第一篇：不等式證明20法

不等式證明方法大全

1、比較法（作差法）

在比較兩個實(shí)數(shù)a和b的大小時，可借助a?b的符號來判斷。步驟一般為：作差——變形——判斷（正號、負(fù)號、零）。變形時常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化積、應(yīng)用已知定理、公式等。

a?b?ab。例

1、已知：a?0，b?0，求證：

2a?ba?ba?b?2ab(a?b)2

?ab。證明：?ab???0，故得22222、分析法（逆推法）

從要證明的結(jié)論出發(fā)，一步一步地推導(dǎo)，最后達(dá)到命題的已知條件（可明顯成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推導(dǎo)過程都必須可逆。

例

2、求證：?7?1?。

證明：要證5?7?1?，即證12?2?16?2，即?2?，35?19?4，4?16，?4，15?16，由此逆推即得5?7?1?。

3、綜合法

證題時，從已知條件入手，經(jīng)過逐步的邏輯推導(dǎo)，運(yùn)用已知的定義、定理、公式等，最終達(dá)到要證結(jié)論，這是一種常用的方法。

ab例

3、已知：a，b同號，求證：??2。ba

證明：因?yàn)閍，b同號，所以abababab?0，?0，則??2??2，即??2。babababa4、作商法（作比法）

在證題時，一般在a，b均為正數(shù)時，借助

商——變形——判斷（大于1或小于1）。

例

4、設(shè)a?b?0，求證：aabb?abba。

aaabb?a?證明：因?yàn)閍?b?0，所以?1，a?b?0。而ba???bab?b?a?baa?1或?1來判斷其大小，步驟一般為：作bb?1，故aabb?abba。

5、反證法

先假設(shè)要證明的結(jié)論不對，由此經(jīng)過合理的邏輯推導(dǎo)得出矛盾，從而否定假設(shè)，導(dǎo)出結(jié)論的正確性，達(dá)到證題的目的。

例

5、已知a?b?0，n是大于1的整數(shù)，求證：a?b。證明：假設(shè)a?，則bb?1，即?1，故b?a，這與已知矛盾，所以a?。aa6、迭合法（降元法）

把所要證明的結(jié)論先分解為幾個較簡單部分，分別證明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性質(zhì)，使原不等式獲證。

例

6、已知：求證： a1b1?a2b2???anbn?1。a1?a2???an?1，b1?b2???bn?1，證明：因?yàn)閍1?a2???an?1，b1?b2???bn?1，所以a1?a2???an?1，b1?b2???bn?1。由柯西不等式

a1b1?a2b2???anbn?a1?a2???an?b1?b2???bn?1?1?1，所以原不等

22222

2222222

式獲證。

7、放縮法（增減法、加強(qiáng)不等式法）

在證題過程中，根據(jù)不等式的傳遞性，常采用舍去一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)）而使不等式的各項(xiàng)之和變?。ɑ蜃兇螅虬押停ɑ蚍e）里的各項(xiàng)換以較大（或較?。┑臄?shù)，或在分式中擴(kuò)大（或縮?。┓质街械姆肿樱ɑ蚍帜福?，從而達(dá)到證明的目的。值得注意的是“放”、“縮”得當(dāng)，不要過頭。常用方法為：改變分子（分母）放縮法、拆補(bǔ)放縮法、編組放縮法、尋找“中介量”放縮法。

1359999

?0.01。例

7、求證：?????

***

證明：令p??????，則

24610000

***32999921

1p?2?2?2??????????，222

2246100002?14?110000?11000110000

所以p?0.01。

8、數(shù)學(xué)歸納法

對于含有n(n?N)的不等式，當(dāng)n取第一個值時不等式成立，如果使不等式在n?k(n?N)時成立的假設(shè)下，還能證明不等式在n?k?1時也成立，那么肯定這個不等式對

n取第一個值以后的自然數(shù)都能成立。

例

8、已知：a,b?R?，n?N，n?1，求證：an?bn?an?1b?abn?1。證明：（1）當(dāng)n?2時，a2?b2?ab?ab?2ab，不等式成立；（2）若n?k時，ak?bk?ak?1b?abk?1成立，則

ak?1?bk?1?a(ak?bk)?abk?bk?1?a(ak?1b?abk?1)?abk?bk?

