第一篇：簡評“三角函數(shù)最值求法”(張輝老師執(zhí)教)

評課稿

2013年4月22日下午，赴陳經(jīng)綸中學(xué)聽張輝老師執(zhí)教高一數(shù)學(xué)“三角函數(shù)最值求法”習(xí)題課。感受頗深，很受啟發(fā)。覺得張老師采用的是教師引領(lǐng)學(xué)生探究式教學(xué)，學(xué)生參與度高，是一堂培養(yǎng)學(xué)生思維能力的成功的習(xí)題課。

課堂以求函數(shù)最值為主線，選擇三個(gè)典型的例子作為題材很恰當(dāng)，雖然還有其他最值形式，但都可以練習(xí)的方式滲透、訓(xùn)練。

好的方面不多說，主要有以下兩點(diǎn)看法：

1．從課堂引入的問題“求三角函數(shù)最值有哪些方法？”

從學(xué)生回答看來，學(xué)生對這樣的問題不好回答，其實(shí)，老師想要學(xué)生說的東西有些就不是一個(gè)方法，似乎是一個(gè)“目標(biāo)模式”。因此，如果把提問調(diào)整為“就自己的親歷過的學(xué)習(xí)、練習(xí)、閱讀等，誰能說出一些求三角函數(shù)最值的目標(biāo)模式，說多少都可以，其他同學(xué)也可以補(bǔ)充?！保蚁雽W(xué)生就可以回答的比較具體，雖不一定說得全面，參與的同學(xué)多了，典型的目標(biāo)模式是一定能收集到的。另外，教師這么問，是不是也意味著本節(jié)課要講的方法只是一個(gè)綜述呢，還是除了學(xué)生熟悉的方法，老師還有新方法傳授？

2．關(guān)于例2，張老師引領(lǐng)學(xué)生“完成解答”之后，我覺得她有點(diǎn)急于揭示解法之錯(cuò)誤。由于?2?cos2x?cos2y?2，而學(xué)生跟著老師走過來的解法得到最大值是5，這明顯存在有“認(rèn)知沖突”。因此，如果這時(shí)張老師放手讓學(xué)生交流做“合作交流，題后反思”，學(xué)生應(yīng)該很快發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，形成“沖突”之后更有利于學(xué)生“求真欲望”，繼續(xù)放手讓學(xué)生找到可能出錯(cuò)之處，再讓學(xué)生合作修復(fù)。我覺得對陳經(jīng)綸中學(xué)的學(xué)生來說，這些做法在課堂上是可以完成的，哪怕是把例3留作作業(yè)也好。這樣處理可以使得教師掌控的時(shí)間縮短，給學(xué)生留下整理反思的時(shí)間，教師也能夠贏得“小結(jié)學(xué)生感受收獲”的時(shí)間。

以上寫出了我自己的所思所想。每個(gè)做課教師都是下過很大功夫的，通常是幾易其稿，最后實(shí)施教學(xué)。我們聽課者通常中午沒有休息，聽課的時(shí)候真的比較困，如果課堂上沒有抑制住疲勞，尤其是對課堂索然乏味的時(shí)候，既使在評課的時(shí)候，也還是很疲勞，精力得不到回復(fù)，大腦不聽使喚。在這種狀態(tài)下，教師評課積極性不高是可以理解的。所以，我倡議同仁們，加入到聽課后評課中來，以期大家智慧共享，改善我們的課堂教學(xué)。

清華附中朝陽學(xué)校王慧興

2013年4月22日星期一

第二篇：不等式證明、最值求法

不等式的證明（論一個(gè)不等式的應(yīng)用）

貴刊2004(11)發(fā)表李建新老師《巧用向量求值》一文（以下簡稱原文），經(jīng)筆者研究發(fā)現(xiàn)，原文中的所有最值問題都可以用下面的一個(gè)不等式加以解決，而且相比之下比李老師的向量法在處理上更簡單一些，故寫此文和大家交流．

