第一篇：函數(shù)單調(diào)性定義證明

用函數(shù)單調(diào)性定義證明

例

1、用函數(shù)單調(diào)性定義證明:

(1)為常數(shù))在 上是增函數(shù).(2)在 上是減函數(shù).分析：雖然兩個(gè)函數(shù)均為含有字母系數(shù)的函數(shù)，但字母對于函數(shù)的單調(diào)性并沒有影響，故無須討論.證明:(1)設(shè)

則 是 上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，=

由 得，由

得，.于是，即即..(2)設(shè)在 是 上是增函數(shù).上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，則

由 得，由

得

于是 即.又，..在 上是減函數(shù).小結(jié)：由(1)中所得結(jié)論可知二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只與對稱軸的位置和開口方向有關(guān)，與常數(shù) 無關(guān).若函數(shù)解析式是分式，通常變形時(shí)需要通分，將分子、分母都化成乘積的形式便于判斷符號.根據(jù)單調(diào)性確定參數(shù)

例

1、函數(shù)

在上是減函數(shù)，求的取值集合.分析：首先需要對 前面的系數(shù)進(jìn)行分類討論，確定函數(shù)的類型，再做進(jìn)一步研究.解：當(dāng)

具備增減性.當(dāng)，解得

.故所求的取值集合為

.時(shí)，函數(shù)此時(shí)為，是常數(shù)函數(shù)，在上不時(shí)，為一次函數(shù)，若在上是減函數(shù)，則有

小結(jié)：此題雖比較簡單，但滲透了對分類討論的認(rèn)識與使用.

第二篇：專題：函數(shù)單調(diào)性的證明

函數(shù)單調(diào)性的證明

函數(shù)的單調(diào)性需抓住單調(diào)性定義來證明，這是目前高一階段唯一的方法。

一、證明方法步驟為：

① 在給定區(qū)間上任取兩個(gè)自變量x1、x2且x1＜x2 ② 將f?x1?與f?x2?作差或作商（分母不為零）

③ 比較差值（商）與0（1）的大小 ④ 下結(jié)論，確定函數(shù)的單調(diào)性。

在做差比較時(shí)，我們常將差化為積討論，常用因式分解（整式）、通分（分式）、有理化（無理式）、配方等手段。

二、常見的類型有兩種：

（一）已知函數(shù)的解析式：

1例1：證明：函數(shù)f?x?=在x∈（1，+∞）單調(diào)遞減

x-

1例2：證明：函數(shù)f?x?=x+x+1在x∈R時(shí)單調(diào)遞增

3[1，+?）時(shí)單調(diào)遞增 例3：證明：函數(shù)f?x?=x-1在x∈2

例4：討論函數(shù)f?x?=x+

1在（1，+?）的單調(diào)性，并求最小值 x-1

例5：求函數(shù)f?x?= x+2的單調(diào)區(qū)間 x-1+?）單調(diào)遞增 練習(xí)：

1、證明函數(shù)f?x?=x+（a＞0）在（a，2、討論函數(shù)f?x?=1+x-x的單調(diào)性

2ax

（二）f?x?抽象函數(shù)的單調(diào)性：

抽象函數(shù)的單調(diào)性關(guān)鍵是抽象函數(shù)關(guān)系式的運(yùn)用，同時(shí)，要注意選擇作差還是作商，這一點(diǎn)可觀察題意中與0比較，應(yīng)作差；與1比較，應(yīng)作商。如下三例：

例1：已知函數(shù)滿足x、y∈R時(shí)，f(x?y)?f(x)?f(y)恒成立，且當(dāng)x＞0時(shí)，＞0.證明：f(x)在R上單調(diào)遞增.例2：已知函數(shù)滿足x、y∈R時(shí)，f(xy)?f(x)?f(y)恒成立，且當(dāng)x＞1時(shí)，0.證明：f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.例3：已知函數(shù)滿足x、y∈R時(shí)，f(xy)?f(x)?f(y)恒成立，且當(dāng)x＞1時(shí)，1.若f(x)?0.證明：f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.練習(xí)：

1、已知函數(shù)

f?x?對于任意的x、y∈R，f?x?+f?y?=f?x+y?，且當(dāng)x＞0時(shí)，f?x?＜0；f?1?=-23.f(x)＞f(x)＞總有（1）求證：f?x?在R上是減函數(shù)

（2）求f?x?在[-3，3]上的最大值與最小值

2、已知函數(shù)f?x?的定義域?yàn)镽，且m、n∈R，恒有f?m?+f?n?=f?m+n?+1，且f?-＞-?1??=0，當(dāng)x?2?1時(shí)，f?x?＞0.2（1）求證：f?x?是單調(diào)遞增函數(shù)（2）求f?x?在[-2,2]的最大值與最小值.3、定義在R上的函數(shù)f?x?恒為正，且滿足f?x+y?=f?x?f?y?，當(dāng)x＞0時(shí)，f?x?＞1.（1）證明：f?x?在R上單調(diào)遞增.2（2）若函數(shù)f?x?的定義域?yàn)閇-1,1]時(shí)，解不等式fx-1＞f?2x?

??

4、函數(shù)f?x?的定義域?yàn)镽，對于任意的a、b∈R皆有f?a?+f?b?=f?a+b?+1，且x＞0時(shí)，f?x?＞1（1）求證：f?x?是R上的增函數(shù)

2（2）若f?4?=5，解不等式f3m-m-2＜3

??3

第三篇：函數(shù)的單調(diào)性證明

函數(shù)的單調(diào)性證明

一．解答題（共40小題）

1．證明：函數(shù)f（x）=在（﹣∞，0）上是減函數(shù)．

2．求證：函數(shù)f（x）=4x+在（0，）上遞減，在[，+∞）上遞增．

3．證明f（x）=

在定義域?yàn)閇0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)．

4．應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性定義證明：函數(shù)f（x）=x+在區(qū)間（0，2）上是減函數(shù)．

