第一篇：全國初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)(八年級)教學(xué)案全集第22講 面積問題與面積方法
全國初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)(八年級)教學(xué)案全集
第二十二講 面積問題與面積方法
幾何學(xué)的產(chǎn)生，源于人們測量土地面積的需要．面積不僅是幾何學(xué)研究的一個重要內(nèi)容，而且也是用來研究幾何學(xué)的一個有力工具．
下面，我們把常用的一些面積公式和定理列舉如下．
(1)三角形的面積
(i)三角形的面積公式
b＋c)是半周長，r是△ABC的內(nèi)切圓半徑．
(ii)等底等高的兩個三角形面積相等．
(iii)兩個等底三角形的面積之比等于高之比；兩個等高三角形的面積之比等于底邊之比；兩個三角形面積之比等于底、高乘積之比．
(iv)相似三角形的面積之比等于相似比的平方．
(2)梯形的面積
梯形的面積等于上、下底之和與高的乘積的一半．
(3)扇形面積
其中r為半徑，l為弧長，θ為弧l所對的圓心角的度數(shù)，α是弧度數(shù)．
1．有關(guān)圖形面積的計算和證明
解 因為CD⊥AB，AC=CB，且△ABD內(nèi)接于半圓，由此可得
所以，陰影部分AEFBDA的面積是
例2 已知凸四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，且△ABC，△ACD，△ABD的面積分別為S1=5，S2=10，S3=6．求△ABO的面積(圖2-128)．
解 首先，我們證明△ABC與△ACD的面積比等于BO與DO的比．過B，D分別作AC的垂線，垂足為E，F(xiàn)．于是Rt△BEO
由題設(shè)
設(shè)S△AOB=S，則
所以
例3 如圖2-129，AD，BE，CF交于△ABC內(nèi)的一點P，并將△ABC分成六個小三角形，其中四個小三角形的面積已在圖中給出．求△ABC的面積．
分析 如果能把未知的兩個小三角形的面積求出，那么△ABC的面積即可得知．根據(jù)例1，這兩個面積是不難求出的．
解 設(shè)未知的兩個小三角形的面積為x和y，則
即
又
即
①÷②得
再由②得x=56．因此
S△ABC＝84＋70＋56＋35＋40＋30=315．
例4 如圖2-130，通過△ABC內(nèi)部一點Q引平行于三角形三邊的直線，這些直線分三角形為六個部分，已知三個平形四邊形部分的面積為S1，S2，S3，求△ABC的面積．
解 為方便起見，設(shè)
S△QDG=S′1，S△QIE=S′2，S△QFH=S′3，則
所以
同理可得
從①，②，③中可以解得
所以
例5 在一個面積為1的正方形中構(gòu)造一個如圖2-131所示的正方形：將單位正方形的每一條邊n等分，然后將每個頂點和它相對的頂點最接近的分點連接起來．如果小正方形(圖中陰影部分)的面積恰
解 如圖2-131，過F作BC的平行線交BG于H，則∠GHF=∠CED，∠FGH=∠DCE=90°，故
n2-n-90=0，所以n=10．
2．利用面積解題
有的平面幾何問題，雖然沒有直接涉及到面積，然而若靈活地運用面積知識去解答，往往會出奇制勝，事半功倍．
例6 在△ABC內(nèi)部或邊界上任取一點P，記P到三邊a，b，c的距離依次為x，y，z．求證：ax+by+cz是一個常數(shù)．
證 如圖2-132，連結(jié)PA，PB，PC，把△ABC分成三個小三角形，則
S△ABC＝S△PAB＋S△PCB＋S△PCA
所以 ax＋by＋cz=2S△ABC，即ax＋by＋cz為常數(shù)．
說明 若△ABC為等邊三角形，則
此即正三角形內(nèi)一點到三邊的距離和為常數(shù)，此常數(shù)是正三角形的高．
例7 如圖2-133，設(shè)P是△ABC內(nèi)任一點，AD，BE，CF是過點P且分別交邊BC，CA，AB于D，E，F(xiàn)．求證：
證 首先，同例2類似，容易證明
說明 本例的結(jié)論很重要，在處理三角形內(nèi)三條線交于一點的問題時，常?？梢杂眠@一結(jié)論去解決．
例8 如圖2-134，已知D，E，F(xiàn)分別是銳角三角形ABC的三邊BC，CA，AB上的點，且AD，BE，CF相交于點P，AP=BP=CP=6，設(shè)PD=x，PE=y，PF=z，若xy＋yz+zx=28，求xyz的值．
解 由上題知
去分母整理得
3(xy+yz＋zx)＋36(x+y＋z)＋324
=xyz+6(xy＋yz＋zx)+36(x+y＋z)＋216，所以 xyz=108-3(xy＋yz＋zx)=24．
練習(xí)二十二
1．填空：
________．
(2)一個三角形的三邊長都是整數(shù)，周長為8，則這個三角形的面積是________．
(3)四邊形ABCD中，∠A=30°，∠B=∠D=90°，AB=AD，AC=1，則四邊形ABCD的面積是______．
