第一篇：高中數(shù)學(xué)選修2-2第二章推理與證明學(xué)案1,2

第二章推理與證明

2.1合情推理與演繹推理

2.1.1合情推理

學(xué)案編制張永國(guó)

目標(biāo)定位：

了解合情推理的含義（易混點(diǎn)）

理解歸納推理和類(lèi)比推理的含義，并能運(yùn)用它進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理（重點(diǎn)、難點(diǎn)）

了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用（難點(diǎn)）

一、自主學(xué)習(xí)：

歸納推理:

1.歸納推理:由某類(lèi)事物的_______對(duì)象具有某些特征,推出該類(lèi)事物的________對(duì)象________這些特征的推理,或者由_________概括出_______的推理,稱(chēng)為歸納推理.簡(jiǎn)言之,歸納推理是由________到_______、由_______到_______的推理.2.歸納推理的一般步驟:

第一步,通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)____________;

第二步,從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)能_______________.思考探究:

1.歸納推理的結(jié)論一定正確嗎?

2.統(tǒng)計(jì)學(xué)中,從總體中抽取樣本,然后用樣本估計(jì)總體,是否屬歸納推理?

類(lèi)比推理

1.類(lèi)比推理:由兩類(lèi)對(duì)象具有某些類(lèi)似特征和其中___________對(duì)象的某些已知特征,推出另一類(lèi)對(duì)象_________這些特征的推理.簡(jiǎn)言之,類(lèi)比推理是由_________到________的推理.2.類(lèi)比推理的一般步驟:

第一步:找出兩類(lèi)事物之間的________________;

第二步:用一類(lèi)事物的性質(zhì)去推理另一類(lèi)事物的性質(zhì),得出__________________.思考探究:

1.類(lèi)比推理的結(jié)論能作為定理應(yīng)用嗎?

2.(1)圓有切線,切線與圓只交于一點(diǎn),切點(diǎn)到圓心的距離等于半徑.由此結(jié)論如何類(lèi)比到球體?

(2)平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓.由此結(jié)論如何類(lèi)比得到空間的結(jié)論?

合情推理

1.定義:歸納推理和類(lèi)比推理都有是根據(jù)已有的事實(shí),經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想,再進(jìn)行歸納、類(lèi)比,然后提出猜想的推理,我們把它們統(tǒng)稱(chēng)為合情推理.簡(jiǎn)言之,合情推理就是合乎情理的推理.2.推理的過(guò)程:

→

→

思考探究:

1.歸納推理與類(lèi)比推理有何區(qū)別與聯(lián)系?

2.(1)由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形內(nèi)角和是180°,得出所有三角形內(nèi)角和都是180°;

(2)某次考試張軍成績(jī)是100分,得出全班同學(xué)成績(jī)都是100分.以上是否屬于合情推理?

二、典例剖析：

例1.根據(jù)下列條件,寫(xiě)出數(shù)列的前4項(xiàng),并歸納猜想它的通項(xiàng)公式.(1)a1= 0, an?1=an+(2n-1)(n∈N*);

(2)a1= 1, an?1=1 a(n∈N*).2n

自主解答:

方法技巧:

例2.已知橢圓具有性質(zhì):若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn),當(dāng)直線PM、PN的斜率kPM、kPN都存在時(shí),那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)的定

x2y

2值,試寫(xiě)出雙曲線2?2?1具有類(lèi)似的性質(zhì),并加以證明.ab

自主解答:

方法技巧:

三、學(xué)后總結(jié)反思.1.2演繹推理

學(xué)案編制張永國(guó)

目標(biāo)定位：

理解演繹推理的含義（重點(diǎn)）

掌握演繹推理的模式，會(huì)利用三段論進(jìn)行簡(jiǎn)單推理（重點(diǎn)、難點(diǎn)）

合情推理與演繹推理之間的區(qū)別與聯(lián)系

一、自主學(xué)習(xí)：

演繹推理的含義:

1.演繹推理是從一般性的原理出發(fā),推出_________的結(jié)論.演繹推理又叫_______推理.2.演繹推理的特點(diǎn)是_____________的推理.思考探究:

演繹推理的結(jié)論一定正確嗎?

演繹推理的模式

1.演繹推理的模式采用“三段論”:

(1)大前提——已知的___________(M是P);

(2)小前提——所研究的__________(S是M);

(3)結(jié)論——根據(jù)一般原理,對(duì)特殊情況做出的判斷(S是P).2.從集合的角度看演繹推理:

(1)大前提:x∈M且x具有性質(zhì)P;

(2)小前提：y∈S且S?M

(3)結(jié)論__________.思考探究:

1.把“函數(shù)y=x+2x-3的圖象是一條拋物線”作為結(jié)論,用三段論表示為:大前提:_________,小前提:______,結(jié)論___________.2.指出下面推理的大前提小前提及結(jié)論并判斷是否有錯(cuò)誤.無(wú)限小數(shù)是無(wú)理數(shù)，22=0.6666666…是無(wú)限小數(shù)，32是無(wú)理數(shù).3

演繹推理與合情推理

合情推理與演繹推理的關(guān)系:

(1)從推理形式上看,歸納是由________到_______個(gè)別到一般的推理,類(lèi)比是由_________到______的推理;演繹推理是由________到________的推理.(2)從推理所得的結(jié)論來(lái)看,合情推理的結(jié)論_____________,有待進(jìn)一步證明;演繹推理在_______和___________都正確的前提下,得到的結(jié)論一定正確.思考探究:

1.合情推理與演繹推理有什么聯(lián)系.2.指出下列推理的形式是什么?