第1頁（共23頁）

5．證明函數(shù)f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函數(shù)．

6．證明：函數(shù)f（x）=x2+3在[0，+∞）上的單調(diào)性．

7．證明：函數(shù)y=

在（﹣1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．

8．求證：f（x）=

在（﹣∞，0）上遞增，在（0，+∞）上遞增．

9．用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)y=

在區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)．

第2頁（共23頁）

10．已知函數(shù)f（x）=x+．

（Ⅰ）用定義證明：f（x）在[2，+∞）上為增函數(shù)；（Ⅱ）若

＞0對任意x∈[4，5]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

11．證明：函數(shù)f（x）=

在x∈（1，+∞）單調(diào)遞減．

12．求證f（x）=x+的（0，1）上是減函數(shù)，在[1，+∞]上是增函數(shù)．

13．判斷并證明f（x）=

在（﹣1，+∞）上的單調(diào)性．

14．判斷并證明函數(shù)f（x）=x+在區(qū)間（0，2）上的單調(diào)性．

第3頁（共23頁）

15．求函數(shù)f（x）=的單調(diào)增區(qū)間．

16．求證：函數(shù)f（x）=﹣

﹣1在區(qū)間（﹣∞，0）上是單調(diào)增函數(shù)．

17．求函數(shù)的定義域．

18．求函數(shù)的定義域．

19．根據(jù)下列條件分別求出函數(shù)f（x）的解析式（1）f（x+）=x2+

（2）f（x）+2f（）=3x．

20．若3f（x）+2f（﹣x）=2x+2，求f（x）．

第4頁（共23頁）

21．求下列函數(shù)的解析式

（1）已知f（x+1）=x2求f（x）

（2）已知f（）=x，求f（x）

（3）已知函數(shù)f（x）為一次函數(shù)，使f[f（x）]=9x+1，求f（x）

（4）已知3f（x）﹣f（）=x2，求f（x）

22．已知函數(shù)y=f（x），滿足2f（x）+f（）=2x，x∈R且x≠0，求f（x）．

第5頁（共23頁）

23．已知3f（x）+2f（）=x（x≠0），求f（x）．

24．已知函數(shù)f（x+）=x2+（）2（x＞0），求函數(shù)f（x）．

25．已知2f（﹣x）+f（x）=3x﹣1，求f（x）．

26．若2f（x）+f（﹣x）=3x+1，則求f（x）的解析式．

27．已知4f（x）﹣5f（）=2x，求f（x）．

28．已知函數(shù)f（+2）=x2+1，求f（x）的解析式．

第6頁（共23頁）

29．若f（x）滿足3f（x）+2f（﹣x）=4x，求f（x）的解析式．

30．已知f（x）=ax+b且af（x）+b=9x+8，求f（x）

31．求下列函數(shù)的解析式：

（1）已知f（2x+1）=x2+1，求f（x）；

（2）已知f（）=，求f（x）．

32．已知二次函數(shù)滿足f（2x+1）=4x2﹣6x+5，求f（x）的解析式．

33．已知f（2x）=x2﹣x﹣1，求f（x）．

34．已知一次函數(shù)f（x）滿足f（f（f（x）））=2x﹣3，求函數(shù)f（x）的解析式．

第7頁（共23頁）

35．已知f（x+2）=x2﹣3x+5，求f（x）的解析式．

36．已知函數(shù)f（x﹣2）=2x2﹣3x+4，求函數(shù)f（x）的解析式．

37．若3f（x）+2f（﹣x）=2x，求f（x）

38．f（+1）=x2+2，求f（x）的解析式．

39．若函數(shù)f（）=+1，求函數(shù)f（x）的解析式．

40．已知f（x﹣1）=x2﹣4x．（1）求f（x）的解析式；（2）解方程f（x+1）=0．

第8頁（共23頁）

第9頁（共23頁）

函數(shù)的單調(diào)性證明

參考答案與試題解析

一．解答題（共40小題）

1．證明：函數(shù)f（x）=在（﹣∞，0）上是減函數(shù)． 【解答】證明：設(shè)x1＜x2＜0，則：

；

∵x1＜x2＜0；

∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0； ∴f（x1）＞f（x2）；

∴f（x）在（﹣∞，0）上是減函數(shù)．

2．求證：函數(shù)f（x）=4x+在（0，）上遞減，在[，+∞）上遞增． 【解答】證明：設(shè)0＜x1＜x2＜，則f（x1）﹣f（x2）=（4x1+）﹣（4x2+）=4（x1﹣x2）+

=（x1﹣x2）（），又由0＜x1＜x2＜，則（x1﹣x2）＜0，（4x1x2﹣9）＜0，（x1x2）＞0，則f（x1）﹣f（x2）＞0，則函數(shù)f（x）在（0，）上遞減，設(shè)≤x3＜x4，同理可得：f（x3）﹣f（x4）=（x3﹣x4）（又由≤x3＜x4，第10頁（共23頁）），則（x3﹣x4）＜0，（4x3x4﹣9）＞0，（x1x2）＞0，則f（x3）﹣f（x4）＜0，則函數(shù)f（x）在[，+∞）上遞增．

3．證明f（x）=在定義域?yàn)閇0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)．

【解答】證明：設(shè)x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，則：

=∵x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2； ∴∴f（x1）＜f（x2）；

∴f（x）在定義域[0，+∞）上是增函數(shù)．

4．應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性定義證明：函數(shù)f（x）=x+在區(qū)間（0，2）上是減函數(shù)． 【解答】證明：任取x1，x2∈（0，2），且x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）=

﹣（=

；

；

因?yàn)?＜x1＜x2＜2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＜4，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以f（x）=x+在（0，2）上為減函數(shù)．

5．證明函數(shù)f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函數(shù)． 【解答】解：設(shè)x1＜x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）=2x1﹣﹣2x2+

=（x1﹣x2）（2+∵x1＜x2＜0，），第11頁（共23頁）

∴x1﹣x2＜0，2+

＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即：f（x1）＜f（x2），∴函數(shù)f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函數(shù)．

6．證明：函數(shù)f（x）=x2+3在[0，+∞）上的單調(diào)性． 【解答】解：任取0≤x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）==（x1+x2）（x1﹣x2）

因?yàn)?≤x1＜x2，所以x1+x2＞0，x1﹣x2＜0，故原式f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以原函數(shù)在[0，+∞）是單調(diào)遞增函數(shù)．

7．證明：函數(shù)y=

在（﹣1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．

=1﹣

在在區(qū)間（﹣1，+∞），【解答】解：∵函數(shù)f（x）=可以設(shè)﹣1＜x1＜x2，可得f（x1）﹣f（x2）=1﹣∵﹣1＜x1＜x2＜0，﹣1+=