(4)梯形ABCD中，AB∥CD，對角線AC與BD相交于O．若S△ABO=p2，S△CDO=q2，則SABCD=____．
ABC
△=40．若BE，CD相交于F，則S△DEF=______．
2．E，F(xiàn)分別在矩形ABCD的邊BC和CD上，若△CEF，△ABE，△ADF的面積分別是3，4，5，求△AEF的面積．
3．已知點P，Q，R分別在△ABC的邊AB，BC，CA上，且BP=PQ=QR=RC=1，求△ABC的面積的最大值．
4．在凸五邊形ABCDE中，S△ABC=S△BCD=S△CDE=S△DEA=S△EAB=1，CE與AD相交于F，求S△CFD．
5．在直角三角形ABC中，∠A=90°，AD，AE分別是高和角平分線，且△ABE，△AED的面積分別為S1=30，S2=6，求△ADC的面積S．
6．設(shè)P是△ABC內(nèi)一點，AD，BE，CF過點P并且交邊BC，CA，AB于點D，E，F(xiàn)．求證：
7．已知△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，AM為BC邊上的中線，與DE相交于N，求證：DN=NE．
第二篇：全國初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)(八年級)教學(xué)案全集第12講平行線問題
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第十二講平行線問題
平行線是我們?nèi)粘Ｉ钪蟹浅３Ｒ姷膱D形．練習(xí)本每一頁中的橫線、直尺的上下兩邊、人行橫道上的“斑馬線”以及黑板框的對邊、桌面的對邊、教室墻壁的對邊等等均是互相平行的線段．
正因為平行線在生活中的廣泛應(yīng)用，因此有關(guān)它的基本知識及性質(zhì)成為中學(xué)幾何的基本知識．
正因為平行線在幾何理論中的基礎(chǔ)性，平行線成為古往今來很多數(shù)學(xué)家非常重視的研究對象．歷史上關(guān)于平行公理的三種假設(shè)，產(chǎn)生了三種不同的幾何(羅巴切夫斯基幾何、黎曼幾何及歐幾里得幾何)，它們在使人們認(rèn)識宇宙空間中起著非常重要的作用．
現(xiàn)行中學(xué)中所學(xué)的幾何是屬于歐幾里得幾何，它是建立在這樣一個公理基礎(chǔ)之上的：“在平面中，經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行”．
在此基礎(chǔ)上，我們學(xué)習(xí)了兩條平行線的判定定理及性質(zhì)定理．下面我們舉例說明這些知識的應(yīng)用．
例1 如圖 1－18，直線a∥b，直線 AB交 a與 b于 A，B，CA平分∠1，CB平分∠ 2，求證：∠C=90°
．
分析 由于a∥b，∠1，∠2是兩個同側(cè)內(nèi)角，因此∠1+∠2=
過C點作直線 l，使 l∥a(或 b)即可通過平行線的性質(zhì)實現(xiàn)等角轉(zhuǎn)移．
證 過C點作直線l，使l∥a(圖1－19)．因為a∥b，所以b∥l，所以
∠1+∠2=180°(同側(cè)內(nèi)角互補(bǔ))．
因為AC平分∠1，BC平分∠2，所以
又∠3=∠CAE，∠4=∠CBF(內(nèi)錯角相等)，所以
∠3+∠4=∠CAE+∠CBF
說明 做完此題不妨想一想這個問題的“反問題”是否成立，即“兩條直線a，b被直線AB所截(如圖1－20所示)，CA，CB分別是∠BAE與∠ABF的平分線，若∠C=90°，問直線a與直線b是否一定平行？”
由于這個問題與上述問題非常相似(將條件與結(jié)論交換位置)，因此，不妨模仿原問題的解決方法來試解．
例2 如圖1－21所示，AA1∥BA2求∠A1-∠B1+∠A2．
分析 本題對∠A1，∠A2，∠B1的大小并沒有給出特定的數(shù)值，因此，答案顯然與所給的三個角的大小無關(guān)．也就是說，不管∠A1，∠A2，∠B1的大小如何，答案應(yīng)是確定的．我們從圖形直觀，有理由猜想答案大概是零，即
∠A1+∠A2=∠B1． ①
猜想，常常受到直觀的啟發(fā)，但猜想必須經(jīng)過嚴(yán)格的證明．①式給我們一種啟發(fā)，能不能將∠B1一分為二使其每一部分分別等于∠A1與∠A2．這就引發(fā)我們過B1點引AA1(從而也是BA2)的平行線，它將∠B1一分為二．
證 過B1引B1E∥AA1，它將∠A1B1A2分成兩個角：∠1，∠2(如圖1－22所示)．
因為AA1∥BA2，所以B1E∥BA2．從而
∠1=∠A1，∠2=∠A2(內(nèi)錯角相等)，所以
∠B1=∠1+∠2=∠A1+∠A2，即 ∠A1-∠B1+∠A2=0．
說明(1)從證題的過程可以發(fā)現(xiàn)，問題的實質(zhì)在于AA1∥BA2，它與連接A1，A2兩點之間的折線段的數(shù)目無關(guān)，如圖1－23所示．連接A1，A2之間的折線段增加到4條：A1B1，B1A2，A2B2，B2A3，仍然有
