第一篇：初中數(shù)學教案：不等式和它的基本性質(2003.8)

不等式和它的基本性質

不等式和它的基本性質

現(xiàn)實世界中的同類量之間，有相等關系，也有不等關系。我們知道，相等關系可以用等式來表示，不等關系怎樣來表示呢？我們來看下面的式子：

－7＜－5，3＋4＞1＋4，5＋3≠12－5，a≠0，a＋2＞a＋1，x＋3＜6

這些式子含有不等號“＜”“＞”，“≠”，像上面用不等號表示不等關系的式子，叫不等式。

我們再來看上面的最后一個不等式x＋3＜6，請同學們研究何時這個不等式成立？ 練習：

1、用小于號“＜”或大于號“＞”填空:

(1)4－6(2)－10(3)–8－3(4)–4.5－4

2.用小于號“＜”或大于號“＞”填空:

(1)7＋34＋3(2)7＋(－3)4＋(－3)

(3)7×34×3(4)7×(－3)4×(－3)

3.用不等式表示:

(1)a是正數(shù);(2)a是負數(shù)

(3)a與6的和大于5;(4)x與2的差小于－1

(5)a的4倍大于7(6)y的一半小于3

一般地說,不等式有下面三條性質:

不等式的基本性質1不等式兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)或同一個整式,不等號的方向不變.不等式的基本性質1不等式兩邊都乘以(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變.不等式的基本性質1不等式兩邊都乘以(或除以)同一個負數(shù),不等號的方向改變.例1.根據(jù)不等式的基本性質,把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式:

(1)x－2＜3(2)6x＜5x－1(3)2x＞5(4)–4x＞3.例2.設a＞b,用“＜”或”＞”號填空:

(1)a－3b－3(2)2a2b(3)–4a－4b

練習:

1.解下列不等式,并把它們的解集在樹軸上表示出來:

(1)5x＞－10(2)－3x＋12＜0

(3)x3＞3;(4)?x＜－3 25

(5)8x－1＞6x＋5(6)3x－5＜1＋5x

(7)3(2x＋5)＞2(4x＋3)(8)10－4(x－3)＜2(x－1)

第二篇：不等式和它的基本性質 教學設計方案

、素質教育目標(一)知識教學點1.使學生理解掌握不等式的三條基本性質，尤其是不等式的基本性質3.2.靈活運用不等式的基本性質進行不等式形.(二)能力訓練點培養(yǎng)學生運用類比方法觀察、分析、解決問題的能力及歸納總結概括的能力.(三)德育滲透點培養(yǎng)學生積極主動的參與意識和勇敢嘗試、探索的精神.(四)美育滲透點通過不等式基本性質的學習，滲透不等式所具有的內在同解變形的數(shù)學美，激發(fā)學生探究數(shù)學美的興趣與激情，從而陶治學生的數(shù)學情操。

二、學法引導1.教學方法：觀察法、探究法、嘗試指導法、討論法.2.學生學法：通過觀察、分析、討論，引導學生歸納小結出不等式的三條基本性質，從具體下升到理論，再由理論指導具體的練習，從而強化學生對知識的理解與掌握.三、重點難點疑點及解決辦法(一)重點掌握不等式的三條基本性質，尤其是不等式的基本性質3.(二)難點正確應用不等式的三條基本性質進行不等式變形.(三)疑點弄不清不等號方向不變與所得結果仍是不等式之間的關系是學生學習的疑點.(四)解決辦法講清不等式的基本性質與等式的基本性質之間的區(qū)別與聯(lián)系是教好本節(jié)內容的關鍵.四、課時安排一課時