∴x1+1＞0，1+x2＞0，x1﹣x2＜0，∴＜0

∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在區(qū)間（﹣∞，0）上為增函數(shù)；

8．求證：f（x）=在（﹣∞，0）上遞增，在（0，+∞）上遞增．

第12頁（共23頁）

【解答】證明：設(shè)x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）=﹣∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，﹣（﹣）=﹣=，∴若x1＜x2＜0，則x1x2＞0，此時(shí)f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增．

若0＜x1＜x2，則x1x2＞0，此時(shí)f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增． 即f（x）=

9．用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)y=【解答】解：∵函數(shù)y=可以設(shè)0＜x1＜x2，可得f（x1）﹣f（x2）=∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在區(qū)間（﹣∞，0）上為減函數(shù)；

10．已知函數(shù)f（x）=x+．

（Ⅰ）用定義證明：f（x）在[2，+∞）上為增函數(shù)；（Ⅱ）若＞0對任意x∈[4，5]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

﹣

=

＞0，在區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)． 在（﹣∞，0）上遞增，在（0，+∞）上遞增．

在區(qū)間（0，+∞），【解答】（Ⅰ）證明：任取x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）=（x1+）﹣（x2+）=，∵2≤x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＞4，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）=x+在[2，+∞）上為增函數(shù)；（Ⅱ）解：∵＞0對任意x∈[4，5]恒成立，第13頁（共23頁）

∴x﹣a＞0對任意x∈[4，5]恒成立，∴a＜x對任意x∈[4，5]恒成立，∴a＜4．

11．證明：函數(shù)f（x）=

在x∈（1，+∞）單調(diào)遞減．

【解答】證明：設(shè)x1＞x2＞1，則：

；

∵x1＞x2＞1；

∴x2﹣x1＜0，x1﹣1＞0，x2﹣1＞0； ∴即f（x1）＜f（x2）；

∴f（x）在x∈（1，+∞）單調(diào)遞減．

12．求證f（x）=x+的（0，1）上是減函數(shù)，在[1，+∞]上是增函數(shù)． 【解答】證明：①在（0，1）內(nèi)任取x1，x2，令x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）=（=（x1﹣x2）+=（x1﹣x2）（1﹣

；）﹣（）），∵x1，x2∈（0，1），x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，1﹣

＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x）=x+在（0，1）上是減函數(shù)． ②在[1，+∞）內(nèi)任取x1，x2，令x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）=（）﹣（）

第14頁（共23頁）

=（x1﹣x2）+=（x1﹣x2）（1﹣），∵x1，x2∈[1，+∞），x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，1﹣

＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x）=x+在[1，+∞]上是增函數(shù)．

13．判斷并證明f（x）=【解答】解：f（x）=證明如下：

在（﹣1，+∞）上任取x1，x2，令x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=

﹣

=，在（﹣1，+∞）上的單調(diào)性． 在（﹣1，+∞）上的單調(diào)遞減．

∵x1，x2∈（﹣1+∞），x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1+1＞0，x2+1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x）=

14．判斷并證明函數(shù)f（x）=x+在區(qū)間（0，2）上的單調(diào)性． 【解答】解：任意取x1，x2∈（0，2）且0＜x1＜x2＜2 f（x1）﹣f（x2）=x1+∵0＜x1＜x2＜2

∴x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜4，即x1x2﹣4＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．

第15頁（共23頁）

在（﹣1，+∞）上的單調(diào)遞減．

﹣x2﹣=（x1﹣x2）+

﹣

=（x1﹣x2），所以f（x）在（0，2）上是單調(diào)減函數(shù)．

15．求函數(shù)f（x）=的單調(diào)增區(qū)間．

=1﹣的單調(diào)遞增區(qū)間為【解答】解：根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，f（x）=（﹣∞，0），（0，+∞）

故答案為：（﹣∞，0），（0，+∞）

16．求證：函數(shù)f（x）=﹣

﹣1在區(qū)間（﹣∞，0）上是單調(diào)增函數(shù)．

【解答】證明：設(shè)x1＜x2＜0，則：

；

∵x1＜x2＜0；

∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0； ∴；

∴f（x1）＜f（x2）；

∴f（x）在區(qū)間（﹣∞，0）上是單調(diào)增函數(shù)．

17．求函數(shù)的定義域．

【解答】解：根據(jù)題意，得，解可得，故函數(shù)的定義域?yàn)?≤x＜3和3＜x＜5．

18．求函數(shù)的定義域．

第16頁（共23頁）

【解答】解：由故函數(shù)定義域?yàn)閧x|x＜}

．

19．根據(jù)下列條件分別求出函數(shù)f（x）的解析式（1）f（x+）=x2+

（2）f（x）+2f（）=3x． 【解答】解：（1）f（x+）=x2+

=（x+）2﹣2，即f（x）=x2﹣2，（x＞2或x＜﹣2）（2）∵f（x）+2f（）=3x，∴f（）+2f（x）=，消去f（）得f（x）=﹣x．

20．若3f（x）+2f（﹣x）=2x+2，求f（x）． 【解答】解：∵3f（x）+2f（﹣x）=2x+2…①，用﹣x代替x，得：

3f（﹣x）+2f（x）=﹣2x+2…②； ①×3﹣②×2得：

5f（x）=（6x+6）﹣（﹣4x+4）=10x+2，∴f（x）=2x+．

21．求下列函數(shù)的解析式（1）已知f（x+1）=x2求f（x）（2）已知f（）=x，求f（x）

（3）已知函數(shù)f（x）為一次函數(shù)，使f[f（x）]=9x+1，求f（x）（4）已知3f（x）﹣f（）=x2，求f（x）

【解答】解：（1）∵已知f（x+1）=x2，令x+1=t，可得x=t﹣1，∴f（t）=（t﹣

第17頁（共23頁）

1）2，∴f（x）=（x﹣1）2．（2）∵已知f（）=x，令

=t，求得 x=，∴f（t）=，∴f（x）=

．

（3）已知函數(shù)f（x）為一次函數(shù)，設(shè)f（x）=kx+b，k≠0，∵f[f（x）]=kf（x）+b=k（kx+b）+b=9x+1，∴k=3，b=，或k=﹣3，b=﹣，求 ∴f（x）=3x+，或f（x）=﹣3x﹣．

（4）∵已知3f（x）﹣f（）=x2①，∴用代替x，可得3f（）﹣f（x）=由①②求得f（x）=x2+

22．已知函數(shù)y=f（x），滿足2f（x）+f（）=2x，x∈R且x≠0，求f（x）． 【解答】解：∵2f（x）+f（）=2x① 令x=，則2f（）+f（x）=②，①×2﹣②得： 3f（x）=4x﹣，∴f（x）=x﹣

