第一篇：數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí) 柯西不等式 排序不等式

2010年南師附中數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)撰稿人 高一九班 陳點(diǎn)

柯西不等式和排序不等式的多種證明方法（課本延伸課題18）——2010.4 數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)撰寫人 陳點(diǎn)

柯西不等式的一般式：

適用范圍：證明不等式、解三角形、求函數(shù)最值、解方程等問題。接下來我將以幾種較為主流的證明方法來證明： 求證：(∑ai^2)(∑bi^2)≥(∑ai〃bi)^2證法一（代數(shù)證明，運(yùn)用二次函數(shù)，最主流證法）：

當(dāng)a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0時，一般形式顯然成立 令A(yù)=∑ai^2 B=∑ai〃bi C=∑bi^2

當(dāng)a1，a2，…，an中至少有一個不是零時，可知A＞0 構(gòu)造二次函數(shù)f(x)=Ax^2＋2Bx＋C，f(x)＝∑(ai^2〃x^2＋2ai〃bi〃x＋bi^2)＝∑(ai〃x＋bi)^2≥0f(x)的判別式△＝4B^2－4AC≤0，移項(xiàng)得AC≥B^2，證畢。

證法二（其中幾個特殊情況，為2與3時即向量公式）

n=1時，a1^2〃b1^2≥(a1b1)^2（這個…不解釋）a1=a2=a3=…=an,b1=b2=b3=…=bn時同此證

n=2時，即為(a1^2+a2^2)(b1^2+b2^2)≥(a1b1+a2b2)^2

即(a1b1)^2+(a1b2)^2+(a2b1)^2+(a2b2)^2≥(a1b1)^2+(a2b2)^2+2a1b1a2b2 即(a1b2)^2+(a2b1)^2≥2a1b1a2b2

因?yàn)閍2≥a1，b2≥b1，亂序和≥倒序和

故一定成立（呵呵，還一不小心把排序不等式引出來了）

證法三（這個是網(wǎng)上找的很權(quán)威的數(shù)學(xué)歸納法，因?yàn)槲蚁氤鰜淼淖C法二是其鋪墊，故引用說明。數(shù)學(xué)歸納法也是一種非常常見且正規(guī)的證明方法。）（1）當(dāng)n?1時左式=?a1b1?右式=?a1b1? 顯然左式=右式

2當(dāng) n?2時，右式 ??a12?a2??b12?b22???a1b1???a2b2??a22b12?a12b22

⑴

⑵

??a1b1???a2b2??2a1a2b1b2??a1b2?a2b2??右式

222

僅當(dāng)即 a2b1?a1b2 即

a1a2

?時等號成立 b1b2

故n?1,2時 不等式成立

（2）假設(shè)n?k?k??,k?2?時，不等式成立

2k???ak即 ?a1b1?a2b2???akbk???a12?a2??b12?b22???bkk?

當(dāng) bi?kai，k為常數(shù)，i?1,2?n 或a1?a2???ak?0時等號成立

222

???bk2 ???ak設(shè)??a12?a2??b12?b2

C?a1b1?a2b2???akbk

則???ak2?1????bk2?1??????bk2?1?ak?1bk?1 22?C2?2Cak?1bk?1?ak?1bk?1??C?ak?1bk?1? 2222222

???ak?ak??a12?a2?1??b1?b2???bk?bk?1?

??a1b1?a2b2???akbk?ak?1bk?1?

當(dāng) bi?kai，k為常數(shù)，i?1,2?n 或a1?a2???ak?0時等號成立

即n?k?1時不等式成立

綜合（1）（2）可知不等式成立

其實(shí)還有很多證明的方法，證明柯西不等式還可以利用比值法，歸納法，歸納法與綜合法，歸納法與平均值不等式，排序不等式，參數(shù)平均值不等式，行列式，內(nèi)積（向量）法，構(gòu)造單調(diào)數(shù)列，凹凸函數(shù)法（來自奧數(shù)老師）……再者，拉格朗日恒等式也相當(dāng)簡單，在此不一一說明，可見證明此式方法之多。

柯西不等式是一個非常重要的不等式，靈活巧妙的應(yīng)用運(yùn)用它，可以使一些較為困難的問題迎刃而解，這個不等式結(jié)構(gòu)和諧，應(yīng)用靈活廣泛，利用柯西不等式可處理以下問題： 1）證明相關(guān)命題 2）證明不等式 3）解三角形的相關(guān)問題 4）求最值

