第一篇：函數(shù)背景下的不等式證明

函數(shù)背景下的不等式證明

鄭文龍

（廣東汕尾海豐彭湃中學(xué)516400）

給出一個(gè)特定的函數(shù)，先研究其單調(diào)性、極值或恒成立等問題，以此為基礎(chǔ)，最后證明一個(gè)不等式，我們不妨把該類問題稱為函數(shù)背景下的不等式證明問題。函數(shù)與不等式相結(jié)合的綜合問題在近幾年的高考試題中大量出現(xiàn)，已經(jīng)成為高考的熱點(diǎn)題型。學(xué)生解答時(shí)頗感棘手，為此本文對(duì)此類題的解題方法略作探討，供讀者參考。

一、利用函數(shù)最值構(gòu)造不等式證明

例1已知函數(shù)f(x)?lnx?1． x

（1）試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

?1?n?1?n(2)試證明：對(duì)?n?N，不等式ln?恒成立． ??n?n?*e

1?n，問題可轉(zhuǎn)化為證明lnxe?x，n

lnx1lnxlnx1?，聯(lián)系到函數(shù)f(x)??1，實(shí)際上要證?1?f(x)??1，由即證xexxe分析：觀察不等式左右兩邊的形式，令x?

此求出函數(shù)f(x)的最大值，問題便可解決。

解：（１）∵f?(x)?1?lnx x

2令f?(x)?0，得x?e，?當(dāng)0?x?e時(shí)f?(x)?0，當(dāng)x?e時(shí)f?(x)?0，∴函數(shù)f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,??)上單調(diào)遞減。

（2）由（1）知當(dāng)x?(0,??)時(shí)，f(x)max?f(e)?

∴在(0,??)上恒有f(x)?

即lnx1?1??1，xe1?1 elnx1?當(dāng)且僅當(dāng)x?e時(shí)等號(hào)成立，xe

1∴對(duì)任意的x?(0,??)恒有l(wèi)nx?x e

1?n1?n1?n

?0且?e，nnn1?n11?n?ln??

nen

令x?

?1?n?1?n即ln? ??

n?n?

?1?n?1?n

所以，對(duì)?n?N*，不等式ln?恒成立． ??

n?n?例2已知函數(shù)f(x)?ex?x（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（1）求函數(shù)f(x)的最小值；

e

e

e?1??2??n?1??n?

（2）若n?N*，證明：????????? ?????

e?1?n??n??n??n?

e

與某個(gè)n項(xiàng)和的形式聯(lián)系起e?

1來，則不等式可以轉(zhuǎn)化為比較項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系。注意到，問題(1)暗示本

nnnn

分析：不等式左邊是n項(xiàng)和的形式，若能把

題可以從最小值入手，即ex?x?1突破項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系。

解：（1）?f?(x)?ex?x，?f?(x)?ex?1,，令?f?(x)?0，得x?0． ∴當(dāng)x?0時(shí)，f?(x)?0，當(dāng)x?0時(shí)，f?(x)?0．

∴函數(shù)f(x)?ex?x在區(qū)間???,0?上單調(diào)遞減，在區(qū)間?0,???上單調(diào)遞增． ∴當(dāng)x?0時(shí)，f(x)有最小值1．

（2）證明：由（1）知，對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有ex?x?1，即ex?x?1．

?kk*

令x??n?N,k?1,2,?,n?1，則0?1??en，nn

??

k

n

??k??k??kn?(k?1,2,?,n?1)．e?e∴?1???????n???

n

?n?k??k

即???e(k?1,2,?,n?1)．?n?

n

?1??2??n?1??n??(n?1)∴??????????e?(n?2)???e?2?e?1?1 ?????e?n??n??n??n?

1?e?n1e??? ?1?1

e?11?e1?e

nnnn

e?1??2??n?1??n?

∴?????????． ?????

e?1?n??n??n??n?

nnnn

二、構(gòu)造輔助函數(shù)證明

例3（07山東理科22題）設(shè)函數(shù)f(x)?x2?bln(x?1)，其中b?0．（Ⅰ）當(dāng)b?

時(shí)，判斷函數(shù)f(x)在定義域上的單調(diào)性；

2（Ⅱ）求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)；

1?1?

1（Ⅲ）證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式ln??1??2?3都成立．

n?n?n

分析：觀察不等式的形式，令x?，不等式就是ln(x?1)?x2?x3，即n

x3?x2?ln(x?1)，結(jié)合函數(shù)f(x)?x2?bln(x?1)的形式，當(dāng)b??1時(shí)，即證x3?f(x)，可以通過構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)?x3?f(x)，只要h(x)的最小值大于0即可。解：（Ⅰ）（Ⅱ）略

（Ⅲ）證明：當(dāng)b??1時(shí)，函數(shù)f(x)?x2?ln(x?1)，令函數(shù)h(x)?x3?f(x)?x3?x2?ln(x?1)，13x3?(x?1)2

?則h?(x)?3x?2x?． x?1x?1

?當(dāng)x?[0,??)時(shí)，h?(x)?0，所以函數(shù)h(x)在[0,??)上單調(diào)遞增，又h(0)?0，?x?(0,??)時(shí)，恒有h(x)?h(0)?0，即x3?x2?ln(x?1)恒成立．

故當(dāng)x?(0,??)時(shí)，有l(wèi)n(x?1)?x2?x3． 對(duì)任意正整數(shù)n，取x?

11?1?1

?(0,??)，則有l(wèi)n??1??2?3． nn?n?n

所以結(jié)論成立．

三、利用恒成立構(gòu)造適當(dāng)不等式證明

例4已知函數(shù)f(x)?

lnx1

?。xx

k

恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍； x?1

（2）求證：??n?1?!???n?1?en?2，n?N*

（1）如果當(dāng)x?1時(shí)，不等式f(x)?

?

分析：要證??n?1?!???n?1?en?2，即證ln1?22?32???n2(n?1)?n?2，不等式的左邊可以轉(zhuǎn)化為是n項(xiàng)和的形式，若能把n?2與n項(xiàng)和的形式聯(lián)系起來，則不等式可以轉(zhuǎn)化為比較項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系。問題(1)暗示可從恒成立問題中構(gòu)造出適當(dāng)不等式解決項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小比較問題。

k(x?1)(1?lnx)(x?1)(1?lnx)

?k，記g(x)?解：（1）f(x)? ?

x?1xx

?

?(x?1)(1?lnx)?x?(x?1)(1?lnx)x?lnx

則g?(x)? ?

x2x2

令h(x)?x?lnx，則h?(x)?1?

x

?x?1，?h?(x)?0

?h(x)在[1,??)上單調(diào)遞增，?h(x)?h(1)?1?0，從而g?(x)?0

?g(x)在[1,??)上也單調(diào)遞增，?g(x)?g(1)?2，當(dāng)x?1時(shí)，g(x)?k恒成立，只須k?2，故實(shí)數(shù)k的取值范圍為(??,2]。

2x?122

?1??1?（2）由（1）知f(x)?恒成立，即lnx?

x?1x?1x?1x

令x?n(n?1)，則ln?n(n?1)??1?

n(n?1)

222

?ln(1?2)?1?，?ln(2?3)?1?，……，ln?n(n?1)??1?