23．已知3f（x）+2f（）=x（x≠0），求f（x）． 【解答】解：∵3f（x）+2f（）=x，① 等號兩邊同時(shí)以代x，得：3f（）+2f（x）=，② 由①×3﹣2×②，解得 5f（x）=3x﹣，∴函數(shù)f（x）的解析式：f（x）=x﹣

24．已知函數(shù)f（x+）=x2+（）2（x＞0），求函數(shù)f（x）．

第18頁（共23頁）

②，．

．

（x≠0）．

【解答】解：∵x＞0時(shí)，x+≥2且函數(shù)f（x+）=x2+（）2=設(shè)t=x+，（t≥2）； ∴f（t）=t2﹣2；

即函數(shù)f（x）=x2﹣2（其中x≥2）．

=2，﹣2；

25．已知2f（﹣x）+f（x）=3x﹣1，求f（x）． 【解答】解：∵2f（﹣x）+f（x）=3x﹣1，∴2f（x）+f（﹣x）=﹣3x﹣1，聯(lián)立消去f（﹣x），可得f（x）=﹣3x﹣．

26．若2f（x）+f（﹣x）=3x+1，則求f（x）的解析式． 【解答】解：∵2f（x）+f（﹣x）=3x+1…①，用﹣x代替x，得：

2f（﹣x）+f（x）=﹣3x+1…②； ①×2﹣②得：

3f（x）=（6x+2）﹣（﹣3x+1）=9x+1，∴f（x）=3x+．

27．已知4f（x）﹣5f（）=2x，求f（x）． 【解答】解：∵4f（x）﹣5f（）=2x…①，∴4f（）﹣5f（x）=…②，①×4+②×5，得：﹣9f（x）=8x+∴f（x）=﹣x﹣

第19頁（共23頁），．

28．已知函數(shù)f（【解答】解：令t=則由f（+2）=x2+1，求f（x）的解析式． +2，（t≥2），x=（t﹣2）2．

+2）=x2+1，得f（t）=（t﹣2）4+1．

∴f（x）=（x﹣2）4+1（x≥2）．

29．若f（x）滿足3f（x）+2f（﹣x）=4x，求f（x）的解析式． 【解答】解：f（x）滿足3f（x）+2f（﹣x）=4x，…①，可得3f（﹣x）+2f（x）=﹣4x…②，①×3﹣②×2可得：5f（x）=20x． ∴f（x）=4x．

f（x）的解析式：f（x）=4x．

30．已知f（x）=ax+b且af（x）+b=9x+8，求f（x）【解答】解：∵f（x）=ax+b且af（x）+b=9x+8，∴a（ax+b）+b=9x+8，即a2x+ab+b=9x+8，即，解得a=3或a=﹣3，若a=3，則4b=8，解得b=2，此時(shí)f（x）=3x+2，若a=﹣3，則﹣2b=8，解得b=﹣4，此時(shí)f（x）=3x﹣4．

31．求下列函數(shù)的解析式：

（1）已知f（2x+1）=x2+1，求f（x）；（2）已知f（）=，求f（x）．

【解答】解：（1）令2x+1=t，則x=（t﹣1），∴f（t）=（t﹣1）2+1，第20頁（共23頁）

∴f（x）=（x﹣1）2+1；（2）令m=（m≠0），則x=，∴f（m）==，∴f（x）=（x≠0）．

32．已知二次函數(shù)滿足f（2x+1）=4x2﹣6x+5，求f（x）的解析式． 【解答】解：（1）令2x+1=t，則x=則f（t）=4（）2﹣6?

；

+5=t2﹣5t+9，故f（x）=x2﹣5x+9．

33．已知f（2x）=x2﹣x﹣1，求f（x）． 【解答】解：令t=2x，則x=t，∴f（t）=t2﹣t﹣1，∴f（x）=x2﹣x﹣1．

34．已知一次函數(shù)f（x）滿足f（f（f（x）））=2x﹣3，求函數(shù)f（x）的解析式． 【解答】解：設(shè)f（x）=ax+b，∴f（f（x）=a（ax+b）+b，∴f（f（f（x））））=a[a（ax+b）+b]+b=2x﹣3，∴，解得：，∴f（x）= x﹣．

第21頁（共23頁）

35．已知f（x+2）=x2﹣3x+5，求f（x）的解析式． 【解答】解：f（x+2）=x2﹣3x+5，設(shè)x+2=t，則x=t﹣2，∴f（t）=（t﹣2）2﹣3（t﹣2）+5=t2﹣7t+15，∴f（x）=x2﹣7x+15．

36．已知函數(shù)f（x﹣2）=2x2﹣3x+4，求函數(shù)f（x）的解析式． 【解答】解：令x﹣2=t，則x=t+2，代入原函數(shù)得 f（t）=2（t+2）2﹣3（t+2）+4=2t2+5t+6 則函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=2x2+5x+6

37．若3f（x）+2f（﹣x）=2x，求f（x）【解答】解：∵3f（x）+2f（﹣x）=2x…①，用﹣x代替x，得：

3f（﹣x）+2f（x）=﹣2x…②； ①×3﹣②×2得：

5f（x）=6x﹣（﹣4x）=10x，∴f（x）=2x．

38．f（+1）=x2+2，求f（x）的解析式．

【解答】解：設(shè)∴x=（t﹣1）2； ∵f（+1）=x2+2+1=t，則t≥1，∴f（t）=（t﹣1）4+2（t﹣1），∴f（x）=（x﹣1）4+2（x﹣1），x∈[1，+∞）．

39．若函數(shù)f（【解答】解：令）=

+1，求函數(shù)f（x）的解析式．

=t（t≠1），則=t﹣1，第22頁（共23頁）

∴f（t）=2+（t﹣1）2=t2﹣2t+3，∴f（x）=x2﹣2x+3（x≠1）．

40．已知f（x﹣1）=x2﹣4x．（1）求f（x）的解析式；（2）解方程f（x+1）=0．

【解答】解：（1）變形可得f（x﹣1）=（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣∴f（x）的解析式為f（x）=x2﹣2x﹣3；