x2y222

2定理 若實(shí)數(shù)a,b,x,y滿足2?2?1，則a?b≥(x?y)．

abx2y2b2x2a2y2222222

證明：a?b?(a?b)(2?2)?x?y??2 2

abab

222

≥x?y?2xy?(x?y)，xy

由證明過程易知等號(hào)成立的條件是2?2．

ab

注 這個(gè)不等式的條件是一個(gè)橢圓方程，故稱此不等式為橢圓不等式．

１ 求滿足整式方程的未知數(shù)的代數(shù)式的最值

例１ 已知x,y滿足x?y?2x?4y?0，求x?2y的最值（1988年廣東高考題，原文例１）．

(x?1)24(?y?2)2

解：x?y?2x?4y?0???1，依定理有

520

5?20?[(x?1)?2(?y?2)]2，即(x?2y?5)，解得0?x?2y?10，當(dāng)且僅當(dāng)?2

5x?1?

?y?222

(x?2y)min?0，且x?y?2x?4y?0，即x?y?0時(shí)，當(dāng)x?2,y?4?

時(shí)，(x?2y)max?10．

例２ 已知a,b?R，且a?b?1?0，求(a?2)?(b?3)的最小值（第10屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽高二培訓(xùn)題）．

(a?2)2(b?3)2

??1，由定理得： 解：令(a?2)?(b?3)=t，則

tt

2t≥(a?b?5)2?(a?b?1?6)2?36，即t≥18，當(dāng)且僅當(dāng)a?2?b?3且a?b?1?0

時(shí)，即a??1,b?0時(shí)，tmin?18，從而(a?2)?(b?3)的最小值為18．

２ 求滿足三元一次方程及三元二次方程的未知數(shù)的最值

例３ 已知實(shí)數(shù)x1,x2,x3滿足方程x1?

111212x2?x3?1及x12?x2?x3?3，求x3的232

3最小值（1993年上海市高三數(shù)學(xué)競賽試題，原文例3）

(x2)2

x1212111

1解：x1?x2?x3?1?x1?x2?1?x3，x12?x2?x3?3???1

222323233?x3(3?x3)323

由定理得

111112112121

(3?x32)?(3?x32)?(x1?x2)2?3?x32?(x1?x2)2?3?x32?(1?x3)2???x3?3

323233233311

從而x3的最小值為?

21． 11

３ 求滿足整式方程的未知數(shù)的分式的最值

例４ 如果實(shí)數(shù)x,y滿足等式(x?2)?y?3，求題）．

y的最大值（1990年全國高考試x

y

?k，則y?kx，由已知等式(x?2)2?y2?3可得 x

(2k?kx)2(kx)2222，∴由定理得：≥，即≤3，∴?≤k≤3，??13?3kk4k2

33k

y

從而的最大值為3。

x

y22

例５ 若實(shí)數(shù)x,y適合方程x?y?2x?4y?1?0,那么代數(shù)式的取值范圍

x?2

解：令

是（第9屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽高二第1試）．

y

?t，則tx?y?2t?0，由已知方程得(x?1)2?(y?2)2?4，變形得：x?2

(tx?t)2(y?2)2

??1，∴由定理得：4t2?4≥(tx?y?2?t)2?(2?3t)2，解之得： 2

44t

12y120≤t≤，∴代數(shù)式的取值范圍是[0，]．

5x?25

y?122

例６ 已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程(x?2)?y?1，求的最小值(第10屆＂希望杯＂

x?2

解：令

邀請賽數(shù)學(xué)競賽高二試題，原文例4)

(?kx?2k)2(kx?2k?1)2y?122

??1，解：設(shè)?k，則y?kx?2k?1，(x?2)?y?1?

k21x?2

由定理得k?1?[(?kx?2k)?(kx?2k?1)]?(1?4k)，解得0?k?４ 求滿足不等式的未知數(shù)的最值

例７ 若2x?y?1，u?y?2y?x?6x，則u的最小值等于（）A．?

y?18，即的最小值為０． 15x?2

77141

4B．?C．D． 5555

（2003年＂希望杯＂全國數(shù)學(xué)邀請賽高二試題）

4(x?3)2(y?1)2

??1，依定理及條件有 解：u?y?2y?x?6x?