1?22?3n(n?1)

疊加后，得

?111?

ln1?22?32???n2(n?1)?n?2??????n(n?1)??1?22?3

1?1?

?n?2?1??n?2 ??n?2?

n?1?n?1?

?1?22?32???n2(n?1)?en?2

?

?

?

??

???n?1?!???n?1?en?2?n?N*?

（07福建理科22）已知函數(shù)f(x)?e?kx,x?R．

x

（Ⅰ）（Ⅱ）略

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)F(x)?f(x)?f(?x)，求證：F(1)F(2)?F(n)?e解：（Ⅲ）∵F(x)?f(x)?f(?x)?ex?e?x

?

n?1

?2，n?N*．

??

n

?

F(x1)F(x2)?ex1?x2?e?(x1?x2)?ex1?x2?e?x1?x2?ex1?x2?e?(x1?x2)?2?ex1?x2?2

∴F(1)F(n)?en?1?2，F(xiàn)(2)F(n?1)?en?1?2，…………………………F(n)F(1)?en?1?2 由此得，?F(1)F(2)?F(n)?2??F(1)F(n)??F(2)F(n?1)???F(n)F(1)???en?1?2?n

故F(1)F(2)?F(n)?e

?

n?1

?2，n?N*．

?

n2

?

第二篇：《矩陣的秩的等式及不等式的證明》

摘 要

矩陣的秩是矩陣的一個(gè)重要特征，它具有許多的重要性質(zhì).本文總結(jié)歸納出了有關(guān)矩陣的秩的等式和不等式命題，以及證明這些命題常用的證明方法，即從向量組、線性方程組、線性空間同構(gòu)、矩陣分塊、矩陣初等變換等角度給出多種證明方法.本文主要解決以下幾個(gè)問題：用矩陣已知的秩的理論證明矩陣秩的等式和不等式問題；用線性空間的方法證明矩陣秩的等式和不等式問題；用向量組秩的理論證明矩陣秩的等式和不等式問題；用矩陣分塊法證明秩的等式和不等式問題.-i

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第一章 緒論

矩陣的秩是矩陣的一個(gè)重要特征，是矩陣?yán)碚撝醒芯康囊粋€(gè)重要內(nèi)容，它具有許多的重要性質(zhì).研究矩陣的秩對(duì)于解決矩陣的很多問題具有重要意義.矩陣的秩的等式及不等式的證明對(duì)于學(xué)習(xí)矩陣也是重點(diǎn)和難點(diǎn)，初學(xué)者在做這方面的題目往往不知如何下手.筆者歸納了矩陣的秩的常見等式和不等式以及與之相關(guān)的一些結(jié)論，并從向量組、線性方程組、矩陣分塊、矩陣初等變換等角度探索了多種證明方法，它有助于學(xué)習(xí)者加深對(duì)秩的理解和知識(shí)的運(yùn)用，也方便教師教學(xué).目前對(duì)矩陣秩的研究已經(jīng)比較成熟了，但是由于秩是矩陣論里的一個(gè)基本而重要的概念，它仍然有著重要的研究價(jià)值，有關(guān)它的論文時(shí)見報(bào)端.很多國內(nèi)外的有關(guān)數(shù)學(xué)書籍雜志對(duì)矩陣的秩都有講述，如蘇育才、姜翠波、張躍輝在《矩陣論》（科學(xué)出版社、2006年5月出版）中較完整地給出了矩陣秩的理論.北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組編寫的《高等代數(shù)》（高等教育出版社,2003年7月出版）也介紹了秩的一些性質(zhì).但是對(duì)秩的等式及不等式的介紹都比較分散，不全面也沒有系統(tǒng)化，不方便初學(xué)者全面掌握秩的性質(zhì).因此有必要對(duì)矩陣的秩的等式和不等式進(jìn)行一個(gè)歸總，便于學(xué)習(xí)和掌握.本文通過查閱文獻(xiàn)資料，總結(jié)歸納出有關(guān)矩陣的秩的等式和不等式命題，以及證明這些命題常用的證明方法，從向量組、線性方程組、線性空間同構(gòu)、矩陣分塊、矩陣初等變換等角度給出多種證明方法.主要內(nèi)容有：（1）用矩陣已知的秩的理論證明矩陣秩的等式和不等式問題；（2）用線性空間的方法證明矩陣秩的等式和不等式問題；（3）用向量組秩的理論證明矩陣秩的等式和不等式問題；（4）用矩陣分塊法證明秩的等式和不等式問題.-

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第二章 預(yù)備知識(shí)

定義1矩陣的行向量組的秩稱為矩陣的行秩；

矩陣的列向量組的秩稱為矩陣的列秩； 矩陣的行秩和列秩統(tǒng)稱為矩陣的秩.定義2如果兩個(gè)向量組互相可以線性表出，它們就稱為等價(jià).定義3 數(shù)域P上的矩陣的初等行（列）變換是指下列三種變換：

（1）以數(shù)域P中的一個(gè)非零數(shù)乘以矩陣的某一行（列）；（2）把矩陣的某一行（列）的c倍加到另一行（列）；（3）互換矩陣中兩行（列）的位置.定義4在一個(gè)s?n矩陣A中任意選定k行和k列，位于這些選定的行列交叉點(diǎn)上的k2個(gè)元素按原來的次序組成的k級(jí)行列式稱為A的一個(gè)k級(jí)子式.定義5設(shè)A為m?n矩陣,稱線性方程組Ax?0的解空間為A的零空間(即核空間)，記作N?A?,即N?A???xAx?0?.引理1[1] 矩陣的行秩等于列秩.引理2[1] 任意兩個(gè)等價(jià)的向量組必有相同的秩.引理3 n階方陣A可逆?A?0.111證明:充分性:當(dāng)d?A?0,由A(A*)?(A*)A?E知A可逆，且A?1?A*.ddd必要性:如果A可逆，那么有A?1使AA?1?E.兩邊取列式，得AA?1?E?1，因而A?0.引理4[1] 矩陣的秩是r的充要條件為矩陣中有一個(gè)r級(jí)子式不為0，同時(shí)所有的r?1級(jí)子式全為0.引理5[1] 如果向量組???可以由向量組????線性表出，那么???的秩不超過????的秩.證明：根據(jù)已知可知向量組???極大線性無關(guān)組可由????的極大線性無關(guān)組線性表出，根據(jù)向量組的基本性質(zhì)(見參考文獻(xiàn)[1])可得，向量組???極大線性無關(guān)組的向量個(gè)數(shù)不超過????的極大線性無關(guān)組的向量個(gè)數(shù)，即???的秩不超過????的秩.引理6[1] 在齊次線性方程組有非零解的情況下，它有基礎(chǔ)解系，并且基礎(chǔ)解系所含解的個(gè)數(shù)為n?r，這里r表示系數(shù)矩陣的秩，n?r也是自由未知量的個(gè)數(shù).-

