第一篇：選修2-2第二章推理與證明檢測專題

選修2-2第二章推理與證明姓名評價

1、下列表述正確的是

①歸納推理是由部分到整體的推理;②歸納推理是由一般到一般的推理;③演繹推理是由一般到特殊的推理;④類比推理是由特殊到一般的推理;⑤類比推理是由特殊到特殊的推理.A.①②③B.②③④C.②④⑤D.①③⑤.2、分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使結(jié)論成立的A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.等價條件

3.證明命題"f(x)?ex?x在(0,??)上是增函數(shù)”，一個同學的證法如下：

e

11x?f'(x)?e?exex

?x?0?ex?1,0?x?1

e

?ex?x?0,即f'(x)?0

e?f(x)?ex?

8.觀察式子:1?

A.1?

131151117??1???1????，則可歸納出式子為 ，***

11111111?????(n≥2)1??????(n≥2)B.2232n22n?12232n22n?11112n?11112n

(n≥2)(n≥2)D.1?2?2???2?C.1?2?2???2?

23n2n?123nn

9.根據(jù)給出的數(shù)塔猜測123456?9?7?

1?9?2?1112?9?3?111123?9?4?11111234?9?5?11111 12345?9?6?111111......?f(x)?ex?

在(0,??)上是增函數(shù),他使用的證法是（）ex

A.綜合法B.分析法C.反證法D.以上皆非

4.要證明a ＋a＋7 a＋3 ＋a＋4(a≥0)可選擇的方法有多種，其中最合理的是

A.綜合法B.分析法C.反證法D.類比法 5.有一段演繹推理是這樣的:

因為指數(shù)函數(shù)y＝ax是增函數(shù)(大前提)

而y＝(2)x是指數(shù)函數(shù)(小前提)

所以y＝(2)x是 增函數(shù)(結(jié)論)

推理的結(jié)論顯然是錯誤的,這是因為

A.大前提錯誤B.小前提錯誤C.推理形式錯誤D.非以上錯誤 6．用反證法證明命題“三角形的三個內(nèi)角中至少有一個大于等于60°”時。反設正確的是

A.三個內(nèi)角都小于60°B.三個內(nèi)角都大于60°C.三個內(nèi)角中至多有一個大于60°D.三個內(nèi)角中至多有兩個大于60° 7.分析法又稱“執(zhí)果索因法”，若用分析法證明：“設a＞b＞c,且a＋b＋c＝0，求證b－ac ＜3 a”索的因應是 A.a－b＞0B.a－c＞0C.(a－b)(a－c)＞0D.(a－b)(a－c)＜0

A.1111110B.1111111C.1111112D.1111113

10.觀察(x2)′＝2x,(x4)′＝4x3,(cosx)′＝－sinx,由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x),記g(x)為f(x)的導函數(shù)，則g(－x)＝

A.f(x)B.－f(x)C.g(x)D.－g(x)

11.三角形的面積S＝2(a＋b＋c)·r,(a,b,c為三角形的邊長，r為三角形內(nèi)切圓的半徑)，利用類比推理，可以得到四面體的體積為

A.V ＝3abcB.V ＝3Sh

C.V ＝3(S1＋S2＋S3＋S4)·r ,S1,S2,S3 ,S4為四面體四個面的面積，r為四面體內(nèi)切球的半徑)

D.V ＝3(ab＋bc＋ac)·h

12.類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推出正四面體的下列哪些性質(zhì)，你認為比較恰當?shù)氖?/p>

①各棱長相等，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等；

②各個面都是全等的正三角形，相鄰兩個面所成的二面角都相等； ③各個面都是全等的正三角形，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等 A．①；B．①②；C．①②③；D．③ 13.觀察下式，從中歸納出一般性的結(jié)論

1＝122＋3＋4＝323＋4＋5＋6＋7＝52

4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72

5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92

………….由上式推測第n個等式為

選修2-2第二章推理與證明姓名評價

14.觀察①sin2100?cos2400?sin100cos400?;

②sin260?cos2360?sin60cos360?.兩式的結(jié)構(gòu)特點可提出一個猜想的等式為15.[n ]表示不超過n 的最大整數(shù).S1＝[1 ]＋[2 ]＋[3 ]＝3,S2＝[4 ]＋[5 ]＋[6 ]＋[7 ]＋[8 ]＝10,S2＝[9 ]＋[10 ]＋[11 ]＋12 ]＋13 ]＋14 ]＋15 ]＝21, ………….那么Sn＝

16.半徑為r的圓的面積S(r)??r2,周長C(r)?2?r,若將r看作(0,??)上的變量，則(?r2)'?2?r①，①式可用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的導數(shù)等于圓的周長函數(shù)。對于半徑為R的球，若將R看作(0,??)上的變量，請你寫出類似于①式的式子：，你所寫的式子可用語言敘述為：

17.用分析法證明：2 －6 ＜3 －7

a＋blga＋lgb

18.用綜合法證明：如果a,b＞0,則lg2≥

19.用三段論的形式證明：f(x)＝x3＋x(x∈R)為奇函數(shù).ab

20.已知a,b是正實數(shù)，求證：b ＋ a≥a ＋b

21.在△ABC中，a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C的對邊，且A,B,C成等差數(shù)列，a,b,c成等比數(shù)列，求證△ABC為等邊三角形.22.觀察①tan10°·tan20°＋tan20°·tan60°＋tan60°·tan10°＝1

