第一篇：比較法證明不等式

比較法證明不等式

1.比較法比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個(gè)實(shí)數(shù)大小順序和運(yùn)算性質(zhì)的直接應(yīng)用，比較法可分為差值比較法(簡稱為求差法)和商值比較法(簡稱為求商法)。

(1)差值比較法的理論依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)：“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。其一般步驟為：①作差：考察不等式左右兩邊構(gòu)成的差式，將其看作一個(gè)整體;②變形：把不等式兩邊的差進(jìn)行變形，或變形為一個(gè)常數(shù)，或變形為若干個(gè)因式的積，或變形為一個(gè)或幾個(gè)平方的和等等，其中變形是求差法的關(guān)鍵，配方和因式分解是經(jīng)常使用的變形手段;③判斷：根據(jù)已知條件與上述變形結(jié)果，判斷不等式兩邊差的正負(fù)號，最后肯定所求證不等式成立的結(jié)論。應(yīng)用范圍：當(dāng)被證的不等式兩端是多項(xiàng)式、分式或?qū)?shù)式時(shí)一般使用差值比較法。

(2)商值比較法的理論依據(jù)是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。其一般步驟為：①作商：將左右兩端作商;②變形：化簡商式到最簡形式;③判斷商與1的大小關(guān)系，就是判定商大于1或小于1。應(yīng)用范圍：當(dāng)被證的不等式兩端含有冪、指數(shù)式時(shí)，一般使用商值比較法。

2.綜合法利用已知事實(shí)(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎(chǔ)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后推出所要證明的不等式，其特點(diǎn)和思路是“由因?qū)Ч保瑥摹耙阎笨础靶柚?，逐步推出“結(jié)論”。其邏輯關(guān)系為：AB1B2B3…BnB，即從已知A逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結(jié)論B。

a>b>0,求證：a^ab^b>(ab)^a+b/

2因a^a*b^b=(ab)^ab,又ab>a+b/2

故a^a*b^b>(ab)^a+b/2

已知:a,b,c屬于(-2,2).求證：ab+bc+ca>-4.用極限法取2或-2，結(jié)果大于等于-4，因?qū)儆?-2，2)不包含2和-2就不等于-4，結(jié)果就只能大于-

4下面這個(gè)方法算不算“比較法”啊?

作差M=ab+bc+ca-(-4)=ab+bc+ca+4

構(gòu)造函數(shù)M=f(c)=(a+b)c+ab+4

這是關(guān)于c的一次函數(shù)(或常函數(shù))，在cOM坐標(biāo)系內(nèi)，其圖象是直線，而f(-2)=-2(a+b)+ab+4=(a-2)(b-2)>0(因?yàn)閍<2,b<2)

f(2)=2(a+b)+ab+4=(a+2)(b+2)>0(因?yàn)閍>-2,b>-2)

所以函數(shù)f(c)在c∈(-2,2)上總有f(c)>0

即M>0

即ab+bc+ca+4>0

所以ab+bc+ca>-4

設(shè)x,y∈R,求證x^2+4y^2+2≥2x+4y

(x-1)2≥0

(2y-1)2≥0

x2-2x+1≥0

4y2-4x+1≥0

x2-2x+1+4y2-4x+1≥0

x2+4y2+2≥2x+4x

除了比較法還有：

求出中間函數(shù)的值域：

y=(x^2-1)/(x^2+1)

=1-2/(x^2+1)

x為R，y=2/(x^2+1)在x=0有最小值是2，沒有最大值，趨于無窮校

所以有：

-1<=y=1-2/(x^2+1)<

1原題得到證明

比較法：

①作差比較，要點(diǎn)是：作差——變形——判斷。

這種比較法是普遍適用的，是無條件的。

根據(jù)a-b>0a>b，欲證a>b只需證a-b>0;

②作商比較，要點(diǎn)是：作商——變形——判斷。

這種比較法是有條件的，這個(gè)條件就是“除式”的符號一定。

當(dāng)b>0時(shí)，a>b>1。

比較法是證明不等式的基本方法，也是最重要的方法，有時(shí)根據(jù)題設(shè)可轉(zhuǎn)化為等價(jià)問題的比較(如冪、方根等)

綜合法是從已知數(shù)量與已知數(shù)量的關(guān)系入手，逐步分析已知數(shù)量與未知數(shù)量的關(guān)系，一直到求出未知數(shù)量的解題方法。