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第三章 用矩陣的秩的理論證明秩的等式和不等式

本章主要是利用矩陣已知的秩的理論證明秩的等式和不等式問題，例如行秩等于列秩，秩為r的充要條件，常見的秩的不等式等等.要掌握并且靈活運(yùn)用這些知識(shí)才能證明下面的命題.這些命題都是一些基本的命題.命題3.1 r?A??r?AT?．

證明：由矩陣轉(zhuǎn)置的定義,A的行向量組就是AT的列向量組，因此A的行秩就是AT的列秩，又由引理1知r?A??r?AT?，命題證畢.命題3.2 r?kA??r?A?（其中k?0）.證明：kA的行向量組可由A的行向量組線性表出，A的行向量組也可由kA的行向量組線性表出，因此kA的行向量組與A的行向量組等價(jià).由引理2它們的秩相等，再由秩的定義知kA與A的秩相等,命題證畢.命題3.3 A是一個(gè)s?n矩陣，如果P是s?s可逆矩陣，Q是n?n可逆矩陣，那么r?A??r?PA??r?AQ?.證明：令B?PA,由矩陣乘積的秩不超過各因子的秩可知r?B??r?A?,但是由A?P?1A，又有r?A??r?B?．

所以r?A??r?B??r?PA?.另一個(gè)等式可以同樣地證明,命題證畢.?n,如r?A??n?命題3.4[2] 設(shè)A是一個(gè)n階方陣，則r?A*???1,如r?A??n?1

?0,如r?A??n?2?.證明：若r?A??n，由引理3，A?0，知A可逆，A*?AA?1可逆，故r?A???n． 若r?A??n?1，由引理4，A存在n?1階子式不為0，因此A*?0,r?A???1，又因?yàn)锳A*?AE?0，有r?A??r?A*??n，即r?A*??n?r?A??1，從而r?A*??1．

若r?A??n?2，則由引理4，A存在n?1階子式全為0，于是A*=0，即r?A*??0．命題證畢.從這個(gè)命題可以得出r?A*??r?A?的結(jié)論.-

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命題3.5［３］ 設(shè)A是一個(gè)m?n矩陣，任取A的s行t列,交叉處的s?t個(gè)元素按原來的相對(duì)位置構(gòu)成s?t子矩陣C，則r?C??m?n?r?A??s?t．

證明:設(shè)D為A的s行所構(gòu)成的s?t子矩陣，它由C所在的s行確定.設(shè)r?D??d.則A的任意一個(gè)大于d?m?s階的子式M必須至少有d?1行出現(xiàn)在D中.根據(jù)行列式的性質(zhì)，對(duì)這個(gè)子式M按出現(xiàn)在D中的那些行進(jìn)行拉普拉斯展開，則可以看出，這個(gè)M可以表示成D的一些階子式的線性組合，其中k為某個(gè)大于d的數(shù).由引理3這些子式全為零.因此任意一個(gè)大于d?m?s階子式M必須等于零.由秩的定義,r?A??r?D??m?s.由行與列的對(duì)稱性類似地可推出r?D??r?C??n?t,兩式相加即可得到

r?C??m?n?r?A??s?t，命題證畢.命題3.6［４］ 設(shè)A,B都是n階矩陣,證明:r?AB?A?B??r?A??r?B?.證明:r?AB?A?B??r?A?B?E??B??r?A?B?E??B??r?A??r?B?，命題證畢.例3.1 設(shè)A為n階方陣，求證必存在正整數(shù)m使得r?Am??r?Am?1?.證明:由于A為n階方陣，則n?r?A??r?A2???r?Ai????0,其中i為正整數(shù),而n是有限數(shù)，上面的不等式不可能無限不等下去，因而必存在正整數(shù)m使得r?Am??r?Am?1?.例3.2設(shè)A，B都是n階方陣，E是n階單位矩陣，證明

r?AB?E??r?A?E??r?B?E?.證明:因?yàn)锳B?E??A?E??A?B?E?,所以

r?AB?E??r??A?E??A?B?E???r?A?E??r?A?B?E???r?A?E??r?B?E?.命題3.7設(shè)A為n階矩陣，證明:如果A2?E,那么r?A?E??r?A?E??n.證明： 因?yàn)?A?E??A?E??A2?A?A?E?E?E?0,由命題5.3知

r?A?E??r?A?E??n.①

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又 r?A?E??r?A?E??r?A?E?A?E??r?2A??r?A?

而A2?E，所以A2?1,即A?0，r?A??n.因此

r?A?E??r?A?E??n.②

由①，② 可得r?A?E??r?A?E??n.例3.3[5] 設(shè)A,B為n階方陣,且ABA=B?1,則r?E?AB??r?E?AB??n.證明:因?yàn)锳BA?B?1,所以?AB?2?E.由命題3.7知

r?AB?E??r?AB?E??n(1)由 r?E?AB??r?AB?E?，r?E?AB??r?AB?E?(2)由(1),(2)知有r?E?AB??r?E?AB??n成立.例3.4設(shè)A為n階矩陣,且A2?A,證明r?A??r?A?E??n.證明：由A2?A，可得 A?A?E??0.r?A??r?A?E??n ①

又因?yàn)镋?A和A?E 有相同的秩,所以

n?r?E??r?A?E?A??r?A??r?E?A? ②

由①，② 可得r?A??r?A?E??n.-

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第四章 用線性空間的理論證明秩的等式和不等式

本章主要是利用線性空間的維數(shù)公式，同構(gòu)，直和分解，核與值域的一些性質(zhì)和定理來證明矩陣的一些秩的等式和不等式命題.線性空間和線性變換的知識(shí)本來就比較抽象，還要和矩陣的聯(lián)系起來，是有一定的難度的.這其中要構(gòu)造一些映射．

命題4.1 A設(shè)為n階方陣，如果A的列向量所生成的Rn的子空間R?A?與A的零空間（即核空間）N?A?的直和為Rn，則r?A??r?A2?.證明:根據(jù)引理6，要證r?A??r?A2?，只要證AX?0與A2X?0同解．

AX?0的解顯然為方程組A2X?0的解.下面我們用反證法證明A2X?0的任一解Y同時(shí)也是A2X?0的解.若AY?0，因A?AY??0,故AY?N?A?.另一方面，AY??yi?i?R?A?，其中

i?1nA???1,?2,?,?n?，Y??y1,y2,?,yn?, 從而 0?AY?R?A??N?A?, 這與Rn?R?A??N?A?矛盾,所以A2X?0的任一解同時(shí)也是AX?0的解,于是它們同解,故r?A??r?A2?.命題4.2 設(shè)A為m?n矩陣，B為n?1矩陣，證明Sylrester公式：

Tr?A?+r?B?-n?r?AB?.證明:設(shè)A為m?n矩陣，B為n?1矩陣, ?x1??y1??ABX?0(1)?????考慮X????，Y????, 方程組?BX?0(2), ?x??y??(3)?AY?0?n??n?設(shè)（1）（2）（3）的解空間分別為VAB，VB，VA，則dimVA?n?r?A?，將三者聯(lián)系起來，作?BXx?VAB?，則它為VA的子空間，從而

dim?BXx?VAB??dimVA?n?r?A?，-

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又VB為VAB的子空間，作：

VAB?VB?W

一方面dimW?dimVAB?dimVB?1?r?AB???1?r?B???r?B??r?AB? 下證W??BXX?VAB?