4(u?10)u?10

36142(x?3)

當(dāng)且僅當(dāng)?10??，?y?1且2x?y?1

554

31114

時(shí)，即x??,y?時(shí)，umin??，故選(B)．

555

11n

例８ 設(shè)a?b?c，且≥恒成立，則n的最大值是（第11?

a?bb?ca?c

5(u?10)?(2x?y?5)2?36，即u?

屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽高二第1試，原文例１１）．

解：令

11112

=t，則=1，從而t(a?c)≥(1?1)?4，??

t(a?b)t(b?c)a?bb?c

由已知得a?c?0，故t≥５ 求無理函數(shù)的值域

4114，即≥，∴n的最大值是4． ?

a?bb?ca?ca?c

1994年上海市高三數(shù)學(xué)競賽題，原

例９

求函數(shù)y?文例５）．

解：由1994?x?0且x?1993?0得1993?x?1994，兩邊平方易得y?1，又

1?

1994?xx?1993，由定理得：2?2，?

1?y?

?

故函數(shù)y?６ 求滿足分式方程的未知數(shù)的代數(shù)式的最值

例１０ 設(shè)x,y,a,b?R，且

?

ab

??1，則x?y的最小值為（第11屆＂希望xy

杯＂全國數(shù)學(xué)邀請賽高二培訓(xùn)題）．

解：

依定理有x?y?，ab

???1，即x?，xy

x?

時(shí)，(x?y)min?2．

例１１ 已知x,y?(0,??)，且數(shù)學(xué)競賽試題，原文例６）．

解：由已知條件和定理有：x?y??117?． 定理的推廣 若

1998

??1，求x?y的最小值（1998年湖南省高中xy

?a

i?1

n

bi

i

?1，則?ai≥（i?1

n

?b)

ii?1

2i

n，其中ai與bi同號(hào)（i=1，2，． ?,n）

證明：由Cauchy不等式及已知條件有：７ 求使多項(xiàng)式函數(shù)取最值的未知數(shù)的值

?a=?a.?a

i

i?1

i?1

nnn

bi

i

≥（i?1

?b)．

2ii?12

n

例１２ 求實(shí)數(shù)x,y的值，使得(y?1)?(x?y?3)?(2x?y?6)達(dá)到最小值（2001年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題，原文例７）．

1(?)y2(22x?6y)?6(2?)x?y

?解：令(y?1)?(x?y?3)?(2x?y?6)?t，則t4tt

1，由定理的推廣得：6t?[(1?y)?(2x?2y?6)?(6?2x?y)]?1，即t?，當(dāng)且僅當(dāng)6

1?yx?y?36?2x?y55

(y?1)2?(x?y?3)2?(2x?y?6)2達(dá)，即x?,y?時(shí)，??

12126

到最小值．

6８ 求滿足分式方程的未知數(shù)的分式的最值

x2y2z2xyz

例１３ 已知x,y,z?R,，求的最???2??

1?x21?y21?z21?x21?y21?z2

?

大值（1990年首屆＂希望杯＂全國數(shù)學(xué)邀請賽培訓(xùn)題，原文例８）．

x2y2z2111

???2解：由易知???1，而 1?x21?y21?z21?x21?y21?z2

x2(y)2z2

()()222222xyz1?y???2????1，依定理的推廣可有222

1?x1?y1?z

1?x21?y21?z2222xyz2xyz2，即???(??)(???2，從222222222

1?x1?y1?z1?x1?y1?z1?x1?y1?z

而

xyz

． ??

1?x21?y21?

z2

９ 求無理式的最值

例１４ 如果a?b?c?1，（第８屆＂希望杯＂全國數(shù)學(xué)邀請賽高二試題，原文例９）．

解：由條件知(3a?1)?(3b?1)?(3c?1)?6，則

3a?13b?13c?1

???1，由定理

666

?的推廣得：18?，且僅當(dāng)a?b?c?