五、教具學具準備投影儀或電腦、自制膠片.六、師生互動活動設計1.通過設計的一組比較大小問題，讓學生觀察并歸納出不等式的三條基本性質.2.通過教師的講解及學生的質疑，讓學生在與等式性質的對比中更加深入、準確地理解不等式的三條基本性質.3.通過教師的板書及學生的互動練習，體現(xiàn)出以學生為主體，教師為主導的教學模式能更好地對學生實施素質教育.七、教學步驟(-)明確目標本節(jié)課主要學習不等式的三條基本性質并能熟練地加以應用.(二)整體感知通過具體的事例觀察并歸納出不等式的三條基本性質，再反復比較三條性質的異同，從而尋找出在實際應用某條性質時應注意的使用條件，同時注意將不等式的三條基本性質與等式的基本性質1、2進行比較：相同點為不管是對等式還是不等式，都可以在它的兩邊同加(或減)同一個數(shù)或同一個整式.不同點是對于等式來說，在等式的兩邊乘以(或除以)同一個正數(shù)(或同一個負數(shù))的情況下等式仍然對立.但對于不等式來說，卻不一樣，在用同一個正數(shù)去乘(或除)不等式兩邊時，不等號方向不變;而在用同一個負數(shù)去乘(或除)不等式兩邊時，不等號要改變方向.這是在不等式變形時應特別注意的地方.(三)教學過程1.創(chuàng)設情境，復習引入什么是等式?等式的基本性質是什么?學生活動：獨立思考，指名回答.教師活動：注意強調等式兩邊都乘以或除以(除數(shù)不為0)同一個數(shù)，所得結果仍是等式.請同學們繼續(xù)觀察習題：(1)用或填空.①7+3____4+3 ②7+(-3)____4+(-3)③73____43 ④7(-3)____4(-3)(2)上述不等式中哪題的不等號與74一致?學生活動：觀察思考，兩個(或幾個)學生回答問題，由其他學生判斷正誤.【教法說明】設置上述習題是為了溫故而知新，為學習本節(jié)內容提供必要的知識準備.不等式有哪些基本性質呢?研究時要與等式的性質進行對比，大家知道，等式兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)或同一個整式，所得結果仍是等式(實質是移項法則)，請同學們觀察①②題，并猜想出不等式的性質.學生活動：觀察思考，猜想出不等式的性質.教師活動：及時糾正學生敘述中出現(xiàn)的問題，特別強調指出：仍是不等式包括兩種情況，說法不確切，一定要改為不等號的方向不變或者不等號的方向改變.師生活動：師生共同敘述不等式的性質，同時教師板書.不等式基本性質1 不等式兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變.對比等式兩邊都乘(或除以)同一個數(shù)的性質(強調所乘的數(shù)可正、可負、也可為0)請大家思考，不等式類似的性質會怎樣?學生活動：觀察③④題，并將題中的3換成5，-3換成一5，按題的要求再做一遍，并猜想討論出結論.【教法說明】觀察時，引導學生注意不等號的方向，用彩色粉筆標出來，并設疑原因何在?兩邊都乘(或除以)同一個負數(shù)呢?0呢?為什么?師生活動：由學生概括總結不等式的其他性質，同時教師板書.不等式基本性質2 不等式兩邊都乘(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變.不等式基本性質3 不等式兩邊都乘(或除以)同一個負數(shù)，不等號的方向改變.師生活動：將不等式-26兩邊都加上7，-9，兩邊都乘3，-3試一試，進一步驗證上面得出的三條結論.學生活動：看課本第57～58頁有關不等式性質的敘述，理解字句并默記.強調：要特別注意不等式基本性質3.實質：不等式的三條基本性質實質上是對不等式兩邊進行+、-、、四則運算，當進行+、-法時，不等號方向不變;當乘(或除以)同一個正數(shù)時，不等號方向不變;只有當乘(或除以)同一個負數(shù)時，不等號的方向才改變.不等式的基本性質與等式的基本性質有哪些區(qū)別、聯(lián)系?學生活動：思考、同桌討論.