第一篇：數(shù)學(xué)四邊形證明經(jīng)典題

數(shù)學(xué)選講四邊形證明經(jīng)典題.2.已知：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC和CD上，AE = AF．

（1）求證：BE = DF；

（2）連接AC交EF于點(diǎn)O，延長(zhǎng)OC至點(diǎn)M，使OM = OA，連接EM、FM．判斷四邊形AEMF是什么特殊

四邊形？并證明你的結(jié)論．

A

B

F

D M

B

D 3.如圖，?ABM為直角，點(diǎn)C為線段BA的中點(diǎn)，點(diǎn)D是射線BM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），AD，作BE?AD，垂足為E，連結(jié)CE，過(guò)點(diǎn)E作EF?CE，交BD于F．（1）求證：BF?FD；

（2）?A在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，四邊形ACFE是梯形，并說(shuō)明理由；

（3）?A在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，線段DE上存在點(diǎn)G，滿足條件DG?DA，并說(shuō)明理由．

4連結(jié)

4.如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(E與A、D不重合)，G、F、H分別是BE、BC、CE的中點(diǎn)．

(1)試探索四邊形EGFH的形狀，并說(shuō)明理由．

(2)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形EGFH是菱形?并加以證明．

(3)若(2)中的菱形EGFH是正方形，請(qǐng)?zhí)剿骶€段EF與線段BC的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

E

D(第29題圖)

5.如圖所示，在△ABC中，分別以AB、AC、BC為邊在BC的同側(cè)作等邊△ABD，等邊△ACE、等邊△BCF．

C

(1)求證：四邊形DAEF是平行四邊形；

(2)探究下列問(wèn)題：(只填滿足的條件，不需證明)

①當(dāng)△ABC滿足_________________________條件時(shí)，四邊形DAEF是矩形； ②當(dāng)△ABC滿足_________________________條件時(shí)，四邊形DAEF是菱形；

③當(dāng)△ABC滿足_________________________條件時(shí)，以D、A、E、F為頂點(diǎn)的四邊形不存在． 6.如圖，已知正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是AC上一點(diǎn)，過(guò)A作AG⊥EB于G，AG交BD于點(diǎn)F，則OE＝OF，對(duì)上述命題，若點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，AG⊥EB，交EB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，AG的延長(zhǎng)線交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，其它條件不變，則結(jié)論“OE＝OF”還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，說(shuō)明理由。

A

D

A

B

CD

E

G

B

問(wèn)題一圖

1F第2題圖

C7、在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，且＞0），閱讀下列材料，然后回答下面的問(wèn)題：

如上圖，連結(jié)BD∵

AEBE

＝

FCBF

＝

GCDG

＝

AHHD

＝k（k

AEBE

＝

AHHD，F(xiàn)CBF

＝

GCDG

∴EH∥BD，F(xiàn)G∥BD

①連結(jié)AC，則EF與GH是否一定平行，答：； ②當(dāng)k值為時(shí)，四邊形EFGH是平行四邊形；

③在②的情形下，對(duì)角線AC和BD只需滿足條件時(shí)，EFGH為矩形； ④在②的情形下，對(duì)角線AC和BD只需滿足條件時(shí)，EFGH為菱形；

8.如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊AB、BC上的點(diǎn)，且EF∥AC，在DA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)G，使AG＝AD，EG與DF相交于點(diǎn)H。求證：AH＝AD。

S

B

P

AB

例1圖

第4題圖

9、如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，∠ACD＝60，點(diǎn)S、P、Q分別是OD、OA、BC的中點(diǎn)。

（1）求證：△PQS是等邊三角形；（2）若AB＝8，CD＝6，求S?PQS的值。

（3）若S?PQS∶S?AOD＝4∶5，求CD∶AB的值。

10.將一把三角尺放在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點(diǎn)P在對(duì)角線AC上滑行，直角的一邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，另一邊與射線DC相交于點(diǎn)Q。

探究：設(shè)A、P兩點(diǎn)間的距離為x。

（1）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，線段PQ與線段PB之間有怎樣的關(guān)系？試證明你觀察得到的結(jié)論；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，設(shè)四邊形PBCQ的面積為定義域；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上滑行時(shí)，△PCQ是否可能成為等腰三角形，如果可能，指出所有能使△PCQ成y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出函數(shù)的為等腰三角形的點(diǎn)Q的位置，并求出相應(yīng)的x值；如果不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由（題目中的圖形形狀大小都相同，供操作用）。

A

D

A

D

A

D

BC

BC

BC11、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE與CD相交于F．

求證：CE＝CF．

12、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直線EC交DA延長(zhǎng)線于F． 求證：AE＝AF.

