第一篇：利用半正定二次型證明條件不等式

利用半正定二次型證明條件不等式

利用半正定二次型證明條件不等式的基本思路：首先構(gòu)造二次型，然后利用二次型半正定性的定義或等價(jià)條件，判斷該二次型為半正定，從而得出不等式.例：已知三角形三邊為a，b，c，面積為S，證明：a2

證明：由余弦定理和面積公式將問題轉(zhuǎn)化為

f(a,b)?a?b?a?b?2abcosC?23absinC2222?b?c?43S22?

?2a?2b?2ab(cosC?2a?2b?4absin(22223sinC)?

6?C)?

2?C)??????2?其矩陣為A?????2sin(?C)6??2sin（其一階、二階主子式分別為：

2?0，A?4[1?sin(2?

6?C)]?4cos(2?

6?C)?0，所以A半正定，從而二次型

故a2?b?c?43S22f(a,b)半正定，即f(a,b)?0成立.

第二篇：利用定積分證明數(shù)列和型不等式

利用定積分證明數(shù)列和型不等式

我們把形如(為常數(shù))

或的不等式稱之為數(shù)列和型不等式，這類不等式常見于高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽和高考?jí)狠S題中，由于證明難度較大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定積分的幾何意證明，則可達(dá)到以簡(jiǎn)馭繁、以形助數(shù)的解題效果.下面舉例說明供參考.一、(為常數(shù))型

例1(2007年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)第二試第二題)

已知正整數(shù)，求證

.分析這是一邊為常數(shù)另一邊與自然數(shù)有關(guān)的不等式，標(biāo)準(zhǔn)答案是用數(shù)學(xué)歸納法證明比這個(gè)不等式更強(qiáng)的不等式，這個(gè)不等式是怎么來的令人費(fèi)解.若由所證式子聯(lián)想到在用定積分求曲邊梯形面積的過程中“分割求和”這一步，則可考慮用定積分的幾何意義求解.證明構(gòu)造函數(shù)

數(shù)圖象可知，在區(qū)間并作圖象如圖1所示.因函數(shù)在上是凹函數(shù)，由函上的個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖

1即，因?yàn)?，所?所以

.例2求證

.證明構(gòu)造函數(shù)而函數(shù)

在，又，上是凹函數(shù)，由圖象知，在區(qū)間上的個(gè)矩形的面積之和

小于曲邊梯形的面積，圖

2即，所以

.例3證明。

證明構(gòu)造函數(shù)知，在區(qū)間

上，因，又其函數(shù)是凹函數(shù)，由圖3可

個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖

3即

.所以

.二、型

例4若，求證:.證明不等式鏈的左邊是通項(xiàng)為前

項(xiàng)之和，中間的的數(shù)列的前項(xiàng)之和，右邊通項(xiàng)為項(xiàng)之和.故只要證當(dāng)?shù)臄?shù)列的時(shí)這三個(gè)數(shù)

可當(dāng)作是某數(shù)列的前

列的通項(xiàng)不等式

成立即可.構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)椋鞯膱D象，由圖4知，在區(qū)間

上曲邊梯形的面積大小在以區(qū)間長度1為一邊長，以左右端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為另一邊長的兩

個(gè)矩形面積之間，即，而，故不等式

成立，從而所證不等式成立.圖

4例5（2010年高考湖北卷理科第21題）已知函數(shù)

處的切線方程為的圖象在點(diǎn)

.（Ⅰ）用表示出（Ⅱ）若；

在內(nèi)恒成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）證明:

.本題第三問不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲，具有綜合性強(qiáng)、難度大、思維含金量高、區(qū)分度大等特點(diǎn).這個(gè)不等式的證明既可用第二問的結(jié)論證明也可用定積分來證明.證明（Ⅲ）不等式

列的前項(xiàng)之和，我們也可把右邊當(dāng)作是通項(xiàng)為

左邊是通項(xiàng)為的數(shù)列的前項(xiàng)之和，則當(dāng)?shù)臄?shù)時(shí)，此式適合，故只要證當(dāng)

