第一篇：兩角和與差的三角函數(shù) 解斜三角形 三角變換中的最值問題 教案

兩角和與差的三角函數(shù)，解斜三角形·三角變換中的最值問題·教案

北京市第一七一中學 許綺菲

教學目標

1．復習、鞏固和、差、倍、半角公式，使學生能夠熟練運用公式解決典型的三角函數(shù)式的最值問題． 2．在學生掌握三角函數(shù)式最值的基本求解方法的基礎上，引導學生在解決最值應用問題時，會引入角做變量列出目標函數(shù)，借助繁多的三角公式求解函數(shù)最值．

3．在教學過程中突出三角函數(shù)式與代數(shù)式的相互轉化，訓練學生靈活選擇代數(shù)與三角變換兩種工具，滲透“轉化”數(shù)學思想．

教學重點與難點

重點是教會學生把三角函數(shù)式最值問題轉化為代數(shù)式的最值問題，同時能夠利用三角變換知識解決代數(shù)式的最值問題，恰當選取方法解決問題．

難點是培養(yǎng)學生利用三角變換工具解決問題的意識，體現(xiàn)三角變換的工具性．講授難點是引導學生全面分析題目，恰當選取變量，正確列出較易求最值的目標函數(shù)．

教學過程設計

師：我們已經(jīng)學過了和、差、倍、半角公式，深感三角公式繁多，變換多端，同時三角函數(shù)還具有單調(diào)性及有界性．今天我們來共同探討三角變換中的最值問題．首先我請一位同學回答代數(shù)式的最值問題有哪些基本求解方法．

生：有利用函數(shù)單調(diào)性的方法，如最常用的二次函數(shù)法、復合函數(shù)法、分離變量法、方程法、換元法等． 師：這位同學回答很好．我們在學習三角函數(shù)式的最值問題時也希望大家注意總結方法．下面讓我們看第一個例題．

例1 求y=cos2x+6cosx+5的最大、最小值．

分析：這個函數(shù)式變量形式不統(tǒng)一，我們首先要設法統(tǒng)一變量再求其最值． 生：可以利用倍角公式統(tǒng)一變量，轉化為二次函數(shù)求解．

因為cosx∈[-1，1]，所以ymax=12，ymin=0．

師：這個題目我們借助二次函數(shù)這一工具求最值，注意到了代數(shù)與三角變換間的溝通．下面我們看例2． 例2 求函數(shù)y=sinx+cosx+sinx·cosx+1的最大值與最小值． 生：這個題目既有“sinx”又有“cosx”，若用sin2x+cos2x=1求解，會出現(xiàn)根式，所以考慮把角度取半使其次數(shù)升高．

解

y=sinx·（1+cosx）+1+cosx =（1+cosx）·（1+sinx）

師：這位同學為了不出現(xiàn)根式而把角度減半以達到升次的目的，很好．但若把題目改為y=sinx+cosx+3sinxcosx+1，這樣能否可行？對例2有沒有更具有普遍意義的做法？

生：觀察到（sinx+cosx）2=sin2x+cos2x+2sinxcosx=1+2sinxcosx，故聯(lián)

函數(shù)求解．于是得到例2的又一解法． 解

師：這位同學的解法更具有普遍意義，特別值得表揚的是這位同學在換元時注意到了等價性，即求出了t的取值范圍．下面我們看例3．

例3 已知x2+y2=1，求u=3x+4y的值域．

分析：這個題目是代數(shù)式的最值問題，若用代數(shù)方法求解，要首先統(tǒng)一變元，這樣就會出現(xiàn)根式，運算不夠簡潔．觀察到x2+y2=1這一制約條件，聯(lián)想到sin2x+cos2x=1，可令x=cosα，y=sinα．進行三角換元，利用三角公式求最值．

解 令x=cosα，y=sinα．則

所以u∈[-5，5]．

下面我們做三個練習：

練習1 已知x2+y2=4，求μ=3x+4y的值域．

（分別請三位同學板演．）

解1 令x=2cosα，y=2sinα，則

所以μ∈[-10，10]．

師：這三位同學都注意到所求函數(shù)的定義域，利用三角換元求解最值．一般來說，利用三角換元求解y=f（x）的最值問題的步驟為：1°求函數(shù)y=f（x）的定義域；2°根據(jù)求出的定義域設計換元，注意換元后給出一個能夠保證其值域充滿給定函數(shù)y=f（x）的定義域的新變量的最小取值范圍，如練習2中要求x∈[-1，1]，令x=sinα后給出α∈

取值范圍；3°利用三角公式求函數(shù)的最值．

利用換元法求最值不僅限于把變量x換為sinα或cosα，還可以換元為tanα，cotα等，要依所給函數(shù)而定；三角換元也未必只在代數(shù)式

函數(shù)轉化為代數(shù)式求解，在求解最值問題時要恰當選取代數(shù)與三角兩種工具，并能互相轉化． 以上我們研究了函數(shù)式的最值問題，下面我們看幾個最值應用問題，探討如何利用三角這一工具解決問題． 例4 欲在半圓形鐵皮（如圖1）截取矩形，如何截取利用率最高．（半徑為R）

分析：矩形ABCD的面積取決于CD的位置，而CD∥AB，故C點位置一旦取定，則D點位置也隨之而定．C點在圓周上，連結圓心O與C點，則∠COB的大小便確定了C點的位置，故引入∠COB作為變量寫出目標函數(shù)．

解

S=Rsinα·2Rcosα=R2sin2α，利用三角變換解最值應用問題的一般步驟是：1°全面分析題目，選擇恰當?shù)淖宰兞浚?°列出目標函數(shù)，確定自變量取值范圍；3°利用三角變換公式求最值．