第二篇：四邊形證明題

四邊形證明題

已知E.F分別為平行四邊形ABCD一組對(duì)邊ADBC的中點(diǎn),BE與AF交于點(diǎn)G，CE與DF交于點(diǎn)H求證四邊形EGFH是平行四邊形

解：在三角形ABF和三角形EDC中

因?yàn)椋篈B=CD

角DAB=角DCB

AE=FC

所以：三角形ABF全等于三角形EDC

所以：EB=FD

所以：四邊形BEDF為平行四邊形

同理可證：四邊形AEFC為平行四邊形

在三角形EHD和三角形CHF中

因?yàn)椋航荅HD=角CHF

角DEH=角HCF

ED=FC

所以：角形EHD全等于三角形CHF

在三角形BGF和三角形FHC中

因?yàn)椋航荅BF=角DFC

BF=FC

角AFB=角ECF

所以：三角形BGF全等于三角形FHC

所以：三角形BGF全等于三角形EHD

所以：GF=EH

同理可證：GE=FH

所以：四邊形EGFH是平行四邊形

如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD、等邊△ABE。已知∠BAC=30o，EF⊥AB，垂足為F，連結(jié)DF。

求證：四邊形ADFE是平行四邊形。

設(shè)BC=a,則依題意可得：AB=2a,AC=√3a,等邊△ABE,EF⊥AB=>AF=1/2AB=a,AE=2a,EF=√3a

∵∠DAF=∠DAC+∠CAB=60°+30°=90°,AD=AC=√3a,∴DF=√(AD2+AF2)=2a

∴AE=DF=2a,EF=AD=√3a=>四邊形ADFE是平行四邊形

1兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形(定義)2兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形3一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形4對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形5兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形

1、兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形

2、一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

3、兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形

4、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

21.畫(huà)個(gè)圓，里面畫(huà)個(gè)矩形2.假設(shè)圓里面的是平行四邊形3.因?yàn)閷?duì)邊平行，所以4個(gè)角相等4.平行四邊四個(gè)角之和等于360，5.360除以4等于906.所以圓內(nèi)平行四邊形為矩形..3判定(前提：在同一平面內(nèi))(1)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形;

(2)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;(3)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形;(4)兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形(5)兩組對(duì)角分別相等的四邊形為平行四邊形(注：僅以上五條為平行四邊形的判定定理，并非所有真命題都為判定定理，希望各位讀者不要隨意更改。)(第五條對(duì)，如果對(duì)角相等，那么鄰角之和的二倍等于360°，那么鄰角之和等與180°，那么對(duì)邊平行，(兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形)所以這個(gè)四邊形是平行四邊形)編輯本段性質(zhì)(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形。)(1)平行四邊形對(duì)邊平行且相等。(2)平行四邊形兩條對(duì)角線互相平分。(3)平行四邊形的對(duì)角相等，兩鄰角互補(bǔ)。(4)連接任意四邊形各邊的中點(diǎn)所得圖形是平行四邊形。(推論)(5)平行四邊形的面積等于底和高的積。(可視為矩形)(6)過(guò)平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的直線，將平行四邊形分成全等的兩部分圖形。(7)對(duì)稱中心是兩對(duì)角線的交點(diǎn)。

性質(zhì)9(8)矩形菱形是軸對(duì)稱圖形。(9)平行四邊形ABCD中(如圖)E為AB的中點(diǎn)，則AC和DE互相三等分，一般地，若E為AB上靠近A的n等分點(diǎn)，則AC和DE互相(n+1)等分。*注：正方形，矩形以及菱形也是一種特殊的平行四邊形。(10)平行四邊形ABCD中，AC、BD是平行四邊形ABCD的對(duì)角線，則各四邊的平方和等于對(duì)角線的平方和。(11)平行四邊形對(duì)角線把平行四邊形面積分成四等分。(12)平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形。(13)平行四邊形中，兩條在不同對(duì)邊上的高所組成的夾角，較小的角等于平行四邊形中較小的角，較大的角等于平行四邊形中較大的角。(14)平行四邊形中,一個(gè)角的頂點(diǎn)向他對(duì)角的兩邊所做的高，與這個(gè)角的兩邊組成的夾角相等。編輯本段平行四邊形中常用輔助線的添法