5）利用柯西不等式解方程

6）用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)（這個完全不理解，不過有這么一說）

排序不等式（又稱）

簡單來說，就是：反序和≤亂序和≤同序和

即a1b1?a2b2??anbn?a1c1?a2c2???ancn?a1bn?a2bn?1??anb1

⑶

其中，Cn為亂序數(shù)列。

證明：1.證亂序和小于正序和，以下證明中原式為亂序和

從第一個起，將a1b?與a?b1轉(zhuǎn)變?yōu)閍1b1與a?b?，設(shè)其為x，y，則有

a1b1+axby-a1bx+ayb1≧0（因?yàn)閤，y≧1，根據(jù)等式的性質(zhì)可得），然后

再往下，第二個a2bw與azb2…… 以此類推，到最后得出的式子為正序和，因?yàn)槊坎降倪^程均使原式減小或不變，故終式不小于原式2.證亂序和大于倒序和

從第一個起，將a1b?與a?bn轉(zhuǎn)變?yōu)閍1bn與a?b?, 設(shè)其為x，y，則有a1b1+axby-a1bx+ayb1≦0(因?yàn)閤≧1,y≦n)故成立，基本上同理

排序不等式證明的關(guān)鍵在于有順序的變化，每次變化使式子朝一個方向發(fā)展，這樣就可輕易推出最終的結(jié)論。

應(yīng)用：

1.排序不等式的基本應(yīng)用。排序不等式在解決一些常見不等式時，具有簡單直觀的特點(diǎn)

2.證明不等式時兩次或多次運(yùn)用排序不等式，將結(jié)果相加，也是常見方法。3．經(jīng)過適當(dāng)變形后再運(yùn)用排序不等式的問題，常見于一些比較難的習(xí)題或競賽題

拓展：

排序不等式的另一種表述形式 設(shè)

a1?a2???an,b1?b2???bn

c,c,?,cnb1,b2?bn

為兩組實(shí)數(shù)，12是的任一排

列，則三個矩陣

?a1a2?an??a1?a2???an??a1?a2???an???????b?b???b??b?b???b???cc?c?

12n?12n?nn?11????A：B：C：

我們稱A為順序矩陣，B為亂序矩陣，C為反序矩陣 它們的列積和（同列相乘再相加）：

a1b1?a2b2??anbn?a1c1?a2c2???ancn?a1bn?a2bn?1??anb1

即：順序和?亂序和?反序和

在此，我們沒必要知道矩陣的更多知識，而只是利用它這種形式。因?yàn)樗庇^，便于在解題中尋找數(shù)列

b1,b2,?bn的一個我們需要的亂序，更易掌握和應(yīng)用。

⑴柯西不等式的向量說法：|α||β|≥|α〃β|，α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn)（n∈N，n≥2）

等號成立條件：β為零向量，或α=λβ（λ∈R）。⑵數(shù)學(xué)歸納法（這里說的是第一數(shù)學(xué)歸納法）：

即一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，有如下步驟：1）證明當(dāng)n取第一個值時命題成立；

2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥n的第一個值，k為自然數(shù)）時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立。

⑶拉格朗日恒等式：

第二篇：柯西不等式與排序不等式練習(xí)題

2013年高中數(shù)學(xué)IB模塊選修4-5專題測試

（一）試題內(nèi)容：柯西不等式與排序不等式 試卷總分：120分考試時間：60分鐘

一、選擇題（共8小題，每題5分，共40分）

1、a,b,c,d?R，不等式a?b

?

2??

c2?d2??ac?bd?取等號的條件是（）

?

2A．a(chǎn)b?dc?0B．a(chǎn)d?bc?0C．a(chǎn)d?bc?0D．a(chǎn)c?bd?0

2、設(shè)a1?a2?a3,b1?b2?b3，下列最小的是（）

A．a(chǎn)1b3?a2b2?a3b1B．a(chǎn)1b1?a2b2?a3b3C．a(chǎn)1b2?a2b1?a3b3D．a(chǎn)1b1?a2b3?a3b23、若四個實(shí)數(shù)a1,a2,a3,a4滿足?a2?a1???a3?a2???a4?a3??1，則?a3?a4???a1?a2?的最大值為（）

A．1B

C．2D4、a,b是非零實(shí)數(shù)，a?b?1，x1,x2?R,M??ax1?bx2??bx1?ax2?,N?x1x2，則M與N的大小關(guān)

?

222

系為（）

A．M?NB．M?NC．M?ND．M?N5、若實(shí)數(shù)x,y滿足(x?5)?(y?12)?14，則x?y的最小值是（）

A．2B．1C

D6、x,y,z?R，且x?2y?2z?5，(x?5)?(y?1)?(z?3)的最小值是（）

A．20B．25C．36D．477、已知a,b,c,d?R，且滿足a?b?c?d?