歸納：只有乘(或除以)負數(shù)時不同，此外都類似.下面嘗試用數(shù)學式子表示不等式的三條基本性質.①若，則②若，且，則，;③若，且，則，.師生活動：學生思考出答案，教師訂正，并強調不等式性質3的應用.注意：不等式除了上述性質外，還有以下性質：①若，則.②若，且，則，這些先不要向學生說明.2.嘗試反饋，鞏固知識請學生先根據(jù)自己的理解，解答下面習題.例1 根據(jù)不等式的基本性質，把下列不等式化成 或 的形式.(1)(2)(3)(4)學生活動：學生獨立思考完成，然后一個(或幾個)學生回答結果.教師板書(1)(2)題解題過程.(3)(4)題由學生在練習本上完成，指定兩個學生板演，然后師生共同判斷板演是否正確.解：(l)根據(jù)不等式基本性質1，不等式的兩邊都加上2，不等號的方向不變.所以(2)根據(jù)不等式基本性質1，兩邊都減去，得(3)根據(jù)不等式基本性質2，兩邊都乘以2，得(4)根據(jù)不等式基本性質3，兩邊都除以-4得【教法說明】解題時要引導學生與解一元一次方程的思路進行對比，并將原題與 或 對照，看用哪條性質能達到題目要求，要強調每步的理論依據(jù)，尤其要注意不等式基本性質3與基本性質2的區(qū)別，解題時書寫要規(guī)范.例2 設，用或填空.(1)(2)(3)學生活動：在練習本上完成例2，由3個學生板演完成后，其他學生判斷板演是否正確，最后與書中正確解題格式對照.解：(1)因為，兩邊都減去3，由不等式性質1，得(2)因為，且20，由不等式性質2，得(3)因為，且-40，由不等式性質3，得教師活動：巡視輔導，了解學生作題的實際情況，及時給予糾正或鼓勵.注意問題：例2(3)是根據(jù)不等式性質3，不等號方向應改變.這是學生做題時易出錯誤之處.【教法說明】要讓學生明白推理要有依據(jù)，以后作類似的練習時，都寫出根據(jù)，逐步培養(yǎng)學生的邏輯思維能力.3.變式訓練，培養(yǎng)能力(1)用或在橫線上填空，并在題后括號內填寫理由.(不等式基本性質1，2，3分別用A、B、C表示.)①∵()②∵()③∵()④∵()⑤∵ ⑥∵()學生活動：此練習以學生搶答方式完成，目的是訓練學生思維能力，表達能力，烘托學習氣氛.答案：①(A)②(B)③(C)④(C)⑤(C)⑥(A)【教法說明】做此練習題時，應啟發(fā)學生將所做習題與題中已知條件進行對比，觀察它們是應用不等式的哪條性質，是怎樣由已知變形得到的.注意應用不等式性質3時，不等號要改變方向.(2)單項選擇：①由 得到 的條件是()A.B.C.D.②由由 得到 的條件是()A.B.C.D.③由 得到 的條件是()A.B.C.D.是任意有理數(shù)④若，則下列各式中錯誤的是()A.B.C.D.師生活動：教師選出答案，學生判斷正誤并說明理由.答案：①A ②D ③C ④D(3)判斷正誤，正確的打，錯誤的打①∵()②∵()③∵()④若，則，()學生活動：一名學生說出答案，其他學生判斷正誤.答案：① ② ③ ④【教法說明】以多種形式處理習題可以激發(fā)學生學習熱情，提高課堂效率;(2)練習第③④題易出錯，教師應講清楚.(四)總結、擴展1.本節(jié)重點：(1)掌握不等式的三條基本性質，尤其是性質3.(2)能正確應用性質對不等式進行變形.2.注意事項：(1)要反復對比不等式性質與等式性質的異同點.(2)當不等式兩邊同乘(或除以)同一個數(shù)時，一定要看清是正數(shù)還是負數(shù)，對于未給定范圍的字母，應分情況討論.3.考點剖析：不等式的基本性質是歷屆中考中的重要考點，常見題型是選擇題和填空題.八、布置作業(yè)(一)必做題：P61 A組4，5.(二)選做題：P62 B組1，2，3.參考答案(一)4.(1)(2)(3)(4)5.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(二)1.(1)(2)(3)2.(1)(2)(3)(4)3.(1)(2)(3)

