第一篇：6高三第一輪復習——構(gòu)造法與放縮法證明不等式

高三第一輪復習——構(gòu)造法與放縮法證明不等式

1.構(gòu)造法證明不等式

在學習過程中，常遇到一些不等式的證明，看似簡單，但卻無從下手，多種常用證法一一嘗試，均難以湊效。這時不妨變換一下思維角度，從不等式的結(jié)構(gòu)和特點出發(fā)，構(gòu)造一個與不等式相關(guān)的數(shù)學模型，實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，從而使不等式得到證明。

一、構(gòu)造向量證明不等式

例1：證明7x?2(9?x2)?9，并指出等號成立的條件。

證明：不等式左邊可看成7與 x 和2與9?x2兩兩乘積的和，從而聯(lián)想到數(shù)量積的坐標表示，將左邊看成向量a=(7,2)與b=(x,又a?b?|a|?|b|，所以x?9?x2)的數(shù)量積，2(9?x2)?(7)2?(2)2x2?(9?x2)?9

當且僅當b??a,(??0)時等號成立，故由x

7?9?x

22解得：x=7,λ=1，即 x =7時，等號成立。

（1－y)?(x?y?3)?(2x?y?6)?例2：求證：2221 6

證明：不等式左邊的特點，使我們?nèi)菀茁?lián)想到空間向量模的坐標表示，將左邊看成a?(1?y,x?y?3,2x?y?6)模的平方，又a?b?|a|?|b|，為使a?b 為常數(shù)，根據(jù)待定系數(shù)法又可構(gòu)造b?(1,2,?1)。

222于是|a|·|b|=(1?y)?(x?y?3)?(2x?y?6)6

（1－y)·1＋(x?y?3)·2?(2x?y?6（）·?1）?1 a·b＝

222所以(1?y)?(x?y?3)?(2x?y?6)6?1（1－y)?(x?y?3)?(2x?y?6)?即

二、構(gòu)造復數(shù)證明不等式

22例

3、求證：x?y?2221 6x2?(1?y)2?(1?x)2?y2?(1?x)2?(1?y)2?2

2證明：從不等式左邊的結(jié)構(gòu)特點容易聯(lián)想到復數(shù)的模，將左邊看成復數(shù)Z1=x+y i , Z2 = x +（1－ y）i，Z3 = 1－ x + y i，Z4 = 1－ x +（1－ y）i 模的和，又注意到Z1＋Z2＋Z3＋Z4＝2＋2 i，于是由 z1＋z2＋z3＋z4≥z1?z2?z3?z4可得： x2?y2?x2?(1?y)2?(1?x)2?y2?(1?x)2?(1?y)2?22?22?22注：此題也可構(gòu)造向量來證明。

三、構(gòu)造幾何圖形證明不等式

例4：已知：a>0、b>0、c>0 ,a2?ab?b2?2?bc?c2?時取等號。

證明：從三個根式的結(jié)構(gòu)特點容易聯(lián)想到余弦定理，于是可構(gòu)造如下圖形，使OA＝a，OB＝b，OC＝c，∠AOB=∠BOC=60° 如圖（1），當且僅當a2?ac?c2，11

1??bac

則∠AOC＝120°，AB=a2?ab?b2，BC=b2?bc?c2,AC=a2?ac?c2由幾何知識可知：AB＋BC≥AC，∴a2?ab?b2+b2?bc?c2≥a2?ac?c2 當且僅當A、B、C三點共線時等號成立，此時有

12absin60??1

12bcsin60??

2acsin120?，即ab+bc=ac 故當且僅當

11b?a?1

c

時取等號。

四、構(gòu)造橢圓證明不等式 圖（1）

例5：求證：?

423?4?9x2?2x?

證明：4?9x2的結(jié)構(gòu)特點，使我們聯(lián)想到橢圓方程及數(shù)形結(jié)合思想。

x2y

2于是令 y?4?9x2(y?0)，則其圖象是橢圓?

4?

1的上半部分，9

設(shè)y-2x=m，于是只需證?

43?m?

3,因 m為直線y=2x＋m在y軸上的截距，由圖（2）可知： 當直線 y = 2 x＋m 過點（23，0）時，m有最小值為m=?43

； 當直線y =2x＋m與橢圓上半部分相切時，m有最大值。

由 ??y?2x?m

9x2?y?4

得：13x2 + 4mx + m2 – 4 = 0 ?2

圖（2）

令△= 4（52－9m2）=0 得：m?

