第一篇：最值證明不等式

最值證明不等式

ln x(2)證明：f(x)＝>x－1(x>0，x≠1)x

18．證：令g(x)＝x－1－f(x)，原不等式等價(jià)于 g(x)>0(x>0，x≠1)．

g(x)滿足g(1)＝0，且

x－1＋ln xg′(x)＝1x當(dāng)0

2當(dāng)x>1時(shí)，x－1>0，ln x>0，所以g′(x)>0，故g(x)單調(diào)遞增．

所以g(x)>g(1)＝0(x>0，x≠1)．

ln x所以f(x)＝－1(x>0，x≠1)x

第二篇：不等式證明、最值求法

不等式的證明（論一個(gè)不等式的應(yīng)用）

貴刊2004(11)發(fā)表李建新老師《巧用向量求值》一文（以下簡(jiǎn)稱原文），經(jīng)筆者研究發(fā)現(xiàn)，原文中的所有最值問題都可以用下面的一個(gè)不等式加以解決，而且相比之下比李老師的向量法在處理上更簡(jiǎn)單一些，故寫此文和大家交流．

x2y222

2定理 若實(shí)數(shù)a,b,x,y滿足2?2?1，則a?b≥(x?y)．

abx2y2b2x2a2y2222222

證明：a?b?(a?b)(2?2)?x?y??2 2

abab

222

≥x?y?2xy?(x?y)，xy

由證明過程易知等號(hào)成立的條件是2?2．

ab

注 這個(gè)不等式的條件是一個(gè)橢圓方程，故稱此不等式為橢圓不等式．

１ 求滿足整式方程的未知數(shù)的代數(shù)式的最值

例１ 已知x,y滿足x?y?2x?4y?0，求x?2y的最值（1988年廣東高考題，原文例１）．

(x?1)24(?y?2)2

解：x?y?2x?4y?0???1，依定理有

520

5?20?[(x?1)?2(?y?2)]2，即(x?2y?5)，解得0?x?2y?10，當(dāng)且僅當(dāng)?2

5x?1?

?y?222

(x?2y)min?0，且x?y?2x?4y?0，即x?y?0時(shí)，當(dāng)x?2,y?4?

時(shí)，(x?2y)max?10．

例２ 已知a,b?R，且a?b?1?0，求(a?2)?(b?3)的最小值（第10屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽高二培訓(xùn)題）．

(a?2)2(b?3)2

??1，由定理得： 解：令(a?2)?(b?3)=t，則

tt

2t≥(a?b?5)2?(a?b?1?6)2?36，即t≥18，當(dāng)且僅當(dāng)a?2?b?3且a?b?1?0

時(shí)，即a??1,b?0時(shí)，tmin?18，從而(a?2)?(b?3)的最小值為18．

２ 求滿足三元一次方程及三元二次方程的未知數(shù)的最值

例３ 已知實(shí)數(shù)x1,x2,x3滿足方程x1?

111212x2?x3?1及x12?x2?x3?3，求x3的232

3最小值（1993年上海市高三數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題，原文例3）

(x2)2

x1212111

1解：x1?x2?x3?1?x1?x2?1?x3，x12?x2?x3?3???1

222323233?x3(3?x3)323

由定理得

111112112121

(3?x32)?(3?x32)?(x1?x2)2?3?x32?(x1?x2)2?3?x32?(1?x3)2???x3?3

323233233311

從而x3的最小值為?

21． 11

３ 求滿足整式方程的未知數(shù)的分式的最值

例４ 如果實(shí)數(shù)x,y滿足等式(x?2)?y?3，求題）．

y的最大值（1990年全國(guó)高考試x

y

?k，則y?kx，由已知等式(x?2)2?y2?3可得 x

(2k?kx)2(kx)2222，∴由定理得：≥，即≤3，∴?≤k≤3，??13?3kk4k2

33k

y

從而的最大值為3。

x

y22

例５ 若實(shí)數(shù)x,y適合方程x?y?2x?4y?1?0,那么代數(shù)式的取值范圍

x?2

解：令

是（第9屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽高二第1試）．

y

?t，則tx?y?2t?0，由已知方程得(x?1)2?(y?2)2?4，變形得：x?2

(tx?t)2(y?2)2

??1，∴由定理得：4t2?4≥(tx?y?2?t)2?(2?3t)2，解之得： 2

44t

12y120≤t≤，∴代數(shù)式的取值范圍是[0，]．

5x?25

y?122

例６ 已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程(x?2)?y?1，求的最小值(第10屆＂希望杯＂

x?2

解：令

邀請(qǐng)賽數(shù)學(xué)競(jìng)賽高二試題，原文例4)

