第一篇：例談分式不等式的證明

例談分式不等式的證明

鄧超（福建省福州市第十八中學(xué)350001）

不等式的證明是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，我們遇到的大多數(shù)不等式都是以分式不等式的形式出現(xiàn)的，這就更令人頭疼。事實(shí)上，分式不等式的證明還是有一定規(guī)律可尋的，下文將做一簡(jiǎn)單介紹。

一、利用證明不等式的常用方法

對(duì)于一些不太復(fù)雜的分式不等式，直接采用分析法、綜合法、比較法等常用的不等式證明方法即可。

111???1。1?2a1?2b1?2c

111證明：要證原式只要證(??)?(1?2a)(1?2b)(1?2c)?(1?2a)(1?2b)(1?2c)，1?2a1?2b1?2c例

1、設(shè)a,b,c?R，且abc?1，求證：?

即證：(1?2b)(1?2c)?(1?2a)(1?2c)?(1?2a)(1?2b)?(1?2a)(1?2b)(1?2c)，即證（展開(kāi)整理）：a?b?c?3（其中使用了abc?1），而由均值不等式得a?b?c??3，故原不等式成立。

例

2、（數(shù)學(xué)教學(xué)問(wèn)題788）已知a,b,c?R，且a?b?c?1，求證： ?

abc9??? a?bcb?cac?ab

4證明：注意到：a?bc?1?b?c?bc?(1?b)(1?c)，b?ca?1?a?c?ac?(1?c)(1?a)c?ab?1?a?b?ab(?1，故原不等式可化為： ?)a(1?b)

a?(1?b)(?1c)b?(1c)?(a1c9)?a(1?b)(1)4

a?a2?b?b2?c?c29?，要證此式只要證（通分即可）：(1?a)(1?b)(1?c)4

1?a2?b2?c29?（其中使用了a?b?c?1）即證：，(1?a)(1?b)(1?c)4

只要證：4(1?a?b?c)?9(1?a)(1?b)(1?c)，（(1?a)(1?b)(1?c)?0）

即證（展開(kāi)整理）：ac?bc?ca?9abc?0

（此處用到(a?b?c)?a?b+c?2ab?2bc?2ca和a?b?c?1），只要證

2222222111，???9（上式同除abc）abc

事實(shí)上，由柯西不等式得：

11111

1???(??)(a?b?c)?9，故原不等式成立。abcabc

注：此不等式的證明采用了分析法，沒(méi)用太多的技巧，關(guān)鍵的一步是能夠看出原不等式可化為（1）

式，這將大大簡(jiǎn)化計(jì)算；否則要證明一個(gè)6次的不等式，這將大大增加計(jì)算。

二、利用重要不等式

1、利用排序不等式

分式不等式中有不少是對(duì)稱(chēng)的（即各個(gè)未知元的地位平等），因此我們往往可以利用“不妨設(shè)”創(chuàng)造出排序不等式所需的條件，然后利用這一重要不等式給出證明，如例3。當(dāng)然并不是說(shuō)排序不等式只能證明對(duì)稱(chēng)不等式，這在例4中將會(huì)看到。

例

3、（數(shù)學(xué)通報(bào)問(wèn)題1651）設(shè)x、y、z是正數(shù)，n?N，求證：

?

xyz

3。???

nx?y?zx?ny?zx?y?nzn?

2證明：因?yàn)榇瞬坏仁绞菍?duì)稱(chēng)的，故不妨設(shè)x?y?z，則nx?y?z?x?ny?z?x?y?nz，所以

1。至此條件創(chuàng)造完畢，可以利用排序不等式了。??

x?y?nzx?ny?znx?y?z

xyzyzx

（反序和小等于亂序?????

nx?y?zx?ny?zx?y?nznx?y?zx?ny?zx?y?nz

因?yàn)?/p>

和）（1）

xyzzxy

（反序和小等于亂序和）?????

nx?y?zx?ny?zx?y?nznx?y?zx?ny?zx?y?nz

（2）所以(n?2）?（xyz

??）

nx?y?zx?ny?zx?y?nz

=（n

xyzxyz

??）+2（??）

nx?y?zx?ny?zx?y?nznx?y?zx?ny?zx?y?nz

nxnynzyzx

??）+（??）

nx?y?zx?ny?zx?y?nznx?y?zx?ny?zx?y?nz

zxynx?y?zny?z?xnz?x?y+(??)???=3nx?y?zx?ny?zx?y?nznx?y?zx?ny?zx?y?nz?（故原不等式成立。

注：此題供題者所給的證明采用了換元的方法，有興趣的讀者可參見(jiàn)數(shù)學(xué)通報(bào)2007年第2期。當(dāng)n?0時(shí)，不等號(hào)應(yīng)反向，即有同的特例。

xyz3

???，請(qǐng)讀者自證。另外，當(dāng)n取不同值時(shí)可得到不y?zx?zx?y2

222

anana12a2?1

????????a1?a2?????an。例

4、設(shè)ai（1?i?n）是正數(shù)，求證：

a2a3ana

1證明：將ai（1?i?n）重小到大排列，設(shè)

aj1?aj2?aj3?????ajn?1?ajn

成立

11111????????（1?ji?n,ji?N，ji各不相同），則

ajnajn?1aj3aj2aj1

可以利用排序不等式了。

222222

2aaaaanaa12a2jjnjj?1nn?112

???????????????所以

a2a3ana1aj1aj2ajn?1ajn

。至此條件創(chuàng)造完畢，（亂序和大等于反序和），又因?yàn)?/p>

a2j1aj1

?

a2j2aj2

?????

a2jn?1ajn?1

?

a2jnajn

?aj1?aj2?????ajn?1?ajn?a1?a2?????an，故原不等式成立。

注：此題亦可用柯西不等式和均值不等式證明，請(qǐng)讀者參考下面的例子。

2、利用柯西不等式 對(duì)于分式不等式

?x

i?1n

n

i

?A，可在不等式左邊乘上一個(gè)因式?xi'2，這里要保證xixi'為整式，i?

