第一篇：人生的不等式

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人生的不等式

作者：水漠

來(lái)源：《新高考·高一數(shù)學(xué)》2012年第05期

學(xué)完奇妙而略顯深?yuàn)W的數(shù)列后，我們走進(jìn)了不等式的世界，發(fā)現(xiàn)這個(gè)世界看似簡(jiǎn)單——比較大小的不等關(guān)系，卻不時(shí)見(jiàn)到奇峰迭起——一元二次不等式、二元一次不等式組、線性規(guī)劃，到均值不等式，比之?dāng)?shù)列，它更顯得平淡中暗藏繁雜奧妙。

仔細(xì)想想，人生亦如此，不等式真是實(shí)實(shí)在在發(fā)生在人生活的每一個(gè)細(xì)節(jié)里，驗(yàn)算人生的承轉(zhuǎn)啟合，證明生活的奇數(shù)和偶數(shù)間的聯(lián)系，“他的話影響了你的人生，當(dāng)你想真誠(chéng)表示謝意時(shí)，卻發(fā)現(xiàn)他已悄然遠(yuǎn)去”；“你最忘不掉的事恰恰是你最想忘掉的事”；“你最想得到的東西，就是你永遠(yuǎn)得不到的東西”；“你在物理上花費(fèi)的精力是最多的，但成績(jī)總是徘徊在及格線”；“你和她是多年好友，可她總是在某些小事上讓你心存芥蒂，以致漸行漸遠(yuǎn)”……生活中，希望總是小于失望，付出總是大于回報(bào)，這些人生中的一個(gè)個(gè)“不等式”，總是讓你歡喜讓你憂(yōu)，人生充盈著許多或大或小的“數(shù)量關(guān)系”，客觀地認(rèn)知它們，認(rèn)真解析由于學(xué)習(xí)、生活所產(chǎn)生的“不等式”，少走彎路，的確需要花費(fèi)很多精力，同時(shí)也是非常有必要的。

生活中，人們常常絞盡腦汁去計(jì)算得與失，感嘆著“不等式”所帶來(lái)的痛苦和驚喜，收獲和失落，總是期盼著在平衡中劃上一個(gè)等號(hào)，尋找著平衡，而不愿意接受現(xiàn)實(shí)里的“大于”或“小于”，因此給自身平添了很多煩惱和曲折，人生的不等式說(shuō)到底就是每個(gè)人心理的失衡，人生在世，很難做到事事平衡，但這種不平衡是由于自己期望值過(guò)高而對(duì)他人和客觀現(xiàn)實(shí)的苛求造成的，不等式所產(chǎn)生的結(jié)果大都事與愿違，可無(wú)論人如何努力去避免不等式，卻很難做到完全回避，這就是現(xiàn)實(shí)的存在，是不以人的意志而更改的，平衡是希望，不平衡是現(xiàn)實(shí)，世間沒(méi)有絕對(duì)的平衡，月有陰晴圓缺，人有悲歡離合，這就是人生最大的不等式!

解析人生的不等式，要懷有一顆平常心并擁有接受現(xiàn)實(shí)的勇氣，勤奮與機(jī)遇的不等式是命運(yùn)的安排；付出與得到的不等式是自己的把握；喜悅與憂(yōu)傷的不等式是性格的釋然；成功與失敗的不等式是客觀規(guī)律的存在，當(dāng)失望大于希望的時(shí)候人要淡然處置，當(dāng)收獲小于付出的時(shí)候人要含笑面對(duì)，當(dāng)喜悅出乎意料的時(shí)候不能得意忘形，當(dāng)結(jié)果難以接受的時(shí)候不要喪失信心，名氣不等于財(cái)氣，活潑不等于輕浮，流淚不等于軟弱，形象不等于氣質(zhì)，高貴不等于孤傲……正確地看待人生中的種種不等式所需要的，僅僅是一種平和的心態(tài)，“寵辱不驚，看庭前花開(kāi)花落，去留無(wú)意，望天上云卷云舒，”這是解析人生不等式的最佳公式。

第二篇：人生四個(gè)不等式

人生四個(gè)不等式

記得讀小學(xué)時(shí)，老師曾問(wèn)過(guò)這樣一個(gè)問(wèn)題：“是先有打雷還是先有閃電？”

“先有閃電?！睂W(xué)生們說(shuō)，“因?yàn)槊慨?dāng)打雷閃電時(shí)，總是先看到耀眼的閃電，后聽(tīng)到隆隆的雷聲?！?/p>

“其實(shí)，打雷和閃電，是同時(shí)的。為什么呢？因?yàn)楣鈧鞑サ乃俣瓤欤曇魝鞑サ乃俣嚷?，所以我們也就先看到了閃電，然后才聽(tīng)到了雷聲?！崩蠋熣f(shuō)，“同學(xué)們，這種現(xiàn)象說(shuō)明了什么呢？”

“說(shuō)明看到的比聽(tīng)到的快?！睂W(xué)生們說(shuō)。

“看到的比聽(tīng)到的快，這只是一種現(xiàn)象，透過(guò)這種現(xiàn)象，我們從中可以受到一點(diǎn)什么啟發(fā)呢？”老師問(wèn)，“這種現(xiàn)象是不是在告訴我們，聽(tīng)到不等于看到，也就是說(shuō)，我們親耳所聽(tīng)到的東西，與我們親眼所看到的東西，不是等同的，是有差別的，如果光顧去聽(tīng)，而不親眼去看，親身去實(shí)踐，那么我們就會(huì)作出錯(cuò)誤的判斷，說(shuō)出失實(shí)的言詞?！?/p>