一、連接對(duì)角線或平移對(duì)角線。

二、過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線構(gòu)成直角三角形。

三、連接對(duì)角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)作一邊的平行線，構(gòu)成線段平行或中位線。

四、連接頂點(diǎn)與對(duì)邊上一點(diǎn)的線段或延長(zhǎng)這條線段，構(gòu)造相似三角形或等積三角形。

五、過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等。編輯本段面積與周長(zhǎng)

1、(1)平行四邊形的面積公式：底×高(推導(dǎo)方法如圖);如用“h”表示高，“a”表示底，“S”表示平行四邊形面積，則S平行四邊=ah(2)平行四邊形的面積等于兩組鄰邊的積乘以?shī)A角的正弦值;如用“a”“b”表示兩組鄰邊長(zhǎng)，@表示兩邊的夾角，“S”表示平行四邊形的面積，則S平行四邊形=ab*sin@

2、平行四邊形周長(zhǎng)可以二乘(底1+底2);如用“a”表示底1，“b”表示底2，“c平”表示平行四邊形周長(zhǎng)，則平行四邊的周長(zhǎng)c=2(a+b)底×1X高

第三篇：四邊形證明題

1.如圖，BD是□ABCD的對(duì)角線，∠ABD的平分線BE交AD于點(diǎn)E，∠CDB的平分線DF交BC于點(diǎn)F．

求證：△ABE≌△CDF．

E

ABFC

2.如圖已知E、F分別是□ABCD的邊BC、AD上的點(diǎn)，且BE=DF．

(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形；

(2)若BC＝10，∠BAC＝90°，且四邊形AECF是菱形，求BE的長(zhǎng) ．

3． 如圖，在□ABCD中，E、F分別為邊ABCD的中點(diǎn)，BD是對(duì)角線，過(guò)A點(diǎn)作AGDB

交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．

（1）求證：DE∥BF；

（2）若∠G＝90，求證四邊形DEBF是菱形．

4.如圖5所示，在菱形ABCD中，∠ABC= 60°，DE∥AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．求

證：DE=

A1BE 2D

BCE

5.如圖，將□ABCD的邊DC延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使CE=DC，連接AE，交BC于點(diǎn)F．

⑴求證：△ABF≌△ECF

⑵若∠AFC=2∠D，連接AC、BE．求證：四邊形ABEC是矩形．

D

B

6.如圖，E、F分別是矩形ABCD的對(duì)角線AC和BD上的點(diǎn)，且AE=DF。求證：BE=CFE

7.如圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，DE∥AC，CE∥BD．

（1）求證：四邊形OCED是菱形；

（2）若∠ACB＝30?，菱形OCED的面積為8，求AC的長(zhǎng)．

E

C

?B 8.如圖，在梯形ABCD中，DC‖AB，AD=BC, BD平分?ABC,?A?60.過(guò)點(diǎn)D作DE?AB，過(guò)點(diǎn)C作CF?BD，垂足分別為E、F，連接EF，求證：△DEF為等邊三角形.9.如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=600,M是BC的中點(diǎn)。

（1）求證：⊿MDC是等邊三角形；

（2）將⊿MDC繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，當(dāng)MD(即MD′)與AB交于一點(diǎn)E,MC即MC′)同時(shí)與AD交于一點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)E,F和點(diǎn)A構(gòu)成⊿AEF.試探究⊿AEF的周長(zhǎng)是否存在最小值。如果不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果存在，請(qǐng)計(jì)算出⊿AEF周長(zhǎng)的最小值.A

DC'B

MC

10.如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB＝45°，CD ＝2，BD⊥CD ．過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB

于E，交對(duì)角線BD于F．點(diǎn)G為BC中點(diǎn)，連結(jié)EG、AF．

(1)求EG的長(zhǎng)；

(2)求證：CF ＝AB ＋AF．

第四篇：2012中考數(shù)學(xué)四邊形經(jīng)典證明題含答案

1．如圖，正方形ABCD和正方形A′OB′C′是全等圖形，則當(dāng)正方形A?′OB′C′繞正方形

ABCD的中心O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中．

（1）四邊形OECF的面積如何變化．

（2）若正方形ABCD的面積是4，求四邊形OECF的面積．

解：在梯形ABCD中由題設(shè)易得到：

△ABD是等腰三角形，且∠ABD=∠CBD=∠ADB=30°．

過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，則DE=1BE=6．

2過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BD于F，則AB=AD=4．

故S梯形ABCD

2．如圖，ABCD中，O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，EF⊥AC交CD于E，交AB于F，問(wèn)四邊形AFCE是菱形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

?

解：四邊形AFCE是菱形．

∵四邊形ABCD是平行四邊形．

∴OA=OC，CE∥AF．

∴∠ECO=∠FAO，∠AFO=∠CEO．

∴△EOC≌△FOA，∴CE=AF．

而CE∥AF，∴四邊形AFCE是平行四邊形．

又∵EF是垂直平分線，∴AE=CE．

∴四邊形AFCE是菱形．

3．如圖，在△ABC中，∠B=∠C，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，?垂足分別為E、F．求證：（1）△BDE≌CDF．（2）△ABC是直角三角形時(shí)，四邊形AEDF是正方形．

??

19．證明：（1）DE?AB,DF?AC??BED??CFD?90???

??B??C?

△BDE≌△CDF．

（2）由∠A=90°，DE⊥AB，DF⊥AC知：

D是BC的中點(diǎn)?BD?CD

四邊形AEDF是矩形

?

??矩形AEDF是正方形．

?BED??CFE?DE?DF?

4．如圖，ABCD中，E、F為對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，且AE=CF，問(wèn)：四邊形EBFD是平行四邊形嗎？為什么？

?

解：四邊形EBFD是平行四邊形．在?ABCD中，連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O，則OB=OD，OA=OC．又∵AE=CF，∴OE=OF．

∴四邊形EBFD是平行四邊形．

5．如圖，矩形紙片ABCD中，AB＝3 cm，BC＝4 cm．現(xiàn)將A，C重合，使紙片

折疊壓平，設(shè)折痕為EF，試求AF的長(zhǎng)和重疊部分△AEF的面積．

【提示】把AF取作△AEF的底，AF邊上的高等于AB＝3．

由折疊過(guò)程知，EF經(jīng)過(guò)矩形的對(duì)稱中心，F(xiàn)D＝BE，AE＝CE＝AF．由此可以在 △ABE中使用勾股定理求AE，即求得AF的長(zhǎng)．

【答案】如圖，連結(jié)AC，交EF于點(diǎn)O，由折疊過(guò)程可知，OA＝OC，∴O點(diǎn)為矩形的對(duì)稱中心．E、F關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱，B、D也關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱． ∴BE＝FD，EC＝AF，由EC折疊后與EA重合，∴EC＝EA．

設(shè)AF＝x，則BE＝FD＝AD－AF＝4－x，AE＝AF＝x． 在Rt△ABE中，由勾股定理，得

AB2＋BE2＝AE2，即32＋(4－x)2＝x2．

25． 81257

52∴S△AEF＝×3×＝（cm）

281625752

故AF的長(zhǎng)為cm，△AEF的面積為cm．

816

解得x＝

6．如圖，E是矩形ABCD的邊AD上一點(diǎn)，且BE＝ED，P是對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分別為F、G．求證：PF＋PG＝AB．

【提示】延長(zhǎng)GP交BC于H，只要證PH＝PF即可，所以只要證∠PBF＝∠PBH． 【答案】∵BE＝DE，∴∠EBD＝∠EDB．

∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB，∴∠EBD＝∠CBD． 延長(zhǎng)GP交BC于H點(diǎn)． ∵PG⊥AD，∴PH⊥BC．

