第一篇：關于方程的數(shù)學日記

關于方程的數(shù)學日記

今天，我在完成作業(yè)之后，在看書的時候，找到了一本很有意思的數(shù)學題集。在那本書里我找到了一道很特別的題。

這道題是這樣的：甲、乙兩人各有一筆存款。現(xiàn)在甲、乙兩人各取出存款的20%，這時甲的剩余存款比乙少400元，又知這時兩人存折上的總錢數(shù)是14800元，原來甲乙兩人各有多少存款？（不考慮利息）。這道題難就難在只知道剩余的錢的總數(shù)，還要求原來兩人分別有多少錢。

這道題可把我難倒了，我絞盡腦汁也想不出來。沒辦法，我只好去請教我媽媽。媽媽仔細地看了看題，想了會說：“這道題可以用二元一次方程來解，設甲的存款原來有X元，乙的存款原來有Y元。”便叫我自己去想怎么列方程。我前思后想，終于列出了一個式子： x（1-20%）+Y（1-20%）=14800。我實在想不出接下來該怎么做了，于是我只好再求助于媽媽。媽媽對我說：“二元一次分程需要兩個方程才能把答案解答出來，你還需要再列一個方程，然后把兩個方程轉化為一個方程，就可以算出來了，你去試試吧。”我反復讀題想出了第二個方程。x（1-20%）+400= Y（1-20%）。當我看到這個式子時，我恍然大我，明白了媽媽那句話的意思。我把第二個方程變?yōu)?/p>

x（1-20%）= Y（1-20%）-400代入第一個方程，推算出第三個方程：Y（1-20%）-400+Y（1-20%）=14800，即80% Y – 400+80% Y =14800，即可算出Y=9500（元），X=(9500×0.8-400)÷0.8=9000(元)。

我終于把它解出來了。我明白了一個道理：二元一次方程歸根結底就是一元一次方程。

第二篇：四年級數(shù)學《方程》說課稿

大家好！今天我說課的內容是《方程》。

在本節(jié)課中，充分體現(xiàn)“以學生的發(fā)展為本，著眼于學生終身學習的愿望和能力”這一教學理念。牢固樹立以學生為中心的教育主體觀，以學生能力發(fā)展為重點的教育質量觀，為學生的發(fā)展而教！

首先，為滿足學習需要而教。面對不同的課堂、不同的學生，如何讓學生獲得更好的發(fā)展，重要的是了解學生的需要，激發(fā)認知內驅力。如：課始，提出問題：關于方程，你想知道些什么？引起學生強烈的求知欲。

其次，為發(fā)展數(shù)學思維而教。通過天平直觀演示，教師一步一步地引導學生找出相等的數(shù)量關系，并討論如何用式子表示。然后，脫離天平的直觀演示，引導學生發(fā)現(xiàn)相等的數(shù)量關系，嘗試用式子表示。接著，學生自主找出相等的數(shù)量關系，并用式子表示。層層遞進，從直觀到抽象、由扶到放。最后，通過觀察、分析、合作分類，自主建立關于方程的數(shù)學模型，揭示方程的意義，在主動獲取新知的同時，發(fā)展學生的數(shù)學思維。

第三篇：數(shù)學《簡易方程》教學計劃

數(shù)學《簡易方程》教學計劃

數(shù)學《簡易方程》教學計劃1

一、教材簡析：

本單元的主要學習內容是用字母表示數(shù)和解簡易方程，以及簡易方程在解決一些實際問題中的運用。

這些內容是在學生學了一定的算術知識（如整數(shù)、小數(shù)的四則運算及其應用），已初步接觸了一點代數(shù)知識（如用字母表示運算定律，用○、△或□表示數(shù)）的基礎上，進行學習的。本單元的內容分為兩節(jié)，第一節(jié)的主要內容是用字母表示數(shù)、表示運算定律、計算公式和數(shù)量關系。第二節(jié)的主要內容是方程的意義，等式的基本性質和解簡易方程，以及列方程解決一些比較簡單的實際問題。