若我們把半圓形鐵皮改為扇形鐵皮，如何求解呢？請同學們練習．

練習4 在半徑為R，中心角為α的扇形鐵皮中（如圖2）截取矩形，何時利用率最高．

（此題可利用正弦定理，即△ABC中，A，B，C為三內(nèi)角，a，（給出時間讓學生獨立思考，請學生回答．）

生：與例4相似的有矩形ABCD面積由CD位置決定，CD∥AB，C點位置決定了矩形ABCD的面積，而∠COB的大小決定了C點位置．故引入∠COB為變量．這個題目與例4的區(qū)別在于目標函數(shù)較例4復雜．

解 設∠COB=θ，θ∈（0，α）．

在Rt△COB中，|BC|=Rsinθ，在△COD中，∠CDO=π-α，∠DOC=α-θ，由正弦定理，師：四個題目還可以略加改動．

練習5在中心角為α半徑為R的扇形中如圖截取矩形（如圖3），何時利用率最高．

請同學們課下解決，并且總結這類有動點在圓周上的題目的解法． 下面我們再看一個例題：

例5 邊長為α的正三角形ABC，其中心為O，過O的直線MN

分析：OM與ON的長度與過O的直線MN的傾斜程度有關，故引入∠AOM為變量，利用解三角形的知識表示出|OM|及|ON|，求解最值．

解 設∠AOM=α．

這個題目仍然是引入了角做變量，利用三角變換這一工具求解最值．這個題目限定自變量的取值范圍直接影響結果，十分重要．

下面我們小結一下這節(jié)課．這節(jié)課我們主要研究了兩個問題：即函數(shù)式的最值問題及最值應用問題．函數(shù)式的最值問題是最值應用問題的基礎，解決函數(shù)式的最值問題的關鍵在于靈活地選用代數(shù)與三角兩種工具，樹立轉化的數(shù)學思想，同時應注意一些典型方法的總結．解決最值應用問題的關鍵在于充分分析題目，選擇恰當?shù)淖宰兞浚谐鱿鄬唵蔚哪繕撕瘮?shù)以便于求解最值．

作業(yè)

1．求下列函數(shù)的值域．

（2）已知（x+2y）2+y2=9，求u=x-y的最值． 3．求周長為定值P的直角三角形面積的最大值．

4．△ABC中，AB=AC=1，△ABC與以BC為邊的正△BCD面積和為S，求S的最大值．

5．如圖5，AB是半圓直徑，延長AB到D，使BD=R，C為半圓上的動點，C在何處時，以DC為邊的正△CDP與△OCD面積和最大．

課堂教學設計說明

最值問題是學生感到困難的一個內(nèi)容，求最值的方法多樣，不可能一一列舉．這節(jié)課的主要目的是教會學生靈活選用代數(shù)與三角兩種工具解決問題，培養(yǎng)學生“轉化”這一數(shù)學思想，體現(xiàn)“三角變換”的工具性．

第二篇：三角恒等變換與解三角形

一、選擇題

1．已知sin(α＋)＝，<α<，則cos

2α的值為()

A．－　　B．－

C．－

D．－

2．(2019·高考全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知asin

A－bsin

B＝4csin

C，cos

A＝－，則＝()

A．6

B．5

C．4

D．3

3．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若c＝2a，bsin

B－asin

A＝asin

C，則sin

B為()

A．

B．

C．

D．

4．(一題多解)在△ABC中，已知AB＝，AC＝，tan∠BAC＝－3，則BC邊上的高等于()

A．1

B．

C．

D．2

5.如圖，在△ABC中，∠C＝，BC＝4，點D在邊AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E為垂足．若DE＝2，則cos

A等于()

A．

B．

C．

D．

6．(多選)下列命題中，正確的是()

A．在△ABC中，若A>B，則sin

A>sin

B

B．在銳角三角形ABC中，不等式sin

A>cos

B恒成立

C．在△ABC中，若acos

A－bcos

B＝0，則△ABC必是等腰直角三角形

D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，則△ABC必是等邊三角形

二、填空題

7．(2019·濟南聯(lián)考改編)若tan(α＋2β)＝2，tan

β＝－3，則tan(α＋β)＝________，tan

α＝________．

8．已知a，b，c是△ABC中角A，B，C的對邊，a＝4，b∈(4，6)，sin

2A＝sin

C，則c的取值范圍為________．

9．(一題多解)(2019·合肥市第一次質檢測)設△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊a，b，c成等比數(shù)列，cos(A－C)－cos

B＝，延長BC至點D，若BD＝2，則△ACD面積的最大值為________．

三、解答題

10．(2019·廣東六校第一次聯(lián)考)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2＋c2－b2＝abcos

A＋a2cos

B.(1)求角B；

(2)若b＝2，tan

C＝，求△ABC的面積．

11．(2019·武漢模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，A＝2B，cos

B＝.(1)求sin

C的值；

(2)若角A的平分線AD的長為，求b的值．

12．(2019·高考天津卷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知b＋c＝2a，3csin

B＝4asin

C.(1)求cos

B的值；

(2)求sin的值．

能力提升專練

1．(2019·江西七校第一次聯(lián)考)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a(sin