∵PF⊥BE，P是∠EBC的平分線上．

∴PF＝PH．

∵四邊形ABHG中，∠A＝∠ABH＝∠BHG＝∠HGA＝90°． ∴四邊形ABHG為矩形，∴AB＝GH＝GP＋PH＝GP＋PF 故PF＋PG＝AB．

7．已知：如圖，以正方形ABCD的對(duì)角線為邊作菱形AEFC，B在FE的延長(zhǎng)線上．

求證：AE、AF把∠BAC三等分．

【提示】證出∠CAE＝30°即可．

【答案】連結(jié)BD，交AC于點(diǎn)O，作EG⊥AC，垂足為G點(diǎn)．

∵四邊形AEFC為菱形，∴EF∥AC． ∴GE＝OB．

∵四邊形ABCD為正方形，∴OB⊥AC，∴OB

GE，∵AE＝AC，OB＝

1BD＝AC，2

2∴EG＝AE，∴∠EAG＝30°． ∴∠BAE＝15°．

在菱形AEFC中，AF平分∠EAC，∴∠EAF＝∠FAC＝

∠EAC＝15° 2

∴∠EAB＝∠FAE＝∠FAC． 即AE、AF將∠BAC三等分．

8．如圖，已知M、N兩點(diǎn)在正方形ABCD的對(duì)角線BD上移動(dòng)，∠MCN為定角?，連結(jié)AM、AN，并延長(zhǎng)分別交BC、CD于E、F兩點(diǎn)，則∠CME與∠CNF在M、N兩點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程，它們的和是否有變化？證明你的結(jié)論．

【提示】BD為正方形ABCD的對(duì)稱軸，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，用∠1和∠2表示∠MCN以及∠EMC＋∠FNC． 【答案】∵BD為正方形ABCD的對(duì)稱軸，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∴∠EMC＝180°－∠1－∠3＝180°－2∠1． 同理∠FNC＝180°－2∠2．

∴∠EMC＋∠FNC＝360°－2（∠1＋∠2）． ∵∠MCN＝180°－（∠1＋∠2），∴∠EMC＋∠FNC總與2∠MCN相等．

因此∠EMC＋∠FNC始終為定角，這定角為∠MCN的2倍．

9．如圖（1），AB、CD是兩條線段，M是AB的中點(diǎn)，S△DMC、S△DAC和S△DBC分別

表示△DMC、△DAC、△DBC的面積．當(dāng)AB∥CD時(shí)，有

S△DMC＝

S?DAC?S?DBC

①

（1）如圖（2），若圖（1）中AB

時(shí)，①式是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．

（2）如圖（3），若圖（1）中AB與CD相交于點(diǎn)O時(shí)，S△DMC與S△DAC和S△DBC有何種相等關(guān)系？證明你的結(jié)論．

圖（1）圖（2）圖（3）

【提示】△DAC，△DMC 和△DBC 同底CD，通過(guò)它們?cè)贑D 邊上的高的關(guān)系，來(lái)確定它們面積的關(guān)系． 【答案】（1）當(dāng)AB時(shí)，①式仍成立．

分別過(guò)A、M、B作CD的垂線，AE、MN、BF的垂足分別為E、N、F． ∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，（AE＋BF）．

211

1∴S△DAC＋S△DBC＝DC·AE＋DC·BF＝DC·（AE＋BF）＝2 S△DMC．

222S?S?DAC

∴S△DMC＝?DBC

∴MN＝

（2）對(duì)于圖（3）有S△DMC＝

S?DBC?S?DAC

．

證法一：∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，S△ADM＝S△BDM，S△ACM＝S△BCM，S△DBC＝S△BDM＋S△BCM＋S△DMC，① S△DAC＝S△ADM＋S△ACM－S△DMC②

①－②得：S△DBC－S△DAC＝2 S△DMC

∴S△DMC＝

S?DBC?S?DAC

．

證法二：如右圖，過(guò)A作CD的平行線l，MN⊥l，垂足為N，BE⊥l，垂足為E．設(shè)A、M、B到CD的距離分別h1、h0、h2．則MN＝h1＋h0，BE＝h2＋h1．

∵AM＝BM，∴BE＝2 MN．

∴h2＋h1＝2（h1＋h0），h2?h

1． 2S?S?DAC

∴S△DMC＝?DBC．

∴h0＝

10．已知：如圖，△ABC中，點(diǎn)O是AC上邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線MN∥BC，MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F．（1）求證EO＝FO．