無(wú)論什么時(shí)候，親耳聽(tīng)到的東西，不等于你親眼看到。很多年過(guò)去后，我還不忘時(shí)時(shí)用這個(gè)道理來(lái)告誡自己

看到≠走到

我站在山腳下，看著山頂，問(wèn)當(dāng)?shù)氐囊晃淮迕瘢骸皬纳侥_到山頂，需要多長(zhǎng)時(shí)間？”

“少說(shuō)也得兩個(gè)小時(shí)吧。”村民說(shuō)。

“兩個(gè)小時(shí)？怎么可能呢？山不高，距離山頂也不遠(yuǎn)。”我說(shuō)。“那是你看到的，而不是你走到的。”村民說(shuō)。

果不其然，從山底登上山頂，我足足花了兩個(gè)多小時(shí)。當(dāng)我在山頂?shù)臅r(shí)候，我才真正明白那位村民話中的含義：看“到”與走“到”，永遠(yuǎn)不是一回事，看“到”了，不等于走“到”了。

對(duì)于人生的目標(biāo)，也是如此，我們用眼看“到”的，只是我們樹(shù)立的目標(biāo)，只有用腳走“到”的，才能成為我們實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)。眼里看到的目標(biāo)是“直”的，而腳下走到的目標(biāo)往往是“彎”的，因?yàn)樯系鄄粫?huì)讓誰(shuí)幸運(yùn)到讓他一直走直路，其間的坎坷、挫折和障礙，不是我們能用眼所能看到的。

用眼看“到”，永遠(yuǎn)不等于走“到”，看“到”，只是你視線到達(dá)的地方，只有走“到”，才能讓你真正實(shí)現(xiàn)目標(biāo)、抵達(dá)目標(biāo)。

跟所有的目標(biāo)一樣，人生的目標(biāo)不是看“到”的，不是用眼測(cè)量出來(lái)的，而是走“到”的，是用腳一步步丈量出來(lái)的。

知道≠做到

一次，美國(guó)通用電器公司首席執(zhí)行官杰克?韋爾奇應(yīng)邀來(lái)我國(guó)講課，一些企業(yè)管理人員聽(tīng)完課后，感到有些失望，便問(wèn):“你講的那些內(nèi)容，我們也都知道，可為什么我們之間的差距有那么大呢?”杰克?韋爾奇聽(tīng)后回答說(shuō):“那是因?yàn)槟銈兪侵?，而我是做到了，這就是我們的差別?！?/p>

是的，很多道理很簡(jiǎn)單，很多道理我們都知道，但這些簡(jiǎn)單易知的道理我們卻沒(méi)有去做到。比如，我們都知道“聚沙成塔”的道理，但我們卻常常忽視了那些成功的細(xì)沙，不愿做細(xì)小的事情，自然也就無(wú)法構(gòu)筑起事業(yè)成功的高塔。再比如我們都清楚“水滴石穿”的道理，但我們卻缺少水滴那樣心系一處的定力，三心二意，淺嘗輒止，結(jié)果總是在半途而廢中與成功失之交臂。

知道得再多，想得再好，如果不去做，不去行動(dòng)，那永遠(yuǎn)都不會(huì)有超越，永遠(yuǎn)都只能在原地踏步。

正是行動(dòng)，使人與人之間拉開(kāi)了距離;正是行動(dòng)，使人與人之間分出了高低;正是行動(dòng)，使人與人之間產(chǎn)生了差別。

心動(dòng)≠行動(dòng)

老師給學(xué)生們出了一道題:“岸上有五只青蛙，它們眼前的池塘很美–綠綠的荷葉，粉紅的荷花，飄香的蓮子。這時(shí)，有四只青蛙準(zhǔn)備跳進(jìn)池塘美美地暢游一番。請(qǐng)問(wèn)，岸上還有幾只青蛙?”

“一只?！睂W(xué)生們異口同聲地回答。

“真的是一只嗎?”老師問(wèn)。“一只!”學(xué)生們?cè)俅慰隙ǖ鼗卮?。“可大家的答案是錯(cuò)的，”老師說(shuō)，“岸上仍有五只青蛙?！边€有五只青蛙?學(xué)生們想不通了。

老師說(shuō)，那四只青蛙只是準(zhǔn)備跳進(jìn)池塘，只是它們的一個(gè)美好的想法，僅是心動(dòng)而已，并沒(méi)有付諸行動(dòng)。沒(méi)有行動(dòng)，再心動(dòng)、再美的想法也等于零。

第三篇：不等式知識(shí)點(diǎn)整理

不等式知識(shí)點(diǎn)整理

一、不等關(guān)系：

1．實(shí)數(shù)的大小順序與運(yùn)算性質(zhì)之間的關(guān)系：

a?b?a?b?0；

a?b?a?b?0；

a?b?a?b?0.2．不等式的性質(zhì)：

（1）a?b?b?a（自反性）

（2）a?b,b?c?a?c（傳遞性）

（3）a?b?a?c?b?c（可加性）

（4）a?b,c?0?ac?bc；

a?b,c?0?ac?bc（可乘性）

（5）a?b,c?d?a?c?b?d（同向加法）

（6）a?b?0,c?d?0?ac?bd；（同向乘法）

（7）a?b?0,n?N,n?1?an?bn,a?。（同向乘方）

3．常用的基本不等式和重要的不等式

（1）a?R,a2?0,a?0，當(dāng)且僅當(dāng)a?0取“=”.（2）a,b?R,則a2?b2?2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”）

