第一篇：1-3高等數(shù)學同濟大學第六版本

習題1?

31? 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明?

(1)lim(3x?1)?8?

x?3

(2)lim(5x?2)?12?

x?

25? 證明函數(shù)f(x)?|x|當x?0時極限為零?

證明 因為

|f(x)?0|?||x|?0|?|x|?|x?0|?

所以要使|f(x)?0|??? 只須|x|???

因為對???0? ????? 使當0?|x?0|??? 時有

|f(x)?0|?||x|?0|???

所以lim|x|?0?x?0

所以極限limf(x)存在?x?0

所以極限lim?(x)不存在?x?0

7? 證明? 若x???及x???時? 函數(shù)f(x)的極限都存在且都等于A? 則x??limf(x)?A?

證明 因為limf(x)?A? limf(x)?A? 所以??>0?x???x???

?X1?0? 使當x??X1時? 有|f(x)?A|?? ?

?X2?0? 使當x?X2時? 有|f(x)?A|?? ?

取X?max{X1? X2}? 則當|x|?X時? 有|f(x)?A|?? ? 即limf(x)?A?x??

8? 根據(jù)極限的定義證明? 函數(shù)f(x)當x?x0 時極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等?

證明 先證明必要性? 設f(x)?A(x?x0)? 則??>0? ???0? 使當0<|x?x0|

因此當x0??

|f(x)?A|

這說明f(x)當x?x0時左右極限都存在并且都等于A ?

再證明充分性? 設f(x0?0)?f(x0?0)?A? 則??>0?

??1>0? 使當x0??1

??2>0? 使當x0

取??min{?1? ?2}? 則當0<|x?x0|

| f(x)?A|

即f(x)?A(x?x0)?

9? 試給出x??時函數(shù)極限的局部有界性的定理? 并加以證明?

解 x??時函數(shù)極限的局部有界性的定理? 如果f(x)當x??時的極限存在? 則存在X?0及M?0? 使當|x|?X時? |f(x)|?M?

證明 設f(x)?A(x??)? 則對于? ?1? ?X?0? 當|x|?X時? 有|f(x)?A|?? ?1? 所以|f(x)|?|f(x)?A?A|?|f(x)?A|?|A|?1?|A|?

這就是說存在X?0及M?0? 使當|x|?X時? |f(x)|?M? 其中M?1?|A|?

第二篇：高等數(shù)學(同濟大學教材第五版)復習提綱

高等數(shù)學（同濟大學教材第五版）復習提

綱

第一章 函數(shù)與極限 ：正確理解、熟練掌握本章內(nèi)容，求各類函數(shù)的極限，尤其是未定式與冪指函數(shù)求極限 第二章 導數(shù)與微分 ：正確理解、熟練掌握本章內(nèi)容，各類函數(shù)的求導與微分的基本計算

第三章 微分中值定理與導數(shù)的應用 ：熟練掌握本章的實際應用，研究函數(shù)的性態(tài)，證明相關不等式

第四章 不定積分：正確理解概念，會多種積分方法，尤其要用湊微分以及一些需用一定技巧的函數(shù)類型

第五章 定積分 ：正確理解概念，會多種積分方法，有變限函數(shù)參與的各種運算 第六章 定積分的應用：掌握定積分的實際應用

第七章 空間解析幾何和向量代數(shù) ：熟練掌握本章的實際應用

高等數(shù)學（1）期末復習要求

第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)

函數(shù)概念

理解函數(shù)概念，了解分段函數(shù)，熟練掌握函數(shù)的定義域和函數(shù)值的求法。2．函數(shù)的性質(zhì)

知道函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性，掌握判斷函數(shù)奇偶性的方法。

3．初等函數(shù)

