第一篇：不等式知識點

不等式

一．知識點：

1．不等式的性質(zhì)：

2．不等式的解法：

（一）整式不等式的解法；

（二）分式不等式的解法；

（三）指對不等式的解法； 重點：含參二次不等式的解法；

3．不等式的證明：（1）作差變形；（2）分析法

4．均值不等式：（一正二定三等）

題型1：題型2：題型3：題型4：

5．線性規(guī)劃：

二．典型題：

1．已知二次函數(shù)零點分布，求參數(shù)范圍問題；

2．恒成立問題的解法；

3．均值不等式的應用；

1．已知二次函數(shù)零點分布，求參數(shù)范圍問題；

2．恒成立問題的解法；

3．線性規(guī)劃問題的講解方式；

4．遞推式問題：相鄰項的關(guān)系較復雜，隔項或相鄰多項的關(guān)系會簡單。

5．均值不等式的幾種常見題型；

6．變形種類：

第二篇：不等式知識點整理

不等式知識點整理

一、不等關(guān)系：

1．實數(shù)的大小順序與運算性質(zhì)之間的關(guān)系：

a?b?a?b?0；

a?b?a?b?0；

a?b?a?b?0.2．不等式的性質(zhì)：

（1）a?b?b?a（自反性）

（2）a?b,b?c?a?c（傳遞性）

（3）a?b?a?c?b?c（可加性）

（4）a?b,c?0?ac?bc；

a?b,c?0?ac?bc（可乘性）

（5）a?b,c?d?a?c?b?d（同向加法）

（6）a?b?0,c?d?0?ac?bd；（同向乘法）

（7）a?b?0,n?N,n?1?an?bn,a?。（同向乘方）

3．常用的基本不等式和重要的不等式

（1）a?R,a2?0,a?0，當且僅當a?0取“=”.（2）a,b?R,則a2?b2?2ab（當且僅當a?b時取“=”）

（3）a,b?R?，則a?b?2ab（當且僅當a?b時取“=”）a?

b注：——集幾何平均數(shù).2a2?b2a?b2?()（當且僅當a?b時取“=”（4））22

a2?b2?c2a?b?c2?()（當且僅當a?b?c時取“=”（5））3

3ab（6）(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2（當且僅當?時取“=”）（柯西不等式）cd4、最值定理：設x,y?0,由x?y?

（1）如積xy?P為定值，則當且僅當x?y時x?

y有最小值

S（2）如和x?y?S為定值，則當且僅當x?y時x?y有最大值()2.2即：積定和最小，和定積最大.注：運用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等.5．含絕對值的不等式性質(zhì)： a?b?a?b?a?b（注意等號成立的情況）.二、不等式的證明方法

1．比較法

（1）作差比較法：作差——變形（通分、因式分解等）——判別符號；

（2）作商比較法：作商——變形（化為冪的形式等）——與1比大小.（分母要為正的）

2．綜合法——由因?qū)Чㄓ汕懊娼Y(jié)論）

3．分析法——執(zhí)果索因

注：（1）一般地常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法；

（2）還可以用放縮法、換元法等綜合證明不等式.三、解不等式

??b?b?1．一元一次不等式 ax?b(a?0)（1）a?0,?xx?? ；（2）a?0,?xx??.a?a???

2．一元二次不等式 ax2?bx?c?0,(a?0)

（1）步驟：一看開口方向（a的符號），二看判別式 ??b2?4ac的符號，三看方程的根寫解集.（2）重要結(jié)論：ax2?bx?c?0(a?0)解集為R（即ax2?bx?c?0對x?R恒成立），則a?0,??0.（注：若二次函數(shù)系數(shù)含參數(shù)且未指明不為零時，需驗證a?0）.3．絕對值不等式

a?0?a（1）零點分段討論?a?? ??aa?0

（2）轉(zhuǎn)化法：f(x)?g(x)?f(x)?g(x)或f(x)??g(x)f(x)?g(x)??g(x)?f(x)?g(x)

（3）數(shù)形結(jié)合4．高次不等式、分式不等式——序軸標根法 P(x)?0或P(x)Q(x)?0（移項，一邊化為0，不要輕易去分步驟：①形式：Q(x)

母）；

②因式分解，化為積的形式（x系數(shù)符號>0——標準式）； ③序軸標根；

④寫出解集.5．注意含參數(shù)的不等式的解的討論.．．．．．．．．．．．．．．．．

四、一個有用的結(jié)論 關(guān)于函數(shù)y?x?p x

pp?x?

0時x???

在(0、xx

[

上是減函數(shù)；在（??、[??)上是增函數(shù).1．p?0時，當x?

0時x?