（3）a,b?R?，則a?b?2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”）a?

b注：——集幾何平均數(shù).2a2?b2a?b2?()（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”（4））22

a2?b2?c2a?b?c2?()（當(dāng)且僅當(dāng)a?b?c時(shí)取“=”（5））3

3ab（6）(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2（當(dāng)且僅當(dāng)?時(shí)取“=”）（柯西不等式）cd4、最值定理：設(shè)x,y?0,由x?y?

（1）如積xy?P為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)x?y時(shí)x?

y有最小值

S（2）如和x?y?S為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)x?y時(shí)x?y有最大值()2.2即：積定和最小，和定積最大.注：運(yùn)用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等.5．含絕對(duì)值的不等式性質(zhì)： a?b?a?b?a?b（注意等號(hào)成立的情況）.二、不等式的證明方法

1．比較法

（1）作差比較法：作差——變形（通分、因式分解等）——判別符號(hào)；

（2）作商比較法：作商——變形（化為冪的形式等）——與1比大小.（分母要為正的）

2．綜合法——由因?qū)Чㄓ汕懊娼Y(jié)論）

3．分析法——執(zhí)果索因

注：（1）一般地常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法；

（2）還可以用放縮法、換元法等綜合證明不等式.三、解不等式

??b?b?1．一元一次不等式 ax?b(a?0)（1）a?0,?xx?? ；（2）a?0,?xx??.a?a???

2．一元二次不等式 ax2?bx?c?0,(a?0)

（1）步驟：一看開(kāi)口方向（a的符號(hào)），二看判別式 ??b2?4ac的符號(hào)，三看方程的根寫(xiě)解集.（2）重要結(jié)論：ax2?bx?c?0(a?0)解集為R（即ax2?bx?c?0對(duì)x?R恒成立），則a?0,??0.（注：若二次函數(shù)系數(shù)含參數(shù)且未指明不為零時(shí)，需驗(yàn)證a?0）.3．絕對(duì)值不等式

a?0?a（1）零點(diǎn)分段討論?a?? ??aa?0

（2）轉(zhuǎn)化法：f(x)?g(x)?f(x)?g(x)或f(x)??g(x)f(x)?g(x)??g(x)?f(x)?g(x)

（3）數(shù)形結(jié)合4．高次不等式、分式不等式——序軸標(biāo)根法 P(x)?0或P(x)Q(x)?0（移項(xiàng)，一邊化為0，不要輕易去分步驟：①形式：Q(x)

母）；

②因式分解，化為積的形式（x系數(shù)符號(hào)>0——標(biāo)準(zhǔn)式）； ③序軸標(biāo)根；

④寫(xiě)出解集.5．注意含參數(shù)的不等式的解的討論.．．．．．．．．．．．．．．．．

四、一個(gè)有用的結(jié)論 關(guān)于函數(shù)y?x?p x

pp?x?

0時(shí)x???

在(0、xx

[

上是減函數(shù)；在（??、[??)上是增函數(shù).1．p?0時(shí)，當(dāng)x?

0時(shí)x?

（0，??）2．p?0時(shí)，在???，上為增函數(shù).0?、

第四篇：不等式總結(jié)

不等式總結(jié)

一、不等式的性質(zhì)

1．（不等式建立的基礎(chǔ)）兩個(gè)實(shí)數(shù)a與b之間的大小關(guān)系 ?(1)a－b＞0?a＞b；??(2)a－b=0?a=b；

??(3)a－b＜0?a＜b．

??(4)

???若 a、b?R，則?(5)??(6)??a＞1?a＞b；ba=1?a=b；ba＜1?a＜b．b

2．不等式的性質(zhì)

(1)a＞b?b＜a(對(duì)稱(chēng)性)

a＞b?(2)? ?a＞c(傳遞性)b＞c?

(3)a＞b?a＋c＞b＋c(加法單調(diào)性)

a＞b???ac＞bcc＞0?

(4)(乘法單調(diào)性)

a＞b???ac＜bcc＜0?

(5)a＋b＞c?a＞c－b(移項(xiàng)法則)

a＞b?(6)??a＋c＞b＋d(同向不等式可加)c＞d?---不等式相加 a＞b?(7)??a－c＞b－d(異向不等式可減)c＜d?---不等式相減

(8)a＞b＞0???ac＞bd(同向正數(shù)不等式可乘)c＞d＞0?---不等式相乘 a＞b＞0?ab(9)??＞(異向正數(shù)不等式可除)cd0＜c＜d?--不等式相除

(10)a＞b＞0?nn??a＞b(正數(shù)不等式可乘方)n?N?乘方法則

a＞b＞0?(11)?? ＞b(正數(shù)不等式可開(kāi)方)n?N?開(kāi)方

(＞b＞0?111＜(正數(shù)不等式兩邊取倒數(shù)2))aab----倒數(shù)法則

3．絕對(duì)值不等式的性質(zhì)

