第一篇：選修1-2第二章推理與證明講義

第二章推理與證明講義

2.1合情推理與演繹推理

學習目標：

1．了解合情推理的含義，能利用歸納和類比進行簡單的推理；

2．了解演繹推理的含義，掌握演繹推理的基本模式，能利用“三段論”進行簡單的推理.重點：用歸納和類比進行推理，做出猜想；用“三段論”證明問題.難點：用歸納和類比進行合情推理，做出猜想。

學習策略：

①合情推理、演繹推理幾乎涉及數(shù)學的方方面面的知識，代表研究性命題的發(fā)展趨勢②合情推理中的歸納、類比都是具有創(chuàng)造性的或然推理.不論是由大量的實例，經(jīng)過分析、概括、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的歸納，還是由兩系統(tǒng)的已知屬性，通過比較、聯(lián)想而發(fā)現(xiàn)未知屬性的類比，它們的共同點是，結論往往超出前提所控制的范圍，所以它們是“開拓型”或“發(fā)散型”的思維方法.也正因為結論超出了前提的管轄范圍，前提也就無力保證結論必真，所以歸納類比都是或然性推理.③演繹推理所得的結論完全蘊含于前提之中，所以它是“封閉型”或“收斂型”的思維方法.只要前提真實，邏輯形式正確，結論必然是真實的.知識要點梳理

知識點一：推理的概念根據(jù)一個或幾個已知事實(或假設)得出一個判斷，這種思維方式叫做推理．從結構上說，推理一般由兩部分組成，一部分是已知的事實(或假設)叫做前提，一部分是由已知推出的判斷，叫做結論．

知識點二：合情推理根據(jù)已有的事實和正確的結論（包括定義、公理、定理等）、實驗和實踐的結果、個人的經(jīng)驗和直覺等，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想、歸納、類比等推測出某些結果的推理過程。其中歸納推理和類比推理是最常見的合情推理。

1.歸納推理

（1）定義：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納）。（2）一般模式：部分整體，個體一般

（3）一般步驟：

①通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質；

②從已知的相同的性質中猜想出一個明確表述的一般性命題；

③檢驗猜想.（4）歸納推理的結論可真可假

歸納推理一般都是從觀察、實驗、分析特殊情況開始，提出有規(guī)律性的猜想； 一般地，歸納的個別情況越多，就越具有代表性，推廣的一般性命題就越可靠.由于歸納推理的前提是部分的、個別的事實，因此歸納推理的結論超出了前提所界定的范圍，其前提和結論之間的聯(lián)系不是必然的，而是或然的，所以歸納推理所得的結論不一定是正確的.2.類比推理

（1）定義：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）.（2）一般模式：特殊特殊

（3）類比的原則：可以從不同的角度選擇類比對象，但類比的原則是根據(jù)當前問題的需要，選擇恰當?shù)念惐葘ο?（4）一般步驟：

①找出兩類對象之間的相似性或一致性；

②用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，得出一個明確的命題（猜想）；

③檢驗猜想.（5）類比推理的結論可真可假

類比推理中的兩類對象是具有某些相似性的對象，同時又應是兩類不同的對象；一般情況下，如果類比的相似性越多，相似的性質與推測的性質越相關，那么類比得出的命題就越可靠.類比結論具有或然性，所以類比推理所得的結論不一定是正確的。

知識點三：演繹推理

（1）定義：從一般性的原理出發(fā)，按照嚴格的邏輯法則，推出某個特殊情況下的結論的推

理，叫做演繹推理.簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理．

（2）一般模式：“三段論”是演繹推理的一般模式，常用的一種格式

① 大前提——已知的一般原理；

② 小前提——所研究的特殊情況；

③ 結論——根據(jù)一般原理，對特殊情況作出的結論.（3）用集合的觀點理解“三段論”若集合的所有元素都具有性質，是的子集，那么中所有元素都具有性質

（4）演繹推理的結論一定正確

演繹推理是一個必然性的推理，因而只要大前提、小前提及推理形式正確，那么結論一定是

正確的，它是完全可靠的推理。

規(guī)律方法指導

合情推理與演繹推理的區(qū)別與聯(lián)系

（1）從推理模式看：

①歸納推理是由特殊到一般的推理．

②類比推理是由特殊到特殊的推理．

③演繹推理是由一般到特殊的推理．

（2）從推理的結論看：

①合情推理所得的結論不一定正確，有待證明。

②演繹推理所得的結論一定正確。

（3）總體來說，從推理的形式和推理的正確性上講，二者有差異；從二者在認識事物的過

程中所發(fā)揮的作用的角度考慮，它們又是緊密聯(lián)系，相輔相成的。合情推理的結論需要演繹

推理的驗證，而演繹推理的內(nèi)容一般是通過合情推理獲得的；演繹推理可以驗證合情推理的正確性，合情推理可以為演繹推理提供方向和思路.經(jīng)典例題透析

類型一：歸納推理

1．用推理的形式表示數(shù)列的前項和的歸納過程.舉一反三：【變式1】用推理的形式表示等差數(shù)列1，3，5，?，（2－1），?的前項和的歸納過程.，計算