定義 f:W??BXX?VAB?

f????B?

易知這個(gè)映射是單滿的，并且滿足線性運(yùn)算條件，所以它是同構(gòu)映射.dimW?dim?BXX?VAB??r?B??r?AB?

但上面：

dim?BXX?VAB??dimVA?n?r?A?.因此 n?r?A??r?B??r?AB?，即 r?A??r?B??n?r?AB?．

命題4.3 設(shè)A為m?n，B為n?m矩陣，AB?BA．證r?A?B??r?A??r?B??r?AB?． 證明:設(shè)w1,w2,w3,w4分別為A,B,A?B,AB行空間,那么

dimw1?r?A?, dimw2?r?B? dimw3?r?A?B?, dimw4?r?AB?

由于w3?w1?w2,并由維數(shù)公式得: dimw3?dim?w1?w2??dimw1?dimw2?dim?w1?w2?即得: r?A?B??r?A??r?B??dim?w1?w2?(1)由于AB的行向量是B的行向量的線性組合,所以有w4?w2,又AB?BA,所以有w4?w1,因此有w4?w1?w2,所以有

r?AB??dim?w1?w2?(2).-

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將(2)代入(1)即得: r?A?B??r?A??r?B??r?AB?.命題4.4 若r?AB??r?B?，證明r?ABC??r?BC?.證明：設(shè)方程組ABX?0與BX?0的解空間分別為VAB，VB.若r?AB??r?B?，則根據(jù)引理6知dim?VAB??dim?VB?

① 又因?yàn)闈M足BX?0解向量也滿足ABX?0,所以VAB?VB

② 由① ②可推出VAB?VB.要證r?ABC??r?BC?，只要證ABCX?0與BCX?0同解.設(shè)方程組ABCX?0與BCX?0的解空間分別為VABC，VBC.顯然VABC?VBC,只要證VABC?VBC.由ABCX?0知CX?VAB?VB,即BCX?0，因此VABC?VBC，命題得證.此例是一個(gè)有價(jià)值的結(jié)論.例4.1 n階矩陣A滿足A2?A當(dāng)且僅當(dāng)r?A??r?A?E??n.?1??????2??A0 1證明：先證明必要性.由A?A知A相似于形如???0???????的對(duì)角陣，其中1的個(gè)數(shù)為r?A?,又E?A與E?A0相似，從而有相同的秩，而

?1???????，E?A0??1??0???????其中0的個(gè)數(shù)為A的秩，1的個(gè)數(shù)n?r?A?.所以

r?A??r?E?A??r?A??r?E?A0??r?A??n?r?A??0.充分性.只要證明對(duì)任意X均有A2X?AX即可.由r?A??r?E?A??n說

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明,AX1?0的解空間V1與?E?A?X2?0的解空間V2滿足V1?V2?Rn,從而對(duì)任意X存在唯一分解

X?X1?X2其中X1?V1X2?V2,所以

A2X?A2?X1?X2??A?AX1??A?AX2??0A?AX2?0?X2?AX1?AX2?A?X1?X2?

?AX

綜上即證A2?A.命題4.5設(shè)A,B分別是m?m,m?n矩陣，其中A為可逆矩陣,證明r(AB)?r(B).證明：設(shè)AB?Q,A?(?1,?2,...,?m),B?(?1,?2,...,?n),Q?(?1,?2,...,?n)，則(?1,?2,...,?m)?1??1,(?1,?2,...,?m)?2??2,...,(?1,?2,...,?m)?n??n 因?yàn)锳為可逆矩陣，秩為m，故可將(?1,?2,...,?m)看做m維線性空間的一組基，則向量?1,?2,...,?n在這組基下的坐標(biāo)向量分別為?1,?2,...,?n.作

l(?1,?2,...,?n),l(?1,?2,...,?n)，在這兩個(gè)線性空間中構(gòu)造映射，將l(?1,?2,...,?n)中的每個(gè)向量映射到在基(?1,?2,...,?m)下的坐標(biāo)向量，這個(gè)映射是一個(gè)同構(gòu)映射，因此l(?1,?2,...,?n),l(?1,?2,...,?n)這兩個(gè)線性空間同構(gòu)，所以

dim(l(?1,?2,...,?n))?dim(l(?1,?2,...,?n))，而dim(l(?1,?2,...,?n))?r(B),dim(l(?1,?2,...,?n))?r(AB).所以r(AB)?r(B).同理可證明當(dāng)B為可逆矩陣時(shí),r(AB)?r(A).這章主要是利用線性空間和線性變換的一些知識(shí)來證明矩陣的秩的等式和不等式命題，難點(diǎn)在于要好好理解線性空間和線性變換的一些知識(shí)，重要定理和性質(zhì)，再把握它們同矩陣的聯(lián)系.-

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第五章 用向量組秩的理論證明秩的等式和不等式

本章主要利用向量組的秩和極大線性無關(guān)組的一些知識(shí)，以及線性方程組的解空間的維數(shù)和系數(shù)矩陣的秩的關(guān)系來證明秩的等式和不等式.B是m?p矩陣,則r?A?或r?B??r?A?B??r?A??r?B?.命題5.1設(shè)A是m?n矩陣，證明：?A?B?列向量組向量的個(gè)數(shù)比A和B多，所以r?A?或r?B??r?A?B?． 下面證明r?A?B??r?A??r?B?.不妨設(shè)Ai1,Ai2?,Air1與Bj1,Bj2?,Bjr2分別是A與B的列向量組的極大線性無關(guān)組,則?A?B?的每個(gè)列向量均可用向量組

Ai1,Ai2?,Air1,Bj1,Bj2?,Bjr2

線性表出,根據(jù)引理5可知

r?A?B??rAi1,Ai2?,Air1,Bj1,Bj2?,Bjr2?r1?r2?r?A??r?B?.??命題證畢.命題5.2設(shè)A,B是m?n矩陣，r?A??r?B??r?A?B??r?A??r?B?.證明：先證明r?A?B??r?A??r?B?.設(shè)

A??A1,A2?,An?B??B1,B2?,Bn? ，則

A?B??A1?B1,A2?B2?,An?Bn?.不妨設(shè)Ai1,Ai2?,Air1與Bj1,Bj2?,Bjr2分別是A與B的列向量組的極大線性無關(guān)組，則有

As?k1Ai1?k2Ai2???kr1Air1?s?1,2,?,n?