②tan5°·tan10°＋tan10°·tan75°＋tan75°·tan5°＝1

兩式的結(jié)構(gòu)特點可提出一個一般規(guī)律的等式，并證明你的結(jié)論.選修2-2第二章 數(shù)學歸納的法姓名評價

1.用框圖表示數(shù)學歸納法的步驟

2.用數(shù)學歸納法證明1?111

2?3?...?2n

?1

?n(n?N*,n?1)時，第一步應驗證不等式 A.1?12?2B.1?12?13?2C.1?111112?3?3D.1?2?3?4

?3

3.用數(shù)學歸納法證明 “

11?2?12?3?13?4?...?1n?(n?1)?nn?1

(n?N*)”的過程中,由n?k遞推到n?k?1時,等式的左邊需要增添的項是()

A.1k(k?1)B.1k(k?1)?1

(k?1)(k?2)

C.11k(k?2)

D.(k?1)(k?2)

4.用數(shù)學歸納法證明不等式“

1n?1?1n?2???12n?13

(n?2)”時的過程中,由n?k遞推到n?k?1時,不等式的左邊()

A.增加了一項

12(k?1)B.增加了兩項11

2k?1?

2(k?1)C.增加了兩項11

2k?1?

2(k?1),又減少了一項1

k?1 D.增加了一項12(k?1),又減少了一項1

k?1

5.用數(shù)學歸納法證明111?3?

3?5?...?1(2n?1)(2n?1)?n

2n?1

(n?N*)

6.在數(shù)列{a2an

n}中，a1?1,an?1?

2?a(n?N*)，n

（1）計算a2，a3，a4，a5猜想數(shù)列{an}的通項公式；

（2）用數(shù)學歸納法證明你的猜想

7.在數(shù)列{an}中, a1＝1且Sn＝n2·an,n∈N*

(1)計算a2，a3，a4，a5猜想數(shù)列{an}的通項公式；（2）用數(shù)學歸納法證明你的猜想.8.用數(shù)學歸納法證明:

對一切大于1的自然數(shù),不等式(1＋11)(1＋5)·····(1＋1

2k＋2n－1)＞12 均成立

第二篇：數(shù)列與推理證明檢測題

2013屆高三寒假作業(yè)數(shù)學章節(jié)檢測(5)

一 選擇題

()

2．已知等差數(shù)列?an?的前項和為Sn，若M,N,P三點共線，O為坐標原點，且?????????ON?aOM?1

5????

aO(P直線MP不過點O)，則S20等于（）6

A．15B．10C．40D．20

3．數(shù)列{an}中，a1?a2?1,an?2?an?1?an對所有正整數(shù)n都成立，則a10等于()A.3

4B.55

C.89

D.100

24．若數(shù)列{an}中an??n?6n?

7，則其前n項和Sn取最大值時，n?（）

A．3Ｂ．6Ｃ．7

Ｄ．6或7 5．已知數(shù)列?an?

a20=（）

A.0?

6．數(shù)列?an?滿足：an?2?an?1-an（n?N），且a2?1，若數(shù)列的前2011項之和為2012，則前2012項的和等于

A．0B． 1C．2012 7．用正偶數(shù)按下表排列

D．201

3則2008在第行第列.（）A．第 251 行第 5 列 B．第 251 行第 1列

C．第 250 行第 3 列

D．第 251 行第 5 列或第 252 行第 5列

8．黑白兩種顏色的正六形地面磚塊按如圖的規(guī)律拼成若干個圖案，則第五個圖案中有白色地面磚（）塊.A.21B.22C.20D.23

9．某個命題與正整數(shù)有關，若當n?k(k?N*)時該命題成立，那么可推得當n?k?1時該命題也成立，現(xiàn)已知當n?5時該命題不成立，那么可推得()

A、當n?6時，該命題不成立

C、當n?4時，該命題成立 10． 設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，稱Tn為數(shù)列a1，a2，?，an

a1，的“理想數(shù)”，已知數(shù)列a1，a2，??，a502的“理想數(shù)”為2012，那么數(shù)列2，?，a2，a502的“理想數(shù)”為（）

A．2010B．2011C．2012D．201

311．一同學在電腦中打出如下若干個圓：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●?，若依此規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列的圓，則在前2 012個圓中共有●的個數(shù)是（）A．61B．6

2【答案】A

C．63D．6

412．已知數(shù)列?an?的通項為an?

2n?1，Sn為數(shù)列?

an?的前n

數(shù)列

?bn?的前n項和的取值范圍為()

A二 填空題

．設等差數(shù)列?an?的前n項和為Sn，若a1?0，S5?S12，則當Sn取得最大值時，n的值為14n項和Sn

15．若{an}是遞增數(shù)列λ對于任意自然數(shù)n,an?n??n恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍是

【答案】λ>－3

15數(shù)列?a

n?中，Sn?n,某三角形三邊之比為a2:a3:a4，則該三角形最大角為

16在Rt△ABC中，CA⊥CB，斜邊AB上的高為h1圖，在四面體P—ABC中，若PA，PB，PC兩兩垂直，底面ABC上的高為h，則h與PA, PB, PC

有關系式：．

D

O

三解答題

17．（本小題滿分12分）

等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知對任意的n?N?，點(n,Sn)均在函數(shù)

y?b?r(b?0且b?1,b,r均為常數(shù))的圖像上.x

（1）求r的值；（2）當b?