一般地說，在小學教學簡易方程有以下幾方面的意義。

一是有助于培養(yǎng)學生的抽象概括能力，發(fā)展學生思維的靈活性。二是有助于鞏固和加深理解所學的算術知識。三是有利于加強中小學數(shù)學的銜接。

二、教學目標：

1.使學生初步認識用字母表示數(shù)的意義和作用，能夠用字母表示學過的運算定律和計算公式，能夠在具體的情境中用字母表示常見的'數(shù)量關系。初步學會根據(jù)字母所取的值，求含有字母式子的值。

2.使學生初步了解方程的意義，初步理解等式的基本性質，能用等式的性質解簡易方程。

3.使學生感受數(shù)學與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，初步學會列方程解決一些簡單的實際問題。培養(yǎng)學生根據(jù)具體情況，靈活選擇算法的意識和能力。

三、教學重難點：

重點：

理解用字母表示數(shù)的意義；用等式的性質解簡易方程。

難點：

根據(jù)實際情況靈活選擇算法

關鍵：

讓學生通過現(xiàn)實情境理解字母表示數(shù)的意義；啟動學生原有的認知經驗，思考如何在原有知識的基礎上找到解決新問題的辦法的途徑，從而主動地掌握新知識；其間，突出對方程算理的探究，引導學生切實掌握解方程的計算方法。

四、教學建議

1.關注由具體到一般的抽象概括過程。本單元的知識大多比較抽象。教學時要充分利用學生原有的相關認識基礎，關注由具體實例到一般意義的抽象概括過程。無論是學習用字母表示數(shù)量關系，還是學習方程的概念或等式的性質，既要發(fā)揮具體實例對于抽象概括的支撐作用，又要及時引導學生超脫實例的具體性，實現(xiàn)必要的抽象概括。

2.用好教材資源，適當擴展聯(lián)系實際的范圍。

在本單元中，用字母表示數(shù)量關系和列方程解決實際問題，都是便于理論（數(shù)學知識）聯(lián)系實際（現(xiàn)實生活）的學習內容。教材從小學高年級學生的共性著眼，精心篩選、設計了不少生動的富有意義的現(xiàn)實題材，如第1節(jié)中人在地球上與月球上的舉重質量的關系，標準體重與身高的關系。又如第2節(jié)中華氏溫度與攝氏溫度的關系，地球表面、海洋面積與陸地面積的構成等等。教學時，應充分用好教材提供的資源，進而從本地、本校的特色出發(fā)，適當補充一些學生身邊的題材，以進一步激發(fā)學生的學習熱情，培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識。

3.重視良好學習習慣的培養(yǎng)。

簡易方程學習內容的特點，決定了通過本單元的學習，特別需要也比較適合培養(yǎng)學生規(guī)范書寫和自覺檢驗的習慣。

就書寫習慣來說，無論是含有字母式子的書寫，還是解方程的書寫，都有必要從一開始就強化必要的書寫規(guī)范。以發(fā)揮首次感知先入為主的強勢效應，促進良好的書寫習慣的形成。

從解數(shù)學題的檢驗來看，解方程的檢驗，方法易學，操作簡便，而且最容易顯示檢驗的成效，因而是培養(yǎng)學生檢驗習慣的一個重要契機。應引起教師的重視并加以把握。

五、課時安排：

簡易方程（16課時）

（1）用字母表示數(shù)（3課時）

（2）解簡易方程（12課時）

整理和復習（1課時）

量一量找規(guī)律（1課時）

數(shù)學《簡易方程》教學計劃2

教學目標

1、使學生初步認識用字母表示數(shù)的意義和作用，能夠用字母表示學過的運算定律和計算公式，能夠在具體的情境中用字母表示常見的數(shù)量關系。初步學會根據(jù)字母所取得值，求含有字母式子的值。

