第一篇：自然常數(shù)e的證明

當然，實際生活中，銀行的利息沒有這么高，如果利率只有5%，那么1塊存一年最多可以拿到多少錢呢？lim(1?n??5%n

1000)?? n在100%利率的情況下，當n=1000所得到的數(shù)值非常接近e：(1?100%

1000)1000?(1?0.1)?e。

5%

50)50為了便于思考，取n=50,：(1?

5%

50100%1000?(1?0.1)150。因此，5%利率相當于e的20分之一1次方：(1?)50?[(1?)1000]20?e20

注意：20分之一正好等于利率5%，所以公式可以寫成：

FV?erate，式中rate就是利率。這說明只要是持續(xù)不斷的復合式增長，e可以用于任何增長率的計算。

再考慮時間因素，如果把錢在銀行里存t年，最多可以得到多少錢呢？

rtrtFV?(e)?e，此式為計算本利和的萬能公式，可以適用于任何時間，任何利率。

進一步思考，如果銀行利率是5%的復利，請問1元存款翻倍需要多少時間？

求解需要多少時間等價于解方程：1?

e5%t?

2t?

ln25%

?

0.6935%

?

69.3

5?

725，結(jié)果是13.86年。上式最后一個等號，表明用72除以利率，可以得到翻倍的大致時間，這就是經(jīng)濟學上著名的72法則。

e在自然科學中有著重要的地位和作用，比如在原子物理中放射性物質(zhì)的衰變，生物增殖問題，地質(zhì)科學中考察地球年齡，用齊奧爾科夫斯基公式計算火箭速度，物體的冷卻等等

講了這么多，e是一個特殊的重要極限，在高等數(shù)學及其應用領域中起著奠基般的舉足輕重的作用。但如此重要的極限，在一般的教科書中對它的存在性的證明卻敘述得較少，甚至不證明，只讓去死記硬背一個十分難記難懂的結(jié)論。下面我嘗試證明極限e的存在，并且確定它的值。

一、極限e存在性的證明

Lim(1?為了證明極限

x??

1x)

x

?e

首先給出關于極限存在的兩個基本準則。I 夾逼準則：如果函數(shù)?(x)?f(x)?

Limf(x)?A。

?(x)且Lim?(x)?

A，Lim?(x)?A，那么

II 單調(diào)有界數(shù)列必有極限。

f(x)?(1?

(1?

1x

1x)

x

這個函數(shù)既不是冪函數(shù)也不是指數(shù)函數(shù)，我們稱之為冪指數(shù)函數(shù)。

只有當)?0時這個函數(shù)才有定義，故只對x?0與x?

?1來證明。

1、當x?0時，首先讓x取正整數(shù)，即x=n，n=1,2,3……若x?0而(1?x)?0有伯努利不等式(1?

x)

n

?1?nx，這個不等式可由二項式定理推出，并且對?1?x?0時不等式仍

然成立，可由由數(shù)學歸納法證明。因此，對伯努利不等式將x換成(?

(1?

1n

1n)，便有)

n

?1?

1n

或者(1?

1n)(1?

n

1n)

n

?(1?

1n)

故對n?1有 f(n)?(1?

1n)

(1?n)

?n?

????n?1?

n?

11??

??1?

n?1???

n?1

?f(n?1)

說明f(n)是隨n的增加而增加的，即f(n)是單調(diào)增加數(shù)列，另一方面由二項定理知

f(n)?(1??1?1??1?1?

12!12!

1n)?1?1n)?

n

n11!n(1?1n!

?1n

n(n?1)12!)(1?

2n12n

????

1n!

n(n?1)??3?2?11

n!1n)(1?

2n)?(1?

n

n

n

(1??13!

3!)?????1

2(1?12

n?1

n?1n)1

?

3????1?1?????1?

1?12

1?2

?3?

n?1

說明f(n)是單調(diào)增加有界數(shù)列，根據(jù)準則II，f(n)的極限存在，以e表示之，即

Lim(1?

n??

1n)?e

n

（1a）

其次，對任意x?0，必存在兩個相鄰的整數(shù)m與m+1，使得m?x?m?1，因而

1m?x?1m)

1m?1

從而

1x)

x

(1?

m?1

?(1?1

?(1?

1m?1)或者

1m?1)

?1

m

f(m)(1?

m)?f(x)?f(m?1)(1?

1m)?1，(1?

1m?1)

?1

(1?m???并且f(m)?e，f(m?1)?e，當x???時，?1

由準則I知

Limf(x)?Lim(1?

x???

x???

1x)

x

?e（1b）

2、當x??1時，x??x

1x

?x?

???

x?1??

x

f(x)?(1?)

?x

?1?

??1??

x?1??

x?

1(1?

1x?1)?f(x?1)(1?