223或m?－3

（去）即m的最大值為

23，故?4242

23?m?3，即?3?4?9x?2x?3

五、構(gòu)造方程證明不等式

例6：設(shè) a1、a2、…an 為任意正數(shù)，證明對任意正整數(shù)n不等式(a1 + a2 + … + an)2≤ n(a12+a22+ …

+

an2)均成立

證明：原不等式即為 4(a1 + a2 + … + an)2－4n(a12 + a22 + … + an2)≤ 0

由此聯(lián)想到根的判別式而構(gòu)造一元二次方程：

(a12+ a22+ … + an2)x 2 + 2(a1 + a2 + … + an)x + n=0（＊）因方程左邊＝(a1 x + 1)2 +(a2 x + 1)2 + … ＋(an x + 1)2 ≥ 0

當a1、a2、…an不全相等時，a1 x+

1、a2 x+

1、…an x+1至少有一個不為0，方程（＊）左邊恒為正數(shù)，方程（＊）顯然無解。當a1＝a2＝…＝an 時，方程（＊）有唯一解 x＝?a

1故△＝4(a1 + a2 + … + an)2 － 4n(a12 + a22 + … + an2)≤ 0

即(a1 + a2 + … +an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2)對任意正整數(shù)n均成立

六、構(gòu)造數(shù)列證明不等式 例

7：求證：Cn1+Cn2+…+Cnn >

n

n·

2n-

11?2n

證明：不等式左邊為 2－1=從而聯(lián)想到等比數(shù)列的求和公式，1?2

11－

2于是左邊=1+2+22+…+ 2 n1=[(1+2n-1)+(2+2n-2)+ …(2n-1+1)≥·n·22n?1=n·

例8：設(shè)任意實數(shù)a、b均滿足| a | < 1，| b | < 1，求證：

n-

2??

1?a21?b21?ab

證明：不等式中各分式的結(jié)構(gòu)特點與題設(shè)聯(lián)想到無窮等比數(shù)列（| q | < 1）各項和公式S＝

a1，1?q

則：

?=（1 + a2 + a4 + …）+（1 + b2 + b4 + …）22

1?a1?b

=2+（a2 + b2）+(a4 + b4)+ …≥2+2ab+2 a2 b2 + 2a4b4 + … =

1?ab

七、構(gòu)造函數(shù)證明不等式

例9：已知 | a | < 1，| b | < 1，| c | < 1，求證：ab＋bc＋ca＞－1 證明：原不等式即為：（b＋c）a＋bc＋1>0 ……①

將a看作自變量，于是問題轉(zhuǎn)化為只須證：當－1＜a＜1時，（b＋c）a＋bc＋1恒為正數(shù)。因而可構(gòu)造函數(shù) f(a)=(b + c)a + bc +1(－1＜a＜1)若b + c = 0原不等式顯然成立。

若b + c ≠0，則f(a)是a的一次函數(shù)，f(a)在（－1,1）上為單調(diào)函數(shù) 而 f(-1)=－b－c + bc +1＝（1－b）（1－c）＞0f(1)＝b＋c＋bc＋1＝（1＋b）（1＋c）＞0

∴f(a)＞0 即ab＋bc＋ca＞－

1此題還可由題設(shè)構(gòu)造不等式：（1＋a）（1＋b）（1＋c）＞0（1－a）（1－b）（1－c）＞0 兩式相加得：2＋2（ab＋bc＋ca）＞0即ab＋bc＋ca＞－1

八、構(gòu)造對偶式證明不等式

例10：對任意自然數(shù)n，求證：(1+1)(1+

1)…(1+)> 43n?

2n?1

證明：設(shè)an =(1+1)(1+

112583n?43n?1)…(1+)= … 43n?21473n?53n?2

3693n?33n47103n?23n?1

…，cn = … 2583n?43n?13693n?33n

構(gòu)造對偶式：bn =

?1?