?a(a≥0)，(1)|a|≥a；|a|=??－a(a＜0)．

(2)如果a＞0，那么

|x|＜a?x2＜a2?－a＜x＜a；

|x|＞a?x2＞a2?x＞a或x＜－a．

(3)|a·b|＝|a|·|b|．

a|a|(4)||＝(b≠0)．b|b|

(5)|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|．

(6)|a1＋a2＋??＋an|≤|a1|＋|a2|＋??＋|an|．

4.基本不等式

（1）如果a，b是正數(shù)，那么ab≤a?b，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。

2注意：基本不等式的證明是利用重要的不等式推導(dǎo)的，即

?a,b?R,則??2ab,即有a?b?2

（2）基本不等式又稱(chēng)為均值定理、均值不等式等。其中???22a?b稱(chēng)為a，b的算術(shù)平均數(shù)，ab稱(chēng)為a，b的2幾何平均數(shù)。兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。

（3）均值不等式中“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義：

a?b＝ab 2

a?b②僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，即＝ab?a=b 2①當(dāng)a=b，取等號(hào)，即a=b?

（4）幾種變形公式

a?b2a2?b2a?ba2?b2

ab≤()≤(a,b∈R)ab≤≤(a＞0, b＞0)2222

5.柯西不等式

（1）代數(shù)形式：

設(shè)a1，a2，b1，b2均為實(shí)數(shù)，(a12＋a22)(b12 + b22)≥(a1 b1+ a2 b2)2（注：等號(hào)成立條件：a1 b2= a2 b1）

（2）向量形式：|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn)（n∈N，n≥2）

等號(hào)成立條件：β為零向量，或α=λβ（λ∈R）。

（3）三角不等式：由|α|＋|β|≥|α+β|可得：設(shè)a1，a2，b1，b2均為實(shí)數(shù)，則

√(a12＋a22)＋√(b12 + b22)≥√[(a1+ b1)2＋(a2 + b2)2]（注：等號(hào)成立條件：存在非負(fù)實(shí)數(shù)μ及λ使得μa1=λb1，μa2=λb2其中“√”表示平方根）

（4）平面三角不等式：設(shè)a1，a2，b1，b2，c2均為實(shí)數(shù)，則

√[(a1-b1)2＋(a2-b2)2]＋√[(b1-c1)2＋(b2-c2)2]≥√[(a1-c1)2＋(a2-c2)2]（注：等號(hào)成立條件：存在非負(fù)實(shí)數(shù)μ及λ使得μ(a1-b1)=λ(b1-c1), μ(a2-b2)=λ(b2-c2)其中“√”表示平方根）

(5)設(shè)α，β，γ為平面向量，則|α-β|+|β-γ|≥|α-γ|。當(dāng)α-β，β-γ為非零向量時(shí)。（注：等號(hào)成立條件：存在正常數(shù)λ，使得α-β＝λ（β-γ）?向量α-β與β-γ同向，即夾角為零。

（6）一般形式：設(shè)a1，a2，?，an，b1，b2 ?，bn均為實(shí)數(shù)，則

2222a12?a2???an12?b2???bn?a1b1?a2b2???anbn 注：等號(hào)成立?aa1a2????n b1b2bn

6.排序不等式：

（1）定義：設(shè)有兩組數(shù) a1 , a2 ,…… an;b1 , b2 ,…… bn 滿(mǎn)足 a1 ≤ a2 ≤……≤ an, b1 ≤ b2 ≤……≤ bn，其中c1,c2,……,cn是b1,b2,……，bn的任一排列，則稱(chēng)a1 b1 + a2 b2+...+ an bn 為這兩個(gè)實(shí)數(shù)組的順序積之和（簡(jiǎn)稱(chēng)順序和），稱(chēng)a1 bn + a2b{n-1}+...+ an b1為這兩個(gè)實(shí)數(shù)組的反序積之和（簡(jiǎn)稱(chēng)反序和），稱(chēng)a1 c1 + a2 c2 +…+ an cn為這兩個(gè)實(shí)數(shù)組的亂序積之和（簡(jiǎn)稱(chēng)亂序和）

（2）定理：（排序不等式，又稱(chēng)排序原理）設(shè)有兩組數(shù) a1 , a2 ,… an;b1 , b2 ,… bn 滿(mǎn)足 a1 ≤ a2 ≤…≤ an, b1 ≤ b2 ≤…≤ bn，其中c1,c2,…,cn是b1,b2,…，bn的任一排列，那么

a1 bn + a2b{n-1}+...+ an b1 ≤ a1 c1 + a2 c2 +……+ an cn ≤ a1 b1 + a2 b2 + ……+an bn.當(dāng)且僅當(dāng) a1 = a2 =...= an 或 b1 = b2 =...= bn 時(shí)等號(hào)成立，即反序和等于順序和。

排序原理可簡(jiǎn)記作：反序和≤亂序和≤順序和。

7.貝努利不等式：

定理：設(shè)x＞-1，且x≠0，n為大于1的自然數(shù)，則(1+x)n≥1+nx.二、不等式的證明

1．不等式證明的依據(jù)

(1)實(shí)數(shù)的性質(zhì)：a、b同號(hào)?ab＞0；a、b異號(hào)?ab＜0

a－b＞0?a＞b；a－b＜0?a＜b；a－b=0?a=b

(2)不等式的性質(zhì)(略)

(3)重要不等式：

①|(zhì)a|≥0；a2≥0；(a－b)2≥0(a、b∈R)（非負(fù)數(shù)）

②a2＋b2≥2ab(a、b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))

a?b≥ab(a、b?R?，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))

2333+④ a+b+c≥3abc(a,b,c∈R)③

b?c⑤a?

