第一篇：柯西不等式的證明

柯西不等式的證明

二維形式的證明

(a^2+b^2)(c^2+d^2)（a,b,c,d∈R)

=a^2·c^2 +b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^

2=a^2·c^2 +2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2－2abcd+b^2·c^2

=(ac+bd)^2+(ad－bc)^2

≥(ac+bd)^2，等號在且僅在ad－bc=0即ad=bc時成立。

三角形式的證明

√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]

證明： [√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)]^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2*√(a^2+b^2)*√(c^2+d^2)≥a^2+b^2+c^2+d^2+2*|a*c+b*d| 注： | |表示絕對值。*表示乘

≥a^2+b^2+c^2+d^2-2（a*c+b*d）

=a^2-2*a*c+c^2+b^2-2bd+d^2

=(a-c)^2+(b-d)^2

兩邊開根號即得 √(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]

一般形式的證明

求證：(∑ai^2)(∑bi^2)≥(∑ai·bi)^2

證明：

當a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0時，一般形式顯然成立

令A(yù)=∑ai^2 B=∑ai·bi C=∑bi^2

當a1，a2，…，an中至少有一個不為零時，可知A>0

構(gòu)造二次函數(shù)f(x)=Ax^2+2Bx+C，（請注意，一次項系數(shù)是2B，不是B）展開得：f(x)=∑(ai^2·x^2+2ai·bi·x+bi^2)=∑(ai·x+bi)^2≥0

故f(x)的判別式△=4B^2－4AC≤0，（請大家注意：一元二次方程ax^2+bx+c=0的判別式確實是△=b^2-4ac，但是這里的方程Ax^2+2Bx+C = 0已經(jīng)發(fā)生如下替換a = A，b = 2B，c = C，這里面b已經(jīng)換成了2B，因而導(dǎo)致很多網(wǎng)友的誤解。此步若錯，柯西不等式就無法證明了?。┮祈椀肁C≥B^2，欲證不等式已得證。

向量形式的證明

令m=(a1, a2, …, an)，n=(b1, b2, …, bn)

m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos=√(a1^2+a2^2+…+an^2)×√(b1^2+b2^2+…+bn^2)×cos

∵cos≤

1∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1^2+a2^2+…+an^2)×√(b1^2+b2^2+…+bn^2)注：“√”表示平方根。

注：以上僅是柯西不等式部分形式的證明。

【柯西不等式的應(yīng)用】 柯西不等式在求某些函數(shù)最值中和證明某些不等式時是經(jīng)常使用的理論根據(jù)，我們在教學(xué)中應(yīng)給予極大的重視。

巧拆常數(shù)證不等式

例：設(shè)a、b、c為正數(shù)且互不相等。求證：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)∵a、b、c 均為正數(shù)

∴為證結(jié)論正確，只需證：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9

而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)

又9=(1+1+1)^2 ∴只需證：

2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)^2=9

又a、b、c互不相等，故等號成立條件無法滿足

∴原不等式成立

求某些函數(shù)最值

例：求函數(shù)y=3√(x－5)+4√(9－x)的最大值。(注：“√”表示平方根)

函數(shù)的定義域為[5, 9]，y>0

y=3√(x－5)+4√(9－x)≤√(3^2+4^2)×√{ [√(x－5)] ^2 + [√(9－x)] ^2 }=5×2=10函數(shù)僅在4√(x－5)=3√(9－x)，即x=6.44時取到。

以上只是柯西不等式的部分示例。

更多示例請參考有關(guān)文獻。三角形式證明 :兩邊同時平方,展開,消去同樣的項,剩余部分再平方,消去同樣的項,得一完全平方式,大于或等于0,得證

代數(shù)形式

設(shè)a1，a2，...an及b1，b2，...bn為任意實數(shù)，則（a1b1+a2b2+...+anbn）①，當且僅當a1/b1=a2/b2=...=an/bn（規(guī)定ai=0時，bi=0）時等號成立.推廣形式的證明

推廣形式為

(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n(*)

證明如下

記A1=x1+y1+…,A2=x2+y2+…,….由平均值不等式得(1/n)(x1/A1+x2/A2+…+xn/An)≥[x1*x2*…*xn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)