(1)《論語(yǔ)》云:“名不正,則言不順;言不順,則事不成;事不成,則禮樂(lè)不興;禮樂(lè)不興,則刑罰不中;刑罰不中,則民不無(wú)所措手足;所以名不正,則民無(wú)所措手足.”

(2)金、銀、銅、鐵都能導(dǎo)電,金、銀、銅、鐵都是金屬,所以金屬都能導(dǎo)電.二、典例剖析：

例1.把下列演繹推理寫(xiě)成三段論的形式.①所有導(dǎo)體通電時(shí)發(fā)熱,鐵是導(dǎo)體,所以鐵通電時(shí)發(fā)熱;

②平行四邊形的對(duì)角線互相平分,菱形是平行四邊形,所以菱形的對(duì)角線互相平分； ③一次函數(shù)是單調(diào)函數(shù),函數(shù)y=3x-2是一次函數(shù),所以函數(shù)y=3x-2是單調(diào)函數(shù).自主解答:

方法技巧:

例2.如圖所示,D、E、F分別是BC、CA、AB邊上的點(diǎn),∠BFD=∠A,DE∥BA,求證:DE=AF.自主解答:

方法技巧:

例3.求證:函數(shù)?(x)=-x+2x在(-∞,1)上為增函數(shù).自主解答:

方法技巧:

三、學(xué)后總結(jié)反思：

第二篇：2014高中數(shù)學(xué)選修1-2推理與證明(文科班)

2014高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)選修1-2推理與證明專(zhuān)題講義（文科班）知識(shí)點(diǎn)：

1、歸納推理

把從個(gè)別事實(shí)中推演出一般性結(jié)論的推理,稱(chēng)為歸納推理(簡(jiǎn)稱(chēng)歸納).簡(jiǎn)言之,歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理。

歸納推理的一般步驟：

?通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)；

； ?從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般命題（猜想）

?

2、類(lèi)比推理

由兩類(lèi)對(duì)象具有某些類(lèi)似特征和其中一類(lèi)對(duì)象的某些已知特征，推出另一類(lèi)對(duì)象也具有這些特征的推理稱(chēng)為類(lèi)比推理（簡(jiǎn)稱(chēng)類(lèi)比）．

簡(jiǎn)言之，類(lèi)比推理是由特殊到特殊的推理.類(lèi)比推理的一般步驟：

?找出兩類(lèi)對(duì)象之間可以確切表述的相似特征；

?用一類(lèi)對(duì)象的已知特征去推測(cè)另一類(lèi)對(duì)象的特征，從而得出一個(gè)猜想； ?檢驗(yàn)猜想。

3、合情推理

歸納推理和類(lèi)比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類(lèi)比，然后提出猜想的推理.歸納推理和類(lèi)比推理統(tǒng)稱(chēng)為合情推理，通俗地說(shuō)，合情推理是指“合乎情理”的推理.4、演繹推理

從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，這種推理稱(chēng)為演繹推理． 簡(jiǎn)言之，演繹推理是由一般到特殊的推理.演繹推理的一般模式———“三段論”，包括

⑴大前提-----已知的一般原理；

⑵小前提-----所研究的特殊情況；

⑶結(jié)論-----據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷．

5、直接證明與間接證明 ⑴綜合法：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立.要點(diǎn)：順推證法；由因?qū)Ч?⑵分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.要點(diǎn)：逆推證法；執(zhí)果索因.⑶反證法：一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立.的證明方法.它是一種間接的證明方法.反證法法證明一個(gè)命題的一般步驟：(1)（反設(shè)）假設(shè)命題的結(jié)論不成立；

(2)（推理）根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理,直到導(dǎo)出矛盾為止；(3)（歸謬）斷言假設(shè)不成立；

(4)（結(jié)論）肯定原命題的結(jié)論成立.考題薈萃

1.下面使用類(lèi)比推理正確的是A.“若a?3?b?3,則a?b”類(lèi)推出“若a?0?b?0,則a?b” B.“若(a?b)c?ac?bc”類(lèi)推出“(a?b)c?ac?bc”

C.“若(a?b)c?ac?bc” 類(lèi)推出“

a?bc?ab

c?c

（c≠0）

” D.“（ab）n?anbn” 類(lèi)推出“（a?b）n

?an?bn”