1111

3?1??1?，1?，即an > bn，an > cn，∴an> an bn cn

3n?23n?13n?23n

∴an>

11)> 3n?1 n?1，即：(1+1)(1+)…(1+

43n?2

2.放縮法證明不等式

近年來在高考解答題中，常滲透不等式證明的內(nèi)容，而不等式的證明是高中數(shù)學中的一個難點，它可

以考察學生邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力?！胺趴s法”它可以和很多知識內(nèi)容結(jié)合，對應變能力有較高的要求。因為放縮必須有目標，而且要恰到好處，目標往往要從證明的結(jié)論考察，放縮時要注意適度，否則就不能同向傳遞。

1、添加或舍棄一些正項（或負項）例

1、已知an?2n?1(n?N*).求證：

an1a1a

2????...?n(n?N*).23a2a3an?

1ak2k?11111111

證明： ??k?1??????.k,k?1,2,...,n, k?1kk

ak?12?122(2?1)23.2?2?2232

?

aa1a2n1111n11n1

??...?n??(?2?...?n)??(1?n)??, a2a3an?1232222322

3an1aan

???1?2?...?n?(n?N*).23a2a3an?12

若多項式中加上一些正的值，多項式的值變大，多項式中加上一些負的值，多項式的值變小。由于證

明不等式的需要，有時需要舍去或添加一些項，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達到證明的目的。本題在放縮時就舍去了2?2，從而是使和式得到化簡.2、先放縮再求和（或先求和再放縮）例

2、函數(shù)f（x）=

k

4x1?4x，求證：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+

12n?

1?(n?N*).2證明：由f(n)=

4n1?4n

=1-

?1? 1?4n2?2n

得f（1）+f（2）+…+f（n）>1?

2?22?22?2

111111

?n?(1?????n?1)?n?n?1?(n?N*).424222

?1?

???1?

n

此題不等式左邊不易求和,此時根據(jù)不等式右邊特征, 先將分子變?yōu)槌?shù)，再對分母進行放縮，從而對

左邊可以進行求和.若分子, 分母如果同時存在變量時, 要設(shè)法使其中之一變?yōu)槌Ａ浚质降姆趴s對于分子分母均取正值的分式。如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可。

3、先放縮，后裂項（或先裂項再放縮）例

3、已知an=n，求證：∑ 證明： ∑

k=

1n

nk=1ak

k

＜3．

n

k

∑

k=1

n

＜1＋∑

k=

2n

(k－1)k(k＋1)

(k－1)(k＋1)

（k＋k－)

＜１＋∑

k=2

=1?

k?2

n

－)

(k－1)

(k＋1)

=1＋ ∑k=2

n

=1＋1＋＜2＋＜3．

(n＋1)2

2本題先采用減小分母的兩次放縮，再裂項，最后又放縮，有的放矢，直達目標.4、放大或縮小“因式”；

n

1例

4、已知數(shù)列{an}滿足an?1?a,0?a1?,求證：?(ak?ak?1)ak?2?.232k?

1n

證明： ?0?a1?

n

11112,an?1?an,?a2?a12?,a3??.?當k?1時,0?ak?2?a3?, 241616

??(ak?ak?1)ak?

2k?1

1n11

??(ak?ak?1)?(a1?an?1)?.16k?11632

本題通過對因式ak?2放大，而得到一個容易求和的式子

5、逐項放大或縮小

?(a

k?

1n

k

?ak?1)，最終得出證明.n(n?1)(n?1)

2?an?例

5、設(shè)an??2?2?3??4???n(n?1)求證： 2

2證明：∵

n(n?1)?n2?n

12n?

1n(n?1)?(n?)2?

∴ n?n(n?1)?

2n?1

1?3???(2n?1)n(n?1)(n?1)2

?an?∴ 1?2?3???n?an?，∴

222

本題利用n?

2n?1，對an中每項都進行了放縮，從而得到可以求和的數(shù)列，達到化簡2的目的。

6、固定一部分項，放縮另外的項； 例

6、求證：

11117?????? 2222123n

4證明：?

1???

n2n(n?1)n?1n

?

1111111115117??????1??(?????)??(?)?.122232n22223n?1n42n4

此題采用了從第三項開始拆項放縮的技巧，放縮拆項時，不一定從第一項開始，須根據(jù)具體題型分別

對待，即不能放的太寬，也不能縮的太窄，真正做到恰倒好處。

7、利用基本不等式放縮

例

7、已知an?5n?

41對任何正整數(shù)m，n都成立.證明：

1，只要證

5amn?1?aman?因為 amn?5mn?4，aman?(5m?4)(5n?4)?25mn?20(m?n)?16，故只要證

5(5mn?4)?1?25mn?20(m?n)?16? 即只要證

20m?20n?37?