=[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)

(1/n)(y1/A1+y2/A2+…+yn/An)≥[y1*y2*…*yn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)

=[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n), …… 上述m個不等式疊加得

即即 即1≥[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+…(A1*A2*…*An)^(1/n)≥(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…A1*A2*…*An≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n

成立.（注：推廣形式即為卡爾松不等式）

(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n，因此,不等式(*)

第二篇：關(guān)于柯西不等式的證明

關(guān)于柯西不等式的證明

王念

數(shù)學(xué)與信息學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 07 級 指導(dǎo)老師：吳明忠

摘要：研究柯西不等式的多種證明方法，得到一些有用的結(jié)論，并簡單介紹一些它的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：柯西不等式、數(shù)學(xué)歸納法、二次型正定、歐式空間向量內(nèi)積、詹森不等式，二維隨機變量的數(shù)學(xué)期望。

Cauchy inequality is an important inequality.It has aroused people’s interest and its widespread application.In this paper、quadratic form、European space inner product、and the relation between Cauchy inequality.Wang Ni an

Xxxxxxxxxxx Grade 07 Instructor: Wu Ming Zhong

Abstract: The paper discusses the certifying ways of Cauchy inequality then gets some useful conduction and introduces some appliances.Key words: Cauchy inequality;quadratic form;inner product;Jensen inequality;mathematic Expectation.柯西不等式是大家熟知的一個重要不等式，它的結(jié)構(gòu)和諧對稱、以及廣泛的運用引起了人們的興趣和討論。本文運用高等代數(shù)、微積分的基本內(nèi)容來證明柯西不等式?？挛鞑坏仁降膬?nèi)容 1.1

(a1b1?a2b2?....?anbn)2?(a12?a22?....an2)2(b12?b22?....?bn2)2(aibi?R,i?1,2......n)

等號當且僅當a1?a2?.....?an?0或bi?kai時成立（k為常數(shù)，i=1,2…..n）.1.2 設(shè)a1,a2,.....an及b1,b2,.....bn為任意實數(shù)則不等式(?aibi)?(?a)(?bi2)成2

i?1

i?1

i?1

n

n

n

立，當且僅當bi?kai（i=1,2…..n）取等號。1,2這兩種形式就是著名的柯西不

等式?？挛鞑坏仁降淖C明 2.1構(gòu)造二次函數(shù)，證明柯西不等式。(其關(guān)鍵在于利用二次函數(shù)??0時函數(shù)f(x)?0

f(x)?(a1x?b1)2?(a2x?b2)2?....?(anx?bn)2

?(a12?a22?....?an2)x2?2(a1b1?a2b2?....?anbn)x ?(b12?b22?....bn2)顯然f(x)?0

又?a12?a22?....ann?0則利用??0可得

??4(a1b1?a2b2?.....?anbn)2?4(a12?a22?....?ann)(b?b2?.....?bn)?0即

n

(a1b1?a2b2?....?anbn)2?(a12?a22?....?an2)(b?b2?....?bn)

當且僅當aix?bi?0(i?1,2....n)即

aa1a2

??.......?n是等號成立。b1b2bn

2.2 利用數(shù)學(xué)歸納法進行證明。（關(guān)鍵把握由特殊到一般情況的嚴密性）

（1）當n?1時左式=?a1b1?右式=?a1b1?

顯然左式=右式 當

n?2

時，右式

??a12?a2??b12?b22???a1b1???a2b2??a22b12?a12b22

??a1b1???a2b2??2a1a2b1b2??a1b2?a2b2??左式

僅當即 a2b1?a1b2 即

a1a2

?時等號成立 b1b2

故n?1,2時 不等式成立

（2）假設(shè)n?k?k??,k?2?時，不等式成立

2k???ak即 ?a1b1?a2b2???akbk???a12?a2??b12?b22???bk2?