（2）方程f（x+1）=0可化為（x+1）2﹣2（x+1）﹣3=0，化簡可得x2﹣4=0，解得x=2或x=﹣2

第23頁（共23頁）

3，

第四篇：函數(shù)單調(diào)性

函數(shù)單調(diào)性概念教學(xué)的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) ──兼談《函數(shù)單調(diào)性》的教學(xué)設(shè)計(jì)

北京教育學(xué)院宣武分院 彭 林

函數(shù)單調(diào)性是學(xué)生進(jìn)入高中后較早接觸到的一個(gè)完全形式化的抽象定義，對于仍然處于經(jīng)驗(yàn)型邏輯思維發(fā)展階段的高一學(xué)生來講，有較大的學(xué)習(xí)難度。一直以來，這節(jié)課也都是老師教學(xué)的難點(diǎn)。最近，在我區(qū)“青年教師評優(yōu)課”上，聽了多名教師對這節(jié)課不同風(fēng)格的課堂教學(xué)，通過對他們教學(xué)案例的研究和思考，筆者認(rèn)為，在函數(shù)單調(diào)性概念的教學(xué)中，關(guān)鍵是把握住如下三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)。

關(guān)鍵點(diǎn)1。學(xué)生 學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的認(rèn)知基礎(chǔ)是什么？

在這個(gè)內(nèi)容之前，已經(jīng)教學(xué)過一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等簡單函數(shù)，函數(shù)的變量定義和映射定義，以及函數(shù)的表示。對函數(shù)是一個(gè)刻畫某些運(yùn)動變化數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)概念，也已經(jīng)形成初步認(rèn)識。接踵而來的任務(wù)是對函數(shù)應(yīng)該繼續(xù)研究什么。在數(shù)學(xué)研究中，建立一個(gè)數(shù)學(xué)概念的意義就是揭示它的本質(zhì)特征，即共同屬性或不變屬性。對各種函數(shù)模型而言，就是研究它們所描述的運(yùn)動關(guān)系的變化規(guī)律，也就是這些運(yùn)動關(guān)系在變化之中的共同屬性或不變屬性，即“變中不變”的性質(zhì)。按照這種科學(xué)研究的思維方式，使得當(dāng)前來討論函數(shù)的一些性質(zhì)，就成為順理成章的、必要的和有意義的數(shù)學(xué)活動。至于在多種函數(shù)性質(zhì)中，選擇這個(gè)時(shí)機(jī)來討論函數(shù)的單調(diào)性而不是其他性質(zhì)，是因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)性是學(xué)生從已經(jīng)學(xué)習(xí)的函數(shù)中比較容易發(fā)現(xiàn)的一個(gè)性質(zhì)。

就中小學(xué)生與單調(diào)性相關(guān)的經(jīng)歷而言，學(xué)生認(rèn)識函數(shù)單調(diào)性可以分為四個(gè)階段： 第一階段，經(jīng)驗(yàn)感知階段（小學(xué)階段），知道一個(gè)量隨另一個(gè)量的變化而變化的具體情境，如“隨著年齡的增長，我的個(gè)子越來越高”，“我認(rèn)識的字越多，我的知識就越多”等。

第二階段，形象描述階段（初中階段），能用抽象的語言描述一個(gè)量隨另一個(gè)量變化的趨勢，如“y隨著x的增大而減少”。

第三階段，抽象概括階段（高中必修1），能進(jìn)行脫離具體和直觀對象的抽象化、符號化的概括，并通過具體函數(shù)，初步體會單調(diào)性在研究函數(shù)變化中的作用。

第四階段，認(rèn)識提升階段（高中選修系列1、2），要求學(xué)生能初步認(rèn)識導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的聯(lián)系。

基于上述認(rèn)識，函數(shù)單調(diào)性教學(xué)的引入應(yīng)該從學(xué)生的已有認(rèn)知出發(fā)，建立在學(xué)生初中已學(xué)的一次函數(shù)、二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的基礎(chǔ)上，即從學(xué)生熟悉的常見函數(shù)的圖象出發(fā)，直觀感知函數(shù)的單調(diào)性，完成對函數(shù)單調(diào)性定義的第一次認(rèn)識.。

讓學(xué)生分別作出函數(shù)數(shù)值有什么變化規(guī)律？ 的圖象，并且觀察自變量變化時(shí)，函在學(xué)生畫圖的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象，獲得信息：第一個(gè)圖象從左向右逐漸上升，y隨x的增大而增大；第二個(gè)圖象從左向右逐漸下降，y隨x的增大而減小.然后讓學(xué)生明確，對于自變量變化時(shí)，函數(shù)值具有這兩種變化規(guī)律的函數(shù)，我們分別稱為增函數(shù)和減函數(shù).第三個(gè)函數(shù)圖象的上升與下降要分段說明，通過討論使學(xué)生明確函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的．

在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生用自己的語言描述增函數(shù)的定義： 如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的圖象從左向右逐漸上升，或者如果函數(shù)

在某個(gè)區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù)．

關(guān)鍵點(diǎn)2。為什么要用數(shù)學(xué)的符號語言定義函數(shù)的單調(diào)性概念？

對于函數(shù)單調(diào)性概念的教學(xué)而言，有一個(gè)很重要的問題，即為什么要進(jìn)一步形式化。學(xué)生在初中已經(jīng)接觸過一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，對函數(shù)的增減性已有初步的認(rèn)識：隨x增大y增大是增函數(shù)，隨x增大y 減小是減函數(shù)。這個(gè)觀念對他們而言是易于接受的，很形象，他們會覺得這樣的定義很好，為什么還要費(fèi)神去進(jìn)行符號化呢？如果教師能通過教學(xué)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生感受到進(jìn)一步符號化、形式化的必要性，造成認(rèn)知沖突，則學(xué)生研究的興趣就會大大提高，主動性也會更強(qiáng)。其實(shí)，數(shù)學(xué)概念就是一系列常識不斷精微化的結(jié)果，之所以要進(jìn)一步形式化，完全是數(shù)學(xué)精確性、嚴(yán)密性的要求，因?yàn)橹挥羞_(dá)到這種符號化、形式化的程度，才可以進(jìn)行準(zhǔn)確的計(jì)算，進(jìn)行推理論證。