1=akb?abk?(a2bk?1?2abk?bk?1)?akb?abk?bk?1(a?b)2?akb?abk，即ak?1?bk?1?akb?abk成立。

根據(jù)（1）、（2），an?bn?an?1b?abn?1對于大于1的自然數(shù)n都成立。

9、換元法

在證題過程中，以變量代換的方法，選擇適當(dāng)?shù)妮o助未知數(shù)，使問題的證明達(dá)到簡化。

例

9、已知：a?b?c?1，求證：ab?bc?ca?。

1證明：設(shè)a??t，b??at(t?R)，則c??(1?a)t，33

3?1??1??1??1??1??1?

ab?bc?ca???t???at????at???(1?a)t????t???(1?a)t?

?3??3??3??3??3??3?11

?(1?a?a2)t2?（因?yàn)??a?a2?0，t2?0），33

所以ab?bc?ca?。

?

10、三角代換法

借助三角變換，在證題中可使某些問題變易。

例

10、已知：a2?b2?1，x2?y2?1，求證：ax?by?1。證明：設(shè)a?sin?，則b?cos?；設(shè)x?sin?，則y?cos? 所以ax?by?sin?sin??cos?cos??cos(???)?1。

11、判別式法

通過構(gòu)造一元二次方程，利用關(guān)于某一變元的二次三項(xiàng)式有實(shí)根時判別式的取值范圍，來證明所要證明的不等式。

例

11、設(shè)x,y?R，且x2?y2?1，求證：y?ax??a2。證明：設(shè)m?y?ax，則y?ax?m

代入x2?y2?1中得x2?(ax?m)2?1，即(1?a2)x2?2amx?(m2?1)?0 因?yàn)閤,y?R，1?a2?0，所以??0，即(2am)2?4(1?a2)(m2?1)?0，解得m??a2，故y?ax??a2。

12、標(biāo)準(zhǔn)化法

形如f(x1,x2,?,xn)?sinx1sinx2?sinxn的函數(shù)，其中0?xi??，且

；當(dāng)x1?x2???xn為常數(shù)，則當(dāng)xi的值之間越接近時，f(x1,x2,?,xn)的值越大（或不變）

x1?x2???xn時，f(x1,x2,?,xn)取最大值，即

f(x1,x2,?,xn)?sinx1sinx2?sinxn?sinn

x1?x2???xn。

n

A?B。

2標(biāo)準(zhǔn)化定理：當(dāng)A+B為常數(shù)時，有sinA?sinB?sin2證明：記A+B=C，則

f(A)?sinA?sinB?sin2

A?BC

?sinAsin(C?A)?sin2，22

求導(dǎo)得f`(A)?sin(C?2A)，由f`(A)?0得C=2A，即A=B 又由f``(A)??cos(B?A)?0知f`(A)的極大值點(diǎn)必在A=B時取得 由于當(dāng)A=B時，f`(A)?0，故得不等式。同理，可推廣到關(guān)于n個變元的情形。

ABC

1sinsin?。2228ABC11

證明：由標(biāo)準(zhǔn)化定理得，當(dāng)A=B=C時，sin?sin?sin?，取最大值，故

22228

ABC1sinsinsin?。2228

例12、設(shè)A，B，C為三角形的三內(nèi)角，求證：sin13、等式法

應(yīng)用一些等式的結(jié)論，可以巧妙地給出一些難以證明的不等式的證明。例13（1956年波蘭數(shù)學(xué)競賽題）、a,b,c為?ABC的三邊長，求證：

2a2b2?2a2c2?2b2c2?a4?b4?c4。

證明：由海倫公式S?ABC?其中p?

(a?b?c)。

2兩邊平方，移項(xiàng)整理得

p(p?a)(p?b)(p?c)，16(S?ABC)2?2a2b2?2a2c2?2b2c2?a4?b4?c4 而S?ABC?0，所以2a2b2?2a2c2?2b2c2?a4?b4?c4。

14、函數(shù)極值法

通過變換，把某些問題歸納為求函數(shù)的極值，達(dá)到證明不等式的目的。

例

14、設(shè)x?R，求證：?4?cos2x?3sinx?2。

83?1?

證明：f(x)?cos2x?3sinx?1?2sin2x?3sinx??2?sinx???

24?8?當(dāng)sinx?