時(shí)，即，也就是要證

.由此構(gòu)造函數(shù)，并作其圖象如圖5所示.由圖知，直角梯形的面積大于曲邊梯形的面

積，即

.圖5

而

故原不等式成立.，所以，

第三篇：利用定積分證明數(shù)列和型不等式

利用定積分證明數(shù)列和型不等式

我們把形如(為常數(shù))或的不等式稱之為數(shù)列和型不等式，這類不等式常見于高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽和高考?jí)狠S題中，由于證明難度較大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定積分的幾何意證明，則可達(dá)到以簡(jiǎn)馭繁、以形助數(shù)的解題效果.下面舉例說明供參考.一、(為常數(shù))型

例1(2007年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)第二試第二題)已知正整數(shù)，求證

.分析

這是一邊為常數(shù)另一邊與自然數(shù)有關(guān)的不等式，標(biāo)準(zhǔn)答案是用數(shù)學(xué)歸納法證明比這個(gè)不等式更強(qiáng)的不等式，這個(gè)不等式是怎么來的令人費(fèi)解.若由所證式子聯(lián)想到在用定積分求曲邊梯形面積的過程中“分割求和”這一步，則可考慮用定積分的幾何意義求解.證明 構(gòu)造函數(shù)數(shù)圖象可知，在區(qū)間

并作圖象如圖1所示.因函數(shù)在上是凹函數(shù)，由函

上的個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖1 即，因?yàn)?，所?所以

.例2 求證

.證明 構(gòu)造函數(shù)

而函數(shù)在，又，上是凹函數(shù)，由圖象知，在區(qū)間上的個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖

2即，所以.例3 證明。

證明 構(gòu)造函數(shù)可知，在區(qū)間 上，因，又其函數(shù)是凹函數(shù)，由圖

3個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖3

即

.所以

.二、型

例4 若，求證:.證明 不等式鏈的左邊是通項(xiàng)為前項(xiàng)之和，中間的的數(shù)列的前項(xiàng)之和，右邊通項(xiàng)為項(xiàng)之和.故只要證當(dāng)?shù)臄?shù)列的時(shí)這三個(gè)數(shù)

可當(dāng)作是某數(shù)列的前列的通項(xiàng)不等式

成立即可.構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)椋鞯膱D象，由圖4知，在區(qū)間上曲邊梯形的面積大小在以區(qū)間長度1為一邊長，以左右端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為另一邊長的兩個(gè)矩形面積之間，即，而，故不等式

成立，從而所證不等式成立.圖4

例5（2010年高考湖北卷理科第21題）已知函數(shù)處的切線方程為

（Ⅰ）用表示出 ；

.的圖象在點(diǎn)（Ⅱ）若 在內(nèi)恒成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）證明:

.本題第三問不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲，具有綜合性強(qiáng)、難度大、思維含金量高、區(qū)分度大等特點(diǎn).這個(gè)不等式的證明既可用第二問的結(jié)論證明也可用定積分來證明.證明（Ⅲ）不等式數(shù)列的前項(xiàng)之和，我們也可把右邊當(dāng)作是通項(xiàng)為

左邊是通項(xiàng)為的數(shù)列的前項(xiàng)之和，則當(dāng)?shù)臅r(shí)，此式適合，故只要證當(dāng) 時(shí)，即，也就是要證

.由此構(gòu)造函數(shù)，并作其圖象如圖5所示.由圖知，直角梯形的面積大于曲邊梯形的面積，即

.圖

5而，所以，故原不等式成立.點(diǎn)評(píng) 本解法另辟蹊徑，挖掘新的待證不等式左右兩邊的幾何意義，通過構(gòu)造函數(shù)利用定積分的幾何意義來解決問題，解法雖然綜合性強(qiáng)，但由于數(shù)形結(jié)合解法直觀便于操作.積分法是在新課標(biāo)下證明不等式的一個(gè)新方法新亮點(diǎn)，很值得品味.由例4例5可知，要解決這類復(fù)雜問題的關(guān)鍵是要善于聯(lián)想善于分析問題和轉(zhuǎn)化問題，這樣才能化繁為簡(jiǎn)、化難為易，