2．右邊所示的三角形數(shù)組是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)現(xiàn)的，稱(chēng)為楊輝三角形，1 根據(jù)圖中的數(shù)構(gòu)成的規(guī)律，a所表示的數(shù)是（）

A．2B．41331C．6D．8

14a

411510105 3.用反證法證明命題“若整數(shù)系數(shù)一元二次方程ax

2?bx?c?0(a?0)有有理數(shù)根，那么

a,b,c中至少有一個(gè)是偶數(shù)時(shí)”下列條件假設(shè)中正確的是（）

A.假設(shè)a,b,c都是偶數(shù)B.假設(shè)a,b,c都不是偶數(shù)

C.假設(shè)a,b,c中至多有一個(gè)偶數(shù)D.假設(shè)a,b,c中至多有兩個(gè)偶數(shù) 4.若a,b,c滿足c?b?a，且ac?0，那么下列選項(xiàng)中不一定成立的是（）A.ab?ac

B.c(b?a)?0

C.cb2

?ca2

D.ac(a?c)?0

5．類(lèi)比平面內(nèi) “垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的性質(zhì)，可推出空間下列結(jié)論： ①垂直于同一條直線的兩條直線互相平行②垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行③垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行④垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面互相平行 則正確的結(jié)論是（）A．①②B．②③

C．③④

D．①④

6、當(dāng)n?1，2，3，4，5，6時(shí)，比較2n

和n

2的大小并猜想（）A.n?1時(shí)，2n

?n2

B.n?3時(shí)，2n

?n2

C.n?4時(shí)，2?nD.n?5時(shí)，2?n

7、已知x,y?R,則“xy?1”是“x?y?1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8、對(duì)“a,b,c是不全相等的正數(shù)”，給出兩個(gè)判斷：

n2n

222

①(a?b)?(b?c)?(c?a)?0；②a?b,b?c,c?a不能同時(shí)成立，下列說(shuō)法正確的是（）

A．①對(duì)②錯(cuò) C．①對(duì)②對(duì)

B．①錯(cuò)②對(duì)

D．①錯(cuò)②錯(cuò)

'

''

9.設(shè)f0(x)?sinx,f1(x)?f0(x)，f2(x)?f1(x),?,fn?1(x)?fn(x)，n∈N，則f2007(x)?

A.sinx B.－sinx C.cosx D.－cosx 10.下面幾種推理是類(lèi)比推理的是（）

同旁內(nèi)角互補(bǔ)，如果∠A和∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，則∠A+A.兩條直線平行，∠B=1800

B.由平面三角形的性質(zhì)，推測(cè)空間四邊形的性質(zhì)

C.某校高二級(jí)有20個(gè)班，1班有51位團(tuán)員，2班有53位團(tuán)員，3班有52位團(tuán)員，由此可以推測(cè)各班都超過(guò)50位團(tuán)員.D.一切偶數(shù)都能被2整除，2100是偶數(shù)，所以2100能被2整除.11．如果f(a?b)?f(a)f(b)且f(1)?2,則

A．

f(2)f(4)f(6)

???()． f(1)f(3)f(5)

5B．

5

C．6 D．8

2f(x)，猜想f(x）的表達(dá)式為,f(1)?1（x?N*）

f(x)?24212

A.f(x)?xB.f(x)?C.f(x)?D.f(x)?

2?2x?1x?12x?

113.已知f(x?1)?

14．若a＞b＞0，則下列不等式中總成立的是()

11bb＋1A．a(chǎn)＋b．

baaa＋1112a＋baC．a(chǎn)＋b．a(chǎn)ba＋2bb

16.有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎(jiǎng)，有人走訪了四位歌手，甲說(shuō)：

“是乙或是丙獲獎(jiǎng)?！币艺f(shuō)：“甲、丙都未獲獎(jiǎng)?！北f(shuō)：“我獲獎(jiǎng)了。”丁說(shuō)：“是乙獲獎(jiǎng)了?！彼奈桓枋值脑捴挥袃删涫菍?duì)的，則獲獎(jiǎng)歌手是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

17．觀察下列的圖形中小正方形的個(gè)數(shù)，則第6個(gè)圖中有個(gè)小正方形

.18．觀察下列式子：

1121341

5?2?3，?3?4，?4?5，?5?6，?，歸納得出一

2411233

4般規(guī)律為．

19、一同學(xué)在電腦中打出如下若干個(gè)圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●?若將此若干個(gè)圈依此規(guī)律繼續(xù)下去,得到一系列的圈,那么在前120個(gè)圈中的●的個(gè)數(shù)是。

20.類(lèi)比平面幾何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的兩邊AB、AC互相垂直，則三角形三邊長(zhǎng)之間滿足關(guān)系：AB?AC?BC。若三棱錐A-BCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則三棱錐的側(cè)面積與底面積之間滿足的關(guān)系