A－sin

B)＝(c－b)(sin

C＋sin

B)．

(1)求角C；

(2)若c＝，△ABC的面積為，求△ABC的周長．

2．(一題多解)(2019·福州模擬)如圖，在△ABC中，M是邊BC的中點，cos∠BAM＝，cos∠AMC＝－.(1)求∠B的大小；

(2)若AM＝，求△AMC的面積．

3．(2019·昆明市質量檢測)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知2(c－acos

B)＝b.(1)求角A；

(2)若a＝2，求△ABC面積的取值范圍．

第三篇：高一《兩角和與差的三角函數(shù)》教學設計

高一《兩角和與差的三角函數(shù)》教學設計

高一《兩角和與差的三角函數(shù)》教學設計

【教材分析】

本節(jié)是北師大版高中必修四第三章2.1和2.2兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)（書第116頁-118頁內(nèi)容），本節(jié)是在學生已經(jīng)學習了任意角的三角函數(shù)和平面向量知識的基礎上進一步研究兩角和與差的三角函數(shù)與單角的三角函數(shù)關系，它既是三角函數(shù)和平面向量知識的延伸，又是后繼內(nèi)容兩角和與差的正切公式、二倍角公式、半角公式的知識基礎，起著承上啟下的作用，對于三角函數(shù)式的化簡、求值和三角恒等式的證明等有著重要的支撐。本課時主要講授運用平面向量的數(shù)量積推導兩角差的余弦公式以及兩角和與差的正、余弦公式的運用。

【學情分析】

學生在本節(jié)之前已經(jīng)學習了三角函數(shù)和平面向量這兩章知識內(nèi)容，這為本節(jié)課的學習作了很多的知識鋪墊，學生也有了一定的數(shù)學推理能力和運算能力。本節(jié)教學內(nèi)容需要學生已經(jīng)具有單位圓中的任意角的三角概念和平面向量的數(shù)量積的表示等方面的知識儲備，這將有利于進一步促進學生思維能力的發(fā)展和數(shù)學思想的形成。

【課程資源】

高中數(shù)學北師大版必修四教材；多媒體投影儀

【教學目標】

1、掌握用向量方法推導兩角差的余弦公式，通過簡單運用，使學生初步理解公式的結構及其功能，為建立其它和（差）公式打好基礎；

2、讓學生經(jīng)歷兩角差的余弦公式的探索、發(fā)現(xiàn)過程,培養(yǎng)學生 的動手實踐、探索、研究能力.3、激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣和積極性，實事求是的科學學習態(tài)度和勇于創(chuàng)新的精神.【教學重點和難點】 教學重點：兩角和與差的余弦公式的推導及運用

教學難點：向量法推導兩角差的余弦公式及公式的靈活運用

（設計依據(jù)：平面內(nèi)兩向量的數(shù)量積的兩種形式的應用是本節(jié)課 “兩角和與差的余弦公式推導”的主要依據(jù)，在后繼知識中也有廣泛的應用，所以是本節(jié)的一個重點。又由于“兩角和與差的余弦公式的推導和應用”對后幾節(jié)內(nèi)容能否掌握具有決定意義，在三角變換、三角恒等式的證明、三角函數(shù)式的化簡求值等方面有著廣泛的應用，因此也是本節(jié)的一個重點。由于其推導方法的特殊性和推導過程的復雜性，所以也是一個難點。）

【教學方法】

情景教學法；問題教學法；直觀教學法；啟發(fā)發(fā)現(xiàn)法。

【學法指導】、1、注意任意角的終邊與單位圓交點坐標、平面向量的坐標的表示以及平面向量的數(shù)量積的兩種表示形式的復習為兩角差的余弦的推導做必要的準備，并讓學生體會感悟向量在解決數(shù)學問題中的工具作用(體現(xiàn)學習過程中循序漸進，溫故知新的認知規(guī)律。)；

2、突出誘導公式在三角函數(shù)名稱變換中的作用以及變角思想讓學生進一步體會數(shù)學的化歸思想。

3、讓學生注意觀察、對比兩角和與差的余弦公式中正弦、余弦的順序；角的順序關系，培養(yǎng)學生的觀察能力，并通過觀察掌握公式的特點。

【教學過程】

教學流程為：創(chuàng)設情境----提出問題----探索嘗試----啟發(fā)引導----解決問題。

（一）創(chuàng)設情境，揭示課題

問題1： 同學們都知道，試問是否與相等？大家可以猜想是不是等于呢？下面我們就一起探討兩角差的余弦公式

【設計意圖】通過問題情境，自然流暢地提出問題，揭示課題，引發(fā)學生思考。使學生目標明確、迅速進入新知學習。

（二）問題探究，新知構建

問題2：你能用與的三角函數(shù)值表示出這兩個角的終邊與單位圓的交點A和B的坐標嗎？怎樣表示？ 【師生活動】畫單位圓在直角坐標系中畫出單位圓并作出與角的終邊與單位圓的交點，引導學生利用三角函數(shù)值表示出交點坐標。

【設計意圖】通過復習使學生熟悉基礎知識、特別是用角的正、余弦表示特殊點的坐標，為新課的推進做準備。

問題3：如何計算向量的數(shù)量積？

【師生活動】引導學生觀察是的夾角，引發(fā)學生對向量的思考，并及時啟發(fā)學生復習向量的數(shù)量積的的兩種表示。

【設計意圖】平復習面內(nèi)兩向量的數(shù)量積的幾何法與代數(shù)法兩種表示，從而使“兩角差的余弦公式”的推證水到渠成。

問題4：計算cos15°和cos75°的值。

分析：本題關鍵是將分成45°與30°的和或者分解成45°與15°的差，再利用兩角差的余弦公式即可求解。(學生板演)

