第一篇：直線與橢圓相交中點四邊形面積2013全國

直線與橢圓相交

xy2．[2013·新課標全國卷Ⅱ]平面直角坐標系xOy中，過橢圓M：＋1.右焦點的63

1直線x＋y－3＝0交M于A，B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為.2

C，D為M上兩點，若四邊形ACBD的對角線CD⊥AB，求四邊形ACBD面積的最大值． 22??x＋y－3＝0，2．解：由?x2y2 1，??633?x?3，?x＝0，解得?或? ?y＝3.3y＝－??3

6因此|AB|＝33由題意可設直線CD的方程為y＝x＋n3），3

設C(x3，y3)，D(x4，y4)．

?y＝x＋n，?2222由?xy得3x＋4nx＋2n－6＝0，＝1??63

－2n±2（9－n）于是x3，43242因為直線CD的斜率為1，所以|CD|＝2|x4－x3|＝9－n.318 62由已知，四邊形ACBD的面積S9－n.296當n＝0時，S取得最大值，最大值為36所以四邊形ACBD.3

第二篇：中點四邊形猜想與證明

中點四邊形猜想與證明

大連市第四十四中學初二八班***

猜想：四邊形中點連線為平行四邊形

即：如圖1-1，在四邊形ABCD中，E、F、G、H為四邊中點

求證：四邊形EFGH為平行四邊形

證明：如圖∵E、F為AD、AB的中點

∴EF//BD（三角形的中位線平行于第三邊）

同理：HG//BD

∴HG//EF（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）

同理：EH//FG

∴四邊形EFGH是平行四邊形

（兩組對邊分別平行的四邊形是平行

四邊形）

FH

圖1-1圖1-2 B

那么：由已知條件：EF=HG=1/2BDFG=EH=1/2AC(三角形中位線定理)因為“有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”，所以當EF=GF時，即1/2BD=1/2AC，即BD=AC時，平行四邊形EFGH是菱形

猜想：當一個四邊形的兩條對角線相等時，其中點四邊形是菱形。

例如：矩形的對角線相等

則：如圖1-2，在矩形ABCD中，E、F、G、H為四邊中點。

求證：四邊形EFGH是菱形

證明：∵E、F為AD、AB的中點

∴EF=1/2BD（三角形的中位線等于第三邊的一半）

同理：HG=1/2BD

∴HG=EF=1/2BD（等量代換）

同理：EH=FG=1/2AC

∴四邊形EFGH是平行四邊形

（兩組對邊分別相等的四邊形是平行

四邊形）

∵AC=BD

∴1/2AC=1/2BD

即：EF=GF

∴平行四邊形EFGH是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）

同理上結(jié)論思路：

由已知條件：EF//HGFG//EH(三角形中位線定理)