了解復合函數(shù)、初等函數(shù)的概念；掌握六類基本初等函數(shù)的主要性質(zhì)和圖形。

4．建立函數(shù)關系

會列簡單應用問題的函數(shù)關系式。5．極限：數(shù)列極限、函數(shù)極限 知道數(shù)列極限、函數(shù)極限的概念。6．極限四則運算

掌握用極限的四則運算法則求極限.7．無窮小量與無窮大量

了解無窮小量的概念、無窮小量與無窮大量之間的關系，無窮小量的性質(zhì)。8．兩個重要極限

了解兩個重要極限，會用兩個重要極

限求函數(shù)極限。9．函數(shù)的連續(xù)性

了解函數(shù)連續(xù)性的定義、函數(shù)間斷點的概念；

會求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間和間斷點，并判別函數(shù)間斷點的類型；

知道初等函數(shù)的連續(xù)性，知道閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的幾個性質(zhì)

（最大值、最小值定理和介值定理）。

第二章 導數(shù)與微分

1．導數(shù)概念：導數(shù)定義、導數(shù)幾何意義、函數(shù)連續(xù)與可導的關系、高階導數(shù)。

理解導數(shù)概念；

了解導數(shù)的幾何意義，會求曲線的切線和法線方程；知道可導與連續(xù)的關系，會求高階導數(shù)概念。2．導數(shù)運算

熟記導數(shù)基本公式，熟練掌握導數(shù)的四則運算法則、復合函數(shù)的求導的鏈式法則。

掌握隱函數(shù)的求一階導及二階導。會求參數(shù)表示的函數(shù)的一階導及二階導

會用對數(shù)求導法：解決冪指函數(shù)的求導及連乘連除的顯函數(shù)的求導。

3．微分

理解微分概念(微分用 dy＝y(tǒng)'dx 定義)。

熟記微分的基本公式，熟練掌握微分的四則運算法則。

知道一階微分形式的不變性。

第三章 導數(shù)的應用

1.中值定理：羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理 的敘述。

了解羅爾定理、拉格朗日中值定理的條件和結(jié)論，會用拉格朗日定理證明簡單的不等式。

? 2.洛必塔法則：求“0”、“”型未定0?式極限。

? 掌握用洛比塔法則求“0”、“”型不0?

定式極限。3.函數(shù)的單調(diào)性與極值：函數(shù)的單調(diào)性判別法，函數(shù)極值及其求法。

了解駐點、極值點、極值等概念。了解可導函數(shù)極值存在的必要條件。知道極值點與駐點的區(qū)別與聯(lián)系。

掌握用一階導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間、極值與極值點（包括判別）的方法。

掌握判定極值點的第一充分條件和第二充分條件 4．曲線的凹凸

了解曲線的凹凸、拐點等概念。

會用二階導數(shù)求曲線凹凸區(qū)間（包括判別），會求曲線的拐點。

會求曲線的水平漸近線和垂直漸近線。

5.最大值、最小值問題

掌握求解一些簡單的實際問題中最大值和最小值的方法，以幾何問題為主。

第四章 不定積分

1．不定積分概念

理解原函數(shù)與不定積分概念，了解不定積分的性質(zhì)、不定積分與導數(shù)(微分)的關系。

2．不定積分求法

熟記積分基本公式，熟練掌握第一換元積分法和分部積分法。

掌握第二換元積分法（a?x,x?a類型）。

會求較簡單的有理分式函數(shù)（分母為二次多項式）的積分。

第五章 定積分及其求法

1.定積分概念

了解定積分定義、幾何意義、定積分的性質(zhì)。

2． 原函數(shù)存在定理

了解原函數(shù)存在定理，知道變限函數(shù)的定義，會求變限函數(shù)的導數(shù)。3．定積分的計算

熟練掌握牛頓—萊布尼茲公式，并熟練地用它計算定積分。

掌握定積分的換元積分法和分部積

2222

分法。

4．廣義積分。

了解廣義積分收斂性概念，會計算簡單的廣義積分。5.定積分的應用

會用定積分計算簡單的平面曲線圍成圖形的面積(直角坐標系和極坐標)，繞坐標軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)體體積與平行截面面積已知的立體體積，平面曲線的弧長（參數(shù)方程與極坐標方程）