31時，f(x)取最大值2； 48

當(dāng)sinx??1時，f(x)取最小值－4。

故?4?cos2x?3sinx?2。

815、單調(diào)函數(shù)法

當(dāng)x屬于某區(qū)間，有f`(x)?0，則f(x)單調(diào)上升；若f`(x)?0，則f(x)單調(diào)下降。推廣之，若證f(x)?g(x)，只須證f(a)?g(a)及f`(x)?g`(x)即可，x?[a,b]。

例15、0?x?，求證：sinx?x?tanx。

2證明：當(dāng)x?0時，sinx?x?tanx?0，而

?

(sinx)`?cosx?1?x`?sec2x?(tanx)` 故得sinx?x?tanx。

16、中值定理法

利用中值定理：f(x)是在區(qū)間[a,b]上有定義的連續(xù)函數(shù)，且可導(dǎo)，則存在?，a???b，滿足f(b)?f(a)?f`(?)(b?a)來證明某些不等式，達(dá)到簡便的目的。

例

16、求證：sinx?siny?x?y。

證明：設(shè)f(x)?sinx，則sinx?siny?(x?y)sin`??(x?y)cos? 故sinx?siny?(x?y)cos??x?y。

17、分解法

按照一定的法則，把一個數(shù)或式分解為幾個數(shù)或式，使復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單易解的基本問題，以便分而治之，各個擊破，從而達(dá)到證明不等式的目的。

1例17、n?2，且n?N，求證：1??????n(n?1?1)。

23n

證明：因?yàn)??

111?1??1??1?

?????n?(1?1)???1????1??????1? 23n?2??3??n?

?2?

所以1?

34n?134n?

1?????n?2??????n?n?1 23n23n

?????n(n?1?1)。23n18、構(gòu)造法

在證明不等式時，有時通過構(gòu)造某種模型、函數(shù)、恒等式、復(fù)數(shù)等，可以達(dá)到簡捷、明

快、以巧取勝的目的。

例

18、已知：x2?y2?1，a2?b2?2，求證：b(x2?y2)?2axy?2。證明：依題設(shè)，構(gòu)造復(fù)數(shù)z1?x?yi，z2?a?bi，則z1?1，z2?2 所以z1?z2?(x?yi)2(a?bi)?[a(x2?y2)?2bxy]?[b(x2?y2)?2axy]i

b(x2?y2)?2axy?Imz1?z2?z1?z2?

2?

故b(x2?y2)?2axy?2。

19、排序法

利用排序不等式來證明某些不等式。

排序不等式：設(shè)a1?a2???an，b1?b2???bn，則有

其中t1,t2,?,tn是a1bn?a2bn?1???anb1?a1bt1?a2bt2???anbtn?a1b1?a2b2???anbn，1,2,?,n的一個排列。當(dāng)且僅當(dāng)a1?a2???an或b1?b2???bn時取等號。

簡記作：反序和?亂序和?同序和。

例

19、求證：a2?b2?c2?d2?ab?bc?cd?da。

證明：因?yàn)閍,b,c,d?R有序，所以根據(jù)排序不等式同序和最大，即

a2?b2?c2?d2?ab?bc?cd?da。

20、幾何法

借助幾何圖形，運(yùn)用幾何或三角知識可使某些證明變易。

a?ma

?。例20、已知：a,b,m?R?，且a?b，求證：

b?mb

證明：以b為斜邊，a為直角邊作Rt?ABC

延長AB至D，使BD?m，延長AC至E，使ED?AD，過C作AD的平行線交DE于F，則?ABC∽?ADE，令CE?n，aABa?m

?所以?

bACb?n

a?ma?ma

??。又CE?CF，即n?m，所以

b?mb?nb

E

另外，還可以利用重要的不等式來證題，如平均不等式、柯西（Cauchy）不等式、琴生（Jensen）不等式、絕對值不等式、貝努利（J.Bernoulli）不等式、赫爾德（O.H?lder）不等式、三角形不等式、閔可夫斯基（H.Minkowski）不等式等，這里不再煩述了。

在實(shí)際證明中，以上方法往往相互結(jié)合、互相包含，證題時，可能同時運(yùn)用幾種方法，結(jié)合起來加以證明。

第二篇：放縮法證明不等式

放縮法證明不等式

不等式是數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容之一，它是研究許多數(shù)學(xué)分支的重要工具，在數(shù)學(xué)中有重要的地位，也是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，在高考和競賽中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技巧性強(qiáng)，它不僅能夠檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的掌握程度，而且是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)水平的一個重要標(biāo)志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。