【師生活動】引導學生初步應用公式

【設計意圖】讓學生熟練兩角和與差的余弦公式，體會學生公式的實際應用價值，即：將非特殊角轉化為特殊角的和與差。并引發(fā)學生對兩角和的余弦公式的推證興趣。

問題7：同學們都知道誘導公式cos（-β）=cosβ，sin（-β）=-sinβ，那么你會推導出

cos（α+β）=？

【師生活動】學生在老師的引導下自主推證兩角和的余弦公式。

【設計意圖】讓學生在學習中體會感受化歸思想和類比思想在新知識發(fā)現(xiàn)中的作用。

問題8：同學們已學過sinα=cos(-α)，那么你會運用這個

公式推證出sin（α-β）和sin（α+β）嗎？

【師生活動】教師引導學生推導公式。

【設計意圖】新知構建并體會轉化思想的應用。

問題9：勾畫書中兩角和與差的三角函數(shù)公式并觀察它們有什么特點？

兩角和與差的余弦：

同名之積相加減，運算符號左右反

cos（α+β）= cosα cosβ-sinα sinβ

cos（α-β）= cosα cosβ+ sinα sinβ

兩角和與差的正弦：

異名之積相加減，運算符號兩相同

sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ

sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ

【師生活動】學生總結公式特點，學習小組交流，教師總結公式結構特征。

【設計意圖】讓學生熟悉并掌握公式特征，如：教的順序、函數(shù)的順序、符號的規(guī)律。

（三）知識應用，熟悉公式

例

2、（1）求sin（-25π＼１２）的值；

（2）求cos75°cos105°＋sin75°sin105°的值．

【設計意圖】進一步熟悉誘導公式、兩角和與差的三角函數(shù)公式的特點及正逆應用。

例

3、已知求sin（α+β），cos（α-β）的值。

思維點撥：觀察公式本題已知條件應先計算出cosα，cosβ，再代入公式求值．求cosα，cosβ的值可借助于同角三角函數(shù)的平方關系，并注意α，β的取值范圍來求解．

【設計意圖】訓練學生思維的有序性，例如在面對問題時，要注意先認真分析條件，明確使用公式時要有什么準備，準備工作怎么進行等。還要重視思維過程的表述，不能只看最后結果而不顧過程表述的準確性、簡潔性等。在教學過程中，對例3適當延伸，目的要求學生正確使用分類討論的思想方法，在表述上也對學生有了更高的要求。

（四）自主探究，深化理解，拓展思維

變式訓練1：如何計算？

【反思】本節(jié)學習的兩角和與差的三角函數(shù)公式對任意角也成立嗎？

變式訓練2: 例3中如果去掉條件，對結果和求解過程會有什么影響？

變式訓練3：下列等式成立嗎？

cos（α+β）=cosα+cosβ

cos（α-β）=cosα-cosβ

sin（α+β）=sinα+sinβ

sin（α-β）=sinα-sinβ

【設計意圖】通過變式訓練與討論進一步培養(yǎng)學生自主探究、合作學習交流的能力，以熟悉公式的變形運用并掌握兩角和與差的正余弦公式的特征及應用。

（五）小結反思，評價反饋

1、本節(jié)學習的內(nèi)容有哪些？

2、兩角和與差的三角函數(shù)公式有什么特點？運用兩角和與差的三角函數(shù)公式可以解決哪些問題？

3、你通過本節(jié)學習有哪些收獲？

【設計意圖】進一步熟悉公式，加深學生對公式的理解和認識，培養(yǎng)學生的歸納總結能力和交流表達能力，讓學生獲得成功體驗。

（六）作業(yè)布置，練習鞏固

書面：課本第121頁A組1中間兩題；2（2）（3）（4）B組2（2）

課后研究：課本第118頁練習5;

【設計意圖】鞏固和理解知識，掌握兩角和與差的三角函數(shù)公式。并引發(fā)學生對新知學習與探求的欲望和興趣。

【板書設計】

兩角和與差的正、余弦函數(shù)

公式

推導 例1

例2 例3

【教后反思】

本節(jié)教學設計首先通過問題情景闡述了兩角差的余弦公式的產(chǎn)生背景，然后通過組織學生分析，討論，并借助于單位圓中以原點為起點的兩向量的數(shù)量積的兩種表示，對α大于β使，cos(α－β)給出證明，進而用向量知識探究任意角的情形。這些均體現(xiàn)了數(shù)學中從特殊到一般的思想方法，符合新課改的基本理念。同時，例題1、2、3由淺入深，讓學生在問題中探究，在探究中建構新知。使學生在已有基礎上，充分利用歸納、類比等方法激發(fā)學生進一步探究的欲望，建立Cα±β模型，有利于學生數(shù)學思維水平的提高，同時及時鞏固，應用，拓展延伸，加強了學生對新知的掌握和靈活運用。給學生思維以適當?shù)囊龑Р⒉灰欢〞档蛯W生思維的層次，反而能夠提高思維的有效性，從而體現(xiàn)教師主導作用和學生主體作用的和諧統(tǒng)一。但課后發(fā)現(xiàn)小結倉促，如果能再引導學生自我小結、反思?？赡軙茫?/p>

【關于教學設計的思考】

1、本節(jié)課授課內(nèi)容為《普通高中課程標準實驗教科書2數(shù)學（4）》（北師大版）第三章第一節(jié)，本節(jié)課的教學重點是：兩角和與差的余弦公式的推導和應用是本節(jié)的又一個重點，也是本節(jié)的一個難點。所以這節(jié)課效果的好壞，體現(xiàn)在對這兩點實現(xiàn)的程度上，因此，例題、練習、作業(yè)應用繞這兩方面設計。而平面內(nèi)兩向量的數(shù)量積的兩種形式的應用又是推導兩角差的余弦公式的關鍵；因此在復習近平面內(nèi)兩向量的數(shù)量積的兩種形式是本節(jié)課必要的準備。

