第一篇：絕對(duì)值不等式的證明

絕對(duì)值不等式的證明

知識(shí)與技能：

1.理解絕對(duì)值的三角不等式，2．應(yīng)用絕對(duì)值的三角不等式．

過程方法與能力：

培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力；提高分析問題、解決問題的能力.情感態(tài)度與價(jià)值觀：

讓學(xué)生通過對(duì)具體事例的觀察、歸納中找出規(guī)律，得出結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生解決應(yīng)用問題的能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。

教學(xué)重點(diǎn)：理解絕對(duì)值的三角不等式

應(yīng)用絕對(duì)值的三角不等式．

教學(xué)難點(diǎn)：應(yīng)用絕對(duì)值的三角不等式．

教學(xué)過程：

一、引入：

證明一個(gè)含有絕對(duì)值的不等式成立，除了要應(yīng)用一般不等式的基本性質(zhì)之外，經(jīng)常還要用到關(guān)于絕對(duì)值的和、差、積、商的性質(zhì)：

（1）a?b?a?b（2）a?b?a?b

a

bab（3）a?b?a?b（4）?(b?0)

請(qǐng)同學(xué)們思考一下，是否可以用絕對(duì)值的幾何意義說明上述性質(zhì)存在的道理？ 實(shí)際上，性質(zhì)a?b?a?b和a

b?a

b(b?0)可以從正負(fù)數(shù)和零的乘法、除法法則直

接推出；而絕對(duì)值的差的性質(zhì)可以利用和的性質(zhì)導(dǎo)出。因此，只要能夠證明a?b?a?b對(duì)于任意實(shí)數(shù)都成立即可。我們將在下面的例題中研究它的證明。

現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們討論一個(gè)問題：設(shè)a為實(shí)數(shù)，a和a哪個(gè)大？ 顯然a?a，當(dāng)且僅當(dāng)a?0時(shí)等號(hào)成立（即在a?0時(shí)，等號(hào)成立。在a?0時(shí)，等號(hào)不成立）。同樣，a??a.當(dāng)且僅當(dāng)a?0時(shí)，等號(hào)成立。含有絕對(duì)值的不等式的證明中，常常利用a??a、a??a及絕對(duì)值的和的性質(zhì)。

定理（絕對(duì)值三角形不等式）如果a,b

是實(shí)數(shù)，則

a?b≤a?b≤a?b

注：當(dāng)a、b為復(fù)數(shù)或向量時(shí)結(jié)論也成立.特別注意等號(hào)成立的條件.定理推廣：

a1?a2???an≤a1?a2???an

當(dāng)且僅當(dāng)都a1，a2，?，an非正或都非負(fù)時(shí)取等號(hào).探究：利用不等式的圖形解不等式1.x?1?x?1?1;2．x?2y?1..3．利用絕對(duì)值的幾何意義，解決問題：要使不等式x?4?x?3

二、典型例題：

例

1、證明（1）a?b?a?b，（2）a?b?a?b。

證明（1）如果a?b?0,那么a?b?a?b.所以a?b?a?b?a?b.如果a?b?0,那么a?b??(a?b).所以a?b??a?(?b)??(a?b)?a?b

（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，有a?b??b?a?b?b，就是，a?b?b?a。所以，a?b?a?b。

例

2、證明 a?b?a?b?a?b。例

3、證明 a?b?a?c?b?c。思考：如何利用數(shù)軸給出例3的幾何解釋？

（設(shè)A，B，C為數(shù)軸上的3個(gè)點(diǎn)，分別表示數(shù)a，b，c，則線段AB?AC?CB.當(dāng)且僅當(dāng)C在A，B之間時(shí)，等號(hào)成立。這就是上面的例3。特別的，取c＝0（即C為原點(diǎn)），就得到例2的后半部分。）

探究：試?yán)媒^對(duì)值的幾何意義，給出不等式a?b?a?b的幾何解釋？

含有絕對(duì)值的不等式常常相加減，得到較為復(fù)雜的不等式，這就需要利用例1，例2和例3的結(jié)果來證明。例

4、已知 x?a?

c

2,y?b?

c2，求證(x?y)?(a?b)?c.證明(x?y)?(a?b)?(x?a)?(y?b)?x?a?y?b（1）

?x?a?

c2,y?b?

c2c2?，c2

?c（2）

∴x?a?y?b?