為.21.在數(shù)列?an?中，a1?1,an?1?是．

2an

n?N*?,猜想這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式?an?2

22，平面內(nèi)2條相交直線最多有1個(gè)交點(diǎn)；3條相交直線最多有3個(gè)交點(diǎn)；試猜想：n條相交直線最多把有____________個(gè)交點(diǎn)

23，.從1?1，可得到一般規(guī)律為(用2?3?4?3，3+4+5+6+7=5中，數(shù)學(xué)表達(dá)式表示),24．將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：23 456 78910 ． ． ． ． ． ． ．

按照以上排列的規(guī)律，第n 行（n?3）從左向右的第3個(gè)數(shù)為．

25．若0?a?1,0?b?1，且a?b，則在a?b,2ab,a?b,2ab中最大的是________．

26．已知：sin230??sin290??sin2150??

222

sin25??sin265??sin2125??

27．已知a,b,c均為實(shí)數(shù)，且a?x?2y?求證：a,b,c中至少有一個(gè)大于0.2

通過(guò)觀察上述兩等式的規(guī)律，請(qǐng)你寫(xiě)出一般性的命題，并給出的證明.?,b?y2?2z?

?,c?z2?2x?

?

6，

第三篇：高中數(shù)學(xué)選修1-2第二章推理與證明練習(xí)題[范文模版]

）

心之所愿，無(wú)事不成。

高二文科數(shù)學(xué)選修1--2編寫(xiě)：校審： 【江西文5】觀察下列事實(shí)|x|+|y|=1的不同整數(shù)解（x,y）的個(gè)數(shù)為4，|x|+|y|=2的不同整數(shù)解（x,y）的個(gè)數(shù)為8，|x|+|y|=3的不同整數(shù)解（x,y）的個(gè)數(shù)為12 ….則|x|+|y|=20的不同整數(shù)解（x，y）的個(gè)數(shù)為(B)

A.76B.80C.86D.92 【福建文20】20.（本小題滿分13分）

某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)。（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°

（4）sin2（-18°）+cos248°-sin2（-18°）cos248°（5）sin2（-25°）+cos255°-sin2（-25°）cos255° Ⅰ 試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)

Ⅱ 根據(jù)（Ⅰ）的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論。

高二文科數(shù)學(xué)選修1-2（）心之所愿，無(wú)事不成。

【上海文18】若Sn?sin）

A、16B、72C、86D、100 【天津理】對(duì)實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“?”：a?b??

7?sin

?...?sinn?N?），則在S1,S2,...,S100中，正數(shù)的個(gè)數(shù)是（C 77

?a,a?b?1,設(shè)函數(shù)

?b,a?b?1.f(x)??x2?2???x?x2?,x?R.若函數(shù)y?f(x)?c的圖像與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是

A．???,?2????1,?

??3?2?

B．???,?2????1,??

??3?4?

C．??1,???,???D．??1,????,???

??1??14??4????3??14??4??

（山東理15）設(shè)函數(shù)f(x)?

x

(x?0),觀察: x?

2f1(x)?f(x)?

x,x?2

f2(x)?f(f1(x))?f3(x)?f(f2(x))?

f4(x)?f(f3(x))?

x,3x?4 x,7x?8

x,15x?16

??

根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：

當(dāng)n?N*且n?2時(shí)，fn(x)?f(fn?1(x))（陜西理13）觀察下列等式

1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49

??

照此規(guī)律，）心之所愿，無(wú)事不成。

高二文科數(shù)學(xué)選修1--2編寫(xiě)：校審： 則(??r2)?＝2?r○1，○1式可以用語(yǔ)言敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長(zhǎng)函數(shù)。對(duì)于半徑為R的球，若將R看作(0，＋∞)上的變量，請(qǐng)你寫(xiě)出類(lèi)似于○1的式子：○2

（太原模擬）若把正整數(shù)按下圖所示的規(guī)律排序，則從2002到2004年的箭頭方向依次為()

1458912?

【湖北理】回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù)．如22，121，3443，94249等．顯然2位回文數(shù)有9個(gè)：11，22，33，?，99．3位回文數(shù)有90個(gè)：101，111，121，?，191，202，?，999．則

（Ⅰ）4位回文數(shù)有個(gè)；

（Ⅱ）2n?1(n?N?)位回文數(shù)有909?10n 【江西理6】觀察下列各式：

A.B.C.a?b?1,a2?b2?3,a3?b3?4,a4?b4?7,a5?b5?11,?則a10?b10?（C）

A．28B．76C．123D．199

【必修五P32、斐波那契數(shù)列】1、1、2、3、5、8、（）13、21、34、55

[·福建卷] 在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“類(lèi)”，記為[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.給出如下四個(gè)結(jié)論：

①∈[1]； ②－3∈[3]；

③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；

④“整數(shù)a，b屬于同一‘類(lèi)’”的充要條件是“a－b∈[0]”． 其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．4