(?kx?2k)2(kx?2k?1)2y?122

??1，解：設(shè)?k，則y?kx?2k?1，(x?2)?y?1?

k21x?2

由定理得k?1?[(?kx?2k)?(kx?2k?1)]?(1?4k)，解得0?k?４ 求滿足不等式的未知數(shù)的最值

例７ 若2x?y?1，u?y?2y?x?6x，則u的最小值等于（）A．?

y?18，即的最小值為０． 15x?2

77141

4B．?C．D． 5555

（2003年＂希望杯＂全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽高二試題）

4(x?3)2(y?1)2

??1，依定理及條件有 解：u?y?2y?x?6x?

4(u?10)u?10

36142(x?3)

當(dāng)且僅當(dāng)?10??，?y?1且2x?y?1

554

31114

時(shí)，即x??,y?時(shí)，umin??，故選(B)．

555

11n

例８ 設(shè)a?b?c，且≥恒成立，則n的最大值是（第11?

a?bb?ca?c

5(u?10)?(2x?y?5)2?36，即u?

屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽高二第1試，原文例１１）．

解：令

11112

=t，則=1，從而t(a?c)≥(1?1)?4，??

t(a?b)t(b?c)a?bb?c

由已知得a?c?0，故t≥５ 求無理函數(shù)的值域

4114，即≥，∴n的最大值是4． ?

a?bb?ca?ca?c

1994年上海市高三數(shù)學(xué)競(jìng)賽題，原

例９

求函數(shù)y?文例５）．

解：由1994?x?0且x?1993?0得1993?x?1994，兩邊平方易得y?1，又

1?

1994?xx?1993，由定理得：2?2，?

1?y?

?

故函數(shù)y?６ 求滿足分式方程的未知數(shù)的代數(shù)式的最值

例１０ 設(shè)x,y,a,b?R，且

?

ab

??1，則x?y的最小值為（第11屆＂希望xy

杯＂全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽高二培訓(xùn)題）．

解：

依定理有x?y?，ab

???1，即x?，xy

x?

時(shí)，(x?y)min?2．

例１１ 已知x,y?(0,??)，且數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題，原文例６）．

解：由已知條件和定理有：x?y??117?． 定理的推廣 若

1998

??1，求x?y的最小值（1998年湖南省高中xy

?a

i?1

n

bi

i

?1，則?ai≥（i?1

n

?b)

ii?1

2i

n，其中ai與bi同號(hào)（i=1，2，． ?,n）

證明：由Cauchy不等式及已知條件有：７ 求使多項(xiàng)式函數(shù)取最值的未知數(shù)的值

?a=?a.?a

i

i?1

i?1

nnn

bi

i

≥（i?1

?b)．

2ii?12

n

例１２ 求實(shí)數(shù)x,y的值，使得(y?1)?(x?y?3)?(2x?y?6)達(dá)到最小值（2001年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題，原文例７）．

1(?)y2(22x?6y)?6(2?)x?y

?解：令(y?1)?(x?y?3)?(2x?y?6)?t，則t4tt

1，由定理的推廣得：6t?[(1?y)?(2x?2y?6)?(6?2x?y)]?1，即t?，當(dāng)且僅當(dāng)6

1?yx?y?36?2x?y55

(y?1)2?(x?y?3)2?(2x?y?6)2達(dá)，即x?,y?時(shí)，??

12126

到最小值．

6８ 求滿足分式方程的未知數(shù)的分式的最值

x2y2z2xyz

例１３ 已知x,y,z?R,，求的最???2??

1?x21?y21?z21?x21?y21?z2

?

大值（1990年首屆＂希望杯＂全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽培訓(xùn)題，原文例８）．

x2y2z2111

???2解：由易知???1，而 1?x21?y21?z21?x21?y21?z2

x2(y)2z2

()()222222xyz1?y???2????1，依定理的推廣可有222

1?x1?y1?z

1?x21?y21?z2222xyz2xyz2，即???(??)(???2，從222222222

1?x1?y1?z1?x1?y1?z1?x1?y1?z

而

xyz

． ??

1?x21?y21?

z2

９ 求無理式的最值

例１４ 如果a?b?c?1，（第８屆＂希望杯＂全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽高二試題，原文例９）．

解：由條件知(3a?1)?(3b?1)?(3c?1)?6，則

3a?13b?13c?1

???1，由定理

666

?的推廣得：18?，且僅當(dāng)a?b?c?