2、學生初步了解方程的意義，初步理解等式的基礎性質，能用等式的性質解簡易方程。

3、學生感受數(shù)學與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，初步學會列方程解決一些簡單的實際問題。培養(yǎng)學生根據(jù)具體情況，靈活選擇算法的意識和能力。

教學內容

本單元的主要學習內容是用字母表示數(shù)和解簡易方程，以及簡易方程在解決一些實際問題中的運用。

教學重難點

用字母表示數(shù)和解簡易方程是本單元的重難點。

學情分析

這些內容是在學生學了一定的算術知識（如整數(shù)、小數(shù)的四則運算及應用），已初步接觸了一點代數(shù)知識（如用字母表示運算定律，用符號表示數(shù)）的基礎上，進行學習的。學習簡易方程，一是有助于培養(yǎng)學生的抽象概括能力，發(fā)展學生思維的靈活性；二是有助于鞏固和加深理解所學的算術知識；三是有利于加強中小學數(shù)學的銜接。

教學進度

簡易方程

16課時

1、用字母表示數(shù)

3課時

2、解簡易方程

12課時整理與復習

1課時量一量

找規(guī)律

1課時

1第四單元

《簡易方程》教學反思

列方程解決實際問題，解題思路往往直截了當，降低了思維難度，它讓學生從一個簡單的思路——找等量關系來解題。所以說，這個單元的知識如何教好，從而讓學生學好是非常重要的。

一、用字母表示數(shù)要注意對數(shù)量關系的理解

用字母表示數(shù)是學生學習代數(shù)初步知識的起步。在算術里，人們只對一些具體的、個別的數(shù)量關系進行研究，引入用字母表示數(shù)后，就可以表達、研究具有更普遍意義的數(shù)量關系。可以說，學習代數(shù)就是從學習用字母表示數(shù)開始的。

對小學生來說，從具體事物的個數(shù)抽象出數(shù)是認識上的一個飛躍，而由具體的、確定的數(shù)過渡到用字母表示抽象的、可變的數(shù)，更是認識上的'一個飛躍。在用字母表示未知數(shù)的基礎上，使學生解決實際問題的數(shù)學工具，從列出算式解發(fā)展到列出方程解，這又是數(shù)學思想方法認識上的一次飛躍，它將使學生運用數(shù)學知識解決實際問題能力提高到一個新的水平。而在老師們的教學實踐中，由于在進行用方程解題時格式非常重要，因此往往老師們教學時都會特別強調格式?？墒菑膶W生的后續(xù)學習來看，我慢慢發(fā)現(xiàn)，其實在教學這一部分知識時，老師要注重學生對數(shù)量關系的理解，也就是說要加強對學生的用含字母的式子表示數(shù)量的訓練，也就是寫代數(shù)式的訓練。因為這是列方程的基礎。所以，在這里教師一定要向學生強調并反復練習用含有字母的式子表示數(shù)量，讓學生明白以往學習的所有數(shù)量關系在用含有字母的式子表示數(shù)量中都能用到。

二、注重方程的意義的教學。

方程是什么，教材中是這樣說的，含有未知數(shù)的等式叫做方程。其實，這只是從方程的表現(xiàn)形式來給方程下定義。也就是說，從表象上來說，如果一個式子是一個等式，并且含有未知數(shù)，我們就說這個式子是方程。但是，從數(shù)學的本質上來說，方程的意義是什么呢？我們每個人都能夠熟練地列方程解決問題，那么，在你列方程解決問題時，你每次抓住的核心是什么呢？是等量關系。所以，方程最本質的教學意義應是同一個量（或相等的量）用不同的形式去表達。但很多時候，老師們在教學方程的意義時，往往只研究了方程的表面形式，也就是書上所說的：含有未知數(shù)的等式叫2方程，所以，老師們一般都是從等式入手，讓學生在認識等式的基礎上引入未知數(shù)，然后告訴學生，象這樣的含有未知數(shù)的等式叫方程。這樣一節(jié)課教下來，學生除了會判斷一個關系式是不是方程，還知道了什么呢？這樣的學習對于后面的列方程解決問題真的有幫助嗎？