因為“有一個角是直角的平行四邊形是矩形”，所以當∠EFG=90°時，即∠1=90°，即∠AOB=90°時，平行四邊形EFGH是矩形。

猜想：當一個四邊形兩對角線互相垂直時，其中點四邊形為矩形。

例如：菱形的對角線互相垂直。

則：如圖1-3，在菱形ABCD中，E、F、G、H為四邊中點。

求證：四邊形EFGH是矩形

證明：∵E、F為AD、AB的中點

∴EF//BD（三角形的中位線平行于第三邊）

同理：HG//BD

∴HG//EF（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）

同理：FG//AC；EH//FG

∴四邊形EFGH是平行四邊形

（兩組對邊分別平行的四邊形是平行

四邊形）

∵四邊形ABCD是菱形

∴∠AOB=90°（菱形的對角線互相垂直）

∴∠FNO=∠AOB=90°（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

∴∠EFG=∠FNO =90°（兩直線平行，同位角相等）

∴平行四邊形EFGH是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）

BF

H

圖1-3圖1-

4那么：因為正方形同時是矩形和菱形，所以滿足同時使中點四邊形為矩形和菱形的四邊形，其中點四邊形則可能是正方形。

猜想：當一個四邊形的兩對角線相等且互相垂直時，其中點四邊形是正方形。

例如：正方形的對角線相等且互相垂直。

則：如圖1-4，在正方形ABCD中，E、F、G、H為四邊中點。

求證：四邊形EFGH是正方形

證明：∵E、F為AD、AB的中點

∴EF//BD；EF=1/2BD（三角形的中位線平行于

第三邊且等于第三邊的一半）

同理：HG//BD；HG=1/2BD

∴HG//EF（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）

HG=EF=1/2BD（等量代換）

同理：EH//AC//FG；EH=FG=1/2AC

∴四邊形EFGH是平行四邊形

（兩組對邊分別平行的四邊形是平行

四邊形）

∵四邊形ABCD是正方形

∴∠AOB=90°（正方形兩對角線互相垂直）

AC=BD（正方形兩對角線相等）

∴∠FNO=∠AOB=∠FNO =90°

（兩直線平行，內(nèi)錯角相等；

兩直線平行，同位角相等）

1/2AC=1/2BD

即：EF=GF

∴平行四邊形EFGH是正方形

（有一個角是直角且有一組鄰邊相等的四邊形是正方形）

2010/4

第三篇：海倫公式與四邊形面積公式

海倫公式與四邊形面積公式

2007年08月01日 星期三 00:43 我們知道，已知三角形的三條邊長度a，b，c（2p＝a+b+c），就可以由海倫公式得到三角形的面積：

所以：已知圓內(nèi)接三角形的三邊長，其面積公式為海倫公式。事實上，對于圓內(nèi)接四邊形，已知其四邊形的四邊長（不妨設其為a，b，c，d，2p＝a+b+c+d），也可以求其面積，而且公式的形式與海倫公式相類似：

證明：

設圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，設∠BAD=θ，則∠BCD=180°-θ，設其對角線BD＝x，由余弦定理有：

聯(lián)立兩式解得：

第四篇：教輔：高考數(shù)學二輪復習考點-直線與圓﹑橢圓﹑雙曲線﹑拋物線

考點十五　直線與圓﹑橢圓﹑雙曲線﹑拋物線

一、選擇題

1．若直線x＋(1＋m)y－2＝0與直線mx＋2y＋4＝0平行，則m的值是()

A．1

B．－2

C．1或－2

D．－

答案　A

解析　①當m＝－1時，兩直線分別為x－2＝0和x－2y－4＝0，此時兩直線相交，不符合題意．②當m≠－1時，兩直線的斜率都存在，由兩直線平行可得解得m＝1，故選A.2．(2020·廣州綜合測試)若直線kx－y＋1＝0與圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0有公共點，則實數(shù)k的取值范圍是()

A．[－3，＋∞)

B．(－∞，－3]

C．(0，＋∞)

D．(－∞，＋∞)

答案　D

解析　圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圓心為(－1,2)，半徑為2，由題意可知圓心到直線kx－y＋1＝0的距離d＝≤2，化簡，得32＋≥0，故k∈(－∞，＋∞)．故選D.3．(2020·山東菏澤高三聯(lián)考)已知雙曲線－＝1的一條漸近線上存在一點到x軸的距離與到原點O的距離之比為，則實數(shù)a的值為()

A．2

B．4

C．6

D．8

答案　B

解析　由題意，得該雙曲線的一條漸近線的斜率為＝，則＝，解得a＝4.故選B.4．(2020·山東泰安四模)已知拋物線E：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，O為坐標原點，OF為菱形OBFC的一條對角線，另一條對角線BC的長為2，且點B，C在拋物線E上，則p＝()

A．1

B．

C．2

D．2

答案　B

解析　由題意，得在拋物線上，代入拋物線的方程可得1＝，∵p>0，∴p＝，故選B.5．(2020·衡中高三質(zhì)量檢測一)已知橢圓C1：＋y2＝1(m>1)與雙曲線C2：－y2＝1(n>0)的焦點重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則()

A．m>n且e1e2>1

B．m>n且e1e2<1

C．m1

D．m

答案　A

解析　由于橢圓C1與雙曲線C2的焦點重合，則m2－1＝n2＋1，則m2－n2＝2>0，∵m>1，n>0，∴m>n.∵e1＝＝，e2＝＝，∴e1e2＝＝＝＝>1，故選A.6．(2020·北京高考)設拋物線的頂點為O，焦點為F，準線為l.P是拋物線上異于O的一點，過P作PQ⊥l于Q，則線段FQ的垂直平分線()