一、不等式的初等證明方法

1.綜合法：由因?qū)Ч?/p>

2.分析法：執(zhí)果索因?；静襟E：要證..只需證..，只需證..(1)“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件。

(2)“分析法”證題是一個非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進(jìn)行表達(dá)。

3.反證法：正難則反。

4.放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的。放縮法的方法有：

(1)添加或舍去一些項(xiàng)，如

(2)利用基本不等式，如：

(3)將分子或分母放大(或縮小)：

5.換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題

化難為易、化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。

二、部分方法的例題

1.換元法

換元法是數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的解題方法之一。有些不等式通過變量替換可以改變問題的結(jié)構(gòu)，便于進(jìn)行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡、化隱蔽為外顯的積極效果。

2.放縮法

欲證A≥B，可將B適當(dāng)放大，即B1≥B，只需證明A≥B1。相反，將A適當(dāng)縮小，即A≥A1，只需證明A1≥B即可。

注意：用放縮法證明數(shù)列不等式，關(guān)鍵是要把握一個度，如果放得過大或縮得過小，就會導(dǎo)致解決失敗。放縮方法靈活多樣，要能想到一個恰到好處進(jìn)行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識，同時要求我們具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力和一定的解題智慧。

數(shù)學(xué)題目是無限的，但數(shù)學(xué)的思想和方法卻是有限的。我們只要學(xué)好了有關(guān)的基礎(chǔ)知識，掌握了必要的數(shù)學(xué)思想和方法，就能順利地應(yīng)對那無限的題目。題目并不是做得越多越好，題海無邊，總也做不完。關(guān)鍵是你有沒有培養(yǎng)起良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，有沒有掌握正確的數(shù)學(xué)解題方法。當(dāng)然，題目做得多也有若干好處：一是“熟能生巧”，加快速度，節(jié)省時間，這一點(diǎn)在考試時間有限時顯得很重要;二是利用做題來鞏固、記憶所學(xué)的定義、定理、法則、公式，形成良性循環(huán)。

解題需要豐富的知識，更需要自信心。沒有自信就會畏難，就會放棄;有了自信，才能勇往直前，才不會輕言放棄，才會加倍努力地學(xué)習(xí)，才有希望攻克難關(guān)，迎來屬于自己的春天。

第三篇：放縮法證明不等式

主備人：審核：包科領(lǐng)導(dǎo)：年級組長：使用時間：

放縮法證明不等式

【教學(xué)目標(biāo)】

1.了解放縮法的概念；理解用放縮法證明不等式的方法和步驟。

2.能夠利用放縮法證明簡單的不等式。

【重點(diǎn)、難點(diǎn)】

重點(diǎn)：放縮法證明不等式。

難點(diǎn)：放縮法證明不等式。

【學(xué)法指導(dǎo)】

1.據(jù)學(xué)習(xí)目標(biāo)，自學(xué)課本內(nèi)容，限時獨(dú)立完成導(dǎo)學(xué)案；

2.紅筆勾出疑難點(diǎn)，提交小組討論；

3.預(yù)習(xí)p18—p19,【自主探究】

1，放縮法：證明命題時，有時可以通過縮?。ɑ颍┓质降姆帜福ɑ颍?，或通過放大（或縮小）被減式（或）來證明不等式，這種證明不

等式的方法稱為放縮法。

2，放縮時常使用的方法：①舍去或加上一些項(xiàng)，即多項(xiàng)式加上一些正的值，多項(xiàng)式的值變大，或多項(xiàng)式減上一些正的值，多項(xiàng)式的值變小。如t2?2?t2,t2?2?t2等。

②將分子或分母放大（或縮小）：分母變大，分式值減小，分母變小，分

式值增大。

如當(dāng)(k?N,k?1)1111，22kkk(k?1)k(k?1)，③利用平均值不等式，④利用函數(shù)單調(diào)性放縮。

【合作探究】

證明下列不等式

(1)

(2)，已知a>0，用放縮法證明不等式:loga

(a?1)1111??...??2(n?N?)2222123nloga(a?1)?1

(3)已知x＞0, y>0，z>0求證

?x?y?z

（4）已知n?