2、本節(jié)課采用“創(chuàng)設情境----提出問題----探索嘗試----啟發(fā)引導----解決問題”的過程來實現(xiàn)教學目標。有利于知識產(chǎn)生、發(fā)展、解決這一認知過程的完整體現(xiàn)。在教學手段上使用多媒體技術，有效增加課堂容量。在教學過程環(huán)節(jié)，采用問題教學，再逐步展開的方式，能夠充分調(diào)動學生的學習積極性，讓學生的探索具有明確的目的性，減少盲目性。在利用平面內(nèi)兩向量的數(shù)量積的幾何形式、代數(shù)形式建立等式，而得到兩角差的余弦公式后，利用代數(shù)思想推出兩角和的余弦公式，使學生進一步體會數(shù)學思想的深刻性。通過對公式的對比，可以加深學生對公式特征的印象，同時體會公式的線形美與對稱美，給學生以美的陶冶。作業(yè)的布置中，突出了學生學習的個體差異現(xiàn)實，使學有余力的學生產(chǎn)生挑戰(zhàn)的心理感受，也為下一節(jié)內(nèi)容的學習做準備。

3、數(shù)學的學習，主要是培養(yǎng)人的思維課程，強調(diào)思維構造，以問題解決為主的課程，既注重人的智慧獲得，又注重人的情感發(fā)展，因而在教學中，應注意“完整的人”的數(shù)學教育，不搞“以智力開發(fā)為主的教育”，使學生成為真正的人。因此在課堂教學中，教學設計應從學生出發(fā)，給學生更多的自由，讓他們真正參與，注重學習的過程，尤其重視以學生為主的數(shù)學活動，注重學生的自我完善，自我發(fā)展，不把學生當成接受知識的容器，要教會學生學會學習，尤其是有意義的接受學習和發(fā)現(xiàn)學習，“授人以魚，不如授之以漁，授人以魚祗救一時之及，授人以漁則可解一生之需”。在數(shù)學教育中，注重培養(yǎng)學生的自信，自重，自尊，使他們充滿希望和成功，促進其健康人格的形成。只有這樣，才能讓數(shù)學課更有生機和人性，才能學生真正成為學習的主人。

第四篇：兩角和與差的正弦公式教案

兩角和、差正弦公式

一、教學目標

1.知識技能目標：理解兩角和、差的正弦公式的推導過程，熟記兩角和與差的正弦公式，運用兩角和與差的正弦公式，解決相關數(shù)學問題。2.過程方法與目標：培養(yǎng)學生嚴密而準確的數(shù)學表達能力；培養(yǎng)學生逆向思維和發(fā)散思維能力；培養(yǎng)學生的觀察能力，邏輯推理能力和合作學習能力。

3.情感態(tài)度價值觀：通過觀察、對比體會數(shù)學的對稱美和諧美，培養(yǎng)學生良好的數(shù)學表達和思考的能力，學會從已有知識出發(fā)主動探索未知世界的意識及對待新知識的良好情感態(tài)度。

二、教學重、難點

1.教學重點：兩角和、差正弦公式的推導過程及運用； 2.教學難點：兩角和與差正弦公式的靈活運用.三、教學過程

（一）導入：

回顧兩角和與差的余弦公式：

cos??????cos?cos??sin?sin?；cos??????cos?cos??sin?sin?．

推導：

??????????????sin??????cos?????????cos?????????cos????cos??sin????sin??2???2??2???2??sin?cos??cos?sin?．

sin??????sin???????????sin?cos?????cos?sin?????sin?cos??cos?sin?特例：sin(???)?cos? 23???)??cos? sin（（二）例題講解

例

1、利用和（差）公式求sin75?和sin15?的值。

232162*?*??222244sin75ｏ＝sin(45o+30o)=sin45ocos30o+cos45osin30o?sin15o?sin(45o?30o)?sin45ocos30o?cos45osin30o?另：sin15o?sin(90o?75o)?cos75o

232162*?*??222244例

2、已知sin??2?3?,??(0,),cos???,??(,?),求sin(???)與sin(???)3242的值。（又若?,?是第二象限角時）

52?2???? ?sin??,???0,? ?cos??1?sin2??1????3332????73?3???? ?cos???,???,?? ?sin??1?cos2??1?????44?4??2?222?3?57?6?35 ?sin(???)?sin?cos??cos?sin??*????*?3?4?3412

2?3?576?35 sin(???)?sin?cos??cos?sin??*????*??3?4?3412例

3、不查表求下列各式的值：

25112511?cos??cos?sin?126126（1）sin7ocos37o?sin37ocos7o（2）2sin解：sin(7o?37o)??sin30o??解：sin(2511?2 ???)?sin?12642（3）sin(?3??)?sin(?3??)

????cos??cossin??sincos??cossin?33333131 ?cos??sin??cos??sin?

2222?3cos?sin

2cos10o?sin20o（4）

sin70o

2cos10o－sin（30o?10o)?sin70o2cos10o??sin30ocos10o?cos30osin10o??sin70 0132cos10o?cos10o?sin10o22? osin7033cos10o?sin10o2?2sin70o（3??31cos10o?sin10o)22osin70 sin70o

3sin?10o?60o??3例

4、求證:cos??3sin??2sin(?6??)

?????)?2(sincos??cossin?)66613證明：?2(cos??sin?)

22?cos??3sin?2sin(11tan?,sin(???)?,則23tan?=__________5_______ 例

五、已知sin(???)?sin?tan?cos?sin?cos? ??sin?tan?cos?sin?cos?

