第一篇：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

克維教育（82974566）中考、高考培訓(xùn)專家鑄就孩子輝煌的未來

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

（三）核心考點(diǎn)

五、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

一、函數(shù)類不等式證明

函數(shù)類不等式證明的通法可概括為：證明不等式f(x)?g(x)（f(x)?g(x)）的問題轉(zhuǎn)化為證明f(x)?g(x)?0（f(x)?g(x)?0），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)?f(x)?g(x)，然后利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)h(x)的單調(diào)性或證明函數(shù)h(x)的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。

例

1、已知函數(shù)f(x)?lnx?ax2?(2?a)x

（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

（2）設(shè)a?0，證明：當(dāng)0?x?111時，f(?x)?f(?x)； aaa

（3）若函數(shù)f(x)的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，證明：f`(x0)?0

【變式1】已知函數(shù)f(x)?ln(x?1)?x，求證：恒有1?1?ln(x?1)?x成立。x?

1x【變式2】（1）x?0，證明：e?1?x

x

2?ln(1?x)(2)x?0時，求證：x?2

二、常數(shù)類不等式證明

常數(shù)類不等式證明的通法可概括為：證明常數(shù)類不等式的問題等價轉(zhuǎn)化為證明不等式 f(a)?f(b)的問題，在根據(jù)a,b的不等式關(guān)系和函數(shù)f(x)的單調(diào)性證明不等式。例

2、已知m?n?e,，求證：n?m

例

3、已知函數(shù)f(x)?ln(x?1)?

（1）求f(x)的極小值；

（2）若a,b?0，求證：lna?lnb?1?

mnx，1?xb a

【變式3】已知f(x)?lnx，g(x)?127，直線l與函數(shù)f(x)、g(x)的 x?mx?（m?0）22

圖像都相切，且與函數(shù)f(x)的圖像的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．

（Ⅰ）求直線l的方程及m的值；

（Ⅱ）若h(x)?f(x?1)?g?(x)（其中g(shù)?(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)），求函數(shù)h(x)的最大值；（Ⅲ）當(dāng)0?b?a時，求證：f(a?b)?f(2a)?b?a． 2a

【變式4】求證：

b?ab?lnba?b?aa(0?a?b)

1?x)?x?0(x??1)【變式5】證明：ln（ln22ln32lnn2(n?1)(2n?1)【引申】求證： 2?2???2?(n?2,n?N*)23n2(n?1)

【變式6】當(dāng)t?1時，證明：1??lnt?t?1 1t

x21(x?1)，各項不為零的數(shù)列?an?滿足4Sn?f()?1，【引申】已知函數(shù)f(x)?an2(x?1)

1n?11（1）求證：??ln??； an?1nan

（2）設(shè)bn??1，Tn為數(shù)列?bn?的前n項和，求證：T2008?1?ln2008?T2007。an

第二篇：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

例1．已知x>0，求證：x>ln(1+x)分析：設(shè)f(x)=x－lnx。x?[0,+???？紤]到f(0)=0，要證不等式變?yōu)椋簒>0時，f(x)>f(0)，這只要證明：

f(x)在區(qū)間[0,??)是增函數(shù)。

證明：令：f(x)=x－lnx，容易看出，f(x)在區(qū)間[0,??)上可導(dǎo)。

且limf(x)?0?f(0)?x?0 由f'(x)?1?1x 可得：當(dāng)x?(0,??)時，f'(x)?f(0)?0 ?x?1x?1 即x－lnx>0，所以：x>0時，x>lnx 評注：要證明一個一元函數(shù)組成的不等式成立，首先根據(jù)題意構(gòu)造出一個

函數(shù)（可以移項，使右邊為零，將移項后的左式設(shè)為函數(shù)），并利 用導(dǎo)數(shù)判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要 證的不等式。

例2：當(dāng)x??0,??時，證明不等式sinx?x成立。證明：設(shè)f(x)?sinx?x,則f'(x)?cosx?1.∵x?(0,?),∴f'(x)?0.∴f(x)?sinx?x在x?(0,?)內(nèi)單調(diào)遞減，而f(0)?0.∴f(x)?sinx?x?f(0)?0, 故當(dāng)x?(0,?)時，sinx?x成立。