第三篇：高等數(shù)學(同濟大學教材第五版)復習提綱

高等數(shù)學（同濟大學教材第五版）復習

提綱

第一章 函數(shù)與極限 ：正確理解、熟練掌握本章內(nèi)容，求各類函數(shù)的極限，尤其是未定式與冪指函數(shù)求極限

第二章 導數(shù)與微分 ：正確理解、熟練掌握本章內(nèi)容，各類函數(shù)的求導與微分的基本計算

第三章 微分中值定理與導數(shù)的應用 ：熟練掌握本章的實際應用，研究函數(shù)的性態(tài)，證明相關不等式

第四章 不定積分：正確理解概念，會多種積分方法，尤其要用湊微分以及一些需用一定技巧的函數(shù)類型

第五章 定積分 ：正確理解概念，會多種積分方法，有變限函數(shù)參與的各種運算

第六章 定積分的應用：掌握定積分的實際應用

第七章 空間解析幾何和向量代數(shù) ：熟練掌握本章的實際應用

·1·

高等數(shù)學（1）期末復習要求

第一章函數(shù)、極限與連續(xù)

函數(shù)概念

理解函數(shù)概念，了解分段函數(shù)，熟練掌握函數(shù)的定義域和函數(shù)值的求法。

2．函數(shù)的性質(zhì)

知道函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性，掌握判斷函數(shù)奇偶性的方法。

3．初等函數(shù)

了解復合函數(shù)、初等函數(shù)的概念；掌握六類基本初等函數(shù)的主要性質(zhì)和圖形。

4．建立函數(shù)關系

會列簡單應用問題的函數(shù)關系式。

5．極限：數(shù)列極限、函數(shù)極限知道數(shù)列極限、函數(shù)極限的概念。

6．極限四則運算

掌握用極限的四則運算法則求極限.7．無窮小量與無窮大量

了解無窮小量的概念、無窮小量與無窮大量之間的關系，無窮小量的性質(zhì)。

8．兩個重要極限

了解兩個重要極限，會用兩個重要極限求函數(shù)極限。

9．函數(shù)的連續(xù)性

了解函數(shù)連續(xù)性的定義、函數(shù)間斷點的概念；

會求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間和間斷點，并判別函數(shù)間斷點的類型；

知道初等函數(shù)的連續(xù)性，知道閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的幾個性質(zhì)

（最大值、最小值定理和介值定理）。

第二章導數(shù)與微分

1．導數(shù)概念：導數(shù)定義、導數(shù)幾何意義、函數(shù)連續(xù)與可導的關系、高階導數(shù)。

理解導數(shù)概念；

了解導數(shù)的幾何意義，會求曲線的切線和法線方程；知道可導與連續(xù)的關系，會求高階導數(shù)概念。

2．導數(shù)運算

熟記導數(shù)基本公式，熟練掌握導數(shù)的四則運算法則、復合函數(shù)的求導的鏈式法則。

掌握隱函數(shù)的求一階導及二階導。會求參數(shù)表示的函數(shù)的一階導及二階導

會用對數(shù)求導法：解決冪指函數(shù)的求導及連乘連除的顯函數(shù)的求導。

3．微分

理解微分概念(微分用 dy＝y(tǒng)'dx 定義)。

熟記微分的基本公式，熟練掌握微分的四則運算法則。

知道一階微分形式的不變性。

第三章 導數(shù)的應用

1.中值定理：羅爾定理、拉格朗日

中值定理、柯西中值定理的敘述。

了解羅爾定理、拉格朗日中值定理的條件和結(jié)論，會用拉格朗日定理證

明簡單的不等式。

?2.洛必塔法則：求“0”、“”型未0?

定式極限。

?掌握用洛比塔法則求“0”、“”型0?