∠A1+∠A2+∠A3=∠B1+∠B2．
(即那些向右凸出的角的和=向左凸的角的和)即
∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+∠A3=0．
進(jìn)一步可以推廣為
∠A1-∠B1+∠A2-∠B2＋?-∠Bn-1+∠An=0．
這時，連結(jié)A1，An之間的折線段共有n段A1B1，B1A2，?，Bn-1An(當(dāng)然，仍要保持 AA1∥BAn)．
推廣是一種發(fā)展自己思考能力的方法，有些簡單的問題，如果抓住了問題的本質(zhì)，那么，在本質(zhì)不變的情況下，可以將問題推廣到復(fù)雜的情況．
(2)這個問題也可以將條件與結(jié)論對換一下，變成一個新問題．
問題1 如圖1－24所示．∠A1+∠A2=∠B1，問AA1與BA2是否平行？
問題2 如圖1－25所示．若
∠A1+∠A2+?+∠An=∠B1+∠B2+?+∠Bn-1，問AA1與BAn是否平行？
這兩個問題請同學(xué)加以思考．
例3 如圖1－26所示．AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C．
分析 利用平行線的性質(zhì)，可以將角“轉(zhuǎn)移”到新的位置，如∠1=∠DFC或∠AFB．若能將∠1，∠2，∠C“集中”到一個頂點處，這是最理想不過的了，過F點作BC的平行線恰能實現(xiàn)這個目標(biāo)．
解 過F到 FG∥CB，交 AB于G，則
∠C=∠AFG(同位角相等)，∠2=∠BFG(內(nèi)錯角相等)．
因為 AE∥BD，所以
∠1=∠BFA(內(nèi)錯角相等)，所以
∠C=∠AFG=∠BFA-∠BFG =∠1-∠2=3∠2-∠2 =2∠2=50°．
說明(1)運用平行線的性質(zhì)，將角集中到適當(dāng)位置，是添加輔助線(平行線)的常用技巧．
(2)在學(xué)過“三角形內(nèi)角和”知識后，可有以下較為簡便的解法：∠1=∠DFC=∠C+∠2，即
∠C=∠1-∠2=2∠2=50°．
例4 求證：三角形內(nèi)角之和等于180°．
分析平角為180°．若能運用平行線的性質(zhì)，將三角形三個內(nèi)角集中到同一頂點，并得到一個平角，問題即可解決，下面方法是最簡單的一種．
證 如圖1－27所示，在△ABC中，過A引l∥BC，則
∠B=∠1，∠C=∠2(內(nèi)錯角相等)．
顯然 ∠1+∠BAC+∠2=平角，所以 ∠A+∠B+∠C=180°．
說明 事實上，我們可以運用平行線的性質(zhì)，通過添加與三角形三條邊平行的直線，將三角形的三個內(nèi)角“轉(zhuǎn)移”到任意一點得到平角的結(jié)論．如將平角的頂點設(shè)在某一邊內(nèi)，或干脆不在三角形的邊上的其他任何一點處，不過，解法將較為麻煩．同學(xué)們不妨試一試這種較為麻煩的證法．
例5 求證：四邊形內(nèi)角和等于360°．
分析 應(yīng)用例3類似的方法，添加適當(dāng)?shù)钠叫芯€，將這四個角“聚合”在一起使它們之和恰為一個周角．在添加平行線中，盡可能利用原來的內(nèi)角及邊，應(yīng)能減少推理過程．
證 如圖1－28所示，四邊形ABCD中，過頂點B引BE∥AD，BF∥CD，并延長 AB，CB到 H，G．則有∠A=∠2(同位角相等)，∠D=∠1(內(nèi)錯角相等)，∠1=∠3(同位角相等)．
∠C=∠4(同位角相等)，又 ∠ABC(即∠B)=∠GBH(對頂角相等)．
由于∠2+∠3+∠4+∠GBH=360°，所以
∠A+∠B+∠C+∠D=360°．
說明(1)同例3，周角的頂點可以取在平面內(nèi)的任意位置，證明的本質(zhì)不變．
(2)總結(jié)例
3、例4，并將結(jié)論的敘述形式變化，可將結(jié)論加以推廣：
三角形內(nèi)角和=180°=(3-2)×180°，四邊形內(nèi)角和=360°=2×180°=(4-2)×180°．
人們不禁會猜想：
五邊形內(nèi)角和=(5-2)×180°=540°，?????????? n邊形內(nèi)角和=(n-2)×180°．
這個猜想是正確的，它們的證明在學(xué)過三角形內(nèi)角和之后，證明將非常簡單．
(3)在解題過程中，將一些表面并不相同的問題，從形式上加以適當(dāng)變形，找到它們本質(zhì)上的共同之處，將問題加以推廣或一般化，這是發(fā)展人的思維能力的一種重要方法．
例6 如圖1－29所示．直線l的同側(cè)有三點A，B，C，且AB∥l，BC∥l．求證： A，B，C三點在同一條直線上．
分析A，B，C三點在同一條直線上可以理解為∠ABC為平角，即只要證明射線BA與BC所夾的角為180°即可，考慮到以直線l上任意一點為頂點，該點分直線所成的兩條射線為邊所成的角均為平角，結(jié)合所給平行條件，過B作與l相交的直線，就可將l上的平角轉(zhuǎn)換到頂點B處．