驗證猜想的結論是否正確.的值，同時【變式2】設歸納結果所具有的性質，并用

2．平面內(nèi)的1條直線把平面分成2部分，2條相交直線把平面分成4部分，3條相交

但不共點的直線把平面分成7部分，n條彼此相交而無三條共點的直線，把平面分成多少部

分？

舉一反三：【變式1】圖（a）、（b）、（c）、（d）為四個平面圖形

（1）數(shù)一數(shù)，每個平面圖各有多少個頂點？多少條邊？它們將平面各分成了多少個區(qū)域？

（2）推斷一個平面圖形的頂點數(shù)，邊數(shù)，區(qū)域數(shù)之間的關系.類型二：類比推理

3．在三角形中有下面的性質：

(1)三角形的兩邊之和大于第三邊；

(2)三角形的中位線等于第三邊的一半，且平行于第三邊；

(3)三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點，且這個點是三角形的內(nèi)心；

(4)三角形的面積半徑)．

請類比寫出四面體的有關性質．，（為三角形的三邊長，為三角形的內(nèi)切圓

類型三：演繹推理

4．已知：在空間四邊形∥平面中，、分別為、的中點，用三段論證明：

例4變式

2舉一反三：【變式1】有一位同學利用三段論證明了這樣一個問題：

證明：因為所有邊長都相等的凸多邊形是正多邊形，????大前提

而菱形是所有邊長都相等的凸多邊形，??????????小前提

所以菱形是正多邊形.??????????????????結論

（1）上面的推理形式正確嗎？（2）推理的結論正確嗎？為什么？

【變式2】如圖2-1-8所示，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB上的點，∠BFD=∠A，DE∥BA，求

證：ED=AF.2.2直接證明與間接證明

目標認知

學習目標：

1．結合已經(jīng)學過的數(shù)學實例，了解直接證明的兩種基本方法：綜合法和分析法，了解間接證明的一種基本方法：反證法；

2．了解綜合法、分析法和反證法的思考過程、特點.重點：

根據(jù)問題的特點，結合綜合法、分析法和反證法的思考過程、特點，選擇適當?shù)淖C明方法或把不同的證明方法結合使用.難點：根據(jù)問題的特點，選擇適當?shù)淖C明方法或把不同的證明方法結合使用.學習策略分析法和綜合法在證明方法中都占有重要地位，是解決數(shù)學問題的重要思想方法。當所證命題的結論與所給條件間聯(lián)系不明確，常常采用分析法證明；當所證的命題與相應定義、定理、公理有直接聯(lián)系時，常常采用綜合法證明.在解決問題時，常常把分析法和綜合法結合起來使用。反證法解題的實質是否定結論導出矛盾，從而說明原結論正確。在否定結論時，其反面要找對、找全.它適合證明“存在性問題、唯一性問題”，帶有“至少有一個”或“至多有一個”等字樣的數(shù)學問題.知識要點梳理

知識點一：直接證明

1、綜合法

（1）定義：一般地，從命題的已知條件出發(fā)，利用公理、已知的定義及定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法.（2）綜合法的的基本思路：執(zhí)因索果綜合法又叫“順推證法”或“由因導果法”.它是從已知條件和某些學過的定義、公理、公式、定理等出發(fā)，通過推導得出結論.（3）綜合法的思維框圖：用公理等，表示已知條件，為定義、定理、表示所要證明的結論，則綜合法可用框圖表示為：

（已知）（逐步推導結論成立的必要條件）（結論）

2、分析法

（1）定義：一般地，從需要證明的命題出發(fā)，分析使這個命題成立的充分條件，逐步尋找使命題成立的充分條件，直至所尋求的充分條件顯然成立（已知條件、定理、定義、公理等），或由已知證明成立，從而確定所證的命題成立的一種證明方法，叫做分析法.（2）分析法的基本思路：執(zhí)果索因分析法又叫“逆推證法”或“執(zhí)果索因法”.它是從要證明的結論出發(fā)，分析使之成立的條件，即尋求使每一步成立的充分條件，直到最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.（3）分析法的思維框圖：用

理等，表示已知條件和已有的定義、公理、公式、定所要證明的結論，則用分析法證明可用框圖表示為：

（結論）（逐步尋找使結論成立的充分條件）（已知）

（4）分析法的格式：要證??，只需證??，只需證??，因為??成立，所以原不等式得證。

知識點二：間接證明

反證法

（1）定義：一般地，首先假設要證明的命題結論不正確，即結論的反面成立，然后利用公理，已知的定義、定理，命題的條件逐步分析，得到和命題的條件或公理、定理、定義及明顯成立的事實等矛盾的結論，以此說明假設的結論不成立，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法.（2）反證法的特點：反證法是間接證明的一種基本方法.它是先假設要證的命題不成立，即結論的反面成立，在已知條件和“假設”這個新條件下，通過邏輯推理，得出與定義、公理、定理、已知條件、臨時假設等相矛盾的結論，從而判定結論的反面不能成立，即證明了命題的結論一定是正確的.（3）反證法的基本思路：“假設——矛盾——肯定”