[·江西卷] 觀察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，?，則7的末兩位數(shù)字為()

A．01B．43C．07D．49

高二文科數(shù)學(xué)選修1-2（）心之所愿，無(wú)事不成。

第四篇：高中數(shù)學(xué)選修2-2推理與證明復(fù)數(shù)期末復(fù)習(xí)學(xué)案

專(zhuān)題復(fù)習(xí)推理與證明、復(fù)數(shù)

一、基礎(chǔ)知識(shí)

1．推理：根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷來(lái)確定一個(gè)新的判斷的思維過(guò)程。推理一般分為合情推理與演繹

推理兩類(lèi)。

25．間接證明

定義：要證明某一結(jié)論Q是正確的，但不直接證明，而是先去假設(shè)（即Q的反面非Q是正

確的），經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)非Q是錯(cuò)誤的，從而斷定結(jié)論Q是正確的的證明方法。6.數(shù)學(xué)歸納法

證明一個(gè)與正整數(shù)n 有關(guān)的命題，可按以下步驟：(1)證明當(dāng)n取n0時(shí)命題成立；（歸納奠基）

(2)假設(shè)n=k(k≥n0)時(shí)命題成立，證明n=k＋1時(shí)命題也成立。（歸納遞推）完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立。這種證明方法就是數(shù)學(xué)歸納法。然后提出猜想的推理，把它們通稱(chēng)合情推理。3．演繹推理

定義：從出發(fā)，推出某個(gè)下的結(jié)論的推理。特點(diǎn)：由到。模式：三段論——演繹推理的一般模式

“三段論”的結(jié)構(gòu)：大前提——已知的；小前提——所研究的；

結(jié)論——根據(jù)一般原理，對(duì)做出的判斷。“三段論”的表示：大前提：；小前提：；結(jié)論：S是P。

4二、典型例題已知函數(shù)f(x)=x

2例1?x2。

(1)分別求f(2)＋f(12)、f(3)＋f(1

3)、f(4)＋f（14)的值；

(2)歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明；

(3)求值：f(1)＋f(2)＋f(3)＋?＋f(201

2)＋f(1)＋f(1)＋?＋f(1

32012)。

例2．已知a??1，求證方程：ax2?4ax?4a?3?0,x2?(a?1)x?a2?0,x2

?2ax?2a?0至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根。

中

例3已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a21=－

3，S1n＋S＋2=an(n≥2)，計(jì)算S1、S2、S3、S4，n

并猜想Sn的表達(dá)式。

例4（1）（2014山東理）已知a,b?R,i是虛數(shù)單位，若a?i與2?bi互為共軛復(fù)數(shù)，則(a?bi)

2（2）（2014浙江理）已知a,b?R,i是虛數(shù)單位，則“a?b?1”是“(a?bi)2?2i”的條件；

（3）（2014遼寧理）若已知(z?2i)(z?i)?5,則z?

（4）（2014重慶理）復(fù)平面內(nèi)表示i(1?2i)的點(diǎn)位于第象限

達(dá)標(biāo)練習(xí)

1.下面幾種推理是合情推理的是：

①由圓的性質(zhì)類(lèi)比推出球的有關(guān)性質(zhì)；②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是1800，歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是1800

；③某次考試張軍的成績(jī)是100分，由此推出全班同學(xué)的成績(jī)都是100分；④三角形內(nèi)角和是1800，四邊形內(nèi)角和是3600，五邊形的內(nèi)角和是5400，得出凸n邊形內(nèi)角和是(n-2)·1800

.()A.①②

B.①③④

C.①②④

D.②④

2．下面使用類(lèi)比推理恰當(dāng)?shù)氖?--------（）A．“若a·3＝b·3，則a＝b”類(lèi)推出“若a·0＝b·0，則a＝b”

B．“(a＋b)c＝ac＋bc”類(lèi)推出“a＋bab

c＝cc”

C．“(a＋b)c＝ac＋bc”類(lèi)推出“a＋bc＝acb

c

(c≠0)”

D．“(ab)n＝anbn”類(lèi)推出“(a＋b)n＝an＋bn”

3．觀察(x2)/=2x，(x4)/=4x3，(cosx)/

=－sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)=f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(－x)= A.f(x)B.－f(x)C.g(x)D.－g(x)

4.若大前提是：任何實(shí)數(shù)的平方都大于0，小前提是：a ?R，結(jié)論是：a2

>0，那么這個(gè)演繹推理出錯(cuò)在()A.大前提

B.小前提

C.推理過(guò)程

D.其他

5．有一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是真分?jǐn)?shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是真分?jǐn)?shù)”，結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，因?yàn)?)