12n

'

2n

然后利用柯西不等式

?x?x

ii?1

i?1

i

?(?xixi')2給出證明。

i?1

n

例

5、（24屆全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克試題）設(shè)ai（1?i?n）是正數(shù)，且有

?a

i?

1n

i

?1，求證：

an2a12a221

???????。

a1?a2a2?a3an?a1

2證明：利用柯西不等式得：

an2a12a22(??????)[(2(a1?a2?????an)] a1?a2a2?a3an?a1

an2a12a22?(??????)[(a1?a2)?(a2?a3)?????(an?a1)]

a1?a2a2?a3an?a1

222

??????22????

2] =??????2

?(a1?a2?????an)2?1

an2a12a221

???????。所以

a1?a2a2?a3an?a12

例

6、（2009年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建賽區(qū)預(yù)賽）設(shè)a、b、c是三個(gè)正數(shù)，滿足a?b?c?3，求證：

a?1b?1c?

1???2。

a(a?2)b(b?2)c(c?2)

證明：由柯西不等式得[

a?1b?1c?1a(a?2)b(b?2)c(c?2)

??][??]?9，a(a?2)b(b?2)c(c?2)a?1b?1c?1

即[

a?1b?1c?1111??][a?b?c?3???]?9，a(a?2)b(b?2)c(c?2)a?1b?1c?1

a?1b?1c?19，???

a(a?2)b(b?2)c(c?2)a?b?c?3?1?1?1

a?1b?1c?1

1119

故要證原不等式只要證明上式右邊?2，即證a?b?c?3????，a?1b?1c?1

21113即證???a?b?c?。

a?1b?1c?12

3因?yàn)閍?b?c?3，故要證上式只要證：???

a?1b?1c?12

而事實(shí)上，由柯西不等式得：(??)(a?1?b?1?c?1)?9，a?1b?1c?1

111993故(??)???（a?b?c?3）

a?1b?1c?1a?1?b?1?c?13?32

亦即

故原不等式成立。

注：原賽題由題（1）和題（2）兩小題構(gòu)成，此題是題（2）。在參考答案的證明中，題（2）的證明要用到題（1）的結(jié)論。本例要求直接證明題（2），從而增加了難度。本例的證明同時(shí)使用了分析法和柯西不等式，且用了兩次柯西不等式，具有一定難度。

3、利用均值不等式 對(duì)于分式不等式

?x

i?

1n

i

?A，可考慮添加xi'和xi配成一對(duì)，然后利用均值不等式xi?xi'?'

得到n

個(gè)不等式（一般來(lái)說(shuō)要保證，然后將這n個(gè)不等式相加，消去添加的各項(xiàng)xi，最后得到證明。

a2b2c2a?b?c

???例

7、（第二屆友誼杯國(guó)際數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽）已知a、b、c為正數(shù)。

b?cc?aa?b2a2b?c???a，證明：由均值不等式可得：

b?c

4b2c?ac2a?b??

?b，???c，同理有：

c?a4a?b4a2b?cb2c?ac2a?b

將以上三式相加即可得：??????a?b?c，b?c4c?a4a?b4

整理后即可得結(jié)論。

注：此不等式的證明簡(jiǎn)潔，其中所用的添項(xiàng)技巧也是運(yùn)用均值不等式的常見(jiàn)技巧之一。另外，用此法證明例5就要用到該技巧。

三、利用某些技巧

1、構(gòu)造對(duì)偶式

例

8、利用構(gòu)造對(duì)偶式這一技巧給出例5的另一個(gè)證明。

an2a12a2

2??????證明：設(shè)M?，a1?a2a2?a3an?a

1a32an2a22

N???????（對(duì)偶式），a1?a2a2?a3an?a1

a32an2a12a22a22a12

?)?(?)?????(?)因?yàn)镸?N?（a1?a2a1?a2a2?a3a2?a3an?a1an?a1

???(an?a1)?0，所以M?N。=(a1?a2)?(a2?a3)??

an2?a12a12?a22a22?a32

??????所以2M?M?N?

a1?a2a2?a3an?a1

?(a1?a2)?(a2?a3)?????(an?a1)?a1?a2?????an?1（這里利用了不等式 222a2?b21

?(a?b)），a?b2

所以M?，原不等式成立。2

注：利用對(duì)偶式這一技巧可以簡(jiǎn)潔的證明許多形式上很復(fù)雜的不等式，這里列舉一例供讀者思考：如

a3b3c3a?b?c

???果a、b、c是正數(shù)，證明：2。更多的構(gòu)造對(duì)偶

a?ab?b2b2?bc?c2c2?ca?a2

3式證明不等式的例子請(qǐng)參見(jiàn)文[1]。

2、引入?yún)?shù)

例

9、設(shè)x、y、z?0，且x?y?z?

11??。4z?15

分析：此不等式是對(duì)稱(chēng)不等式，可考慮構(gòu)造一個(gè)和為的表達(dá)式，故引入?yún)?shù)?，嘗試證明：5

1??x，且??。5

證明：引入?yún)?shù)?

??x。當(dāng)x?0時(shí)，有

??x?(0,1]都

成立。故要求?的值，(0,1]上的最小值即可。

在(0,1]上的最小值為（此時(shí)x?1），故當(dāng)??