2{bn}的前n項和Tn.18．某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史,下圖（1）、（2）、（3）、（4）她們刺繡最簡單的四個圖案,這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮;現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設第n個圖形包含f(n)個小正方形

（Ⅰ）求出f(5)的值；

（Ⅱ）利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出f(n?1)與f(n)之間的關系式，并根據(jù)你得到的關系式求出f(n)的表達式；

.19.（本小題14分）

在等差數(shù)列{an}中，a10?30,a20?50.(1)求數(shù)列{an}的通項an；(2)令bn?2a

n

?10，證明：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列；

（3）求數(shù)列{nbn}的前n項和Tn.20

（Ⅰ）求f(x)?f(1?x),x?R的值；

(n?N*)，求數(shù)列{an}的通項公式；

（Ⅲ）若數(shù)列?bn?滿足bn?2n?1?an，Sn是數(shù)列?bn?的前n項和，是否存在正實數(shù)k，使不等式knSn?4bn對于一切的n?N?恒成立？若存在，請求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

21．已知數(shù)列?a

n?n項和S

n

（1）求數(shù)列?an?的通項公式；（222．（本小題滿分14分）已知數(shù)列?an?是各項均不為0的等差數(shù)列，公差為d，Sn為其前

n項和，且滿足an2?S2n?1，n?N*．數(shù)列?b

n?和．

（1）求a1、d和Tn；

Tn為數(shù)列?bn?的前n項

n

（2）若對任意的n?N*，不等式?Tn?n?8?(?1)恒成立，求實數(shù)?的取值范圍；

（3）是否存在正整數(shù)m,n(1?m?n)，使得T1,Tm,Tn成等比數(shù)列？若存在，求出所有

m,n的值；若不存在，請說明理由．

第三篇：高二 數(shù)學 選修 推理與證明(文)（模版）

高中數(shù)學（文）推理與證明

知識要點：

1、合情推理

根據(jù)一類事物的部分對象具有某種性質(zhì)，推出這類事物的所有對象都具有這種性質(zhì)的推理，叫做歸納推理（簡稱歸納）。歸納是從特殊到一般的過程，它屬于合情推理；

根據(jù)兩類不同事物之間具有某些類似（或一致）性，推測其中一類事物具有與另一類事物類似（或相同）的性質(zhì)的推理，叫做類比推理（簡稱類比）。

類比推理的一般步驟：

（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）；（3）一般地，事物之間的各個性質(zhì)之間并不是孤立存在的，而是相互制約的。如果兩個事物在某些性質(zhì)上相同或類似，那么它們在另一些性質(zhì)上也可能相同或類似，類比的結(jié)論可能是真的；

（4）在一般情況下，如果類比的相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間越相關，那么類比得出的命題就越可靠。

2、演繹推理

分析上述推理過程，可以看出，推理的滅每一個步驟都是根據(jù)一般性命題（如“全等三角形”）推出特殊性命題的過程，這類根據(jù)一般性的真命題（或邏輯規(guī)則）導出特殊性命題為真的推理，叫做演繹推理。演繹推理的特征是：當前提為真時，結(jié)論必然為真。

3、證明方法

（1）反證法：要證明某一結(jié)論A是正確的，但不直接證明，而是先去證明A的反面（非A）是錯誤的，從而斷定A是正確的即反證法就是通過否定命題的結(jié)論而導出矛盾來達到肯定命題的結(jié)論，完成命題的論證的一種數(shù)學證明方法。

反證法的步驟：1)假設命題的結(jié)論不成立，即假設結(jié)論的反面成立；2)從這個假設出發(fā)，通過推理論證，得出矛盾；3)由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確。

注意：可能出現(xiàn)矛盾四種情況：①與題設矛盾；②與反設矛盾；③與公理、定理矛盾④在證明過程中，推出自相矛盾的結(jié)論。

（2）分析法：證明不等式時，有時可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫做分析法。

分析法的思維特點是：執(zhí)果索因；

分析法的書寫格式： 要證明命題B為真，只需要證明命題為真，從而有??，這只需要證明命題為真，從而又有??

這只需要證明命題A為真，而已知A為真，故命題B必為真。

（3）綜合法：利用某些已經(jīng)證明過的不等式（例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理）和不等式的性質(zhì)推導出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法，綜合法的思維特點是：由因?qū)Ч?，即由已知條件出發(fā)，利用已知的數(shù)學定理、性質(zhì)和公式，推出結(jié)論的一種證明方法。

典例分析：

例1：例5．（1）觀察圓周上n個點之間所連的弦，發(fā)現(xiàn)兩個點可以連一條弦，3個點可以連3條弦，4個點可以連6條弦，5個點可以連10條弦，你由此可以歸納出什么規(guī)律？

（2）把下面在平面內(nèi)成立的結(jié)論類比推廣到空間，并判斷類比的結(jié)論是否成立：

1）如果一條直線與兩條平行直線中的一條相交，則必于另一條相交。

2）如果兩條直線同時垂直與第三條直線，則這兩條直線平行。

例2：（06年天津）如圖，在五面體ABCDEF中，點O是矩形ABCD的對角線的交點，面CDE是等邊三角形，棱

1EF//BC。?