625??（）

A．25B．50C．

22222

2222

?

5D．625

28、已知0?a,b,c?1，且a?b?c?2，則a?b?c的取值范圍是（）

A．?,???B．?,2?C．?,2?D．?,2?

333

3二、填空題（共5小題，每題4分，共20分）

9、x,y?

?0,1??

?4????4????4????4???的最大值是

10、設(shè)x,y,?R?，那么?x?y??

11、設(shè)

?14?

??的最小值是xy??

2，那么x1,x2,x3,?xn?0,a1,a2,a3,?an?0,x1?x2?x3???x?1t?ax?axn1122

?a3x32???anxn2的最小值是

12、設(shè)2x?3y?4z?22,(x,y,z?0)，則

三、解答題（共5小題，每題60分）

239

??的最小值是，此時xyz.xyz

b4?c4c4?a4a4?b413、（本小題10分）設(shè)a,b,c?R，利用排序不等式證明：a?b?c? ??

2a2b2c

?

33314、（本小題10分）設(shè)x1,x2,x3是不同的自然數(shù)，求s?

15、（本小題10分）設(shè)n?N,n?

2，利用柯西不等式證明：

16、（本小題10分）求函數(shù)y?

x1x2x

3??的最小值。149

41111。???????

7n?1n?22n?12nsinx?3cosx的值域

sinx?2cosx?

117、（本小題20分）（2012浙江考試院樣卷）題號：03“數(shù)學(xué)史與不等式選講”模塊

（1）設(shè)a，b，c為實(shí)數(shù)，求證：a＋b＋c≥ab＋bc＋ca；（2）若正實(shí)數(shù)a，b，c滿足abc＝1，求

a4b(a?c)

?

b4c(a?b)

?

c4a(b?c)的最小值．

2013年高中數(shù)學(xué)IB模塊選修4-5專題測試

（一）┄┄┄⊙

中學(xué)班級姓名 學(xué)號考號答 題 卷

一、選擇題（每小題4分，共40分）

16.（本小題共12分）

17.（本小題20分）

2013年高中數(shù)學(xué)IB模塊選修4-5專題測試

（一）參 考 答 案

1.C2.A3.B4.A5.D6.C7.B8.C9.110.911.11

112.,2,2,3.11112?????a1a2a3an

13證明：不妨設(shè)0?a?b?c,則a?b?c,111

??，cba

a4b4c4a4b4c

4a?b?c???（逆序和）???

abccaba4b4c4a4b4c4

a?b?c???（逆序和）???

abcbca

b4?c4c4?a4a4?b4

?a?b?c???

2a2b2c

14解：不妨設(shè)1?x1?2?x2?3，由排序不等式，s?15.證明：由柯西不等式得

x1x2x312311

??????。1491496

111??1

2??n?1?n?2???n?n?????????????n???n?1n?22n?12n??

11112n4????????n?1n?22n?12n3n?17

1111

?????n?1n?22n?12n?1?1???1

又：

?

?

?1111?

???????2222

??2n?1??

2n????n?1??n?2??

1?11??????

nn?1n?1n?22n?12n

???16、原式可化為

y?sinx?2cosx?1??sinx?3cosx 即y?(y?1)sinx?(2x?3)cosx

利用柯西不等式及sin2x?cos2?1可得

y2??(y?1)sinx?(2x?3)cosx???sin2x?cos2x??y?1???2y?3?

?

2?

即y2??y?1???2y?3? 化簡得

2y2?7y?5?0

?5?

所以函數(shù)值域?yàn)椋??，1）??，???

?2?

2217、“數(shù)學(xué)史與不等式選講”模塊

(1)證明1：因?yàn)閍2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，三式相加并除以2得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca．

(1)證明2：因?yàn)閍2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，222

所以 a＋b＋c≥ab＋bc＋ca．…………5分

(2)解：由(1)及柯西不等式，均值不等式知

a4b(a?c)

?

b4c(?a

?

b)

≥

a(?b)c2(ab?bc?ca)

c4(a2?b2?c2)2

≥

(a2＋b2＋c2)

a4b(a?c)

32，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝1時等號成立，所以

?

b4c(a?b)

?

c4a(b?c)的最小值為

…………10分

第三篇：關(guān)于柯西不等式的證明

關(guān)于柯西不等式的證明

王念

數(shù)學(xué)與信息學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 07 級 指導(dǎo)老師：吳明忠