A．經(jīng)過點O

B．經(jīng)過點P

C．平行于直線OP

D．垂直于直線OP

答案　B

解析　如圖所示，因為線段FQ的垂直平分線上的點到F，Q的距離相等，又點P在拋物線上，根據(jù)拋物線的定義可知|PQ|＝|PF|，所以線段FQ的垂直平分線經(jīng)過點P.故選B.7．(多選)(2020·新高考卷Ⅰ)已知曲線C：mx2＋ny2＝1，()

A．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點在y軸上

B．若m＝n>0，則C是圓，其半徑為

C．若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為y＝±

x

D．若m＝0，n>0，則C是兩條直線

答案　ACD

解析　對于A，若m>n>0，則mx2＋ny2＝1可化為＋＝1，因為m>n>0，所以<，即曲線C表示焦點在y軸上的橢圓，故A正確；對于B，若m＝n>0，則mx2＋ny2＝1可化為x2＋y2＝，此時曲線C表示圓心在原點，半徑為的圓，故B不正確；對于C，若mn<0，則mx2＋ny2＝1可化為＋＝1，此時曲線C表示雙曲線，由mx2＋ny2＝0可得y＝±

x，故C正確；對于D，若m＝0，n>0，則mx2＋ny2＝1可化為y2＝，y＝±，此時曲線C表示平行于x軸的兩條直線，故D正確．故選ACD.8．(多選)(2020·山東濰坊6月模擬)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝2，點P(1,1)在橢圓的內(nèi)部，點Q在橢圓上，則以下說法正確的是()

A．|QF1|＋|QP|的最小值為2－1

B．橢圓C的短軸長可能為2

C．橢圓C的離心率的取值范圍為

D．若＝，則橢圓C的長軸長為＋

答案　ACD

解析　因為|F1F2|＝2，所以F2(1,0)，|PF2|＝1，所以|QF1|＋|QP|＝2－|QF2|＋|QP|≥2－|PF2|＝2－1，當Q，F(xiàn)2，P三點共線時，取等號，故A正確；若橢圓C的短軸長為2，則b＝1，a＝2，所以橢圓C的方程為＋＝1，又＋>1，則點P在橢圓外，故B錯誤；因為點P(1，1)在橢圓內(nèi)部，所以＋<1，又a－b＝1，所以b＝a－1，所以＋<1，即a2－3a＋1>0，解得a>＝＝，所以>，所以e＝<，所以橢圓C的離心率的取值范圍為，故C正確；若＝，則F1為線段PQ的中點，所以Q(－3，－1)，所以＋＝1，又a－b＝1，所以＋＝1(a>1)，即a2－11a＋9＝0(a>1)，解得a＝＝＝，所以＝，所以橢圓C的長軸長為＋，故D正確．故選ACD.二、填空題

9．(2020·山東省實驗中學高三6月模擬)以拋物線y2＝2x的焦點為圓心，且與拋物線的準線相切的圓的方程為________．

答案　2＋y2＝1

解析　拋物線y2＝2x的焦點為，準線方程為x＝－，焦點到準線的距離為1，所以圓的圓心為，半徑為1，故圓的標準方程為2＋y2＝1.10．(2020·北京高考)已知雙曲線C：－＝1，則C的右焦點的坐標為________；C的焦點到其漸近線的距離是________．

答案(3,0)

解析　在雙曲線C中，a＝，b＝，則c＝＝3，則雙曲線C的右焦點的坐標為(3,0)．雙曲線C的漸近線方程為y＝±x，即x±y＝0，所以雙曲線C的焦點到其漸近線的距離為＝.11．(2020·河南開封高三3月模擬)已知F1，F(xiàn)2是橢圓E：＋＝1的左、右焦點，點M在E上，且∠F1MF2＝，則△F1MF2的面積為________．