?abc

⑥ |a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|．

⑦ |a1＋a2＋??＋an|≤|a1|＋|a2|＋??＋|an|．

⑧ |x|＜a?x＜a?－a＜x＜a；

⑨ |x|＞a?x＞a?x＞a或x＜－a．

2．不等式的證明方法

(1)比較法：要證明a＞b(a＜b)，只要證明a－b＞0(a－b＜0)，這種證明不等式的方法叫做比較法．

用比較法證明不等式的步驟是：作差——變形——判斷符號(hào)．

(2)綜合法：從已知條件出發(fā)，依據(jù)不等式的性質(zhì)和已證明過(guò)的不等式，推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這種證明不等式的方法叫做綜合法． 2222

(3)分析法：從欲證的不等式出發(fā)，逐步分析使這不等式成立的充分條件，直到所需條件已判斷為正確時(shí)，從而斷定原不等式成立，這種證明不等式的方法叫做分析法．

（4）三角換元法：多用于條件不等式的證明，如果所給條件較復(fù)雜，一個(gè)變量不易用另一個(gè)變量表示，這時(shí)可考慮用三角代換，將兩個(gè)變量都用同一個(gè)參數(shù)表示，此法如果運(yùn)用恰當(dāng)，可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系，將復(fù)雜的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題。

注意：根據(jù)具體問(wèn)題，常用的三角換元技巧有：

① x2+y2=1,可設(shè)x=cosα,y=sinα；

② a≤ x2+y2≤b，可設(shè)x=rcosα,y=rsinα, a≤r2≤b

③ 對(duì)于?

④ 對(duì)于?

⑤ 對(duì)于x2，由于|x|≤1,可設(shè)x=cosα（0≤α≤π）或x=sinα(-π/2≤α≤π/2),可設(shè)x=tanα(-π/2＜α＜π/2)或x=cotα(0＜α＜π)x2x2(0≤α＜π/2或π/2＜α≤π)或x=sin(-π/2≤α＜0或0＜α≤π/2)?1,可設(shè)x=cosαα

⑥ 對(duì)于x+y+z=xyz,由于在ΔABC中有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,可設(shè)x=tanA,y=tanB,z=tanC(A+B+C=π)。

（5）放縮法：要證明不等式A＜B，有時(shí)可以將它的一邊放大或縮小，尋找一個(gè)中間量，如將A放大成C，即A＜C，后證C＜B，這種證法叫放縮法。常用技巧有：舍掉（或加進(jìn)）一些項(xiàng)，在分式中放大或縮小分子或分母；應(yīng)用基本不等式放縮。

放縮法的理論依據(jù)主要有：不等式的傳遞性、等量加不等量為不等量、同分子（分母）異分母（分子）的兩個(gè)分式大小的比較。

證明不等式除以上三種基本方法外，還有反證法、數(shù)學(xué)歸納法、綜合分析法、放縮法、函數(shù)法、幾何法、其它方法（換元法、判別式法、導(dǎo)數(shù)法、構(gòu)造法）、柯西不等式等。

（5）利用基本不等式比較實(shí)數(shù)大小或證明不等式

① 利用均值定理求最值，必須滿(mǎn)足三個(gè)條件：：“一正”各項(xiàng)均為正數(shù)、“二定”和或積為常數(shù)、“三相等”

等號(hào)必須成立。和定積最大，積定和最小。

② 構(gòu)造定值條件的常用技巧：加項(xiàng)變換、拆項(xiàng)變換、統(tǒng)一換元、平方后利用不等式。

③ 基本不等式：

若x，y是正數(shù)，有x+y=S（和為定值），則當(dāng)x=y時(shí)，積xy=取最大值S；

42若x，y是正數(shù)，有xy=P（積為定值），則當(dāng)x=y時(shí)，和x+y=取最小值；2P。

三、解不等式

1．解不等式問(wèn)題的分類(lèi)

(1)解一元一次不等式．

(2)解一元二次不等式．

(3)可以化為一元一次或一元二次不等式的不等式．

①解一元高次不等式；

②解分式不等式；

③解無(wú)理不等式；

④解指數(shù)不等式；

⑤解對(duì)數(shù)不等式；

⑥解帶絕對(duì)值的不等式；

⑦解不等式組．

2．解不等式時(shí)應(yīng)特別注意下列幾點(diǎn)：

(1)正確應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)．

(2)正確應(yīng)用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的增、減性．

(3)注意代數(shù)式中未知數(shù)的取值范圍．

3．不等式的同解性

?f(x)＞0?f(x)＜0(1)f(x)·g(x)＞0與 ? 或?同解．

? g(x)＞0? g(x)＜0

?f(x)＞0?f(x)＜0(2)f(x)·g(x)＜0與? 或?同解．g(x)＜0g(x)＞0??

(3)?f(x)＞0?f(x)＜0f(x)＞0與?或?同解．(g(x)≠0)g(x)?g(x)＞0?g(x)＜0

?f(x)＞0?f(x)＜0f(x)(4)＜0與? 或 ?同解．(g(x)≠0)g(x)g(x)＜0g(x)＞0??