當 bi?kai，k為常數(shù)，i?1,2?n 或a1?a2???ak?0時等號成立

??a12?a2?....?ak

設(shè)B?b12?b22?....?bk2

C?a1b1?a2b2?....?akbk

222222則???ak?1????bk?1??????bk?1?ak?1bk?1?Bak?1 22?C2?2Cak?1bk?1?ak?1bk?1??C?ak?1bk?1? 2222?a1?a2???ak?ak?1

???

b?12

b?2??

k

?b2

?k

?b

??a1b1?a2b2???akbk?ak?1bk?1?

當 bi?kai，k為常數(shù)，i?1,2?n 或a1?a2???ak?0時等號成立

即n?k?1時不等式成立 綜上所述原柯西不等式得證。

2.3 利用基本不等式（均值不等式）進行證明（關(guān)鍵在于利用它 “形式”）由于x?y?2xy(x,y?

R)，令x?

y?

?

ai22?ak2

k?1

n

n

?

bi22?bk2

k?1n

(i?1,2.......n)

將N

不等式相加得：

?ab

ii

??aibi?

i?1n

?

?a

i?1

nk?1

n

i

?

?b

i?1nk?1

n

i

?1

2?ak22?bk2

n

n

n

i?1

k?1

即(?aibi)?(?ai)(?bk2)

i?1

原柯西不等式得證。

2.4 利用二次正定型理論進行證明（關(guān)鍵在于理解二次型正定的定義）正定二次型定義：R上一個n元二次型q(x1,x2,....xn)可以看成定義在實數(shù)域上n個變量的實函數(shù)。如果對于變量x1,x2,....xn的每一組不全為零的值，函數(shù)值

q(x1,x2,....xn)都是正數(shù)，那么就稱q(x1,x2,....xn)是一個正定二次型。

?(aix1?bix2)?ai2x12?bi2x22?2aibix1x2?0(i?1,2,.....n)

n

n

n

有(?ai)x?(?bi)x2?(2?aibi)x1x2?0

i?1

i?1

i?1

設(shè)二次型 f(x1,x2)?(?ai)x?(?bi)x2?(2?aibi)x1x2?0

i?1

i?1

i?1

nnn

故f為正定必有二次型矩陣

?n2??aii?1

A??n

?

??aibi?i?1

n

?ab?ii?i?1

?正定 n

2?b?i?i?1?

n

n

n

(?ai)(?bi)?(?aibi)2?0

則A?0,即

i?1

i?1

i?1

?(?aibi)2?(?ai2)(?bi2)

i?1

i?1

i?1

nnn

當

aa1a2

??.......?n時等號成立。b1b2bn

故原不等式成立，及柯西不等式得證。2.5 利用歐式空間中內(nèi)積的性質(zhì)進行證明。

定理：在一個歐式空間里，對于任意向量?,?，有不等式：

??,??2???,????,??;當且僅當?與?線性相關(guān)時，才取等號。

證 如果?與?線性相關(guān)，那么或者??0，或者??a?，不論哪一種情況都有

??,??2???,????,??.現(xiàn)在設(shè)?與?線性無關(guān)。那么對于任意實數(shù)t來說，t????0，于是

?t???,t?????0,即 t2??,???2t??,????,?????,???0.最后不等式左端是t的一個二次三項式。由于它對于t的任意是數(shù)值來說都是正數(shù)，所以它的判別式一定小于零，即

??,??2???,????,???0或??,??2???,????,??.又在Rn里，對于任意兩個向量

??(x1,x2,....xn),??(y1,y2,....yn),規(guī)定（必須規(guī)定）??,???x1y1?x2y2?.....?xnyn.容易驗證，關(guān)于內(nèi)積的公理被滿足，因而R對于這樣定義的內(nèi)積來說作成一個歐式空

n

間.再由不等式??,??2???,????,??;推出對于任意實數(shù)a1,a2,....an,b1,b2,....bn,有不等式

(a1b1?....?anbn)2?(a12?....?an2)(b12?....?bn2).即柯西不等式得證。2.6 利用行列式進行證明

n

n

n

證 ?(?ai)(?b)?(?aibi)?

i?1

i?1

i?1

?a

i?1ni?1

n

i

?ab

i?1n

2ii?1

n

ii

?ab?b

iin

n

???

i?1j?1

ai2aibi

ajbjbj2

?