答案　3

解析　由題意，設|MF1|＝m，|MF2|＝n，則m＋n＝2a，由余弦定理可得，4c2＝m2＋n2－2mncos＝(m＋n)2－mn＝4a2－mn，又c2＝a2－3，∴mn＝12，∴△F1MF2的面積S＝mnsin＝3.12.(2020·株洲第二中學4月模擬)如圖，點F是拋物線C：x2＝4y的焦點，點A，B分別在拋物線C和圓x2＋(y－1)2＝4的實線部分上運動，且AB總是平行于y軸，則△AFB周長的取值范圍是________．

答案(4,6)

解析　∵拋物線C：x2＝4y的焦點為F(0,1)，準線方程為y＝－1，圓x2＋(y－1)2＝4的圓心F(0,1)，半徑R＝2，∴|FB|＝2，|AF|＝y(tǒng)A＋1，|AB|＝y(tǒng)B－yA，∴△AFB的周長為|FB|＋|AF|＋|AB|＝2＋yA＋1＋yB－yA＝3＋yB，∵1

三、解答題

13．過原點O作圓x2＋y2－8x＝0的弦OA.(1)求弦OA的中點M的軌跡方程；

(2)延長OA到N，使|OA|＝|AN|，求點N的軌跡方程．

解(1)設M的坐標為(x，y)，則A(2x,2y)，因為點A在圓x2＋y2－8x＝0上，所以(2x)2＋(2y)2－16x＝0，即x2＋y2－4x＝0.又點O與A不重合，所以x≠0.因此，點M的軌跡方程為x2＋y2－4x＝0(x≠0)．

(2)設N(x，y)，∵|OA|＝|AN|，∴A為線段ON的中點，∴A，又A在圓x2＋y2－8x＝0上，∴2＋2－4x＝0，即x2＋y2－16x＝0.又點O與A不重合，所以x≠0.因此，點N的軌跡方程為x2＋y2－16x＝0(x≠0)．

14．(2020·全國卷Ⅱ)已知橢圓C1：＋＝1(a>b>0)的右焦點F與拋物線C2的焦點重合，C1的中心與C2的頂點重合．過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點，交C2于C，D兩點，且|CD|＝|AB|.(1)求C1的離心率；

(2)若C1的四個頂點到C2的準線距離之和為12，求C1與C2的標準方程．

解(1)因為橢圓C1的右焦點為F(c,0)，所以拋物線C2的方程為y2＝4cx，其中c＝.不妨設A，C在第一象限，因為橢圓C1的方程為＋＝1，所以當x＝c時，有＋＝1?y＝±，因此A，B的縱坐標分別為，－.又因為拋物線C2的方程為y2＝4cx，所以當x＝c時，有y2＝4c·c?y＝±2c，所以C，D的縱坐標分別為2c，－2c，故|AB|＝，|CD|＝4c.由|CD|＝|AB|，得4c＝，即3·＝2－22，解得＝－2(舍去)，＝.所以C1的離心率為.(2)由(1)知a＝2c，b＝c，故橢圓C1：＋＝1，所以C1的四個頂點坐標分別為(2c,0)，(－2c,0)，(0，c)，(0，－c)，C2的準線方程為x＝－c.由已知，得3c＋c＋c＋c＝12，解得c＝2.所以a＝4，b＝2，所以C1的標準方程為＋＝1，C2的標準方程為y2＝8x.一、選擇題

1．(2020·山東濟南二模)已知拋物線x2＝4y的焦點為F，點P在拋物線上且橫坐標為4，則|PF|＝()

A．2

B．3

C．5

D．6

答案　C

解析　將x＝4代入拋物線方程得P(4,4)，根據(jù)拋物線定義得|PF|＝4＋＝4＋1＝5.故選C.2．(2020·湖北荊州高三階段訓練)某人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地心為一個焦點的橢圓，其軌道的離心率為e，設地球半徑為R，該衛(wèi)星近地點離地面的距離為r，則該衛(wèi)星遠地點離地面的距離為()

A.r＋R

B．r＋R

C.r＋R

D．r＋R

答案　A

解析　橢圓的離心率e＝∈(0,1)(c為半焦距，a為長半軸長)，設該衛(wèi)星遠地點離地面的距離為n，如圖：

則n＝a＋c－R，r＝a－c－R，所以a＝，c＝，所以n＝a＋c－R＝＋－R＝r＋R.故選A.3．(2020·北京高考)已知半徑為1的圓經(jīng)過點(3,4)，則其圓心到原點的距離的最小值為()

