第一篇：高中數(shù)學放縮法公式

“放縮法”證明不等式的基本策略

1、添加或舍棄一些正項（或負項）

例

1、已知an?2n?1(n?N*).求證：

k

n

2?

3?

a1a2

?

a2a3

?...?

anan?1?

(n?N).*

證明： ?

akak?

1?

2?12

k?1

?1

?

?

12(2

k?1

?1)

?

?

13.2?2?2

k

k

?

1211

.k,k?1,2,...,n, 32

?

a1a2n2

?

a2a3?

?...?

anan?1

?

n2

?

1111n11n1(?2?...?n)??(1?n)??, 322223223

n2

*

??

a1a2

?

a2a3

?...?

anan?1

?(n?N).若多項式中加上一些正的值，多項式的值變大，多項式中加上一些負的值，多項式的值變小。由于證明不等式的需要，有時需要舍去或添加一些項，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達到證明的目的。本題在放縮時就舍去了2k?2，從而是使和式得到化簡.2、先放縮再求和（或先求和再放縮）

例

2、函數(shù)f（x）=

4xx，求證：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+

2n?

11?

4nn

?

2(n?N)

*

.證明：由f(n)=

1?4

=1-

11?4

n

?1?

12?2

12?2

?1?12

n

12?2

n

得f（1）+f（2）+…+f（n）>1?

?n?

14(1?

12?14???

n?1

2?2

???1?)?n?

n?1

?(n?N)

*

.此題不等式左邊不易求和,此時根據(jù)不等式右邊特征, 先將分子變?yōu)槌?shù)，再對分母進行放縮，從而對左邊可以進行求和.若分子, 分母如果同時存在變量時, 要設(shè)法使其中之一變?yōu)槌Ａ?，分式的放縮對于分子分母均取正值的分式。如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可。

3、逐項放大或縮小

例

3、設(shè)an?證明：∵∴ n?

?2?2?3?

n

3?4???

?n

n(n?1)(n?1)

?an?n(n?1)求證2

2(n?

12)

n(n?1)?n(n?1)?

n(n?1)??

2n?12

2n?12，∴

n(n?1)2

?an?

(n?1)

∴ 1?2?3???n?an?

本題利用n?

?

1?3???(2n?1)

2n?

1，對an中每項都進行了放縮，從而得到可以求和的數(shù)列，達到化簡的目的。

4、固定一部分項，放縮另外的項；

例

4、求證：

1n

1?

2?

3???

1n

?

4證明：?

?

1n(n?1)

???

?

1n?1

?1?

?

1n

1n?1

1n

1n

??

?

n

?(?????)??(?)?.此題采用了從第三項開始拆項放縮的技巧，放縮拆項時，不一定從第一項開始，須根

據(jù)具體題型分別對待，即不能放的太寬，也不能縮的太窄，真正做到恰倒好處。

5、函數(shù)放縮

ln

2例5.求證：

?

ln3

3?

ln4

4???

ln33

n

n

?3?

1x

n

5n?66

ln2

(n?N)

ln33

*

.???

ln33

nn

解析:先構(gòu)造函數(shù)有

lnx?x?1?

lnxx

?1?,從而

??

ln44

?3?1?（n

?

???

n)

因為2

?

???

n

11??11??111111??

1????????????????n?n???n?

2?13? ?23??456789??2

n?1

?3n?19?3?33??9

??????????????2?3n?1?3n

6?69??1827???5n

???6?

n

5n?66

ln2

所以

?

ln33

?

ln44

???

ln33

n

n

?3?1?

n

5n6

?3?

6、裂項放縮

n

例6求證:k?1k

?

?

53.1n

?

1n?

4?

1??

1?2???

4n?1?2n?12n?1?

n

解析:因為,所以

?k

k?1

11?25?11

?1?2?????????1?

2n?12n?1?33?357、均值不等式放縮

例7.設(shè)

Sn?

?2?

2?3???

k

n(n?1).求證

n(n?1)

2?Sn?

(n?1)2

.解析: 此數(shù)列的通項為a

?k?

k(k?1)?

k?k?

1n(n?1)2

?k(k?1),k?1,2,?,n.n

n

?k?

12，??k?Sn?

k?1

?(k?

k?1

12)，n(n?1)

即

?Sn?

?

n2

?

(n?1)2

.ab?

a?b2

注：①應(yīng)注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式

n，若放成k(k?1)?k?1

則得

Sn?

?

k?1

(k?1)?

(n?1)(n?3)

?

(n?1)2，就放過“度”了！

②根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來選取所需要的重要不等式，這里

n1

1an

?

n

1?an?

a1???an

n

?

a1???an

n

a1

???