三、解方程的教學時不要被以前的教材編排所影響。

新教材對于解方程的安排是變動非常大的。以前我們是根據(jù)四則運算各部分之間的關系來解方程。一開始時，還不和學生說解方程，叫求未知數(shù)X。而現(xiàn)在的教材編排時是根據(jù)等式的性質來解，當然，在教材上并沒有歸納出等式的性質，畢竟，在學生的小學階段，只要讓學生明白，在等式的兩邊同時加、減、乘和除以同一個數(shù)，等式仍然成立，這并不是完整意義上的等式的性質。從學生的學習上來看，我覺得學生是比較容易接受這種方法的，特別是比較簡單的方程，學生只要明白了要把誰抵消，怎么抵消，基本上問題不大?？偟膩碚f，我覺得簡易方程這個單元，只要讓學生有很好地用字母或含有字母的式子表示數(shù)的基礎，再加上對方程的本質意義有清晰的理解，知道怎樣解方程，其他的應該都不是問題，上面的這些都是為列方程解決問題打基礎?；A打好了，后面的問題就都能能迎刃而解了。

第四篇：數(shù)學物理方程小結

數(shù)學物理方程小結

第七章

數(shù)學物理定解問題

數(shù)學物理定解問題包含兩個部分：數(shù)學物理方程（即泛定方程）和定解條件。

§7.1數(shù)學物理方程的導出

一般方法： 第一確定所要研究的物理量u ,第二 分析體系中的任意一個小的部分與鄰近部分的相互作用,根據(jù)物理規(guī)律, 抓住主要矛盾, 忽略次要矛盾。（在數(shù)學上為忽略高級小量.）第三 然后再把物理量u隨時間，空間的變?yōu)橥ㄟ^數(shù)學算式表示出來, 此表示式即為數(shù)學物理方程。

（一）三類典型的數(shù)學物理方程

??2u2三維:2?a?u?f(r,t)?t2?2u?u2一維:2?a?f(x,t)2（1）波動方程：

?t?x當無外力時:f?0 此方程 適用于各類波動問題。（特別是微小振動情況.）

??u2三維:?a?u?f(r,t)?t2?u?u2一維:?a?f(x.t)2（2）輸運方程：

?t?x無外源時:f?0此方程 適用于熱傳導問題、擴散問題。

拉氏方程:?u?0（3）Laplace 方程：

泊松方程:?u?f(r.t)?

f?0時泊松方程退化拉程氏.方穩(wěn)定的溫度和濃度分布適用的數(shù)學物理方程為Laplace 方程, 靜電勢u在電荷密度為零處也滿足Laplace 方程。§7.2定解條件

定解條件包含初始條件與邊界條件。

（1）初始條件的個數(shù)等于方程中對時間最高次導數(shù)的次數(shù)。例如波動方程應有二個初始條件, 一般選初始位移u（x,o）和初始速度ut（x,0）。而輸運方程只有一個初始條件選為初始分布u（x,o）,而Laplace 方程沒有初始條件。

（2）三類邊界條件

第一類邊界條件： u(r ,t)|Σ = f

（1）第二類邊界條件： u n|Σ = f

（2）第三類邊界條件：(u+Hun)|Σ= f

（3）

其中H為常數(shù).7.3 二階線性偏微分方程分類

2??a12?a11a22?0,雙曲型,2?a11a22?0,橢圓型, 判別式 ??a122??a12?a11a22?0,拋物型,波動方程是雙曲型的,輸運方程為拋物型的,而拉普拉斯方程為橢圓型的.7.4 達朗貝爾公式

對一維無界的波動方程,當不考慮外力時,定解問題為

2?2u2?u?a?022?t?xu?x,0????x?ut?x,0????x?