1?i?j?n

?

(aibj?ajbi)2?0

若令a?(a1,a2,?an),b?(b1,b2?bn)則可以得到：

(?aibi)?(a)(b)?1?i 即柯西不等式得證。

i?1

i?1

i?1

n

n

n

2.7 利用詹森不等式進行證明

考察函數(shù)?(x)?x2,(x?0),??(x)?2x,???(x)?2?0,故?(x)?x2是(0,??)上的凸函數(shù)，詹森（Jensen）不等式

?n

??PkXk?k?1n?

??Pk?k?1

n

n

?2??PkXk??k?1n(其中，P,2,?n),得 k?0,k?1?Pk??

k?1?

n

n

(?PkXk)?(?Pk)(?PKxk2)

k?1

k?1

k?1

nnn

ak22

上式中令Pk?bk,Xk?即（?PkXk)?(?bk)(?ak2)

bkk?1k?1k?1

從而不等式成立。

2.8 利用二維隨機變量的數(shù)學(xué)期望證明

表格 2

1n1n21n222

E(??)??aibi，E???ai,E???bi

ni?1ni?1ni?1

由E(??)?E?2E?2

1n1n21n22

所以有(?aibi)?(?ai)(?bi)

ni?1ni?1ni?1

即(?aibi)?(?ai)(?bi2)

i?1

i?1

i?1

nnn

則柯西不等式得證。

第三篇：利用柯西不等式證明不等式[范文模版]

最值

1.求函數(shù)y?x2?4

x,(x?R?)的最小值。

2.求函數(shù)y?x?4x

2,(x?R?)的最小值。

x?R?且x2?y

3.設(shè)2

?1,求x?y2的最大值

4.設(shè)x,y,z為正實數(shù),且x+y+z=10,求4x?19

y?z的最小值。

已知：x2

5.4

?y2?1 求：x?y；2x?y的取值范圍。

6.已知：a2

?b2

?1，m2

?n2

?2,求am?bn的取值范圍

7.已知：2x?3y?1 求：x2

?2y2的最小值.8.求函數(shù)y?x?1?2?x的取值范圍。

9.求函數(shù)y?x?1??2x的最大值。

證明不等式

1.求證:a2?b2?c2?ab?bc?ac

2.已知a,b都是正數(shù)，求證：

（1）(1?a?b)(1?a2?b2)?9ab;（2）(a2b?a?b2)(ab2?a2?b)?9a2b2.3.設(shè)a,b,c,d?R，求證：a2?b2?c2?d2?(a?c)2?(b?d)2。

4.已知a2?b2?c2?1,x2?y2?z2?1,求證：ax?by?cz?1.5.已知a,b,c均為正數(shù)，且a?b?c?1，求證：111a?b?c

?9

6.若0????，則1?sin??cos??2.

第四篇：柯西不等式的證明及應(yīng)用

柯西不等式的證明及應(yīng)用

（河西學(xué)院數(shù)學(xué)系01（2）班甘肅張掖734000）

摘要：柯西不等式是一個非常重要的不等式，靈活巧妙的應(yīng)用它，可以使一些較為困難的問題迎刃而解。本文在證明不等式，解三角形相關(guān)問題，求函數(shù)最值，解方程等問題的應(yīng)用方面給出幾個例子。

關(guān)鍵詞：柯西不等式證明應(yīng)用中圖分類號：O178

Identification and application of Cauchy inequality

ChenBo

（department of mathematics , Hexi university zhangye gansu 734000）

Abstract:Cauchy-inequality is a very important in equation, flexible ingenious application it, can make some comparatively difficult problems easily solved.This text prove inequality, solve triangle relevant problem, is it worth most to ask, the application which solves such questions as the equation ,etc.provides several examples.Keyword：inequationproveapplication

柯西（Cauchy）不等式

?1??2?

222

?a1b1?a2b2???anbn??a1?a2???an

???b

2122?b2???bn

??ab?R,i?1,2?n?

ii

等號當且僅當a1?a2???an?0或bi?kai時成立（k為常數(shù)，i?1,2?n）現(xiàn)將它的證明介紹如下：

證明1：構(gòu)造二次函數(shù) f(x)??a1x?b1???a2x?b2?????anx?bn?