摘要：研究柯西不等式的多種證明方法，得到一些有用的結(jié)論，并簡單介紹一些它的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：柯西不等式、數(shù)學(xué)歸納法、二次型正定、歐式空間向量內(nèi)積、詹森不等式，二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。

Cauchy inequality is an important inequality.It has aroused people’s interest and its widespread application.In this paper、quadratic form、European space inner product、and the relation between Cauchy inequality.Wang Ni an

Xxxxxxxxxxx Grade 07 Instructor: Wu Ming Zhong

Abstract: The paper discusses the certifying ways of Cauchy inequality then gets some useful conduction and introduces some appliances.Key words: Cauchy inequality;quadratic form;inner product;Jensen inequality;mathematic Expectation.柯西不等式是大家熟知的一個重要不等式，它的結(jié)構(gòu)和諧對稱、以及廣泛的運(yùn)用引起了人們的興趣和討論。本文運(yùn)用高等代數(shù)、微積分的基本內(nèi)容來證明柯西不等式。柯西不等式的內(nèi)容 1.1

(a1b1?a2b2?....?anbn)2?(a12?a22?....an2)2(b12?b22?....?bn2)2(aibi?R,i?1,2......n)

等號當(dāng)且僅當(dāng)a1?a2?.....?an?0或bi?kai時成立（k為常數(shù)，i=1,2…..n）.1.2 設(shè)a1,a2,.....an及b1,b2,.....bn為任意實(shí)數(shù)則不等式(?aibi)?(?a)(?bi2)成2

i?1

i?1

i?1

n

n

n

立，當(dāng)且僅當(dāng)bi?kai（i=1,2…..n）取等號。1,2這兩種形式就是著名的柯西不

等式。柯西不等式的證明 2.1構(gòu)造二次函數(shù)，證明柯西不等式。(其關(guān)鍵在于利用二次函數(shù)??0時函數(shù)f(x)?0

f(x)?(a1x?b1)2?(a2x?b2)2?....?(anx?bn)2

?(a12?a22?....?an2)x2?2(a1b1?a2b2?....?anbn)x ?(b12?b22?....bn2)顯然f(x)?0

又?a12?a22?....ann?0則利用??0可得

??4(a1b1?a2b2?.....?anbn)2?4(a12?a22?....?ann)(b?b2?.....?bn)?0即

n

(a1b1?a2b2?....?anbn)2?(a12?a22?....?an2)(b?b2?....?bn)

當(dāng)且僅當(dāng)aix?bi?0(i?1,2....n)即

aa1a2

??.......?n是等號成立。b1b2bn

2.2 利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。（關(guān)鍵把握由特殊到一般情況的嚴(yán)密性）

（1）當(dāng)n?1時左式=?a1b1?右式=?a1b1?

顯然左式=右式 當(dāng)

n?2

時，右式

??a12?a2??b12?b22???a1b1???a2b2??a22b12?a12b22

??a1b1???a2b2??2a1a2b1b2??a1b2?a2b2??左式

僅當(dāng)即 a2b1?a1b2 即

a1a2

?時等號成立 b1b2

故n?1,2時 不等式成立

（2）假設(shè)n?k?k??,k?2?時，不等式成立

2k???ak即 ?a1b1?a2b2???akbk???a12?a2??b12?b22???bk2?

當(dāng) bi?kai，k為常數(shù)，i?1,2?n 或a1?a2???ak?0時等號成立

??a12?a2?....?ak

設(shè)B?b12?b22?....?bk2

C?a1b1?a2b2?....?akbk

222222則???ak?1????bk?1??????bk?1?ak?1bk?1?Bak?1 22?C2?2Cak?1bk?1?ak?1bk?1??C?ak?1bk?1? 2222?a1?a2???ak?ak?1

???

b?12

b?2??

k

?b2

?k

?b

??a1b1?a2b2???akbk?ak?1bk?1?

當(dāng) bi?kai，k為常數(shù)，i?1,2?n 或a1?a2???ak?0時等號成立

即n?k?1時不等式成立 綜上所述原柯西不等式得證。

2.3 利用基本不等式（均值不等式）進(jìn)行證明（關(guān)鍵在于利用它 “形式”）由于x?y?2xy(x,y?

R)，令x?

y?

?

ai22?ak2

k?1

n

n

?

bi22?bk2

k?1n

(i?1,2.......n)

將N

不等式相加得：

?ab

ii

??aibi?

i?1n

?

?a

i?1

nk?1

n

i

?