因為am?an?5m?5n?8?5m?5n?8?(15m?15n?29)?20m?20n?37，所以命題得證.本題通過化簡整理之后，再利用基本不等式由am?an放大即可。

第二篇：放縮法證明不等式

放縮法證明不等式

不等式是數(shù)學的基本內(nèi)容之一，它是研究許多數(shù)學分支的重要工具，在數(shù)學中有重要的地位，也是高中數(shù)學的重要組成部分，在高考和競賽中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技巧性強，它不僅能夠檢驗學生數(shù)學基礎(chǔ)知識的掌握程度，而且是衡量學生數(shù)學水平的一個重要標志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。

一、不等式的初等證明方法

1.綜合法：由因?qū)Ч?/p>

2.分析法：執(zhí)果索因?；静襟E：要證..只需證..，只需證..(1)“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件。

(2)“分析法”證題是一個非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進行表達。

3.反證法：正難則反。

4.放縮法：將不等式一側(cè)適當?shù)姆糯蠡蚩s小以達證題目的。放縮法的方法有：

(1)添加或舍去一些項，如

(2)利用基本不等式，如：

(3)將分子或分母放大(或縮小)：

5.換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題

化難為易、化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。

二、部分方法的例題

1.換元法

換元法是數(shù)學中應用最廣泛的解題方法之一。有些不等式通過變量替換可以改變問題的結(jié)構(gòu)，便于進行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡、化隱蔽為外顯的積極效果。

2.放縮法

欲證A≥B，可將B適當放大，即B1≥B，只需證明A≥B1。相反，將A適當縮小，即A≥A1，只需證明A1≥B即可。

注意：用放縮法證明數(shù)列不等式，關(guān)鍵是要把握一個度，如果放得過大或縮得過小，就會導致解決失敗。放縮方法靈活多樣，要能想到一個恰到好處進行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識，同時要求我們具有相當?shù)臄?shù)學思維能力和一定的解題智慧。

數(shù)學題目是無限的，但數(shù)學的思想和方法卻是有限的。我們只要學好了有關(guān)的基礎(chǔ)知識，掌握了必要的數(shù)學思想和方法，就能順利地應對那無限的題目。題目并不是做得越多越好，題海無邊，總也做不完。關(guān)鍵是你有沒有培養(yǎng)起良好的數(shù)學思維習慣，有沒有掌握正確的數(shù)學解題方法。當然，題目做得多也有若干好處：一是“熟能生巧”，加快速度，節(jié)省時間，這一點在考試時間有限時顯得很重要;二是利用做題來鞏固、記憶所學的定義、定理、法則、公式，形成良性循環(huán)。

解題需要豐富的知識，更需要自信心。沒有自信就會畏難，就會放棄;有了自信，才能勇往直前，才不會輕言放棄，才會加倍努力地學習，才有希望攻克難關(guān)，迎來屬于自己的春天。

第三篇：放縮法證明不等式

主備人：審核：包科領(lǐng)導：年級組長：使用時間：

放縮法證明不等式

【教學目標】

1.了解放縮法的概念；理解用放縮法證明不等式的方法和步驟。

2.能夠利用放縮法證明簡單的不等式。

【重點、難點】

重點：放縮法證明不等式。

難點：放縮法證明不等式。

【學法指導】

1.據(jù)學習目標，自學課本內(nèi)容，限時獨立完成導學案；

2.紅筆勾出疑難點，提交小組討論；

3.預習p18—p19,【自主探究】

1，放縮法：證明命題時，有時可以通過縮?。ɑ颍┓质降姆帜福ɑ颍?，或通過放大（或縮?。┍粶p式（或）來證明不等式，這種證明不

等式的方法稱為放縮法。

2，放縮時常使用的方法：①舍去或加上一些項，即多項式加上一些正的值，多項式的值變大，或多項式減上一些正的值，多項式的值變小。如t2?2?t2,t2?2?t2等。

②將分子或分母放大（或縮?。悍帜缸兇螅质街禍p小，分母變小，分

式值增大。

如當(k?N,k?1)1111，22kkk(k?1)k(k?1)，③利用平均值不等式，④利用函數(shù)單調(diào)性放縮。

【合作探究】

證明下列不等式

(1)

(2)，已知a>0，用放縮法證明不等式:loga

(a?1)1111??...??2(n?N?)2222123nloga(a?1)?1

(3)已知x＞0, y>0，z>0求證

?x?y?z

（4）已知n?