九、板書設計6.1 不等式和它的基本性質(二)

一、不等式的基本性質1.不等式兩邊都加上或減去同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變.若，則，.2.不等式兩邊都乘(或除以)同一個正數(shù)，不等號方向不變，若，則.3.不等式兩邊都乘(或除以)同一個負數(shù)，不等號方向改變，若，則.二、應用例1 解(1)(2)(3)(4)例2 解(1)(2)(3)

三、小結注意不等式性質3的應用.十、背景知識與課外閱讀盒子里有紅、白、黑三種球，若白球的個數(shù)不少于黑球的一半，且不多于紅球的，又白球和黑球的和至少是55，問盒中紅球的個數(shù)最少是多少個?

第三篇：不等式和它的基本性質1教案

不等式和它的基本性質

（一）教學目標：1．了解不等式的意義，掌握不等式的基本性質，并能正確運用它們將不等式變形；

2．提高學生觀察、比較、歸納的能力，滲透類比的思維方法；

重、難點：掌握不等式的基本性質并能正確運用它們將不等式變形。教

法：嘗試、討論、引導、總結 教

具：投影儀 教學內容及程序：

一、前提測評

1．前邊，我們已學習了等式和它的基本性質。請同學們思考并回答下列問題。2．由“等式表示相等關系”，教師問：在現(xiàn)實生活中，同種量間有沒有不等的關系呢？（如身高與身高、面積與面積等）請學生舉一些實例。

3．這節(jié)課，我們就來認識表示不等式關系的式子，并研究它的性質。（板書：不等式和它的基本性質）

二、達標導學

我們先來認識不等式。（板書：“1.不等式的意義”）1． 教師出示下列式子（板書）：

-7<-5 ，3+4>1+4 ，5+31≠2-5 ，a≠0 ，a+2>a+1 ，x+3<6。學生觀察上面式子時，教師問：哪位同學能由等式的意義，說說“什么叫做不等式？”（對學生的回答作以修正并板書：“不等式的意義：用不等號表示不等關系的式子，叫做不等式”。）

2． 例

1、用不等式表示：

①a是負數(shù)；

② x的6倍減去3大于10；③ y的1與6的差小于1 ④ x與2的和是非負數(shù)；

⑤ x的2倍與y的一半的差不大于1 3． 練習：P56 練習1、2、3 4． 學生做了課本第56頁練習后，教師：本章我們主要研究含有未知數(shù)的不等式，如x+3<6。對于“x+3<6”中，當x取某些數(shù)值（-

1、0、??）時，不等式成立；當x取另外一些數(shù)值（如3、6、??）時，不等式不成立。與前面學過的方程類似，使不等式成立的數(shù)，我們說它是不等式的解，反之，使不等式不成立的數(shù)，我們說它不是不等式的解。完成課本上P56想一想 5． 練習：P57 練習4 ▲下面，我們研究不等式的基本性質。（板書：“2.不等式的基本性質“）1．引導發(fā)現(xiàn)

教師引導學生回憶等式的基本性質（教師敘述）為促使類比，教師說明；“等式”和“不等式”都是表示同種量間的數(shù)量關系。并提

出問題：不等式作類似變形后，所得結果左、右兩邊的不等式關系會不會發(fā)生變化呢？

學生討論3-5分鐘。教師視學生討論情況可再做適當引導。討論結果：有時兩邊大小關系不變，有時兩邊大小關系改變了。

6． 實例探究

不等式在作上述哪種變形時，兩邊大小關系不變或兩邊大小關系改變呢？

將學生分組，對下列不等式作：①兩邊都加上（減去）同一個數(shù)；②兩邊都乘以（除以）同一個正數(shù)；③兩邊都乘以（除以）同一個負數(shù)，這三種變形。

A組：7>4

B組-3<5；

C組-4>-5；

D組-2<-1。

變形教師了解各組學生變形的結果，引導歸納：“不等式的三條基本性質”（板書）。3．強化認識

①學生再作“對數(shù)字不等式”的第三種變形即給兩邊都乘以（除以）一個負數(shù)。②口答：判斷：

①∵3>2

∴-3>-2

（）

②∵-1<2

∴1<-2

（）

③∵?1x?0

∴x>0

（）2④∵-a<-3

∴a<3

（）

三、達標檢測(另附紙)

四、評價總結：

五、作業(yè)：

P12 A1－

3B1

六、教后感

第四篇：初中不等式數(shù)學教案

興義民族師范學院

2012屆畢業(yè)生

摸擬實習教案

姓 名：馬 澤

院 系：數(shù) 學 系

專 業(yè)：數(shù) 學 教 育

學 號：200930412031 指導教師：黃 激 珊

時間：2011年12月18日

第九章

不等式與不等式組

9.1

不等式

第一課時

9.1.1

不等式及其解集

教學目標：讓同學們理解不等式及其解集的概念和表示方

法，同時對一元一次不等式的理解。

教學重點：不等式的表示方法和不等式解集的表示形式。教學難點：在實際應用中不等式所滿足的條件及其解集的表

示。

教學用具：直尺。

復習導入：復習一元一次方程。教學過程：

一、提出問題：

一輛勻速行駛的汽車在11:20距離A地50千米，要在12:00之前駛過A 地，車速應滿足什么條件？

二、分析問題：

解：設車速是x千米/時。

從時間上看，汽車要在12:00之前駛過?地，則以2502這個速度行駛50千米所用的時間不到小時，即? ①3x3 從路程上看，汽車要在12:00之前駛過?地，則以22x這個速度行駛小時的路程要超過50千米，即?50 ②33