11x?at解為:u?x,t?????x?at????x?at???????d??x?at22a對半無界問題作延拓處理: 對第一類齊次邊界條件作奇延拓,而對第二類齊次邊界條件作偶延拓.第八章 分離變量法

8.1 分離變量法

主要步驟:

1.邊界條件齊次化,對非齊次邊界條件首先把它化為齊次的.?2.分離變量 u(x,t)=X(x)T(t)（1）

[以后對三維問題也是如此] ?3.將（1）式代入原方程得出含任意常數(shù)λ的常微分方程,(稱為本征方程)而λ為本征值.?4.由齊次邊界條件確定本征值,并求出本征方程.(得出的解為本征函數(shù))?5.根據(jù)迭加原理把所有滿足方程的線性無關解迭加后,就能得通解.?6.再由初始條件確定系數(shù).一維波動方程在第一類齊次邊界條件下的

n?atn?at?n?x?通解:u?x,t????ancos?bnsin,?1??sinll?ln?1??n?x代入邊入邊界:u?x,0???ansin???x?,?2?ln?1?2n??an??????sind?,?3?l0l2n????同樣:bn???sind?,?4??n?a0l一維波動方程在第二類齊次邊界條件下的通解:

ll

n?atn?at?n?x?u?x.t??A0?B0t???Ancos?Bnsin,?5??cosll?ln?1?? 11A0??????d?,B0??????d?.?6?l0l02n??2n??An??????cosd?,Bn?????cosd?.?7??l0ln?a0lllll

一維輸運方程在第一類齊次邊界條件下的通解: u?x,t???cnen?1l??n?a????t?l?2n?xsin,?8?l 2n??cn??????sind?,?9?l0l

一維輸運方程在第二類齊次邊界條件下的通解: u?x,t???cnen?0l??n?a????t?l?2n?xcos,?10?ll12n??c0??????d?,cn??????cosd?,?11?

l0l0l

對其他的齊次邊界條件,如本征函數(shù)已知也可直接求解,而對本征函數(shù)不熟則只能用分離變量法來求解.8.2 非齊次邊界條件的處理

常用方法有 1)直線法 : 對邊界條件為: u(0,t)=g(t), u(L,t)=h(t).h?t??g?t?x

,可把邊界條件化為齊次,令

v?x,t??u?x,t??g?t??L但一般情況下方程變?yōu)榉驱R次.?只有當g,h為常數(shù)時,方程才不變.2)特解法

?把 u化為兩部分,令 u=v+w 使v滿足齊次邊界條件與齊次方程,而使w滿足齊次方程與非齊次邊界條件.下面通過實例來介紹此方法.? 例題

求解下列定解問題

Utt－a2 Uxx

= 0

U|x=0

=0, U|x=L= ASinωt ?

U|t=0

= 0 , Ut∣t=0 = 0 ?(其中A、ω為常數(shù)，0＜x＜L , 0＜ t）

?解：令 u=v+w ,使w滿足波動方程與非齊次邊界條件, ?得出

w?x,t?Asin?xasin?t

sin?la第九章

二階常微分方程的級數(shù)解法

本征值問題

一.拉普拉斯方程與亥姆霍斯方程在球坐標與柱坐標下分

離變量結果.1.拉普拉斯方程在球坐標下的通解:

1??u?r,?,?????Alrl?BLl?1?Yim??,??,?1?

r?l,m?其中Y

lm

為球函數(shù),拉普拉斯方程在球坐標下的解不依賴于邊界條件.在軸

對

?稱時(1)式退化為

Bl??u?r,?????Alrl?l?P?cos??,?2? 1?lr?l?0?2.拉普拉斯方程在柱坐標下: 6 u??,?,z??R?r?Z?z??????.1??????acosm??bsinm?,??m2?m?0,1,2???2?22??dR1dRm''Z??Z?0.?3?.2?????2?R?0.?4???d??d??????0,?3?的解為:Z?z??A?Bz;?4?式解為:R?E?Fln?,?m?0?,今x???,?4?式為:x2d2RdR22dx2?xdx??x?m?R?0.?5??5?為m階Bessel方程..(5)式其解為m階Bessel函數(shù), 解依賴于邊界條件,當上下底為邊界條件是齊次時, μ<0.對應的解是虛貝塞爾函數(shù).3）亥姆霍斯方程在球坐標與柱坐標下分離變量結果.在球坐標下:

u?r,?,???R?r?Y??,??