點(diǎn)評：一般地，證明f(x)?g(x),x?(a,b),可以構(gòu)造函數(shù)F(x)?f(x)?g(x)，如果F'(x)?0,，則F(x)在(a,b)上是減函數(shù)，同時若F(a)?0,由減函數(shù)的定義可知，x?(a,b)時，有F(x)?0,即證明了f(x)?g(x)。

x練習(xí)：1.當(dāng)x?0時，證明不等式e?1?x?12x成立。2證明：設(shè)f?x??e?1?x?x12x,則f'?x??ex?1?x.2xxx令g(x)?e?1?x,則g'(x)?e?1.當(dāng)x?0時，g'?x??e?1?0.?g(x)在?0,???上單調(diào)遞增，而g(0)?0.?g?x??g(0)?0,?g(x)?0在?0,???上恒成立，?f(x)在即f'(x)?0在?0,???恒成立。?0,???上單調(diào)遞增，又f(0)?0,?ex?1?x?1x2?0,即x?0時，ex222.證明:當(dāng)x?1時,有l(wèi)n(x?1)?lnx?ln(x?2).?1?x?12x成立。2分析 只要把要證的不等式變形為

ln(x?1)ln(x?2)?,然后把x相對固定看作常數(shù),并選取輔助函

lnxln(x?1)數(shù)f(x)?ln(x?1).則只要證明f(x)在(0,??)是單調(diào)減函數(shù)即可.lnx證明: 作輔助函數(shù)f(x)?ln(x?1)(x?1)lnxlnxln(x?1)?xlnx?(x?1)ln(x?1)?于是有f?(x)?x?12x

lnxx(x?1)ln2x因為 1?x?x?1, 故0?lnx?ln(x?1)所以 xlnx?(x?1)ln(x?1)

（1，??）因而在內(nèi)恒有f'(x)?0,所以f(x)在區(qū)間(1,??)內(nèi)嚴(yán)格遞減.又因為1?x?1?x,可知f(x)?f(x?1)即 ln(x?1)ln(x?2)?lnxln(x?1)所以 ln2(x?1)?lnx?ln(x?2).利用導(dǎo)數(shù)知識證明不等式是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的一個重要方面，也成為高考的一個新熱點(diǎn)，其關(guān)鍵是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，判斷區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值與0的關(guān)系，其實質(zhì)就是利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，通過單調(diào)性證明不等式。

x2例3.證明不等式x??ln(1?x)?x,其中x?0.2x2分析 因為例6中不等式的不等號兩邊形式不一樣,對它作差ln(1?x)?(x?),則發(fā)現(xiàn)作差以后

21?x)求導(dǎo)得不容易化簡.如果對ln(1,這樣就能對它進(jìn)行比較.1?xx2證明: 先證 x??ln(1?x)

2x2設(shè) f(x)?ln(1?x)?(x?)(x?0)

21x21?0)?0?0 f(x)?則 f(0)?ln(?1?x?1?x1?x'?　x?0 即 1?x?0 x2?0

x2?　f?(x)??0　,即在(0,??)上f(x)單調(diào)遞增

1?xx2?　f(x)?f(0)?0 ?　ln(1?x)?x?

21?x)?x;令 g(x)?ln(1?x)?x 再證 ln(則 g(0)?0 g?(x)?1?1 1?x１?ln(1?x)?x ?　x?0 ?　?1 ?　g?(x)?0 １?xx2?　x??ln(1?x)?x 練習(xí)：3（2001年全國卷理20）已知i,m,n是正整數(shù)，且1?i?m?n

證明：(1?m)n?(1?n)m

分析：要證(1?m)n?(1?n)m成立，只要證

ln(1?m)n?ln(1?n)m

即要證11ln(1?m)?ln(1?n)成立。因為m

11ln(1?m)?ln(1?n)； mn從而：(1?m)n?(1?n)m。

評注：這類非明顯一元函數(shù)式的不等式證明問題，首先變換成某一個一元函數(shù)式分別在兩個不同點(diǎn)處的函數(shù)值的大小比較問題，只要將這個函數(shù)式找到了，通過設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)判斷它的單調(diào)性，就可以解決不等式證明問題。難點(diǎn)在于找這個一元函數(shù)式，這就是“構(gòu)造函數(shù)法”，通過這類數(shù)學(xué)方法的練習(xí)，對培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力是有很大好處的，這也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)所需要的。

第三篇：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

沒分都沒人答埃。覺得可以就給個好評!