A．4

B．5

C．6

D．7

答案　A

解析　設圓心為C(x，y)，則＝1，化簡得(x－3)2＋(y－4)2＝1，所以圓心C的軌跡是以M(3，4)為圓心，1為半徑的圓，如圖．所以|OC|＋1≥|OM|＝＝5，所以|OC|≥5－1＝4，當且僅當C在線段OM上時取得等號，故選A.4．(2020·山東濰坊高密二模)已知雙曲線－＝1的一條漸近線的傾斜角為，則雙曲線的離心率為()

A.B．

C．

D．2

答案　A

解析　雙曲線－＝1的一條漸近線的傾斜角為，tan＝，所以該條漸近線方程為y＝x，所以＝，解得a＝，所以c＝＝＝2，所以雙曲線的離心率為e＝＝＝.故選A.5．(2020·山西太原五中3月模擬)若過橢圓＋＝1內(nèi)一點P(2,1)的弦被該點平分，則該弦所在的直線方程為()

A．8x＋9y－25＝0

B．3x－4y－5＝0

C．4x＋3y－15＝0

D．4x－3y－9＝0

答案　A

解析　設弦的兩端點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，P為AB的中點，因為A，B在橢圓上，所以＋＝1，＋＝1，兩式相減，得＋＝0，因為x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，可得＝－，則所求直線的斜率k＝－，因為該直線過點P(2,1)，所以所求直線的方程為y－1＝－(x－2)，整理，得8x＋9y－25＝0.故選A.6．(2020·山東淄博二模)當α∈時，方程x2cosα＋y2sinα＝1表示的軌跡不可能是()

A．兩條直線

B．圓

C．橢圓

D．雙曲線

答案　B

解析　當α∈時，0

A．C的離心率為2

B．C的漸近線方程為y＝±x

C．動點P到兩條漸近線的距離之積為定值

D．當動點P在雙曲線C的左支上時，的最大值為

答案　AC

解析　對于雙曲線C：x2－＝1，a＝1，b＝，c＝2，所以雙曲線C的離心率為e＝＝2，漸近線方程為y＝±x，A正確，B錯誤；設點P的坐標為(x0，y0)，則x－＝1，雙曲線C的兩條漸近線方程分別為x－y＝0和x＋y＝0，則點P到兩條漸近線的距離之積為·＝＝，C正確；當動點P在雙曲線C的左支上時，|PF1|≥c－a＝1，|PF2|＝2a＋|PF1|＝|PF1|＋2，＝＝＝≤＝，當且僅當|PF1|＝2時，等號成立，所以的最大值為，D錯誤．故選AC.8．(多選)(2020·山東威海三模)已知拋物線y2＝2px(p>0)上三點A(x1，y1)，B(1,2)，C(x2，y2)，F(xiàn)為拋物線的焦點，則()

A．拋物線的準線方程為x＝－1

B.＋＋＝0，則||，||，||成等差數(shù)列

C．若A，F(xiàn)，C三點共線，則y1y2＝－1

D．若|AC|＝6，則AC的中點到y(tǒng)軸距離的最小值為2

答案　ABD

解析　把點B(1,2)代入拋物線y2＝2px，得p＝2，所以拋物線的準線方程為x＝－1，故A正確；因為A(x1，y1)，B(1,2)，C(x2，y2)，F(xiàn)(1,0)，所以＝(x1－1，y1)，＝(0,2)，＝(x2－1，y2)，又由＋＋＝0，得x1＋x2＝2，所以||＋||＝x1＋1＋x2＋1＝4＝2||，即||，||，||成等差數(shù)列，故B正確；因為A，F(xiàn)，C三點共線，所以直線斜率kAF＝kCF，即＝，所以＝，化簡得y1y2＝－4，故C不正確；設AC的中點為M(x0，y0)，因為|AF|＋|CF|≥|AC|，|AF|＋|CF|＝x1＋1＋x2＋1＝2x0＋2，所以2x0＋2≥6，得x0≥2，即AC的中點到y(tǒng)軸距離的最小值為2，故D正確．故選ABD.二、填空題