（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？證明你的結(jié)論．

【提示】（1）證明OE＝OC＝OF；

（2）O點(diǎn)的位置首先滿足四邊形AECF是平行四邊形，然后證明它此時(shí)也是矩形． 【答案】（1）∵CE平分∠BCA，∴∠BCE＝∠ECO． 又MN∥BC，∴∠BCE＝∠CEO． ∴∠ECO＝∠CEO． ∴OE＝OC． 同理OC＝OF． ∴OE＝OF．

（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC邊的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，證明如下： ∵OE＝OF，又O是AC的中點(diǎn)，即OA＝OC，∴四邊形AECF是平行四邊形．

∵CE、CF分別平分∠BCA、∠ACD，且∠BCA＋∠ACD＝180°，∴∠ECF＝∠ECO＋∠OCF＝∴□AECF是矩形．

（∠BCA＋∠ACD）＝90°． 2

第五篇：四邊形的證明題

四邊形的證明題

1．如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)O是邊AD上的中點(diǎn),點(diǎn)E是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),延長(zhǎng)EO到F,使得OE=OF.F

AD

BEC

（1）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形AEDF是菱形？（直接寫(xiě)出答案）

（2）若矩形ABCD的周長(zhǎng)為20,四邊形AEDF的面積是否存在最大值？如果存在,請(qǐng)求出最大值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）若AB=m,BC=n,當(dāng)m.n滿足什么條件時(shí),四邊形AEDF能成為一個(gè)矩形？（不必說(shuō)明理由）

【答案】（1）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí),四邊形AEDF是菱形;

（2）存在.當(dāng)x?5時(shí),四邊形AEDF的面積最大為25;

（3）當(dāng)m≤1n時(shí),四邊形AEDF能成為一個(gè)矩形．

2【解析】

試題分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AB=CD,∠B=∠C=90°,求出四邊形是平行四邊形,根據(jù)勾股定理求出AE=DE,即可得出答案;

（2）求出S四邊形AEDF=2S△AED=S矩形ABCD,設(shè)AB=x,則BC=10﹣x,四邊形AEDF的面積為y,求出y=x（10﹣x）,求出二次函數(shù)的最值即可;

（3）根據(jù)矩形能推出△BAE∽△CED,得出比例式,代入得出方程,求出方程的判別式,即可得出答案． 試題解析：（1）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí),四邊形AEDF是菱形,理由是：∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=CD,∠B=∠C=90°,∵E為BC中點(diǎn),∴BE=CE,由勾股定理得：AE=DE,∵點(diǎn)O是邊AD上的中點(diǎn),OE=OF,∴四邊形AEDF是平行四邊形,∴平行四邊形AEDF是菱形;

（2）存在.∵點(diǎn)O是AD的中點(diǎn),∴AO=DO ,∵OE=OF,∴四邊形AEDF是平行四邊形 ,∴S四邊形AEDF?2S?AED?S矩形ABCD ,設(shè)AB=x,則BC=10?x,四邊形AEDF的面積為y,y?x(10?x)

??x2?10x

??(x?5)2?2

5當(dāng)x?5時(shí),四邊形AEDF的面積最大為25;

（3）當(dāng)m≤1n時(shí),四邊形AEDF能成為一個(gè)矩形, 2

理由是：設(shè)BE=z,則CE=n﹣z,當(dāng)四邊形AEDF是矩形時(shí),∠AED=90°,∵∠B=∠C=90°,∴∠BAE+∠BEA=90°,∠BEA+∠DEC=90°,∴∠BAE=∠DEC,∴△BAE∽△CED, ABBE?, CECD

mz?, ∴n?zm∴

∴z﹣nz+m=0,22當(dāng)判別式△=（﹣n）﹣4m≥0時(shí),方程有根,即四邊形AEDF是矩形, 解得：m≤

∴當(dāng)m≤221n, 21n時(shí),四邊形AEDF能成為一個(gè)矩形． 2

考點(diǎn)：四邊形綜合題．

2．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，DE∥CA，AE∥BD．

（1）求證：四邊形AODE是菱形；

（2）若將題設(shè)中“矩形ABCD”這一條件改為“菱形ABCD”，其余條件不變，則四邊形AODE的形狀是什么？說(shuō)明理由．

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）矩形，理由見(jiàn)解析.【解析】

試題分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)求出OA=OD，證出四邊形AODE是平行四邊形即可；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)求出∠AOD=90°，再證出四邊形AODE是平行四邊形即可.試題解析：（1）∵矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，∴AC＝BD（矩形對(duì)角線相等），OA＝OC＝11AC，OB＝OD＝BD（矩形對(duì)角線互相平分）.∴OA＝OD.22