時(shí)達(dá)到最大值）． 3

M

是多少？N

１０ 求三角函數(shù)的最值

例１５的最大值為M，最小值為N，則

（1999年＂希望杯＂數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽，山西、江西、天津賽區(qū)高二試題，原文例12）．

解：由1?tanx?

?

N?

tanx?13?tanx

??

1，由定理得4?22

?2，即M=2，故

M??． N１１ 求對(duì)數(shù)函數(shù)的最值

例１６ 已知ab?1000,a?1,b?

1，則的最大值是多少？（第13屆＂希望杯＂全國(guó)邀請(qǐng)賽高二培訓(xùn)題，原文例13）．

解：由已知易得：(1?lga)?(1?lgb)?5，即

1?lga1?lgb

??1，由定理有

10?

2?

由上我們可以看出，用本文中的定理和定理的推廣要比文［１］中用向量解決這些問題

簡(jiǎn)單的多．當(dāng)然，這樣的例子很多的，這里不再贅述，請(qǐng)讀者自行研究，以下是幾個(gè)練習(xí)．

練習(xí)

１．設(shè)x,y,z?R?，且x?y?z?1，求隊(duì)第一輪選拔賽題）．（答案：３６）

２．已知x,y,z?R,x?y?z?1，求數(shù)學(xué)問題1504）．（答案：６４）

３．函數(shù)y?

?

149

??的最小值（1990年日本IMO代表xyz

118

《數(shù)學(xué)通報(bào)》2004（7），?2?2的最小值（2

xyz

3x??x2的最小值為12屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽高

參 考 文 獻(xiàn)

一培訓(xùn)題）．（答案：－２）

１．李建新．巧用向量求值．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)，2004，1１．

第三篇：不等式證明與最值問題

不等式證明與最值問題

（一）均值不等式的運(yùn)用(1)

均值不等式的運(yùn)用：a2 + b2≥ 2ab；當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，a+b ≥2√ab 附： 完全的均值不等式：√[(a2+ b2)/2] ≥(a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b)（二次冪平均≥算術(shù)平均≥幾何平均≥調(diào)和平均）

注意：利用均值不等式，注意“一正二定三相等”；注意“1”的添加；注意拆項(xiàng)補(bǔ)項(xiàng)；可以先假設(shè)成立，然后逆推，看逆推出的式子是否成立；注意代換。

（1）注意“1”的代換：已知x＞0，y＞0，滿足4/x+16/y=1。求x+y的最小值 解：x+y=(x+y)(4/x+16/y)=20+4y/x+16x/y≥20+2√[(4y/x)·(16x/y)]=36

注意：千萬不可：1=4/x+16/y≥16/√(xy)，√(xy)≥16,故：x+y≥2√(xy)＝32 歸納： x,y a,b都是正數(shù)且(a/x)+(b/y)=1,求x+y的最小值。

解：因?yàn)?a/x)+(b/y)=

1故：x+y=(x+y)[(a/x)+(b/y)]=a+b+xb/y+ya/x≥a+b+2√(xb/y·ya/x)=a+b+2√(ab)練習(xí)：

1、已知x,y＞0,1/x+2/y=1，求x+y的最小值。（答案：3＋2√2）

2、已知x，y＞0，1/x+9/y=1，求x+y的最小值。（答案：16）

（2）

1、已知a＞0，b＞0，求證：(1/a+1/b)(1/a2+1/b2)(a3+b3)≥8

解：(1/a+1/b)(1/a2+1/b2)(a3+b3)≥2√[1/(ab)]·2√[1/(a2b2)]·2√(a3b3)=82、已知a+b+c=1,a,b,c為不全相等的實(shí)數(shù)，求證：a2+b2+c2＞1/3 解：a2+b2≥2ab, a2+ c2≥2ac, b2+c2≥2bc

因?yàn)閍,b,c為不全相等的實(shí)數(shù)，故：上面三式不能同時(shí)取等號(hào)。故：2(a2+b2+c2)≥2ab+2bc+2ac

故：3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=

1故：a2+b2+c2＞1/

3練習(xí)：

1、已知x＞0，y＞0，3x+2y=12，求lgx+lgy的最大值。（答案：lg6）

2、若x，y＞0,且2x2+y2/3=8，求x√(6+2y2)的最大值.[答案：9√3/2,提示：先把x√(6+2y2)平方]