①分清命題的條件和結論．

②做出與命題結論相矛盾的假設．

③由假設出發(fā)，結合已知條件，應用演繹推理方法，推出矛盾的結果．

④斷定產(chǎn)生矛盾結果的原因，在于開始所做的假定不真，于是原結論成立，從而間接地證明原命題為真．

（4）用反證法證明命題“

若

則”，它的全部過程和邏輯根據(jù)可以表示為：

（5）反證法的優(yōu)點：對原結論否定的假定的提出，相當于增加了一個已知條件.規(guī)律方法指導

1.用反證法證明數(shù)學命題的一般步驟：

①反設——假設命題的結論不成立，即假定原命題的反面為真；

②歸謬——從反設和已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結果；

③存真——由矛盾結果，斷定反設不真，從而肯定原結論成立.2.適合使用反證法的數(shù)學問題：

①要證的結論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結論的線索不夠清晰；比如“存在性問題、唯一性問題”等；

②如果從正面證明，需要分成多種情形進行分類討論，而從反面進行證明，只要研究一種或很少的幾種情形.比如帶有“至少有一個”或“至多有一個”等字樣的數(shù)學問題.經(jīng)典例題透析類型一：綜合法

1．如圖，設在四面體求證：垂直于中，，是的中點.所在的平面.舉一反三：

【變式1在銳角三角形ABC中，求證：類型二：分析法

2．求證：

舉一反三：

【變式1】求證：

類型三：反證法

3。設函數(shù)對任意舉一反三：

【變式1】已知：，求證 都有在.內(nèi)都有，且恒成立，求證：

第二篇：高二 數(shù)學 選修 推理與證明(文)（模版）

高中數(shù)學（文）推理與證明

知識要點：

1、合情推理

根據(jù)一類事物的部分對象具有某種性質，推出這類事物的所有對象都具有這種性質的推理，叫做歸納推理（簡稱歸納）。歸納是從特殊到一般的過程，它屬于合情推理；

根據(jù)兩類不同事物之間具有某些類似（或一致）性，推測其中一類事物具有與另一類事物類似（或相同）的性質的推理，叫做類比推理（簡稱類比）。

類比推理的一般步驟：

（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）；（3）一般地，事物之間的各個性質之間并不是孤立存在的，而是相互制約的。如果兩個事物在某些性質上相同或類似，那么它們在另一些性質上也可能相同或類似，類比的結論可能是真的；

（4）在一般情況下，如果類比的相似性越多，相似的性質與推測的性質之間越相關，那么類比得出的命題就越可靠。

2、演繹推理

分析上述推理過程，可以看出，推理的滅每一個步驟都是根據(jù)一般性命題（如“全等三角形”）推出特殊性命題的過程，這類根據(jù)一般性的真命題（或邏輯規(guī)則）導出特殊性命題為真的推理，叫做演繹推理。演繹推理的特征是：當前提為真時，結論必然為真。

3、證明方法

（1）反證法：要證明某一結論A是正確的，但不直接證明，而是先去證明A的反面（非A）是錯誤的，從而斷定A是正確的即反證法就是通過否定命題的結論而導出矛盾來達到肯定命題的結論，完成命題的論證的一種數(shù)學證明方法。

反證法的步驟：1)假設命題的結論不成立，即假設結論的反面成立；2)從這個假設出發(fā)，通過推理論證，得出矛盾；3)由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確。

注意：可能出現(xiàn)矛盾四種情況：①與題設矛盾；②與反設矛盾；③與公理、定理矛盾④在證明過程中，推出自相矛盾的結論。

（2）分析法：證明不等式時，有時可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的條件，把證明不等式轉化為判定這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫做分析法。

分析法的思維特點是：執(zhí)果索因；

分析法的書寫格式： 要證明命題B為真，只需要證明命題為真，從而有??，這只需要證明命題為真，從而又有??

這只需要證明命題A為真，而已知A為真，故命題B必為真。

（3）綜合法：利用某些已經(jīng)證明過的不等式（例如算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理）和不等式的性質推導出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法，綜合法的思維特點是：由因導果，即由已知條件出發(fā)，利用已知的數(shù)學定理、性質和公式，推出結論的一種證明方法。

典例分析：

例1：例5．（1）觀察圓周上n個點之間所連的弦，發(fā)現(xiàn)兩個點可以連一條弦，3個點可以連3條弦，4個點可以連6條弦，5個點可以連10條弦，你由此可以歸納出什么規(guī)律？

（2）把下面在平面內(nèi)成立的結論類比推廣到空間，并判斷類比的結論是否成立：

1）如果一條直線與兩條平行直線中的一條相交，則必于另一條相交。

2）如果兩條直線同時垂直與第三條直線，則這兩條直線平行。

例2：（06年天津）如圖，在五面體ABCDEF中，點O是矩形ABCD的對角線的交點，面CDE是等邊三角形，棱

1EF//BC。?