（0，??）2．p?0時，在???，上為增函數(shù).0?、

第三篇：不等式知識點不等式基礎(chǔ)知識

不等式的知識要點

1.不等式的基本概念

不等（等）號的定義：a?b（1）

（2）

（3）

（4）?0?a?b;a?b?0?a?b;a?b?0?a?b.不等式的分類：絕對不等式；條件不等式；矛盾不等式.同向不等式與異向不等式.同解不等式與不等式的同解變形.2.不等式的基本性質(zhì)

（1）a

（2）a

（3）a

（4）a

（5）a?b?b?a（對稱性）?b,b?c?a?c（傳遞性）?b?a?c?b?c（加法單調(diào)性）?b,c?d?a?c?b?d（同向不等式相加）?b,c?d?a?c?b?d（異向不等式相減）

（6）a.?

（7）a

（8）ab,c?0?ac?bc ?b,c?0?ac?bc（乘法單調(diào)性）?b?0,c?d?0?ac?bd（同向不等式相乘）

ab（異向不等式相除）?cd(9)a?b?0,0?c?d?

(10)a?b,ab?0?

（11）a

（12）a11（倒數(shù)關(guān)系）?ab?b?0?an?bn(n?Z,且n?1)（平方法則）?b?0??(n?Z,且n?1)（開方法則）

3.幾個重要不等式

（1）若a?R,則|a|?0,a2?0

（2）若a、b?R?,則a2?b2?2ab(或a2?b2?2|ab|?2ab)（當僅當a=b時取等號）

（3）如果a,b都是正數(shù)，那么

極值定理：若x,y?R?a?b（當僅當a=b時取等號）.2,x?y?S,xy?P,則：

1如果P是定值, 那么當x=y時，S的值最??；○2如果S是定值, 那么當x=y時，P的值最大.○

利用極值定理求最值的必要條件： 一正、二定、三相等

.(4)若a、b、c?R?,則a?b?c?a=b=c時取等號）

3ba(5)若ab?0,則??2（當僅當a=b時取等號）

ab

(6)a?0時，|x|?a?x2?a2?x??a或x?a;

（7）若a、b?R,則||

4.幾個著名不等式

（1）平均不等式：如果a,b都是正數(shù)，那么

|x|?a?x2?a2??a?x?a a|?|b||?|a?b|?|a|?|b| a?b（當僅當a=b時取等號）22?ab

（2）柯西不等式： 若a1,a2,a3,?,an?R,b1,b2,b3?,bn?R;則 222222222（a1b1?a2b2?a3b3???anbn)?(a1?a2?a3???an)(b1?b2?b3??bn)aaaa1?2?3???n時取等號b1b2b3bn

（3）琴生不等式（特例）與凸函數(shù)、凹函數(shù)

若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f(x),對于定義域中任意兩點x1,x2(x1?x2),有

f(x1?x2f(x1)?f(x2))?或22f(x1?x2f(x1)?f(x2))?.2

2則稱f(x)為凸（或凹）函數(shù).5.不等式證明的幾種常用方法

比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法.6.不等式的解法

（1）整式不等式的解法（根軸法）.步驟：正化，求根，標軸，穿線（偶重根打結(jié)），定解.特例① 一元一次不等式ax>b解的討論；

②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的討論.（2）分式不等式的解法：先移項通分標準化，則 2

f(x)?0?f(x)g(x)?0;g(x)?f(x)g(x)?0 f(x)?0??g(x)?g(x)?0

（3）無理不等式：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解

1?f(x)?0? ???定義域?g(x)?0??f(x)?g(x)?

?f(x)?03?f(x)?0○f(x)?g(x)??g(x)?0或??g(x)?02???f(x)?[g(x)] ○2?f(x)?0 ?f(x)?g(x)??g(x)?02??f(x)?[g(x)]

（4）.指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式

af(x)?ag(x)(a?1)?f(x)?g(x);af(x)?ag(x)(0?a?1)?f(x)?g(x)af(x)?b(a?0,b?0)?f(x)?lga?lgb

（5）對數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式

?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)(a?1)??g(x)?0;

?f(x)?g(x)?

（6）含絕對值不等式

1應用分類討論思想去絕對值；○2應用數(shù)形思想； ○

3應用化歸思想等價轉(zhuǎn)化 ○?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)(0?a?1)??g(x)?0?f(x)?g(x)?

g(x)?0|f(x)|?g(x)????g(x)?f(x)?g(x)?g(x)?0|f(x)|?g(x)?g(x)?0(f(x),g(x)不同時為0)或??f(x)??g(x)或f(x)?g(x)?