（三）課堂練習：

35,cosB?,則sin(A?B)513的值為(A)在?ABC中，cosA?

56165616?? A、65 B、65 C、65 D、65

四、小結：本節(jié)我們學習了兩角和與差正弦公式，我們要熟記公式，在解題過程中要善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，學會靈活運用.五、板書設計： 1.兩角和正弦公式

sin??????sin?cos??cos?sin? 2.兩角差正弦公式

sin??????sin?cos??cos?sin?

推導過程

例題

練習

第五篇：2017兩角和與差的正切教案

課題：探究兩角和與差的正切 教學設計

課標分析

①理解以兩角差的余弦公式導出的兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系；

②能運用上述公式進行簡單的恒等變換，使學生進一步提高運用轉化的觀點去處理問題的自覺性，體會一般與特殊的思想，換元的思想，方程的思想等數(shù)學思想在三角恒等變換中的應用．

教材分析

本節(jié)課教學內(nèi)容是高一（下）第四章4.6節(jié)第二課時（兩角和與差的正切）。本節(jié)內(nèi)容是三角恒等變形的基礎，是正弦線、余弦線和誘導公式等知識的延伸，同時，它又是兩角和、差、倍、半角等公式的“源頭”,起著重要的承前啟后的作用。

兩角和與差的正弦、余弦、正切是本章的重要內(nèi)容，對于三角變換、三角恒等式的證明和三角函數(shù)式的化簡、求值等三角問題的解決有著重要的支撐作用。本課題是在學習完兩角和與差的正弦、余弦公式之后，是三角恒等變形重要組成部分，教材把兩角和與差的正切公式從正弦、余弦中分離出來,單獨作為一節(jié),這對學生的自主探究學習提供了平臺.因為前面學生已經(jīng)學習了兩角和與差的正弦、余弦公式,對其應用學生有了一定的理解,同時對于三角函數(shù)變形中,角的變換也有了一定的掌握,因此在本節(jié)課的教學中可以充分利用學生的知識遷移,更多地讓學生自主學習,獨立地推導兩角和與差的正切公式，為學生提供進一步實踐的機會.也可以說本節(jié)并不是什么新的內(nèi)容,而是對前面所學知識的整合而已.在探究中讓學生體驗自身探索成功的喜悅感,培養(yǎng)學生的自信心,培養(yǎng)學生形成實事求是的科學態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神.對于公式成立的條件,可以在學生自主推導公式中通過觀察、比較、分析、討論,在掌握公式結構特征的基礎上加以討論解決.在學習兩角和與差的正切公式中,要注意公式形式上的特點,引導學生欣賞其結構、變形之美.本節(jié)作為兩角和與差的三角函數(shù)的最后一節(jié)內(nèi)容,教學時可以將兩角和與差的三角函數(shù)公式作一個小結,從分析公式的推導過程入手,探究問題解決的來龍去脈,揭示它們的邏輯關系,使學生更好地用分析的方法尋求解題思路.學情分析

本節(jié)課面對的是高一年級學生，他們的數(shù)學表達能力和邏輯推理能力正處于高度發(fā)展的時期，學生對探索未知世界有主動意識，對新知識充滿探求的渴望。在學習本節(jié)課之前，學生已經(jīng)學習了任意角三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)的基本關系式、誘導公式，兩角和差的正余弦公式等相關知識，這為他們探究兩角和的正弦公式建立了良好的知識基礎。

本節(jié)課教學時可以通過對兩角和與差的三角函數(shù)做一個小結，從分析公式的推導過程入手，探究問題的解決的來龍去脈，揭示三角很

等變形的本質，使學生更好地利用分析的方法尋求解決問題的思路，我認為這節(jié)課的學習盡可能充分的發(fā)生學生的主觀能動性。

二、教學重點、難點

兩角和與差的正切公式推導及其運用，公式的逆用。

三、課時安排 1課時

四、教學流程

1、復習回顧：

cos(???)?cos?cos??sin?sin? C??? cos(???)?cos?cos??sin?sin? C??? sin(???)?sin?cos??cos?sin? S??? sin(???)?sin?cos??cos?sin? S???

可用多種形式讓學生回顧(提問,默寫,填空等形式)

2、講解新課： 在兩角和與差的正弦,余弦公式的基礎上,你能用tan?，tan?表示出tan?(??)和tan(???)嗎？

?????如tan15?tan(45?30)，它的值能否用tan45，tan30去計算？

（讓學生帶著問題展開后面的討論）

探究一 公式推導及成立條件

利用所學的兩角和與差的正弦,余弦公式，對比分析公式C???C???S???S???，， ???)和tan(???)？ 能否推導出tan(其中?,?應該滿足什么條件？（讓同學們帶著問題展開后面的討論）

交流、展示 當cos(???)?0時，tan(???)?sin(???)sin?cos??cos?sin??cos(???)cos?cos??sin?sin?

若cos?cos??0，即cos??0且cos???時，分子分母同除以cos?cos?

tan(???)?tan??tan?1?tan?tan? 得根據(jù)角?，?的任意性，在上面的式子中，用??代替?，則有

tan(???)?tan??tan(??)tan??tan??1?tan?tan(??)1?tan?tan?

由此推得兩角和與差的正切公式。簡記為“tan(???)?T???，T???”

tan??tan?tan??tan?tan(???)?1?tan?tan? 1?tan?tan?