(5)|f(x)|＜g(x)與－g(x)＜f(x)＜g(x)同解．(g(x)＞0)

(6)|f(x)|＞g(x)①與f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(shù)(x)≥0)同解；②與g(x)＜0同解．

?f(x)＞[g(x)]2 ?f(x)≥0?(7)f(x)＞g(x)與 ?f(x)≥0或?同解．g(x)＜0???g(x)≥0

?f(x)＜[g(x)]2

(8)f(x)＜g(x)與?同解．

?f(x)≥0

(9)當(dāng)a＞1時(shí)，af(x)＞ag(x)與f(x)＞g(x)同解，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，af(x)＞ag(x)與f(x)＜g(x)同解．

?f(x)＞g(x)(10)當(dāng)a＞1時(shí)，logaf(x)＞logag(x)與?同解．f(x)＞0?

?f(x)＜g(x)?當(dāng)0＜a＜1時(shí)，logaf(x)＞logag(x)與? f(x)＞0同解．

??g(x)＞0

第五篇：不等式基礎(chǔ)知識(shí)匯總

不等式基礎(chǔ)知識(shí)

一、不等式的概念

1．不等式的定義

不等式：用不等號(hào)連接兩個(gè)解析式所得的式子，叫不等式．

不等式組：含有相同未知數(shù)的幾個(gè)不等式組成的式子，叫不等式組．

2．不等式的分類(lèi)

（1）按所用不等號(hào)分：嚴(yán)格不等式（簡(jiǎn)單命題）、不嚴(yán)格不等式（復(fù)合命題）．

（2）按變量取值范圍分：絕對(duì)不等式、條件不等式、矛盾不等式．

（3）按變量的數(shù)量分：一元不等式、二元不等式、多元不等式．

（4）按解析式的類(lèi)型分：

3．不等式的相互關(guān)系

（1）由不等號(hào)方向看：同向不等式、異向不等式．

（2）由變量范圍看：同解不等式、等價(jià)不等式．

（3）由形式關(guān)系看：同構(gòu)不等式、不同構(gòu)不等式．

二、實(shí)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)（符號(hào)法則）

實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則是構(gòu)建不等式理論的基石，其順序?yàn)椋?/p>

實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則→不等式的性質(zhì)→不等式性質(zhì)的應(yīng)用．

實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則：正數(shù)大于負(fù)數(shù)，零小于正數(shù)，零大于負(fù)數(shù)．

1．a(chǎn)?b?a?b?0,a?b?a?b?0,a?b?a?b?0．

2．a(chǎn)?0??a?0．

3．a(chǎn)?0?11?0,a?0??0． aa

4．a(chǎn)?0,b?0?a?b?0;a?0,b?0?a?b?0．

5．a(chǎn)?0,b?0?ab?0;a?0,b?0?ab?0;a?0,b?0?ab?0．

三、不等式的性質(zhì)

1．三歧性：對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a與b，在a?b,a?b,a?b三種情況中僅有一種成立．

a?b?b?a．

3．傳遞性：a?b,b?c?a?(c?,?;?,?;?,等號(hào)是否傳到底？??2．對(duì)稱(chēng)性：

a?b?c?a?b?c（移項(xiàng)法則、作差原理）． a?b?a?c?b?；c

5．加法法則：a?b,c?d?a?c?b?d（同向特征，可推廣）．

6．可乘性：a?b,c?0?ac?bc（若c?0，則a?b?ac?b）； c

． a?b,c?0?ac?bc（若c?0，則a?b?ac?bc）4．可加性：

7．倒數(shù)法則：（1）a?b?0?1111a?(若a、b?R?，則a?b????1)； ababb

1111a?(若a、b?R?，則a?b????1)； ababb

11?． ab（2）b?a?0?（3）a?0?b?

8．乘法法則：a?b?0,c?d． ?0?ac?bd（可推廣）

nn9．乘方法則：a?b?0?a?b(n?2,n?N?)．（乘法法則的特例）

mm（若a、b?R，m?Q，則a?b?a?b）．

10．開(kāi)方法則：a?b?0n?2,n?N?)．

2211．均值定理：

（1）a?b?2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a、b相等時(shí)取等號(hào)）（可推廣）；

（2）a、b?R?，a?b?（當(dāng)且僅當(dāng)a、b相等時(shí)取等號(hào)）

（幾何意義：半徑不小于半弦．）；

22（3）ab?a

?b,ab?(a?

b)2（當(dāng)且僅當(dāng)a、b相等時(shí)取等號(hào)）； 2

2（4）a?b???a、b?R?)2?

ab

（當(dāng)且僅當(dāng)a、b相等時(shí)取等號(hào)）；

（調(diào)和平均數(shù)?幾何平均數(shù)?算術(shù)平均數(shù)?冪平均數(shù)）；

2（5）qpx??px?0,qx?0)（一正二定三相等）； x

(aq?bp)2

（6）(a?px)(b?qx)?（一正二定三相等）． 4pq

12．真分?jǐn)?shù)性質(zhì)：0?a?b,m?0?0?aa?m??1（濃度不等式）． bb?m

注：不等式的性質(zhì)可分為單向性質(zhì)和雙向性質(zhì)兩類(lèi)．在解不等式時(shí)，只能用雙向性質(zhì)；

在證明不等式時(shí)，既可用單向性質(zhì)，也可用雙向性質(zhì)．

附：化歸方法在不等式中的具體運(yùn)用：（1）異向化同向；（2）負(fù)數(shù)化正數(shù)；（3）減式化

加式；（4）除式化乘式；（5）多項(xiàng)化少項(xiàng)；（6）高次化低次．

四、不等式的證明

證明不等式就是利用不等式的性質(zhì)等知識(shí)，證明所給不等式在給定條件下恒成立．不等式形式的多樣性導(dǎo)致其證明方法的靈活性，具體問(wèn)題具體分析是證明不等式的準(zhǔn)則．具體證明方法有如下幾種：