N?，求證：1

【鞏固提高】

已知a,b,c,d都是正數(shù)，s?

【能力提升】

求證: ?...?abcd???求證:1

1?a?b?a

1?a?b

1?b

本節(jié)小結(jié)：

第四篇：放縮法證明不等式

放縮法證明不等式

在學習不等式時，放縮法是證明不等式的重要方法之一，在證明的過程如何合理放縮，是證明的關(guān)鍵所在?，F(xiàn)例析如下，供大家討論。例1：設(shè)a、b、c是三角形的邊長，求證

abc≥3 ??b?c?ac?a?ba?b?c證明：由不等式的對稱性，不妨設(shè)a≥b≥c，則b?c?a≤c?a?b≤a?b?c

且2c?a?b≤0，2a?b?c≥0

∴

? ∴abcabc???3??1??1??1

b?c?ac?a?ba?b?cb?c?ac?a?ba?b?c2a?b?c2b?a?c2c?a?b2a?b?c2b?c?a2c?a?b≥?????0

b?c?ac?a?ba?b?cc?a?bc?a?bc?a?babc≥3 ??b?c?ac?a?ba?b?c2b?a?c無法放縮。所以在運用放

c?a?b[評析]：本題中為什么要將b?c?a與a?b?c都放縮為c?a?b呢？這是因為2c?a?b≤0，2a?b?c≥0，而2b?a?c無法判斷符號，因此縮法時要注意放縮能否實現(xiàn)及放縮的跨度。

例2：設(shè)a、b、c是三角形的邊長，求證

abc(b?c)2?(c?a)2?(a?b)2≥ b?cc?aa?b1 [(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2]

3證明：由不等式的對稱性，不防設(shè)a≥b≥c，則3a?b?c?0,3b?c?a≥b?c?c?c?a?

b?c?a?0

左式－右式?3a?b?c3b?c?a3c?a?b(b?c)2?(c?a)2?(a?b)2 b?ca?ca?b3b?c?a3c?a?b(c?a)2?(a?b)2 a?ba?b2(b?c?a)3b?c?a3c?a?b(a?b)2?(a?b)2?(a?b)2≥0 a?ba?ba?b ≥ ≥[評析]：本題中放縮法的第一步“縮”了兩個式了，有了一定的難度。由例

1、例2也可知運用放縮法前先要觀察目標式子的符號。

例3：設(shè)a、b、c?R?且abc?1求證

111≤1 ??1?a?b1?b?c1?c?a證明：設(shè)a?x3,b?y3,c?z3.且 x、y、z?R?.由題意得：xyz?1。

∴1?a?b?xyz?x3?y3

∴x3?y3?(x2y?xy2)?x2(x?y)?y2(y?x)?(x?y)2(x?y)≥0 ∴x3?y3≥x2y?xy2

∴1?a?b?xyz?x3?y3≥xyz?xy(x?y)?xy(x?y?z)

∴

1z1?≤

xy(x?y?z)x?y?z1?a?byx11≤，≤ ∴命題得證.x?y?zx?y?z1?b?c1?c?a同理：由對稱性可得[評析]：本題運用了排序不等式進行放縮，后用對稱性。

39例4：設(shè)a、b、c≥0，且a?b?c?3，求證a2?b2?c2?abc≥

22證明：不妨設(shè)a≤b≤c，則a≤1?又∵(44?！郺??0。33a?b23?a23434)≥bc，即()≥bc，也即bc(a?)≥(3?a)2(a?)。2223833∴左邊?(a?b?c)2?2(ab?bc?ca)?abc

23434 ?9?2a(b?c)?bc(a?)≥9?2a(3?a)?(3?a)2(a?)