第四篇：不等式知識點總結(jié)

感受生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等式和一元一次不等式的意義，下面是小編幫大家整理的不等式知識點總結(jié)，希望大家喜歡。

不等式：①用符號〉，=，〈號連接的式子叫不等式。②不等式的兩邊都加上或減去同一個整式，不等號的方向不變。③不等式的兩邊都乘以或者除以一個正數(shù)，不等號方向不變。④不等式的兩邊都乘以或除以同一個負數(shù)，不等號方向相反。

不等式的解集：①能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。②一個含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。③求不等式解集的過程叫做解不等式。

一元一次不等式：左右兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的不等式叫一元一次不等式。

一元一次不等式組：①關(guān)于同一個未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一元一次不等式組。②一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分，叫做這個一元一次不等式組的解集。③求不等式組解集的過程，叫做解不等式組。

一元一次不等式的符號方向：

在一元一次不等式中，不像等式那樣，等號是不變的，他是隨著你加或乘的運算改變。

在不等式中，如果加上同一個數(shù)(或加上一個正數(shù))，不等式符號不改向;例如：AB,A+CB+C

在不等式中，如果減去同一個數(shù)(或加上一個負數(shù))，不等式符號不改向;例如：AB，A-CB-C

在不等式中，如果乘以同一個正數(shù)，不等號不改向;例如：AB，A*CB*C(C0)

在不等式中，如果乘以同一個負數(shù)，不等號改向;例如：AB，A*C

如果不等式乘以0，那么不等號改為等號

所以在題目中，要求出乘以的數(shù)，那么就要看看題中是否出現(xiàn)一元一次不等式，如果出現(xiàn)了，那么不等式乘以的數(shù)就不等為0，否則不等式不成立。

第五篇：必修五基本不等式 知識點

第三章:不等式、不等式解法、線性規(guī)劃

1.不等式的基本概念

不等（等）號的定義：a?b?0?a?b;a?b?0?a?b;a?b?0?a?b.2.不等式的基本性質(zhì)

（1）a?b?b?a（對稱性）（2）a?b,b?c?a?c（傳遞性）

（3）a?b?a?c?b?c（加法單調(diào)性）

（4）a?b,c?d?a?c?b?d（同向不等式相加）

（5）a?b,c?d?a?c?b?d（異向不等式相減）（6）a.?b,c?0?ac?bc

（7）a?b,c?0?ac?bc（乘法單調(diào)性）

（8）a?b?0,c?d?0?ac?bd（同向不等式相乘）

(9)a?b?0,0?c?d?11ab（異向不等式相除）(10)a?b,ab?0??（倒數(shù)關(guān)系）?abcd

（11）a?b?0?an?bn(n?Z,且n?1)（平方法則）

（12）a?b?0?a?b(n?Z,且n?1)（開方法則）

練習：（1）對于實數(shù)a,b,c中，給出下列命題：

①若a?b,則ac?bc；②若ac?bc,則a?b；

③若a?b?0,則a?ab?b；④若a?b?0,則

⑤若a?b?0,則22222211?； abba?；⑥若a?b?0,則a?b； ab

ab11⑦若c?a?b?0,則；⑧若a?b,?，則a?0,b?0。?c?ac?bab

其中正確的命題是______

（答：②③⑥⑦⑧）；

（2）已知?1?x?y?1，1?x?y?3，則3x?y的取值范圍是______

（答：1?3x?y?7）；

（3）已知a?b?c，且a?b?c?0,則

3.幾個重要不等式

（1）若a?R,則|a|?0,a2?0

（2）若a、b?R,則a?b?2ab(或a?b?2|ab|?2ab)（當僅當a=b時取等號）

（3）如果a,b都是正數(shù)，那么

?c1??的取值范圍是______（答：??2,??）2?a??2222a?b.（當僅當a=b時取等號）2極值定理：若x,y?R,x?y?S,xy?P,則：

1如果P是定值, 那么當x=y時，S的值最小；○

2如果S是定值, 那么當x=y時，P的值最大.○

利用極值定理求最值的必要條件： 一正、二定、三相等

.(4)若a、b、c?R?,則a?b?c?a=b=c時取等號）

3ba(5)若ab?0,則??2（當僅當a=b時取等號）ab

(6)a?0時，|x|?a?x2?a2?x??a或x?a;|x|?a?x2?a2??a?x?a

（7）若a、b?R,則||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|

4.幾個著名不等式

（1）平均不等式：如果a,b都是正數(shù)，那么

a?b（當僅當a=b時取等號）??2?ab

即：平方平均≥算術(shù)平均≥幾何平均≥調(diào)和平均（a、b為正數(shù)）：

2a?b2a2?b2a?b2a2?b2)?)??ab）特別地，ab?(（當a = b時，(2222

a2?b2?c2?a??b?c????(a,b,c?R,a?b?c時取等)33??