最基本的方法就是將不等式的的一邊移到另一邊，然后將這個式子令為一個函數(shù)f(x).對這個函數(shù)求導(dǎo)，判斷這個函數(shù)這各個區(qū)間的單調(diào)性，然后證明其最大值(或者是最小值)大于0.這樣就能說明原不等式了成立了!

1.當(dāng)x>1時,證明不等式x>ln(x+1)

設(shè)函數(shù)f(x)=x-ln(x+1)

求導(dǎo)，f(x)'=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0

所以f(x)在(1，+無窮大)上為增函數(shù)

f(x)>f(1)=1-ln2>o

所以x>ln(x+

12..證明：a-a^2>0其中0

F(a)=a-a^

2F'(a)=1-2a

當(dāng)00;當(dāng)1/2

因此，F(xiàn)(a)min=F(1/2)=1/4>0

即有當(dāng)00

3.x>0,證明：不等式x-x^3/6

先證明sinx

因為當(dāng)x=0時，sinx-x=0

如果當(dāng)函數(shù)sinx-x在x>0是減函數(shù)，那么它一定<在0點(diǎn)的值0，求導(dǎo)數(shù)有sinx-x的導(dǎo)數(shù)是cosx-1

因為cosx-1≤0

所以sinx-x是減函數(shù)，它在0點(diǎn)有最大值0，知sinx

再證x-x3/6

對于函數(shù)x-x3/6-sinx

當(dāng)x=0時，它的值為0

對它求導(dǎo)數(shù)得

1-x2/2-cosx如果它<0那么這個函數(shù)就是減函數(shù)，它在0點(diǎn)的值是最大值了。

要證x2/2+cosx-1>0x>0

再次用到函數(shù)關(guān)系，令x=0時，x2/2+cosx-1值為0

再次對它求導(dǎo)數(shù)得x-sinx

根據(jù)剛才證明的當(dāng)x>0sinx

x2/2-cosx-1是減函數(shù)，在0點(diǎn)有最大值0

x2/2-cosx-1<0x>0

所以x-x3/6-sinx是減函數(shù)，在0點(diǎn)有最大值0

得x-x3/6

利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)單調(diào)性證明不等式X-X2>0，X∈(0,1)成立

令f(x)=x-x2x∈

則f'(x)=1-2x

當(dāng)x∈時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增

當(dāng)x∈時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減

故f(x)的最大值在x=1/2處取得，最小值在x=0或1處取得

f(0)=0,f(1)=0

故f(x)的最小值為零

故當(dāng)x∈(0,1)f(x)=x-x2>0。

i、m、n為正整數(shù)，且1

第四篇：談利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.

談利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

數(shù)學(xué)組

鄒黎華

在高考試題中，不等式的證明往往與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列的內(nèi)容綜合，屬于在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯處設(shè)計的試題，有一定的綜合性和難度，突出體現(xiàn)對理性思維的考查，特別是利用高中新增內(nèi)容的導(dǎo)數(shù)來證明不等式，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的工具，也是與高等數(shù)學(xué)接軌的有力點(diǎn)。本文通過一些實例，來說明利用導(dǎo)數(shù)增證明不等式的基本方法。

例1．已知x>0，求證：x>ln(1+x)

分析：設(shè)f(x)=x－lnx。x?[0,+???？紤]到f(0)=0，要證不等式變?yōu)椋簒>0時，f(x)>f(0)，這只要證明：

f(x)在區(qū)間[0,??)是增函數(shù)。

證明：令：f(x)=x－lnx，容易看出，f(x)在區(qū)間[0,??)上可導(dǎo)。

且limf(x)?0?f(0)?x?0

由f'(x)?1?1x

可得：當(dāng)x?(0,??)時，f'(x)?f(0)?0 ?x?1x?