?b

i?1nk?1

n

i

?1

2?ak22?bk2

n

n

n

i?1

k?1

即(?aibi)?(?ai)(?bk2)

i?1

原柯西不等式得證。

2.4 利用二次正定型理論進(jìn)行證明（關(guān)鍵在于理解二次型正定的定義）正定二次型定義：R上一個n元二次型q(x1,x2,....xn)可以看成定義在實(shí)數(shù)域上n個變量的實(shí)函數(shù)。如果對于變量x1,x2,....xn的每一組不全為零的值，函數(shù)值

q(x1,x2,....xn)都是正數(shù)，那么就稱q(x1,x2,....xn)是一個正定二次型。

?(aix1?bix2)?ai2x12?bi2x22?2aibix1x2?0(i?1,2,.....n)

n

n

n

有(?ai)x?(?bi)x2?(2?aibi)x1x2?0

i?1

i?1

i?1

設(shè)二次型 f(x1,x2)?(?ai)x?(?bi)x2?(2?aibi)x1x2?0

i?1

i?1

i?1

nnn

故f為正定必有二次型矩陣

?n2??aii?1

A??n

?

??aibi?i?1

n

?ab?ii?i?1

?正定 n

2?b?i?i?1?

n

n

n

(?ai)(?bi)?(?aibi)2?0

則A?0,即

i?1

i?1

i?1

?(?aibi)2?(?ai2)(?bi2)

i?1

i?1

i?1

nnn

當(dāng)

aa1a2

??.......?n時等號成立。b1b2bn

故原不等式成立，及柯西不等式得證。2.5 利用歐式空間中內(nèi)積的性質(zhì)進(jìn)行證明。

定理：在一個歐式空間里，對于任意向量?,?，有不等式：

??,??2???,????,??;當(dāng)且僅當(dāng)?與?線性相關(guān)時，才取等號。

證 如果?與?線性相關(guān)，那么或者??0，或者??a?，不論哪一種情況都有

??,??2???,????,??.現(xiàn)在設(shè)?與?線性無關(guān)。那么對于任意實(shí)數(shù)t來說，t????0，于是

?t???,t?????0,即 t2??,???2t??,????,?????,???0.最后不等式左端是t的一個二次三項(xiàng)式。由于它對于t的任意是數(shù)值來說都是正數(shù)，所以它的判別式一定小于零，即

??,??2???,????,???0或??,??2???,????,??.又在Rn里，對于任意兩個向量

??(x1,x2,....xn),??(y1,y2,....yn),規(guī)定（必須規(guī)定）??,???x1y1?x2y2?.....?xnyn.容易驗(yàn)證，關(guān)于內(nèi)積的公理被滿足，因而R對于這樣定義的內(nèi)積來說作成一個歐式空

n

間.再由不等式??,??2???,????,??;推出對于任意實(shí)數(shù)a1,a2,....an,b1,b2,....bn,有不等式

(a1b1?....?anbn)2?(a12?....?an2)(b12?....?bn2).即柯西不等式得證。2.6 利用行列式進(jìn)行證明

n

n

n

證 ?(?ai)(?b)?(?aibi)?

i?1

i?1

i?1

?a

i?1ni?1

n

i

?ab

i?1n

2ii?1

n

ii

?ab?b

iin

n

???

i?1j?1

ai2aibi

ajbjbj2

?

1?i?j?n

?

(aibj?ajbi)2?0

若令a?(a1,a2,?an),b?(b1,b2?bn)則可以得到：

(?aibi)?(a)(b)?1?i 即柯西不等式得證。

i?1

i?1

i?1

n

n

n

2.7 利用詹森不等式進(jìn)行證明

考察函數(shù)?(x)?x2,(x?0),??(x)?2x,???(x)?2?0,故?(x)?x2是(0,??)上的凸函數(shù)，詹森（Jensen）不等式

?n

??PkXk?k?1n?

??Pk?k?1

n

n

?2??PkXk??k?1n(其中，P,2,?n),得 k?0,k?1?Pk??

k?1?

n

n

(?PkXk)?(?Pk)(?PKxk2)

k?1

k?1

k?1

nnn

ak22

上式中令Pk?bk,Xk?即（?PkXk)?(?bk)(?ak2)

bkk?1k?1k?1

從而不等式成立。

2.8 利用二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望證明

表格 2

1n1n21n222

E(??)??aibi，E???ai,E???bi

ni?1ni?1ni?1

由E(??)?E?2E?2

1n1n21n22

所以有(?aibi)?(?ai)(?bi)

ni?1ni?1ni?1

即(?aibi)?(?ai)(?bi2)

i?1

i?1

i?1

nnn

則柯西不等式得證。

第四篇：柯西不等式的證明

柯西不等式的證明

二維形式的證明

(a^2+b^2)(c^2+d^2)（a,b,c,d∈R)