由（1），（2）得：(x?y)?(a?b)?c 例

5、已知x?證明?x?

a4a4,y?

a6a6

.求證：2x?3y?a。

a2,3y?a2?a2a

2,y?，∴2x?，?a。

由例1及上式，2x?3y?2x?3y?

注意： 在推理比較簡單時(shí)，我們常常將幾個(gè)不等式連在一起寫。但這種寫法，只能用于不等號(hào)方向相同的不等式。

三、小結(jié)：

借助圖形的直觀性來研究不等式的問題，是學(xué)習(xí)不等式的一個(gè)重要方法，特別是利用絕對(duì)值和絕對(duì)值不等式的幾何意義來解不等式或者證明不等式，往往能使問題變得直觀明了，幫助我們迅速而準(zhǔn)確地尋找到問題的答案。關(guān)鍵是在遇到相關(guān)問題時(shí)，能否準(zhǔn)確地把握不等式的圖形，從而有效地解決問題。

四、練習(xí)：

1、已知A?a?

2、已知x?a?

c2c

4,B?b?,y?b?

c2c6

.求證：(A?B)?(a?b)?c。

.求證：2x?3y?2a?3b?c。

五、作業(yè)： 1．求證

a?b1?a?b

?

a1?a

?

b1?b

a?b1?ab

.2．已知a?1,b?1.求證：?1.3．若?,?為任意實(shí)數(shù)，c為正數(shù)，求證：???(1?c)?(1?

1c)?

.（??

?

2??

?2?，而??c2

?

1c

?

c?

?2

1c

?）

4.a、b、c均為實(shí)數(shù),a?b,b?c,a?c,5.已知函數(shù)f(x)?ax2?bx?c,當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)≤1 求證:a?b?c≤17 作業(yè)：導(dǎo)學(xué)大課堂練習(xí)

課后反思：絕對(duì)值不等式的證明

求證:≤

a?b?2c?b?c?2a?c?a?2b

a?b?b?c?c?a

?2.

第二篇：絕對(duì)值不等式學(xué)案

絕對(duì)值不等式學(xué)案(1)

（一）知識(shí)點(diǎn)：.（三）鞏固練習(xí)：.（1）｜x＋4｜＞9(2)｜11

＋x｜≤ 1.不等式的基本性質(zhì)：

2.絕對(duì)值的定義，即|a|=??_____a?0

?

_____a?0實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值表示在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)點(diǎn)A到

原點(diǎn)的距離，并且可以得到|a|≥0這一結(jié)論.3.按商品質(zhì)量規(guī)定，商店出售的標(biāo)明500 g的袋裝食鹽，其實(shí)際數(shù)與所標(biāo)數(shù)相差

不能超過5 g，如何表達(dá)實(shí)際數(shù)與所標(biāo)數(shù)的關(guān)系呢？

依據(jù)條件列出?

?________?5

?5，進(jìn)而利用絕對(duì)值定義及其幾何意義將其表述成|x-500|≤5，即

?________一個(gè)含絕對(duì)值的不等式.（二）含絕對(duì)值不等式解法的探究

1.如何求解方程|x|=2?|x|=2的幾何意義是什么？

2.能表述|x|＞2,|x|＜2的幾何意義嗎？其解集是什么？

3.請(qǐng)嘗試歸納出一般情況下|x|＞a,|x|＜a（a＞0)的幾何意義及其解集？

4．解不等式|x-500|≤5.（三）歸納總結(jié)：|ax+b|＞c，|ax+b|＜c(c＞0)的解法？

第1頁

(3)｜2－x｜≥3

(5)｜5x－4｜＜6

（四）拓展延伸：.1.解不等式|x-1|+|2-x|＞3+x2.42

(4)｜x－23｜＜1

(6)｜1

x＋1｜≥2

解不等式|x+1|+|x-1|＜1

第2頁

第三篇：絕對(duì)值不等式教案

絕對(duì)值不等式的解法

教學(xué)目標(biāo)：

1．理解并掌握ax?b?c與ax?b?c(c?0)型不等式的解法，并能初步地應(yīng)用它解決問題。

2．培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的能力，培養(yǎng)通過換元轉(zhuǎn)化的思想方法，培養(yǎng)抽象思維的能力；