式子?和?從不同的角度表示了車速應滿足的條件。

三、歸納定義：

1、不等式：像?和?這樣用符號“<”或“>”表示大小關系的式子，叫做不等式。

但是，像a+2?a-2這樣用符號“?”表示不等關系的式子也是不等式。這是同學們應該注意的。注意：（1）不含未知數(shù)的不等式 例如：3?4，-1?-2??????（2）含有未知數(shù)的不等式5022x 例如：?,?50??????x33（3）怎樣才能明確未知數(shù)滿足的條件呢？2x 例如：?5032x 當x?78時，?50;32x 當x?75時，?50;32x 當x?72時，?50.3

2x對上面的問題而言，當x取某些值（如78）時，不等式?50成立；32x當x取某些值（如75,72）時，不等式?50不成立。3

2、不等式的解：與方程類似，我們把不等式成立的未知數(shù)的值叫 做不等式的解。2x2x 例如：78是不等式?50的解，而75和72不是不等式?50的解.33

2x思考：判斷下列數(shù)中哪些是不等式?50的解？376，79,73，80,74.2,75,90,63

你還能最找出這個不等式的其他解嗎？這個不等式有多少個解？2x從以上的思考可以發(fā)現(xiàn)，當x=75時，不等式?50成立，而當x?7532x或x=75時，不等式?50不成立。3

這就是說：任何一個大于75的數(shù)都是不等式2x?50的解，這樣的解有無數(shù)個。

33、解的集合：能使不等式成立的x的取值范圍，叫做不等式的解的集合，簡稱解集。

2x例如：?50的解集表示為：x?75.這個解集還可以用數(shù)軸來表示：3

圖9.1-1 ?原點?①數(shù)軸?正方向 ② 實數(shù)與點一一對應?單位長度?

用數(shù)軸來表示解集應注意得到問題：

（1）在表示75的點上畫空心圓圈，表示不包含這一點。

（2）若畫的是實點，則包含這個點。如x≥3 4

圖9.1-2

(3)一般地，一個含有未知數(shù)的不等式的所有的解，組成這個不等式的解集。

（4）求不等式的解集的過程叫做解不等式。

4、一元一次不等式：類似于一元一次方程，含有一個未知

數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式叫做一元一次不等式。

2x例如：?50是一個一元一次不等式。3 同學們還能舉出一些一元一次不等式的例子嗎？250?,7x?14,2x?42??????3x250注意：?中的x在分母位置，這個不等式不是一元一次不等式。3x

四、練習訓練：

1、下列數(shù)值哪些是不等式x+3>6的解？哪些不是？-4，-2.5,0,1,2.5,3,3.2,4.8,8,9,12,16.2、用不等式表示：

（1）a是正數(shù)；

（2）a是負數(shù)；

（3）a與5的和小于7；

（4）a與2的差大于-1；（5）a的4倍大于8；

（6）a的一半小于3；

3、直接求出不等式的解集：

（1）x+3>6；(2)2x<8；(3)x-2>0.五、回顧總結：

1、不等式 ? 不等式的解 ? 解的集合 ? 表示方法（數(shù)軸）

2、一元一次不等式；理解概念。

六、作業(yè)布置：

1、下列數(shù)值中哪些是不等式2x+3>9的解？哪些不是？-4，-2，0,1,3,3.02,4,6,50,58,100.2、用不等式表示：（1）a與5的和是正數(shù)；（2）a與2的差是負數(shù)；（3）b與15的和小于27；（4）b與12的差大于-5；（5）c的4倍大于或等于8；（6）c的一半小于或等于3；（7）d與e的和不小于0；（8）d與e的差不大于-2.3、寫出不等式的解集：（1）x+2>6；（2）2x<10；（3）x-2>0.1；（4）-3x<10.7