Bs?l1Bi1?l2Bi2???lr2Bir2

As?Bs??k1Ai1?k2Ai2???kr1Air1?l1Bi1?l2Bi2???lr2Bir2

即A?B的列向量可以由Ai1,Ai2?,Air1,Bj1,Bj2?,Bjr2線性表出，由引理5知

r?A?B??rAi1,Ai2?,Air1,Bj1,Bj2?,Bjr2?r1?r2?r?A??r?B?.0

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再證明r?A??r?B??r?A?B?.由剛證明的結(jié)論r?A?B??r?A??r?B?可知

r?A??r??A?B????B???r?A?B??r??B??r?A?B??r?B?, 移項(xiàng)得到

r?A??r?B??r?A?B?, 同理可得r?B??r?A??r?A?B?,因此r?A??r?B??r?A?B?.綜上所述我們證明了r?A??r?B??r?A?B??r?A??r?B?，對(duì)于r?A??r?B??r?A?B??r?A??r?B?，只要把以上證明過程的B改成?B即可得證，命題證畢.由命題3.1r?A??r?AT?,命題3.2r?kA??r?A?（其中k?0）和本命題可推知

r?kA?lB??r?A??r?B?（其中kl?0）.例5.1設(shè)A,B是m?n矩陣,證明:r?A?B??r?A?B?.證明:先證明r?A?B??r?A?B?.設(shè)A??A1,A2?,An? B??B1,B2?,Bn?, 則A?B??A1?B1,A2?B2?,An?Bn? ?A?B???A1,A2?,An,B1,B2?,Bn?.不妨設(shè)Ai1,Ai2?,Air1與Bj1,Bj2?,Bjr2分別是A與B的列向量組的極大線性無關(guān)組，則有

As?k1Ai1?k2Ai2???kr1Air1?s?1,2,?,n?

Bs?l1Bi1?l2Bi2???lr2Bir2

As?Bs??k1Ai1?k2Ai2???kr1Air1?l1Bi1?l2Bi2???lr2Bir2

即A?B的列向量可以由Ai1,Ai2?,Air1,Bj1,Bj2?,Bjr2線性表出,由于

Ai1,Ai2?,Air1,Bj1,Bj2?,Bjr2

也是來自于?A?B?的列向量組的向量,所以A?B的列向量也可以由?A?B?的列向量組線性表出,根據(jù)引理5可知r?A?B??r?A?B?.對(duì)于r?A?B??r?A?B?, 只要把以上證

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明過程的B改成?B即可得證，命題證畢.命題5.3設(shè)A是m?n矩陣，B是n?p矩陣，如果AB?0，則r?A??r?B??n.證明：設(shè) B??B1,B2,?,Bp?，則AB??AB1,AB2,?,ABp??0.故有AB1?AB2???ABp?0,即齊次方程組AX?0有p個(gè)解B1,B2,?,Bp.若r?A??r，則根據(jù)引理6,B1,B2,?,Bp可由n?r個(gè)解向量組成的基礎(chǔ)解系線性表出.根據(jù)引理5有r?B??n?r,r?A??r?B??r??n?r??n,命題證畢.例5.2 A是m?n矩陣，則r?ATA??r?AAT??r?A??r?AT?.證明：由命題3.1知r?A??r?AT?.下面我們先證明r?ATA??r?A?.只要證明ATAX?0與AX?0同解便可得到r?ATA??r?A?.一方面，滿足AX?0解向量也滿足ATAX?0；

另一方面，由ATAX?0兩邊同時(shí)左乘XT得到XTATAX?0，即?AX?T?AX??0，?k1?T??2?0,所以ki?0?i?1,2,?,n?，AX?0，設(shè)AX????,那么?AX??AX??k12??kn?k??n?滿足ATAX?0的解也滿足AX?0．

綜上所述ATAX?0與AX?0同解,解空間的維數(shù)相等，由系數(shù)矩陣的秩與線性方程解空間的維數(shù)之間的關(guān)系可知

n?r?ATA??n?r?A?，r?ATA??r?A?.對(duì)r?AAT??r?AT?證明過程與此類似，所以r?ATA??r?AAT??r?A??r?AT?，命題證畢.例5.3 證明：若線性方程組AX?0的解均為BX?0的解，則r?A??r?B?.證明：設(shè)方程組AX?0與BX?0的解空間分別為VA,VB，若線性方程組AX?0的解均為BX?0的解，則

VA?VB,dim?VA??dim?VB?-12

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根據(jù)引理6有n?r?A??n?r?B?,即r?A??r?B?，命題得證.例5.4設(shè)A為m?n矩陣，B為n?1矩陣，證明ABX?0與BX?0同解的充分必要條件為r?AB??r?B?.證明：設(shè)方程組ABX?0,BX?0解空間分別為VAB,VB.必要性：若VAB?VB，dim?VAB??dim?VB?,根據(jù)引理6可知

n?r?AB??n?r?B?, 可以推出r?AB??r?B?.充分性：若r?AB??r?B?，則根據(jù)引理6知

dim?VAB??dim?VB? ①

又因?yàn)闈M足BX?0解向量也滿足ABX?0,所以

VAB?VB ②

由① ②可推出VAB?VB.命題證畢.命題5.4設(shè)A是數(shù)域P上n?m矩陣，B是數(shù)域P上m?s矩陣，證明r?AB??min?r?A?,r?B??即矩陣乘積的秩不超過各因子的秩.證明: 構(gòu)造齊次線性方程組ABX?0與BX?0,設(shè)方程組ABX?0與BX?0的解空間分別為VAB,VB.顯然，滿足BX?0解向量也滿足ABX?0,所以VAB?VB,dim?VAB??dim?VB?, 根據(jù)引理6知r?AB??r?B?.再構(gòu)造齊次線性方程組BTATX?0與ATX?0，同理可得r?BTAT??r?AT?,即r?AB??r?A?.綜上所述r?AB??min?r?A?,r?B??.此命題用歸納法可以推廣為：如果A?A1A2?Am那么秩(A)?min秩(Aj).1?j?m例5.4 如果m?n方程組AX?0的解為方程b1x1?b2x2???bnxn?0的解，其中

A??'X??x1,x2,?,xn?，求證r???r?A?.b,b,?,bn??12-13

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A??證明：由已知可知AX?0與??X?0同解，根據(jù)引理6它們的系數(shù)矩陣

?b1,b2,?,bn?A??的秩相等,所以 r???r?A?.b,b,?,bn??12-14

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第六章 用矩陣分塊法證明秩的等式和不等式

本章主要是利用矩陣分塊的方法來證明矩陣的秩的等式和不等式，也包括矩陣分解的方法證明秩的等式和不等式，涉及到了矩陣的廣義初等變換和廣義初等矩陣.例6.1[4] 設(shè)A是數(shù)域P上n?m矩陣，B是數(shù)域P上m?s矩陣，求證r?AB??min?r?A?,r?B??,即矩陣乘積的秩不超過各因子的秩．

?a11a12?aa證明：設(shè)A??2122????a?n1an2?a1m??b11?b?a2m??，B??21??????b?anm???m1

b12?b1s?b22?b2s??