2（1）證明FO//平面CDE；

（2）設BC?，證明EO?平

面CDF。

例3：（1）用反證法證明：如果a>b>0，那么

（2）用綜合法證明：如果a>b>0，那么

； ；

例4：用分析法證明：如果ΔABC的三條邊分別為a，b，c，那么：

a?bc? 1?a?b1?c

鞏固練習：

1.如果數(shù)列?an?是等差數(shù)列，則

A.a1?a8?a4?a5 B.a1?a8?a4?a5 C.a1?a8?a4?a5 D.a1a8?a4a

52.下面使用類比推理正確的是

A.“若a?3?b?3,則a?b”類推出“若a?0?b?0,則a?b”

B.“若(a?b)c?ac?bc”類推出“(a?b)c?ac?bc”

a?bab??（c≠0）” ccc

nn（ab）?anbn” 類推出“（a?b）?an?bn” D.“

3.有這樣一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是真分數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是真分數(shù)”

結(jié)論顯然是錯誤的，是因為

A.大前提錯誤B.小前提錯誤C.推理形式錯誤D.非以上錯誤C.“若(a?b)c?ac?bc” 類推出“

4.設f0(x)?sinx,f1(x)?f0(x)，f2(x)?f1'(x),?,fn?1(x)?fn'(x)，n∈N，則'

f2007(x)?

A.sinx B.－sinx C.cosx D.－cosx

5.在十進制中2004?4?100?0?101?0?102?2?103，那么在5進制中數(shù)碼200

4折合成十進制為

A.29B.254C.602D.2004

6.函數(shù)y?ax2?1的圖像與直線y?x相切，則a= A.18 B.1 4C.12D.11；③47.下面的四個不等式：①a2?b2?c2?ab?bc?ca；②a?1?a??

ab??2 ；④a2?b2?c2?d2??ac?bd?2.其中不成立的有ba

A.1個B.2個C.3個D.4個

2f(x)（x?N*）,f(1)?1 8.已知f(x?1)?，猜想f(x）的表達式為f(x)?2

4212A.f(x)?xB.f(x)?C.f(x)?D.f(x)? 2?2x?1x?12x?1

9.類比平面幾何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的兩邊AB、AC互相垂直，????則三角形三邊長之間滿足關系：AB2?AC2?BC2。若三棱錐A-BCD的三個側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則三棱錐的側(cè)面積與底面積之間滿足的關系為.2?3?4?32，3+4+5+6+7=52中，可得到一般規(guī)律為10.從1?12，(用數(shù)學表達式表示)

11.函數(shù)y＝f（x）在（0，2）上是增函數(shù)，函數(shù)y=f(x+2)是偶函數(shù)，則f(1),f(2.5),f(3.5)的大小關系是.12.設平面內(nèi)有ｎ條直線(n?3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點．若用f(n)表示這ｎ條直線交點的個數(shù)，則f(4)

當ｎ＞４時，f(n)＝（用含n的數(shù)學表達式表示）

第四篇：選修2-2第一章推理與證明練習題

推理與證明過關檢測試題

1.考察下列一組不等式： 2?5?2?5?2?5,2?5?2?5?2?5,2?

555

?2?5?2?5,??.將上述不等式在左右兩端仍為兩項和的情況下加以推廣，使以上的不等

3223

式成為推廣不等式的特例，則推廣的不等式可以是.2．已知數(shù)列?an?滿足a1?2，an?1?的值為．3.已知f(x?1)?A.f(x)?

42?2

x

1?an1?an

（n?N*），則a3的值為 a1?a2?a3???a2007

2f(x)f(x)?2

（x?N*），猜想f(x）的表達式為（）,f(1)?

12x?1

；B.f(x)?；C.f(x)?

?

1x?1

；D.f(x)?

22x?1

.?

4.某紡織廠的一個車間有技術(shù)工人m名（m?N），編號分別為1、2、3、??、m，有n臺（n?N）織布機，編號分別為1、2、3、??、n，定義記號aij：若第i名工人操作了第j號織布機，規(guī)定aij?1，否則aij?0，則等式a41?a42?a43????a4n?3的實際意義是（）A、第4名工人操作了3臺織布機；B、第4名工人操作了n臺織布機； C、第3名工人操作了4臺織布機；D、第3名工人操作了n臺織布機.5.已知f(n)?1?

f(32)?

212

?

3???

1n

(n?N)，計算得f(2)?

*

32，f(4)?2，f(8)?

52，f(16)?3，由此推測：當n?2時，有6.觀察下圖中各正方形圖案，每條邊上有n(n?2)個圓圈，每個圖案中圓圈的總數(shù)是Sn，按此規(guī)律推出：當n?2時，Sn與n的關系式

n?2S?4n?3S?8n?4S?12

??