3．激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)勇于探索的精神，勇于創(chuàng)新

精神，同時(shí)體會(huì)事物之間普遍聯(lián)系的辯證思想。

重點(diǎn)：x?a與x?a(a?0)型不等式的解法。

難點(diǎn)：絕對(duì)值意義的應(yīng)用，和應(yīng)用x?a與x?a(a?0)型不等式 的解法解決ax?b?c與ax?b?c(c?0)型不等式。過程：

實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是如何定義的？幾何意義是什么？ ?a,a?0? 絕對(duì)值的定義： | a | = ?0,a?0

??a,a?0? |a|的幾何意義：數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)離開原點(diǎn)的距離。|x-a|(a≥0)的幾何意義是x在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)a的對(duì)應(yīng)點(diǎn)之

間的距離。

實(shí)例：按商品質(zhì)量規(guī)定，商店出售的標(biāo)明500g的袋 裝食鹽，其實(shí)際數(shù)與所標(biāo)數(shù)相差不能超過5g，設(shè)實(shí)際數(shù)是xg，那么，x應(yīng)滿足什么關(guān)系？能不能用絕對(duì)值來表示？

?x?500?5,（?由絕對(duì)值的意義，也可以表示成500?x?5.?x?500?5.）

意圖：體會(huì)知識(shí)源于實(shí)踐又服務(wù)于實(shí)踐，從而激發(fā)學(xué)習(xí)熱情。

引出課題 新課

1．x?a(a?0)與x?a(a?0)型的不等式的解法。先看含絕對(duì)值的方程|x|=2 幾何意義：數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)離開原點(diǎn)的距離等于2.∴x=⊥2 提問：x?2與x?2的幾何意義是什么？表示在數(shù)軸上應(yīng)該是怎樣的？

數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)離開原點(diǎn)的距離?。ù螅┯?-2O2x-2O2x

即 不等式 x?2的解集是?x?2?x?2?

不等式 x?2 的解集是xx??2,或x?2.類似地，不等式x?a(a?0)|與x?a(a?0)的幾何意義是什么？解集又是什么？

即 不等式x?a(a?0)的解集是?x?a?x?a?;不等式x?a(a?0)的解集是xx?a,或x??a 小結(jié)：①解法：利用絕對(duì)值幾何意義 ②數(shù)形結(jié)合思想 2．a(chǎn)x?b?c,與ax?b?c(c?0)型的不等式的解法。

把 ax?b 看作一個(gè)整體時(shí)，可化為x?a(a?0)與

????x?a(a?0)型的不等式 來求解。

即 不等式ax?b?c(c?0)的解集為

?x|?c?ax?b?c?(c?0);不等式ax?b?c(c?0)的解集為

?x|ax?b??c,或ax?b?c?(c?0)例題

例1：解不等式x?500?5.解：由原不等式可得?5?x?500?5, 各加上500，得495?x?505, ∴原不等式的解集是?x495?x?505?.例2：解不等式2x?5?7.解：由原不等式可得2x?5??7,或2x?5?7.整理，得x??6,或x?1.∴原不等式的解集是xx??6,或x?1.練習(xí)：P52 1、2（1），（2）3（1）（2）小結(jié)

1．x?a與x?a(a?0)型不等式ax?b?c與

??ax?b?c(c?0)型不等式的解法與解集；

2．?dāng)?shù)形結(jié)合、換元、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想 作業(yè)P52 1、2（3），（4）3（3）（4）思考題 P52 4

第四篇：含絕對(duì)值符號(hào)的不等式的解法與證明

[本周內(nèi)容]含絕對(duì)值符號(hào)的不等式的解法與證明

[重點(diǎn)難點(diǎn)]