其中?,?應該滿足什么條件？還依然是任意角嗎？

??k????k??由推導過程可以知道：

?2(k?Z)(k?Z)?2????k???2(k?Z)

???)都有意義。這樣才能保證tan?，tan?及tan(探究二 公式結構特征 分析觀察公式T???，T???的結構特征與正、余弦公式有什么不同？

1???)3，（1）求tan(13，3、例題講解 例1 已知tan??2，tan??? 解: 因為tan??2，tan???

1tan??tan?3?7tan(???)??21?tan?tan?1?3所以

2?(考察公式正用，關鍵根據(jù)公式的結構特征記準)

2、計算

tan23??tan22?①1?tan23?tan22?

1?tan75?②1?tan75?

分析：①解決本題的關鍵在于將算式與正切聯(lián)系起來，逆向應用公式Tα+β

②應能把分子1-tan75°看作為tan45°-tan75°,而把分母1+tan75°

tan45??tan75?看作為1+tan45°·tan75°,于是原式便可化作1?tan45?tan75?，逆向應用公式，問題便迎刃而解。

解： ①原式=tan(23°+ tan22°)=tan45°=1 tan45??tan75?②原式=1?tan45?tan75?

=tan(45°-75°)=tan(-30°)?33

2?1?tan(??)?tan(??)5，44，求4 =（備用例題）

1、若tan(???)?解 因為(???)?(???4，所以)

tan(???4)?tan[(???)?(???4)]tan(???)?tan(??)4??1?tan(???)tan(??)421?54?211??543?222、設?,??(??

??,),tan?,tan?是一元二次方程x2?33x?4?0的兩個根,求22???

4、課堂小結

（1）兩角和與差的正切公式推導及其運用。（2）六個三角和差公式的邏輯關系。

5、作業(yè)

課本習題3-1 A組6、7 效果分析

本課教學應用多媒體教學和學案教學, 有效地增大堂課的課容量，減輕板書的工作量，有更多精力講深講透所舉例子，提高講解效率；直觀性強，容易激發(fā)起學生的學習興趣，有利于提高學生的學習主動性；有利于對整堂課所學內(nèi)容進行回顧和小結。在課堂教學結束時，教師引導學生總結本堂課的內(nèi)容學習的重點和難點。同時通過投影儀，同步地將內(nèi)容在瞬間躍然“幕”上，使學生進一步理解和掌握本堂課的內(nèi)容。

本課教學中以講練結合為主，同時配合使用問題探究式，討論交流展示、導思點撥等教學方法。極大的提高了學習的主動性和有效性。課堂上還將采用多媒體展示、學生獨立回答和集體回答、學生

板演等多種手段，激發(fā)學生的學習興趣，提高課堂復習效率。當然，在學生回答之后，老師要及時給學生一個鼓勵性的評價，以增強學生回答的信心，使課堂始終保持一種熱烈、積極、主動的學習氣氛.本節(jié)課的宗旨是著眼于學生的發(fā)展。對學生在課堂上的表現(xiàn)，及時加以總結，適當給予鼓勵，并處理好課堂的偶發(fā)事件，及時調(diào)整課堂教學。充分發(fā)揮學生主體作用，調(diào)動學生的學習積極性.學生是學習的主體，教師要圍繞著學生展開教學。在教學過程中，自始至終讓學生唱主角，使學生變被動學習為主動學習，讓學生成為學習的主人，教師成為學習的領路人.觀評記錄

課題：兩角和與差的正切 主講人：臨朐一中

劉金艷 時間：2015年3月23日星期一

一、自評

本節(jié)課課標要求理解以兩角差的余弦公式導出的兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系；并能運用上述公式進行簡單的恒等變換.課本內(nèi)容只有兩個公式和兩道例題，課后配了少量習題。但這部分內(nèi)容在高考中有較高的要求，特別對公式的靈活運用考查力度比較大，另外，本節(jié)課的學習對后續(xù)兩角和、差、倍、半角等公式的學習有很大的幫助。我在課堂設計時充分考慮學生的認

知特點，從公式推到、公式變形、習題設置等環(huán)節(jié)，都是層層遞進，由易到難逐步深入。在公式變形時，讓學生充分發(fā)揮自己的想象力，大膽說出自己的想法，我只是做了必要的啟發(fā)和引導，學生表現(xiàn)不錯。上課前根據(jù)學生的認知特點，給了學生充分的展示空間和時間，事實證明這樣的調(diào)整比較到位。在學生的思維處于興奮狀態(tài)時，千萬不要扼殺他們的興趣。我的想法是，學習數(shù)學不一定要做多少道題，而是要在做題和思考的過程中不斷優(yōu)化自己的思維品質，提升自己的解題能力，豐富自己的解題經(jīng)驗。

由于課堂時間只有四十分鐘，所以感覺時間特別緊，還有幾類題型沒有涉及到，比較遺憾。通過學生作業(yè)反饋，大部分同學掌握比較好，有三位同學兩道題沒記牢公式，導致計算錯誤。一節(jié)課難免會出現(xiàn)不盡人意的地方，希望各位老師給與批評指正。謝謝！

二、評課 維度一：課程 教學觀察人：連瑞成

觀察內(nèi)容：課程中的課程目標與內(nèi)容 觀察總結：

本節(jié)課的教學內(nèi)容為：①會由兩角和與差的正弦、余弦公式推導其正切公式，并運用其解決簡單的化簡問題。②通過公式的推導，提高學生恒等變形能力和邏輯推理能力； 通過公式的靈活運用，培養(yǎng)學生的數(shù)學思想方法.本節(jié)課是學生在學習了課題是在學習完兩角和與差的正弦、余