∵DE∥CA，AE∥BD，∴四邊形AODE是平行四邊形（兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形）.∴四邊形AODE是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）.（2）矩形，理由如下：

∵DE∥CA，AE∥BD，∴四邊形AODE是平行四邊形.∵菱形ABCD，∴AC⊥BD.∴∠AOD=90°.∴平行四邊形AODE是矩形．

考點(diǎn)：1.矩形的判定和性質(zhì)；2.平行四邊形的判定；3.菱形的判定和性質(zhì).3．如圖1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四邊形ADEF是正方形，D、F分別在AB、AC邊上，此時(shí)BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°）時(shí)，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（2）當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，如圖3，延長(zhǎng)BD交CF于點(diǎn)G．

①求證：BD⊥CF；

②當(dāng)AB=4，F(xiàn)G的長(zhǎng)．

【答案】(1)BD=CF成立,證明見(jiàn)解析；（2）①證明見(jiàn)解析；②FG=.5

【解析】

試題分析：(1)證明線段相等的常用方法是三角形的全等，直觀上判斷BD=CF,而由題目條件，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中出

現(xiàn)了兩個(gè)三角形△BAD和△CAF，并且包含了要證明相等的兩條線段BD和CF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC，∵四邊形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，只差?yuàn)A角相等，在Rt△BAC中，∠BAD+∠DAC=90°，∠CAF+∠DAC=90°, ∴∠BAD=∠CAF, ∴△BAD≌△CAF, BD=CF.（2）①要證明BD⊥CF，只要證明∠BGC=90°，即∠GBC+∠BCG=∠GBC+∠ACF+∠ACB=90°,在Rt△BAC中，∠ABC+

∠ACB=∠ABG+∠GBC+∠BCA=90°,有（1）知，∠ACF=∠ABG，所以∠GBC+∠ACF+∠ACB=∠GBC+

∠ABG +∠ACB =90°，所以BD⊥CF.②求線段的方法一般是三角形的全等和勾股定理，題目中沒(méi)有和FG直接相關(guān)的線段，而CG從已知條件中又無(wú)法求出，所以需要作輔助線，連接FD，交AC于點(diǎn)N, 在正方形ADEF中，, AN=1, CN=3, 由勾股定理CF=，設(shè)FG=x，CG=?x，在Rt△FGD中，∵FD=2，∴GD=4?x2，∵在Rt△BCG中，CG?BG?BC，∴(?x)2?(4?x2?)2?(42)2，解之得FG=

試題解析：②解法一：

如圖，連接FD，交AC于點(diǎn)N,222.5

∵在正方形ADEF中，, 1AE=1，F(xiàn)D=2, 2

∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，∴CN=AC-AN=3，∴AN=FN=

∴在Rt△FCN中，CF?FN2?CN2?2?32?,∵△BAD≌△CAF（已證），∴BD=CF=,設(shè)FG=x，在Rt△FGD中，∵FD=2，∴GD=4?x2, ∵CF=，∴CG=?x,∵在等腰直角△ABC 中，AB=AC=4，∴BC???

∵在Rt△BCG中，CG?BG?BC, ∴(?x)2?(4?x2?)2?(42)2 ,整理，得5x?2x?6?0, 解之，得x1?22223，x2??（不合題意，故舍去）55

∴FG=.5

解法二：

如圖，連接FD，交AC于點(diǎn)N；連接CD,同解法一，可得：DG=4?x2，CG=?x，易證△ACD≌△ABD（SAS），可得CD=BD=，在Rt△CGD中，CG?DG?CD,即(?x)2?(4?x2)2?()2 解之，得x?222,故FG=.55

考點(diǎn)：1.三角形的全等；2.勾股定理；3.正方形的性質(zhì).