1．作差比較法

原理：符號(hào)法則．

步驟：作差?變形（配方、通分、分解、有理化、配方等）?定號(hào)?判斷．

2．作商比較法

原理：符號(hào)法則．

步驟：作商（注意前提）?變形（指數(shù)運(yùn)算）?定號(hào)?判斷．

3．分析法

原理：B?B1?B2????Bn?A．

步驟：執(zhí)果索因，從“未知”找“需知”，逐步靠攏“已知”．

特點(diǎn)：利于思考，方向明確，思路自然．（刑警辦案、剝筍）

格式：欲證??（#），（因?yàn)??，所以）只需證??，??

（因?yàn)??，所以）只需證??（*），而（*）顯然成立，所以（#）

4．綜合法

原理：A?B??Bn1?B2???B．

步驟：由因?qū)Ч瑥摹耙阎笨础翱芍?，逐步推向“未知”?/p>

特點(diǎn)：條理清楚，經(jīng)驗(yàn)豐富，傳統(tǒng)自然．（法官定罪、包裝）

注：（1）證明時(shí)，如果首先假定所要證明的不等式成立，逐步推出一個(gè)已知成立的不等

式，只要推出過(guò)程的每一步都是可逆的，那么就可以斷定所給的不等式成立，這也是分析法，其邏輯原理為：B?B1?B2????Bn?A．

（2）用分析法時(shí)要正確使用連接有關(guān)分析推理步驟的關(guān)鍵詞，如“欲證??，只需

證??”、“即??”、“假定??成立，則??”等．并且，必須有對(duì)最后找到 的，使求證結(jié)論成立的充分條件正確性的判斷，否則其步驟因不完善而錯(cuò)誤．

（3）由條件或一些基本性質(zhì)入手、較易的不等式，以及條件較多的不等式，多可用

綜合法證明．而對(duì)于條件簡(jiǎn)單而結(jié)論復(fù)雜的不等式，以及恒成立的不等式，運(yùn)用分析法證明更為有效．分析法和綜合法之間是互為前提、互相滲透、互相轉(zhuǎn)化的辨證統(tǒng)一關(guān)系，分析法的終點(diǎn)是綜合法的起點(diǎn)，綜合法的終點(diǎn)是綜分析法的起點(diǎn)．對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題的證明，常用分析法探索證明途徑，然后用綜合法加以整理，甚至需交替使用這兩種方法，事實(shí)上，這兩種方法往往也很難區(qū)分開(kāi)．

（4）證明不等式的方法還有反證法、判別式法、換元法、構(gòu)造法、數(shù)學(xué)歸納法、導(dǎo)

數(shù)法、放縮法（把不等式的一邊適當(dāng)放大或縮小，利用不等式的傳遞性進(jìn)行證明不等式的方法，叫放縮法．其常用方法有：舍去一些項(xiàng)、在積中換大（?。┠承╉?xiàng)、擴(kuò)大（縮?。┓质降姆帜福ǚ肿樱┑龋┑龋?/p>

分析法只是一種重要的探求方式，而不是一種好的書(shū)寫(xiě)形式，因?yàn)樗鼣⑹鲚^繁，如

果把“只需證??”去掉不寫(xiě)，就成了錯(cuò)誤。而用綜合法書(shū)寫(xiě)的形式，掩蓋了分析、探索的過(guò)程。如果直接寫(xiě)，而不用分析法，人們會(huì)感到看得明白，自己卻做不出。因此，在做題時(shí)，通常先用分析法探求解題途徑，在解答時(shí)，再用綜合法書(shū)寫(xiě)。另外，凡是能用分析法證明的問(wèn)題，一定可以用綜合法證明。

反證法證題的特征是通過(guò)導(dǎo)出矛盾，歸結(jié)為謬誤，而使命題得證。因此，反證法也

叫歸謬法。如果結(jié)論的反面只有一種情況，即只需作出一種反設(shè)，并設(shè)法導(dǎo)致矛盾，立即使命題獲證；如果結(jié)論的反面不止一種情況，則對(duì)每種情況都必須作出反設(shè)，然后將每一反設(shè)一一駁倒，才能使命題獲證；這就是反證法的兩種類(lèi)型，前者稱(chēng)為簡(jiǎn)單歸謬法（簡(jiǎn)稱(chēng)歸謬法），后者稱(chēng)為窮舉歸謬法（簡(jiǎn)稱(chēng)窮舉法）。

“否定結(jié)論”在推理論證中要作為已知使用?！凹僭O(shè)”不能寫(xiě)成“設(shè)”