（3）a＞0，b＞0，c＞0，求證：(a+b)/c+(a+c)/b+(b+c)/a≥6 解：(a+b)/c+(a+c)/b+(b+c)/a

=a/c+b/c+a/b+c/b+b/a+c/a

=(a/c+c/a)+(b/c+c/b)+(a/b+b/a)≥2+2+2=6

（4）a＞0，b＞0，c＞0，求證：bc/a+ac/b+ab/c≥a+b+c

解：bc/a+ac/b+ab/c=2bc/(2a)+2ac/(2b)+2ab/(2c)

=[bc/(2a)+ac/(2b)]+[ac/(2b)+ab/(2c)]+[ab/(2c)+bc/(2a)] ≥a+b+c

（5）已知a＞0，b＞0，c＞0，求證：a/√b+b/√c+c/√a≥√a+√b+√c 證明：a/√b+√b≥2√a；b/√c+√c≥2√b；c/√a+√a≥2√c 故：a/√b+√b+ b/√c+√c+ c/√a+√a≥2√a+2√b+2√c

故：a/√b+b/√c+c/√a≥√a+√b+√c

（6）已知x＜0，求y=x+1/x的最大值

解：因?yàn)閤＜0，故：-x＞o

故：(-x)+(-1/x)≥

2故：y=x+1/x≤-2

(7)

1、已知a＞b＞0，求a+1/[(a-b)b]的最小值

解：a+1/[(a-b)b]=(a-b)+b+1/[(a-b)b] ≥3，此時(shí)a=2,b=

12、若0＜x＜1,求證：a2/x+b2/(1-x)≥(a-b)2

解：∵0＜x＜1,∴0＜1-x＜

1∴a2/x+b2/(1-x)=a2/x·[x+(1-x)]+b2/(1-x)[x+(1-x)]

=a2+a2(1-x)/x+b2+b2x/(1-x)≥a2+b2+2ab=(a+b)2

當(dāng)a2(1-x)/x=b2x/(1-x)時(shí)，取等號(hào)。

練習(xí)：當(dāng)a＞1時(shí)，4/(a-1)+a的最小值是（）。（答案：5）

（一）均值不等式的運(yùn)用(2)

均值不等式的運(yùn)用：a2 + b2≥ 2ab；當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，a+b ≥2√ab

附： 完全的均值不等式：√[(a2+ b2)/2] ≥(a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b)

（二次冪平均≥算術(shù)平均≥幾何平均≥調(diào)和平均）

注意：利用均值不等式，注意“一正二定三相等”；注意“1”的添加；注意拆項(xiàng)補(bǔ)項(xiàng)；可以先假設(shè)成立，然后逆推，看逆推出的式子是否成立；注意代換。

(8)已知二次函數(shù)f(x)=ax2-bx+c，且f(x)=0的兩根為x1，x2都在(0,1)內(nèi)，求證：f(0)·f(1)≤a2/16

證明：因?yàn)閒(x)=0的兩根為x1，x2，故：可設(shè)f(x)=a(x-x1)(x-x2)，因?yàn)?＜x1＜1, 0＜x2＜1

故：f(0)·f(1)=a·x1·x2·a(1-x1)(1-x2)=a2·x1(1-x1)·x2(1-x2)≤a2·[(x1+1-x1)/2] 2 ·[(x2+1-x2)] 2= a2/16

(9)已知a,b＞0,a+b=1，求證：√(a+1/2)+√(b+1/2)≤

2證明：√(a+1/2)=√[1·(a+1/2)]≤(1+a+1/2)/2=3/4+a/2

同理：√(b+1/2)≤3/4+b/2

故：√(a+1/2)+√(b+1/2)≤3/2+(a+b)/2=2

（10）a,b,c＞0,比較a3+b3+c3與a2b+b2c+c2a的大小

解： a2+b2≥2ab

故：a2-ab+b2≥ab

不等式兩邊同乘以a+b,不等號(hào)方向不變。

可得:a3+b3≥a2b+b2a(1)

同理可得:b3+c3≥b2c+c2b(2)

c3+a3≥c2a+a2c(3)

(1)+(2)+(3)得：

2(a3+b3+c3)≥2(a2b+b2c+c2a)

a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a

（11）設(shè)a、b、c都是正數(shù)，求證1/2a+1/2b+1/2c≥1/（b+c）+1/（c+a）+1/（a+b）證明：因?yàn)?a-b)2≥0