A．大前提錯(cuò)誤B．小前提錯(cuò)誤C．推理形式錯(cuò)誤D．不是以上錯(cuò)誤

6.用反證法證明命題“若a2

+b2

+c2

?0，則a,b,c不全為零”反設(shè)正確的是()

A.a,b,c全不為零B.a,b,c全為零 C.a,b,c恰有一個(gè)為零 D.a,b,c至少有一個(gè)為零 7.用反證法證明“關(guān)于x的方程ax=b（a≠0）有且只有一個(gè)根”時(shí)，應(yīng)該假設(shè)方程（）A.無(wú)解B.兩解C.至少兩解D.無(wú)解或至少兩解

8.（2014山東理）用反證法證明命題“設(shè)a,b?R,則方程x2

?ax?b?0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)要做的假設(shè)是（）

A.方程x2

?ax?b?0沒(méi)有實(shí)根B.方程x2?ax?b?0至多有一個(gè)實(shí)根 C.方程x2

?ax?b?0至多有兩個(gè)實(shí)根D.方程x2

?ax?b?0恰好有兩個(gè)實(shí)根 9.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1＋2＋3＋?＋(n＋3)(n＋3)(n＋4)2(n∈N*)時(shí)，驗(yàn)證n＝1，左邊應(yīng)取的項(xiàng)是()

A．1 B．1＋2C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋4 10．用數(shù)學(xué)歸納法證明(n?1)(n?2)

(n?n)?2n··13··(2n?1)，從k到k?1，左邊需要增乘的代數(shù)式

為（）A．2k?1

B．2(2k?1)C．

2k?1

k?1

D．

2k?3

k?1

11.若復(fù)數(shù)z2

1??1?i?,z2?1?i，則復(fù)數(shù)z?

z1

z的共軛．．復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的（）2

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

12.z?21?m?m?1???m2?m?4?

i,m?R，z2?3?2i,則m?1是z1?z2的------------（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件

13.已知z?則1?z50?z100?-----------------------（）

A.3B.1C.2?iD.i 14.已知n∈N1＋，證明1－2＋13－14＋?＋12n?1－12n=1n?1＋1n?2＋?＋12n。

第五篇：高中數(shù)學(xué)推理與證明測(cè)試題

高中數(shù)學(xué)推理與證明測(cè)試題

山東淄博五中孫愛(ài)梅

一 選擇題（5×12=60分）

1.如下圖為一串白黑相間排列的珠子，按這種規(guī)律往下排起來(lái)，那么第36顆珠子應(yīng)是什

么顏色的（）

A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大

2．“所有9的倍數(shù)（M）都是3的倍數(shù)（P），某奇數(shù)（S）是9的倍數(shù)（M），故某奇數(shù)（S）

是3的倍數(shù)（P）.”上述推理是（）

A．小前提錯(cuò)B．結(jié)論錯(cuò)C．正確的D．大前提錯(cuò)

3．F（n）是一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的命題，若F（k）（k∈N＋）真，則F（k＋1）真，現(xiàn)已知F

（7）不真，則有：①F（8）不真；②F（8）真；③F（6）不真；④F（6）真；⑤F（5）不

真；⑥F（5）真.其中真命題是（）

A．③⑤B．①②C．④⑥D(zhuǎn)．③④

4.下面敘述正確的是（）

A．綜合法、分析法是直接證明的方法B．綜合法是直接證法、分析法是間接證法

C．綜合法、分析法所用語(yǔ)氣都是肯定的 D．綜合法、分析法所用語(yǔ)氣都是假定的5．類(lèi)比平面正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可知正四面體的下列哪些性質(zhì)，你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖牵ǎ?/p>

① 各棱長(zhǎng)相等，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等；

② 各個(gè)面都是全等的正三角形，相鄰兩個(gè)面所成的二面角都相等；

③ 各個(gè)面都是全等的正三角形，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等。

A．①B．①②C．①②③D．③

6．（05·春季上海，15）若a，b，c是常數(shù)，則“a＞0且b2－4ac＜0”是“對(duì)x∈R，有ax

2＋bx＋c＞0”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．不充分不必要條件

17．（04·全國(guó)Ⅳ，理12）設(shè)f（x）（x∈R）為奇函數(shù)，f（1）＝，f（x＋2）＝f（x）＋f2

（2），f（5）＝（）

5A．0B．1C．D．5 2

111118．設(shè)S（n）＝ ＋ ＋ ＋＋?＋，則（）nn＋1n＋2n＋3n11A．S（n）共有n項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，S（2＋

311

1B．S（n）共有n＋1項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，S（2）＝＋ ＋

234111

C．S（n）共有n2－n項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，S（2 ＋＋

234111

D．S（n）共有n2－n＋1項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，S（2 ＋＋

4x

9．在R上定義運(yùn)算⊙：x⊙y＝，若關(guān)于x的不等式（x－a）⊙（x＋1－a）＞0的解集

2－y是集合｛x｜－2≤x≤2，x∈R｝的子集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．－2≤a≤2B．－1≤a≤1C．－2≤a≤1D．1≤a≤2