2（1）證明FO//平面CDE；

（2）設BC?，證明EO?平

面CDF。

例3：（1）用反證法證明：如果a>b>0，那么

（2）用綜合法證明：如果a>b>0，那么

； ；

例4：用分析法證明：如果ΔABC的三條邊分別為a，b，c，那么：

a?bc? 1?a?b1?c

鞏固練習：

1.如果數(shù)列?an?是等差數(shù)列，則

A.a1?a8?a4?a5 B.a1?a8?a4?a5 C.a1?a8?a4?a5 D.a1a8?a4a

52.下面使用類比推理正確的是

A.“若a?3?b?3,則a?b”類推出“若a?0?b?0,則a?b”

B.“若(a?b)c?ac?bc”類推出“(a?b)c?ac?bc”

a?bab??（c≠0）” ccc

nn（ab）?anbn” 類推出“（a?b）?an?bn” D.“

3.有這樣一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是真分數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是真分數(shù)”

結論顯然是錯誤的，是因為

A.大前提錯誤B.小前提錯誤C.推理形式錯誤D.非以上錯誤C.“若(a?b)c?ac?bc” 類推出“

4.設f0(x)?sinx,f1(x)?f0(x)，f2(x)?f1'(x),?,fn?1(x)?fn'(x)，n∈N，則'

f2007(x)?

A.sinx B.－sinx C.cosx D.－cosx

5.在十進制中2004?4?100?0?101?0?102?2?103，那么在5進制中數(shù)碼200

4折合成十進制為

A.29B.254C.602D.2004

6.函數(shù)y?ax2?1的圖像與直線y?x相切，則a= A.18 B.1 4C.12D.11；③47.下面的四個不等式：①a2?b2?c2?ab?bc?ca；②a?1?a??

ab??2 ；④a2?b2?c2?d2??ac?bd?2.其中不成立的有ba

A.1個B.2個C.3個D.4個

2f(x)（x?N*）,f(1)?1 8.已知f(x?1)?，猜想f(x）的表達式為f(x)?2

4212A.f(x)?xB.f(x)?C.f(x)?D.f(x)? 2?2x?1x?12x?1

9.類比平面幾何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的兩邊AB、AC互相垂直，????則三角形三邊長之間滿足關系：AB2?AC2?BC2。若三棱錐A-BCD的三個側面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則三棱錐的側面積與底面積之間滿足的關系為.2?3?4?32，3+4+5+6+7=52中，可得到一般規(guī)律為10.從1?12，(用數(shù)學表達式表示)

11.函數(shù)y＝f（x）在（0，2）上是增函數(shù)，函數(shù)y=f(x+2)是偶函數(shù)，則f(1),f(2.5),f(3.5)的大小關系是.12.設平面內(nèi)有ｎ條直線(n?3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點．若用f(n)表示這ｎ條直線交點的個數(shù)，則f(4)

當ｎ＞４時，f(n)＝（用含n的數(shù)學表達式表示）

第三篇：選修2-2第一章推理與證明練習題

推理與證明過關檢測試題

1.考察下列一組不等式： 2?5?2?5?2?5,2?5?2?5?2?5,2?

555

?2?5?2?5,??.將上述不等式在左右兩端仍為兩項和的情況下加以推廣，使以上的不等

3223

式成為推廣不等式的特例，則推廣的不等式可以是.2．已知數(shù)列?an?滿足a1?2，an?1?的值為．3.已知f(x?1)?A.f(x)?

42?2

x

1?an1?an

（n?N*），則a3的值為 a1?a2?a3???a2007

2f(x)f(x)?2

（x?N*），猜想f(x）的表達式為（）,f(1)?

12x?1

；B.f(x)?；C.f(x)?

?

1x?1

；D.f(x)?

22x?1

.?

4.某紡織廠的一個車間有技術工人m名（m?N），編號分別為1、2、3、??、m，有n臺（n?N）織布機，編號分別為1、2、3、??、n，定義記號aij：若第i名工人操作了第j號織布機，規(guī)定aij?1，否則aij?0，則等式a41?a42?a43????a4n?3的實際意義是（）A、第4名工人操作了3臺織布機；B、第4名工人操作了n臺織布機； C、第3名工人操作了4臺織布機；D、第3名工人操作了n臺織布機.5.已知f(n)?1?

f(32)?

212

?

3???

1n

(n?N)，計算得f(2)?

*

32，f(4)?2，f(8)?

52，f(16)?3，由此推測：當n?2時，有6.觀察下圖中各正方形圖案，每條邊上有n(n?2)個圓圈，每個圖案中圓圈的總數(shù)是Sn，按此規(guī)律推出：當n?2時，Sn與n的關系式

n?2S?4n?3S?8n?4S?12

??

7.觀察下式：1=1，2+3+4=3，3+4+5+6+7=5，4+5+6+7+8+9+10=7，?，則可得出一般結論：.8.函數(shù)f(x)由下表定義：

若a0?5，an?1?f(an)，n?0,1,2,?，則a2007?．

9.在一次珠寶展覽會上,某商家展出一套珠寶首飾,第一件首飾是1顆珠寶, 第二件首飾是由6顆珠寶構成如圖1所示的正六邊形, 第三件首飾是由15顆珠寶構成如圖2所示的正六邊形, 第四件首飾是由28顆珠寶構成如圖3所示的正六邊形, 第五件首飾是由45顆珠寶構成如圖4所示的正六邊形, 以后每件首飾都在前一件上,按照這種規(guī)律增加一定數(shù)量的珠寶,使它構成更大的正六邊形,依此推斷第6件首飾上應有_______顆珠寶;則前n件首飾所用珠寶總數(shù)為_顆.(結果用n表示)