故：a2-2ab+b2≥0

故：a2+2ab+b2≥4ab

故：(a+b)2≥4ab[兩邊同時(shí)除以4ab/(a+b)]

故：(a+b)/4ab≥1/(a+b)

故：1/(4a)+a/(4b)≥1/(a+b)

同理：1/(4a)+1/(4c)≥1/(a+c)；1/(4b)+1/(4c)≥1/(b+c)

故：1/(4a)+a/(4b)+ 1/(4a)+1/(4c)+ 1/(4b)+1/(4c)≥1/（b+c）+1/（c+a）+1/（a+b）

故：1/(2a)+1/(2b)+1/(2c)≥1/（b+c）+1/（c+a）+1/（a+b）

（12）均值代換：已知a+b=1,a,b∈R,求證：(a+2)2+(b+2)2≥25/2 解；∵a+b=1,設(shè)a=1/2+t,b=1/2-t

故：(a+2)2+(b+2)2=2t2+25/2≥25/

2(13)已知：x, y＞0, 2x+y=1,求證：1/x+1/y≥3+2√2

證明：設(shè)2x=m/(m+n)，y=n/(m+n)(m, n＞0)

故：1/x+1/y=3+2n/m+m/n≥3+2√2

（二）利用判別式“△=b2-4ac”及一元二次方程

1、若x2+xy+y2=1,且x，y為實(shí)數(shù)，則x2+y2的取值范圍？

解：令t=x2+y2＞0

故： y2=t-x2

故：y=±√(t-x2)

故：t±x√(t-x2)=

1故：x2(t-x2)=(1-t)2

故：x^4-tx2+(1-t)2=0

故：△=t2-4(1-t)2≥0

故：2/3≤t≤

2即：2/3≤x2+y2≤22、設(shè)a＞1，b＞1，且ab-(a+b)=1,求ab、a+b的最小值

解：ab≤[(a+b)/2] 2，故：[(a+b)/2] 2-(a+b)-1≥0

故：a+b≥2√2+2 [其中a+b≥－2√2+2舍去]

故：a+b的最小值是2√2+2，此時(shí)a=b=√2+

1因?yàn)閍b=1+(a+b)≥2√2+3,故ab的最小值是2√2+

33、設(shè)a+b+c=1, a2+b2+c2=1且a＞b＞c,求證：-1/3＜c＜0

證明：因?yàn)閍+b+c=1，故：(a+b+c)2=1，即：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=1 因?yàn)閍2+b2+c2=1，故：ab+ac+bc=0，故：a、b、c中至少一個(gè)負(fù)數(shù)

因?yàn)閍＞b＞c，故：c＜0

因?yàn)閍+b+c=1，ab+ac+bc=0

故：a+b=1-c，ab=c(1-c)

故：a、b可以看作方程x2+(c-1)x+c(1-c)=0兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

故：△=(c-1)2-4c(c-1)＞0

故：(c-1)(c-1-4c)＞0

故：-1/3＜c＜

1故：-1/3＜c＜04、已知X>0,Y>0且XY-X-Y=1,求X+Y的最小值

解：設(shè)X+Y=t，因?yàn)閄>0,Y>0

故：t>0

因?yàn)閄Y-X-Y=

1故：XY＝1+t

故：X、Y可以看作方程z2-tz+(1+t)＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根

故：△=t2-4(1+t)≥0

故：t2-4t-4≥0

(t-2)2≥8

故：t≥2√2＋2,或t≤－2√2＋2（因?yàn)閠>0）

故：t≥2√2＋

2故：X+Y的最小值是2√2＋2，此時(shí)X＝Y(jié)＝√2＋

15、.已知正數(shù)ab滿足a+b=1，求ab+1/ab的最小值

解： ∵正數(shù)ab

∴ab+1/ab≥

2令ab+1/ab=t≥2

故：ab=[t±√(t2-4)]/2

故：a、b可以看作方程x-x+[t±√(t2-4)]/2=0的兩根

故：△=1-4×[t±√(t2-4)]/2≥0

故：±√(t2-4)≥t-1/

2因?yàn)閠-1/2＞0

故：√(t2-4)≥t-1/2＞0

故：t≥17/

4故：ab+1/ab的最小值是17/4，此時(shí)a=b=1/2

（三）利用幾何意義求極值

1、求下面函數(shù)的極小值：y=√(x2+4)+√[(12-x)2+9]