????bm2?bms??令B1,B2,?,Bm表示B的行向量，C1,C2,?,Cn表示C?AB的行向量。由于Ci的第j個(gè)分量和ai1B1?ai2B2???aimBm的第j個(gè)分量都等于?aikbkj，因而

k?1mCi?ai1B1?ai2B2???aimBm(i?1,2,?,n)，即矩陣AB的行向量組C1,C2,?,Cn可經(jīng)B的行向量組線性表出,所以AB的秩不超過B的秩，即r?AB??r?B?.同樣，令A(yù)1,A2,?,Am表示A的列向量，D1,D2,?,Ds表示C?AB的列向量，則有

Di?b1iA1?b2iA2???bmiAm(i?1,2,?,s).AB的列向量組可經(jīng)矩陣A的列向量組線性表出，所以r?AB??r?A?，也就是

r?AB??min?r?A?,r?B??.例6.2設(shè)A，B都是n階方陣，E是n階單位矩陣，求證

r?AB?E??r?A?E??r?B?E?.?A?E證明:因?yàn)??0B?E??B?E??B0??AB?E0??????, E0B?E0????B?E???r(A?E)?r(B?E).B?E??AB?E0??A?E?故r(AB?E)?r??r?B?E0???0因此r?AB?E??r?A?E??r?B?E?.5

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命題6.1設(shè)A，B是m?n矩陣，則r?A?B??r?A??r?B?.?A0?證明：構(gòu)造分塊矩陣??，對(duì)其施行用廣義初等變換可得

?0B??A0??AB??AA?B?????????.0B0B0B??????根據(jù)初等變換不改變矩陣的秩可以推出

?A0??AA?B??A?B?r??r?r??????r?A?B?

①

B??0B??0?B??A0?又由于 r???r?A?B?

②

0B??由①,②即得

r?A?B??r?A??r?B?.命題6.2[2]

設(shè)A，B分別為s?n,n?m矩陣,則r?A??r?B??n?r?AB?.0??En?E證明:由?n????AEs??A可推出

B??En??0??0?B??En???Em??00??En0??En，且??，???AB???AEs??0?B??可逆Em??Er?n?A?En但r??AB??En?r??0??00???r?En??r??AB??n?r?AB?.?AB?B???r?A??r?B?,即 0?n?r?AB??r?A??r?B?.所以r?A??r?B??n?r?AB?.這個(gè)公式代數(shù)里稱為Sylverster(薛爾佛斯特)公式.命題6.3設(shè)A，B分別為s?n,n?m矩陣,則r?A??r?B??n?r?AB?的充要條件為

?A0??A0?r???r??.EB0B?????E?A??A0??E?B??0?AB??E?B??0?AB?證明:由??????????????，B??0E??E0??0E??EB??0E??E-16

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根據(jù)矩陣秩的性質(zhì)，可以得到等式

?A0??0?AB?r???r???r?AB??n ① EBEB?????A0?而 r???r?A??r?B?

②

?0B??A0??A0?充分性：若r???r??，由① ②可知r?AB??n?r?A??r?B?，即

EB0B????r?A??r?B??n?r?AB?.必要性：若r?A??r?B??n?r?AB?則r?AB??n?r?A??r?B?, 由① ②可知

?A0??A0?r???r??.EB0B????綜上所述,命題得證.例6.3 設(shè)A，B分別為s?n,n?m矩陣,則r?A??r?B??n?r?AB?的充分必要條件為存在矩陣X，Y，使得XA?BY?En.證明：由上一個(gè)命題可知r?A??r?B??n?r?AB?的充要條件為

?A0??A0??A0??A0?r???r??，那么我們只要證明r???r??的充要條件為存在矩陣EB0BEB0B????????X，Y，使得XA?BY?En，即可完成本命題的證明.下面就此進(jìn)行證明.充分性.?E由?m?-X0??A??En??En0??En??B??-Y0??A???Em??-AX0??En??B??-Y0??A???Em??En-XA-BY0?? B??A0??A0?可知當(dāng)XA?BY?En時(shí)，r???r??.EB0B????再根據(jù)命題6.3可推出等式

r?A??r?B??n?r?AB?.必要性.?Er設(shè) P1AQ1???00??ES?,P2BQ2??0??0-17

0??, 0?湖南科技大學(xué)2011屆本科生畢業(yè)論文

其中P1,P均為可逆矩陣.2,Q1,Q2?P則 ?1?0?Er?0???0??00??A0??Q10??P0??Q10??P1A1AQ1?????0Q??0PB??0Q??0P2??0B???2??2??2??00000ES000??0?0??0???P2BQ2?

0?1?

??P2BQ2? 00??A0??Q10??P0??Q10??P?P11A1AQ1???????0Q??PPB??0Q??PQ0PEB???2??2??22??2??21?Er?0???C1??C300C2C400ES00??0?0??0??2?

對(duì)式（2）右端的方陣作行初等變換，可消去C1，C2，C3.若

r?A??r?B??n?r?AB?，?A0??A0?根據(jù)命題6.3有r?，式（2）右端方陣秩相等，故?r???，因此式（1）?EB??0B??F1為在消去C1，C2，C3時(shí)也消去了C4，對(duì)式（2）右端分塊記??C0?? 其中 F2??ErF1???00??ES?，F(xiàn)2??0??00??C1C2?C??? ?，CC0?4??3.于是上述消去C1的行變換相當(dāng)于

??C10??Er????00??00??C1C2??0??????0??C3C4??C3C2?? C4?,消去其余C2,C3,C4有類似的結(jié)果，這樣初等變換就相當(dāng)于存在矩陣S，T，使

SF1+F2T+C=0,即SPAQ11?P2BQ2T?PQ21?0，進(jìn)行變形整理,從而有

?P?12?1SP1?A?B??Q2TQ1??En.?1?1令X?P,，便得到XA?BY?En，命題得證.2SP1Y??Q2TQ1-18

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命題6.4設(shè)A1,A2,?,Ap都是n階矩陣，A1A2?Ap?0.證明:這p個(gè)矩陣秩之和不大于?p?1?n.這p個(gè)矩陣秩之和不大于?p?1?n.證明：由命題6.2的Sylverster(薛爾佛斯特)公式可得

0?r?A1A2?Ap??r?A1??r?A2?Ap??n?r?A1??r?A2??r?A3?Ap??2n???r?A1??r?A2????r?Ap???p?1?n，移項(xiàng)即得

r?A1??r?A2????r?Ap???p?1?n.例6.4設(shè)A,B，C依次為s?n，n?m，m?t的矩陣,證明

r?ABC??r?AB??r?BC??r?B?.證明:設(shè)r?B??r,那么存在n階可逆矩陣P，m階可逆矩陣Q，使得

?EB?P?r?0把P，Q適當(dāng)分塊P??M0??Q ① 0??N?S?,Q???，其中M為n?r矩陣,N為r?m矩陣．

?T?0??N?????MN.0??T?由①式有B??M?ES??r?0所以r?ABC??r?AMNC?,再由命題6.2的Sylverster(薛爾佛斯特)公式可得

r?ABC??r?AMNC??r?AM??r?NC??r?r?AMN??r?MNC??r?B?