N?，求證：1

【鞏固提高】

已知a,b,c,d都是正數(shù)，s?

【能力提升】

求證: ?...?abcd???求證:1

1?a?b?a

1?a?b

1?b

本節(jié)小結(jié)：

第四篇：賦值法證明不等式

賦值法證明不等式的有關(guān)問題

1、已知函數(shù)f(x)=lnx

（1）、求函數(shù)g(x)?(x?1)f(x)?2x?2(x?1)的最小值；

（2）、當(dāng)0

222a(b?a).a2?b22、已知函數(shù)f(x)=xlnx, g(x)= ax?x(a?R)

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)；

(2)求使f(x)?g(x)恒成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)求證：不等式ln(e?1)?n?n1(n?N?)恒成立 ne3、設(shè)函數(shù)f(x)?axn(1?x)?b(x?0),n為正整數(shù),a,b為常數(shù).曲線y?f(x)在(1,f(1))處 的切線方程為x?y?1.(Ⅰ)求a,b的值;

(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的最大值;

(Ⅲ)證明:f(x)?1 ne4、已知函數(shù)f(x)=lnx-x+

1（1）、求函數(shù)f(x)的最大值；

111??????ln(1?n),n??.23n

2?x5、已知函數(shù)f(x)=?aln?x?1?, x?1（2）、求證： 1?

（1）、若函數(shù)f(x)在單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

1?2ln?x?1??2x?4,?x?2?;x?

111111（3）、求證：????lnn?1???(n?N?,n?2).462n2n?1（2）、當(dāng)a=2時，求證：1?

6、已知函數(shù)f(x)?e?ax?1(a?0)

（1）求f(x)得最小值；

（2）若f(x)?0對任意的x?R恒成立，求a的取值范圍； x

e?1??2??n?1??n??（3）在（2）的條件下，證明：????????（其中n?N）?????nnnne?1????????

8、已知函數(shù)f(x)=e?ax?a, xnnnn

（1）、若a?0,f(x)?0對一切實(shí)數(shù)x都成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

（2）、設(shè)g(x)?f(x)?a，且A(x1,y1),B(x2,y2)(x1?x2)是曲線y?g(x)上任意兩點(diǎn)，xe

若對于任意的a??1，直線AB的斜率恒大于常數(shù)m，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

(3)、求證：1?3?5??(2n?1)?

2、已知函數(shù)f(x)?(x?a)?7blnx?1,其中a，b是常數(shù)，且a?0，（1）若b?1時，f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求a的取值范圍； 2nnnn(2n)n(n?N?).e?

14a

2（2）當(dāng)b?時，討論f(x)的單調(diào)性； 7

（3）設(shè)n是正整數(shù)，證明ln(1?n)?(1?

5、已知函數(shù)f(x)=xlnx-ax?x(a?R)

(1)若函數(shù)f(x)在處取得極值，求a的值；

(2)若函數(shù)f(x)的圖像在直線的圖像的下方，求a的取值范圍；

(3)求證：ln(2?3?4??n)?n?1(n?N?).。

解:(Ⅰ)因?yàn)閒(1)?b,由點(diǎn)(1,b)在x?y?1上,可得1?b?1,即b?0.因?yàn)閒?(x)?anxn?1?a(n?1)xn,所以f?(1)??a.又因?yàn)榍芯€x?y?1的斜率為?1,所以?a??1,即a?1.故a?1,b?0.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)?xn(1?x)?xn?xn?1,f?(x)?(n?1)xn?1（令f?(x)?0,解得x?

在(0,n?x).n?12n27111111????)?7(1?????).22223n23nnn,即f?(x)在(0,??)上有唯一零點(diǎn)x0?.n?1n?1n)上,f?(x)?0,故f(x)單調(diào)遞增;n?1

n,??)上,f?(x)?0,f(x)單調(diào)遞減.n?1而在（nnnnnn

故f(x)在(0,??)上的最大值為f(.)?()(1?)?n?1n?1n?1(n?1)n?1

111t?1(t?0),則??(t)??2=2(t?0).tttt

在(0,1)上,??(t)?0,故?(t)單調(diào)遞減;