用反證法證明“若p則q”的過(guò)程如下圖所示：

適宜用反證法證明的數(shù)學(xué)命題有：①結(jié)論本身是以否定形式出現(xiàn)的一類(lèi)命題；②結(jié)論是以

“至多”、“至少”等形式出現(xiàn)的命題；③關(guān)于唯一性、存在性的命題；④結(jié)論的反面比原

結(jié)論更簡(jiǎn)單、更具體、更容易研究的命題等。

五、解不等式

利用不等式性質(zhì)及相關(guān)知識(shí)，求變量的取值集合或判斷其無(wú)解的過(guò)程，叫解不等式．解不等式是一個(gè)由繁到簡(jiǎn)的等價(jià)轉(zhuǎn)化變形過(guò)程，大體情形為：若不等式是超越不等式，則把它等價(jià)變形為代數(shù)不等式；若代數(shù)不等式是無(wú)理不等式，則把它等價(jià)變形為有理不等式；若有理不等式是分式不等式，則把它等價(jià)變形為整式不等式；若整式不等式是高次不等式，則把它等價(jià)變形為低次不等式；若不等式是形式不規(guī)范的不等式，則把它等價(jià)變形為規(guī)范形式的不等式；若不等式是絕對(duì)值不等式，則把它等價(jià)變形為不含絕對(duì)值的不等式．

1．一次型

2．二次型

3．分式型

4．絕對(duì)值型

5．無(wú)理不等式

6．高次不等式、高次分式不等式

（1）數(shù)軸標(biāo)根法：標(biāo)準(zhǔn)化→分解→標(biāo)根→定號(hào)→取解集．

（2）降次成組法．

7．不等式組、不等式串

求不等式組的解集就是求組成不等式組的各個(gè)不等式的解集的交集（由多變少，最

后歸一）；不等式串可化歸為與之等價(jià)的不等式組求解．

8．混和條件組

等式（方程）和不等式共同組成的關(guān)系組稱(chēng)為混和條件組，求解時(shí)以等式為主，不等式起檢驗(yàn)作用．

9．超越不等式（指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式、三角不等式等）

指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式、三角不等式等都可利用有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)（定義域、單調(diào)性等）、圖象和不等式性質(zhì)把原不等式化歸為有之等價(jià)的代數(shù)不等式（組）．

注：有些不等式可用構(gòu)造函數(shù)法利用對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象解之，步驟為：構(gòu)造函數(shù)→作圖象

→通過(guò)對(duì)應(yīng)方程得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)→根據(jù)圖象特點(diǎn)取解集．

六、不等式的其他應(yīng)用

利用不等式的性質(zhì)，除了可以證明和求解不等式外，還可以解決求代數(shù)式的取值范

圍、求最值、求實(shí)際問(wèn)題的解等問(wèn)題．

1．求范圍

先須求出所求代數(shù)式與已知代數(shù)式之間的線性關(guān)系（常需用待定系數(shù)法），然后利用同向不等式的加法法則和乘法法則等性質(zhì)求之．（亦可用線性規(guī)劃法）

2．求最值

（1）二次整式可用均值定理或二次函數(shù)的單調(diào)性求其最值．

（2）分子為二次式的假分式，可用待定系數(shù)法、配湊法或換元法化為部分分式，再

用均值定理或倒數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性求其最值；真分式用倒數(shù)法化為假分式． 注：利用均值定理求最值時(shí)，必須滿(mǎn)足“一正、二定、三相等”，三者缺一不可．若

為兩個(gè)負(fù)變數(shù)相加，則可用提取法化歸；若無(wú)和或積為定值的特征，則可用調(diào)整系數(shù)或次數(shù)的方法化歸；若不存在等號(hào)成立的條件，則只能用二次函數(shù)或倒數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性求其最值．

3．求實(shí)際問(wèn)題的解（不等式建模）

七、不等式的相關(guān)知識(shí)

函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、最值，一元二次方程的實(shí)根分布，線性規(guī)劃等知識(shí)

都與不等式密切相關(guān)．

絕對(duì)值基礎(chǔ)知識(shí)

1．絕對(duì)值的定義（幾何意義）：數(shù)軸上某數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，叫該數(shù)的絕對(duì)值．

2．絕對(duì)值的基本性質(zhì)：(1)；a?0（非負(fù)性、有界性）?a(a?0)?(2)a???a(a?0)

?0(a?0)?

(3)

(4)

(5)a；a?a,a??a,?a?a?a；a2?a2?a； 2

(6)平方法則：若a?0，則

3．絕對(duì)值的性質(zhì)定理：

（1）

（2）

（3）x?a?x2?a2，x?a?x2?a2，x?a?x2?a2． a??a；ab?a?b；aa?；bb

（4）an?a；

a?b?a?b?a?b； n（5）a?b?a?b?a?b，（可推廣），a?b?a?b?ab?0，a?b?a?b?ab?0； a??b?ab0?，2（6）a． ?b2?2ab（a2?b2?2ab?a?b）

4．絕對(duì)值的處理方法：

（1）公式法：x?a??a?x?ax?a?x?a或x??a，a?R；

（2）分段討論法：（即找界點(diǎn)，此法適用于解含多個(gè)絕對(duì)值的問(wèn)題）；

（3）平方法：（即運(yùn)用平方法則，注意平方的前提為不等號(hào)兩邊均為非負(fù)數(shù)）；

（4）幾何法：（即運(yùn)用絕對(duì)值的幾何意義）．

5．絕對(duì)值不等式的類(lèi)型：

（1）

f(x)?g(x)；（2）f(x)?g(x)；（3）f(x)?g(x)．