22n222n

=a1?a2???anx?2?a1b1?a2b2???anbn?x?b1?b2???bn

????

2n

?a12?a2???an?0

?f?x??0恒成立

2n???4?a1b1?a2b2???anbn??4?a12?a2???an??b12?b22???bnn??0

即?a1b1?a2b2???anbn??a1?a2???an

?

n

??b

2n?b2???bn?

當且僅當aix?bix?0?i?1,2?n?即證明（2）數(shù)學(xué)歸納法

aa1a2

????n時等號成立 b1b2bn

（1）當n?1時左式=?a1b1?右式=?a1b1? 顯然左式=右式

當

n?2時，右式

??a12?a2??b12?b22???a1b1???a2b2??a22b12?a12b22

??a1b1???a2b2??2a1a2b1b2??a1b2?a2b2??右式

僅當即 a2b1?a1b2 即

a1a2

?時等號成立 b1b2

故n?1,2時 不等式成立

（2）假設(shè)n?k?k??,k?2?時，不等式成立 即 ?a1b1?a2b2???akbk??a1?a2???ak

?

k

??b

2?b2???bkk?

當 bi?kai，k為常數(shù)，i?1,2?n 或a1?a2???ak?0時等號成立

222

設(shè)??a1??b12?b22???bk2 ?a2???ak

C?a1b1?a2b2???akbk

2則??ak?1

?????b??????b

2k?1

2k?122?ak?1bk?1

?C2?2Cak?1bk?1?ak?1bk?1??C?ak?1bk?1? 2222?a1?a2???ak?ak?1

???

b?12

b?2??2

k

?b2

?k

?b

??a1b1?a2b2???akbk?ak?1bk?1?

當 bi?kai，k為常數(shù)，i?1,2?n 或a1?a2???ak?0時等號成立

即n?k?1時不等式成立 綜合（1）（2）可知不等式成立

柯西不等式是一個非常重要的不等式，靈活巧妙的應(yīng)用運用它，可以使一些較為困難的問題迎刃而解，這個不等式結(jié)構(gòu)和諧，應(yīng)用靈活廣泛，利用柯西不等式可處理以下問題： 1）證明相關(guān)命題

例1． 用柯西不等式推導(dǎo)點到直線的距離公式

?3?。

已知點??x0,y0?及直線l: ?x??y?C?0????0

??

設(shè)點p是直線l上的任意一點，則

?x??x?C?0（1）

p1p2?

（2）

點p1p2兩點間的距離p1p2就是點p到直線l的距離，求（2）式有最小值，有

???x0?x1????y0?y1?

?x0??y0?C???x1??y1?C?

由（1）

（2）得：

p1p2??x0??y0?C即

p1p2?

（3）

當且僅當?y0?y1?:?x0?x?1?

?

p1p2?l（3）式取等號 即點到直線的距離公式

即

p1p2?

2）證明不等式

例2

?4?

a2?b2?c2

已知正數(shù)a,b,c滿足a?b?c?1證明a?b?c?

證明：利用柯西不等式

?a

?b2?c

?

13131

?3???a2a2?b2b2?c2c2???

??3?2?3?2?3?2?

???a2???b2???c2???a?b?c???????????

??a3?b3?c3??a?b?c???a?b?c?1?

? ca又因為a?b?c?ab?bc在此不等式兩邊同乘以2，再加上a?b?c

222得：?a?b?c??3a?b?c

222222

??

??a2?b2?c2???a3?b3?c3??3?a2?b2?c2?

a2?b2?c2

故a?b?c?

3）解三角形的相關(guān)問題

例3 設(shè)p是?ABC內(nèi)的一點，x,y,z是p到三邊a,b,c的距離，R是?ABC外接圓的證明：由柯西不等式得，?

?記S為?ABC的面積，則

abcabc

ax?by?cz?2S?2

?

4R2R

故不等式成立。4）求最值 例4

?5?

?