圖1 圖2

10.圖3

那么2003應該在第行，第列。

11．如右上圖，一個小朋友按如圖所示的規(guī)則練習數(shù)數(shù)，1大拇指，2食指，3中指，4無名指，5小指，6無名指，...，一直數(shù)到2008時，對應的指頭是(填指頭的名稱).12.在數(shù)列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，??中，第25項為_____．

13．觀察下列的圖形中小正方形的個數(shù)，則第n個圖中有個小正方形.14．同樣規(guī)格的黑、白兩色正方形瓷磚鋪設的若干圖案，則按此規(guī)律第n個圖案中需用黑色瓷磚___________塊．（用含n的代數(shù)式表示）

15.如圖所示，面積為S的平面凸四邊形的第i條邊的邊長記為ai?i?1,2,3,4?，此四邊形內(nèi)任一點P到第i條邊的距離記為hi?i?1,2,3,4?，若

a1

1?

a2

2?

a3

3?

a4

4?k，則.??ihi??

i?1

2Sk

類比以上性質,體積為V的三棱錐的第i個面的面積記為

Si?i?1,2,3,4?, 此三棱錐內(nèi)任一點Q到第i個面的距離記為H

i?i?1,2,3,4?,若S11

S22

S33

S44

?4VK

??

?K,則??iHi??(B)

i?1

A.B.3VK

C.2VK

D.VK

16.設O是?ABC內(nèi)一點，?ABC三邊上的高分別為hA,hB,hC，O

到三邊的距離依次為la,lb,l

c，則

lahA

?

lbhB

?

lchC

?，類比到空間，O是四面體ABCD內(nèi)一點，四頂點到對面的距離分別為

hA,hB,hC,hD，O到這四個面的距離依次為la,lb,lc,ld，則有b，17．在Rt?ABC中，兩直角邊分別為a、設h為斜邊上的高，則

1h

?

1a

?

1b，由此類比：三棱錐S?ABC

中的三條側棱SA、SB、SC兩兩垂直，且長度分別為a、b、c，設棱錐底面ABC上的高為h，則．

18、若數(shù)列?an?是等差數(shù)列，對于bn?

1n

(a1?a2???an)，則數(shù)列?bn?也是等差數(shù)列。類比上述性質，若數(shù)列?cn?是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，對于dn?0，則dn?dn?也是等比數(shù)列。19．已知△ABC三邊a，b，c的長都是整數(shù)，且a≤b≤c，如果b＝m（m?N*），則這樣的三角形共有個（用m表示）．

20．如圖的三角形數(shù)陣中，滿足：（1）第1行的數(shù)為1；（2）第n（n≥2)行首尾兩數(shù)均為n，其余的數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)相加．則第n行(n≥2)中第2個數(shù)是________（用n表示）.123456

16?

5?7

4254

711

16?

621．在△ABC中，sinA?

sinB?sinCcosB?cosC，判斷△ABC的形狀并證明.22．已知a、b、c是互不相等的非零實數(shù).若用反證法證明三個方程ax+2bx+c=0，bx+2cx+a=0，cx+2ax+b=0至少有一個方程有兩個相異實根.應假設

23.?ABC中，已知3b?23asinB，且cosA?cosC，求證：?ABC為等邊三角形。

24．如圖，P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、?、Pn(xn,yn)(0?y1?y2???yn)是曲線C：y?3x(y?0)

上的n個點，點Ai(ai,0)（i?1,2,3?n）在x軸的正半軸上，且?Ai?1AiPi是正三角形（A0是坐標原點）．（1）寫出a1、a2、a3；

（2）求出點An(an,0)（n?N?）的橫坐標an關于n的表達式并證明.推理與證明章節(jié)測試題答案

1.a?b?ab?ab(a,b?0,m?k?n,m,n,k?N)3．?

2,33.B.4.A5.f(2)?

*

n

nnmkkm*

2n?12

(n?N)6.n?(n?2)

*22

7.n?(n?1)???(3n?2)?(2n?1),n?N8.4 9.n(n?1)(4n?1)

6n?N10.251,311、食指

*

12.在數(shù)列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，??中，第25項為__7____． 13．

n?3n?

214． 4n?815、B提示:平面面積法類比到空間體積法

16． 1.提示：平面面積法類比到空間體積法 17．．

1h

1?222abc

*

1n

(a1?a2???an)類比到幾何平

n?N提示：等差數(shù)列類比到等比數(shù)列，算術平均數(shù)bn?均數(shù)dn?n?N

m(m?1)

*

19．20．

n?n?

221．解:?sinA?

sinB?sinCcosB?cosC,A?B?C??

?sinAcosB?sinAcosC?sin(A?C)?sin(B?C)?sinCcosA?sinBcosA?(sinC?sinB)cosA?0?sinC?sinB?0,?cosA?0?A?