其中Y為球函數(shù),R為球貝塞爾函數(shù).在柱

坐

標

下

: u??,?,z??R?r?Z?z??????.1??????acosm??bsinm?,??m2?m?0,1,2???2?Z''??2Z?0.?3?.d2Rd??1dR?d??????k2??2m2?2??2???R?0.?4?令??k2??2;今x???,?4?式為:x2d2RdR22dx2?xdx??x?m?R?0.?5?(5)式其解為m階Bessel函數(shù)，二、常微分方程的級數(shù)解法

.1.掌握常點鄰域的級數(shù)解法.2.掌握正則奇點鄰域的級數(shù)解法.3.知道無窮級數(shù)退化為多項式的方法.三.知道Sturm-Livouville本征值問題的共同性質

?當k(x),q(x)和ρ(x)都只取非負的值(≥0), Sturm-Livouville方程共同性質為: ?1)當k(x),k’(x)和q(x)連續(xù)且x=a和x=b最多為一階極點時,存在無限

?1??2??3????k??多個本征值及對應的本征函數(shù):

y1?x?,y2?x?,y3?x??yk?x??

2)所有本征值λn≥03)對應于不同本征值的本征函數(shù)帶權正交?y?x?y?x???x?dx?0,?n?m?4)本征函數(shù)族構成完備系mnabf?x???n?1?fnyn?x?

第十章 球函數(shù)

1.軸對稱的球函數(shù)

當物理問題繞某一軸轉動不變時,選此軸為z軸這時物理量u就與φ無關,m=0.此時球函數(shù)Y(θ,φ)就為L階勒讓德多項式.即Y=Pl(cosθ)1)勒讓德多項式

1.勒讓德多項式級數(shù)形式: 8 Pl?x??ll?1或22?2l?2n?!l?2n???1x.?1? ?ln!2?l?n?!?l?2n?!n?0n2.勒讓德多項式微分形式:

l1dl2Px?1.?2? l?x??ll2l!dx??3.前幾項為: P0(x)= 1, P1(x)=x=cosθ, ?P2(x)=(3x-1)/2, ….?一般勒讓德多項式的冪次取決L ?當L為偶數(shù)時都為偶次冪項,L為奇數(shù)時都為奇次冪項.對特殊點x=1,0.2Pl?1??1,Pl??x????1?Pl?x?,l?2n?1?！P2n?1?0??0,P2n?0????1?,?2n?！n?4.勒讓德多項式正交關系

?12??P(x)Pxdx?N?lk

(3)

lkl?1?5.勒讓德多項式的模 Nl2?2

2(4),Nl?2l?12l?16.廣義傅里葉級數(shù) :當f(x)在[-1,1]連續(xù)可導,且在x=-1與1有限時.f?x???flPl?x?l?1?

(5)2l?1fl?f?x?Pl?x?dx,?2?11?7.在球坐標下Laplace方程: △u= 0的通解為:

軸對稱

?lBl?u?r,??????Alr?l?1?Ylm??,???6?r?l?0m??l?? ?lBl?u???Alr?l?1?Pl?cos??,?7?r?l?0?(6)式有兩系數(shù)需要兩條件來確定,對球坐標有兩自然邊界條件,r=0與r→∞,球內解包含r=0，l?u有限, Bl?0,u??AlrPl?cos??

(7)

l?0??l?而Al由球面的邊界條件確定,同樣對球外區(qū)域兩系數(shù)由球面的邊界條件與r→∞，兩個條件確定.8.母函數(shù)

11?2rcos??r2??rlPl?cos??

(8)

l?0?9.遞推公式

?2l?1?xPl?x??lPl?1?x???l?1?Pl?1?x?,Pl?Pl'?1?Pl'?1?2xPl'.?2l?1?Pl?Pl'?1?Pl'?1.?l?0?