弦公式之后，的基礎上，通過復習兩角和與差的正弦、余弦公式及同角三角函數(shù)的基本關系的一節(jié)課，它即是對和差角的深層認識，更是后期學習三角函數(shù)化簡及計算等問題的基礎與鋪墊，因此，不論是內(nèi)容本身，還是學習方法，都將對今后學生的學習起到重要的基礎作用。因此，結合課程標準要求和學生的實際情況，確定的本節(jié)課的教學目標是：通過本節(jié)課的學習，學生應明確如何由兩角和與差的正弦、余弦公式推導其正切公式，并運用其解決簡單的化簡問題；使學生養(yǎng)成探究、分析的學習習慣，提高三角恒等變形的能力，樹立轉化與化歸的數(shù)學思想方法；本節(jié)課的主要內(nèi)容就是兩個公式的推導與應用，重點也在于此。

教學預設方面：由于高一（9）班學生的程度相對好，結合課程標準，本節(jié)課教師預設的教學內(nèi)容多，題量大，題型多。

內(nèi)容的展示上：教師緊扣定義，按照一切從實際出發(fā)的原則，通過對基本關系的推導，注重了學生對基本概念學習的良好習慣。教師對問題進行了歸納，分為3個題型，減輕了學生學習的負擔，符合學生認知層次，體現(xiàn)了一切從學生實際出發(fā)的教學原則。同時，教師在教學過程中也很好地展示了因材施教的教學原則但是在教學過程中，為了讓學生能充分地展示學生的思維形成過程與思維的多樣性，教學效果好。

課堂觀察記錄人：李愛玲 指標1：方法

預設的教學方法：本節(jié)課是發(fā)現(xiàn)結論并活用公式一節(jié)課，教學

前預設了啟發(fā)式、發(fā)現(xiàn)法、探究式等方法，基本達到了預設的結果。依據(jù)是本節(jié)課首先是由圖形進一步啟發(fā)學生研究正、余弦函數(shù)，讓學生從圖形中發(fā)現(xiàn)結論，接著在公式的變形中采用探究式，引導學生一邊觀察，一邊同伴合作。即前一個同學對公式的變形發(fā)散了其他同學的思維，為后面活用公式解題作鋪墊，在探究例4時，由于前面的鋪墊，以及題目的條件和式子的結構變換，使得同學應用公式解題方法靈活，同時提高了解題能力，思維更加敏捷，達到了活用的目的。（這是本節(jié)課的重、難點，同時也是最精彩的一部分）

預設的教學方法體現(xiàn)本學科的特點：本節(jié)課的設計注重了數(shù)形結合、化歸思想、分類討論的思想 指標2：資源

本節(jié)課預設了多媒體課件及相關練習題。

預設多媒體的出發(fā)點在于：多媒體的應用不僅節(jié)約時間，容量大，更主要的在于能夠通過多媒體的動態(tài)演示，使學生容易發(fā)現(xiàn)圖形中蘊含的更多內(nèi)容，從而比較容易總結出公式，另一方面，也能夠提高學生學習的興趣和學習積極性。相關練習的設計從易到難，有梯度，有層次，不僅能夠檢驗學生的認知情況，也能為學有余力的學生提供了學習的方向，效果好。

課后反思

兩角和與差的正切公式是兩角和與差公式的最后一節(jié),所以本節(jié)

教案的設計目的既是兩角和與差正弦余弦公式的繼續(xù),也是兩角和差正弦余弦公式的復習鞏固。之前我在新舊教材中都講過這個內(nèi)容，在這次評優(yōu)活動中，我又對這一內(nèi)容進行了設計，重新備課。就之前與之后的教學，我進行了反思。

一、反思教學理念：

新課程理念的靈魂是三個教學目標的整合，關注學生的發(fā)展。知識可以通過傳授獲得，技能可以通過訓練掌握。態(tài)度和情感價值觀需要學生參與獲得。這樣，課堂教學中，應該本著以學生為主體的原則,讓學生充分發(fā)揮自己的學習智能,由學生唱好本節(jié)的主角.在設計習題上,也是先讓學生審題、獨立思考、合作探究解法,然后展示，教師在其中只進行必要的點評.重在理清思路,糾正錯誤,點撥解法,拓展思路,通過訓練再進行方法提升,開拓題型.總之,本設計的主旨思想是把本節(jié)的學習過程當作提升學生思維、運算能力的極佳載體.二、反思教學過程

一）引課：因為前面學生已經(jīng)學習了兩角和與差的正弦、余弦公式，所以今天學習兩角和與差的正切公式學生不會感到突然，因而開門見山的引課方式是比較好的；

二）兩角和與差的正切公式的探究過程：因為前面我們推出了公式Cα-β、Cα+β、Sα+β、Sα-β, 所以可以完全讓學生自己進行推導Tα-β、Tα+β,教師只是適時地點撥就行了.通過前面的學習學生自然會想到利用同角三角函數(shù)關系式化切為弦,通過除以cosαcosβ即可得到,在這一過程中學生很可能想不到討論cosαcosβ等于零的情況,這時教師不

要直接提醒,讓學生通過觀察驗證自己悟出來才有好效果

三)兩角和與差的正切公式的簡單應用。除了仿照課本上的例題、習題改編的試一試外，我還補充了合作探究、課堂練習、及課后作業(yè)，針對性較強。其中，合作探究是很重要的環(huán)節(jié)兩角和與差的正切公式的變形式在化簡求值中經(jīng)常用到,使解題過程大大簡化,同時也體現(xiàn)了數(shù)學的簡潔美及數(shù)學公式的魅力。但課本并沒有提及這方面例題，所以讓學生探究正切公式的變形使用有助于加深學生對這部分知識的掌握，調(diào)動學生的學習積極性.