第五篇：數(shù)學教案【不等式的性質及證明】

一、教學內容：不等式性質及證明．

二、教學目標：

1.了解現(xiàn)實世界和日常生活中的不等關系，了解不等式（組）的實際背景． 2.理解不等式的性質，掌握不等式證明的基本方法．

三、重點難點：

1.了解不等式的有關概念及其分類，掌握不等式的性質及其應用，明確各個性質中結論成立的前提條件．

2.利用不等式性質的基本性質進行簡單的推理及證明，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力及分析問題、解決問題的能力．

四、教學過程：

（一）知識要點

1、不等式的基本性質

（1）對于任意兩個實數(shù)a、b，都有

a?b?a?b?0； a?b?a?b?0； a?b?a?b?0．

（2）比較兩實數(shù)a、b大小的方法——求差比較法，即通過判斷它們的差a?b的符號來判斷a、b的大小．

2、不等式的性質定理

定理1：若a?b，則b?a；若b?a，則a?b．即a?b?b?a． 說明：把不等式的左邊和右邊交換，所得不等式與原不等式異向，稱為不等式的對稱性． 定理2：若a?b，且b?c，則a?c．

說明：此定理證明的主要依據(jù)是實數(shù)運算的符號法則及兩正數(shù)之和仍是正數(shù)；定理2稱不等式的傳遞性．

定理3：若a?b，則a?c?b?c．

說明：① 不等式的兩邊都加上同一個實數(shù)，所得不等式與原不等式同向； ② 定理3的證明相當于比較a?c與b?c的大小，采用的是求差比較法； ③ 定理3的逆命題也成立；

④ 不等式中任何一項改變符號后，可以把它從一邊移到另一邊． 定理3推論：若a?b，且c?d，則a?c?b?d．

說明：① 推論的證明連續(xù)兩次運用定理3然后由定理2證出；

② 這一推論可以推廣到任意有限個同向不等式兩邊分別相加，即：兩個或者更多個同向不等式兩邊分別相加，所得不等式與原不等式同向；

③ 同向不等式：兩個不等號方向相同的不等式；異向不等式：兩個不等號方向相反的不等式．

定理4：如果a?b且c?0，那么ac?bc；如果a?b且c?0，那么ac?bc． 推論1：如果a?b?0且c?d?0，那么ac?bd．

說明：① 不等式兩端乘以同一個正數(shù)，不等號方向不變；乘以同一個負數(shù)，不等號方向改變；

② 兩邊都是正數(shù)的同向不等式的兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向；

③ 推論1可以推廣到任意有限個兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘．這就是說，兩個或者更多個兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向．

nn推論2：如果a?b?0，那么a?b(n?N且n?1)．

定理5：如果a?b?0，那么na?nb(n?N且n?1)． 例題1 對于實數(shù)a、b、c，判斷下列命題的真假．

（1）若a?b，則ac?bc；

（2）若a?b，則ac?bc；（3）若ac?bc，則a?b；

（4）若a?b?0，則a?ab?b；（5）若a?b?0，則22222211ba?；

（6）若a?b?0，則?． ababcc?． ab◆應用Ⅰ 證明簡單的不等式

例題2.1 已知a?b?0，c?0，求證：

應用練習設a、b是非零實數(shù)；若a?b，則下列不等式成立的是（）A.a?b

B.ab?ab

C.◆應用Ⅱ 判斷命題的真假

例題2.2 對于任意實數(shù)a、b、c，在下列命題中，真命題是（）A.“ac?bc”是“a?b”的必要條件 B.“ac?bc”是“a?b”的必要條件 C.“ac?bc”是“a?b”的充分條件 D.“ac?bc”是“a?b”的充分條件

應用練習已知a，b，c，d為實數(shù)，且c?d，則“a?b”是“a?c?b?d”的（）A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件 C.充要條件

D.既不充分也不必要條件 ◆應用Ⅲ 比較實數(shù)的大小 222211ba

D.??

ab2a2bab1122、、a、b的大小關系． ab11112222提示：首先利用a、b是正數(shù)，、是負數(shù)，再分別去比較a、b、、的大?。?/p>

abab例題2.3 若?1?a?b?0，試比較

應用練習已知a?0，且a?1，m?n?0，比較A?a?