其中，n?2,3等的各式及其變式公式均可供選用。

8、二項放縮

n

?(1?1)

n

?Cn?Cn???Cn2n?Cn0?Cn?n?1

01n，2?C

n

n

?C

1n

?C

2n

?

n

?n?22

n

?n(n?1)(n?2)

第二篇：放縮法討論

不等式的證明——放縮法

學習目標：

1、感受在什么情況下，需要用放縮法證明不等式。

2、探索用放縮法證明不等式的理論依據(jù)和技巧。

放縮法：證明不等式時，通過把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡化不等式，從而達到證明的目的。

若是自然數(shù)，求證

1111?2?2???2?2.2123n

2k 111???,k?2,3,4,?,n.k(k?1)k?1k

常見方法：

1、分式放縮；

2、利用已知結(jié)論放縮；

3、裂項放縮；

4、先放縮后求和。

放縮法就是將不等式的一邊放大或縮小,尋找一個

中間量,如將A放大成C,即A?C,后證C?B.常用的放縮技巧有:

(1)舍掉(或加進)一些項;

(2)在分式中放大或縮小分子或分母;

(3)應(yīng)用基本不等式進行放縮.如

12312①(a?)??(a?);242 111112,2?,?, ②2?kk(k?1)kk(k?1)kk?k?1 2 1?(以上k?2且k?N?)kk?k?1

歸納延伸

1.放縮法證明不等式的理論依據(jù)主要有：

(1)不等式的傳遞性；

(2)等量加不等量為不等量；

(3)同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較．

2.常用的放縮技巧：

（1）對于分子分母均取正值的分式，（Ⅰ）如果分子不變，分母縮小（分母仍為正數(shù)），則分式的值放大；

（Ⅱ）如果分子不變，分母放大，則分式的值縮小。

（2）①舍掉(或加進)一些項；②在分式中放大或縮小分子或分母；③應(yīng)用均值不等式進行放縮．

第三篇：數(shù)學放縮法

放縮法的常見技巧（1）舍掉（或加進）一些項

（2）在分式中放大或縮小分子或分母。（3）應(yīng)用基本不等式放縮(例如均值不等式）。（4）應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性進行放縮（5）根據(jù)題目條件進行放縮。（6）構(gòu)造等比數(shù)列進行放縮。（7）構(gòu)造裂項條件進行放縮。

（8）利用函數(shù)切線、割線逼近進行放縮。

使用放縮法的注意事項（1）放縮的方向要一致。（2）放與縮要適度。

（3）很多時候只對數(shù)列的一部分進行放縮法，保留一些項不變（多為前幾項或后幾項）。（4）用放縮法證明極其簡單，然而，用放縮法證不等式，技巧性極強，稍有不慎，則會出現(xiàn)放縮失當?shù)默F(xiàn)象。所以對放縮法，只需要了解，不宜深入。

先介紹工具

柯西不等式（可以通過向量表示形式記住即摸摸大于向量乘積）

均值不等式

調(diào)和平均數(shù)≤幾何平均數(shù)≤算術(shù)平均數(shù)≤平方平均數(shù)

絕對值三角不等式

定理1：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b| 推論1：|a1＋a2＋a3|≤|a1|＋|a2|＋|a3| 此性質(zhì)可推廣為|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|． 推論2：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b| 定理2：如果a，b，c是實數(shù)，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當且僅當(a－b)(b－c)≥0時，等號成立．

常用放縮思想

這幾個務(wù)必牢記

不常見不常用的不等式

這幾個一般用不到，放的太大了，知道有印象就好了

下面就是常用思路了，主要就是裂項部分

當年apucng與V_First研究的題

二項平方和

f（x）=（a1x-b1）^2+（a2x-b2）^2+……(anx-bn)^2 由f（x）≥0可得△小于等于0

第四篇：高中數(shù)學-公式-直線

直線

1、沙爾公式：AB?xB?xA2、數(shù)軸上兩點間距離公式：AB?xB?xA3、直角坐標平面內(nèi)的兩點間距離公式：P1P2?

4、若點P分有向線段P1P2成定比λ，則λ=(x1?x2)2?(y1?y2)2P1P PP2

x?x1y?y1=； x2?xy2?y5、若點P1P2成定比λ，則：λ=1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，點P分有向線段P

x=x1??x2y??y2y=11??1??

?x1?x2?x3y1?y2?y3??。33??若A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，則△ABC的重心G的坐標是?