7.觀察下式：1=1，2+3+4=3，3+4+5+6+7=5，4+5+6+7+8+9+10=7，?，則可得出一般結(jié)論：.8.函數(shù)f(x)由下表定義：

若a0?5，an?1?f(an)，n?0,1,2,?，則a2007?．

9.在一次珠寶展覽會上,某商家展出一套珠寶首飾,第一件首飾是1顆珠寶, 第二件首飾是由6顆珠寶構(gòu)成如圖1所示的正六邊形, 第三件首飾是由15顆珠寶構(gòu)成如圖2所示的正六邊形, 第四件首飾是由28顆珠寶構(gòu)成如圖3所示的正六邊形, 第五件首飾是由45顆珠寶構(gòu)成如圖4所示的正六邊形, 以后每件首飾都在前一件上,按照這種規(guī)律增加一定數(shù)量的珠寶,使它構(gòu)成更大的正六邊形,依此推斷第6件首飾上應有_______顆珠寶;則前n件首飾所用珠寶總數(shù)為_顆.(結(jié)果用n表示)

圖1 圖2

10.圖3

那么2003應該在第行，第列。

11．如右上圖，一個小朋友按如圖所示的規(guī)則練習數(shù)數(shù)，1大拇指，2食指，3中指，4無名指，5小指，6無名指，...，一直數(shù)到2008時，對應的指頭是(填指頭的名稱).12.在數(shù)列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，??中，第25項為_____．

13．觀察下列的圖形中小正方形的個數(shù)，則第n個圖中有個小正方形.14．同樣規(guī)格的黑、白兩色正方形瓷磚鋪設的若干圖案，則按此規(guī)律第n個圖案中需用黑色瓷磚___________塊．（用含n的代數(shù)式表示）

15.如圖所示，面積為S的平面凸四邊形的第i條邊的邊長記為ai?i?1,2,3,4?，此四邊形內(nèi)任一點P到第i條邊的距離記為hi?i?1,2,3,4?，若

a1

1?

a2

2?

a3

3?

a4

4?k，則.??ihi??

i?1

2Sk

類比以上性質(zhì),體積為V的三棱錐的第i個面的面積記為

Si?i?1,2,3,4?, 此三棱錐內(nèi)任一點Q到第i個面的距離記為H

i?i?1,2,3,4?,若S11

S22

S33

S44

?4VK

??

?K,則??iHi??(B)

i?1

A.B.3VK

C.2VK

D.VK

16.設O是?ABC內(nèi)一點，?ABC三邊上的高分別為hA,hB,hC，O

到三邊的距離依次為la,lb,l

c，則

lahA

?

lbhB

?

lchC

?，類比到空間，O是四面體ABCD內(nèi)一點，四頂點到對面的距離分別為

hA,hB,hC,hD，O到這四個面的距離依次為la,lb,lc,ld，則有b，17．在Rt?ABC中，兩直角邊分別為a、設h為斜邊上的高，則

1h

?

1a

?

1b，由此類比：三棱錐S?ABC

中的三條側(cè)棱SA、SB、SC兩兩垂直，且長度分別為a、b、c，設棱錐底面ABC上的高為h，則．

18、若數(shù)列?an?是等差數(shù)列，對于bn?

1n

(a1?a2???an)，則數(shù)列?bn?也是等差數(shù)列。類比上述性質(zhì)，若數(shù)列?cn?是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，對于dn?0，則dn?dn?也是等比數(shù)列。19．已知△ABC三邊a，b，c的長都是整數(shù)，且a≤b≤c，如果b＝m（m?N*），則這樣的三角形共有個（用m表示）．

20．如圖的三角形數(shù)陣中，滿足：（1）第1行的數(shù)為1；（2）第n（n≥2)行首尾兩數(shù)均為n，其余的數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)相加．則第n行(n≥2)中第2個數(shù)是________（用n表示）.123456

16?

5?7

4254

711

16?

621．在△ABC中，sinA?

sinB?sinCcosB?cosC，判斷△ABC的形狀并證明.22．已知a、b、c是互不相等的非零實數(shù).若用反證法證明三個方程ax+2bx+c=0，bx+2cx+a=0，cx+2ax+b=0至少有一個方程有兩個相異實根.應假設

23.?ABC中，已知3b?23asinB，且cosA?cosC，求證：?ABC為等邊三角形。

24．如圖，P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、?、Pn(xn,yn)(0?y1?y2???yn)是曲線C：y?3x(y?0)

上的n個點，點Ai(ai,0)（i?1,2,3?n）在x軸的正半軸上，且?Ai?1AiPi是正三角形（A0是坐標原點）．（1）寫出a1、a2、a3；

（2）求出點An(an,0)（n?N?）的橫坐標an關于n的表達式并證明.推理與證明章節(jié)測試題答案

1.a?b?ab?ab(a,b?0,m?k?n,m,n,k?N)3．?

2,33.B.4.A5.f(2)?