時(shí)，有??5x?(0,1]），此時(shí)

同時(shí)有

11??x（x?[0,1]）?x。

。取??

?y和?z，將以上三式相加即可得結(jié)論。

54z?15

注：本例引入的參數(shù)是作為項(xiàng)的系數(shù)引入的。另外，參數(shù)還可作為冪指數(shù)引入，作為直線斜率引入等，具體的例子可參見(jiàn)文[2]。

本文考慮了分式不等式的證明，對(duì)不太復(fù)雜的分式不等式的證明不應(yīng)忘記采用最常用的分析法和綜合法等方法進(jìn)行；其次可考慮利用高中數(shù)學(xué)教科書(shū)中出現(xiàn)的三個(gè)重要不等式證明；在上述方法證明無(wú)效的情況下，可考慮采用一些技巧進(jìn)行證明。由于分式不等式的證明方法靈活多樣，故對(duì)其證明不應(yīng)拘泥于上述思路和方法，但對(duì)于常見(jiàn)的分式不等式，上述方法是夠用的。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊華.構(gòu)造配對(duì)式，證明不等式[J].中等數(shù)學(xué)，2005（3），10～13 [2]程?hào)|軍.巧引參數(shù)，證明不等式[J].中等數(shù)學(xué)，2007（9），5～8

第二篇：分式不等式放縮、裂項(xiàng)、證明

放縮法的常見(jiàn)技巧

（1）舍掉（或加進(jìn)）一些項(xiàng)（2）在分式中放大或縮小分子或分母。（3）應(yīng)用基本不等式放縮(例如均值不等式）。（4）應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行放縮（5）根據(jù)題目條件進(jìn)行放縮。（6）構(gòu)造等比數(shù)列進(jìn)行放縮。（7）構(gòu)造裂項(xiàng)條件進(jìn)行放縮。（8）利用函數(shù)切線、割線逼近進(jìn)行放縮。使用放縮法的注意事項(xiàng)

（1）放縮的方向要一致。（2）放與縮要適度。

（3）很多時(shí)候只對(duì)數(shù)列的一部分進(jìn)行放縮法，保留一些項(xiàng)不變（多為前幾項(xiàng)或后幾項(xiàng)）。（4）用放縮法證明極其簡(jiǎn)單，然而，用放縮法證不等式，技巧性極強(qiáng)，稍有不慎，則會(huì)出現(xiàn)放縮失當(dāng)?shù)默F(xiàn)象。所以對(duì)放縮法，只需要了解，不宜深入。

先介紹工具

柯西不等式（可以通過(guò)向量表示形式記住即摸摸大于向量乘積）

均值不等式

調(diào)和平均數(shù)≤幾何平均數(shù)≤算術(shù)平均數(shù)≤平方平均數(shù)

絕對(duì)值三角不等式

定理1：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b| 推論1：|a1＋a2＋a3|≤|a1|＋|a2|＋|a3| 此性質(zhì)可推廣為|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|． 推論2：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b| 定理2：如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當(dāng)且僅當(dāng)(a－b)(b－c)≥0時(shí)，等號(hào)成立． 常用放縮思想

這幾個(gè)務(wù)必牢記

不常見(jiàn)不常用的不等式

這幾個(gè)一般用不到，放的太大了，知道有印象就好了

下面就是常用思路了，主要就是裂項(xiàng)部分

二項(xiàng)平方和

f（x）=（a1x-b1）^2+（a2x-b2）^2+……(anx-bn)^2 由f（x）≥0可得△小于等于0

1.分式不等式中的典范，典范中的典范，放縮、裂項(xiàng)、去等，步步精彩

解析：

步步經(jīng)典，用筆化化就能明白思想，換元或許更直觀，即令t=1/（x+2）

第一步意義--開(kāi)不了方的，開(kāi)方，并且可取等號(hào) 第二步意義--開(kāi)不了方的，開(kāi)方，裂項(xiàng)，并且可取等號(hào) 個(gè)人認(rèn)為這倆個(gè)放縮，很犀利，沒(méi)見(jiàn)過(guò)，看似難實(shí)則簡(jiǎn)單，看似簡(jiǎn)單實(shí)則難

2.構(gòu)造+三角形 ★★★★

平面內(nèi)三點(diǎn)A、B、C，連接三點(diǎn)，令A(yù)B=c，AC=b，BC=a，求 解析：

構(gòu)造，主要就是構(gòu)造，b/c就是很明顯的提示。三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

構(gòu)造 ★★★★

為了方便觀察，沒(méi)有采用換元，直接寫(xiě)更清楚，這題應(yīng)該是一直在向目標(biāo)上湊得題目了

3.反證法典例 ★★

解析：

4.柯西不等式典例 ★★★

有些方法就是那么氣人，神奇的氣人

或者用三角函數(shù)也可以不過(guò)要用到三角恒等式： 令x+2y+3z=t則(t-3z)^2／√5≤√(5-z^2)即14z^2-6tz+t^2-25≤0△=-20t^2+1400≤0 所以tmax=√70

5.

第三篇：不等式和分式應(yīng)用題

1、某中學(xué)為八年級(jí)寄宿學(xué)生安排宿舍，如果每間4人，那么有20人無(wú)法安排，如果每間8人，那么有一間不空也不滿，求宿舍間數(shù)和寄宿學(xué)生人數(shù)。

2、有10名菜農(nóng),每人可種甲種蔬菜3畝或乙種蔬菜2畝,已知甲種蔬菜每畝可收入

0.5萬(wàn)元,乙種蔬菜每畝可收入0.8萬(wàn)元,若要使總收入不低于15.6萬(wàn)元,則應(yīng)該如何安排人員？

3、出租汽車(chē)起價(jià)是10元(即行駛路程在5km以內(nèi)需付10元車(chē)費(fèi)),達(dá)到或超過(guò)5km

后,每增加1km加價(jià)1.2元(不足1km部分按1km計(jì)),現(xiàn)在某人乘這種出租 汽車(chē)從甲地到乙地支付車(chē)費(fèi)17.2元,從甲地到乙地的路程大約是多少?