所以，在教學(xué)中提出類似如下的問題是非常必要的：

右圖是函數(shù)函數(shù)嗎？ 的圖象,能說出這個(gè)函數(shù)分別在哪個(gè)區(qū)間為增函數(shù)和減

對于這個(gè)問題，學(xué)生的困難是難以確定分界點(diǎn)的確切位置．通過討論，使學(xué)生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀，但有時(shí)不夠精確，需要結(jié)合解析式進(jìn)行嚴(yán)密化、精確化的研究,使學(xué)生體會到用數(shù)量大小關(guān)系嚴(yán)格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性，從而將函數(shù)的單調(diào)性研究從研究函數(shù)圖象過渡到研究函數(shù)的解析式.關(guān)鍵點(diǎn)3：如何用形式化的語言定義函數(shù)的單調(diào)性？

從數(shù)學(xué)學(xué)科這個(gè)整體來看，數(shù)學(xué)的高度抽象性造成了數(shù)學(xué)的難懂、難教、難學(xué)，解決這一問題的基本途徑是順應(yīng)學(xué)習(xí)者的認(rèn)知規(guī)律：在需要和可能的情況下，盡量做到從直觀入手，從具體開始，逐步抽象，即數(shù)學(xué)的思考方式。恰當(dāng)運(yùn)用圖形語言、自然語言和符號化的形式語言，并進(jìn)行三者之間必要的轉(zhuǎn)化，可以說，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本思考方式。而函數(shù)單調(diào)性這一內(nèi)容正是體現(xiàn)數(shù)學(xué)基本思考方式的一個(gè)良好載體，教學(xué)中應(yīng)該充分關(guān)注到這一點(diǎn)。長此以往，便可使學(xué)生在學(xué)習(xí)知識的同時(shí)，學(xué)到比知識更重要的東西—學(xué)會如何思考？如何進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考？

一般說，對函數(shù)單調(diào)性的建構(gòu)有兩個(gè)重要過程，一是建構(gòu)函數(shù)單調(diào)性的意義，二是通過思維構(gòu)造把這個(gè)意義用數(shù)學(xué)的形式化語言加以描述。對函數(shù)單調(diào)性的意義，學(xué)生通過對若干函數(shù)圖象的觀察并不難認(rèn)識，因此，前一過程的建構(gòu)學(xué)習(xí)相對比較容易進(jìn)行。后一過程的進(jìn)行則有相當(dāng)?shù)碾y度，其難就難在用數(shù)學(xué)的符合語言來描述函數(shù)單調(diào)性的定義時(shí)，如何才能最大限度地通過學(xué)生自己的思維活動來完成。這其中有兩個(gè)難點(diǎn)：

（1）“x增大”如何用符號表示；同樣，“f(x)增大”如何用符號表示。（2）“‘隨著’x增大，函數(shù)f(x)‘也’增大”，如何用符號表示。

用數(shù)學(xué)符號描述這兩種數(shù)學(xué)意義的最大要害之處，在于要用數(shù)學(xué)的符號來描述動態(tài)的數(shù)學(xué)對象。

在初中數(shù)學(xué)中，除了學(xué)習(xí)函數(shù)的初級概念，用y=f(x)表示函數(shù)y隨著自變量x的變化而變化時(shí)，接觸到一點(diǎn)動態(tài)數(shù)學(xué)對象的數(shù)學(xué)符號表示以外，絕大多數(shù)都是用數(shù)學(xué)符號表示靜態(tài)的數(shù)學(xué)對象。因此，從用靜態(tài)的數(shù)學(xué)符號描述靜態(tài)的數(shù)學(xué)對象，到用靜態(tài)的符號語言刻畫動態(tài)數(shù)學(xué)對象，在思維能力層次上存在重大差異，對剛剛由初中進(jìn)入高中學(xué)習(xí)的學(xué)生而言，無疑是一個(gè)很大的挑戰(zhàn)！

因此，在教學(xué)中可以提出如下問題2： 如何從解析式的角度說明

在上為增函數(shù)？

這個(gè)問題是形成函數(shù)單調(diào)性概念的關(guān)鍵。在教學(xué)中，教師可以組織學(xué)生先分組探究，然后全班交流，相互補(bǔ)充，并及時(shí)對學(xué)生的發(fā)言進(jìn)行反饋、評價(jià)，對普遍出現(xiàn)的問題組織學(xué)生討論，在辨析中達(dá)成共識.對于問題2，學(xué)生錯(cuò)誤的回答主要有兩種：

①在給定區(qū)間內(nèi)取兩個(gè)數(shù)，例如1和2，因?yàn)楹瘮?shù)． ,所以

在上為增②可以用0，1，2，3，4，5驗(yàn)證： 在所以函數(shù)上是增函數(shù)。

對于這兩種錯(cuò)誤，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步展開思考。例如，指出回答②試圖用自然數(shù)列來驗(yàn)證結(jié)論，而且引入了不等式表示不等關(guān)系，但是，只是對有限幾個(gè)自然數(shù)驗(yàn)證不行，只有當(dāng)所有的比較結(jié)果都是一樣的：自變量大時(shí)，函數(shù)值也大，才可以證明它是增函數(shù)，那么怎么辦？如果有的學(xué)生提出：引入非負(fù)實(shí)數(shù)a，只要證明

就可以了，這就把驗(yàn)證的范圍由有限擴(kuò)大到了無限。教師應(yīng)適時(shí)指出這種驗(yàn)證也有局限性，然后再讓學(xué)生思考怎樣做才能實(shí)現(xiàn)“任意性”就有堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)了。也就是，從給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個(gè)自變量,然后求差比較函數(shù)值的大小，從而得到正確的回答: 任意取在,有為增函數(shù)． ,即，所以這種回答既揭示了單調(diào)性的本質(zhì)，也讓學(xué)生領(lǐng)悟到兩點(diǎn)：(1)兩自變量的取值具有任意性；(2)求差比較它們函數(shù)值的大小。至此，學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性有了理性的認(rèn)識.在前面研究的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生歸納、抽象出函數(shù)單調(diào)性的定義，使學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般，從具體到抽象的認(rèn)知過程。

教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)符號語言歸納、抽象增函數(shù)的定義，并讓學(xué)生類比得到減函數(shù)的定義.然后指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真閱讀教材中有關(guān)單調(diào)性的概念,對定義中關(guān)鍵的地方進(jìn)行強(qiáng)調(diào).同時(shí)設(shè)計(jì)了一組判斷題：

判斷題：

①②若函數(shù)③若函數(shù)滿足f(2)

和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)在(1,3)上為增函數(shù)．④因?yàn)楹瘮?shù)減函數(shù).在上都是減函數(shù)，所以在上是通過對判斷題的討論，強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)：