1x?1)，當

x???時，x???，(1?

1x?1)?1，f(x?1)?e

所以Lim(1?

x???

1x)?f(x?1)(1?

x???

x

1x?1)?e（1c）

綜合1a，1b，1c對于x?0與x??1，極限得到了證明。

二、極限e的確定與求法

由二項定理及極限1可得到e的表達式

e?Lim(1?

n??

1n)?Lim(1?

n??

n

11!

?

12!

????

1n!)或者e?1?1?

12!

?

13!

???

由此可知e是個無理數(shù)，整數(shù)部分是2，小數(shù)部分是個無限不循環(huán)小數(shù)。數(shù)e的近似值可以通過f(x)?e的泰勒展開式：

x

e?1?

x

x1!

?

x

2!

?

x

3!

????

x

n?1

(n?1)!

?e

Qx

x

n

n!

其中1?eex?ex，當x=1時有

e?1?1?

12!?13!

????

1(n?1)!

?e

Q

n!

（1?eQ?e?3）

如取n=9，可得

e?1?1?

12!?13!?14!?15!?16!?17!?18!?19!e

Q

?1?1?0.5?0.166667?0.041667?0.008333?0.001389?0.000198?0.000025?0.000003e

Q

=2.718279

由此計算方法可見，若要求精度越高，則n取的越大，且計算每一項的精確度比要求的精度要高，當n<10時高一位，n<100時高二位，……

第二篇：歐拉常數(shù)的證明（本站推薦）

調(diào)和級數(shù)S=1+1/2+1/3+……是發(fā)散的，證明如下：

由于ln(1+1/n)<1/n（n=1，2，3，…）

于是調(diào)和級數(shù)的前n項部分和滿足

Sn=1+1/2+1/3+…+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)

=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]

=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)

由于

lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞

所以Sn的極限不存在，調(diào)和級數(shù)發(fā)散。

但極限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）卻存在，因為Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)

=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)

由于

lim Sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0

因此Sn有下界

而

Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]

=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)

將ln(1+1/n)展開，取其前兩項，由于舍棄的項之和大于0，故

ln(1+1/n)-1/(n+1)>1/n-1/(2n^2)-1/(n+1)=1/(n^2+n)-1/(2n^2)>0

即ln(1+1/n)-1/(n+1)>0，所以Sn單調(diào)遞減。由單調(diào)有界數(shù)列極限定理，可知Sn必有極限，因此

S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在。

于是設這個數(shù)為γ，這個數(shù)就叫作歐拉常數(shù)，他的近似值約為0.5772***86060651209，目前還不知道它是有理數(shù)還是無理數(shù)。在微積分學中，歐拉常數(shù)γ有許多應用，如求某些數(shù)列的極限，某些收斂數(shù)項級數(shù)的和等。例如求

lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞），可以這樣做：lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）

=lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)]（n→∞）

-lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）+lim[ln(n+n)-ln(n)]（n→∞）=γ-γ+ln2=ln2

歐拉常數(shù)發(fā)現(xiàn)的歷史

著名數(shù)學家萊昂哈德·歐拉(1707-1783)該常數(shù)最先由瑞士數(shù)學家萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler)在1735年發(fā)表的文章 De

Progressionibus harmonicus observationes 中定義。歐拉曾經(jīng)使用C作為它的符號，并計算出了它的前6位小數(shù)。

第三篇：自然脫盲人員情況證明

自然脫盲人員情況證明

茲有同志，性別，年月出生，經(jīng)核查，該同志系自然脫盲人員，其自然脫盲情況如下：

。特此證明。

證明人：

時間：年月日

第四篇：高中物理常用基本物理常數(shù)

20樓

物理常數(shù) 符號 最佳實驗值 供計算用值

真空中光速 c 299792458±1.2m·s－1 3.00×108 m·s－1

萬有引力常數(shù) G0(6.6720±0.0041)×10－11m3·s－2 6.67×10－11 m3·s－2

阿伏加德羅(Avogadro)常數(shù) N0(6.022045±0.000031)×1023mol－1 6.02×1023 mol－1

普適氣體常數(shù) R(8.31441±0.00026)J·mol－1·K－1 8.31 J·mol－1·K－1

玻爾茲曼(Boltzmann)常 數(shù) k(1.380662±0.000041)×10－23J·K－1 1.38×10－23 J·K－1

理想氣體摩爾體積 Vm(22.41383±0.00070)×10－3 22.4×10－3 m3·mol－1

基本電荷(元電荷)e(1.6021892±0.0000046)×10－19 C 1.602×10－19 C原子質(zhì)量單位 u(1.6605655±0.0000086)×10－27 kg 1.66×10－27 kg電子靜止質(zhì)量 me(9.109534±0.000047)×10－31kg 9.11×10－31kg