4、在雙休日,某公司決定組織48名員工到附近一水上公園坐船游園,公司先派一個(gè)

人去了解船只的租金情況,這個(gè)人看到的租金價(jià)格表如下:

那么,怎樣設(shè)計(jì)租船方案才能使所付租金最少?(嚴(yán)禁超載)

5、(2001安徽)某工程隊(duì)要招聘甲、乙兩種工種的工人150人，甲、乙兩種工種的工人月工資分別為600元和1000元.現(xiàn)要求乙種工種的人數(shù)不少于甲種工種人數(shù)的2倍,問(wèn)甲、乙兩種工種各招聘多少人時(shí)，可使得每月所付的工資最少？

6、某工程隊(duì)要招聘甲、乙兩種工種的工人150人，甲、乙兩種工種的工人月工資分別為

600元和1000元.現(xiàn)要求乙種工種的人數(shù)不少于甲種工種人數(shù)的2倍,問(wèn)甲、乙兩種工種各招聘多少人時(shí)，可使得每月所付的工資最少？

7、某公司到果品基地購(gòu)買(mǎi)某種優(yōu)質(zhì)水果慰問(wèn)醫(yī)務(wù)工作者，果品基地對(duì)購(gòu)買(mǎi)量在3000kg

以上（含3000kg）的顧客采用兩種銷(xiāo)售方案。

甲方案：每千克9元，由基地送貨上門(mén)；乙方案：每千克8元，由顧客自己租車(chē)運(yùn)回。已知該公司租車(chē)從基地到公司的運(yùn)輸費(fèi)用為5000元。

（1）分別寫(xiě)出該公司兩種購(gòu)買(mǎi)方案付款金額y（元）與所購(gòu)買(mǎi)的水果量x（kg）之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍。

（2）當(dāng)購(gòu)買(mǎi)量在哪一范圍時(shí)，選擇哪種購(gòu)買(mǎi)方案付款最少？并說(shuō)明理由

8、某公司為了擴(kuò)大經(jīng)營(yíng)，決定購(gòu)進(jìn)6臺(tái)機(jī)器用于生產(chǎn)某種活塞．現(xiàn)有甲、?乙兩種機(jī)器

供選擇，其中每種機(jī)器的價(jià)格和每臺(tái)機(jī)器日生產(chǎn)活塞的數(shù)量如下表所示．經(jīng)過(guò)預(yù)算，本次購(gòu)買(mǎi)機(jī)器所耗資金不能超過(guò)34萬(wàn)元．

（1）按該公司要求可以有幾種購(gòu)買(mǎi)方案？

（2）若該公司購(gòu)進(jìn)的6臺(tái)機(jī)器的日生產(chǎn)能力不能低于380個(gè)，那么為了節(jié)約資金應(yīng)

選擇哪種方案？

9、水果店進(jìn)了某中水果1t，進(jìn)價(jià)是7元/kg。售價(jià)定為10元/kg，銷(xiāo)售一半以后，為了

盡快售完，準(zhǔn)備打折出售。如果要使總利潤(rùn)不低于2000元，那么余下的水果可以按原定價(jià)的幾折出售？

10、“中秋節(jié)”期間蘋(píng)果很熱銷(xiāo)，一商家進(jìn)了一批蘋(píng)果，進(jìn)價(jià)為每千克1.5元，銷(xiāo)售中有

6%的蘋(píng)果損耗，商家把售價(jià)至少定為每kg多少元，才能避免虧本？

11、陽(yáng)光中學(xué)校長(zhǎng)準(zhǔn)備在暑假帶領(lǐng)該校的“市級(jí)三好生”去青島旅游，甲旅行社說(shuō)“如果

校長(zhǎng)買(mǎi)全票一張，則其余學(xué)生享受半價(jià)優(yōu)惠.”乙旅行社說(shuō)“包括校長(zhǎng)在內(nèi)，全體人員均按全票的6折優(yōu)惠”.若到青島的全票為1000元.（1）設(shè)學(xué)生人數(shù)為x人，甲旅行社收費(fèi)為y 甲元，乙旅行社收費(fèi)為y乙元，分別寫(xiě)出

兩家旅行社的收費(fèi)表達(dá)式.（2）就學(xué)生人數(shù)x，討論哪家旅行社更優(yōu)惠？

12、某用煤?jiǎn)挝挥忻簃噸，每天燒煤n噸，現(xiàn)已知燒煤三天后余煤102噸，燒煤8天后

余煤72噸.(1)求該單位余煤量y噸與燒煤天數(shù)x之間的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)燒煤12天后，還余煤多少?lài)崳?3)預(yù)計(jì)多少天后會(huì)把煤燒完？

13、重量相同的兩種商品，分別價(jià)值900元和1500元,已知第一種商品每千克的價(jià)值比第二種少300元,分別求這兩種商品每千克的價(jià)值。

14、某客車(chē)從甲地到乙地走全長(zhǎng)480Km的高速公路，從乙地到甲地走全長(zhǎng)600Km的普通公路。又知在高速公路上行駛的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路從甲地到乙地所需的時(shí)間是由普通公路從乙地到甲地所需時(shí)間的一半，求該客車(chē)由高速公路從甲地到乙地所需要的時(shí)間。