1．實(shí)數(shù)絕對(duì)值的定義:

|a|=

這是去掉絕對(duì)值符號(hào)的依據(jù)，是解含絕對(duì)值符號(hào)的不等式的基礎(chǔ)。

2．最簡單的含絕對(duì)值符號(hào)的不等式的解。

若a>0時(shí)，則

|x|

|x|>a

注:這里利用實(shí)數(shù)絕對(duì)值的幾何意義是很容易理解上式的，即|x|可看作是數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)P(x)到原點(diǎn)的距離。

3．常用的同解變形

|f(x)|

|f(x)|>g(x)

|f(x)|<|g(x)|

4．三角形不等式:

||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。

例題選講:

例1．解不等式 |x2+4x-1|<4.............①

解:①-4g(x)； f2(x)

-aa。

-5

即原不等式的解集是（-5，-3）∪（-1，1）。

例2．解不等式|x2-3|>2x...........①

解:①

即原不等式的解集（-∞，1）∪（3，+∞）。

例3．解不等式|

|≤1...........①-33

x<1或x>3。x2-3<-2x或x2-3>2x

x2+2x-3<0或x2-2x-3>0

解: ①

(2)

(3)(x+4)(3x+2)≤0,x≠1。

]。

-4≤x≤-|2x+3|2≤|x-1|2

(2x+3)2-(x-1)2≤0

(2x+3-x+1)(2x+3+x-1)≤0。

∴原不等式的解集為[-4，-

例4．解不等式|x+1|+|x-2|<5...........①

分析:為了去掉絕對(duì)值符號(hào)，首先找到兩式的零點(diǎn)-1和2，它們把（-∞，+∞）分成了三個(gè)區(qū)間；（-∞，-1），[-1，2]，（2，+∞）。從而可將不等式①化為三個(gè)不等式組。求它們的解集的并集即可。

解:將不等式①化為三個(gè)不等式組

（I）

-2

（II）

-1≤x≤2；

（III）

2

∴原不等式的解集為(-2,-1)∪[-1,2]∪(2,3)，即（-2，3）。

例5．解不等式|x+1|+|x-2|<1。

解:∵ |x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3，∴ 原不等式無解。

說明:本題沒有采用例4的解法，而是利用三角形不等式直接判斷出結(jié)果。它提示我們今后解這一類問題，應(yīng)先判斷。

例6．已知:|a|<1, |b|<1。求證:|

證法1：欲證①，只需證

只需證(a2+b2-a2b2-1)<0, 只需證-(a2-1)(b2-1)<0............②

∵ |a|<1, |b|<1?！郺2<1, b2<1，即a2-1<0, b2-1<0?！啖谑匠闪?，∴ 原不等式成立。

證法2：欲證①，只需證-1<

只需證（只需證

·

<0, +1）（-1）<0，<1, <1，|<1.........①

只需證|a+b|<|1+ab|, 只需證(a+b)2<(1+ab)2, 只需證(a+b)2-(1+ab)2<0，只需證

<0，只需證

<0............③

∵ |a|<1, |b|<1, ∴ a2<1, b2<1，即a2-1<0, b2-1<0，又(1+ab)2>0, ∴③式成立，∴ 原不等式成立。

例7．求證:

證法1:

∵

∵ 上式顯然成立，∴

又

證法2：這里只證明

分析:觀察兩式結(jié)構(gòu)均為y=

≤

=

+

≤

成立。≤ |a+b|≤|a|+|b|。

|a+b|(1+|a|+|b|)≤(|a|+|b|)(1+|a+b|)

≤

≤

+。

≤+。

∴ 原命題成立。的形式，又∵|a+b|≤|a|+|b|，而原不等式要成立，只需證明函數(shù)在[0，+∞）上單調(diào)遞增即可。

證明:設(shè)0≤x1≤x2, 則

-=，∵ 0≤x1≤x2, ∴ x2-x1≥0, 1+x1>0, 1+x2>0, ∴

≥0。

∴-≥0, 即≥，設(shè)x1=|a+b|, x2=|a|+|b|

∵ |a+b|≤|a|+|b|，∴

參考練習(xí):