9．(2020·深圳調(diào)研二)已知橢圓C：＋＝1的右焦點為F，O為坐標原點，C上有且只有一個點P滿足|OF|＝|FP|，則C的方程為________．

答案　＋＝1

解析　根據(jù)對稱性知P在x軸上，因為|OF|＝|FP|，故a＝2c，又a2＝3＋c2，所以a＝2，c＝1，故橢圓C的方程為＋＝1.10．(2020·浙江高考)設直線l：y＝kx＋b(k＞0)，圓C1：x2＋y2＝1，C2：(x－4)2＋y2＝1，若直線l與C1，C2都相切，則k＝________，b＝________.答案　　－

解析　由題意，兩圓圓心C1(0,0)，C2(4,0)到直線l的距離等于半徑，即＝1，＝1，所以|b|＝|4k＋b|，所以k＝0(舍去)或b＝－2k，解得k＝，b＝－.11.如圖，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為a，b(a0)經(jīng)過C，F(xiàn)兩點，則＝________.答案　1＋

解析　由題意可知D是拋物線y2＝2ax(a>0)的焦點，且D，又正方形DEFG的邊長為b，所以F，因為F在拋物線上，所以b2＝2a，即b2－2ab－a2＝0，所以2－－1＝0，解得＝1＋或1－，因為0

解析　如圖所示，設PnFn1，PnFn2與圓Gn分別切于點Bn，Cn.根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，|PnBn|＝|PnCn|，|BnFn1|＝|AnFn1|，|AnFn2|＝|CnFn2|，又點Pn是雙曲線En右支上一動點，∴|PnFn1|－|Fn2Pn|＝＝，∴|AnFn1|－|AnFn2|＝.∴an＋cn－(cn－an)＝.∴an＝.∴a1＋a2＋…＋a2020＝＝.三、解答題

13．(2020·山東濟南二模)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左頂點和下頂點分別為A，B，|AB|＝2，過橢圓焦點且與長軸垂直的弦的長為2.(1)求橢圓C的方程；

(2)已知M為橢圓C上一動點(M不與A，B重合)，直線AM與y軸交于點P，直線BM與x軸交于點Q，證明：|AQ|·|BP|為定值．

解(1)由題意可知解得所以橢圓C的方程為＋＝1.(2)證明：A(－4,0)，B(0，－2)，設M(x0，y0)，P(0，yP)，Q(xQ,0)，因為M(x0，y0)在橢圓C上，所以x＋4y＝16，由A，P，M三點共線，得＝，即yP＝，同理可得xQ＝.所以|AQ|·|BP|＝|xQ＋4|·|yP＋2|

＝|·|

＝||＝16.所以|AQ|·|BP|為定值16.14．(2020·福建高三畢業(yè)班質(zhì)量檢測)已知定點F(0,1)，P為x軸上方的動點，線段PF的中點為M，點P，M在x軸上的射影分別為A，B，PB是∠APF的平分線，動點P的軌跡為E.(1)求E的方程；

(2)設E上點Q滿足PQ⊥PB，Q在x軸上的射影為C，求|AC|的最小值．

解　解法一：(1)設坐標原點為O，因為PA∥BM，所以∠APB＝∠PBM，因為PB是∠APF的平分線，所以∠APB＝∠MPB，所以∠MPB＝∠PBM，所以|BM|＝|PM|，因為M為線段PF的中點，|BM|＝，所以2|BM|＝|PA|＋1，因為|PF|＝2|PM|＝2|BM|，所以|PF|＝|PA|＋1，因為P為x軸上方的動點，所以點P到點F的距離等于點P到直線y＝－1的距離，所以動點P的軌跡E是頂點在原點，焦點為F(0,1)的拋物線(原點除外)，設E的方程為x2＝2py(p>0，x≠0)，則＝1，所以p＝2，所以E的方程為x2＝4y(x≠0)．