電子荷質(zhì)比 e/me(1.7588047±0.0000049)×10－11 C· kg－2 1.76×10－11 C· kg－2

質(zhì)子靜止質(zhì)量 mp(1.6726485±0.0000086)×10－27 kg 1.673×10－27 kg中子靜止質(zhì)量 mn(1.6749543±0.0000086)×10－27 kg 1.675×10－27 kg法拉第常數(shù) F(9.648456±0.000027)C·mol－1 96500 C·mol－1

真空電容率 ε0(8.854187818±0.000000071)×10－12Ｆ·m－2 8.85×10－12Ｆ·m－2

真空磁導率 μ0 12.5663706144±10－7H·m－1 4πH·m－1

電子磁矩 μe(9.284832±0.000036)×10－24 J·Ｔ－1 9.28×10－24 J·Ｔ－1

質(zhì)子磁矩 μp(1.4106171±0.0000055)×10－23 J·Ｔ－1 1.41×10－23 J·Ｔ－1

玻爾(Bohr)半徑 α0(5.2917706±0.0000044)×10－11 m 5.29×10－11 m玻爾(Bohr)磁子 μB(9.274078±0.000036)×10－24 J·Ｔ－1 9.27×10－24 J·Ｔ－1

核磁子 μN(5.059824±0.000020)×10－27 J·Ｔ－1 5.05×10－27 J·Ｔ－1

普朗克(Planck)常數(shù) h(6.626176±0.000036)×10－34 J·ｓ 6.63×10－34 J·ｓ

精細結(jié)構(gòu)常數(shù) a 7.2973506(60)×10－3

里德伯(Rydberg)常數(shù) R 1.097373177(83)×107m－1

電子康普頓(Compton)波長2.4263089(40)×10-12m

質(zhì)子康普頓(Compton)波長1.3214099(22)×10-15m

質(zhì)子電子質(zhì)量比 mp/me 1836.1515

第五篇：物理常數(shù)的列表[推薦]

以下是所有物理常數(shù)的列表：

量 符號 數(shù)值 不確定度（10-6）

真空中光速 c 2.99792458×108m/s 準確（定義）

萬有引力常數(shù) G 6.67259×10-11m3/(kg·s2)128

電子電荷,基本電荷 e,e0 1.60217733×10-19C 0.30

普朗克常數(shù) h 6.6260755×10-34J·s 0.60

約化普朗克常數(shù) ?=h/2π 1.05457266×10-34 J·s 0.60

阿伏伽德羅常數(shù) NA 6.0221367×1023 mol-1 0.59

法拉第常數(shù) F =NAe0 9.6485309×104C/mol 0.30

電子質(zhì)量 me 9.1093897×10-31 kg 0.59

0.51099906 MeV 0.30

里德伯常量 R∞=mecα2/2h 1.0973731534×107m-1 0.0012精細結(jié)構(gòu)常數(shù) α=e02/4πε0hc 7.29735308×10-3 0.045α-1 137.0359895 0.045

電子半徑 re=hα/mec 2.81794092×10-15 m 0.13

康普頓波長 λC=h/mec 2.42631058×10-12 m 0.089

玻爾半徑 a0=reα-2 5.29177249×10-11 m 0.045

原子質(zhì)量單位 u=um(12C)1.6605402×10-27kg 0.59

質(zhì)子質(zhì)量 mp 1.6726231×10-27kg 0.59

938.27231 MeV 0.30

中子質(zhì)量 mn 1.6749286×10-27kg 0.59

939.56563 MeV 0.30

磁通量子 Φ0=h/2e0 2.06783461×10-15 Wb 0.30

電子荷質(zhì)比-e0/me-1.75881962×1011 C/kg 0.30

玻爾磁子 μB=e0?/2me 9.2740154×10-24 J/T 0.34

電子磁矩 μe 9.2847701×10-24 J/T 0.34

核磁子 μN=e0?/2mp 5.0507866×10-27 J/T 0.34

質(zhì)子磁矩 μP 1.41060761×10-26 J/T 0.34

旋磁比 γP 2.67522128×108 rad/sT 0.30

量子霍爾阻抗 RH 25812.8056 Ω 0.045

氣體常數(shù) R 8.314510 J/(mol·K)8.4

玻爾茲曼常數(shù) k,kB=R/NA 1.380658×10-23J/K 8.5

斯特藩-玻爾茲曼常量 σ=π2kB4/60?3c2 5.67051×10-8W/m2K4 34維恩常量 b=λmaxT 2.897756×10-3 m·K 8.4

真空磁導率 μ0 4π×10-7N/A2 準確（定義）

真空電容率 ε0=(μ0c2)-1 8.85418781762…×10-12 F/m 準確（定義）