≤。

1．解不等式 |x2+3x-8|≤10。

2．解不等式 |x+7|-|x-2|<3。

3．解不等式 |

4．解不等式 |log3x|+|log3(3-x)|≥1。

5．求y=

6．設(shè)f(x)=x2+ax+b是整系數(shù)二次三項(xiàng)式，求證:|f(1)|<

7．已知|x|<

參考答案:

1.[-6,-2]∪[-1, 3]；

2.(-∞,-1)；

3.[

4.提示:首先求定義域（0，3）。其次求出二零點(diǎn)1，2。分三個(gè)區(qū)間（0，1]，（1，2]，（2，3）解即可。解集（0，]∪[，3）。, 2)∪(6, +∞)； , |y|<, |z|<,(ξ>0)。求證:|x+2y-3z|<ξ。, |f(2)|<, |f(3)|<,不可能同時(shí)成立。的值域。

-3|>1。

5．提示:可用反解法解出sinx=

6．提示:用反證法

略證:假設(shè)|1+a+b|< , |4+2a+b|<，則解不等式||≤1得y∈[-4,-]。, 及|9+3a+b|<同時(shí)成立。

由題設(shè)a, b∈Z, ∴ 1+a+b∈Z，∴ 1+a+b=0.........①

同理4+2a+b=0.......② 9+3a+b=0.........③

由①，②解得a=-3, b=2。但不滿足③式，故假設(shè)不成立，即|f(1)|, |f(2)|, |f(3)|不能同時(shí)小于

7．證明略。

第五篇：§2.4含絕對(duì)值的不等式（推薦）

§2.4含絕對(duì)值的不等式

班級(jí)姓名

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、體會(huì)絕對(duì)值的幾何意義

2、會(huì)用變量代換的思想方法解含絕對(duì)值的不等式

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：會(huì)用變量代換的思想方法解含絕對(duì)值的不等式 難點(diǎn)：會(huì)用變量代換的思想方法解含絕對(duì)值的不等式

三、課前預(yù)習(xí)

1、x?3的根是

2、a的幾何意義是

四、課堂探究

探究：

1、某工廠生產(chǎn)直徑為10cm的傳動(dòng)軸，誤差不超過0.02cm為合格產(chǎn)品。若某技師生產(chǎn)的傳動(dòng)軸直徑為dcm，經(jīng)檢測屬合格品，則d滿足什么條件？

2、不等式x?3與x?3的解集在數(shù)軸上怎樣表示？

總結(jié)1：不等式x?a(a?0)的解集是

總結(jié)2：不等式f(x)?a(a?0)可化為

不等式f(x)?a(a?0)可化為問題解決：

商品房買賣合同上規(guī)定：（1）面積誤比差，即

產(chǎn)權(quán)登記面積-合同約定面積的絕對(duì)值在3%內(nèi)（含3%）的，據(jù)實(shí)

合同約定面積

結(jié)算房款；

（2）面積誤比差的絕對(duì)值超過3%時(shí)，買房人有權(quán)退房。

王先生買房時(shí)合同約定的面積為120cm2，那么房屋竣工后，現(xiàn)場實(shí)測產(chǎn)權(quán)登記面積結(jié)果在什么范圍內(nèi)時(shí)，他必須據(jù)實(shí)結(jié)算房款？結(jié)果在什么范圍時(shí)，他有權(quán)退房？

五、課堂練習(xí)

1、填空：

（1）不等式x?4的解集是（2）不等式x?9的解集是

不等式x?a(a?0)的解集是例題剖析

例1解下列不等式

（1）2x?1?0（2）

例2解不等式2x?3?7例3解不等式2x??5

（3）不等式2x?10的解集是

2、解下列不等式，并在數(shù)軸上表示它們的解集：

x?2 3

（1）x?5（2）x?2?5

（3）2x??3（4）2x?3?1

六、課后作業(yè)

必做題：書p34習(xí)題1、2；指導(dǎo)用書p28A組 選做題：指導(dǎo)用書p29B組

丁蜀中專?高一?學(xué)案