?2

所以三角形ABC是直角三角形

22． 三個方程中都沒有兩個相異實根

證明：假設三個方程中都沒有兩個相異實根，222

則Δ1=4b－4ac≤0，Δ2=4c－4ab≤0，Δ3=4a－4bc≤0.222222

相加有a－2ab+b+b－2bc+c+c－2ac+a≤0，222

（a－b）+（b－c）+（c－a）≤0.由題意a、b、c互不相等，∴①式不能成立.∴假設不成立，即三個方程中至少有一個方程有兩個相異實根.方法總結：反證法步驟—假設結論不成立→推出矛盾→假設不成立.凡是“至少”、“唯一”或含有否定詞的命題適宜用反證法.23.解: 分析：由3b?23asinB?3sinB?23sinAsinB?sinA?

32①

?A?

?3,2?3

由cosA?cosC?A?C?A?C?

?3

?B所以?ABC為等邊三角形

24.如圖，P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、?、Pn(xn,yn)(0?y1?y2???yn)是曲線C：y2?3x(y?0)上的n個點，點Ai(ai,0)（i?1,2,3?n）在x軸的正半軸上，且?Ai?1AiPi是正三角形（A0是坐標原點）．（1）寫出a1、a2、a3；

（2）求出點An(an,0)（n?N?）的 橫坐標an關于n的表達式并證明.解:（Ⅰ）a1?2,a2?6,a3?12;??????.6分

an?1?an

an?an?

1，由此及yn?3?xn得

（2）依題意，得xn?

an?an?1

32,yn?

3?

(3?)

?

(an?an?1)，即(an?an?1)?2(an?1?an)．

由（Ⅰ）可猜想：an?n(n?1),(n?N)． 下面用數(shù)學歸納法予以證明：（1）當n?1時，命題顯然成立；

（2）假定當n?k時命題成立，即有an?k(k?1)，則當n?k?1時，由歸納假設及

?

(ak?1?ak)?2(ak?ak?1)

得[ak?1?k(k?1)]2?2[k(k?1)?ak?1]，即

(ak?1)?2(k?k?1)ak?1?[k(k?1)]?[(k?1)(k?2)]?0，解之得

ak?1?(k?1)(k?2)

（ak?1?k(k?1)?ak不合題意，舍去），即當n?k?1時，命題成立．

由（1）、（2）知：命題成立．??????.10分

第四篇：選修2-2第二章推理與證明檢測專題

選修2-2第二章推理與證明姓名評價

1、下列表述正確的是

①歸納推理是由部分到整體的推理;②歸納推理是由一般到一般的推理;③演繹推理是由一般到特殊的推理;④類比推理是由特殊到一般的推理;⑤類比推理是由特殊到特殊的推理.A.①②③B.②③④C.②④⑤D.①③⑤.2、分析法是從要證明的結論出發(fā),逐步尋求使結論成立的A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.等價條件

3.證明命題"f(x)?ex?x在(0,??)上是增函數(shù)”，一個同學的證法如下：

e

11x?f'(x)?e?exex

?x?0?ex?1,0?x?1

e

?ex?x?0,即f'(x)?0

e?f(x)?ex?

8.觀察式子:1?

A.1?

131151117??1???1????，則可歸納出式子為 ，***

11111111?????(n≥2)1??????(n≥2)B.2232n22n?12232n22n?11112n?11112n

(n≥2)(n≥2)D.1?2?2???2?C.1?2?2???2?

23n2n?123nn

9.根據(jù)給出的數(shù)塔猜測123456?9?7?

1?9?2?1112?9?3?111123?9?4?11111234?9?5?11111 12345?9?6?111111......?f(x)?ex?

在(0,??)上是增函數(shù),他使用的證法是（）ex

A.綜合法B.分析法C.反證法D.以上皆非

4.要證明a ＋a＋7 a＋3 ＋a＋4(a≥0)可選擇的方法有多種，其中最合理的是

A.綜合法B.分析法C.反證法D.類比法 5.有一段演繹推理是這樣的:

因為指數(shù)函數(shù)y＝ax是增函數(shù)(大前提)

而y＝(2)x是指數(shù)函數(shù)(小前提)

所以y＝(2)x是 增函數(shù)(結論)

推理的結論顯然是錯誤的,這是因為

A.大前提錯誤B.小前提錯誤C.推理形式錯誤D.非以上錯誤 6．用反證法證明命題“三角形的三個內(nèi)角中至少有一個大于等于60°”時。反設正確的是

A.三個內(nèi)角都小于60°B.三個內(nèi)角都大于60°C.三個內(nèi)角中至多有一個大于60°D.三個內(nèi)角中至多有兩個大于60° 7.分析法又稱“執(zhí)果索因法”，若用分析法證明：“設a＞b＞c,且a＋b＋c＝0，求證b－ac ＜3 a”索的因應是 A.a－b＞0B.a－c＞0C.(a－b)(a－c)＞0D.(a－b)(a－c)＜0

A.1111110B.1111111C.1111112D.1111113

10.觀察(x2)′＝2x,(x4)′＝4x3,(cosx)′＝－sinx,由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x),記g(x)為f(x)的導函數(shù)，則g(－x)＝

A.f(x)B.－f(x)C.g(x)D.－g(x)

11.三角形的面積S＝2(a＋b＋c)·r,(a,b,c為三角形的邊長，r為三角形內(nèi)切圓的半徑)，利用類比推理，可以得到四面體的體積為

A.V ＝3abcB.V ＝3Sh

C.V ＝3(S1＋S2＋S3＋S4)·r ,S1,S2,S3 ,S4為四面體四個面的面積，r為四面體內(nèi)切球的半徑)