(2)設點P，Q，所以點B，＝，＝，所以·＝－(x2－x1)－＝－·(x2－x1)[8＋x1(x2＋x1)]＝0，因為x2≠x1，且x1≠0，所以8＋x1(x2＋x1)＝0，所以x2＝－－x1，所以|AC|＝|x1－x2|＝|2x1＋|＝|2x1|＋||

≥2＝8，當且僅當x1＝±2時，等號成立，所以|AC|的最小值為8.解法二：(1)設點P(x0，y0)，y0>0，x0≠0，所以點B，所以|AB|＝，因為PB是∠APF的平分線，所以點B到直線PF的距離d＝|AB|，因為直線PF的方程為y－1＝x，整理，得(y0－1)x－x0y＋x0＝0，所以d＝，所以＝，整理，得x＝4y0(x0≠0)，所以動點P的軌跡E的方程為x2＝4y(x≠0)．

(2)設點P，Q，所以點B，所以kPB＝＝，因為PQ⊥PB，所以直線PQ的方程為y－＝－(x－x1)，即y＝－x＋2＋，代入E的方程得x2＋x－8－x＝0，所以x1x2＝－8－x，即x2＝－－x1，所以|AC|＝|x1－x2|＝|2x1＋|＝|2x1|＋||

≥2

＝8，當且僅當x1＝±2時，等號成立，所以|AC|的最小值為8.

第五篇：第五屆全國高中數(shù)學青年教師觀摩與評比活動：《橢圓及其標準方程》教案與說課稿

橢圓及其標準方程（第一課時）教學設計說明

甘肅省張掖市實驗中學 雒淑英

一．本課數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)、地位及作用分析：

本節(jié)課是《全日制普通高級中學教科書（必修）·數(shù)學》（人民教育出版社中學數(shù)學室編著）第二冊（上）第八章第一節(jié)《橢圓及其標準方程》第一課時。

用一個平面去截一個對頂?shù)膱A錐，當平面與圓錐的軸夾角不同時，可以得到不同的截口曲線，它們分別是圓、橢圓、拋物線、雙曲線，我們將這些曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線。圓錐曲線的發(fā)現(xiàn)與研究始于古希臘，當時人們從純粹幾何學的觀點研究了這種與圓密切相關的曲線，它們的幾何性質(zhì)是圓的幾何性質(zhì)的自然推廣。17世紀初期，笛卡爾發(fā)明了坐標系，人們開始在坐標系的基礎上，用代數(shù)方法研究圓錐曲線。在這一章中，我們將繼續(xù)用坐標法探究圓錐曲線的幾何特征，建立它們的方程，通過方程研究它們的簡單性質(zhì)，并用坐標法解決一些與圓錐曲線有關的簡單幾何問題和實際問題，進一步感受數(shù)形結(jié)合的基本思想。

解析幾何是數(shù)學一個重要的分支,它溝通了數(shù)學中數(shù)與形、代數(shù)與幾何等最基本對象之間的聯(lián)系。在第七章中學生已初步掌握了解析幾何研究問題的主要方法,并在平面直角坐標系中研究了直線和圓這兩個基本的幾何圖形，在第八章，教材利用三種圓錐曲線進一步深化如何利用代數(shù)方法研究幾何問題。由于教材以橢圓為重點說明了求方程、利用方程討論幾何性質(zhì)的一般方法,然后在雙曲線、拋物線的教學中應用和鞏固，因此“橢圓及其標準方程”起到了承上啟下的重要作用。

本節(jié)內(nèi)容蘊含了許多重要的數(shù)學思想方法，如：數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想等。因此，教學時應重視體現(xiàn)數(shù)學的思想方法及價值。

根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點，教學過程中可充分發(fā)揮信息技術的作用，用動態(tài)作圖優(yōu)勢為學生的數(shù)學探究與數(shù)學思維提供支持。二．教學目標分析：

按照教學大綱的要求，根據(jù)教材分析和學情分析，確定如下教學目標： 1．知識與技能目標： ①理解橢圓的定義。

②掌握橢圓的標準方程，在化簡橢圓方程的過程中提高學生的運算能力。2．過程與方法目標：

①經(jīng)歷橢圓概念的產(chǎn)生過程，學習從具體實例中提煉數(shù)學概念的方法，由形象到抽象，從具體到一般，掌握數(shù)學概念的數(shù)學本質(zhì)，提高學生的歸納概括能力。②鞏固用坐標化的方法求動點軌跡方程。