*

n

nnmkkm*

2n?12

(n?N)6.n?(n?2)

*22

7.n?(n?1)???(3n?2)?(2n?1),n?N8.4 9.n(n?1)(4n?1)

6n?N10.251,311、食指

*

12.在數(shù)列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，??中，第25項為__7____． 13．

n?3n?

214． 4n?815、B提示:平面面積法類比到空間體積法

16． 1.提示：平面面積法類比到空間體積法 17．．

1h

1?222abc

*

1n

(a1?a2???an)類比到幾何平

n?N提示：等差數(shù)列類比到等比數(shù)列，算術(shù)平均數(shù)bn?均數(shù)dn?n?N

m(m?1)

*

19．20．

n?n?

221．解:?sinA?

sinB?sinCcosB?cosC,A?B?C??

?sinAcosB?sinAcosC?sin(A?C)?sin(B?C)?sinCcosA?sinBcosA?(sinC?sinB)cosA?0?sinC?sinB?0,?cosA?0?A?

?2

所以三角形ABC是直角三角形

22． 三個方程中都沒有兩個相異實根

證明：假設三個方程中都沒有兩個相異實根，222

則Δ1=4b－4ac≤0，Δ2=4c－4ab≤0，Δ3=4a－4bc≤0.222222

相加有a－2ab+b+b－2bc+c+c－2ac+a≤0，222

（a－b）+（b－c）+（c－a）≤0.由題意a、b、c互不相等，∴①式不能成立.∴假設不成立，即三個方程中至少有一個方程有兩個相異實根.方法總結(jié)：反證法步驟—假設結(jié)論不成立→推出矛盾→假設不成立.凡是“至少”、“唯一”或含有否定詞的命題適宜用反證法.23.解: 分析：由3b?23asinB?3sinB?23sinAsinB?sinA?

32①

?A?

?3,2?3

由cosA?cosC?A?C?A?C?

?3

?B所以?ABC為等邊三角形

24.如圖，P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、?、Pn(xn,yn)(0?y1?y2???yn)是曲線C：y2?3x(y?0)上的n個點，點Ai(ai,0)（i?1,2,3?n）在x軸的正半軸上，且?Ai?1AiPi是正三角形（A0是坐標原點）．（1）寫出a1、a2、a3；

（2）求出點An(an,0)（n?N?）的 橫坐標an關于n的表達式并證明.解:（Ⅰ）a1?2,a2?6,a3?12;??????.6分

an?1?an

an?an?

1，由此及yn?3?xn得

（2）依題意，得xn?

an?an?1

32,yn?

3?

(3?)

?

(an?an?1)，即(an?an?1)?2(an?1?an)．

由（Ⅰ）可猜想：an?n(n?1),(n?N)． 下面用數(shù)學歸納法予以證明：（1）當n?1時，命題顯然成立；

（2）假定當n?k時命題成立，即有an?k(k?1)，則當n?k?1時，由歸納假設及

?

(ak?1?ak)?2(ak?ak?1)

得[ak?1?k(k?1)]2?2[k(k?1)?ak?1]，即

(ak?1)?2(k?k?1)ak?1?[k(k?1)]?[(k?1)(k?2)]?0，解之得

ak?1?(k?1)(k?2)

（ak?1?k(k?1)?ak不合題意，舍去），即當n?k?1時，命題成立．

由（1）、（2）知：命題成立．??????.10分

第五篇：選修1-2第二章推理與證明講義

第二章推理與證明講義

2.1合情推理與演繹推理

學習目標：

1．了解合情推理的含義，能利用歸納和類比進行簡單的推理；

2．了解演繹推理的含義，掌握演繹推理的基本模式，能利用“三段論”進行簡單的推理.重點：用歸納和類比進行推理，做出猜想；用“三段論”證明問題.難點：用歸納和類比進行合情推理，做出猜想。

學習策略：

①合情推理、演繹推理幾乎涉及數(shù)學的方方面面的知識，代表研究性命題的發(fā)展趨勢②合情推理中的歸納、類比都是具有創(chuàng)造性的或然推理.不論是由大量的實例，經(jīng)過分析、概括、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的歸納，還是由兩系統(tǒng)的已知屬性，通過比較、聯(lián)想而發(fā)現(xiàn)未知屬性的類比，它們的共同點是，結(jié)論往往超出前提所控制的范圍，所以它們是“開拓型”或“發(fā)散型”的思維方法.也正因為結(jié)論超出了前提的管轄范圍，前提也就無力保證結(jié)論必真，所以歸納類比都是或然性推理.③演繹推理所得的結(jié)論完全蘊含于前提之中，所以它是“封閉型”或“收斂型”的思維方法.只要前提真實，邏輯形式正確，結(jié)論必然是真實的.知識要點梳理

知識點一：推理的概念根據(jù)一個或幾個已知事實(或假設)得出一個判斷，這種思維方式叫做推理．從結(jié)構(gòu)上說，推理一般由兩部分組成，一部分是已知的事實(或假設)叫做前提，一部分是由已知推出的判斷，叫做結(jié)論．

知識點二：合情推理根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）、實驗和實踐的結(jié)果、個人的經(jīng)驗和直覺等，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想、歸納、類比等推測出某些結(jié)果的推理過程。其中歸納推理和類比推理是最常見的合情推理。