2383

341633?9?(3?a)[(3?a)(a?)?a]?9?(3?a)[a2?a?4]?9?(?a3?2a2?a?12)83388?99393?a(a2?2a?1)??a(a?1)2≥

2282893 ∴a2?b2?c2?abc≥

22[評析]：本題運用對稱性確定符號，在使用基本不等式可以避開討論。

例5：設(shè)a、b、c?R?，p?R，求證：

abc(ap?bp?cp)≥ap?2(?a?b?c)?bp?2(a?b?c)?cp?2(a?b?c)

證明：不妨設(shè)a≥b≥c＞0，于是

左邊－右邊?ap?1(bc?a2?ab?ca)?bp?1(ca?b2?bc?ab)?cp?1(ab?c2?ca?bc)

?ap?1(a?b)[(a?b)?(b?c)]?bp?1(a?b)(b?c)?cp?1[(a?b)?(b?c)](b?c)?ap?1(a?b)2?(a?b)(b?c)(ap?1?bp?1?cp?1(b?c)2

≥(a?b)(b?c)(ap?1?bp?1?cp?1)如果p?1≥0，那么ap?1?bp?1≥0；如果p?1＜0，那么cp?1?bp?1≥0，故有(a?b)(b?c)(ap?1?bp?1?cp?1)≥0，從而原不等式得證.例6：設(shè)0≤a≤b≤c≤1，求證：

abc???(1?a)(1?b)(1?c)≤1

b?c?1c?a?1a?b?1abca?b?c≤，再證明以 ??b?c?1c?a?1a?b?1a?b?1證明：設(shè)0≤a≤b≤c≤1，于是有下簡單不等式

a?b?ca?b?1c?1?(1?a)(1?b)(1?c)≤1，因為左邊???(1?a)(1?b)(1?c)

a?b?1a?b?1a?b?1

?1?1?c[1?(1?a?b)(1?a)(1?b)]，再注意(1?a?b)(1?a)(1?b)≤(1?a?b?ab)

a?b?1(1?a)(1?b)?(1?a)(1?b)(1?a)(1?b)?(1?a2)(1?b2)≤1得證.在用放縮法證明不等式A≤B，我們找一個(或多個)中間量C作比較，即若能斷定A ≤C與C≤B同時成立，那么A≤B顯然正確。所謂的“放”即把A放大到C，再把C放大到B，反之，所謂的“縮”即由B縮到C，再把C縮到A。同時在放縮時必須時刻注意放縮的跨度，放不能過頭，縮不能不及。

第五篇：放縮法與不等式的證明

放縮法與不等式的證明

我們知道，“放”和“縮”是證明不等式時最常用的推證技巧，但經(jīng)教學實踐告訴我們，這種技巧卻是不等式證明部分的一個教學難點。學生在證明不等式時，常因忽視“放”或“縮”的合理性或把握不住“放”或“縮”的“度”而導致解題失誤甚至思維擱淺。本文以通過對幾道實例的分析，就證明不等式的過程中如何進行“放”或“縮”作些淺談。

例1設(shè)△ABC的三邊長為a、b、c，且m為正數(shù)，求證：abc??。m?am?bm?c解說：依題設(shè)知a?b?c，因此證明的第一個目標就是考慮將待證不等式的左端適當

ababa?b???????① m?am?bm?a?bm?a?bm?a?b

由于①式的分子、分母中都含有a?b，不便于利用條件a?b?c，據(jù)此可考慮處理掉分子

a?b(m?a?b)?mm??1?的a?b：????② m?a?bm?a?bm?a?b

在利用條件a?b?c和不等式的性質(zhì)便能達到“縮”的目的：

11?∵ a?b?c?0，∴ m?a?b?m?c?0，∴，又∵m?0，m?a?bm?c

mmmmm(m?c)?mc?1??1???∴，又∵1?，m?a?bm?cm?a?bm?cm?cm?cm?cabc??于是。m?am?bm?c縮小，以出現(xiàn)a?b：左?

本題是高中數(shù)學教材第二冊（上）（人教版）中不等式證明中的一道習題，主要利用了三角形的兩邊之和大于第三邊和不等式的一些基本性質(zhì)來對分母進行“放”或“縮”，以達到證明的目的。

例2：對于一切大于1的自然數(shù)n，證明(1?)(1?)?(1?

13151)?2n?12n?1

2解說：本題的常見證明方法是數(shù)學歸納法。能否找到一種“放”或“縮”的方式直接證明呢？顯然，待證不等式等價于2?22?32n?????2?2?12?3?12n?12n?1??????① 2

①式的左端是形如2k（k?2，3，??，n）的n?1個因數(shù)的乘積。如果能將每一個2k?1

因數(shù)按照某種規(guī)律縮小后能“交叉”約分的話，可望收到化繁為簡之效。注意到①式右端需要2n?1，因此，對左端每一個因數(shù)縮小后應含有2k?1，據(jù)此便不難找到可行的縮小方式：2k2k2k2k2k?12k?1，?????2k?12k?12k?12k?12k2k?1