解：√(x2+4)+√[(12-x)2+9]可以看作點(diǎn)(x,0)到點(diǎn)(0,2)和(12,3)的距離之和 而點(diǎn)(0,2)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是(0,-2)

故：最小值就是(0,-2)和(12,3)之間的距離，即：132、a,b,c分別為直角三角形的三邊，c為斜邊，若（m,n)在直線ax+by+2c=0上，求m2+n2的最小值

解：因?yàn)閍,b,c分別為直角三角形的三邊，c為斜邊

故：a2+b2=c2

因?yàn)椤?m2+n2)=√[(m-0)2+(n-0)2]，即：√(m2+n2)表示點(diǎn)（m,n)到原點(diǎn)距離，因?yàn)椋╩,n)在直線ax+by+2c=0上

而原點(diǎn)到直線的距離是∣a×0+b×0+2c∣/√(a2+b2)=2c/c=2

故：m2+n2的最小值是22=4，此時(shí)n=-2b/c，m=-2a/c

第四篇：不等式的應(yīng)用——最值問題·教案

不等式的應(yīng)用（2）——最值問題·教案

北京市五中 李欣

教學(xué)目標(biāo)

1．深刻理解不等式中，兩個(gè)或三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)這一定理，即平均值定理．

2．熟練應(yīng)用平均值定理，求某些問題的最值．

3．培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)，以及對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解和運(yùn)用，提高學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力．

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

平均值定理適用的條件，及其變形使用． 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）不等式平均值定理的功能

師：不等式平均值定理的內(nèi)容是：若干個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．即：

如果a1，a2，a3，?，an∈R+且n∈N+，n＞1，那么

在高中階段，我們只要求同學(xué)掌握兩個(gè)或三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．請(qǐng)同學(xué)用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示上述定理．

（教師板書）

師：由兩個(gè)不等式的結(jié)構(gòu)來看，它們的功能是：從左往右可以把和的形式縮小為積的形式；從右往左可以把積的形式擴(kuò)大為和的形式．為了使用方便，通常把不等式變形為

由于平均值定理在特殊形式下，可以進(jìn)行放縮變換，因而它在數(shù)學(xué)中，可以作為用綜合法證明不等式的依據(jù)，還可以作為求最值問題的工具．

今天，我們主要研究應(yīng)用平均值定理求最值的問題．

（二）應(yīng)用平均值定理求函數(shù)的最值

例1 當(dāng)0＜x＜2時(shí)，求函數(shù)y=x（2-x）的最大值．

師：函數(shù)y=x（2-x）是積的形式，求最大值實(shí)質(zhì)是要做什么樣的轉(zhuǎn)化？ 生：可以使用平均值定理把積的形式轉(zhuǎn)化成和的形式． 師：平均值定理是對(duì)正數(shù)而言的，由于x，2-x都是正數(shù)，所以

在什么條件下“≤”取“=”號(hào)？

生：當(dāng)且僅當(dāng)x=2-x，即x=1時(shí)，取等號(hào)．此時(shí)，y的最大值為1． 師：把積的形式化為和的形式，這個(gè)和應(yīng)該為定值才行．

從而求出最小值．（教師板書）

解：由x＞1，知x-1＞0．則

中等號(hào)成立．

所以當(dāng)x=2時(shí)，y的最小值為6． 師：運(yùn)用平均值定理求函數(shù)的最值時(shí)，必須要有和的定值或積的定值出現(xiàn)．即

①，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)．取“=”號(hào)．

（定值）②，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，取“=”號(hào)． 不等式①②可以在求函數(shù)的最大值時(shí)使用．

③，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取“=”號(hào)．

值）④，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，取“=”號(hào)． 不等式③，④可以在求函數(shù)的最小值時(shí)使用．

例2 中對(duì)函數(shù)式的運(yùn)算結(jié)構(gòu)稍做變化，就可以使用定理了． 例3 填空題：

師：請(qǐng)同學(xué)來分析（1）． 生甲：由于x＞0，則

生乙：我的做法與甲同學(xué)不一樣． 由于x＞0，則

師：甲、乙兩位同學(xué)對(duì)函數(shù)式的變形采取了不同的方法，但都得到了定積，誰(shuí)是誰(shuí)非呢？

師：分析的很好！在拆、湊函數(shù)式的時(shí)候，除了要考慮能否得到“定積”或“定和”以外，還要顧及使用平均值定理后，能否取“=”號(hào)．這一條件如果思維不嚴(yán)密，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．