1.歸納推理

（1）定義：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納）。（2）一般模式：部分整體，個體一般

（3）一般步驟：

①通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；

②從已知的相同的性質(zhì)中猜想出一個明確表述的一般性命題；

③檢驗猜想.（4）歸納推理的結(jié)論可真可假

歸納推理一般都是從觀察、實驗、分析特殊情況開始，提出有規(guī)律性的猜想； 一般地，歸納的個別情況越多，就越具有代表性，推廣的一般性命題就越可靠.由于歸納推理的前提是部分的、個別的事實，因此歸納推理的結(jié)論超出了前提所界定的范圍，其前提和結(jié)論之間的聯(lián)系不是必然的，而是或然的，所以歸納推理所得的結(jié)論不一定是正確的.2.類比推理

（1）定義：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）.（2）一般模式：特殊特殊

（3）類比的原則：可以從不同的角度選擇類比對象，但類比的原則是根據(jù)當前問題的需要，選擇恰當?shù)念惐葘ο?（4）一般步驟：

①找出兩類對象之間的相似性或一致性；

②用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，得出一個明確的命題（猜想）；

③檢驗猜想.（5）類比推理的結(jié)論可真可假

類比推理中的兩類對象是具有某些相似性的對象，同時又應是兩類不同的對象；一般情況下，如果類比的相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)越相關，那么類比得出的命題就越可靠.類比結(jié)論具有或然性，所以類比推理所得的結(jié)論不一定是正確的。

知識點三：演繹推理

（1）定義：從一般性的原理出發(fā)，按照嚴格的邏輯法則，推出某個特殊情況下的結(jié)論的推

理，叫做演繹推理.簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理．

（2）一般模式：“三段論”是演繹推理的一般模式，常用的一種格式

① 大前提——已知的一般原理；

② 小前提——所研究的特殊情況；

③ 結(jié)論——根據(jù)一般原理，對特殊情況作出的結(jié)論.（3）用集合的觀點理解“三段論”若集合的所有元素都具有性質(zhì)，是的子集，那么中所有元素都具有性質(zhì)

（4）演繹推理的結(jié)論一定正確

演繹推理是一個必然性的推理，因而只要大前提、小前提及推理形式正確，那么結(jié)論一定是

正確的，它是完全可靠的推理。

規(guī)律方法指導

合情推理與演繹推理的區(qū)別與聯(lián)系

（1）從推理模式看：

①歸納推理是由特殊到一般的推理．

②類比推理是由特殊到特殊的推理．

③演繹推理是由一般到特殊的推理．

（2）從推理的結(jié)論看：

①合情推理所得的結(jié)論不一定正確，有待證明。

②演繹推理所得的結(jié)論一定正確。

（3）總體來說，從推理的形式和推理的正確性上講，二者有差異；從二者在認識事物的過

程中所發(fā)揮的作用的角度考慮，它們又是緊密聯(lián)系，相輔相成的。合情推理的結(jié)論需要演繹

推理的驗證，而演繹推理的內(nèi)容一般是通過合情推理獲得的；演繹推理可以驗證合情推理的正確性，合情推理可以為演繹推理提供方向和思路.經(jīng)典例題透析

類型一：歸納推理

1．用推理的形式表示數(shù)列的前項和的歸納過程.舉一反三：【變式1】用推理的形式表示等差數(shù)列1，3，5，?，（2－1），?的前項和的歸納過程.，計算

驗證猜想的結(jié)論是否正確.的值，同時【變式2】設歸納結(jié)果所具有的性質(zhì)，并用

2．平面內(nèi)的1條直線把平面分成2部分，2條相交直線把平面分成4部分，3條相交

但不共點的直線把平面分成7部分，n條彼此相交而無三條共點的直線，把平面分成多少部

分？

舉一反三：【變式1】圖（a）、（b）、（c）、（d）為四個平面圖形

（1）數(shù)一數(shù)，每個平面圖各有多少個頂點？多少條邊？它們將平面各分成了多少個區(qū)域？

（2）推斷一個平面圖形的頂點數(shù)，邊數(shù)，區(qū)域數(shù)之間的關系.類型二：類比推理

3．在三角形中有下面的性質(zhì)：

(1)三角形的兩邊之和大于第三邊；

(2)三角形的中位線等于第三邊的一半，且平行于第三邊；

(3)三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點，且這個點是三角形的內(nèi)心；

(4)三角形的面積半徑)．

請類比寫出四面體的有關性質(zhì)．，（為三角形的三邊長，為三角形的內(nèi)切圓

類型三：演繹推理

4．已知：在空間四邊形∥平面中，、分別為、的中點，用三段論證明：

例4變式

2舉一反三：【變式1】有一位同學利用三段論證明了這樣一個問題：

證明：因為所有邊長都相等的凸多邊形是正多邊形，????大前提

而菱形是所有邊長都相等的凸多邊形，??????????小前提

所以菱形是正多邊形.??????????????????結(jié)論

（1）上面的推理形式正確嗎？（2）推理的結(jié)論正確嗎？為什么？

【變式2】如圖2-1-8所示，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB上的點，∠BFD=∠A，DE∥BA，求