①單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性． ②有的函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)單調(diào)(如一次函數(shù))，有的函數(shù)只在定義域內(nèi)的某些區(qū)間單調(diào)(如二次函數(shù))，有的函數(shù)根本沒有單調(diào)區(qū)間(如常函數(shù))．

③函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個(gè)區(qū)間A,B上都是增（或減）函數(shù)，一般不能認(rèn)為函數(shù)在上是增（或減）函數(shù)．

從而加深學(xué)生對定義的理解

北京4中常規(guī)備課

【教學(xué)目標(biāo)】

1．使學(xué)生從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念，初步掌握利用函數(shù)圖象和單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法．

2．通過對函數(shù)單調(diào)性定義的探究，滲透數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達(dá)能力；通過對函數(shù)單調(diào)性的證明，提高學(xué)生的推理論證能力．

3．通過知識的探究過程培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好思維習(xí)慣，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認(rèn)知過程．

【教學(xué)重點(diǎn)】 函數(shù)單調(diào)性的概念、判斷及證明．

【教學(xué)難點(diǎn)】 歸納抽象函數(shù)單調(diào)性的定義以及根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性． 【教學(xué)方法】 教師啟發(fā)講授，學(xué)生探究學(xué)習(xí)． 【教學(xué)手段】 計(jì)算機(jī)、投影儀． 【教學(xué)過程】

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題 課前布置任務(wù)：

(1)由于某種原因，2008年北京奧運(yùn)會開幕式時(shí)間由原定的7月25日推遲到8月8日，請查閱資料說明做出這個(gè)決定的主要原因.(2)通過查閱歷史資料研究北京奧運(yùn)會開幕式當(dāng)天氣溫變化情況.課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數(shù)等均開始下降，比較適宜大型國際體育賽事.下圖是北京市今年8月8日一天24小時(shí)內(nèi)氣溫隨時(shí)間變化的曲線圖.引導(dǎo)學(xué)生識圖，捕捉信息，啟發(fā)學(xué)生思考． 問題：觀察圖形，能得到什么信息？

預(yù)案：(1)當(dāng)天的最高溫度、最低溫度以及何時(shí)達(dá)到；(2)在某時(shí)刻的溫度；

(3)某些時(shí)段溫度升高，某些時(shí)段溫度降低.在生活中，我們關(guān)心很多數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，了解這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，對我們的生活是很有幫助的．

問題：還能舉出生活中其他的數(shù)據(jù)變化情況嗎？ 預(yù)案：水位高低、燃油價(jià)格、股票價(jià)格等．

歸納：用函數(shù)觀點(diǎn)看，其實(shí)就是隨著自變量的變化，函數(shù)值是變大還是變?。?〖設(shè)計(jì)意圖〗由生活情境引入新課，激發(fā)興趣．

二、歸納探索，形成概念

對于自變量變化時(shí)，函數(shù)值是變大還是變小，初中同學(xué)們就有了一定的認(rèn)識，但是沒有嚴(yán)格的定義，今天我們的任務(wù)首先就是建立函數(shù)單調(diào)性的嚴(yán)格定義.1．借助圖象，直觀感知

問題1：

分別作出函數(shù)數(shù)值有什么變化規(guī)律？ 的圖象，并且觀察自變量變化時(shí)，函

預(yù)案：(1)函數(shù)

在整個(gè)定義域內(nèi) y隨x的增大而增大；函數(shù)

在整個(gè)定義域內(nèi) y隨x的增大而減小．

(2)函數(shù)在上 y隨x的增大而增大，在上y隨x的增大而減小．

(3)函數(shù) 在上 y隨x的增大而減小，在上y隨x的增大而減?。?/p>

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類描述(增函數(shù)、減函數(shù))．同時(shí)明確函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì)．

問題2：能不能根據(jù)自己的理解說說什么是增函數(shù)、減函數(shù)? 預(yù)案：如果函數(shù)

在某個(gè)區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數(shù)

在某個(gè)區(qū)間上隨自變量x的增大，y越來越小，我們在該區(qū)間上為增函數(shù)；如果函數(shù)說函數(shù)在該區(qū)間上為減函數(shù)．

教師指出：這種認(rèn)識是從圖象的角度得到的，是對函數(shù)單調(diào)性的直觀，描述性的認(rèn)識． 【設(shè)計(jì)意圖】從圖象直觀感知函數(shù)單調(diào)性，完成對函數(shù)單調(diào)性的第一次認(rèn)識． 2．探究規(guī)律，理性認(rèn)識

問題1：下圖是函數(shù)和減函數(shù)嗎？ 的圖象,能說出這個(gè)函數(shù)分別在哪個(gè)區(qū)間為增函數(shù)

學(xué)生的困難是難以確定分界點(diǎn)的確切位置．

通過討論，使學(xué)生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀，但有時(shí)不夠精確，需要結(jié)合解析式進(jìn)行嚴(yán)密化、精確化的研究．

〖設(shè)計(jì)意圖〗使學(xué)生體會到用數(shù)量大小關(guān)系嚴(yán)格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性． 問題2：如何從解析式的角度說明

在為增函數(shù)？

22預(yù)案：(1)在給定區(qū)間內(nèi)取兩個(gè)數(shù)，例如1和2，因?yàn)?<2,所以為增函數(shù)．

(2)仿(1)，取很多組驗(yàn)證均滿足，所以(3)任取，所以

在,因?yàn)?/p>

為增函數(shù)．

在為增函數(shù)．

在,即對于學(xué)生錯(cuò)誤的回答，引導(dǎo)學(xué)生分別用圖形語言和文字語言進(jìn)行辨析,使學(xué)生認(rèn)識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導(dǎo)學(xué)生在給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個(gè)自變量．

【設(shè)計(jì)意圖】把對單調(diào)性的認(rèn)識由感性上升到理性認(rèn)識的高度,完成對概念的第二次認(rèn)識．事實(shí)上也給出了證明單調(diào)性的方法，為證明單調(diào)性做好鋪墊.3．抽象思維，形成概念

問題：你能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號語言表述出增函數(shù)的定義嗎?