二.連帶勒讓德函數(shù)

?在一般情況下,物理量u與φ有關,故球函數(shù)Y是連帶勒讓德函數(shù)與周期函數(shù)的乘積.1.連帶勒讓德函數(shù) ??1?x?m22?Pl?m??x?

(1)

?2.連帶勒讓德函數(shù)的微分表示

Plm?1?x??2l!lm22dl?m2l1?x.(2)l?mdx?從(2)可得當L一定時,m的取值為

m=0,1,2…L.共有L+1個值.而三角形式球函數(shù)Y（θ,φ）中,cosmφ,sinmφ為不同態(tài),共有2L+1個態(tài).3.正交關系

mm2????PxPxdx?Nml?lk.?3??lk1 ??2l?m!2模平方Nml?2l?1?l?m?!4.球函數(shù)Y的兩種表示形式.第十一章

柱函數(shù)

一、掌握三類柱函數(shù)的基本性質

一般我們稱Bessel函數(shù)Jm(x)為第一類柱函數(shù).而把Neumann函數(shù)Nm(x)稱為第二類柱函數(shù).1）對于第一類柱函數(shù)與第二類柱函數(shù)的線性組合.1?x??Jm?x??iNm?x?Hm?1H?x??Jm?x??iNm?x?2m

稱為第一種與第二種漢克爾函數(shù).而漢克爾函數(shù)稱為第三類柱函數(shù)

2)x?0和x??時的行為

limJ0?x??1,limJm?x??0.?m?0?x?0x?0x?0limNm?x???,limJ?m?x???x?0limJm?x??x??2m????cos?x???,?x?24?2m????sin?x????x?24??m?????24?x?2?i??2??,limHm?x??ex???x?m?????24?

limNm?x??x??x?2i??1??limHm?x??ex???x3)遞推公式

m?2kk??d?Jm?d???1??1?2k?x?????m??dx?x?dx???k?0k!??m?k?1??2??m?2kk??1?2k1????x2k?1??k?0k!??m?k?1??2??Jm?1?x???.?1?mx dxmJm?x??xmJm?1?x??.2?dx把?1?與?2?展開??Jm?x???Jm?1?x??.3?xJm?x?'Jm?x??m?Jm?1?x??.4?x'?x??mJm4）貝塞爾函數(shù)的零點

對m階貝塞爾方程

dxdx2當??0時,對柱側面的齊次邊界條件.R????JJmx2d2R?xdR?x?2?m2R?0.x???????m??0??????0.?1??m?xn?m?記:xn?m?本征值:?n?（J'm???0???0)20

對第一類齊次邊界條件

得出第n個零點

對第二類齊次邊界條件 二．貝塞爾函數(shù)的正交關系.? 對于不同本征值的同階貝塞爾函數(shù)在區(qū)間 ? [0,ρ0]上帶權重ρ正交.?0J? ?m0??m??n?Jm???m?2?k?m???d??[Nn]?nk.?1?

??

? 2）廣義傅里葉-貝塞爾級數(shù)

f?????fnJmn?1?

fn????.?2? 1?f???J?????d?.?3???N???m?n?0?m??m?20mnn 13 ? 3）Laplace在柱坐標下的通解 ? 軸對稱m=0,柱內解為

? 在側面為第一類齊次邊界條件時

?0???xnu??,z????Ansh??Rn?1?????0???xnz???Bnch??R???0????xn???z??J0???.?1??????R??1????xn???z???J0?R??.?2??????側面為第二類齊次邊界條件時?

?1???xnu??,z??A0?B0z???Anch??Rn?1?????1???xn?z???Bnsh?R??