不定式極限。

3.函數(shù)的單調(diào)性與極值：函數(shù)的單調(diào)性判別法，函數(shù)極值及其求法。了解駐點、極值點、極值等概念。了解可導函數(shù)極值存在的必要條件。知道極值點與駐點的區(qū)別與聯(lián)系。掌握用一階導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間、極值與極值點（包括判別）的方法。掌握判定極值點的第一充分條件和第二充分條件

4．曲線的凹凸

了解曲線的凹凸、拐點等概念。會用二階導數(shù)求曲線凹凸區(qū)間（包

括判別），會求曲線的拐點。

會求曲線的水平漸近線和垂直漸近線。

5.最大值、最小值問題

掌握求解一些簡單的實際問題中最大值和最小值的方法，以幾何問題為主。

第四章不定積分

1．不定積分概念

理解原函數(shù)與不定積分概念，了解不定積分的性質(zhì)、不定積分與導數(shù)(微分)的關系。

2．不定積分求法

熟記積分基本公式，熟練掌握第一換元積分法和分部積分法。掌握第二換元積分法（a?x,x?a類型）。

會求較簡單的有理分式函數(shù)（分母為二次多項式）的積分。222

2第五章定積分及其求法

1.定積分概念

了解定積分定義、幾何意義、定積分的性質(zhì)。

2． 原函數(shù)存在定理

了解原函數(shù)存在定理，知道變限函數(shù)的定義，會求變限函數(shù)的導數(shù)。

3．定積分的計算

熟練掌握牛頓—萊布尼茲公式，并熟練地用它計算定積分。

掌握定積分的換元積分法和分部積分法。

4．廣義積分。

了解廣義積分收斂性概念，會計算簡單的廣義積分。

5.定積分的應用

會用定積分計算簡單的平面曲線圍成圖形的面積(直角坐標系和極坐標)，繞坐標軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)體體積與平行截面面積已知的立體體積，平面曲線的弧長（參數(shù)方程與極坐標方程）

第四篇：同濟大學第六版高等數(shù)學課后答案1-2

習題1?2

1? 觀察一般項xn如下的數(shù)列{xn}的變化趨勢? 寫出它們的極限?

(1)xn?1?n2

1?0?解 當n??時? xn?1?0? limn??2n2n

(2)xn?(?1)n1? n

解 當n??時? xn?(?1)n1?0? lim(?1)n1?0? n??nn

(3)xn?2?1? n2

1)?2?解 當n??時? xn?2?1?2? lim(2?n??n2n2

(4)xn?n?1?n?1

解 當n??時? xn?n?1?1?2?0? limn?1?1? n??n?1n?1n?1

(5)xn?n(?1)n?

解 當n??時? xn?n(?1)n沒有極限?

cos? 問limx?? 求出N? 使當n?N時? x與2? 設數(shù)列{xn}的一般項xn?nn??nn

其極限之差的絕對值小于正數(shù)? ? 當? ?0?001時? 求出數(shù)N?解 limxn?0? n??

||co?1? ?? ?0? 要使|x?0|?? ? 只要1??? 也就是n?1? 取|xn?0|? nnnnN?[1?則?n?N? 有|xn?0|?? ?

當? ?0?001時? N?[1]?1000? ?

3? 根據(jù)數(shù)列極限的定義證明?

(1)lim1?0? n??n2

1??? 只須n2?1? 即n?1?分析 要使|1?0|?nn11?0?證明 因為???0? ?N?[]? 當n?N時? 有|1? 所以?0|??limn??n2n2(2)lim3n?1?3? n??2n?12

分析 要使|3n?1?3|?1?1??? 只須1??? 即n?1?2n?122(2n?1)4n44n

證明 因為???0? ?N?[1]? 當n?N時? 有|3n?1?3|??? 所以lim3n?1?3?n??2n?122n?12422(3)lim?a?1?n??n

2222222an?an?a?naa分析 要使|?1|?????? 只須n??22?nnn(n?a?n)n

22a2]n?aN?[證明 因為???0? ?? 當?n?N時? 有|?1|??? 所以n

22?alim?1?n??n

(4)lim0.?999 ? ? ? 9?1? ????n??n個

1?? ? 即1?分析 要使|0?99 ? ? ? 9?1|?1? 只須??n?1?lg?10n?110n?1

證明 因為???0? ?N?[1?lg1]? 當?n?N時? 有|0?99 ? ? ? 9?1|?? ? 所以?