10．已知f（x）為偶函數(shù)，且f（2＋x）＝f（2－x），當(dāng)－2≤x≤0時(shí)，f（x）＝2，若n∈N，an＝f（n），則a2006＝（）

A．2006B．4C．D．－4

11．函數(shù)f（x）在［－1，1］上滿足f（－x）＝－f（x）是減函數(shù)，α、β是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，且α≠β，則下列不等式中正確的是（）A．f（sinα）＞f（sinβ）B． f（cosα）＞f（sinβ）C．f（cosα）＜f（cosβ）D．f（sinα）＜f（sinβ）

12．有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎(jiǎng)，有人走訪了四位歌手，甲說(shuō)：“是乙或丙獲獎(jiǎng)”，乙說(shuō)：“甲、丙都未獲獎(jiǎng)”，丙說(shuō)：“我獲獎(jiǎng)了”，丁說(shuō)：“是乙獲獎(jiǎng)”。四位歌手的話只有兩名是對(duì)的，則獎(jiǎng)的歌手是（）A．甲B．乙C．丙D．丁

二 填空題（4×4=16分）13．“開(kāi)心辭典”中有這樣的問(wèn)題：給出一組數(shù)，要你根據(jù)規(guī)律填出后面的第幾個(gè)數(shù)，現(xiàn)給1131

5出一組數(shù)：,-，-，它的第8個(gè)數(shù)可以是。

228

43214．在平面幾何里有射影定理：設(shè)△ABC的兩邊AB⊥AC，D是A點(diǎn)在BC邊上的射影，則AB2=BDBC.拓展到空間,在四面體A—BCD中，DA⊥面ABC，點(diǎn)O是A在面BCD內(nèi)的射影，且O在面BCD內(nèi)，類(lèi)比平面三角形射影定理，△ABC，△BOC，△BDC三者面積之間關(guān)系為。

15．（05·天津）在數(shù)列｛an｝中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋（－1）n，n∈N*，S10＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.16．（05黃岡市一模題）當(dāng)a0，a1，a2成等差數(shù)時(shí)，有a0－2a1＋a2＝0，當(dāng)a0，a1，a2，a3成等差數(shù)列時(shí)，有a0－3a1＋3a2－a3＝0，當(dāng)a0，a1，a2，a3，a4成等差數(shù)列時(shí)，有a0－4a

1012

＋6a2－4a3＋a4＝0，由此歸納：當(dāng)a0，a1，a2，?，an成等差數(shù)列時(shí)有Cna0－Cna1＋Cna2－?＋Cnnan＝0.如果a0，a1，a2，?，an成等差數(shù)列，類(lèi)比上述方法歸納出的等式為＿＿＿。三 解答題（74分）已知△ABC中，角A、B、C成等差數(shù)列，求證：18．若a、b、c均為實(shí)數(shù)，且a＝x2－2x＋

*

x

.11

3+=（12分）a+bb+ca+b+c

πππ

b＝y(tǒng)2－2y＋c＝z2－2z＋，求證：a、b、236

c中至少有一個(gè)大于0.（12分）

19．?dāng)?shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和記為Sn，已知a1＝1，an＋1n＋

2n（n＝1，2，3，?）.n

Sn

證明：⑴數(shù)列｛Sn＋1＝4an.（12分）

n

20．用分析法證明：若a＞0，則

a22≥a＋－2.(12分)

aa

121．設(shè)事件A發(fā)生的概率為P，若在A發(fā)生的條件下B發(fā)生概率為P′，則由A產(chǎn)生B的概率為P·P′.根據(jù)這一事實(shí)解答下題.一種擲硬幣走跳棋的游戲：棋盤(pán)上有第0、1、2、?、100，共101站，一枚棋子開(kāi)始在第0站（即P0＝1），由棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動(dòng)一次.若硬幣出現(xiàn)正面則棋子向前跳動(dòng)一站，出現(xiàn)反面則向前跳動(dòng)兩站.直到棋子跳到第99站（獲勝）或第100站（失?。r(shí)，游戲結(jié)束.已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率相同，設(shè)棋子跳到第到第n站時(shí)的概率為Pn.（1）求P1，P2，P3；

（2）設(shè)an=Pn－Pn－1（1≤n≤100），求證：數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列(12分)

ACAE22．(14分)在ΔABC中（如圖1），若CE是∠ACB ＝.其證明過(guò)程：

BCBE作EG⊥AC于點(diǎn)G，EH⊥BC于點(diǎn)H，CF⊥AB于點(diǎn)F

∵CE是∠ACB的平分線，∴EG＝EH.又∵

ACAC·EGSΔAEC

＝，BCBC·EHSΔBEC

AEAE·CFSΔAEC＝＝，BEBE·CFSΔBEC∴

ACAE＝.BCBE

（Ⅰ）把上面結(jié)論推廣到空間中：在四面體A－BCD中（如圖2），平面CDE是二面角A－CD－B的角平分面，類(lèi)比三角形中的結(jié)論，你得到的相應(yīng)空間的結(jié)論是＿＿＿＿＿＿