師生共同探究，得出增函數(shù)嚴(yán)格的定義，然后學(xué)生類比得出減函數(shù)的定義．(1)板書定義(2)鞏固概念 判斷題：

①．

②若函數(shù)

③若函數(shù) 在區(qū)間

和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)

在區(qū)間(1,3)上為增函

．

④因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是減函數(shù).上都是減函數(shù)，所以在

通過判斷題，強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)：

①單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性． ②對于某個(gè)具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以是整個(gè)定義域(如一次函數(shù))，可以是定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間(如二次函數(shù))，也可以根本不單調(diào)(如常函數(shù))．

③函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個(gè)區(qū)間A,B上都是增（或減）函數(shù)，一般不能認(rèn)為函數(shù)在上是增（或減）函數(shù)．

思考：如何說明一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)? 【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調(diào)性的定義，通過對判斷題的辨析，加深學(xué)生對定義的理解，完成對概念的第三次認(rèn)識.三、掌握證法，適當(dāng)延展

例 證明函數(shù)

在上是增函數(shù)．

1．分析解決問題

針對學(xué)生可能出現(xiàn)的問題，組織學(xué)生討論、交流．

證明：任取 ，設(shè)元

求差

變形，斷號

∴

∴

即

∴函數(shù)

2．歸納解題步驟

在上是增函數(shù)．

定論

引導(dǎo)學(xué)生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號、定論．

練習(xí)：證明函數(shù)

問題：要證明函數(shù)

在區(qū)間

上是增函數(shù)，除了用定義來證，如果可以證得對

在上是增函數(shù)．

任意的，且有可以嗎? 引導(dǎo)學(xué)生分析這種敘述與定義的等價(jià)性．讓學(xué)生嘗試用這種等價(jià)形式證明函數(shù)在

〖設(shè)計(jì)意圖〗初步掌握根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟．等價(jià)形式進(jìn)一步發(fā)展可以得到導(dǎo)數(shù)法，為用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆．

四、歸納小結(jié)，提高認(rèn)識

學(xué)生交流在本節(jié)課學(xué)習(xí)中的體會、收獲，交流學(xué)習(xí)過程中的體驗(yàn)和感受，師生合作共同完成小結(jié)．

1．小結(jié)

(1)概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)證明方法和步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號、定論．(3)數(shù)學(xué)思想方法和思維方法：數(shù)形結(jié)合，等價(jià)轉(zhuǎn)化，類比等． 2．作業(yè)

書面作業(yè)：課本第60頁習(xí)題2.3 第4，5，6題． 課后探究：(1)證明：函數(shù)

在區(qū)間

上是增函數(shù)的充要條件是對任意的上是增函數(shù)．，且

有．

(2)研究函數(shù)的單調(diào)性，并結(jié)合描點(diǎn)法畫出函數(shù)的草圖．

《函數(shù)的單調(diào)性》教學(xué)設(shè)計(jì)說明

一、教學(xué)內(nèi)容的分析

函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生在了解函數(shù)概念后學(xué)習(xí)的函數(shù)的第一個(gè)性質(zhì)，是函數(shù)學(xué)習(xí)中第一個(gè)用數(shù)學(xué)符號語言刻畫的概念，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)其它性質(zhì)提供了方法依據(jù)． 對于函數(shù)單調(diào)性，學(xué)生的認(rèn)知困難主要在兩個(gè)方面：（1）要求用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號語言去刻畫圖象的上升與下降，這種由形到數(shù)的翻譯，從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對高一的學(xué)生是比較困難的；（2）單調(diào)性的證明是學(xué)生在函數(shù)內(nèi)容中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容，而學(xué)生在代數(shù)方面的推理論證能力是比較薄弱的．根據(jù)以上的分析和教學(xué)大綱的要求，確定了本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)．

二、教學(xué)目標(biāo)的確定

根據(jù)本課教材的特點(diǎn)、教學(xué)大綱對本節(jié)課的教學(xué)要求以及學(xué)生的認(rèn)知水平，從三個(gè)不同的方面確定了教學(xué)目標(biāo)，重視單調(diào)性概念的形成過程和對概念本質(zhì)的認(rèn)識；強(qiáng)調(diào)判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法的落實(shí)以及數(shù)形結(jié)合思想的滲透；突出語言表達(dá)能力、推理論證能力的培養(yǎng)和良好思維習(xí)慣的養(yǎng)成．

三、教學(xué)過程的設(shè)計(jì)

為達(dá)到本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，教學(xué)上采取了以下的措施：（1）在探索概念階段, 讓學(xué)生經(jīng)歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認(rèn)知過程，完成對單調(diào)性定義的三次認(rèn)識,使得學(xué)生對概念的認(rèn)識不斷深入．

（2）在應(yīng)用概念階段,通過對證明過程的分析，幫助學(xué)生掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟．

（3）考慮到我校學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好、思維較為活躍的特點(diǎn)，對判斷方法進(jìn)行適當(dāng)?shù)难诱?，加深對定義的理解，同時(shí)也為用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性埋下伏筆．

第五篇：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的證明

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的證明

例

1、已知函數(shù)y?f(x)與y?g(x)的定義域都是R，值域分別是?0,???與???,0?，在R上f(x)是增函數(shù)而g(x)是減函數(shù)，求證:F(x)?f(x)?g(x)在R上為減函數(shù).分析：證明的依據(jù)應(yīng)是減函數(shù)的定義.證明：設(shè)x1,x2是R上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1?x2，則F(x1)?F(x2)?f(x1)g(x1)?f(x2)g(x2)

?f(x1)g(x1)?f(x1)g(x2)?f(x1)g(x2)?f(x2)g(x2)?f(x1)?g(x1)?g(x2)??g(x2)?f(x1)?f(x2)?

?f(x)是R上的增函數(shù)，g(x)是R上的減函數(shù)，且x1?x2.?f(x1)?f(x2)，g(x1)?g(x2)即f(x1)?f(x2)?0，g(x1)?g(x2)?0.又f(x)的值域?yàn)?0,???，g(x)的值域?yàn)???,0?，?f(x1)?0,g(x2)?0.?F(x1)?F(x2)?0即F(x1)?F(x2)

?F(x)在R上為減函數(shù).小結(jié)：此題涉及抽象函數(shù)的有關(guān)證明，要求較高，此外在F(x1)?F(x2)的變形中涉及到增減項(xiàng)的技巧，它也應(yīng)是源于單調(diào)性只能比較同一個(gè)函數(shù)的某兩個(gè)函數(shù)值，必須構(gòu)造出f(x1)與f(x2)的差和g(x1)與g(x2)的差.