第四篇：二次不等式與不等式證明

班別_________姓名______________ 學(xué)號(hào)_________

1.不等式:x?1

x?4?0的解集為_________________.2.不等式

x?12x?2?1的解集是_________________.3.不等式2x?1

?1

?的解集為_________________.4.已知函數(shù)f(x)???x?2,x?0

??x?2,x?0

則不等式f(x)?x2的解集為_________________.5．關(guān)于x的不等式x－m

x＋1<0的解集為M，若0∈M，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________________.6.已知關(guān)于的不等式ax?1x?1?0的解集是(??,?1)?(?1,??).則a?________________.7．若函數(shù)y＝kx－6kx＋k＋8?的定義域?yàn)镽，則k的取值范圍是_________________.8．若關(guān)于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集為R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ________________.9.當(dāng)x?(1,2)時(shí)，不等式x2?mx?4?0恒成立，則的取值范圍是________________.10．已知不等式①x2－4x＋3<0和②x2－6x＋8<0及③2x2－9x＋m<0，若同時(shí)滿足①②的x也滿足 ③，則m的取值范圍是________________.11．已知不等式ax2

＋bx＋c>0的解集為{x|2

＋bx＋a<0的解集為____________．

12．已知關(guān)于x的不等式ax－5

x－a的解集為M.若3∈M且5?M，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

________________.13．函數(shù)y＝loga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx＋ny＋1＝0上，其中mn>012

m＋n

________________.14．已知關(guān)于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(－1,0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，求m的取值范圍；(2)若方程兩根均在區(qū)間(0,1)內(nèi)，求m的取值范圍．

15．(1)若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－30恒成立，求a的取值范圍．

16.設(shè)a,b,c均為正數(shù),且a?b?c?1,證明:(1)ab?bc?ac?1a2b2c2

;(2)???1.

第五篇：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

例1．已知x>0，求證：x>ln(1+x)分析：設(shè)f(x)=x－lnx。x?[0,+??。考慮到f(0)=0，要證不等式變?yōu)椋簒>0時(shí)，f(x)>f(0)，這只要證明：

f(x)在區(qū)間[0,??)是增函數(shù)。

證明：令：f(x)=x－lnx，容易看出，f(x)在區(qū)間[0,??)上可導(dǎo)。

且limf(x)?0?f(0)?x?0 由f'(x)?1?1x 可得：當(dāng)x?(0,??)時(shí)，f'(x)?f(0)?0 ?x?1x?1 即x－lnx>0，所以：x>0時(shí)，x>lnx 評(píng)注：要證明一個(gè)一元函數(shù)組成的不等式成立，首先根據(jù)題意構(gòu)造出一個(gè)

函數(shù)（可以移項(xiàng)，使右邊為零，將移項(xiàng)后的左式設(shè)為函數(shù)），并利 用導(dǎo)數(shù)判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要 證的不等式。

例2：當(dāng)x??0,??時(shí)，證明不等式sinx?x成立。證明：設(shè)f(x)?sinx?x,則f'(x)?cosx?1.∵x?(0,?),∴f'(x)?0.∴f(x)?sinx?x在x?(0,?)內(nèi)單調(diào)遞減，而f(0)?0.∴f(x)?sinx?x?f(0)?0, 故當(dāng)x?(0,?)時(shí)，sinx?x成立。