第二篇：4.1 比較法證明不等式

§4 不等式的證明

4．1 比較法證明不等式

1．設(shè)t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，則下列t與s的大小關(guān)系中正確的是()

A．t>sB．t≥s

C．t

2解析：選D.∵s－t＝(a＋b＋1)－(a＋2b)＝(b－1)2≥0，∴s≥t.12．已知P＝Q＝a2－a＋1，那么P、Q的大小關(guān)系是()a＋a＋

1A．P>QB．P

C．P≥QD．P≤Q

Q解析：選D.＝(a2－a＋1)·(a2＋a＋1)＝(a2＋1)2－a2＝a4＋2a2＋1－a2＝a4＋a2＋1≥1.P

13a－?2>0，又∵Q＝a2－a＋1＝??2?

411P＝>0，a＋a＋123?a＋1?＋4

∴P≤Q.113．已知a>b>－1，則()a＋1b＋1

1111A.B.

1111C.D.≤a＋1b＋1a＋1b＋1

b－a11解析：選B.∵a>b>－1，∴a＋1>0，b＋1>0，a－b>0，則＝<0，a＋1b＋1?a＋1??b＋1?

11∴a＋1b＋1

an4．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝，其中a，b均為正數(shù)，那么an與an＋1的大小關(guān)系是bn＋1

()

A．a(chǎn)n>an＋1B．a(chǎn)n

C．a(chǎn)n＝an＋1D．與n的取值有關(guān)

a?n＋1?an解析：選B.an＋1－an＝－ b?n＋1?＋1bn＋1

a＝，?bn＋b＋1??bn＋1?

∵a>0，b>0，n>0，n∈N＋，∴an＋1－an>0，an＋1>an.5．設(shè)x2，y73，z＝6－2，則x，y，z的大小關(guān)系是()

A．x>y>zB．z>x>y

C．y>z>xD．x>z>y

44解析：選D.y73，z6－2＝，7＋36

2∵7＋3>6＋2>0，∴z>y.3＋2－43－24又x－z＝2－>0，6＋6＋262

∴x>z，∴x>z>y.6．在等比數(shù)列{an}和等差數(shù)列{bn}中，a1＝b1>0，a3＝b3>0，a1≠a3，則a5與b5的大小關(guān)系是()

A．a(chǎn)5b

5C．a(chǎn)5＝b5D．不確定

解析：選B.∵{an}為等比數(shù)列設(shè)公比為q，∴a3＝a1q2，又∵a1≠a3，∴q2≠1.{bn}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，∴b3＝b1＋2d.又∵a1＝b1>0且a3＝b3，∴b3＝a1＋2d，∴2d＝a1q2－a1，∴a5＝a1q4；b5＝a1＋4d＝2a1q2－a1，∴a5－b5＝a1(q4－2q2＋1)＝a1(q2－1)2>0.故a5>b5.bb＋m7．設(shè)a，b，m均為正數(shù)，且，則a與b的大小關(guān)系是________． aa＋m

b＋mbm?a－b?解析：>0，a＋maa?a＋m?

又a，b，m為正數(shù)．

∴a(a＋m)>0，m>0，因此a－b>0，a>b.答案：a>b

3A8．若f(x)A＝4loga(x－1)，B＝4＋[loga(x－1)]2，若a>1，則________1.Bx?x－3?

3x>3，又a>1，所以A>0，B>0.x?x－3?

又因?yàn)锽－A＝[loga(x－1)－2]2≥0，A所以B≥A≤1.B

答案：≤

9．設(shè)n∈N，n>1，則logn(n＋1)與logn＋1(n＋2)的大小關(guān)系是________．

logn＋1?n＋2?解析：＝logn＋1(n＋2)·logn＋1n logn?n＋1?

logn＋1?n＋2?＋logn＋1n?2≤?2??

logn＋1?n2＋2n?2?＝2?

logn＋1?n＋1?22?<2?＝1.答案：logn(n＋1)>logn＋1(n＋2)

