第一篇：淺談計算極限的方法與技巧

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淺談計算極限的方法與技巧

作者：徐向東

來源：《學(xué)園》2013年第11期

【摘 要】掌握極限的計算是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的基本要求，本文歸納了極限計算的一些特別的方法與技巧。

【關(guān)鍵詞】極限 方法與技巧 導(dǎo)數(shù) 定積分 級數(shù)

【中圖分類號】O13 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】1674-4810（2013）11-0056-02

極限的計算不僅是高等數(shù)學(xué)的基本計算之一，同時又是解決許多實際問題中不可缺少的工具，它在物理學(xué)、工程學(xué)等相關(guān)學(xué)科上有廣泛的應(yīng)用，因此，求極限是學(xué)生必須練好的一門基本功。然而面對許多錯綜復(fù)雜的極限題，許多學(xué)生感到茫然失措，本文從高等數(shù)學(xué)教學(xué)目的出發(fā)，為了使學(xué)生學(xué)好極限，總結(jié)了求解極限的一些特別的方法與技巧。計算極限的常用的基本方法有下列幾種：（1）利用極限定義及極限四則運(yùn)算法則計算極限；（2）利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)計算極限；（3）利用兩個重要極限計算極限；（4）利用洛比塔法則計算極限；（5）利用夾逼定理計算極限；（6）利用單調(diào)有界定理計算極限；（7）利用等價無窮小量替代法計算極限；（8）利用“無窮小量與有界變量的乘積是無窮小量”這一性質(zhì)計算極限；（9）利用因式分解、通分、三角公式恒等變形，有理化法計算極限。

十四 利用初等變形計算極限

用初等數(shù)學(xué)的方法將xn變形，然后求極限。要么分子、分母同乘一個因子，利用初等公式化簡，使之出現(xiàn)連鎖反應(yīng)，要么拆通項，或者分解因式使之成為兩因式乘積形式，使得中間項相消，從而化簡使其易求極限。

參考文獻(xiàn)

[1]高文杰等.高等數(shù)學(xué)全程輔導(dǎo)[M].天津：天津大學(xué)出版社，2005

〔責(zé)任編輯：肖薇〕

第二篇：計算技巧及方法總結(jié)

計算技巧及方法總結(jié)一、一般來說，對于二階、三階行列式，可以根據(jù)定義來做

1、二階行列式

2、三階行列式

=

例1計算三階行列式

解

但是對于四階或者以上的行列式，不建議采用定義，最常采用的是行列式的性質(zhì)以及降價法來做。但在此之前需要記憶一些常見行列式形式。以便計算。

計算上三角形行列式

下三角形行列式

對角行列式

二、用行列式的性質(zhì)計算

1、記住性質(zhì)，這是計算行列式的前提

將行列式的行與列互換后得到的行列式,稱為的轉(zhuǎn)置行列式,記為或,即若

則

.性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等,即

注

由性質(zhì)1知道，行列式中的行與列具有相同的地位，行列式的行具有的性質(zhì),它的列也同樣具有.性質(zhì)2

交換行列式的兩行(列),行列式變號.推論

若行列式中有兩行(列)的對應(yīng)元素相同,則此行列式為零.性質(zhì)3

用數(shù)乘行列式的某一行(列),等于用數(shù)乘此行列式,即

第行(列)乘以,記為(或).推論1

行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面.推論2

行列式中若有兩行(列)元素成比例,則此行列式為零.性質(zhì)4

若行列式的某一行(列)的元素都是兩數(shù)之和,例如,.則

.性質(zhì)5

將行列式的某一行(列)的所有元素都乘以數(shù)后加到另一行(列)對應(yīng)位置的元素上,行列式不變.注:

以數(shù)乘第行加到第行上,記作;

以數(shù)乘第列加到第列上，記作.2、利用“三角化”計算行列式

計算行列式時，常用行列式的性質(zhì)，把它化為三角形行列式來計算.例如化為上三角形行列式的步驟是:

如果第一列第一個元素為0,先將第一行與其它行交換使得第一列第一個元素不為0;

然后把第一行分別乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)加到其它各行,使得第一列除第一個元素外其余元素全為0;

再用同樣的方法處理除去第一行和第一列后余下的低一階行列式,如此繼續(xù)下去,直至使它成為上三角形行列式,這時主對角線上元素的乘積就是所求行列式的值.例2若,則

例3（1）（第一、二行互換）.（2）（第二、三列互換）

（3）（第一、二兩行相等）

（4）（第二、三列相等）

例4（1）因為第三行是第一行的倍.（2）因為第一列與第二列成比例,即第二列是第一列的4倍.例5若,則

又

.例6

設(shè)

求

解

利用行列式性質(zhì)，有

例7（1）

（2）.例8

因為而.因此.注:

一般來說下式是不成立的.例9（1）,上式表示第一行乘以-1后加第二行上去,其值不變.（2）,上式表示第一列乘以1后加到第三列上去,其值不變.例10計算行列式.解

先將第一行的公因子3提出來：

再計算

例11

計算

解

例12計算

解

注意到行列式的各列4個數(shù)之和都是6.故把第2，3，4行同時加到第1行，可提出公因子6，再由各行減去第一行化為上三角形行列式.注：仿照上述方法可得到更一般的結(jié)果:

例13

計算

解

根據(jù)行列式的特點(diǎn)，可將第1列加至第2列，然后將第2列加至第3列，再將第3列加至第4列，目的是使中的零元素增多.例14

計算

解

從第4行開始，后一行減前一行：

三、行列式按行(列)展開（降階法）

1、行列式按一行(列)展開

定義1

在階行列式中,去掉元素所在的第行和第列后,余下的階行列式,稱為中元素的余子式,記為,再記

稱為元素的代數(shù)余子式.引理（常用）

一個n階行列式D,若其中第i行所有元素除外都為零，則該行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即

定理1

行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和,即

或

推論

行列式某一行(列)的元素與另一行(列)的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零,即

或

2、用降價法計算行列式（常用）

直接應(yīng)用按行(列)展開法則計算行列式,運(yùn)算量較大,尤其是高階行列式.因此,計算行列式時，一般可先用行列式的性質(zhì)將行列式中某一行(列)化為僅含有一個非零元素,再按此行(列)展開,化為低一階的行列式,如此繼續(xù)下去直到化為三階或二階行列式.3、拉普拉斯定理（一般少用）

定義2

在階行列式中,任意選定行列,位于這些行和列交叉處的個元素,按原來順序構(gòu)成一個階行列式,稱為的一個階子式,劃去這行列,余下的元素按原來的順序構(gòu)成階行列式,在其前面冠以符號,稱為的代數(shù)余子式,其中為階子式在中的行標(biāo),為在中的列標(biāo).注：行列式的階子式與其代數(shù)余子式之間有類似行列式按行（列）展開的性質(zhì).定理2

(拉普拉斯定理)

在階行列式中,任意取定行(列),由這行(列)組成的所有階子式與它們的代數(shù)余子式的乘積之和等于行列式.例15求下列行列式的值:

（1）

（2）

解

(1)

(2)

例16計算行列式

解

例17計算行列式

解

例18求證

.證

例19設(shè)

D中元素的余子式和代數(shù)余子式依次記作和,求及.解

注意到等于用代替的第1行所得的行列式,即

又按定義知,例20

用拉普拉斯定理求行列式的值.解

按第一行和第二行展開

第三篇：極限的計算、證明

極限的論證計算，其一般方法可歸納如下

1、直接用定義???N,???等?證明極限

?0例、試證明limn??1n

證：要使?0??，只須n?，故 ?

11??n?N???0，?N??，有?1?0?? ?????n1n12、適當(dāng)放大，然后用定義或定理求極限或證明極限

an

?0，a?0例、證明：limn??n!