15、從甲地到乙地的路程是15千米，A騎自行車(chē)從甲地到乙地先走，40分鐘后，B騎自行車(chē)從甲地出發(fā)，結(jié)果同時(shí)到達(dá)。已知B的速度是A的速度的3倍，求兩車(chē)的速度。

16、一臺(tái)甲型拖拉機(jī)4天耕完一塊地的一半，加一臺(tái)乙型拖拉機(jī)，兩臺(tái)合耕，1天耕完這塊地的另一半。乙型拖拉機(jī)單獨(dú)耕這塊地需要幾天？

17、A做90個(gè)零件所需要的時(shí)間和B做120個(gè)零件所用的時(shí)間相同，又知每小時(shí)A、B兩人共做35個(gè)機(jī)器零件。求A、B每小時(shí)各做多少個(gè)零件。

18、某甲有25元，這些錢(qián)是甲、乙兩人總數(shù)的20%。乙有多少錢(qián)？

19、某甲有錢(qián)400元，某乙有錢(qián)150元，若乙將一部分錢(qián)給甲，此時(shí)乙的錢(qián)是甲的錢(qián)的10%，問(wèn)乙應(yīng)把多少錢(qián)給甲？

20、我部隊(duì)到某橋頭狙擊敵人，出發(fā)時(shí)敵人離橋頭24千米，我部隊(duì)離橋頭30千米，我部隊(duì)急行軍速度是敵人的1.5倍，結(jié)果比敵人提前48分鐘到達(dá)，求我部隊(duì)的速度。

21、輪船順?biāo)叫?0千米所需要的時(shí)間和逆水航行60千米所用的時(shí)間相同。已知水流的速度是3千米/時(shí)，求輪船在靜水中的速度。

22、某中學(xué)到離學(xué)校15千米的某地旅游，先遣隊(duì)和大隊(duì)同時(shí)出發(fā)，行進(jìn)速度是大隊(duì)的1.2倍，以便提前半小時(shí)到達(dá)目的地做準(zhǔn)備工作。求先遣隊(duì)和大隊(duì)的速度各是多少？

23、某人現(xiàn)在平均每天比原計(jì)劃多加工33個(gè)零件，已知現(xiàn)在加工3300個(gè)零件所需的時(shí)間和原計(jì)劃加工2310個(gè)零件的時(shí)間相同，問(wèn)現(xiàn)在平均每天加工多少個(gè)零件。

24、我軍某部由駐地到距離30千米的地方去執(zhí)行任務(wù)，由于情況發(fā)生了變化，急行軍速度必需是原計(jì)劃的1.5倍，才能按要求提前2小時(shí)到達(dá)，求急行軍的速度。

25、某商廈進(jìn)貨員預(yù)測(cè)一種應(yīng)季襯衫能暢銷(xiāo)市場(chǎng)，就用8萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)這種襯衫，面市后果然供不應(yīng)求，商廈又用17.6萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)了第二批這種襯衫，所購(gòu)數(shù)量是第一批購(gòu)進(jìn)量的2倍，但單價(jià)貴了4元，商廈銷(xiāo)售這種襯衫時(shí)每件定價(jià)都是58元，最后剩下的150件按八折銷(xiāo)售，很快售完，在這兩筆生意中，商廈共贏利多少元。

26、一個(gè)批發(fā)兼零售的文具店規(guī)定：凡一次購(gòu)買(mǎi)鉛筆300枝以上，（不包括300枝），可以按批發(fā)價(jià)付款，購(gòu)買(mǎi)300枝以下，（包括300枝）只能按零售價(jià)付款。小明來(lái)該店購(gòu)買(mǎi)鉛筆，如果給八年級(jí)學(xué)生每人購(gòu)買(mǎi)1枝，那么只能按零售價(jià)付款，需用120元，如果購(gòu)買(mǎi)60枝，那么可以按批發(fā)價(jià)付款，同樣需要120元，（1）這個(gè)八年級(jí)的學(xué)生總數(shù)在什么范圍內(nèi)？

（2）若按批發(fā)價(jià)購(gòu)買(mǎi)6枝與按零售價(jià)購(gòu)買(mǎi)5枝的款相同，那么這個(gè)學(xué)校八年級(jí)學(xué)生有

多少人？

27、某項(xiàng)緊急工程，由于乙沒(méi)有到達(dá)，只好由甲先開(kāi)工，6小時(shí)后完成一半，乙到來(lái)后倆人同時(shí)進(jìn)行，1小時(shí)完成了后一半，如果設(shè)乙單獨(dú)x小時(shí)可以完成后一半任務(wù)，那么x應(yīng)滿足的方程是什么？

28、走完全長(zhǎng)3000米的道路，如果速度增加25%，可提前30分到達(dá)，那么速度應(yīng)達(dá)到多少？

29、對(duì)甲乙兩班學(xué)生進(jìn)行體育達(dá)標(biāo)檢查，結(jié)果甲班有48人合格，乙班有45人合格，甲班的合格率比乙班高5%，求甲班的合格率？

30、某種商品價(jià)格，每千克上漲1/3，上回用了15元，而這次則是30元，已知這次比上回多買(mǎi)5千克，求這次的價(jià)格。

31、小明和同學(xué)一起去書(shū)店買(mǎi)書(shū)，他們先用15元買(mǎi)了一種科普書(shū)，又用15元買(mǎi)了一種文學(xué)書(shū)，科普書(shū)的價(jià)格比文學(xué)書(shū)的價(jià)格高出一半，因此他們買(mǎi)的文學(xué)書(shū)比科普書(shū)多一本，這種科普和文學(xué)書(shū)的價(jià)格各是多少？