證 過B作直線 BD，交l于D．因為AB∥l，CB∥l，所以
∠1=∠ABD，∠2=∠CBD(內(nèi)錯角相等)．
又∠1+∠2=180°，所以
∠ABD+∠CBD=180°，即∠ABC=180°=平角．
A，B，C三點共線．
思考 若將問題加以推廣：在l的同側(cè)有n個點A1，A2，?，An-1，An，且有AiAi+1∥l(i=1，2，?，n-1)．是否還有同樣的結(jié)論？
例7 如圖1－30所示．∠1=∠2，∠D=90°，EF⊥CD．
求證：∠3=∠B．
分析 如果∠3=∠B，則應(yīng)需EF∥BC．又知∠1=∠2，則有BC∥AD．從而，應(yīng)有EF∥AD．這一點從條件EF⊥CD及∠D=90°不難獲得．
證 因為∠1=∠2，所以
AD∥BC(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)．
因為∠D=90°及EF⊥CD，所以
AD∥EF(同位角相等，兩直線平行)．
所以 BC∥EF(平行公理)，所以
∠3=∠B(兩直線平行，同位角相等)．
練習(xí)十二
1．如圖1－31所示．已知AB∥CD，∠B=100°，EF平分∠BEC，EG⊥EF．求∠BEG和∠DEG．
2．如圖1－32所示．CD是∠ACB的平分線，∠ACB=40°，∠B=70°，DE∥BC．求∠EDC和∠BDC的度數(shù)．
3．如圖1－33所示．AB∥CD，∠BAE=30°，∠DCE=60°，EF，EG三等分∠AEC．問：EF與EG中有沒有與AB平行的直線，為什么？
4．證明：五邊形內(nèi)角和等于540°．
5．如圖1－34所示．已知CD平分∠ACB，且DE∥ACCD∥EF．求證：EF平分∠DEB．
第三篇：全國初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)(八年級)教學(xué)案全集第18講 歸納與發(fā)現(xiàn)
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第十八講 歸納與發(fā)現(xiàn)
歸納的方法是認(rèn)識事物內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律性的一種重要思考方法，也是數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)命題與發(fā)現(xiàn)解題思路的一種重要手段．這里的歸納指的是常用的經(jīng)驗歸納，也就是在求解數(shù)學(xué)問題時，首先從簡單的特殊情況的觀察入手，取得一些局部的經(jīng)驗結(jié)果，然后以這些經(jīng)驗作基礎(chǔ)，分析概括這些經(jīng)驗的共同特征，從而發(fā)現(xiàn)解題的一般途徑或新的命題的思考方法．下面舉幾個例題，以見一般．
例1 如圖2-99，有一個六邊形點陣，它的中心是一個點，算作第一層；第二層每邊有兩個點(相鄰兩邊公用一個點)；第三層每邊有三個點，?這個六邊形點陣共有n層，試問第n層有多少個點？這個點陣共有多少個點？
分析與解 我們來觀察點陣中各層點數(shù)的規(guī)律，然后歸納出點陣共有的點數(shù)．
第一層有點數(shù)：1； 第二層有點數(shù)：1×6； 第三層有點數(shù)：2×6； 第四層有點數(shù)：3×6；
??
第n層有點數(shù)：(n-1)×6.因此，這個點陣的第n層有點(n-1)×6個．n層共有點數(shù)為
例2 在平面上有過同一點P，并且半徑相等的n個圓，其中任何兩個圓都有兩個交點，任何三個圓除P點外無其他公共點，那么試問：
(1)這n個圓把平面劃分成多少個平面區(qū)域？
(2)這n個圓共有多少個交點？
分析與解(1)在圖2-100中，設(shè)以P點為公共點的圓有1，2，3，4，5個(取這n個特定的圓)，觀察平面被它們所分割成的平面區(qū)域有多少個？為此，我們列出表18．1．
由表18．1易知
S2-S1=2，S3-S2＝3，S4-S3＝4，S5-S4＝5，??
由此，不難推測
Sn-Sn-1＝n．
把上面(n-1)個等式左、右兩邊分別相加，就得到
Sn-S1＝2＋3＋4＋?＋n，因為S1=2，所以
下面對Sn-Sn-1=n，即Sn=Sn-1＋n的正確性略作說明．
因為Sn-1為n-1個圓把平面劃分的區(qū)域數(shù)，當(dāng)再加上一個圓，即當(dāng)n個圓過定點P時，這個加上去的圓必與前n-1個圓相交，所以這個圓就被前n-1個圓分成n部分，加在Sn-1上，所以有Sn=Sn-1＋n．
(2)與(1)一樣，同樣用觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的方法來解決．為此，可列出表18．2．
由表18．2容易發(fā)現(xiàn)
a1＝1，a2-a1＝1，a3-a2＝2，a4-a3＝3，a5-a4＝4，??