2222

已知實數(shù)a,b,c,d滿足a?b?c?d?3，a?2b?3c?6d?5試求a的最值

解：由柯西不等式得，有

?2b

2?111?

?3c2?6d2???????b?c?d?

?236?

222

即2b?3c?6d??b?c?d? 2

由條件可得，5?a??3?a?

解得，1?a?

2??時等號成立，11,d?時，amax?2 3621

b?1,c?,d?時amin?1

代入b?1,c?

5）利用柯西不等式解方程例5．在實數(shù)集內(nèi)解方程

?5?

9?222

?x?y?z?

4?

???8x?6y?24y?39

解：由柯西不等式，得

?x

222

?y2?z2????8??62???24?????8x?6y?24y?①

??

??x2?y2?z2????8??62???24??

??

???64?36?4?144??3924

又??8x?6y?24y??39

?x

222

?y2?z2????8??62???24?????8x?6y?24z?

??

即不等式①中只有等號成立

從而由柯西不等式中等號成立的條件，得

xyz?? ?86?24

它與?8x?6y?24y?39聯(lián)立，可得

x??

6918y?z?? 132613

?6??7?

6）用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)

在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》〉一書中，在線性回歸中，有樣本相關(guān)系數(shù)

?(x?)?y??

i

i

n

并指出r?1且r越接近于1，相關(guān)程度越大，r越接

近于0，則相關(guān)程度越小?，F(xiàn)在可用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)?，F(xiàn)記ai?xi?，bi?yi?，則，?ab

n

ii

r?1

n

當r?1時，??ab???a?b

ii

2i

i?1

i?1

i?1

nn

2i

此時，?yi???bixi?ai

?k，k為常數(shù)。點?xi,yi?i?1,2?n均在直線

y??k?x??上，r

當r?1時，??ab?

ii

i?1n

2i

n

n

??a

i?12i

n

2i

?b

i?1

n

2i

即

??ab???a?b

ii

i?1

i?1

i?1

n

?0

而

??aibi???a

i?1

i?1

n

n

2i

?bi2??

i?1

n

1?i?j?n

?

?aibj?ajbi?

1?i?j?n

?

?aibj?ajbi??0?aibj?ajbi?0

?

bi

?k,k為常數(shù)。ai

此時，此時，?yi???bixi?ai

?k，k為常數(shù)

點?xi,yi?均在直線y??k?x??附近，所以r越接近于1，相關(guān)程度越大 當r?0時，?ai,bi?不具備上述特征，從而，找不到合適的常數(shù)k，使得點?xi,yi?都在直線y??k?x??附近。所以，r越接近于0，則相關(guān)程度越小。致謝：在本文的寫作過程中，得到了馬統(tǒng)一老師的精心指導(dǎo)，在此表示衷心的感謝。

參考文獻：?1?柯西不等式的微小改動 ?J?數(shù)學(xué)通報2002 第三期?2?柯西不等式與排序不等式?M?南山湖南教育出版社

3普通高中解析幾何?M?高等教育出版社

??

?4?1990-年全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷?J?

?5?李永新李德祿中學(xué)數(shù)學(xué)教材教法?M?東北師大出版社

?6?盛聚，謝式千，潘承毅概率與數(shù)理統(tǒng)計?M?高等教育出版?7?用用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)?J?數(shù)學(xué)通訊 2004年第七期

2004年6月

第五篇：柯西不等式及應(yīng)用含答案

一、柯西不等式：

(?a)?(?b)?(?akbk)2等號成立的條件是ak??bk(k?1,2,3???n)

2k

2k

k?

1k?1

k?1

nnn

二維柯西不等式：(x1x2?y1y2)2?(x12?y12)(x22?y22)

證明：（用作差法）

(x1?y1)(x2?y2)?(x1x2?y1y2)2?x1y2?x2y1?2x1x2y1y2?(x1y2?x2y1)2?0

2222222

2三維柯西不等式：(x1x2?y1y2?z1z2)2?(x12?y12?z12)(x22?y22?z22)

證明：（構(gòu)造空間向量法）設(shè)m?