32、甲種原料和乙種原料的單價(jià)比是2：3，將價(jià)值2000元的甲種原料有價(jià)值1000元的乙混合后，單價(jià)為9元，求甲的單價(jià)。

33、某商品每件售價(jià)15元，可獲利25%，求這種商品的成本價(jià)。

34、某商店甲種糖果的單價(jià)為每千克20元，乙種糖果的單價(jià)為每千克16元，為了促銷(xiāo)，現(xiàn)將10千克的乙種糖果和一包甲種糖果混合后銷(xiāo)售，如果將混合后的糖果單價(jià)定為每千克17.5元，那么混合銷(xiāo)售與分開(kāi)銷(xiāo)售的銷(xiāo)售額相同，這包甲糖果有多少千克？

35、兩地相距360千米，回來(lái)時(shí)車(chē)速比去時(shí)提高了50%，因而回來(lái)比去時(shí)途中時(shí)間縮短了2小時(shí)，求去時(shí)的速度

36、某車(chē)間加工1200個(gè)零件，采用新工藝，工效是原來(lái)的1.5倍，這樣加工同樣多的零件就少用10小時(shí)，采用新工藝前后每時(shí)分別加工多少個(gè)零件？

第四篇：分式不等式教案

2.3分式不等式的解法

上海市虹口高級(jí)中學(xué)

韓璽

一、教學(xué)內(nèi)容分析

簡(jiǎn)單的分式不等式解法是高中數(shù)學(xué)不等式學(xué)習(xí)的一個(gè)基本內(nèi)容.對(duì)一個(gè)不等式通過(guò)同解變形轉(zhuǎn)化為熟悉的不等式是解不等式的一個(gè)重要方法.這兩類(lèi)不等式將在以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不斷出現(xiàn)，所以需牢固掌握.二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)

1、掌握簡(jiǎn)單的分式不等式的解法.2、體會(huì)化歸、等價(jià)轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)思想方法.三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)

重點(diǎn) 簡(jiǎn)單的分式不等式的解法.難點(diǎn) 不等式的同解變形.四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

一、分式不等式的解法

1、引入

某地鐵上，甲乙兩人為了趕乘地鐵，分別從樓梯和運(yùn)行中的自動(dòng)扶梯上樓（樓梯和自動(dòng)扶梯長(zhǎng)度相同），如果甲的上樓速度是乙的2倍，他倆同時(shí)上樓，且甲比乙早到樓上，問(wèn)甲的速度至少是自動(dòng)扶梯運(yùn)行速度的幾倍.設(shè)樓梯的長(zhǎng)度為s，甲的速度為v，自動(dòng)扶梯的運(yùn)行速度為v0.于是甲上樓所需時(shí)間為

s，乙上樓所需時(shí)間為vsvv0?2.由題意，得ss.?vvv?02整理的12?.v2v0?v

由于此處速度為正值，因此上式可化為2v0?v?2v，即v?2v0.所以，甲的速度應(yīng)大于自動(dòng)扶梯運(yùn)行速度的2倍.2、分式不等式的解法 例1 解不等式：x?1?2.3x?2 1

解：（化分式不等式為一元一次不等式組）

?5?x?1?x?1x?1x?1?2??2?0??0 ?0?3x?23x?23x?23x?2?x?1?x?1?x?1?0?x?1?02???x?1或x不或?或?????2?233x?2?03x?2?0x?x????3?3??存在.所以，原不等式的解集為??2??2?,1???，即解集為?,1?.?3??3?注意到

x?1?03x?2??x?1?0??3x?2?0或?x?1?0??3x?2??x?1??0，可以簡(jiǎn)化上述解法.??3x?2?0另解：（利用兩數(shù)的商與積同號(hào)（為一元二次不等式）

aa?0?ab?0，?0?ab?0）化bb?5?x?1?x?1x?1x?1?2??2?0??0 ?0?3x?23x?23x?23x?2??3x?2??x?1??0?2?2??x?1，所以，原不等式的解集為?,1?.3?3?由例1我們可以得到分式不等式的求解通法：

（1）不要輕易去分母，可以移項(xiàng)通分，使得不等號(hào)的右邊為零.（2）利用兩數(shù)的商與積同號(hào)，化為一元二次不等式求解.一般地，分式不等式分為兩類(lèi)：

f?x?（1）； ?0（?0）?f?x?g?x??0（?0）g?x?（2）

?f?x??f?x?g?x??0??0?.?0（?0）??g?x???g?x??0 2

[說(shuō)明]

解不等式中的每一步往往要求“等價(jià)”，即同解變形，否則所得的解集或“增”或“漏”.由于不等式的解集常為無(wú)限集，所以很難像解無(wú)理方程那樣，對(duì)解進(jìn)行檢驗(yàn)，因此同解變形就顯得尤為重要.例2 解下列不等式

?x?1?0.x?52?3.（2）3?5xx?8?2.（3）2x?2x?3x?1?0??x?1??x?5??0?1?x?5，解（1）原不等式?x?5（1）所以，原不等式的解集為?1,5?.（2）原不等式?215x?715x?7?3?0??0??0 3?5x3?5x5x?3????15x?7??5x?3??0???5x?3?0?3?7?x???155??x?3?5??73?x?，155所以，原不等式的解集為??73,155?2??.?2（3）分母：x?2x?3??x?1??1?1?0，則

原不2等式?x?82?2?xx????x?2??3?x4x?? ??2x22?6?x??2或x??1??,?2????,????.?2?1，所以，原不等式的解集為2 3