an-1-an-2＝n-2，an-an-1＝n-1．
n個式子相加
注意 請讀者說明an=an-1＋(n-1)的正確性．
例3 設(shè)a，b，c表示三角形三邊的長，它們都是自然數(shù)，其中a≤b≤c，如果 b=n(n是自然數(shù))，試問這樣的三角形有多少個？
分析與解 我們先來研究一些特殊情況：
(1)設(shè)b=n=1，這時b=1，因為a≤b≤c，所以a=1，c可取1，2，3，?．若c=1，則得到一個三邊都為1的等邊三角形；若c≥2，由于a＋b=2，那么a＋b不大于第三邊c，這時不可能由a，b，c構(gòu)成三角形，可見，當(dāng)b=n=1時，滿足條件的三角形只有一個．
(2)設(shè)b=n=2，類似地可以列舉各種情況如表18．3．
這時滿足條件的三角形總數(shù)為：1+2=3．
(3)設(shè)b=n=3，類似地可得表18．4．
這時滿足條件的三角形總數(shù)為：1＋2＋3=6．
通過上面這些特例不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)b=n時，滿足條件的三角形總數(shù)為：
這個猜想是正確的．因為當(dāng)b=n時，a可取n個值(1，2，3，?，n)，對應(yīng)于a的每個值，不妨設(shè)a=k(1≤k≤n)．由于b≤c＜a＋b，即n≤c＜n＋k，所以c可能取的值恰好有k個(n，n＋1，n＋2，?，n＋k-1)．所以，當(dāng)b=n時，滿足條件的三角形總數(shù)為：
例4 設(shè)1×2×3×?×n縮寫為n！(稱作n的階乘)，試化簡：1！×1＋2！×2＋3！×3＋?＋n！×n.分析與解 先觀察特殊情況：
(1)當(dāng)n=1時，原式=1=(1＋1)！-1；
(2)當(dāng)n=2時，原式=5=(2＋1)！-1；
(3)當(dāng)n=3時，原式=23=(3＋1)！-1；
(4)當(dāng)n=4時，原式=119=(4＋1)！-1．
由此做出一般歸納猜想：原式=(n+1)！-1.下面我們證明這個猜想的正確性．
1+原式=1+(1！×1＋2！×2＋3！×3+?+n！×n)
=1！×2＋2！×2＋3！×3+?+n！×n
=2！+2！×2＋3！×3＋?+n！×n
=2！×3+3！×3+?＋n！×n
=3！+3！×3+?+n！×n＝?
=n！+n！×n=(n＋1)！，所以原式=(n+1)！-1.例5 設(shè)x＞0，試比較代數(shù)式x3和x2+x+2的值的大?。?/p>
分析與解 本題直接觀察，不好做出歸納猜想，因此可設(shè)x等于某些特殊值，代入兩式中做試驗比較，或許能啟發(fā)我們發(fā)現(xiàn)解題思路．為此，設(shè)x=0，顯然有
x3＜x2+x+2．①
設(shè)x=10，則有x3=1000，x2+x＋2=112，所以
x3＞x2+x+2．②
設(shè)x=100，則有x3＞x2+x+2．
觀察、比較①，②兩式的條件和結(jié)論，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x值較小時，x3＜x2+x+2；當(dāng)x值較大時，x3＞x2+x+2．
那么自然會想到：當(dāng)x=？時，x3=x2+x+2呢？如果這個方程得解，則它很可能就是本題得解的“臨界點”．為此，設(shè)x3=x2＋x＋2，則
x3-x2-x-2＝0，(x3-x2-2x)＋(x-2)=0，(x-2)(x2+x+1)=0．
因為x＞0，所以x2+x+1＞0，所以x-2=0，所以x=2．這樣
(1)當(dāng)x=2時，x3=x2+x+2；
(2)當(dāng)0＜x＜2時，因為
x-2＜0，x2+x+2＞0，所以(x-2)(x2＋x+2)＜0，即
x3-(x2＋x+2)＜0，所以 x3＜x2＋x＋2.(3)當(dāng)x＞2時，因為
x-2＞0，x2+x+2＞0，所以(x-2)(x2+x+2)＞0，即
x3-(x2＋x＋2)＞0，所以 x3＞x2＋x＋2．
綜合歸納(1)，(2)，(3)，就得到本題的解答．
分析 先由特例入手，注意到
例7 已知E，F(xiàn)，G，H各點分別在四邊形ABCD的AB，BC，CD，DA邊上(如圖2—101)．
(2)當(dāng)上述條件中比值為3，4，?，n時(n為自然數(shù))，那S么S四邊形EFGH與S四邊形ABCD之比是多少？
∥AC交DA于M點．由平行截割定理易知
G引GM
(2)設(shè)
當(dāng)k=3，4時，用類似于(1)的推理方法將所得結(jié)論與(1)的結(jié)論列成表18．5.觀察表18．5中p，q的值與對應(yīng)k值的變化關(guān)系，不難發(fā)現(xiàn)：當(dāng)k=n(自然數(shù))時有
以上推測是完全正確的，證明留給讀者．
練習(xí)十八
1．試證明例7中：
2．平面上有n條直線，其中沒有兩條直線互相平行(即每兩條直線都相交)，也沒有三條或三條以上的直線通過同一點．試求：
(1)這n條直線共有多少個交點？
(2)這n條直線把平面分割為多少塊區(qū)域？
然后做出證明.)