?r?AB??r?BC??r?B?, 從而r?ABC??r?AB??r?BC??r?B?,命題得證.這個(gè)公式也稱為Frobenius(佛羅扁尼斯)公式.例6.5 設(shè)B為r?s矩陣，A為秩為r的m?r的列滿秩矩陣?m?r?,C為秩為s的s?t的行滿秩矩陣?s?t?,證明:r?AB??r?BC??r?B?．證明:先證明r?AB??r?B?.9

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?E?因?yàn)閞?A??r,所以存在m階可逆矩陣P和r階可逆矩陣Q，使得PAQ??r?,即

?0??Er??1?Q?1?PA???Q???，00????再根據(jù)矩陣乘以可逆矩陣不改變秩的大小可得

??Q?1????Q?1B??r?AB??r?PAB??r??B??r???r?Q?1B??r?B?.????0??0?????????同理可證r?BC??r?B?.因此有r?AB??r?BC??r?B?,命題得證.命題6.5設(shè)A,B，C分別為s?n，n?m，m?t矩陣,r?B??r,而B的一個(gè)滿秩分解m?r是B?HL，即H是列滿秩矩陣,L是行滿秩矩陣,則

r?ABC??r?AB??r?BC??r?B?的充要條件是存在矩陣X,Y,使得

XAH?LCY?Er.證明：因?yàn)锽?HL是滿秩分解,H是列滿秩矩陣,L 是行滿秩矩陣,所以根據(jù)例題6.5有

r?AB??r?AHL??r?BC?和r?BC??r?HLC??r?LC?, 則

r?ABC??r?AB??r?BC??r?B??r?AHLC??r?AB?H?r?LC??r.又由例題6.3得

r?AHLC??r?AB?H?r?LC??r?矩陣X,Y使得 XAH?LCY?Er, 命題得證.這是例題6.4 Frobenius(佛羅扁尼斯)公式等號(hào)成立的充要條件.例6.6證明:r?A3??r?A??2r?A2?.證明:由例題6.4的Sylverster(薛爾佛斯特)公式可知

r?A3??r?AAA??r?A2??r?A2??r?A?.移項(xiàng)即r?A3??r?A??2r?A2?得,命題得證.例6.7設(shè)A，C均為m?n矩陣B，D均為n?s矩陣，證明

r?AB?CD??r?A?C??r?B?D?.0

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證明：根據(jù)分塊矩陣的乘法可知

?Em??0C??A?C0??En???En??B?D??0?0B??A?C??Es???0AB?CD??

B?D??A?C由此易知r?A?C??r?B?D????0AB?CD???r(AB?CD)，B?D?從而得到r?AB?CD??r?A?C??r?B?D?,命題得證.例6.8設(shè)A,B都是n?n矩陣，如果AB?0，則r?A??r?B??n.?BE?證明:構(gòu)造分塊矩陣??，對(duì)其做初等變換

?0A?E??BE??0E??BE??B??????????? 0A?AB00000?????????BE??0E??BE?可推出r?,但?r?nr??????r?A??r?B?,所以r?A??r?B??n.?0A??00??0A?這個(gè)命題的一般形式為：設(shè)A是m?n矩陣，B是n?p矩陣，如果AB?0，則r?A??r?B??n,已經(jīng)在命題5.3中用線性方程組的解空間的維數(shù)與系數(shù)矩陣的秩的關(guān)系方法證明了.本命題只是它的特殊形式.例6.9設(shè)Q為k階方陣，m，n為非負(fù)整數(shù)，則（1）rQn?rQm?2n?rQm?n?rQ2n（2）rQm?rQm?2n?2rQm?n

證明：（1）設(shè)A?Qm,B?Qn,C?Qn由佛羅扁尼斯（Frobenius）不等式，????????????????rQm?2n?rQm?n?rQ2n?rQn，即得：

rQn?rQm?2n?rQm?n?rQ2n

（2）設(shè)A?Qn,B?Qm,C?Qn由佛羅扁尼斯（Frobenius）不等式，??????????????rQm?2n?r?AB??r?BC??r?B?，即得：

rQm?rQm?2n?2rQm?n.????????-21

湖南科技大學(xué)2011屆本科生畢業(yè)論文

命題6.6設(shè)A為ss?n矩陣，則r?En?A?A??r?Es?AA???n?s.?Es 證明:??0??A??EsA??Es0??Es?AA?0??????? ???????????En??AEn???AEn??0En??EsA? 由命題3.3，則r??r?Es?AA???n.??A?En??E同理r?s?A?A???r?En?A?A??s.所以 r?En?A?A??r?Es?AA???n?s.En?矩陣的分塊是種有效的解決矩陣有關(guān)問題的方法，值得好好體會(huì).尤其是有些難題，矩陣分塊是簡便分方法.本章利用矩陣分塊的方法證明了一些典型的矩陣等式和不等式命題，很有借鑒意義.2

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第七章 小結(jié)

矩陣的秩的等式、不等式的證明及它應(yīng)用非常廣泛。在本文中，主要討論了矩陣的秩，以及它的等式及不等式命題的證明方法，較之前的研究，更加全面。文中討論了利用線性空間同構(gòu)、向量組維數(shù)理論及矩陣分塊等一些理論來證明了矩陣的秩的等式、不等式的相關(guān)命題。運(yùn)用這些方法，我們可以更加快捷的判斷矩陣的秩是否相等，或者證明不同矩陣的秩之間的聯(lián)系，有了這些方法和結(jié)論，就可以將矩陣的秩的等式及不等式的命題更好的應(yīng)用到實(shí)際中來。當(dāng)然，對(duì)于矩陣秩的研究，雖然本人已經(jīng)進(jìn)行了充分的搜集、總結(jié)及研究，但是，仍會(huì)有不足之處，對(duì)于它的研究以及應(yīng)用仍然不夠，這一點(diǎn)將是我們以后必須致力研究的工作。

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參考文獻(xiàn)

[1] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,2003.[2] 錢吉林.高等代數(shù)題解精粹修訂版[M].北京:中央民族大學(xué)出版社,2006.[3] 蘇育才,姜翠波,張躍輝.矩陣?yán)碚揫M].北京:科學(xué)出版社,2006.[4] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)第五版[M].北京:高等教育出版社,2007.[5] 王寶存.運(yùn)用AZ=Q證明矩陣秩的不等式與等式[J].淮南師專學(xué)報(bào),2000,2(3):90-91.4

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致

謝

從論文選題到搜集資料，從提綱的完成到正文的反復(fù)修改，我經(jīng)歷了喜悅、聒噪、痛苦和彷徨，在寫作論文的過程中，心情是如此復(fù)雜。如今，伴隨著這篇畢業(yè)論文的最終成稿，復(fù)雜的心情煙消云散，自己甚至還有一點(diǎn)成就感。