6、求直線斜率的定義式為k=tg?，兩點式為k=

7、直線方程的幾種形式：

點斜式：y?y0?k(x?x0)，斜截式：y?kx?b y2?y1。x2?x1

y?y1x?x1?，y2?y1x2?x1

xy截距式：??1 ab

一般式：Ax?By?C?0

經(jīng)過兩條直線l1：A1x?B1y?C1?0和l2：A2x?B2y?C2?0的交點的直線系方程是：A1x?B1y?C1??(A2x?B2y?C2)?0

k?k18、直線l1：y?k1x?b1，l2：y?k2x?b2，則從直線l1到直線l2的角θ滿足：tg??2 1?k1k2兩點式：

直線l1與l2的夾角θ滿足：tg??k2?k1 1?k1k2

直線l1：A1x?B1y?C1?0，l2：A2x?B2y?C2?0，則從直線l1到直線l2的角θ滿足：tg??AB?A2B1A1B2?A2B1；直線l1與l2的夾角θ滿足：tg??12 A1A2?B1B2A1A2?B1B2

Ax0?By0?C

A?B229、點P(x0,y0)到直線l：Ax?By?C?0的距離：d?

10、兩條平行直線l1：Ax?By?C1?0，l2：Ax?By?C2?0距離是d?C1?C2

22A?B11、直線:l1：A1x?B1y?C1?0與l2：A2x?B2y?C2?0垂直的充要條件是A1A2?B1B2?0.

第五篇：高中數(shù)學-公式-數(shù)列

數(shù)列

1、等差數(shù)列的通項公式是an?a1?(n?1)d，前n項和公式是：Sn?n(a1?an)1=na1?n(n?1)d。22.等差數(shù)列 ｛an｝ ?an?an?1?d(d為常數(shù)）?2an?an?1?an?1(n?2,n?N*)?an?an?b?Sn?An2?Bn。

?na1(q?1)?nn?

12、等比數(shù)列的通項公式是an?a1q，前n項和公式是：Sn??a1(1?q)(q?1)??1?q

2n-13.等比數(shù)列 ｛an}?an?an-1?an?1(n?2,n?N)?an?a1?q;

＊

4、當m+n=p+q=2t(m、n、p、q∈N)時，對等差數(shù)列｛an｝有：am?an?ap?aq?2at；對等比數(shù)列｛an｝

有：aman?apaq?at。

5、等差數(shù)列中, am=an+(n－m)d, d?am?an;等比數(shù)列中，an=amqn-m;q=n?m?n

{anbn}等也是等比數(shù)列。

7、設(shè)Sn表示數(shù)列前n項和；等差數(shù)列中有：Sn,S2n?Sn,S3n?S2n,??也是等差數(shù)列；在等比數(shù)列中，2an;am6、若{an}、{bn}是等差數(shù)列，則{kan?bbn}(k、b、a是非零常數(shù))是等差數(shù)列；若{an}、{bn}是等比數(shù)列，則｛kankan｝、Sn,S2n?Sn,S3n?S2n,??是等比數(shù)列。

8、等差(或等比)數(shù)列的“間隔相等的連續(xù)等長片斷和序列”(如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9…)仍是等差(或等比)數(shù)列；

9、等差數(shù)列中：a1?an?a2?an?1?a3?an?2??；

等比數(shù)列中：a1an?a2an?1?a3an?2??

10、對等差數(shù)列｛an｝,當項數(shù)為2n時，S偶?S奇?nd；項數(shù)為2n－1時，S奇?S偶?a中項(n∈N*)。

11、由Sn求an，an={S1(n?1)

*Sn?Sn?1(n?2,n?N)

一般已知條件中含an與Sn的關(guān)系的數(shù)列題均可考慮用上述公式；

12、首項為正(或為負)的遞減(或遞增)的等差數(shù)列前n項和的最大(或最小)問題，轉(zhuǎn)化為解不等式?an?0??an?0?解決； ?或?????a?0a?0?n?1??n?1? 注意驗證a1是否包含在后面an 的公式中，若不符合要單獨列出。

13、熟記等差、等比數(shù)列的定義，通項公式，前n項和公式，在用等比數(shù)列前n項和公式時，勿忘分類討論思想；

14、若一階線性遞歸數(shù)列an=kan－1+b(k≠0,k≠1),則總可以將其改寫變形成如下形

式:an?b?k(an?1?b)(n≥2)，于是可依據(jù)等比數(shù)列的定義求出其通項公式； k?1k?115、當?shù)缺葦?shù)列?an?的公比q滿足q<1時，limSn=S=

n??a1。一般地，如果無窮數(shù)列?an?的前n項和的極限n??1?qlimSn存在，就把這個極限稱為這個數(shù)列的各項和(或所有項的和)，用S表示，即S=limSn。n??