4．求適合x5=656356768的整數(shù)x．
(提示：顯然x不易直接求出，但可注意其取值范圍：505＜656356768＜605，所以502＜x＜602．＝
第四篇：全國初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)(八年級)教學(xué)案全集第32講 自測題
全國初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)(八年級)教學(xué)案全集
第三十二講 自測題
自測題一
1．分解因式：x4-x3＋6x2-x+15．
2．已知a，b，c為三角形的三邊長，且滿足
a2＋b2＋c2＋338=10a+24b+26c，試確定這個三角形的形狀．
3．已知a，b，c，d均為自然數(shù)，且
a5＝b4，c3＝d2，c-a＝19，求d-b的值．
4． a，b，c是整數(shù)，a≠0，且方程ax2＋bx＋c=0的兩個根為a和b，求a＋b＋c的值．
5．設(shè)E，F(xiàn)分別為AC，AB的中點，D為BC上的任一點，P在BF上，DP∥CF，Q在CE上，DQ∥BE，PQ交BE于R，交
6．四邊形ABCD中，如果一組對角(∠A，∠C)相等時，另一組對角(∠B，∠D)的平分線存在什么關(guān)系？
7．如圖2-194所示．△ABC中，D，E分別是邊BC，AB上的點，且∠1=∠2=∠3．如果△ABC，△
8．如圖2-195所示．△ABC中，∠B=90°，M為AB上一點，使得AM=BC，N為BC上一點，使得CN=BM，連AN，CM交于P點．求∠APM的度數(shù)．
9．某服裝市場，每件襯衫零售價為70元，為了促銷，采用以下幾種優(yōu)惠方式：購買2件130元；購滿5件者，每件以零售價的九折出售；購買7件者送1件．某人要買6件，問有幾種購物方案(必要時，可與另一購買2件者搭幫，但要兼顧雙方的利益)？哪種方案花錢最少？
自測題二
1．分解因式：(x2+3x+5)2+2x3+3x2+1Ox．
2．對于集合
p={x丨x是1到100的整數(shù)}
中的元素a，b，如果a除以b的余數(shù)用符號
(1)本集合{x丨<78，x>=6，x∈p}中元素的個數(shù)；
(2)用列舉法表示集合
{x丨
3．已知：x+y+z＝1，x2＋y2+z2=2，x3＋y3+z3=3，試求：(1)xyz的值；(2)x4＋y4＋z4的值．
4．已知方程x2-3x＋a＋4=0有兩個整數(shù)根．
(1)求證：這兩個整數(shù)根一個是奇數(shù)，一個是偶數(shù)；
(2)求證：a是負(fù)偶數(shù)；
(3)當(dāng)方程的兩整數(shù)根同號時，求a的值及這兩個根．
5．證明：形如8n+7的數(shù)不可能是三個整數(shù)的平方和．
7．如圖2-196所示．AD是等腰三角形ABC底邊上的中線，BE是角平分線，EF⊥BC，EG⊥BE且交BC于G．求證：
8．如圖2-197所示．AD是銳角△ABC的高，O是AD上任意一點，連BO，OC并分別延長交AC，AB于E，F(xiàn)，連結(jié)DE，DF．求證：∠EDO=∠FDO．
9．甲校需要課外圖書200本，乙校需要課外圖書240本，某書店門市部A可供應(yīng)150本，門市部B可供應(yīng)290本．如果平均每本書的運費如下表，考慮到學(xué)校的利益，如何安排調(diào)運，才能使學(xué)校支出的運費最少？
自測題三
2．對于任意實數(shù)k，方程
(k2＋1)x2-2(a＋k)2x＋k2＋4k＋b＝0
總有一個根是1，試求實數(shù)a，b的值及另一個根的范圍．
4．如圖2-198．ABCD為圓內(nèi)接四邊形，從它的一個頂點A引平行于CD的弦AP交圓于P，并且分別交BC，BD于Q，R．求證：
5．如圖2-199所示．在△ABC中∠C=90°，∠A的平分線AE交BA上的高CH于D點，過D引AB的平行線交BC于F．求證：BF=EC．
6．如圖2-200所示．△ABC中，AB＞AC，作∠FBC=∠ECB=
7．已知三角形的一邊是另一邊的兩倍，求證：它的最小邊在它的周8．求最大的自然數(shù)x，使得對每一個自然數(shù)y，x能整除7y+12y-1．
9．某公園的門票規(guī)定為每人5元，團(tuán)體票40元一張，每張團(tuán)體票最多可入園10人．
(1)現(xiàn)有三個單位，游園人數(shù)分別為6，8，9．這三個單位分別怎樣買門票使總門票費最??？
(2)若三個單位的游園人數(shù)分別是16，18和19，又分別怎樣買門票使總門票費最??？
(3)若游園人數(shù)為x人，你能找出一般買門票最省錢的規(guī)律嗎？
自測題四
1．求多項式2x2-4xy＋5y2-12y+13的最小值．
2．設(shè)
試求：f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(1999)．
3．如圖2-201所示．在平行四邊形ABCD的對角線BD上任取一點O，過O作邊BC，AB的平行線交AB，BC于F，E，又在 EO上取一點P．CP與OF交于Q．求證：BP∥DQ．
4．若a，b，c為有理數(shù)，且等式成立，則a=b=c=0 ．