例3 當(dāng)m為何值時(shí)，關(guān)于x的不等式m?x?1??3?x?2?的解是（1）正數(shù)？

（2）是負(fù)數(shù)？

解：m?x?1??3?x?2? ??m?3?x?m?6（*）當(dāng)m?3時(shí)，（*）?0?x?9?x不存在.當(dāng)m?3時(shí)，（*）?x?（1）原

m?6.m?3方

程的解

為

正

數(shù)?x?（m?6?0?(m?m?3）原

方

m6?程

?)?m??6或m?3.的解

為

負(fù)

數(shù)2?x?m?6?0?(m?m?3m6??)??6?m?3.所以，當(dāng)m????,?6???3,???時(shí)，原方程的解為正數(shù).當(dāng)m???6,3?時(shí)，原方程的解為負(fù)數(shù).四、作業(yè)布置

選用練習(xí)2.3（1）（2）、習(xí)題2.3中的部分練習(xí).五、課后反思

解分式不等式關(guān)鍵在于同解變形.通過(guò)同解變形將其轉(zhuǎn)化為熟悉的不等式來(lái)加以解決，這種通過(guò)等價(jià)變形變“未知”為“已知”的解決問(wèn)題的方法是教學(xué)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，需在課堂教學(xué)中有所強(qiáng)調(diào).整個(gè)教學(xué)內(nèi)容需讓學(xué)生共同參與，特別是在“同解變形”這一點(diǎn)上，應(yīng)在學(xué)生思考、討論的基礎(chǔ)上教師、學(xué)生共同進(jìn)行歸納小結(jié).

第五篇：例談運(yùn)用構(gòu)造法證明不等式

例談運(yùn)用構(gòu)造法證明不等式

湖北省天門(mén)中學(xué)薛德斌

在我們的學(xué)習(xí)過(guò)程中，常遇到一些不等式的證明，看似簡(jiǎn)單，但卻無(wú)從下手，很難找到

切入點(diǎn)，幾種常用證法一一嘗試，均難以湊效。這時(shí)我們不妨變換一下思維角度，從不等式的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)出發(fā)，在已學(xué)過(guò)的知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行廣泛的聯(lián)想，構(gòu)造一個(gè)與不等式相關(guān)的數(shù)

學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，從而使不等式得到證明。下面通過(guò)舉例加以說(shuō)明。

一、構(gòu)造向量證明不等式

例1：證明7x?2(9?x2)?9，并指出等號(hào)成立的條件。簡(jiǎn)析與證明：不等式左邊可看成7與 x 和2與9?x2兩兩乘積的和，從而聯(lián)想

到數(shù)量積的坐標(biāo)表示，將左邊看成向量a=(,2)與b=(x,又a·b ≤|a|·|b|，所以7x?9?x2)的數(shù)量積，2(9?x2)?(7)2?(2)2x2?(9?x2)?9當(dāng)且僅當(dāng)b=λa(λ>0)時(shí)等號(hào)成立，故由

時(shí)，等號(hào)成立。x7?9?x22x=,λ=1，即 x =7???0得：（1－y)?(x?y?3)?(2x?y?6)?例2：求證：2221 6

簡(jiǎn)析與證明：不等式左邊的特點(diǎn)，使我們?nèi)菀茁?lián)想到空間向量模的坐標(biāo)表示，將左邊看

成a =(1－y , x+y－3 , 2x+y－6)模的平方，又 |a|·|b|≥a·b ,為使 a·b為常數(shù)，根據(jù)待定系數(shù)

法又可構(gòu)造b=(1 , 2，-1)

222于是|a|·|b|=(1?y)?(x?y?3)?(2x?y?6)6

（1－y)·1＋(x?y?3)·2?(2x?y?6（）·?1）－1 a·b＝

222所以(1?y)?(x?y?3)?(2x?y?6)6?1（1－y)?(x?y?3)?(2x?y?6)?即

二、構(gòu)造復(fù)數(shù)證明不等式

22例

3、x?y?2221 6x2?(1?y)2?(1?x)2?y2?(1?x)2?(1?y)2?2

2簡(jiǎn)析與證明：從不等式左邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)容易聯(lián)想到復(fù)數(shù)的模，將左邊看成復(fù)數(shù)Z1=

x+y i , Z2 = x +（1－ y）i，Z3 = 1－ x +y i，Z4 = 1－ x +（1－ y）i 模的和，又注意到

Z1＋Z2＋Z3＋Z4＝2＋2 i，于是由 z1＋z2＋z3＋z4≥z1?z2?z3?z4可得

x2?y2?x2?(1?y)2?(1?x)2?y2?(1?x)2?(1?y)2?22?22?22

此題也可構(gòu)造向量來(lái)證明。

三、構(gòu)造幾何圖形證明不等式

例4：已知：a>0、b>0、c>0 ,求證：a2?ab?b2?b2?bc?c2?

且僅當(dāng)a2?ac?c2當(dāng)111??時(shí)取等號(hào)。bac

簡(jiǎn)析與證明：從三個(gè)根式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)容易聯(lián)想到余弦定理，于是可構(gòu)造如下圖形：

作OA＝a，OB＝b，OC＝c，∠AOB=∠BOC=60° 如圖（1）

則∠AOC＝120°，AB=a2?ab?b2，BC=b

2?bc?c2,AC=a2?ac?c2由幾何知識(shí)可知：AB＋BC≥AC

∴a2?ab?b2+b2?bc?c2≥a2?ac?c2

當(dāng)且僅當(dāng)A、B、C三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)有

111absin60??bcsin60??acsin120?，即22

2ab+bc=ac

故當(dāng)且僅當(dāng)111??時(shí)取等號(hào)。bac圖（1）

四、構(gòu)造橢圓證明不等式

例5：求證：?42 ?4?9x2?2x?3

3簡(jiǎn)析與證明：4?9x2的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，使我們聯(lián)