而在(1,??)上??(t)?0,?(t)單調(diào)遞增.(Ⅲ)令?(t)?lnt?1+

故?(t)在(0,??)上的最小值為?(1)?0.所以?(t)?0(t?1),1即lnt?1?(t?1).t

令t?1?1n?11n?1n?1,得ln,即ln(?)?lne,nnn?1n

nn1n?1n?1所以(.?)?e,即(n?1)n?1nen

nn1由(Ⅱ)知,f(x)?,故所證不等式成立.?(n?1)n?1ne

已知函數(shù)f(x)?alnx?ax?3.(a?R)

（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線的傾斜角為450，且方程f(x)?m至少有一個實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（3）求證：ln2ln3lnn1????(n?2,n?N?).23nn

第五篇：幾何法證明不等式

幾何法證明不等式

用解析法證明不等式：

^2<(a^2+b^2)/2

(a,b∈R，且a≠b)

設(shè)一個正方形的邊為C,有4個直角三角形拼成這個正方形,設(shè)三角形的一條直角邊為A,另一條直角邊為B,(B>A)A=B,剛好構(gòu)成,若A不等于B時,側(cè)中間會出現(xiàn)一個小正方形,所以小正方形的面積為(B-A)^2,經(jīng)化簡有(B+A)^2=4AB,所以有((A+B)/2)^2=AB,又因?yàn)?A^2+B^2)/2>=AB,所以有((A+B)/2)^2<=(A^2+B^2)/2,又因?yàn)锳不等與B,所以不取等號

可以在直角三角形內(nèi)解決該問題

=^2-(a^2+b^2)/2

=<2ab-(a^2+b^2)>/4

=-(a-b)^2/4

<0

能不能用幾何方法證明不等式，舉例一下。

比如證明SINx不大于x(x范圍是0到兀/2，閉區(qū)間)

做出一個單位圓，以O(shè)為頂點(diǎn)，x軸為角的一條邊

任取第一象限一個角x，它所對應(yīng)的弧長就是1*x=x

那個角另一條邊與圓有一個交點(diǎn)

交點(diǎn)到x軸的距離就是SINx

因?yàn)辄c(diǎn)到直線，垂線段長度最小，所以SINx小于等于x，當(dāng)且盡當(dāng)x=0時，取等

已經(jīng)有的方法：第一數(shù)學(xué)歸納法2種;反向歸納法(特殊到一般從2^k過渡到n);重復(fù)遞歸利用結(jié)論法;凸函數(shù)性質(zhì)法;

能給出其他方法的就給分

(a1+a2+...+an)/n≥(a1a2...an)^(1/n)

一個是算術(shù)，一個是幾何。人類認(rèn)認(rèn)識算術(shù)才有幾何，人類吃飽了就去研究細(xì)微的東西，所以明顯有后者小于前者的結(jié)論，這么簡單都不懂，叼佬就是叼佬^_^

搞笑歸搞笑，我覺得可以這樣做，題目結(jié)論相當(dāng)于證

(a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)≥0

我們記f(a1,a2,……,an)=(a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)這時n看做固定的。我們討論f的極值，它是一個n元函數(shù)，它是沒有最大值的(這個顯然)

我們考慮各元偏導(dǎo)都等于0，得到方程組，然后解出

a1=a2=……=an

再代入f中得0，從而f≥0，里面的具體步驟私下聊，寫太麻煩了。

要的是數(shù)學(xué)法證明也就是代數(shù)法不是用向量等幾何法證明.....有沒有哪位狠人幫我解決下

【柯西不等式的證明】二維形式的證明

(a^2+b^2)(c^2+d^2)(a,b,c,d∈R)

=a^2·c^2+b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2

=a^2·c^2+2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2-2abcd+b^2·c^2

=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2

≥(ac+bd)^2，等號在且僅在ad-bc=0即ad=bc時成立。

一般形式的證明

求證：(∑ai^2)(∑bi^2)≥(∑ai·bi)^2

證明：

當(dāng)a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0時，一般形式顯然成立

令A(yù)=∑ai^2B=∑ai·biC=∑bi^2

當(dāng)a1，a2，…，an中至少有一個不為零時，可知A>0

構(gòu)造二次函數(shù)f(x)=Ax^2+2Bx+C，展開得：

f(x)=∑(ai^2·x^2+2ai·bi·x+bi^2)=∑(ai·x+bi)^2≥0

故f(x)的判別式△=4B^2-4AC≤0，移項(xiàng)得AC≥B，欲證不等式已得證。