由學(xué)生自己解（2）．（板書如下）

y=x2·（5-2x）=x·x·（5-2x）

如果學(xué)生的板書有漏洞或錯(cuò)誤，教師可以邊糾正，邊總結(jié)應(yīng)用平均值定理求函數(shù)最值的步驟．

如果學(xué)生板書沒有問題，教師可以請(qǐng)學(xué)生總結(jié)步驟．并進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)或補(bǔ)充．

應(yīng)用平均值定理求函數(shù)的最值，要注意的問題有：（1）函數(shù)式中諸元素是否為正數(shù)；（2）諸元素的和或積是否為定值；（3）判斷“=”是否成立．

（三）靈活運(yùn)用平均值定理求最值

師：此題為三角函數(shù)求最值的問題，應(yīng)從何處入手？

用平均值定理求最大值，但sin x+cos2x不是定值，因此，應(yīng)從配、湊和為定值入手．

師：函數(shù)式中涉及到正、余弦兩種三角函數(shù)，可以利用同角的平方關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．

（2sin2x+cos2x+cos2x）為定值；即可求出y2的最大值．

師：對(duì)函數(shù)式的變形是靈活多樣的，但宗旨都是使和或積為定值． 例5 若正數(shù)x，y滿足6x+5y=36，求xy的最大值． 教師可以先讓學(xué)生進(jìn)行討論，然后再請(qǐng)一位同學(xué)發(fā)言． 生：已知是兩正數(shù)和的等式．要求兩數(shù)積的最大值，可以由

（板書如下）

解：由于x，y為正數(shù)，則6x，5y也是正數(shù)，所以

當(dāng)且僅當(dāng)6x=5y時(shí)，取“=”號(hào)．

師：函數(shù)式中含有根式，不容易看出定積是否存在，用什么方法解決這個(gè)問題？

生：可以先用換元法把根式去掉，再把函數(shù)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化．

師：換元法是常用的數(shù)學(xué)思想方法，能幫助我們把復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化．

（四）不等式在應(yīng)用問題中的應(yīng)用

例7 已知：長(zhǎng)方體的全面積為定值S，試問這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各是多少時(shí)，它的體積最大，求出這個(gè)最大值．

師：經(jīng)過審題可以看出，長(zhǎng)方體的全面積S是定值．因此最大值一定要用S來表示．首要問題是列出函數(shù)關(guān)系式．

生：設(shè)長(zhǎng)方體體積為y，其長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c，則y=abc．由于a+b+c不是定值，所以肯定要對(duì)函數(shù)式進(jìn)行變形． 生：我受例4的啟發(fā)，發(fā)現(xiàn)可以利用平均值定理先求出y2的最大值，這樣y的最大值也就可以求出來了．

解法如下：

解：設(shè)長(zhǎng)方體的體積為y，長(zhǎng)、寬、高分別是為a，b，c，則

y=abc，2ab+2bc+2ac=S．

而

y2=（abc）2=（ab）（bc）（ac）

當(dāng)且僅當(dāng)ab=bc=ac，即a=b=c時(shí)，上式取“=”號(hào)，y2有最小值

師：對(duì)應(yīng)用問題的處理，關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，列好函數(shù)關(guān)系式是求最值的基本保證。

（五）布置作業(yè)： 1．選擇題：

（1）設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，且a+b=3，那么2a+2b的最小值是 [ ]。

（2）設(shè)a＞0，b＞0，且2a+5b=200，那么lg a+lg b滿足 [ ]。

A．當(dāng) a=50，b=20時(shí)，取最大值 5 B．當(dāng)a=50，b=20時(shí)，取最大值3 C．當(dāng)a=50，b=20時(shí)，取最小值 5 D．當(dāng) a=50，b=20時(shí)，取最小值 3（3）x，y是滿足2x+y-1=0的正實(shí)數(shù)，那么xy [ ]。

22．填空題：

3．當(dāng)0＜x＜1時(shí)，求y=x2（1-x）的最大值。

5．用一塊正方形的白鐵片，在它的四個(gè)角各剪去一個(gè)相等的小正方形，制成一個(gè)無蓋的盒子，問當(dāng)小正方形的邊長(zhǎng)為多大時(shí)，制成的盒子才有最大的體積？并求出這個(gè)體積。

材料每平方米 3元，用作側(cè)面的材料每平方米2元，問怎樣設(shè)計(jì)容器的尺寸，才能使制作的成本最低（不計(jì)拼接時(shí)用料和其它損耗）。