（Ⅱ）證明你所得到的結(jié)論.B HC

圖

1A

A G

B

圖

2h11C

答案：

一 1 A 2 C 3 A 4 A 5 C 6 A 7 C 8 D ９Ｃ１０Ｃ １１Ｂ １２ C

πππ分析：因?yàn)殇J角三角形，所以α+β＞，所以0＜-α＜β＜，222

π

sin（-α）＜sinβ，0＜cosα＜sinβ＜1，函數(shù)f（x）在［－1，1］上滿足是減函數(shù)

所以f（cosα）＞f（sinβ）。12分析：先猜測(cè)甲、乙對(duì)，則丙丁錯(cuò)，甲、乙可看出乙獲獎(jiǎng)則丁不錯(cuò)，所以丙丁中必有一個(gè)是對(duì)的，設(shè)丙對(duì)，則甲對(duì)，乙錯(cuò)，丁錯(cuò).∴答案為C.1.二 13-14（S△ABC）2= S△BOC S△BDC15.3

3216a

00n

C

·a

1－C

1n

·a2 n·?·an（－1）nn＝1.2C

C

n

［解析］解此題的關(guān)鍵是對(duì)類(lèi)比的理解.通過(guò)對(duì)所給等差數(shù)列性質(zhì)的理解，類(lèi)比去探求等比數(shù)列相應(yīng)的性質(zhì).實(shí)際上，等差數(shù)列與等比數(shù)列類(lèi)比的裨是運(yùn)算級(jí)別的類(lèi)比，即等差數(shù)列中的“加、減、乘、除”與等比數(shù)列中的“乘、除、乘方、開(kāi)方”相對(duì)應(yīng).三 解答題

317(分析法)要證+=

a+bb+ca+b+c

a+b+ca+b+c需證:+ =3

a+bb+c

即證:c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c)即證:c2+a2=ac+b

2因?yàn)椤鰽BC中，角A、B、C成等差數(shù)列,所以B=600,由余弦定理b2= c2+a2-2cacosB 即b= c+a-ca 所以c+a=ac+b

3因此 + =

a+bb+ca+b+c(反證法).證明：設(shè)a、b、c都不大于0，a≤0，b≤0，c≤0，∴a＋b＋c≤0，πππ

而a＋b＋c＝（x2－2y）＋（y2－2z＋z2－2x＋

236

＝（x－2x）＋（y－2y）＋（z－2z）＋π＝（x－1）＋（y－1）＋（z－1）＋π－3，∴a＋b＋c＞0，這與a＋b＋c≤0矛盾，故a、b、c中至少有一個(gè)大于0.19(綜合法)．證明：⑴由an＋1

2222222

n＋2

n，而an＋1＝Sn＋1－Sn得 n

Sn＋

1n＋12（n＋1）n＋1Sn∴Sn＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1Sn＝2，∴數(shù)列｛｝為等比數(shù)列.nnSnn

n

SnSn＋1Sn－14an（n－1）⑵由⑴知｛2，∴＝4·，∴Sn＋1＝4an.nn＋1n－1n－1n＋120(分析法).證明：要證

a2＋2－≥a＋2，只需證

aa

a22＋2≥a＋aa

∵a＞0，∴兩邊均大于零，因此只需證（a2＋22）2≥（a＋）2，aa

只需證a2＋24＋

4a

a2＋2≥a2＋22＋2（a＋，aaa

a2＋2≥（a＋，只需證a2＋2≥（a2＋2＋2），a2aa2aa

即證a2＋2≥2，它顯然是成立，∴原不等式成立.111131131

521.（1）解:P0＝1，∴P1＝, P2× ＋＝，P3＝ ×＋× ＝.2222422428

（2）證明:棋子跳到第n站，必是從第n－1站或第n－2站跳來(lái)的（2≤n≤100），所以Pn

Pn－1Pn－2

∴Pn－Pn－1＝－Pn－1＋Pn－1 Pn－2=（Pn－1－Pn－2），22211

∴an=－an－1（2≤n≤100），且an＝P1－P0.22

故｛an｝是公比為－，首項(xiàng)為－的等比數(shù)列（1≤n≤100）.2222．結(jié)論:

SΔACDSΔAECSΔACDSΔAEDAESΔACD＝ 或 ＝SΔBCDBESΔBCDSΔBECSΔBCDSΔBED

證明：設(shè)點(diǎn)E是平面ACD、平面BCD的距離分別為h1，h2，則由平面CDE平分二面角A－CD－B知h1＝h2.又∵

SΔACDh1SΔACDVA－CDE

＝ SΔBCDh2SΔBCDVB－CDE

VA－CDEAESΔAEDVC－AED ＝ ＝BESΔBEDVC－BEDVB－CDESΔACDAE∴ ＝SΔBCDBE

A G

B

C

2圖2 A hB HC

圖1