10．已知a、b都是正數(shù)，x、y∈R，且a＋b＝1.求證：ax2＋by2≥(ax＋by)2.證明：ax2＋by2－(ax＋by)2

＝ax2＋by2－a2x2－2abxy－b2y2

＝(ax2－a2x2)＋(by2－b2y2)－2abxy

＝ax2(1－a)＋by2(1－b)－2abxy

＝abx2＋aby2－2abxy＝ab(x－y)2.∵a>0，b>0，x，y∈R，∴ab>0，(x－y)2≥0，∴ax2＋by2≥(ax＋by)2成立．

a＋b＋c11．若a，b，c∈(0，＋∞)，證明：aabbcc≥(abc.3解析：因?yàn)閒(x)＝

證明：＋＋＝?abc?3aabbcc2a－b－c32b－c－a2c－a－bb3c3

aa－bbb－caa－c＝()3()3(3bcc

由于a，b，c在題中的地位相當(dāng)(全對稱性)，a－ba不妨設(shè)a≥b≥c>0，∴1，0，b3

aa－baa－cbb－c從而()31，同理3≥1，(3≥1.bcc

相乘即可得證．

aa－bbb－caa－c∴()3()3(31，bcc

abca＋b＋cabcabc即1，∴abc≥(abc)3.?abc?3

12．已知a>0，b>0，m>0，n>0，求證：amn＋bmn>ambn＋anbm.＋＋證明：amn＋bmn－(ambn＋anbm)

＋＋＝(amn－ambn)－(anbm－bmn)

＝am(an－bn)－bm(an－bn)

＝(am－bm)(an－bn)．

當(dāng)a>b時(shí)，am>bm，an>bn，∴(am－bm)(an－bn)>0；

當(dāng)a0；

當(dāng)a＝b時(shí)，am＝bm，an＝bn，∴(am－bm)(an－bn)＝0.綜上，(am－bm)(an－bn)≥0，＋＋即amn＋bmn≥ambn＋anbm.＋＋

第三篇：§2.5.1不等式的證明 比較法

高一數(shù)學(xué)【學(xué)案】第二章《不等式—*不等式的證明》

§*2.5.1不等式的證明（1）—比較法

掌握用比較法證明簡單不等式

.問1什么是比較法？如何運(yùn)用比較法證明不等式？

例1（P47例1）比較x2與2x?2的大小.例2（人教B版選修4-5P19例2）

已知：b，m1，m2都是正數(shù)，a?b，m1?m2，求證：

a?m1a?m2.?b?m1b?m

2例3已知：f(x)?x3，若x1,x2?R，且x1?x2，求證：f(x1)?f(x2).8-

高一數(shù)學(xué)【學(xué)案】第二章《不等式—*不等式的證明》 例4設(shè)a、b?R?

?例5設(shè)a、b?R?，求證：(a?b)(an?bn)?2(an?1?bn?1)（n?N*）.x2?1n例6設(shè)函數(shù)f(x)?2，求證：對任意不小于3的自然數(shù)都有f(n)?.x?1n?1

1.比較3x和2x?1的大小.2.比較(ac?bd)和(a?b)(c?d)的大小.3.用比較法證明：a?b?c?ab?bc?ac.222222222

a2b2

??a?b.4.已知a，b為正數(shù)，用比較證明：ba

5.設(shè)a，b，c為不全相等的正數(shù)，用比較法證明：

2(a3?b3?c3)?a2(b?c)?b2(a?c)?c2(a?b).6.已知x?y?z?1，用比較證明：x?y?z?

2221.3-89-

第四篇：g3.1038 不等式的證明—比較法

g3.1038 不等式的證明—比較法

一、基本知識

1、求差法：a＞b? a－b＞0

a2、求商法：a＞b＞0??1并且b?0 b3、用到的一些特殊結(jié)論：同向不等式可以相加（正數(shù)可以相乘）；異向不等式可以相減；

4、分析法——執(zhí)果索因；模式：“欲證?，只需證?”；

5、綜合法——由因?qū)Ч?；模式：根?jù)不等式性質(zhì)等，演繹推理

6、分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件。我們可以利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進(jìn)行表達(dá).二、基本訓(xùn)練

1、已知下列不等式:

(1)x2?3?2x(x?R)(2)a5?b5?a3b2?a2b3(a,b?R)(3)a2?b2?2(a?b?1)其中正確的個(gè)數(shù)為 ???????????????????()

(A)0(B)1(C)2(D)32、1＞a＞b＞0，那么???????????????????（）

a?ba?b(A)a＞＞ab＞b(B)b＞＞ab＞a2

2a?ba?b(C)a＞＞b＞ab(D)＞ab＞a＞b 22

??