◆應用Ⅳ 求取值范圍問題 例題2.4 已知?

m11n和的大小． B?a?mnaa?2??????2，求

???2的范圍．

??1?????1應用練習若?、?滿足?，試求??3?的取值范圍．

1???2??3?提示：可將??3?用???，??2?表示出來，問題可得解． 3．證明不等式的基本方法（1）比較法

比較法證明不等式的一般步驟：作差—變形—判斷—結論；為了判斷作差后的符號，有時要把這個差變形為一個常數(shù)，或者變形為一個常數(shù)與一個或幾個平方和的形式，也可變形為幾個因式的積的形式，以便判斷其正負．

以上介紹的是差值比較法，用比較法證不等式還可采取商值比較法，即左、右兩邊作商判斷商值與1的大?。?）綜合法

利用某些已經證明過的不等式（例如算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理）和不等式的性質，推導出所要證明的不等式，這個證明方法叫綜合法；利用某些已經證明過的不等式和不等式的性質時要注意它們各自成立的條件．

綜合法證明不等式的邏輯關系是：A?B1?B2???Bn?B，及從已知條件A出發(fā)，逐步推演不等式成立的必要條件，推導出所要證明的結論B．（3）分析法

證明不等式時，有時可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉化為判定這些充分條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些充分條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫做分析法．

分析法是從求證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉化為判定這些充分條件是否具備的問題，即“執(zhí)果索因”．

例題3.1已知a,b?R，求證：ab?ab．

分析：本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進行．

〖練習〗若實數(shù)x?1，求證：3(1?x?x)?(1?x?x)．

例題3.2 已知a，b，m都是正數(shù)，并且a?b．求證：

應用練習證明：(a?b)(c?d)?(ac?bd)．

（1）

變式訓練 證明函數(shù)f(x)?

應用練習證明函數(shù)y?2

x2?4x?3?abba2422a?ma（1）?．

b?mb222221在其定義域上是減函數(shù)．

x?x在[2,??)上是增函數(shù)． 五．課堂小結：

1．不等式的概念和性質式本章的基礎，是證明不等式和解不等式的主要依據(jù)，復習時要高度重視．對每一條性質，要弄清條件和結論，注意條件加強和放寬后，條件和結論之間發(fā)生的變化；記住不等式運算法則的結論形式，掌握運算法則的條件，避免由于忽略某些限制條件而造成解題失誤．掌握證明不等式性質的方法，可以進一步提高邏輯推理能力．

2．不等式證明常用的方法有：比較法、綜合法和分析法，它們是證明不等式的最基本的方法．

（1）比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細敘述：如果作差以后的式子可以整理為關于某一個變量的二次式，則考慮用判別式法證；

（2）綜合法是由因導果，而分析法是執(zhí)果索因，兩法相互轉換，互相滲透，互為前提，充分運用這一辯證關系，可以增加解題思路，開擴視野．

3．不等式證明還有一些常用的方法：換元法、放縮法、反證法、函數(shù)單調性法、判別式法、數(shù)形結合法等．換元法主要有三角代換，均值代換兩種，在應用換元法時，要注意代換的等價性．放縮性是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮要有的放矢，目標可以從要證的結論中考查．有些不等式，從正面證如果不易說清楚，可以考慮反證法．凡是含有“至少”、“惟一”或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法．

證明不等式時，要依據(jù)題設、題目的特點和內在聯(lián)系，選擇適當?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應的步驟、技巧和語言特點．

4．利用性質求數(shù)（式）的取值范圍的方法

應用不等式的性質求多個變量線性組合的范圍，由于變量間彼此相互制約，在“取等”的條件上會有所不同，故解此類題目要特別小心．一般來說，可采用整體換元或待定系數(shù)法．

例如，已知?1?x?y?4且2?x?y?3，則z?2x?3y的取值范圍是__________．（答案用區(qū)間表示）

方法一：設2x?3y?s(x?y)?t(x?y)，通過對比系數(shù)求出s、t的值． 方法二：畫出???1?x?y?4的可行域為ABCD，z?(3,8)的最優(yōu)解為A、C兩點．

?2?x?y?3 4