證：已知a?0是一個常數(shù)

??正整數(shù)k，使得a?k aaa?0???????，n? n!n!k!k?1?nk!nk!?nanaka?aakk?1

?ak?1???1，當(dāng)n?N時，有 ????0,?N??k!?????

an?0?? n!

3、用兩邊夾定理在判定極限存在的同時求出極限

例、求limn???3?5?2n?1 2?4?6?2n解：1?3?5??2n?1?3?5?7??2n?1?14?6??2n?12?4?6??2n?1?????? 2?4?6?2n2?4?6?2n?22n3?5?2n?12n1?3?5?2n?14n

?1?3?5??2n?1??1??? ? ?2?4?6?2n?4n??2

兩邊開2n次方：

1?1?3?5?2n?11211

????1

2?4?6?2n4n22n

1?3?5?2n?1?1

2?4?6?2n由兩邊夾：limn??

4、利用等價性原理把求一般極限的問題化為無窮小量的極限問

題

例、設(shè)Sn?l?0?n???，p?0為常數(shù)，求證：Sn?l?n???

p

p

證：0?Sn?l?Sn?l?0，得 Sn?l?n???記 Sn?l??n，其中 ?n?0?n???

??n

再記Sn?l??n?l??1?l

?

p

p

?

??l?1??n?，其中?n??n?0?n??? ?l?

則有Sn?l?1??n?p。若取定自然數(shù)K?p，則當(dāng)?n?1時?1??n???1??n?p??1??n?

K

K

l?1??n??l?1??n?p?Sn?l?1??n?

p

K

p

p

p

K

由兩邊夾得證。

5、通過分子有理化或分子分母同時有理化將表達(dá)式變形使之易

求極限

例、求極限limsin?n2?1

n??

??

sinn???n2?1?n?解：limsin?n2?1?lim

n??

n??

????

??1?sin?n?1?n? ?lim??1?sin?limn??

n

??

n

?2

?n?1?n?

n??

?06、換變量后利用復(fù)合函數(shù)求極限法則求極限例、求極限lim

x?0

?1?x?

x

1K

?1，其中K是自然數(shù)

解：令 y??1?x??1

當(dāng)x?1時，有 1?x??1?x??1?x，所以x?0?y?0利用復(fù)合函數(shù)求極限法則可得lim

x?0

1K

1K

?1?x?

x

1K

?1

?lim

y?0

y

1?yK?1

?lim

y?0

y

Ky?

K?K?1?y2???yK?K7、進(jìn)行恒等變形化成已知極限進(jìn)行計算

xx?2

例、lim

1?cosx2sin2??sin?x?0x2?limx?0x2

?lim1x?02?????1 ?x?2?2??

8、用等價無窮小量進(jìn)行變量替換后求極限例、求極限lim

1?cosx

x?0

1?cos

x2

解：1?cosx～12x2，1?cosx2～12???x?

?2??

?x?0?

lim1?cosx

x

x?01?cosx?limx?01?x?2?4 22???2??

9、利用存在性定理確定極限的存在性并求極限例、x1xn

n?1?

x?，n?1,2,?，x1?a?0 n2

證明：limn??

xn存在，并求此極限。證明：xn?0x1n?1?

x?xn?21?xn

?2 n2xnx1x

2?x2

nn?1?xnn?x?2?xn?2x?0，xn?1?xn

nn

且 xn?2，?limn??

xn存在令 l?limxn，有 l?1?ln??

l2，l2?2，l?2

10、利用海涅定理解決極限問題

例、試證明函數(shù)f?x??sin1x

當(dāng)x?0時極限不存在證：取x1n?，yn?

2n?2n?

?0 ?n??? ?

?02

而 f?xn??1，f?yn??0，得證

11、把求極限問題化為導(dǎo)數(shù)問題計算例、求極限lim

?1?x?

1K

?1

x?0x，其中K是自然數(shù)

1解：lim

?1?x?K

?1

???x?0

x

??1

?xK?'1?x?1?K ?

12、利用洛必達(dá)法則求極限

例、lim?tgx?2x??

x??

?0解：令A(yù)?lim?tgx?2x??

x??