時(shí)達(dá)到最大值）． 3

M

是多少？N

１０ 求三角函數(shù)的最值

例１５的最大值為M，最小值為N，則

（1999年＂希望杯＂數(shù)學(xué)邀請賽，山西、江西、天津賽區(qū)高二試題，原文例12）．

解：由1?tanx?

?

N?

tanx?13?tanx

??

1，由定理得4?22

?2，即M=2，故

M??． N１１ 求對數(shù)函數(shù)的最值

例１６ 已知ab?1000,a?1,b?

1，則的最大值是多少？（第13屆＂希望杯＂全國邀請賽高二培訓(xùn)題，原文例13）．

解：由已知易得：(1?lga)?(1?lgb)?5，即

1?lga1?lgb

??1，由定理有

10?

2?

由上我們可以看出，用本文中的定理和定理的推廣要比文［１］中用向量解決這些問題

簡單的多．當(dāng)然，這樣的例子很多的，這里不再贅述，請讀者自行研究，以下是幾個(gè)練習(xí)．

練習(xí)

１．設(shè)x,y,z?R?，且x?y?z?1，求隊(duì)第一輪選拔賽題）．（答案：３６）

２．已知x,y,z?R,x?y?z?1，求數(shù)學(xué)問題1504）．（答案：６４）

３．函數(shù)y?

?

149

??的最小值（1990年日本IMO代表xyz

118

《數(shù)學(xué)通報(bào)》2004（7），?2?2的最小值（2

xyz

3x??x2的最小值為12屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽高

參 考 文 獻(xiàn)

一培訓(xùn)題）．（答案：－２）

１．李建新．巧用向量求值．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)，2004，1１．

第三篇：一類二元函數(shù)最值的求法

龍?jiān)雌诳W(wǎng) http://.cn

一類二元函數(shù)最值的求法

作者：高海燕

來源：《數(shù)理化學(xué)習(xí)·高三版》2013年第05期

點(diǎn)評：解法1和解法2中都用了配方法，但由于配方的目的不同.

第四篇：三角函數(shù)周期與最值教案

三角函數(shù)的周期與最值，授課人：王俊

時(shí)間：2017-9-12 授課班級(jí)：高三（5）班

授課內(nèi)容：三角函數(shù)的周期與最值 教學(xué)目標(biāo)： 掌握三角函數(shù)的最小正周期的求法。掌握能化成形如y?Asin(?x??)?b的三角函數(shù)的最值的求法。3 有范圍限制的三角函數(shù)最值的求法

教學(xué)重點(diǎn)：把形如y?asinx?bcosx的三角函數(shù)化成y?Asin(?x??)?b的形式的方法與技巧。

教學(xué)過程：

回顧上節(jié)課內(nèi)容，導(dǎo)入新課

復(fù)習(xí)上節(jié)課三角函數(shù)的圖像以及求單調(diào)區(qū)間，對稱軸，對稱中心。

新課講授：

一．三角函數(shù)的周期（最小正周期）

2?(x??)?b

T=

1.y?Asin?（w>0）

?2? 2.y?Acos(?x??)?b

T=（w>0）

???x??)?b

T=（w>0）3.y?Atan(?

二.三角函數(shù)的最值

1.形如y?Asin(?x??)?b（x∈R）的最值

若A>0時(shí)，ymax?A

ymin??A

若A<0時(shí)，ymax??A

ymin?A 注:有范圍限制時(shí)需結(jié)合圖像求值域

2.輔助角公式

y?asinx?bcosxab?a2?b2(sinx?cosx)

2222a?ba?b?a2?b2sin(x??)

(其中cos??aa?b22，sin?ba?b22)y?asinx?bcosx?a?bcos(x—?)22

（其中sin??aa?b22，cos??ba?b22）

三.例題：

1.選擇題

??x)+1是（）4

A

最小正周期為?的奇函數(shù)

B

最小正周期為?的偶函數(shù)

?C

最小正周期為的奇函數(shù)

?D

最小正周期為的非奇非偶函數(shù)

2.填空題

sin2x?cos2x函數(shù)y=的最小正周期

cos2x?sin2x

3.解答題

?已知函數(shù)f(x)=sin2x?sinxsin(x?)