作業(yè)答案或提示：

1．選擇題：（1）B；（2）B；（3）B。

5．設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為a，小正方形的邊長(zhǎng)為x，盒子的體積是

課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明

本課以平均值定理的應(yīng)用為主線，例1，例2從抓典型思路入手，引導(dǎo)學(xué)生積極參與，使學(xué)生掌握求最值的一般方法，例3，例4則是通過對(duì)典型錯(cuò)誤的辨析和糾正，加深了學(xué)生對(duì)定理?xiàng)l件的理解，進(jìn)一步激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高了思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，在此基礎(chǔ)上，例5，例6則突出了化歸轉(zhuǎn)化和換元法在解題中的作用，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)思想方法就是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的觀點(diǎn)，方法、解題中的很多錯(cuò)誤，都是因?yàn)閷?duì)思想方法的認(rèn)識(shí)膚淺造成的，只有領(lǐng)悟思想方法的實(shí)質(zhì)，才能不斷提高解題能力和糾錯(cuò)、防錯(cuò)能力． 例7是為了提高學(xué)生解決實(shí)際問題的意識(shí)而設(shè)計(jì)的．但如果時(shí)間不夠，可以專門設(shè)計(jì)一節(jié)課，利用平均值定理解應(yīng)用問題．

第五篇：不等式證明

不等式證明

不等式是數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容之一，它是研究許多數(shù)學(xué)分支的重要工具，在數(shù)學(xué)中有重要的地位，也是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，在高考和競(jìng)賽中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技巧性強(qiáng)，它不僅能夠檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，而且是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)水平的一個(gè)重要標(biāo)志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。

一、不等式的初等證明方法

1.綜合法：由因?qū)Ч?/p>

2.分析法：執(zhí)果索因?；静襟E：要證..只需證..，只需證..(1)“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件。

(2)“分析法”證題是一個(gè)非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進(jìn)行表達(dá)。

3.反證法：正難則反。

4.放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的。放縮法的方法有：

(1)添加或舍去一些項(xiàng)，如：

2)利用基本不等式，如：

(3)將分子或分母放大(或縮小)：

5.換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題

化難為易、化繁為簡(jiǎn)，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。

6.構(gòu)造法：通過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式。

證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法仍是證明不等式的最基本方法。

7.數(shù)學(xué)歸納法：數(shù)學(xué)歸納法證明不等式在數(shù)學(xué)歸納法中專門研究。

8.幾何法：用數(shù)形結(jié)合來研究問題是數(shù)學(xué)中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時(shí)，可以考慮構(gòu)造相關(guān)幾何圖形來完成，若運(yùn)用得好，有時(shí)則有神奇的功效。

9.函數(shù)法：引入一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)達(dá)到證明不等式的目的。

10.判別式法：利用二次函數(shù)的判別式的特點(diǎn)來證明一些不等式的方法。當(dāng)a>0時(shí)，f(x)=ax2+bx+c>0(或<0).△<0(或>0)。當(dāng)a<0時(shí)，f(x)>0(或<0).△>0(或<0)。

二、部分方法的例題

1.換元法

換元法是數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的解題方法之一。有些不等式通過變量替換可以改變問題的結(jié)構(gòu)，便于進(jìn)行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)、化隱蔽為外顯的積極效果。

注意：在不等式的證明中運(yùn)用換元法，能把高次變?yōu)榈痛?，分式變?yōu)檎剑瑹o理式變?yōu)橛欣硎?，能?jiǎn)化證明過程。尤其對(duì)含有若干個(gè)變?cè)凝R次輪換式或輪換對(duì)稱式的不等式，通過換元變換形式以揭示內(nèi)容的實(shí)質(zhì)，可收到事半功倍之效。

2.放縮法

欲證A≥B，可將B適當(dāng)放大，即B1≥B，只需證明A≥B1。相反，將A適當(dāng)縮小，即A≥A1，只需證明A1≥B即可。

注意：用放縮法證明數(shù)列不等式，關(guān)鍵是要把握一個(gè)度，如果放得過大或縮得過小，就會(huì)導(dǎo)致解決失敗。放縮方法靈活多樣，要能想到一個(gè)恰到好處進(jìn)行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識(shí)，同時(shí)要求我們具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力和一定的解題智慧。

3.幾何法

數(shù)形結(jié)合來研究問題是數(shù)學(xué)中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時(shí)，可以考慮構(gòu)造相關(guān)幾何圖形來完成，若運(yùn)用得好，有時(shí)則有神奇的功效。