?0lnA?lnlim?tgx?2x???limln?tgx?2x??

x??

? 2

?0x?2

?0

?lim?2x???lntgx?limlntgx

sec2xx??

?2

?0x?2

?0

2x???1

?lim

x??

?0

?22x???2

tgx

?lim?1??2x???2

14???2?x???x????2?0?2??sinxcosx??2lim??0x??2?0sin?????2?x?

?

所以lim?tgx?2x??

?A?e0?1 x??

?013、把求極限的表達(dá)式化為積分和的形式，用定積分進(jìn)行計算

例、設(shè)Sn?

1n?1?1n?2???1

2n，求limn??Sn解：S111

n11n?n?1?n?2???2n???，lim

S11n?i?1n1?in???01?x

?ln2 n14、利用第一積分中值定理處理定積分的極限問題

例、求lim

xn

n???

01?xdx解：由第一積分中值定理

?1

xn1

01?xdx?

1??n

?

n0

xdx?

11???，?0??n?1? nn?1

所以lim

xn

n???

01?xdx?0

15、利用收斂級數(shù)的必要條件求極限

例、求xn

limn??n!

解：已知指數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)展開式x

??

xn

e?!

對于一切x?R收斂n?0n而收斂級數(shù)的一般項趨于0，故得lim

xn

n??n!

?0

16、用帶有皮亞諾余項的泰勒展開式求函數(shù)或序列的極限

例、lim??x?x2ln?1??

x??

???

1?x????

解：x?x2

ln???1?1?x???x?x2??1??1???1???0??1??1o??1?

2??x2?x??x2???????x??

2x2

原式?

1、利用柯西收斂準(zhǔn)則處理極限問題

例、用Cauchy收斂準(zhǔn)則證明xn?1???證:取?0??0,?N?0,任取n?N,p?n,有

xn?p?xn?x2n?xn?

??2n?12n?3

?

1135

?

無極限.2n?1

1nn1

?????.4n?14n?14n4

故由Cauchy收斂準(zhǔn)則知,?xn?為發(fā)散數(shù)列.

第四篇：極限滿分方法

的題目是以直接求極限的形式出現(xiàn)，例如2011年數(shù)學(xué)一的15題：求極限也有的題目是間接涉及到求極限問題，例如2012年數(shù)學(xué)一的1題是要求曲線漸近線的條數(shù)，求曲線漸進(jìn)線最終還是通過求函數(shù)極限來達(dá)到的。這兩類題目在歷年考研數(shù)學(xué)試題中出現(xiàn)的頻率都很高，求極限的方法一定要熟記于心、熟練掌握，不可輕視！

??? 求極限的方法不只限于兩三種，概括來講共分為下面八大類：

??? 1.定義法。此法一般用于極限的證明題，計算題很少用到，但仍應(yīng)熟練掌握，不重視基礎(chǔ)知識、基本概念的掌握對整個復(fù)習(xí)過程都是不利的。

??? 2.洛必達(dá)法則。此法適用于解型等不定式極限，但要注意適用條件（不只是使用洛必達(dá)法則要注意這點(diǎn)，數(shù)學(xué)本身是邏輯性非常強(qiáng)的學(xué)科，任何一個公式、任何一條定理的成立都是有使其成立的前提條件的，不能想當(dāng)然的隨便亂用），如出現(xiàn)的極限是形如，則都可以轉(zhuǎn)化為型來求解。

??? 3.對數(shù)法。此法適用于指數(shù)函數(shù)的極限形式，指數(shù)越是復(fù)雜的函數(shù)，越能體現(xiàn)對數(shù)法在求極限中的簡便性，計算到最后要注意代回以e為底，不能功虧一簣。

??? 4.定積分法。此法適用于待求極限的函數(shù)為或者可轉(zhuǎn)化為無窮項的和與一個分?jǐn)?shù)單位之積，且這無窮項為等差數(shù)列，公差即為那個分?jǐn)?shù)單位。例如《2013無師自通考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全》第26頁末尾的一道題：極限

?