（1）求f(x)的最小正周期

?

（2）當(dāng)x∈﹝0，）時(shí)，求f（x）的值域

2函數(shù)y=-2cos2（練習(xí)題:

求y?23sinx?2cos(x??),x??0,??的最大值 3

備課組長簽字：

第五篇：人教版高一數(shù)學(xué)《函數(shù)最值求法及運(yùn)用》教案

人教版高一數(shù)學(xué)《函數(shù)最值求法及運(yùn)用》

教案

函數(shù)最值求法及運(yùn)用

一經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)梳理:)問題思考的角度:1幾何角度；2代數(shù)角度

2)問題解決的優(yōu)化策略:

Ⅰ、優(yōu)化策略代數(shù)角度:

消元

2換元

3代換

4放縮

①經(jīng)驗(yàn)放縮，②公式放縮③條放縮]

Ⅱ、幾何角度:

經(jīng)驗(yàn)特征策略分析問題的幾何背景線性規(guī)劃、斜率、距離等

3)核心思想方法:

劃歸轉(zhuǎn)化思想;等價(jià)轉(zhuǎn)化思想

若

，則

二、體驗(yàn)訓(xùn)練：

線性規(guī)劃問題

已知雙曲線方程為求的最小值

2斜率問題

已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

為的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的圖像如圖所示若兩正數(shù)滿足，則的取值范圍是

．

3距離問題

3、由直線上的一點(diǎn)向圓引切線，則切線長的最小值為

．

練習(xí)1已知點(diǎn)是直線上動(dòng)點(diǎn)，、是圓 的兩條切線，、是切點(diǎn)，若四邊形的最小面積是，則

．

練習(xí)2已知實(shí)數(shù)滿足不等式組，則的最小值為

；

4消元法

已知函數(shù)，若且則的取值范圍為

練習(xí)：設(shè)函數(shù)，若且則的取值范圍為

換元法

求下列函數(shù)的最大值或最小值：

（1）

；

（2）

；

（3）若函數(shù)的最大值是正整數(shù)，則=_______

解：（1）

，由得，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，當(dāng)時(shí)函數(shù)取最大值．

（2）令，則，∴，當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，∴函數(shù)取最大值，無最小值．

2已知,且夾角為如圖點(diǎn)在以為圓心的圓弧上動(dòng)若則求的最大值

6代換法

設(shè)為正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是

【解析】本小題考查二元基本不等式的運(yùn)用．由得，代入得，當(dāng)且僅當(dāng)＝3

時(shí)取“＝”．

設(shè)正實(shí)數(shù)滿足則的最大值為

▲1

．

7公式放縮法

函數(shù)，的最小值為：_________

錯(cuò)解：∵

∴，又為定值故利用基本不等式得

即的最小值為4

點(diǎn)評：利用基本不等式必須滿足三個(gè)條：即“一正、二定、三等”，而本題只滿足前兩個(gè)條，不滿足第三個(gè)條，即不成立。

設(shè)為實(shí)數(shù)，若則的最大值是。

8放縮法、換元法

已知二次函數(shù)的值域是那么的最小值是

．

9綜合探討：

滿足條的三角形的面積的最大值

【解析】本小題考查三角形面積公式、余弦定理以及函數(shù)思想．設(shè)B＝，則A＝

，根據(jù)面積公式得=，根據(jù)余弦定理得

，代入上式得

=

由三角形三邊關(guān)系有解得，故當(dāng)時(shí)取得最大值

解析2：若，則的最大值。

【解析】本小題考查三角形面積公式及函數(shù)思想。

因?yàn)锳B=2（定長），可以以AB所在的直線為軸，其中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，由可得，化簡得，即在以（3，0）為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)。又。

答案

7、設(shè)，則函數(shù)

時(shí)，;

（3）=

設(shè)

則

由于，所以

在內(nèi)單調(diào)遞減，于是當(dāng)時(shí)時(shí)

的最大值米

答：當(dāng)或時(shí)所鋪設(shè)的管道最短，為米