222?冪平均不等式：a1?a2?...?an?21(a1?a2?...?an)2 n

注：例如：(ac?bd)2?(a2?b2)(c2?d2).1111111常用不等式的放縮法：①???2???(n?2)

nn?1n(n?1)nn(n?1)n?1n

????n?1)

（2）柯西不等式： 若a1,a2,a3,?,an?R,b1,b2,b3?,bn?R;則

2222222（a1b1?a2b2?a3b3???anbn)2?(a1?a2?a3???an)(b12?b2?b3??bn)aaaa當且僅當1?2?3???n時取等號b1b2b3bn

（3）琴生不等式（特例）與凸函數(shù)、凹函數(shù)

若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f(x),對于定義域中任意兩點x1,x2(x1?x2),有

x1?x2f(x1)?f(x2)x?xf(x1)?f(x2))?或f(12)?.222

2則稱f(x)為凸（或凹）函數(shù).5.不等式證明的幾種常用方法

比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法.6.不等式的解法 f（（1）整式不等式的解法（一元一次不等式、一元二次不等式、一元高次不等式）根軸法：

步驟：正化，求根，標軸，穿線（奇穿偶回），定解.特例① 一元一次不等式ax>b解的討論；

2②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的討論.a?0????x1?x2???0????x1?x2?? ??a?0??0??????0??????

（2）分式不等式的解法：先移項通分標準化，則

?f(x)g(x)?0 f(x)f(x)?0?f(x)g(x)?0;?0??g(x)g(x)?g(x)?0

（3）無理不等式：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解

1?f(x)?0????定義域 ???g(x)?0??f(x)?g(x)?

?f(x)?0f(x)?0或??g(x)?02???f(x)?[g(x)] ○2f(x)?g(x)??g(x)?0?

?f(x)?03f(x)?g(x)?? ○?g(x)?02??f(x)?[g(x)]

（4）.指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式

af(x)?ag(x)(a?1)?f(x)?g(x);

（5）對數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式 af(x)?ag(x)(0?a?1)?f(x)?g(x)af(x)?b(a?0,b?0)?f(x)?lga?lgb

?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)(a?1)??g(x)?0;

?f(x)?g(x)??f(x)?0? logaf(x)?logag(x)(0?a?1)??g(x)?0?f(x)?g(x)?

（6）含絕對值不等式

1應用分類討論思想去絕對值；○2應用數(shù)形思想； ○

3應用化歸思想等價轉(zhuǎn)化 ○

g(x)?0|f(x)|?g(x)????g(x)?f(x)?g(x)? g(x)?0?|f(x)|?g(x)?g(x)?0(f(x),g(x)不同時為0)或??f(x)??g(x)或f(x)?g(x)

7、線性規(guī)劃

（1）線性目標函數(shù)問題

當目標函數(shù)是線性關(guān)系式如z?ax?by?c（b?0）時，可把目標函數(shù)變形為

az?cz?c，則可看作在在y軸上的截距，然后平移直線法是解決此類問題y??x?bbb的常用方法，通過比較目標函數(shù)與線性約束條件直線的斜率來尋找最優(yōu)解.一般步驟如下：

1.做出可行域;2.平移目標函數(shù)的直線系,根據(jù)斜率和截距,求出最優(yōu)解.（2）非線性目標函數(shù)問題的解法

當目標函數(shù)時非線性函數(shù)時，一般要借助目標函數(shù)的幾何意義，然后根據(jù)其幾何意義，數(shù)形結(jié)合，來求其最優(yōu)解。近年來，在高考中出現(xiàn)了求目標函數(shù)是非線性函數(shù)的范圍問題.這些問題主要考察的是等價轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,出題形式越來越靈活,對考生的能力要求越來越高.常見的有以下幾種：

比值問題：當目標函數(shù)形如z?y?a時,可把z看作是動點P(x,y)與定點Q(b,a)連線x?b

22的斜率，這樣目標函數(shù)的最值就轉(zhuǎn)化為PQ連線斜率的最值。距離問題：當目標函數(shù)形如z?(x?a)?(y?b)時,可把z看作是動點P(x,y)與定點

Q(a,b)距離的平方，這樣目標函數(shù)的最值就轉(zhuǎn)化為PQ距離平方的最值。

?x+y?0?2截距問題：例 不等式組?x?y?0表示的平面區(qū)域面積為81，則x?y的最小值為_____

?x?a?

?????????x?4y?3?0,OP?OA?的向量問題：例已知點P的坐標（x，y）滿足：?3x?5y?25,及A（2，0），則OA?x?1?0.?

最大值是.