??? 5.泰勒展開法。待求極限函數(shù)為分式，且用其他方法都不容易簡化時使用此法會有意外收獲。當(dāng)然這要求考生能熟記一些常見初等函數(shù)的泰勒展開式且能快速判斷題目是否適合用泰勒展開法，堅持平時多記多練，這都不是難事。

??? 6.等價替換法。此法能快速簡化待求極限函數(shù)的形式，也需要考生熟記一些常用的等價關(guān)系，才能保證考試時快速準(zhǔn)確地解題。注意等價替換只能替換乘除關(guān)系的式子，加減關(guān)系的不可替換。

??? 7.放縮法（夾逼定理）。此法較簡單，就是對待求極限的函數(shù)進(jìn)行一定的擴(kuò)大和縮小，使擴(kuò)大和縮小后的函數(shù)極限是易求的，例如《2013考研數(shù)學(xué)接力題典1800》第4頁的56題：求極限，該題即是用放縮法求解，具體解法可參見書內(nèi)答案。

??? 8.重要極限法。高數(shù)中的兩個重要極限：及其變形要熟記并學(xué)會應(yīng)用。

??? 掌握了以上八大方法還是不夠的，要學(xué)會融會貫通，因為考研題的綜合性很強(qiáng)，不是一道題只用一種方法就能夠解出來的，往往是同時用到兩三種甚至更多才能順利解答。這就需要考生平時多想多練，做到熟能生巧，才能在最后的考試決戰(zhàn)中勝人一籌。

第五篇：函數(shù)極限題型與解題方法

函數(shù)極限題型與解題方法2011/11/3

畢原野 整理

一．極限的證明

1.趨近于無窮 P19 例8（1）

2.趨近于正無窮 P19 例8（2）

3.趨近于負(fù)無窮 P19 例8（3）（4）

4.趨近于某一定值 P21 例9（1）（2）（3）

極限的證明說白了就是找兩個值，對于趨近于無窮的極限來說是ε和X，而對于趨近于某一定值的極限來說就是ε和δ。因此，證明過程中，無論哪種先得出ε，然后把x用ε表示出來（如果是趨近于某一定值的就是把|x-a|用ε表示出來），這樣，就明確了X（δ），之后直接套格式就好了。

關(guān)鍵就在于表示過程，這需要一定的計算和技巧，比如放縮、變形等。由于ε的無限小，可以為其設(shè)定任何范圍，以簡化計算，但是要使原試有意義。

二．求極限

1.趨近于無窮（包括正負(fù)無窮）

（1）上下同除高次項 P22 例11（3）

（2）有理化 P25 例3（5）

（3）換元 P25 例13（2）

（4）應(yīng)用 無窮小×有界=無窮小 P25 例13（3）（4）

2.趨近于某一定值

（1）應(yīng)用法則直接帶入 P22 例11（1）（2）

（2）有理化 P22 例11（4）

（3）等價無窮小定理 P28 例14（1）（2）（3）

（4）變形后應(yīng)用重要極限

換元 P24 例12（1）（3）

倍角公式 P24 例12（2）

其他變形 P24 例12（4）

通分 P34 23.（9）（10）

3.分段函數(shù)

應(yīng)用1.、2.的方法得出左右極限即可。

書寫過程注意格式，寫明左右極限。P21 例10 P35 29.函數(shù)的極限求法可以類比數(shù)列的求法，只是要注意其方向和保證原式的有意義。

三．證明極限存在與否

首先確定是否能求出左右極限。不能，則無極限；能，則進(jìn)一步看是否相等。不等，則無極限；等，則有極限。P35 30.（2）（3）

四．求參數(shù)

應(yīng)用定理lim f（x）/g（x）=c（c≠0），分子分母中任意一個為0，則另一個也為0。P35 35.通分整理，提出相消的項，令參數(shù)與同次項系數(shù)互為相反數(shù)即可。P35 34.為此稿做過貢獻(xiàn)的同學(xué)在此依次注明信息吧！~