5．如圖2-202所示．△ABC是邊長為1的正三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB，AC于M，N，連接MN，求△AMN的周長．
6．證明：由數(shù)字0，1，2，3，4，5所組成的不重復(fù)六位數(shù)不可能被11整除．
7．設(shè)x1，x2，…，x9均為正整數(shù)，且
x1＜x2＜…＜x9，x1＋x2+…＋x9＝220．
當(dāng)x1+x2+…+x5的值最大時，求x9-x1的值．
8．某公司有甲乙兩個工作部門，假日去不同景點旅游，總共有m人參加，甲部門平均每人花費120元，乙部門每人花費110元，該公司去旅游的總共花去2250元，問甲乙兩部門各去了多少人？
9．(1)已知如圖2-203，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，過AD上一點E引直線EF∥AC交BA延長線于F．求證：
FA·BC=AE·CD．
(2)當(dāng)E點移動到D點時，命題(1)將會怎樣？
(3)當(dāng)E點在AD的延長線上時又會怎樣？
自測題五
2．關(guān)于x的二次方程6x2-(2m-1)x-(m＋1)=0有一根
3．設(shè)x＋y=1，x2＋y2=2，求x7＋y7的值．
4．在三角形ABC內(nèi)，∠B=2∠C．求證：b2=c2＋ac．
5．若4x-y能被3整除，則4x2+7xy-2y2能被9整除．
6．a(chǎn)，b，c是三個自然數(shù)，且滿足
abc＝a＋b＋c，求證：a，b，c只能是1，2，3中的一個．
7．如圖2-204所示．AD是△ABC的BC邊上的中線，E是BD的中點，BA=BD．求證：AC=2AE．
8．設(shè)AD是△ABC的中線，(1)求證：AB2＋AC2=2(AD2＋BD2)；
(2)當(dāng)A點在BC上時，將怎樣？
按沿河距離計算，B離A的距離AC=40千米，如果水路運費是公路運費的一半，應(yīng)該怎樣確定在河岸上的D點，從B點筑一條公路到D，才能使A到B的運費最省？
第五篇：全國初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)(八年級)教學(xué)案全集第31講 復(fù)習(xí)題
全國初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)(八年級)教學(xué)案全集
第三十一講復(fù)習(xí)題
1．分解因式：3x2+5xy-2y2+x＋9y-4．
2．分解因式：(x2＋xy＋y2)(x2+xy+2y2)-12y4．
5．已知
求ab＋cd的值．
為任意正數(shù)，證明1＜s＜2.7．設(shè)a，b是互不相等的正數(shù)，比較M，N的大?。?/p>
8．求分式 的值．
9．已知：
求證：px＋qy+rz=(p+q+r)(x+y+z)．
11．已知實數(shù)x，y滿足等式
求x，y的值．
12．若14(a2+b2+c2)=(a＋2b＋3c)2，求a∶b∶c．
13．解方程：x2＋2x-3丨x+1丨+3=0．
14．已知三個二次方程x2-3x＋a=0，2x2＋ax-4=0，ax2＋bx-3=0有公共解，試求整數(shù)a和整數(shù)b的值．
15．如圖2-178所示．在△ABC中，過點B作∠A的平分線的垂線，足為D．DE∥AC交AB于E點．求證：E是AB的中點．
16．求證：直角三角形勾股平方的倒數(shù)和等于弦上的高的平方的倒數(shù)．
17．如圖2-179所示．在△ABC中，延長BC至D，使CD=BC．若BC中點為E，AD=2AE，求證：AB=BC．
18．如圖2-180所示．ABCD是平行四邊形，BCGH及CDFE都是正方形．求證：AC⊥EG．
19．證明：梯形對角線中點的連線平行于底，并且等于兩底差的一半．
20．如圖2-181所示．梯形ABCD中，∠ADC=90°，∠AEC=3∠BAE，AB∥CD，E是 BC的中點．求證：
CD=CE．
21．如圖2-182所示．梯形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，AC和BD交于M，EF過M且平行于AD，EC和FB交于N，GH過N且平行于AD．求證：
22．如圖2-183所示．在矩形ABCD中，M是AD的中點，N是BC的中點，P是CD延長線上的一點，PM交AC于Q．求證：∠QNM=∠MNP．
23．在(凸)四邊形ABCD中，求證：
AC·BD≤AB·CD＋AD·BC．
24．如圖2-184所示．AD是等腰△ABC底邊BC上的高，BM與BN是∠B的三等分角線，分別交AD于M，N點，連CN并延長交AB于E．求證：
25．已知n是正整數(shù)，且n2-71能被7n＋55整除，求n的值．
26．求具有下列性質(zhì)的最小正整數(shù)n：
(1)它以數(shù)字6結(jié)尾；
(2)如果把數(shù)字6移到第一位之前，所得的數(shù)是原數(shù)的4倍．
27．求出整數(shù)n，它的2倍被3除余1，3倍被5除余2，5倍被7除余3．