3、如果－＜b＜a＜，則b－a的取值范圍是?????????（）2

2???(A)－?＜b－a＜0(B)－?＜b－a＜?(C)－＜b－a＜0(D)－＜b－a＜222

4a4、已知a?2,那么（填“>”或者“<”）4?a

2a5、若a?1，0?b?1，則logb

a?logb的范圍是_____________

6、若a?b?c?1，則a2?b2?c2的最小值為_____________

三、例題分析：

例

1、求證：若a、b>0,n>1,則an?bn?an?1b?abn?

1例

2、已知：a、b

?

例

3、a、b、c、d、m、n全是正數(shù)，比較p=ab?cdq=ma?nc?

例

4、比較aabb與baab(0?a?b)的大小。變題：求證：ab?(ab)

例

5、a∈R，函數(shù)f(x)?a?2 x2?1aba?b2bd?的大小.mn(a?0,b?0)

(1)判斷此函數(shù)的單調(diào)性。

n2(2)F(n)=,當(dāng)函數(shù)f(x)?a?x為奇函數(shù)時(shí)，比較f(n),F(n)的大小.n?12?

1例

6、設(shè)二次函數(shù)f(x)?ax2?bx?c(a?0)，方程f(x)?x?0的兩個(gè)根x1、x2滿足0?x1?x2?1。a

（1）當(dāng)x?(0,x1)時(shí)，證明：x?f(x)?x

1（2）設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x?x0對稱，證明：x0?

四、同步練習(xí)：g3.1038 不等式的證明—比較法

1、不等式：⑴x3＋3>2x；⑵a5＋b5

(A)⑴、⑵(B)⑴、⑶(C)⑶、⑷(D)⑴、⑵、⑶、⑷

2、對x?R都成立的不等式是?????????????????????()

(A)lg(x2?1)?lg2x(B)x2?1?2x(C)

3、0＜a＜1，F(xiàn)=2a，G=1?a，H=12(D)x?4?4x?12x?11，那么F、G、H中最小的是???（）1?a

(A)F(B)G(C)H(D)不能確定

4、a>b>0，則下列不等式恒成立的是??????????????????（）

b2?1b22a?bb11(A)?2(C)a??b?(D)aa>bb ?(B)2a?2baaba?1a5、x>100，那么lg2x,lgx2,lglgx從大到小的順序?yàn)?7(2x?2y)

6、若x、y滿足y?x2，則式log2?的符號是________。8227、a＞0，b＞0，a＋b=1，比較M=x＋y與N=(ax＋by)2＋(bx＋ay)2的大小.8、比較xn?1?yn?1與xny?xyn(n?N,x,y?R?)大小

9、已知△ABC的外接圓半徑R=1，S?ABC?

t?111??。求證：t?s abc1，令s?a??c，b、a、c是三角形的三邊，4?a2??b2a?b2??()

10、設(shè)a、b為實(shí)數(shù)，求證：

4211、已知正數(shù)a、b、c滿足a?b?2c，求證：

（1）c2?ab

（2）c?c2?ab?a?c?c2?ab

答案：DDAD5、lg2x>lgx2>lglgx6、“+”、M?N.8、xn?1?yn?1?xny?xyn

第五篇：2.3：不等式的證明比較法

2.3不等式的證明（1）比較法

【知識要點(diǎn)】

1．作差比較法：

a?b?0?a?b

理論依據(jù)：a?b?0?a?b

a?b?0?a?b

證明步驟：（1）作差；（2）變形；（3）判斷。

1．作商比較法：

a?b?a

b

a

b

a

b?1?1 ?1理論依據(jù)：當(dāng)a,b?R?時(shí)，a?b?a?b?

證明步驟：（1）判斷（判斷能否作商）；（2）作商；（3）變形；（4）判斷。

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1． 已知a,b?(0,??)，設(shè)A?

12a?1

2b,B?

2a?b，則A、B的大小關(guān)系為______________。

2． 已知a,b

是兩個(gè)不相等的正數(shù)，M?

為______________。

3． 若x3

ab2N?，則M與N的大小關(guān)系a+b2的大小關(guān)系為______________。4．若a>0,b>0，則ab與(ab)

【精選例題】 的大小關(guān)系為____________。

例1． 已知a,b?R，求證：a2?b2?c2?ab?bc?ac。

解法指導(dǎo)：對于二次型的不等式的證明，我們可考慮“作差法、配方法、?判別式”。方法一：2(a2?b2?c2)?2(ab?bc?ac)??a?b???a?c???c?b??0 所以a2?b2?c2?ab?bc?ac。22

2?a2?b?c22???ab?bc?ac??a

22?(b?c)a?b?c?bc222b?c???b?c?22?b?c?bc?方法二：??a????2???2?