=a^2·c^2 +b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^

2=a^2·c^2 +2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2－2abcd+b^2·c^2

=(ac+bd)^2+(ad－bc)^2

≥(ac+bd)^2，等號在且僅在ad－bc=0即ad=bc時成立。

三角形式的證明

√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]

證明： [√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)]^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2*√(a^2+b^2)*√(c^2+d^2)≥a^2+b^2+c^2+d^2+2*|a*c+b*d| 注： | |表示絕對值。*表示乘

≥a^2+b^2+c^2+d^2-2（a*c+b*d）

=a^2-2*a*c+c^2+b^2-2bd+d^2

=(a-c)^2+(b-d)^2

兩邊開根號即得 √(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]

一般形式的證明

求證：(∑ai^2)(∑bi^2)≥(∑ai·bi)^2

證明：

當(dāng)a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0時，一般形式顯然成立

令A(yù)=∑ai^2 B=∑ai·bi C=∑bi^2

當(dāng)a1，a2，…，an中至少有一個不為零時，可知A>0

構(gòu)造二次函數(shù)f(x)=Ax^2+2Bx+C，（請注意，一次項(xiàng)系數(shù)是2B，不是B）展開得：f(x)=∑(ai^2·x^2+2ai·bi·x+bi^2)=∑(ai·x+bi)^2≥0

故f(x)的判別式△=4B^2－4AC≤0，（請大家注意：一元二次方程ax^2+bx+c=0的判別式確實(shí)是△=b^2-4ac，但是這里的方程Ax^2+2Bx+C = 0已經(jīng)發(fā)生如下替換a = A，b = 2B，c = C，這里面b已經(jīng)換成了2B，因而導(dǎo)致很多網(wǎng)友的誤解。此步若錯，柯西不等式就無法證明了！）移項(xiàng)得AC≥B^2，欲證不等式已得證。

向量形式的證明

令m=(a1, a2, …, an)，n=(b1, b2, …, bn)

m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos=√(a1^2+a2^2+…+an^2)×√(b1^2+b2^2+…+bn^2)×cos

∵cos≤

1∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1^2+a2^2+…+an^2)×√(b1^2+b2^2+…+bn^2)注：“√”表示平方根。

注：以上僅是柯西不等式部分形式的證明。

【柯西不等式的應(yīng)用】 柯西不等式在求某些函數(shù)最值中和證明某些不等式時是經(jīng)常使用的理論根據(jù)，我們在教學(xué)中應(yīng)給予極大的重視。

巧拆常數(shù)證不等式

例：設(shè)a、b、c為正數(shù)且互不相等。求證：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)∵a、b、c 均為正數(shù)

∴為證結(jié)論正確，只需證：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9

而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)

又9=(1+1+1)^2 ∴只需證：

2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)^2=9

又a、b、c互不相等，故等號成立條件無法滿足

∴原不等式成立

求某些函數(shù)最值

例：求函數(shù)y=3√(x－5)+4√(9－x)的最大值。(注：“√”表示平方根)

函數(shù)的定義域?yàn)閇5, 9]，y>0

y=3√(x－5)+4√(9－x)≤√(3^2+4^2)×√{ [√(x－5)] ^2 + [√(9－x)] ^2 }=5×2=10函數(shù)僅在4√(x－5)=3√(9－x)，即x=6.44時取到。

以上只是柯西不等式的部分示例。

更多示例請參考有關(guān)文獻(xiàn)。三角形式證明 :兩邊同時平方,展開,消去同樣的項(xiàng),剩余部分再平方,消去同樣的項(xiàng),得一完全平方式,大于或等于0,得證

代數(shù)形式

設(shè)a1，a2，...an及b1，b2，...bn為任意實(shí)數(shù)，則（a1b1+a2b2+...+anbn）①，當(dāng)且僅當(dāng)a1/b1=a2/b2=...=an/bn（規(guī)定ai=0時，bi=0）時等號成立.推廣形式的證明

推廣形式為

(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n(*)

證明如下

記A1=x1+y1+…,A2=x2+y2+…,….由平均值不等式得(1/n)(x1/A1+x2/A2+…+xn/An)≥[x1*x2*…*xn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)

=[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)

(1/n)(y1/A1+y2/A2+…+yn/An)≥[y1*y2*…*yn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)

=[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n), …… 上述m個不等式疊加得

即即 即1≥[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+…(A1*A2*…*An)^(1/n)≥(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…A1*A2*…*An≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n

成立.（注：推廣形式即為卡爾松不等式）

(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n，因此,不等式(*)

第五篇：柯西不等式及應(yīng)用含答案

一、柯西不等式：

(?a)?(?b)?(?akbk)2等號成立的條件是ak??bk(k?1,2,3???n)

2k

2k

k?