想到橢圓方程及數(shù)形結(jié)合思想。

于是令 y?4?9x2(y?0)，則其圖象是橢

x2y

2??1圓4的上半部分，設(shè)y-2x=m，于是只需

49證?42?m?, 因 m為直線y=2x＋m在y軸上33圖（2）的截距，由圖（2）可知：當(dāng)直線 y = 2 x＋m 過(guò)點(diǎn)（直線y =2x＋m與橢圓上半部分相切時(shí)，m有最大值。

由 ?24，0）時(shí)，m有最小值為m=?；當(dāng)33?y?2x?m

22?9x?y?4 得：13x2 + 4mx + m2 – 4 = 0

令△= 4（52－9m2）=0 得：m?22或m?－（33

即m的最大值為424222，故??m?，即??4?9x?2x? 33333

五、構(gòu)造方程證明不等式

例6：設(shè) a1、a2、…an 為任意正數(shù)，證明對(duì)任意正整數(shù)n

不等式(a1 + a2 + … + an)2≤ n(a12+a22+ …+ an2)均成立

簡(jiǎn)析與證明：原不等式即為 4(a1 + a2 + … + an)2－4n(a12 + a22 + … + an2)≤ 0

由此聯(lián)想到根的判別式而構(gòu)造一元二次方程：

(a12+ a22+ … + an2)x 2 + 2(a1 + a2 + … + an)x + n=0（＊）

因方程左邊＝(a1 x + 1)2 +(a2 x + 1)2 + … ＋(an x + 1)2 ≥ 0

當(dāng)a1、a2、…an不全相等時(shí)，a1 x+

1、a2 x+

1、…an x+1至少有一個(gè)不為0，方程（＊）左邊恒為正數(shù)，方程（＊）顯然無(wú)解。

當(dāng)a1＝a2＝…＝an 時(shí)，方程（＊）有唯一解 x＝?1 a

1故△＝4(a1 + a2 + … + an)2 － 4n(a12 + a22 + … + an2)≤ 0

即(a1 + a2 + … +an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2)對(duì)任意正整數(shù)n均成立

六、構(gòu)造數(shù)列證明不等式

2例7：求證：Cn1+Cn2+…+Cnn >n·

n n-121?2n

簡(jiǎn)析與證明：不等式左邊即為 2－1=從而聯(lián)想到等比數(shù)列的求和公式，于是左1?

2邊=1+2+2+…+ 2 2n－1112=[(1+2n-1)+(2+2n-2)+ …(2n-1+1)≥·n·22n?1=n·22n-12

例8：設(shè)任意實(shí)數(shù)a、b均滿足| a | < 1，| b | < 1 求證：112?? 221?ab1?a1?b

簡(jiǎn)析與證明：不等式中各分式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與題設(shè)聯(lián)想到無(wú)窮等比數(shù)列（| q | < 1）各項(xiàng)和公式S＝a1112424?，則：=（1 + a + a + …）+（1 + b + b + …）221?a1?b1?q1?ab=2+（a2 + b2）+(a4 + b4)+ … ≥2+2ab+2 a2 b2 + 2a4b4 + … =

七、構(gòu)造函數(shù)證明不等式

例9：已知| a | < 1，| b | < 1，| c | < 1，求證：ab＋bc＋ca＞－

1簡(jiǎn)析與證明：原不等式即為：（b＋c）a＋bc＋1>0 ……①

將a看作自變量，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只須證：當(dāng)－1＜a＜1時(shí)，（b＋c）a＋bc＋1恒為正數(shù)。因而可構(gòu)造函數(shù) f(a)=(b + c)a + bc +1(－1＜a＜1)

若b + c = 0原不等式顯然成立。

若b + c ≠0，則f(a)是a的一次函數(shù)，f(a)在（－1,1）上為單調(diào)函數(shù)

而 f(-1)=－ b －c+ bc +1＝（1－b）（1－c）＞0

f(1)＝b＋c＋bc＋1＝（1＋b）（1＋c）＞0

∴f(a)＞0 即ab＋bc＋ca＞－1

此題還可由題設(shè)構(gòu)造不等式（1＋a）（1＋b）（1＋c）＞0

（1－a）（1－b）（1－c）＞0

兩式相加得：2＋2（ab＋bc＋ca）＞0即ab＋bc＋ca＞－1

八、構(gòu)造對(duì)偶式證明不等式

例10：對(duì)任意自然數(shù)n，求證：(1+1)(1+

簡(jiǎn)析與證明：設(shè)an =(1+1)(1+

構(gòu)造對(duì)偶式：bn = 11)…(1+)> 43n?23n?1 112583n?43n?1)…(1+)= ··…·?43n?21473n?53n?23693n?33n47103n?23n?1··…，cn = ·… 2583n?43n?13693n?33n?1?1111?1??1?，1? 3n?23n?13n?23n

即an > bn，an > cn

3∴an> an bn cn

∴an> 11)> n?1 3n?1，即：(1+1)(1+)…(1+43n?2

小結(jié)：從以上幾例還可以看出：（1）構(gòu)造法不僅是證明不等式的重要思想方法，也是解不等式，求函數(shù)值域或最值的重要思想方法。（2）運(yùn)用構(gòu)造法解題，必須對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握的非常熟練，必須有豐富的聯(lián)想和敢于創(chuàng)新的精神。（3）不時(shí)機(jī)地運(yùn)用構(gòu)造法，定能激發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生的探索精神與創(chuàng)新能力。

（本文于2004年在《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》第10期上發(fā)表）