1即x－lnx>0，所以：x>0時，x>lnx

評注：要證明一個一元函數(shù)組成的不等式成立，首先根據(jù)題意構(gòu)造出一個

函數(shù)（可以移項，使右邊為零，將移項后的左式設(shè)為函數(shù)），并利 用導(dǎo)數(shù)判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要 證的不等式。

例2：（2001年全國卷理20）已知i,m,n是正整數(shù)，且1?i?m?n

證明：(1?m)n?(1?n)m

分析：要證(1?m)n?(1?n)m成立，只要證

ln(1?m)n?ln(1?n)m

11ln(1?m)?ln(1?n)成立。因為m

x1111'

證明：設(shè)函數(shù)f(x)?ln(1?x)，則f(x)??2ln(1?x)??

xx1?xx1x'?ln(1?x)] 即：f(x)?2[x1?xx?1,ln(1?x)?ln3?1 因為：x?2,0?1?x即要證所以：f(x)?0，所以f(x)在[2,??)是減函數(shù)，而m?n 所以f(m)?f(n)，即n''11ln(1?m)?ln(1?n)； mnm從而：(1?m)?(1?n)。

評注：這類非明顯一元函數(shù)式的不等式證明問題，首先變換成某一個一元函數(shù)式分別在兩個不同點(diǎn)處的函數(shù)值的大小比較問題，只要將這個函數(shù)式找到了，通過設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)判斷它的單調(diào)性，就可以解決不等式證明問題。難點(diǎn)在于找這個一元函數(shù)式，這就是“構(gòu)造函數(shù)法”，通過這類數(shù)學(xué)方法的練習(xí)，對培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力是有很大好處的，這也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)所需要的。

例3．（2004年全國卷理工22題）已知函數(shù)f(x)?ln(1?x)?x，g(x)?xlnx,設(shè)0?a?b

證明：0?g(a)?g(b)?2g(a?b)?(b?a)ln2 2證明：設(shè)g(x)?xlnx,g'(x)?lnx?1 設(shè)F(x)?g(a)?g(x)?2g(a?x)2則F'(x)?g'(x)?2[g(a?xa?x)]?lnx?ln22

當(dāng)0?x?a時，F(xiàn)'(x)?0，當(dāng)x?a時，F(xiàn)'(x)?0 因此，F(xiàn)（x）

在區(qū)間（0，a）內(nèi)是減函數(shù)，在區(qū)間[a,??)內(nèi)為增函數(shù)，于是在x?a 時，F(xiàn)（x）有最小值F(a)?0又b?a，所以0?g(a)?g(b)?2g(a?b)2設(shè)G(x)?g(a)?g(x)?2g(a?x)?(x?a)ln2，則G'(x)?lnx?lna?x?ln2?lnx?ln(a?x)2當(dāng)x?0時，G'(x)?0，因此G（x）在區(qū)間(0,??)內(nèi)為減函數(shù)； 因為G(a)?0，b?a，所以G(b)?0，即：g(a)?g(b)?2g(a?b)?(b?a)ln2。2評注：本題在設(shè)輔助函數(shù)時，考慮到不等式涉及的變量是區(qū)間的兩個端點(diǎn)，因此，設(shè)輔助函數(shù)時就把其中一個端點(diǎn)設(shè)為自變量，范例中選用右

端點(diǎn)，讀者不妨設(shè)為左端點(diǎn)試一試，就更能體會到其中的奧妙了。

通過以上例題，我們可以體會到用導(dǎo)數(shù)來證明不等式的基本要領(lǐng)和它的簡捷。總之，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵是“構(gòu)造函數(shù)”，解決問題的依據(jù)是函數(shù)的單調(diào)性，這一方法在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用的非常廣泛，因此，希望同學(xué)門能認(rèn)真對待，并通過適當(dāng)?shù)木毩?xí)掌握它。

第五篇：第五講 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的兩種通法

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是高考中的一個熱點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式主要有兩種通法，即函數(shù)類不等式證明和常數(shù)類不等式證明。下面就有關(guān)的兩種通法用列舉的方式歸納和總結(jié)。

一、函數(shù)類不等式證明

函數(shù)類不等式證明的通法可概括為：證明不等式f(x)?g(x)（f(x)?g(x)）的問題轉(zhuǎn)化為證明f(x)?g(x)?0（f(x)?g(x)?0），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)?f(x)?g(x)，然后利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)h(x)的單調(diào)性或證明函數(shù)h(x)的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。例1 已知x?(0,?2)，求證：sinx?x?tanx

證明這個變式題可采用兩種方法：

第一種證法：運(yùn)用本例完全相同的方法證明每個不等式以后再放縮或放大，即證明不等式 sinx?x以后，根據(jù)sinx?1?sinx?x來證明不等式sinx?1?x；

第二種證法：直接構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)?sinx?1?x和g(x)?x?tanx?1，其中x?(0,然后證明各自的單調(diào)性后再放縮或放大（如：f(x)?sinx?1?x?f(0)??1?0）例2 求證：ln(x?1)?x

?2)

技巧

一、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個難點(diǎn)。

二、解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵。

1、利用題目所給函數(shù)證明

【例1】 已知函數(shù)f(x)?ln(x?1)?x，求證：當(dāng)x??1時，恒有1?