????n???

n個

n??lim0.999 ? ? ? 9?1?4? limun?a? 證明lim|un|?|a|? 并舉例說明? 如果數(shù)列{|xn|}有極限? 但數(shù)列n??

{xn}未必有極限?

證明 因為limun?a? 所以???0? ?N?N? 當n?N時? 有|un?a|??? 從而 n??

||un|?|a||?|un?a|?? ?

這就證明了lim|un|?|a|?n??

數(shù)列{|xn|}有極限? 但數(shù)列{xn}未必有極限? 例如lim|(?1)n|?1? 但lim(?1)n不n??n??存在?

5? 設數(shù)列{xn}有界? 又limyn?0? 證明? limxnyn?0?n??n??

證明 因為數(shù)列{xn}有界? 所以存在M? 使?n?Z? 有|xn|?M?又limyn?0? 所以???0? ?N?N? 當n?N時? 有|yn|??? 從而當n?N時? 有 n??M

|xnyn?0|?|xnyn|?M|yn|?M?????M

所以limxnyn?0? n??

6? 對于數(shù)列{xn}? 若x2k?1?a(k??)? x2k ?a(k ??)?證明? xn?a(n??)?

證明 因為x2k?1?a(k??)? x2k ?a(k ??)? 所以???0??K1? 當2k?1?2K1?1時? 有| x2k?1?a|?? ??K2? 當2k?2K2時? 有|x2k?a|?? ?取N?max{2K1?1? 2K2}? 只要n?N? 就有|xn?a|?? ?因此xn?a(n??)?

第五篇：《高等數(shù)學》第六版 上冊(同濟大學出版社) 課件PPT

x

1x?1?f(0)1.解：limf(x)?limsin?limx?0x?0x5x?0?5

551所以a? 5

x3?3x?23x2?313(x?1)(x?1)2.解：因lim 取k=2 ?lim?limx?1x?1k(x?1)k?1(x?1)kkx?1(x?1)k?13(x?1)(x?1)3?lim??2?3 x?12(x?1)

211113.解：y'?f'(lnx)?，y''?f''(lnx)2?f'(lnx)2?2[f''(lnx)?f'(lnx)] xxxx

1y'?0 4.解：兩邊對x求導：1?y'?21?ysin

1y21y'(1?)?1?y'?1?y'??1 2221?y1?yy

2yy'21所以：y''??4??3(2?1)yyy

5.由lim(ax?1)?0及題設，可推出limln[1?x?0x?0f(x)f(x)]?0?lim?0, x?0sinxsinx

f(x)

?limf(x)?1limf(x)?A 所以：原式?limxx?0elna?1x?0x?xlnalnax?0x2

f(x)所以lim2?Alna x?0x

?ax2?lnx1?26.解：由已知條件可知應滿足：?1，解得：x?e ?2ax?x?1所以a? 2e

ex?b17.解因lim存在，并且lim(x?a)(x?1)?0，所以必有l(wèi)im(ex?b)?0，x?1x?1x?1(x?a)(x?1)

所以b=e。

ex?ee(ex?1?1)x?1原式=lim ?lim?elimx?1(x?a)(x?1)x?1(x?a)(x?1)x?1(x?a)(x?1)1若a?1e?elim??? x?1x?a1?a

所以：b?e,a?

1－1－

成都理工大學2012—2013學年

第一學期《高等數(shù)學》中期考試試卷答案

一、填空題（每小題4分，共60分）

?1.f(x)??