(x1,y1,z1),n?(x2,y2,z2)

??，所以：x1x2?y1y2?z1z2?

x1?y1?z1?x2?y2?z2，兩邊平方即可！

222222

n維柯西不等式：(?a)?(?b)?(?akbk)2

2k

2k

k?1

k?1

k?1

n

n

n

等號成立的條件是

ak??bk(k?1,2,3???n)

證明：（用構(gòu)造函數(shù)法）（1）.當b1?b2?????bn?0時，不等式顯然成立；（2）當b1,b2,???bn不全為0時，構(gòu)造f(x)?（n

n

n

n

?b

k?1

n

k

2)x?2(?akbk)x?(?ak),所以有2

k?1

k?1

nn

f(x)?(?b)x?2(?akbk)x?(?a)??(bkx?ak)2?0對任意x?R恒成立，因此

k

2k

k?1

k?1

k?1

k?1

??4(?akbk)?4(?a)?(?bk2)?0

2k

k?1

k?1

k?1

nnn

故：（?a

k?1

n

2k)?(?b)?(?akbk)2

2kk?1

k?1

nn

柯西不等式的變式：(?ak)?(?bk)?(?akbk)2

k?1k?1k?1nnn

(?a)?(?b)??akbk 2

k2k

k?1k?1k?1nnn

nak(?akbk)?(?)?(?ak)2等號成立的條件是當且僅當b1?b2?????bn

k?1k?1bkk?1

2naka(?)?(?k)2（在柯西不等式中令bk=1，兩邊同時除以n2即得）

k?1nk?1nnnn

2ak(?)?

k?1bkn(?ak)2k?1nn?b

k?1(等號成立的條件是ak??bk(k?1,2,3???n)k

二、練習：

x2y2z

21.已知x,y,z>0，且x?y?z?1，求的最小值； ??y(1?y)z(1?z)x(1?x)

2.已知a,b>0,求證：3111< ??a?2ba?4ba?6b(a?b)(a?7b)

3.已知x?y?z?2且x,y,z>0，求證：1119≥ ??x?yy?zz?x

44.設(shè)a,b,c為正數(shù)且互不相等.求證:2229> ??a?bb?cc?aa?b?c

3111≥ ??a3(b?c)b3(a?c)c3(a?b)25.設(shè)正實數(shù)a,b,c 滿足abc?1, 求證:

12100 3c

222?a?b?c17.設(shè)實數(shù)a,b,c 滿足a?2b?3c?6，求證：3?9?27≥； 36.設(shè)a,b,c為正數(shù), 且a?b?c?1,求證:(a?)?(b?)?(c?)≥221a1b

8.已知x?2y?3z?12, 求證:x?2y?3z≥24；

9.已知a?b?c?1, 求證:a?1?b?2?3c?3?33；

10.若a>b>c，求證：222114 ??a?bb?ca?c

答案：

y(1?y)?y(x?z)?xy?xz

1.證明：由x?y?z?1得：z(1?z)?z(x?y)?zx?yz

x(1?x)?x(y?z)?xy?zx，所以有

x2y2z2x2y2z2

＝，由柯西不等式得：????y(1?y)z(1?z)x(1?x)xy?yzzx?yzxy?zx

x2y2z2

[(xy?yz)?(zx?yz)?(xy?zx)]?(??)?(x?y?z)2 xy?yzzx?yzxy?zx

x2y2z2

所以有：???[(xy?yz)?(zx?yz)?(xy?zx)] xy?yzzx?yzxy?zx

x2y2z2

即：???2(xy?yz?zx)，xy?yzzx?yzxy?zx

又2(xy?yz?zx)?(x?y?z)2?(x2?y2?z2)

x?y?z?xy?yz?zx222x?y?z?1 31x2y2z2

所有：，當且僅當x?y?z?時取等號 ???xy?yzzx?yzxy?zx2

32.證明：由柯西不等式可得：

(11121112??)?(1??1??1?)a?2ba?4ba?6ba?2ba?4ba?6b

111??]< 222(a?2b)(a?4b)(a?6b)

（放縮）?(12?12?12)[3[111??](a?b)(a?3b)(a?3b)(a?5b)(a?5b)(a?7b)

?