③對學生進行數(shù)學思想方法的滲透，培養(yǎng)學生利用數(shù)學思想方法分析和解決問題的意識。3．情感態(tài)度價值觀目標：

①充分發(fā)揮學生在學習中的主體地位，引導學生活動、觀察、思考、合作、探究、歸納、交流、反思，促進形成研究氛圍和合作意識。

②重視知識的形成過程教學，讓學生知其然并知其所以然，通過學習新知識體會到前人探索的艱辛過程與創(chuàng)新的樂趣。

③通過對橢圓定義的嚴密化，培養(yǎng)學生形成扎實嚴謹?shù)目茖W作風。

④通過經(jīng)歷橢圓方程的化簡,增強學生戰(zhàn)勝困難的意志品質(zhì)并體會數(shù)學的簡潔美、對稱美。

⑤利用橢圓知識解決實際問題，使學生感受到數(shù)學的廣泛應用性和知識的力量，增強學習數(shù)學的興趣和信

心。

三．教學問題診斷：

1．教學的第一個問題可能是橢圓是怎樣畫出的。教學中通過橢圓與圓的關系，讓學生觀察與操作，利用水杯及細繩建立直觀的概念，要鼓勵學生大膽操作。

問題解決方案一：學生可能提出將圓柱形水杯換成圓錐。（解釋方法一致）問題解決方案二：兩定點距離、繩長與圖形的關系，通過操作，完善定義。2．教學的第二個問題是橢圓標準方程的推導與化簡中含有兩個根式的等式化簡。

問題解決方案：由于用兩邊同時平方法化簡較為繁瑣，有些學生完成可能的有困難，老師要及時加以指導。如果學生有能力掌握，可運用方案二“等差數(shù)列法”或方案三“三角換元法” 降低難度。

3．教學的第三個問題可能是豎橢圓方程的得出。

問題解決方案：可以利用類比“化歸”的思想，通過翻折和旋轉(zhuǎn)的方式實現(xiàn)圖形變換，從而利用焦點在x軸上橢圓的標準方程得到焦點在y軸上橢圓的標準方程，避免繁瑣、重復的推導過程。四．教法特點以及預期效果分析：

本節(jié)課采用啟發(fā)式與試驗探究式相結(jié)合的教學方式。

在啟發(fā)式教學過程中，以問題引導學生的思維活動。教學設計突出了對問題鏈的設計，教學中，結(jié)合學生的思維發(fā)展變化不斷追問，使學生對問題本質(zhì)的思考逐步深入，思維水平不斷提高。

通過學生試驗的方法進行教學。本節(jié)課主要是通過直觀感知、操作確認歸納出橢圓的定義。在試驗中注重數(shù)學的邏輯性和嚴謹性。本節(jié)課立足教材，重視對現(xiàn)象的觀察、分析，引導學生通過自己的觀察、操作等活動獲得數(shù)學結(jié)論，把合情推理作為一個重要的推理方式融入到學生的學習過程中．

通過學生反思，自己總結(jié)歸納學習內(nèi)容，構(gòu)建知識鏈。在總結(jié)時采用“一個知識點、兩種方法、三種思想”的方式，學生目標明確，學習重點清晰，易于掌握。

新課程倡導學生自主學習，要求教師成為學生學習的引導者、組織者、合作者和促進者，使教學過程成為師生交流、積極互動、共同發(fā)展的過程，“提出問題,體驗數(shù)學,感知數(shù)學,數(shù)建立數(shù)學,鞏固新知,歸納提煉”。本節(jié)課采用讓學生動手實踐、自主探究、合作交流及教師啟發(fā)引導的教學方法，按照“創(chuàng)設情境、意義建構(gòu)、數(shù)學理論、數(shù)學應用、回顧反思、鞏固提高”的程序設計教學過程，并以多媒體手段輔助教學，使學生經(jīng)歷實踐、觀察、猜想、論證、交流、反思等理性思維的基本過程，切實改進學生的學習方式，使學生真正成為學習的主人。