28．把 1，2，3，?，81這 81個數(shù)任意排列為：a1，a2，a3，?，a81．計算
丨a1-a2＋a3丨，丨a4-a5＋a6丨，?，丨a79-a80＋a81丨；
再將這27個數(shù)任意排列為b1，b2，?，b27，計算
丨b1-b2+b3丨，丨b4-b5+b6丨，?，丨b25-b26＋b27丨．
如此繼續(xù)下去，最后得到一個數(shù)x，問x是奇數(shù)還是偶數(shù)？
29．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別記為a，b，c，30．設(shè)凸四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD，求證：
BC＋AD＞AB+CD．
31．如圖2-185．在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F(xiàn)分別在AB和DC上，EF∥BC，EF平分梯形ABCD的面積，若AD=a，BC=b，求EF的長．
32．四邊形ABCD的面積為1，M為AD的中點，N為BC的中點，的面積．
33．已知一元二次方程
x2-x+1-m=0 的兩實根x1，x2滿足丨x1丨+丨x2丨≤5，求實數(shù)m的取值范圍．
34．求所有的正實數(shù)a，使得方程x2-ax＋4a=0僅有整數(shù)根．
35．求證：當(dāng)p，q為奇數(shù)時，方程
x2＋px＋q=0
無整數(shù)根．
36．如圖2-186．已知圓中四弦AB，BD，DC，CA分別等于a，b，c，d(且cd＞ab)．過C引直線CE∥AD交AB的延長線于E，求BE之長．
37．設(shè)A={2，x，y}，B={2，x，y2}，其中x，y是整數(shù)，并且A∩B={2，4}，A∪B={2，x，2x，16x}，求x，y的值．
38．在梯形ABCD中，與兩條平行底邊平行的直線和兩腰AB，CD交于P，Q(圖2-187)．如果AP∶PB=m∶n，那么PQ的值如何用m，n，AD，BC表示？
39．在平行四邊形ABCD中，設(shè)∠A，∠B，∠C，∠D的平分線兩兩相交的交點分別為P，Q，R，S，那么四邊形PQRS是什么圖形？如果原來的四邊形ABCD是矩形，那么四邊形PQRS又是什么圖形？
40．在直角三角形ABC中，以邊AB，BC，AC為對應(yīng)邊分別作三個相似三角形，那么這三個相似三角形面積之間有什么關(guān)系？
41．如果三角形的三邊用m2＋n2，m2-n2，2mn來表示，那么這個三角形的形狀如何？如果m2＋n2=4mn，又將怎樣？
42．在圓柱形容器中裝水，當(dāng)水的高度為6厘米時，重4.4千克，水高為10厘米時，重6.8千克，試用圖像表示水高為0～10厘米時，水高與重量之間的關(guān)系，并預(yù)測當(dāng)水高為8厘米時，水重為多少千克？
43．有7張電影票，10個人抽簽，為此先做好10個簽，其中7個簽上寫“有票”，3個簽上寫“無票”，然后10個人排好隊按順序抽簽．問第一人與第二人抽到的可能性是否相同？
44．在直徑為50毫米(mm)的鐵板中，銃出四個互相外切，并且同樣大小的墊圈(圖2-188)，那么墊圈的最大直徑是多少？
45．唐代詩人王之渙的著名詩篇：
白日依山盡，黃河入海流． 欲窮千里目，更上一層樓．
按詩人的想象，要看到千里之外的景物，需要站在多高的建筑物上呢？試化成數(shù)學(xué)問題加以解釋．
46．在一個池塘中，一棵水草AC垂直水面，AB為水草在水面上的部分，如圖2-189，問如何利用這根水草測出水深？
47．在一條運河的兩側(cè)有兩個村子A，B，河的兩岸基本上是平行線．現(xiàn)在要在河上架一座橋與河岸垂直，以便使兩岸居民互相往來，那么這座橋架在什么地方，才能使從A到B的路程最近呢(圖2-190)？
48．要在一條河邊修一座水塔，以便從那里給A，B兩個城市供水(設(shè)A，B在河岸EF的同側(cè))，那么水塔應(yīng)建在河岸EF的什么地方，才能使水塔到A，B兩市供水管道總長度最短(圖2-191)？
49．三個同學(xué)在街頭散步，發(fā)現(xiàn)一輛汽車違反了交通規(guī)則．但他們沒有完全記住這輛汽車的車號(車號由4位數(shù)字組成)，可是第一個同學(xué)記住車號的前兩位數(shù)是相同的，第二個同學(xué)記得后兩位數(shù)也相同，第三個同學(xué)記得這個四位數(shù)恰好是一個數(shù)的平方數(shù)．根據(jù)這些線索，能找出這輛汽車的車號嗎？
50．圖2-192是一個彈簧秤的示意圖，其中：圖(a)表示彈簧稱東西前的狀況，此時刻度0齊上線，彈簧伸長的初始長度為b．圖(b)表示彈簧秤上掛有重物時，彈簧伸長的狀況．如果彈簧秤上掛上不同重量的砝碼，那么彈簧秤的長度也相應(yīng)地伸長．現(xiàn)獲得如下一組數(shù)據(jù)：
(1)以x，y的對應(yīng)值(x，y)為點的坐標(biāo)，畫出散點圖；
(2)求出關(guān)于x的函數(shù)y的表達(dá)式，(3)求當(dāng)x＝500克時，y的長度．
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