b?c?3(b?c)???a???0?2?4?22

所以a2?b2?c2?ab?bc?ac。

方法三：?a2?b2?c2???ab?bc?ac??a2?(b?c)a?b2?c2?bc

D=(b+c)-4(b+c-bc)0

所以?a2?b2?c2???ab?bc?ac??0，所以a2?b2?c2?ab?bc?ac。思考題：已知a,b?R，求證：a2?b2?1?a?b?ab。方法一：作差整理成關(guān)于a的二次式，再配方。方法二：作差整理成關(guān)于a的二次式，再用?證明。

例2．（2000年上海春季高考題）設(shè)函數(shù)f(x)?|lgx|，若0?a?b且f(a)?f(b)，證明：ab?1。

解法指導(dǎo):利用等價(jià)命題證明。

證明：f(a)>f(b)?|lga||lgb|?|lga|2|lgb|2?lg2a

?(lga

lgb)(lga-lgb)>0圩lg(ab)lg

ab

<1，所以lg

abab>0

lgb>0，因?yàn)??a?b，所以0<

<0，所以lg(ab)<0，即得ab<1。

例3．某收購站分兩個(gè)等級收購小麥，一等小麥a元/kg，二等小麥b元/kg(b?a)。現(xiàn)有一等品小麥xkg，二等品小麥ykg。若以兩種價(jià)格的平均數(shù)收購，是否公平合理？ 解：平均價(jià)格為

a?b2

元/kg4。如以此價(jià)格統(tǒng)一收購，則收購費(fèi)用為

a?b2

(x?y)

元；

而原定方案收購費(fèi)用為（ax?by）元。因?yàn)?ax?by)?

a?b2

(x?y)?

(a?b)(x?y)。

又因?yàn)閎?a，所以a?b?0，所以

（1）若x?y，則收購站得利；（2）當(dāng)x?y時(shí)，兩種方案費(fèi)用一樣；（3）當(dāng)x?y時(shí)，則收購站吃虧。

例4．已知函數(shù)f(x)?logax(a?0,a?1,x?R?)，如x1,x2?R?，判斷[f(x1)?f(x2)]與

f(x1?x2

212)的大小并加以證明。

x1?x2

2x1?x2

2?)?logaloga

x1?x2

解：[f(x1)?f(x2)]—f(=?

logax1?logax2??loga

1因?yàn)閤1,x2?

R?，所以

x1?x2

x1?x2時(shí)取等號。

（1）當(dāng)a?1時(shí)，12

[f(x1)?f(x2)]?f(1

x1?x2

22)；)。

（2）當(dāng)0?a?1時(shí)，[f(x1)?f(x2)]?f（x1?x2

【能力訓(xùn)練】

一、選擇題： 1．已知a>0,a?1,P（）

（A）P>Q（B）Pa+b”的（）

（A）充分條件（B）必要不充分條件（C）充分不必要條件（D）既不充分又不必要條件

3．現(xiàn)給出下列三個(gè)不等式：

(1)a+1>2a;(2)a+b>2(a-b-

2loga(a-a+1),Q=loga(a-a+1)，則

P與Q的大小關(guān)系為

32);(3)(a+b)(c+d)>(ac+bd)，其中恒成立的不等式共有（）（A）0個(gè)（B）1個(gè)（C）2個(gè)（D）3個(gè)

4.設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2且M=z1z2+z1z2,N=z1z1+z2z2,則M、N的大小關(guān)系為（）（A）M3N（B）M>N（C）M￡N（D）不能比較大小

二、填空題： 5．若a>0,a刮1,m,n

驏

N

*，則1+am+n_________am+an（比較大小）。

p÷

6．當(dāng)x??。0,÷時(shí)，1-cosx________sinx（比較大小）??桫2÷

7．設(shè)x?R+,P

2+

2x-x,Q=(sinx+cosx)，則P、Q之間的大小關(guān)系為________。

8．設(shè)x?R，則1+2x4______2x3+x2（比較大?。?/p>

三、解答題： 9．設(shè)a,b,c?R+,ab

bc+ac=

1，證明：a+b+c。

10．設(shè)a>0,b>0,證明下列不等式。（1）a2+b2+2?2a2b

（2

11．設(shè)?an?是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，log0.5Sn?log0.5Sn?2

?log0.5Sn?1。

Sn是其前n項(xiàng)的和。證明：