我要感謝我的導(dǎo)師李世群老師。她為人隨和熱情，治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)心。從選題、定題、撰寫提綱，到論文的反復(fù)修改、潤色直至定稿，李老師始終認(rèn)真負(fù)責(zé)地給予我深刻而細(xì)致地指導(dǎo)。在論文寫作期間，李老師多次對(duì)我作一對(duì)一的指導(dǎo)，對(duì)我的論文寫作的方向提出了寶貴的建議。正是有了李老師的無私幫助與熱忱鼓勵(lì)，我的畢業(yè)論文才得以順利完成。

在此，我還要感謝大學(xué)四年中我的任課教師，是他們讓我學(xué)到了許多豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，才使我今天有能力來完成這項(xiàng)艱巨的任務(wù)。

最后還要感謝四年里陪伴我的同學(xué)、朋友們，有了他們我的人生才豐富，有了他們我在奮斗的路上才不孤獨(dú)。感謝他們?cè)谡撐呐虐婧驮O(shè)計(jì)上都給我很多寶貴意見和建議，讓我能夠做的更好，謝謝他們。

第三篇：函數(shù)極限證明

函數(shù)極限證明

記g(x)=lim^(1/n)，n趨于正無窮;

下面證明limg(x)=max{a1,...am},x趨于正無窮。把max{a1,...am}記作a。

不妨設(shè)f1(x)趨于a;作b>a>=0,M>1;

那么存在N1,當(dāng)x>N1,有a/M<=f1(x)注意到f2的極限小于等于a，那么存在N2，當(dāng)x>N2時(shí)，0<=f2(x)同理，存在Ni，當(dāng)x>Ni時(shí)，0<=fi(x)取N=max{N1,N2...Nm};

那么當(dāng)x>N,有

(a/M)^n<=f1(x)^n<=f1(x)^n+...fm(x)^n所以a/M<=^(1/n)

第四篇：如何用配方法證明等式

如何用配方法證明等式

配方法是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)最基本的數(shù)學(xué)方法,通過它對(duì)代數(shù)式的恒等變形,使許多復(fù)雜的問題得以簡單化.現(xiàn)在我們就用配方法來證明恒等式和條件等式.一.通過配方直接證明等式成立

例1 求證

(a?b?c)(x?y?z)?(ax?by?cz)

?(bx?ay)?(cx?az)?(cy?bz)222222222

2證明左邊=(a2x2?a2y2?a2z2?b2x2?b2y2?b2z2?c2x2?c2y2

?cz)?(ax?by?cz?2axby?2axcz?2bycz)22222222

?bx?2axby?ay?cx?2axcz?az?cy?2bycz?bz

?(bx?ay)?(cx?az)?(cy?bz)***

所以左邊=右邊

即:(a?b?c)(x?y?z)?(ax?by?cz)

?(bx?ay)?(cx?az)?(cy?bz)2222222222

例2 已知(c?a)2?4(a?b)(b?c)?0，求證a、b、c成等差數(shù)列（即證明 a?2b?c?0）

證明c2?2ac?a2?4ab?4ac?4b2?4bc?0

c?4b?a?4ab?4bc?2ac?0

(a?2b?c)?0222

2?a?2b?c?0

?b?a?c

2所以a、b、c成等差數(shù)列

二.通過配方,把已知的等式化為幾個(gè)實(shí)數(shù)的平方和等于零的形式，就是說化為a2+b2+c2=0則

a=b=c=0從而從而使所求的等式成立．

例3已知a、b、c、x、y、z都是非零實(shí)數(shù)，且a?b?c?x?y?z?ax?by?cz，求證x

a?y

b?z

c22222

2222222證明由已知條件可以得到：a?b?c?x?y?z?2ax?2by?2cz?0

即：(x?a)?(y?b)?(z?c)?0222

?x?a?0?x?a

????y?b?0??y?b

?z?c?0?z?c??

而a、b、c都不等于零，所以

例4 xa?yb?zc 已知a、b、m、n都是正數(shù)，并且a4?b4?m4?n4?4abmn?0

求證a?b?m?n

證明將已知等式的左邊進(jìn)行配方可得：

a?2ab?b?m?2mn?n?2ab?2mn?4abmn?0422442242222

(a2?b2)2?(m2?n2)2?2(ab?mn)2?0

?a2?b2?0

?22??m?n?0

?ab?mn?0?

?a?b

??a?b?m?n ?a,b,m,n都是正數(shù)??m?n

?22?b?n?0

綜上所述，我們?cè)诮忸}過程中一方面要充分認(rèn)識(shí)完全平方公式的特點(diǎn)(a?b)?a?2ab?b，然后逆用公式進(jìn)行證明如例1和例2。另一方面也要利用它的非負(fù)222

性的性質(zhì)：(a?b)2?0當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立。通過添加適當(dāng)?shù)捻?xiàng)構(gòu)造出完全平方式進(jìn)行等式的證明如例3和例4。

第五篇：函數(shù)的證明方法

一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)⑴如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(x)=f(-x）或f(x)/f(-x)=1那么函數(shù)f(x）就叫做偶函數(shù)。關(guān)于y軸對(duì)稱，f（-x）=f（x）。

⑵如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=-f(x）或f(x)/f(-x)=-1，那么函數(shù)f(x）就叫做奇函數(shù)。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，-f（x）=f（-x）。

⑶如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(x)=f(-x）和f(-x)=-f(x），（x∈R，且R關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.）那么函數(shù)f(x）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，稱為既奇又偶函數(shù)。⑷如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的存在一個(gè)a，使得f(a）≠f(-a），存在一個(gè)b，使得f(-b）≠-f(b），那么函數(shù)f(x）既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，稱為非奇非偶函數(shù)。定義域互為相反數(shù)，定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 特殊的，f（x）=0既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。

說明：①奇、偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，對(duì)整個(gè)定義域而言。

②奇、偶函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果一個(gè)函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)一定不具有奇偶性。

（分析：判斷函數(shù)的奇偶性，首先是檢驗(yàn)其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后再嚴(yán)格按照奇、偶性的定義經(jīng)過化簡、整理、再與f(x）比較得出結(jié)論）③判斷或證明函數(shù)是否具有奇偶性的根據(jù)是定義。

④如果一個(gè)奇函數(shù)f(x）在x=0處有意義，則這個(gè)函數(shù)在x=0處的函數(shù)值一定為0。并且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

⑤如果函數(shù)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱或不符合奇函數(shù)、偶函數(shù)的條件則叫做非奇非偶函數(shù)。例如f（x）=x3【-∞，-2】或【0，+∞】（定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）

⑥如果函數(shù)既符合奇函數(shù)又符合偶函數(shù)，則叫做既奇又偶函數(shù)。例如f（x）=0 注：任意常函數(shù)（定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）均為偶函數(shù)，只有f(x)=0是既奇又偶函數(shù)