點(diǎn)評(píng)：一般地，證明f(x)?g(x),x?(a,b),可以構(gòu)造函數(shù)F(x)?f(x)?g(x)，如果F'(x)?0,，則F(x)在(a,b)上是減函數(shù)，同時(shí)若F(a)?0,由減函數(shù)的定義可知，x?(a,b)時(shí)，有F(x)?0,即證明了f(x)?g(x)。

x練習(xí)：1.當(dāng)x?0時(shí)，證明不等式e?1?x?12x成立。2證明：設(shè)f?x??e?1?x?x12x,則f'?x??ex?1?x.2xxx令g(x)?e?1?x,則g'(x)?e?1.當(dāng)x?0時(shí)，g'?x??e?1?0.?g(x)在?0,???上單調(diào)遞增，而g(0)?0.?g?x??g(0)?0,?g(x)?0在?0,???上恒成立，?f(x)在即f'(x)?0在?0,???恒成立。?0,???上單調(diào)遞增，又f(0)?0,?ex?1?x?1x2?0,即x?0時(shí)，ex222.證明:當(dāng)x?1時(shí),有l(wèi)n(x?1)?lnx?ln(x?2).?1?x?12x成立。2分析 只要把要證的不等式變形為

ln(x?1)ln(x?2)?,然后把x相對(duì)固定看作常數(shù),并選取輔助函

lnxln(x?1)數(shù)f(x)?ln(x?1).則只要證明f(x)在(0,??)是單調(diào)減函數(shù)即可.lnx證明: 作輔助函數(shù)f(x)?ln(x?1)(x?1)lnxlnxln(x?1)?xlnx?(x?1)ln(x?1)?于是有f?(x)?x?12x

lnxx(x?1)ln2x因?yàn)?1?x?x?1, 故0?lnx?ln(x?1)所以 xlnx?(x?1)ln(x?1)

（1，??）因而在內(nèi)恒有f'(x)?0,所以f(x)在區(qū)間(1,??)內(nèi)嚴(yán)格遞減.又因?yàn)??x?1?x,可知f(x)?f(x?1)即 ln(x?1)ln(x?2)?lnxln(x?1)所以 ln2(x?1)?lnx?ln(x?2).利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)證明不等式是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的一個(gè)重要方面，也成為高考的一個(gè)新熱點(diǎn)，其關(guān)鍵是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，判斷區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值與0的關(guān)系，其實(shí)質(zhì)就是利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，通過單調(diào)性證明不等式。

x2例3.證明不等式x??ln(1?x)?x,其中x?0.2x2分析 因?yàn)槔?中不等式的不等號(hào)兩邊形式不一樣,對(duì)它作差ln(1?x)?(x?),則發(fā)現(xiàn)作差以后

21?x)求導(dǎo)得不容易化簡(jiǎn).如果對(duì)ln(1,這樣就能對(duì)它進(jìn)行比較.1?xx2證明: 先證 x??ln(1?x)

2x2設(shè) f(x)?ln(1?x)?(x?)(x?0)

21x21?0)?0?0 f(x)?則 f(0)?ln(?1?x?1?x1?x'?　x?0 即 1?x?0 x2?0

x2?　f?(x)??0　,即在(0,??)上f(x)單調(diào)遞增

1?xx2?　f(x)?f(0)?0 ?　ln(1?x)?x?

21?x)?x;令 g(x)?ln(1?x)?x 再證 ln(則 g(0)?0 g?(x)?1?1 1?x１?ln(1?x)?x ?　x?0 ?　?1 ?　g?(x)?0 １?xx2?　x??ln(1?x)?x 練習(xí)：3（2001年全國卷理20）已知i,m,n是正整數(shù)，且1?i?m?n

證明：(1?m)n?(1?n)m

分析：要證(1?m)n?(1?n)m成立，只要證

ln(1?m)n?ln(1?n)m

即要證11ln(1?m)?ln(1?n)成立。因?yàn)閙

11ln(1?m)?ln(1?n)； mn從而：(1?m)n?(1?n)m。

評(píng)注：這類非明顯一元函數(shù)式的不等式證明問題，首先變換成某一個(gè)一元函數(shù)式分別在兩個(gè)不同點(diǎn)處的函數(shù)值的大小比較問題，只要將這個(gè)函數(shù)式找到了，通過設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)判斷它的單調(diào)性，就可以解決不等式證明問題。難點(diǎn)在于找這個(gè)一元函數(shù)式，這就是“構(gòu)造函數(shù)法”，通過這類數(shù)學(xué)方法的練習(xí)，對(duì)培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力是有很大好處的，這也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)所需要的。