC

同理，過(guò)點(diǎn)C作與向量CB垂直的單位向量j，可得

c/sinC=b/sinB

∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

2步驟

1記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點(diǎn)H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類(lèi)似可證其余兩個(gè)等式。

3用向量叉乘表示面積則s=CB叉乘CA=AC叉乘AB

=>absinC=bcsinA(這部可以直接出來(lái)哈哈，不過(guò)為了符合向量的做法)

=>a/sinA=c/sinC

2011-7-1817:16jinren92|三級(jí)

記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,接著得到正弦定理其他步驟2.在銳角△ABC中，證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：任意三角形ABC,4過(guò)三角形ABC的頂點(diǎn)A作BC邊上的高，垂足為D.(1)當(dāng)D落在邊BC上時(shí)，向量AB與向量AD的夾角為90°-B，向量AC與向量AD的夾角為90°-C，由于向量AB、向量AC在向量AD方向上的射影相等，有數(shù)量積的幾何意義可知向量AB*向量AD=向量AC*向量AD即向量AB的絕對(duì)值*向量AD的絕對(duì)值*COS(90°-B)=向量的AC絕對(duì)值*向量AD的絕對(duì)值*cos(90°-C)所以csinB=bsinC即b/sinB=c/sinC(2)當(dāng)D落在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，同樣可以證得

第四篇：用向量證明正弦定理

用向量證明正弦定理

如圖1，△ABC為銳角三角形，過(guò)點(diǎn)A作單位向量j垂直于向量AC，則j與向量AB的夾角為90°-A，j與向量CB的夾角為90°-C

由圖1，AC+CB=AB(向量符號(hào)打不出)

在向量等式兩邊同乘向量j,得·

j·AC+CB=j·AB

∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)

=│j││AB│cos(90°-A)

∴asinC=csinA

∴a/sinA=c/sinC

同理，過(guò)點(diǎn)C作與向量CB垂直的單位向量j，可得

c/sinC=b/sinB

∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

2步驟

1記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點(diǎn)H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類(lèi)似可證其余兩個(gè)等式。

3用向量叉乘表示面積則s=CB叉乘CA=AC叉乘AB

=>absinC=bcsinA(這部可以直接出來(lái)哈哈，不過(guò)為了符合向量的做法)

=>a/sinA=c/sinC

2011-7-1817:16jinren92|三級(jí)

記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,接著得到正弦定理其他步驟2.在銳角△ABC中，證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：任意三角形ABC,4過(guò)三角形ABC的頂點(diǎn)A作BC邊上的高，垂足為D.(1)當(dāng)D落在邊BC上時(shí)，向量AB與向量AD的夾角為90°-B，向量AC與向量AD的夾角為90°-C，由于向量AB、向量AC在向量AD方向上的射影相等，有數(shù)量積的幾何意義可知向量AB*向量AD=向量AC*向量AD即向量AB的絕對(duì)值*向量AD的絕對(duì)值*COS(90°-B)=向量的AC絕對(duì)值*向量AD的絕對(duì)值*cos(90°-C)所以csinB=bsinC即b/sinB=c/sinC(2)當(dāng)D落在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，同樣可以證得

第五篇：用向量法證明

用向量法證明

步驟1

記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點(diǎn)H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類(lèi)似可證其余兩個(gè)等式.希望對(duì)你有所幫助!

設(shè)向量AB=a,向量AC=b，向量AM=c向量BM=d,延長(zhǎng)AM到D使AM=DM，連接BD,CD,則ABCD為平行四邊形

則向量a+b=2c(a+b)平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c

平方(1)

向量b-a=2d(b-a)平方=4d平方a平方-2ab+b平方=4d

平方(2)

(1)+(2)2a平方+2b平方=4d平方+4c平方

c平方=1/2(a+b)-d平方

AM^2=1/2(AB^2+AC^2)-BM^2

已知EF是梯形ABCD的中位線(xiàn)，且AD//BC，用向量法證明梯形的中位線(xiàn)定理

過(guò)A做AG‖DC交EF于p點(diǎn)

由三角形中位線(xiàn)定理有：

向量Ep=?向量BG

又∵AD‖pF‖GC且AG‖DC∴向量pF=向量AD=向量GC(平行四邊形性質(zhì))

∴向量pF=?(向量AD+向量GC)

∴向量Ep+向量pF=?(向量BG+向量AD+向量GC)

∴向量EF=?(向量AD+向量BC)

∴EF‖AD‖BC且EF=(AD+BC)

得證

先假設(shè)兩條中線(xiàn)AD,BE交與p點(diǎn)

連接Cp,取AB中點(diǎn)F連接pF

pA+pC=2pE=Bp

pB+pC=2pD=Ap

pA+pB=2pF

三式相加

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+2pF

3pA+3pB+2pC=2pF

6pF+2pC=2pF

pC=-2pF

所以pC,pF共線(xiàn)，pF就是中線(xiàn)

所以ABC的三條中線(xiàn)交于一點(diǎn)p

連接OD,OE,OF

OA+OB=2OF

OC+OB=2OD

OC+OC=2OE

三式相加

OA+OB+OC=OD+OE+OF

OD=Op+pD

OE=Op+pE

OF=Op+pF

OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op+1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

由第一問(wèn)結(jié)論

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+Cp

2pA+2pB+2pC=0

1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

所以O(shè)A+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op

向量Op=1/3(向量OA+向量OB+OC向量)