D.V ＝3(ab＋bc＋ac)·h

12.類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質，可推出正四面體的下列哪些性質，你認為比較恰當?shù)氖?/p>

①各棱長相等，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等；

②各個面都是全等的正三角形，相鄰兩個面所成的二面角都相等； ③各個面都是全等的正三角形，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等 A．①；B．①②；C．①②③；D．③ 13.觀察下式，從中歸納出一般性的結論

1＝122＋3＋4＝323＋4＋5＋6＋7＝52

4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72

5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92

………….由上式推測第n個等式為

選修2-2第二章推理與證明姓名評價

14.觀察①sin2100?cos2400?sin100cos400?;

②sin260?cos2360?sin60cos360?.兩式的結構特點可提出一個猜想的等式為15.[n ]表示不超過n 的最大整數(shù).S1＝[1 ]＋[2 ]＋[3 ]＝3,S2＝[4 ]＋[5 ]＋[6 ]＋[7 ]＋[8 ]＝10,S2＝[9 ]＋[10 ]＋[11 ]＋12 ]＋13 ]＋14 ]＋15 ]＝21, ………….那么Sn＝

16.半徑為r的圓的面積S(r)??r2,周長C(r)?2?r,若將r看作(0,??)上的變量，則(?r2)'?2?r①，①式可用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的導數(shù)等于圓的周長函數(shù)。對于半徑為R的球，若將R看作(0,??)上的變量，請你寫出類似于①式的式子：，你所寫的式子可用語言敘述為：

17.用分析法證明：2 －6 ＜3 －7

a＋blga＋lgb

18.用綜合法證明：如果a,b＞0,則lg2≥

19.用三段論的形式證明：f(x)＝x3＋x(x∈R)為奇函數(shù).ab

20.已知a,b是正實數(shù)，求證：b ＋ a≥a ＋b

21.在△ABC中，a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C的對邊，且A,B,C成等差數(shù)列，a,b,c成等比數(shù)列，求證△ABC為等邊三角形.22.觀察①tan10°·tan20°＋tan20°·tan60°＋tan60°·tan10°＝1

②tan5°·tan10°＋tan10°·tan75°＋tan75°·tan5°＝1

兩式的結構特點可提出一個一般規(guī)律的等式，并證明你的結論.選修2-2第二章 數(shù)學歸納的法姓名評價

1.用框圖表示數(shù)學歸納法的步驟

2.用數(shù)學歸納法證明1?111

2?3?...?2n

?1

?n(n?N*,n?1)時，第一步應驗證不等式 A.1?12?2B.1?12?13?2C.1?111112?3?3D.1?2?3?4

?3

3.用數(shù)學歸納法證明 “

11?2?12?3?13?4?...?1n?(n?1)?nn?1

(n?N*)”的過程中,由n?k遞推到n?k?1時,等式的左邊需要增添的項是()

A.1k(k?1)B.1k(k?1)?1

(k?1)(k?2)

C.11k(k?2)

D.(k?1)(k?2)

4.用數(shù)學歸納法證明不等式“

1n?1?1n?2???12n?13

(n?2)”時的過程中,由n?k遞推到n?k?1時,不等式的左邊()

A.增加了一項

12(k?1)B.增加了兩項11

2k?1?

2(k?1)C.增加了兩項11

2k?1?

2(k?1),又減少了一項1

k?1 D.增加了一項12(k?1),又減少了一項1

k?1

5.用數(shù)學歸納法證明111?3?

3?5?...?1(2n?1)(2n?1)?n

2n?1

(n?N*)

6.在數(shù)列{a2an

n}中，a1?1,an?1?

2?a(n?N*)，n

（1）計算a2，a3，a4，a5猜想數(shù)列{an}的通項公式；

（2）用數(shù)學歸納法證明你的猜想

7.在數(shù)列{an}中, a1＝1且Sn＝n2·an,n∈N*

(1)計算a2，a3，a4，a5猜想數(shù)列{an}的通項公式；（2）用數(shù)學歸納法證明你的猜想.8.用數(shù)學歸納法證明:

對一切大于1的自然數(shù),不等式(1＋11)(1＋5)·····(1＋1

2k＋2n－1)＞12 均成立

第五篇：選修1-2第二章推理與證明復習題

選修1-2第二章推理與證明復習題

一、選擇題

1、用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60度”時，反設正確的是（）。

(A)假設三內(nèi)角都不大于60度；(B)假設三內(nèi)角都大于60度；

(C)假設三內(nèi)角至多有一個大于60度；(D)假設三內(nèi)角至多有兩個大于60度。

2、由①正方形的對角線相等；②平行四邊形的對角線相等；③正方形是平行四邊形，根據(jù)“三段論”推理出一個結論，則這個結論是（）

(A)正方形的對角線相等(B)平行四邊形的對角線相等

(C)正方形是平行四邊形(D)其它

3、一同學在電腦中打出如下若干個圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●?若將此若干個圈依此規(guī)律繼續(xù)下去,得到一系列的圈,那么在前120個圈中的●的個數(shù)是()