于是左?2?2?12?3?12(n?1)?12n?12n?12n?1。???????2.2?12?3?12(n?1)?12n?132

本題是95年上海的一道高考題，本題通過對待證式子的變形，然后在假分數(shù)的分子、分母上加上同一個常數(shù)，分數(shù)的值縮小，以達到能夠約分的目的，進而得到所證的結(jié)果。

以上兩個例中的“放”或“縮”的方式都是通過對待證不等式的結(jié)構(gòu)特征進行分析才獲得的“放”或“縮”的方法。然而，對有些不等式而言，合適的“放”或“縮”的方式的獲得并非象上面兩個例子那樣順利。

例3：求證：11111??????(n?N)。325272(2n?1)2

41（k?1，2，?，n）的n項之和，不便于與右2(2k?1)解說：不等式是左邊是形如

邊直接比較，于是想到將左邊的每一項按照某種規(guī)律放大，求和后再與右邊比較，我們先看下列放大方式：

11111111???????????325272(2n?1)22324252n?

111111n?1[1?(1)n]?1。?3(1??2???n?1)??1222284241?21?

僅觀其表，會認為無懈可擊。問題在于這里采用的放大方式11 ?2k?2(2k?1)

2即(2k?1)2?2k?2(k?N)是否合理。通過驗證k的前幾個特殊值可以發(fā)現(xiàn)，(2k?1)2?2k?2對k?1，2，3，4成立，但對k?5，6等不成立，其根源在于忽視了“當k增大時，指數(shù)函數(shù)2k?2比冪函數(shù)(2k?1)2增大得快”這一基本事實。我們再看下述放大方式：1111，???22k(2k?1)2k2k?1(2k?1)

左邊<(111111?)?(?)???(?)。23452n2n?1

11?的積，利用它2k?12k?1顯然，這種放大方式是行不通的，因為它不能滿足將左邊各項放大后求和的要求，必須對其作些改進。如果將左邊每一項放大后能出現(xiàn)一個常數(shù)與

將左邊放大后就可“交叉”相消達到求和目的，基于這種想法，考慮放大方式：

11111??(?)，(2k?1)2(2k?1)(2k?1)22k?12k?1

左邊<[(1?)?(?)?(?)???（由于12***1111?)]?(1?)?。2n?12n?122n?1211?知這種放大方式的放大量偏大，但它卻給我們提供了尋求放大方式的啟示：24

使每一項放大后出現(xiàn)因數(shù)1。經(jīng)嘗試可得： 4

111111???(?)，于是(2k?1)24k2?4k?14k(k?1)4kk?1

左邊<[(1?)?(?)?(?)???(1

41212***?)]?(1?)?。nn?14n?14

通過對放大方式的反復調(diào)整，終于成功了。

該例題表明在放、縮方式合理的前提下，放、縮方式是否適度，事先難以預料的，但在證明過程中可以通過對放、縮情況的審視逐步作出調(diào)整，選擇適度的放縮方式改進證明。

?例4： 設(shè)a、b?R，a?b?1，求證：(a?12125)?(b?)2??????① ab

2解說：如果直接運用二元均值不等式縮小，即采用縮小方式a?11?2a??2??????????????② aa

b?11?2b??2??????????????????③ bb

2225知，②、③處的縮小量太大。失敗的根源在于②、③中的2

1等號無法取得。注意到①是非嚴格不等式，其中等號成立的條件是a?b?，因此，每一2將有左?2?2?8，由8?

次縮小都必須保證等號成立的條件得到滿足。抓住這一點不難獲得多種可行的縮小方式，組織多種證法。

121111)?(b?)2?[(a?)?(b?)]2 ab2ab

1a?b2111125?[(a?b)?]?(1?)2?[1?]2? a?b22ab2ab22()2

1212111ab1??)?2(ab??2)證法2：(a?)?(b?)?2(a?)(b?)?2(ab?abababbaab證法1：(a?

119491159?2[(ab?)?(?4)?]?2(ab?)??2[(ab?)?]?4ab4ab24ab4ab2

?2(1?15

4ab)?9?2(1?215925159)?=2(1?)??a?b22224?2

對非嚴格不等式的證明，每一次的“放”或“縮”保證等號成立是一個基本的思考點，是放大或縮小的一個必要性要求，但它并不具有充分性。