? 其中系數(shù)An,Bn由上下底邊界條件確定.? 在上下底為齊次邊界條件時, μ? 0,R的解為虛宗量貝塞爾函數(shù).記為Im(x)? 同樣可得Laplace方程在柱內解 ? 當軸對稱時m=0 ? 上下底滿足第一類齊次邊界條件時解為

u??,z???

n?z?sin.?2??H?對第二類齊次邊界條件:???n??AI?n0??Hn?1n?z?n???u??,z???AnI0?.?3??cosH?H?n?0

? 輸運方程與波動方程在柱坐標下的解 ?

1)解的形式:

u(r,t)=T(t)v(r)? V滿足亥姆霍茲方程.在側面與上下底齊次邊界條件下能完全確定本征值,例如上下底滿足 第一類齊次邊界條件.在軸對稱情況下m=0 對輸運方程柱內的解: 上下底滿足第一類齊次邊界條件

0?xn?l?z?u??,z,t???anlJ0?????sinHen?1,l?1?0????02??xn?a?????02??l??2??t?????H?????.?1?

波動方程在柱內的解: ? 在上下底滿足第一類齊次邊界條件下

u??,z,t???nl??0??xl?z00n??.?2?anlcosknlat?bnlsinknlatsinJ0??H??0????

0??xl?02n?knl?()????H??0?2

? 二維極坐標下的解: ? 側面滿足第一類齊次邊界條件

000??u?,t?ccoskat?dsinkatJk?nnnn0n?

（3）?

n?1?????? 側面滿足第二類齊次邊界條件

? u??,t??a0?b0t??cncoskat?dnsinkatJ0k?.?4?

1n1n1nn?1??????

第十二章

積分變換法 ?

一、傅里葉變換法 ? 1。掌握傅里葉變換法的適用條件，即方程中的一個變量是在(-∞,∞)范圍內時,可用Fourier 變換法.? 2。能用傅里葉變換法求解一些筒單的偏微分方程。?

二、Laplace變換法

? 1。掌握Laplace變換法的適用條件，即方程有初值情況,且一個變量 的變化范圍在(0, ∞)

? 2。能用Laplace變換法求解一些筒單的偏微分方程。?

第十三章

格林函數(shù)法 ? 1。知道格林函數(shù)的定義及物理意義 ? 2。知道泊松方程解的積分形式

? 3。能用電像法求解泊松方程的格林函數(shù)。

第五篇：四年級數(shù)學方程應用題

1.一輛公共汽車上有乘客48人，到站后下去一些人，這時公共汽車上還有乘客39人，到站時下去了多少人？

2.一個三角形的面積是1.92平方厘米，底是2.4厘米，三角形的高是多少厘米？

3.小明帶一些錢去文具店，他買了5個練習本，每個練習本1.5元，小明還剩下2.5元，他去文具店帶了多少元？

4.同學們參加植樹造林活動，六年級種的棵數(shù)是四年級的3倍少40棵，六年級種了290棵，四年級種了多少棵？

5.甲、乙兩列火車從相距513千米的兩地同時相向而行，3.5小時后兩車還相隔37千米，甲車每小時行55千米，乙車每小時行多少千米？

6.買4套桌椅共480元，已知每張桌子的價錢是每把椅子的3倍，每張桌子和每把椅子各多少元？

7.列方程解決問題。

一個面包，1.8元 χ瓶，每瓶2.5元

共14.3元

8.爺爺?shù)哪挲g比小欣的6倍還大3歲，今年爺爺57歲，小欣多少歲？（列方程解答）

8.超市在批發(fā)市場進了一箱重20千克的香蕉，花了50元。然后以每千克3.5元的出售，一箱香蕉賣完后，賺了多少錢？

9.為了獎勵積極參加數(shù)學課外活動的同學，班級準備了豐富的獎品。1.2元的獎品買了24份，2.5元的獎品買了16份。

（1）買這兩種獎品一共花去多少錢？

（2）他們帶100元，應找回多少錢？

10.樂樂超市開展促銷活動，買一箱牛奶（24盒）44元，還送一盒；同樣的牛奶，咪咪超市的促銷方法是5盒9.40元。哪一家的價格更便宜？