?3111111(?????)2ba?ba?3ba?3ba?5ba?5ba?7b（裂項相消）36b9311?(?)?2b(a?b)(a?7b)(a?b)(a?7b)2ba?ba?7b

3111< ??a?2ba?4ba?6b(a?b)(a?7b)所以有：

3.證明：由柯西不等式得：

[(x?y)?(y?z)?(z?x)]?（111??)?(1?1?1)2?9，又x?y?z?2x?yy?zz?x3

所以有：11199≥???.x?yy?zz?x2(x?y?z)4

4.證明：與第3題的證法相同，最后說明a,b,c為正數(shù)且互不相等,所以不取等號；

5.證明：由abc?1得：abc?1，所以：2221122221?bc,?ac,2?a2b2 22abc

111??a3(b?c)b3(a?c)c3(a?b)

b2c2a2c2a2b2b2c2a2c2a2b2

??????a(b?c)b(a?c)c(a?b)ab?acab?bcac?bc

b2c2a2c2a2b2

[(ab?ac)?(ab?bc)?(ac?bc)]?(??)?(bc?ac?ab)2 ab?acab?bcac?bc

b2c2a2c2a2b2(bc?ac?ab)2bc?ac?ab3a2b2c2

?????即： ab?acab?bcac?bc2(ab?bc?ac)22

又abc?1，所以：3111≥ ??333a(b?c)b(a?c)c(a?b)2

6.證明：由柯西不等式

111111[1?(a?)?1?(b?)?1?(c?)]2?(12?12?12)?[(a?)2?(b?)2?(c?)2] abcabc

結(jié)合a?b?c?1 ***2所以：(a?)?(b?)?(c?)?[(a?b?c)?(??)]?[1?(??)]abc3abc3abc

1111112又???(a?b?c)(??)?(1?1?1)?9 abcabc

1111211002所以：[1?(??)]?(1?9)? 3abc33

121212100故：(a?)?(b?)?(c?)≥ 3abc

7.證明：

3?a?9?b?27?c＝3?a?3?2b?3?3c?33?a?3?2b?3?3c?33?(a?2b?3c)

又由柯西不等式：

(1?a?2?2b?3?c)2?[12?(2)2?(3)2]?[a2?(2b)2?(3c)2]

即：(a?2b?3c)?6?(a?2b?c)，結(jié)合a?2b?3c?6

所以有：a?2b?3c?6 2222222

即：33

所以：3?(a?2b?3c)?33?6?1 3?a1?9?b?27?c≥ 3

8.證明：由

(1?x?2?2y??z)2?[12?(2)2?()2]?[x2?(2y)2?(z)2]

結(jié)合題目條件即可證出，與第7題一樣；

9.證明：

(1?a?1?1?b?2?1?c?3)2?(12?12?12)?[(a?1)2?(b?2)2?(c?3)2]?3[3(a?b?c)?6]

結(jié)合題目條件就可以證出了！

10.證明：由條件a>b>c得：a?b>0,b?c>0,所以

11?)?(1?1)2＝4 a?bb?c

114所以： ??a?bb?ca?c[(a?b)?(b?c)]?（點評： 1.（22?ak?1n2k)?(?b)?(?akbk)2中的求和展開式為： 2kk?12nnk?1(a1?a2????an)(b1?b2????bn)?(a1b1?a2b2?????anbn)2；

2.二維、三維、n維柯西不等式的證明分別用了作差法、向量法、構(gòu)造函數(shù)法證明，其實這三種方法也可以相互遷移，尤其是向量法簡潔明了，值得借鑒；

3.帶條件的三元不等式很常見, 用柯西不等式來證的較多, 要適當選擇ak 和bk, 便于運用柯西不等式(222?a

k?1n2k)?(?b)?(?akbk)2； 2kk?1k?1nn

4.結(jié)合柯西不等式及變式中的等號成立的條件，請讀者自行研究以上不等式的取等號條件。

以上如有錯誤之處敬請原諒并給予批評指正

郵箱zgh9723008@sina.com或qq聯(lián)系：934355819(驗證信息填：柯西不等式)

謝謝！