(A)12(B)13(C)14(D)154、觀察下列數(shù):1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,?中x,y,z的值依次是()

(A)42,41,123;(B)13,39,123;(C)24,23,123;(D)28,27,123.5,使每一行成等差數(shù)列,每一列成等比數(shù)列,則a+b+c的值是()

(A)1(B)2(C)3(D)

46、設a,b,c大于0，則3個數(shù)：a?111，b?，c?的值()bca

A、都大于2B、至少有一個不大于2C、都小于2D、至少有一個不小于

27、已知f1(x)?cosx,f2(x)?f1'(x),f3(x)?f2'(x),f4(x)?f3'(x)。。fn(x)?fn?1'(x),則f2005(x)?（）A、sinxB、?sinxC、cosxD、?cosx8、函數(shù)y?x2?

5x?42的最小值為()

A、1B、二、填空題 5C、2D、3

2353,1 , ，??歸納出通項公式an =____。28812、數(shù)列{an}中，a1?，an?1?3an?0，則an的通項公式為

21、由數(shù)列的前四項:

3、對于平面幾何中的命題“如果兩個角的兩邊分別對應垂直,那么這兩個角相等或互補”,在立體幾何中,類比上述命題,可以得到命題: “”,這個類比命題的真假性是。

4、平面內(nèi)的1條直線把平面分成兩部分，2條直線把平面分成4部分，3條相交直線但不共點的直線把平面分成7部分，n條彼此相交而無3條直線共點的直線把平面分成_______部分。

5、若數(shù)列{an}，(n∈N)是等差數(shù)列,則有數(shù)列bn=*a1?a2???an*(n∈N)也是等差數(shù)列，類比上述n

**性質，相應地：若數(shù)列{Cn}是等比數(shù)列,且Cn＞0(n∈N),則有dn=____________(n∈N)也是等比數(shù)列。

三、解答題

1、求證：

(1)a2?b2?3?aba?b);(2)6+>22+。

2、已知a?b?0,c?d?0,e?0，比較ee與的大小。a?cb?d3、如圖，S為△ABC所在平面外一點，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC。求證：AB⊥BC。

A4、已知：f(x)?x?px?q，求證：

（1）f(1)?f(3)?2f(2)?2；（2）f(1),f(2),f(3)中至少有一個不小于

2C B 1。

25、已知??(0,?

2),求y?sin?cos2?的最大值。

6、觀察以下各等式：

43sin2200?cos2500?sin200cos500? 4

3sin2150?cos2450?sin150cos450?，分析上述各式的共同特點，猜想出反映一般規(guī)律的等式，4sin2300?cos2600?sin300cos600?并對等式的正確性作出證明。

參考答案：

一、1、B2、A3、C4、A5、A6、D7、C8、B

二、1、3nn?22、3、如果兩個二面角的兩個半平面分別對應垂直，則這兩個二面角相等或互補。2n6

n2?n?2（答案不唯一）假命題。

4、5、c1·c2?cn

2三、1、（1）∵a2?b2?

2ab,a2?3?,b2?3?;將此三式相加得

2(a2?b2?3)?2ab??,∴a2?b2?3?aba?b).（2）要證原不等式成立，只需證（6+7）>（22+），即證242?240?！呱鲜斤@然成立, ∴原不等式成立.2、解：∵a?b?0,c?d?0,∴?c??d?0

∴a?c?b?d?0則

又∵e?0，∴2211? a?cb?dee? a?cb?dS

E

AC3、證明：如圖，作AE⊥SB于E.∵平面SAB⊥平面SBC，∴AE⊥平面SBC，（4分）∴AE⊥BC.（6分）

又∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，（8分）

∵SA?AE=A，SA?平面SAB，AE?平面SAB，∴BC⊥平面SAB，（10分）

∴AB⊥BC.（12分）B24、（1）證明：∵f(x)?x?px?q∴f(1)?1?p?qf(2)?4?2p?qf(3)?9?3p?q

所以

f(1)?f(3)?2f(2)

?(1?p?q)?(9?3p?q)?2(4?2p?q)

?

21111，則f(1)?,f(2)?,f(3)?，2222

111111即有??f(1)???f(2)???f(3)? 222222（2）假設f(1),f(2),f(3)都小于

∴?2?f(1)?f(3)?2f(2)?2

由（1）可知f(1)?f(3)?2f(2)?2，與?2?f(1)?f(3)?2f(2)?2矛盾，∴假設不成立，即原命題成立。

5、解：∵??(0,?

2)∴sin??0,cos??0則

112sin2??cos2??cos2?3222y?sin??cos???2sin??cos??cos???()223 124??()3?232722

4即y?23 9

222當且僅當2sin??cos??cos?，即tan??2時，等號成立。

23。（6分）422006、猜想：sin??cos(??30)?sin?cos(??30)?

1?cos2?1?cos(600?2?)sin(300?2?)?sin300

證明：sin??cos(??30)?sin?cos(??30)? ??2222200

cos(600?2?)?cos2?11?2sin(300?2?)sin300110?1??[sin(30?2?)?]?1??[sin(300?2?)?] 2222223113??sin(300?2?)?sin(300?2?)?4224