1?ln(x?1)?x x?

1如果f(a)是函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大（小）值，則有f(x)?f(a)（或f(x)?f(a)），那么要證不等式，只要求函數(shù)的最大值不超過0就可得證．

2、直接作差構(gòu)造函數(shù)證明

123【例2】已知函數(shù)f(x)?x2?lnx.求證：在區(qū)間(1,??)上，函數(shù)f(x)的g(x)?x23的圖象的下方；

首先根據(jù)題意構(gòu)造出一個函數(shù)（可以移項，使右邊為零，將移項后的左式設(shè)為函數(shù)），并利用導(dǎo)數(shù)判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要證的不等式。

3、換元后作差構(gòu)造函數(shù)證明

111【例3】證明：對任意的正整數(shù)n，不等式ln(?1)?2?3 都成立.nnn

當(dāng)F(x)在[a,b]上單調(diào)遞增，則x?a時，有F(x)?F(a)．如果f(a)＝?(a)，要證明當(dāng)x?a時，f(x)??(x)，那么，只要令F(x)＝f(x)－?(x)，就可以利用F(x)的單調(diào)增性來推導(dǎo)．也就是說，在F(x)可導(dǎo)的前提下，只要證明F'(x)?０即可．

4、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明

【例4】若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf?(x)>－f(x)恒成立，且常數(shù)a，b滿足a>b，求證：．a(chǎn)f(a)>bf(b)

由條件移項后xf?(x)?f(x)，容易想到是一個積的導(dǎo)數(shù)，從而可以構(gòu)造函數(shù)F(x)?xf(x)，求導(dǎo)即可完成證明。若題目中的條件改為xf?(x)?f(x)，則移項后xf?(x)?f(x)

練習(xí)

21.設(shè)a?0,f(x)?x?1?ln2x?2alnx求證：當(dāng)x?1時，恒有x?lnx?2alnx?1

2.已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)f(x)?12x?2ax,g(x)?3a2lnx?b,其中a>0，且2b?

52a?3a2lna，求證：f(x)?g(x)2(?x)?3.已知函數(shù)f(x)?ln1blna?lnb?1?.a

x，求證：對任意的正數(shù)a、b，恒有1?x4.f(x)是定義在（0，+∞）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf?(x)?f(x)≤0，對任意正數(shù)a、b，若a < b，則必有

（）

（A）af(b)≤bf(a)（C）af(a)≤f(b)

（B）bf(a)≤af(b)（D）bf(b)≤f(a)

二、常數(shù)類不等式證明

常數(shù)類不等式證明的通法可概括為：證明常數(shù)類不等式的問題等價轉(zhuǎn)化為證明不等式

f(a)?f(b)的問題，在根據(jù)a,b的不等式關(guān)系和函數(shù)f(x)的單調(diào)性證明不等式。

例3已知m?n?0,a,b?R且(a?1)(b?1)?0

?求證：(an?bn)m?(am?bm)n

利用導(dǎo)數(shù)證明常數(shù)類不等式的關(guān)鍵是經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃?，將不等式證明的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性證明問題，其中關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)，如何構(gòu)造輔助函數(shù)也是這種通法運(yùn)用的難點(diǎn)和關(guān)鍵所在。構(gòu)造輔助函數(shù)關(guān)鍵在于不等式轉(zhuǎn)化為左右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子這樣根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”可以構(gòu)造輔助函數(shù)。例4 已知0?????

練習(xí)

2．當(dāng)x?1時,求證:2x?3?證明：a?b

ba?2，求證：

tan??tan??1???1 tan??tan?1已知a,b為實數(shù)，并且e

3．已知函數(shù)f(x)?ex?ln(x?1)?1?x?0?（1）求函數(shù)f(x)的最小值；

（2）若0?y?x，求證：ex?y?1?ln(x?1)?ln(y?1)

求證：(?e?ee)??(???e?)e