1k?1

k?1

nnn

二維柯西不等式：(x1x2?y1y2)2?(x12?y12)(x22?y22)

證明：（用作差法）

(x1?y1)(x2?y2)?(x1x2?y1y2)2?x1y2?x2y1?2x1x2y1y2?(x1y2?x2y1)2?0

2222222

2三維柯西不等式：(x1x2?y1y2?z1z2)2?(x12?y12?z12)(x22?y22?z22)

證明：（構(gòu)造空間向量法）設(shè)m?

(x1,y1,z1),n?(x2,y2,z2)

??，所以：x1x2?y1y2?z1z2?

x1?y1?z1?x2?y2?z2，兩邊平方即可！

222222

n維柯西不等式：(?a)?(?b)?(?akbk)2

2k

2k

k?1

k?1

k?1

n

n

n

等號成立的條件是

ak??bk(k?1,2,3???n)

證明：（用構(gòu)造函數(shù)法）（1）.當(dāng)b1?b2?????bn?0時，不等式顯然成立；（2）當(dāng)b1,b2,???bn不全為0時，構(gòu)造f(x)?（n

n

n

n

?b

k?1

n

k

2)x?2(?akbk)x?(?ak),所以有2

k?1

k?1

nn

f(x)?(?b)x?2(?akbk)x?(?a)??(bkx?ak)2?0對任意x?R恒成立，因此

k

2k

k?1

k?1

k?1

k?1

??4(?akbk)?4(?a)?(?bk2)?0

2k

k?1

k?1

k?1

nnn

故：（?a

k?1

n

2k)?(?b)?(?akbk)2

2kk?1

k?1

nn

柯西不等式的變式：(?ak)?(?bk)?(?akbk)2

k?1k?1k?1nnn

(?a)?(?b)??akbk 2

k2k

k?1k?1k?1nnn

nak(?akbk)?(?)?(?ak)2等號成立的條件是當(dāng)且僅當(dāng)b1?b2?????bn

k?1k?1bkk?1

2naka(?)?(?k)2（在柯西不等式中令bk=1，兩邊同時除以n2即得）

k?1nk?1nnnn

2ak(?)?

k?1bkn(?ak)2k?1nn?b

k?1(等號成立的條件是ak??bk(k?1,2,3???n)k

二、練習(xí)：

x2y2z

21.已知x,y,z>0，且x?y?z?1，求的最小值； ??y(1?y)z(1?z)x(1?x)

2.已知a,b>0,求證：3111< ??a?2ba?4ba?6b(a?b)(a?7b)

3.已知x?y?z?2且x,y,z>0，求證：1119≥ ??x?yy?zz?x

44.設(shè)a,b,c為正數(shù)且互不相等.求證:2229> ??a?bb?cc?aa?b?c

3111≥ ??a3(b?c)b3(a?c)c3(a?b)25.設(shè)正實(shí)數(shù)a,b,c 滿足abc?1, 求證:

12100 3c

222?a?b?c17.設(shè)實(shí)數(shù)a,b,c 滿足a?2b?3c?6，求證：3?9?27≥； 36.設(shè)a,b,c為正數(shù), 且a?b?c?1,求證:(a?)?(b?)?(c?)≥221a1b

8.已知x?2y?3z?12, 求證:x?2y?3z≥24；

9.已知a?b?c?1, 求證:a?1?b?2?3c?3?33；

10.若a>b>c，求證：222114 ??a?bb?ca?c

答案：

y(1?y)?y(x?z)?xy?xz

1.證明：由x?y?z?1得：z(1?z)?z(x?y)?zx?yz

x(1?x)?x(y?z)?xy?zx，所以有

x2y2z2x2y2z2

＝，由柯西不等式得：????y(1?y)z(1?z)x(1?x)xy?yzzx?yzxy?zx

x2y2z2

[(xy?yz)?(zx?yz)?(xy?zx)]?(??)?(x?y?z)2 xy?yzzx?yzxy?zx

x2y2z2

所以有：???[(xy?yz)?(zx?yz)?(xy?zx)] xy?yzzx?yzxy?zx

x2y2z2

即：???2(xy?yz?zx)，xy?yzzx?yzxy?zx

又2(xy?yz?zx)?(x?y?z)2?(x2?y2?z2)

x?y?z?xy?yz?zx222x?y?z?1 31x2y2z2

所有：，當(dāng)且僅當(dāng)x?y?z?時取等號 ???xy?yzzx?yzxy?zx2

32.證明：由柯西不等式可得：

(11121112??)?(1??1??1?)a?2ba?4ba?6ba?2ba?4ba?6b

111??]< 222(a?2b)(a?4b)(a?6b)

（放縮）?(12?12?12)[3[111??](a?b)(a?3b)(a?3b)(a?5b)(a?5b)(a?7b)

?