1?sinxx?0若使f(x)在(??,??)上連續(xù)，則：a=

1?x

5?ax?0。

2.當x?1時，x3?3x?2是x?1的階無窮小。

3.設函數(shù)f(u)二階可導，且y?f(lnx)，則y''=1

x

2[f''(lnx)?f'(lnx)]。

4.設方程x?y?arctayn?確定了y是x函數(shù)y?f(x)，則d2y

dx

2= ?21

y3(y

2?1)。ln(1?

f(x)

5.設lim)

x?0

?A(a?0,a?1，A為常數(shù))，則limf(x)ax?1

x?0x2=Alna。

6.若拋物線y?ax2與曲線y?lnx相切，則a=12e。

7.曲線y?(x?1)的拐點坐標是(?15,。

8.曲線y?1

x

?ln(1?ex)的漸近線有y?0,x?0,y?x。

9.設f(x)的導數(shù)在x?a處連續(xù)，又lim

f'(x)

x?ax?a

??1，則x?a是f(x)的－1－

11n

?)

n??nn2

ex?esinx

11.極限lim。

x?0x?sinx

x3?ax2?x?

4?l，則常數(shù)a=4，l=10。12.設lim

x??1x?1

?x?ln(1?t2)d2y1?t2

13.求參數(shù)方程?所確定的函數(shù)y的二階導數(shù)：2=。

4tdxy?t?arctant?

10.極限lim(1?

b

14.拋物線y?ax2?bx?c，當x=時，曲率最大。

?

111?2?x?0x?0?2xsin?cos?xsin

15.設f(x)??，則f'(x)= ?。xxx

??0x?0?0

二、解答題（每題8分，共40分）

?x

16.設F(x)?limt2[f(x?)?f(x)]sin，其中f(x)二階可導，試求F'(x)。

t??tt

?xf(x?)?f(x)sin

?x? 解：F(x)?lim?

t??x

tt?xf(x?)?fx()sn

??xlili

t??t??x

tt

??xf?(x)

?(x?)?x?f(x)F?(x)??f

ex?b

17.設f(x)?，x?1是可去間斷點，確定a,b的取值。

(x?a)(x?1)ex?b

解因lim存在，并且lim(x?a)(x?1)?0，所以必有l(wèi)im(ex?b)?0，x?1x?1x?1(x?a)(x?1)

所以b=e。原式

－2－

ex?ee(ex?1?1)x?1

=lim ?lim?elimx?1(x?a)(x?1)x?1(x?a)(x?1)x?1(x?a)(x?1)

1若a?1e

?elim??? x?1x?a1?a

所以：b?e,a?1

1?

18.證明：當x?0時，arctanx??。

x21?

證明：令F(x)?arctanx??，則

x2

F?(x)???0，因此F(x)單調(diào)遞減。故

1?x2x2

1?

F(x)?F(??)?limF(x)?0，即arctanx???0

x???x21?

亦即arctanx??

x2

19.設f(x)在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導，且f(0)?1，f(1)?0，f(?)

則在（0，1）內(nèi)至少存在一點?，使得：f'(?)??。

?

證： 設F?x??xf?x?，則F?x?在?0,1?上連續(xù)，在?0,1?內(nèi)可導且F?0??F?1??0

由羅爾定理：至少存在一點???0,1?，使得F?????0，即：

f???F????????x??f?x?xx??

f????????f?

??

?f???

0，亦即：?

f???

?

20.已知在[0,a]上，|f''(x)|?M，且f(x)在(0,a)內(nèi)取到最大值，試證：|f'(0)|?|f'(a)|?Ma。

證：因f(x)在(0,a)內(nèi)取得最大值，不妨設為c，又f?(c)存在，由費馬定理：f?(c)?0對f?(x)在[0,c]，[c,a]上分別使用拉格朗日中值定理： f?(c)?f?(0)?f??(?1)c(0??1?c)f?(a)?f?(c)?f??(?2)(a?c)(c??2?a)于是：

f?(0)?f??(?1)C?MC??

? ?f?(0)?f?(a)?MC?M(a?c)?Ma

f?(a)?f??(?2)(a?c)?M(a?c)??

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