證：ED=AF.2.2直接證明與間接證明

目標認知

學習目標：

1．結(jié)合已經(jīng)學過的數(shù)學實例，了解直接證明的兩種基本方法：綜合法和分析法，了解間接證明的一種基本方法：反證法；

2．了解綜合法、分析法和反證法的思考過程、特點.重點：

根據(jù)問題的特點，結(jié)合綜合法、分析法和反證法的思考過程、特點，選擇適當?shù)淖C明方法或把不同的證明方法結(jié)合使用.難點：根據(jù)問題的特點，選擇適當?shù)淖C明方法或把不同的證明方法結(jié)合使用.學習策略分析法和綜合法在證明方法中都占有重要地位，是解決數(shù)學問題的重要思想方法。當所證命題的結(jié)論與所給條件間聯(lián)系不明確，常常采用分析法證明；當所證的命題與相應定義、定理、公理有直接聯(lián)系時，常常采用綜合法證明.在解決問題時，常常把分析法和綜合法結(jié)合起來使用。反證法解題的實質(zhì)是否定結(jié)論導出矛盾，從而說明原結(jié)論正確。在否定結(jié)論時，其反面要找對、找全.它適合證明“存在性問題、唯一性問題”，帶有“至少有一個”或“至多有一個”等字樣的數(shù)學問題.知識要點梳理

知識點一：直接證明

1、綜合法

（1）定義：一般地，從命題的已知條件出發(fā)，利用公理、已知的定義及定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法.（2）綜合法的的基本思路：執(zhí)因索果綜合法又叫“順推證法”或“由因?qū)Чā?它是從已知條件和某些學過的定義、公理、公式、定理等出發(fā)，通過推導得出結(jié)論.（3）綜合法的思維框圖：用公理等，表示已知條件，為定義、定理、表示所要證明的結(jié)論，則綜合法可用框圖表示為：

（已知）（逐步推導結(jié)論成立的必要條件）（結(jié)論）

2、分析法

（1）定義：一般地，從需要證明的命題出發(fā)，分析使這個命題成立的充分條件，逐步尋找使命題成立的充分條件，直至所尋求的充分條件顯然成立（已知條件、定理、定義、公理等），或由已知證明成立，從而確定所證的命題成立的一種證明方法，叫做分析法.（2）分析法的基本思路：執(zhí)果索因分析法又叫“逆推證法”或“執(zhí)果索因法”.它是從要證明的結(jié)論出發(fā)，分析使之成立的條件，即尋求使每一步成立的充分條件，直到最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.（3）分析法的思維框圖：用

理等，表示已知條件和已有的定義、公理、公式、定所要證明的結(jié)論，則用分析法證明可用框圖表示為：

（結(jié)論）（逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件）（已知）

（4）分析法的格式：要證??，只需證??，只需證??，因為??成立，所以原不等式得證。

知識點二：間接證明

反證法

（1）定義：一般地，首先假設要證明的命題結(jié)論不正確，即結(jié)論的反面成立，然后利用公理，已知的定義、定理，命題的條件逐步分析，得到和命題的條件或公理、定理、定義及明顯成立的事實等矛盾的結(jié)論，以此說明假設的結(jié)論不成立，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法.（2）反證法的特點：反證法是間接證明的一種基本方法.它是先假設要證的命題不成立，即結(jié)論的反面成立，在已知條件和“假設”這個新條件下，通過邏輯推理，得出與定義、公理、定理、已知條件、臨時假設等相矛盾的結(jié)論，從而判定結(jié)論的反面不能成立，即證明了命題的結(jié)論一定是正確的.（3）反證法的基本思路：“假設——矛盾——肯定”

①分清命題的條件和結(jié)論．

②做出與命題結(jié)論相矛盾的假設．

③由假設出發(fā)，結(jié)合已知條件，應用演繹推理方法，推出矛盾的結(jié)果．

④斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開始所做的假定不真，于是原結(jié)論成立，從而間接地證明原命題為真．

（4）用反證法證明命題“

若

則”，它的全部過程和邏輯根據(jù)可以表示為：

（5）反證法的優(yōu)點：對原結(jié)論否定的假定的提出，相當于增加了一個已知條件.規(guī)律方法指導

1.用反證法證明數(shù)學命題的一般步驟：

①反設——假設命題的結(jié)論不成立，即假定原命題的反面為真；

②歸謬——從反設和已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果；

③存真——由矛盾結(jié)果，斷定反設不真，從而肯定原結(jié)論成立.2.適合使用反證法的數(shù)學問題：

①要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰；比如“存在性問題、唯一性問題”等；

②如果從正面證明，需要分成多種情形進行分類討論，而從反面進行證明，只要研究一種或很少的幾種情形.比如帶有“至少有一個”或“至多有一個”等字樣的數(shù)學問題.經(jīng)典例題透析類型一：綜合法

1．如圖，設在四面體求證：垂直于中，，是的中點.所在的平面.舉一反三：

【變式1在銳角三角形ABC中，求證：類型二：分析法

2．求證：

舉一反三：

【變式1】求證：

類型三：反證法

3。設函數(shù)對任意舉一反三：

【變式1】已知：，求證 都有在.內(nèi)都有，且恒成立，求證：