?3111111(?????)2ba?ba?3ba?3ba?5ba?5ba?7b（裂項(xiàng)相消）36b9311?(?)?2b(a?b)(a?7b)(a?b)(a?7b)2ba?ba?7b

3111< ??a?2ba?4ba?6b(a?b)(a?7b)所以有：

3.證明：由柯西不等式得：

[(x?y)?(y?z)?(z?x)]?（111??)?(1?1?1)2?9，又x?y?z?2x?yy?zz?x3

所以有：11199≥???.x?yy?zz?x2(x?y?z)4

4.證明：與第3題的證法相同，最后說明a,b,c為正數(shù)且互不相等,所以不取等號；

5.證明：由abc?1得：abc?1，所以：2221122221?bc,?ac,2?a2b2 22abc

111??a3(b?c)b3(a?c)c3(a?b)

b2c2a2c2a2b2b2c2a2c2a2b2

??????a(b?c)b(a?c)c(a?b)ab?acab?bcac?bc

b2c2a2c2a2b2

[(ab?ac)?(ab?bc)?(ac?bc)]?(??)?(bc?ac?ab)2 ab?acab?bcac?bc

b2c2a2c2a2b2(bc?ac?ab)2bc?ac?ab3a2b2c2

?????即： ab?acab?bcac?bc2(ab?bc?ac)22

又abc?1，所以：3111≥ ??333a(b?c)b(a?c)c(a?b)2

6.證明：由柯西不等式

111111[1?(a?)?1?(b?)?1?(c?)]2?(12?12?12)?[(a?)2?(b?)2?(c?)2] abcabc

結(jié)合a?b?c?1 ***2所以：(a?)?(b?)?(c?)?[(a?b?c)?(??)]?[1?(??)]abc3abc3abc

1111112又???(a?b?c)(??)?(1?1?1)?9 abcabc

1111211002所以：[1?(??)]?(1?9)? 3abc33

121212100故：(a?)?(b?)?(c?)≥ 3abc

7.證明：

3?a?9?b?27?c＝3?a?3?2b?3?3c?33?a?3?2b?3?3c?33?(a?2b?3c)

又由柯西不等式：

(1?a?2?2b?3?c)2?[12?(2)2?(3)2]?[a2?(2b)2?(3c)2]

即：(a?2b?3c)?6?(a?2b?c)，結(jié)合a?2b?3c?6

所以有：a?2b?3c?6 2222222

即：33

所以：3?(a?2b?3c)?33?6?1 3?a1?9?b?27?c≥ 3

8.證明：由

(1?x?2?2y??z)2?[12?(2)2?()2]?[x2?(2y)2?(z)2]

結(jié)合題目條件即可證出，與第7題一樣；

9.證明：

(1?a?1?1?b?2?1?c?3)2?(12?12?12)?[(a?1)2?(b?2)2?(c?3)2]?3[3(a?b?c)?6]

結(jié)合題目條件就可以證出了！

10.證明：由條件a>b>c得：a?b>0,b?c>0,所以

11?)?(1?1)2＝4 a?bb?c

114所以： ??a?bb?ca?c[(a?b)?(b?c)]?（點(diǎn)評： 1.（22?ak?1n2k)?(?b)?(?akbk)2中的求和展開式為： 2kk?12nnk?1(a1?a2????an)(b1?b2????bn)?(a1b1?a2b2?????anbn)2；

2.二維、三維、n維柯西不等式的證明分別用了作差法、向量法、構(gòu)造函數(shù)法證明，其實(shí)這三種方法也可以相互遷移，尤其是向量法簡潔明了，值得借鑒；

3.帶條件的三元不等式很常見, 用柯西不等式來證的較多, 要適當(dāng)選擇ak 和bk, 便于運(yùn)用柯西不等式(222?a

k?1n2k)?(?b)?(?akbk)2； 2kk?1k?1nn

4.結(jié)合柯西不等式及變式中的等號成立的條件，請讀者自行研究以上不等式的取等號條件。

以上如有錯誤之處敬請原諒并給予批評指正

郵箱zgh9723008@sina.com或qq聯(lián)系：934355819(驗(yàn)證信息填：柯西不等式)

謝謝！