第一篇：不等式3(基本不等式應(yīng)用與證明)
學(xué)習(xí)要求大成培訓(xùn)教案（不等式3基本不等式證明與應(yīng)用）基本不等式
1.理解算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定義及它們的關(guān)系.2.探究并了解基本不等式的證明過程, 會(huì)用多種方法證明基本不等式.3.理解基本不等式的意義, 并掌握基本不等式中取等號(hào)的條件是: 當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等.１． 算術(shù)平均數(shù)：幾何平均數(shù)
２． 設(shè)a≥0,b≥0則a+
b
2【精典范例】
例1．.設(shè)a、b為正數(shù),求證明：
a+b3
2點(diǎn)評(píng)：１．不等式證明的方法：(1)作差比較法(2)分析法(3)綜合法
２．本題對(duì)a≥0,b≥０時(shí)仍成立，且題中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)成立．
３．把不等式a+b32(a≥0,b≥0)稱為基本不等式
4.由本題可知，兩正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，當(dāng)兩數(shù)相等時(shí)兩者相等
5.基本不等式的幾何解釋：半徑不小于半弦．
例2.利用基本不等式證明下列不等式：
(1)已知a>0,求證 a+
(3).已知x , y , z是互不相等的正數(shù), 且x+y+z=1 , 求證:(132(2).已知a, b, c∈R , 求證: a2+b2+c2≥ab+bc+ac.a111-1)(-1)(-1)>8 xyz
點(diǎn)評(píng)：1..基本不等式的變形公式：
2.學(xué)會(huì)多次運(yùn)用和創(chuàng)造條件運(yùn)用基本不等式證題，尤其是不等式兩邊均為三項(xiàng)，可將一邊變成六項(xiàng)，分成三組．對(duì)每一組用基本不等式．３．注意嚴(yán)格不等式的證明方法．
思維點(diǎn)拔：
1.上面兩例在于：(1)揭示基本不等式的內(nèi)容與證法．(2)舉例說明利用基本不等式證題的方法技巧，以讓學(xué)生初步領(lǐng)會(huì)不等式證明的基本方法．
２．基本不等式的推廣：n個(gè)(n>1)非負(fù)數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)．即若ai≥0(i=1,2,?,n),則
追蹤訓(xùn)練
１．設(shè)Ｐ為正數(shù)，求下列各組數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)．（１）２與８（２）３與１２（３）Ｐ與９Ｐ（４）２與２
２．已知a>1求證a+
３． 已知a , b , c不全相等的三個(gè)正數(shù), 且abc=1 , 求證:
第2課時(shí)
p2
1≥3３．已知a+b+c=1,求證a2+b2+c2≥
3a-1
???a??． abc
學(xué)習(xí)要求
1.理解最值定理的使用條件：一正二定三相等． 2.運(yùn)用基本不等式求解函數(shù)最值問題．
１． 最值定理：若x、y都是正數(shù)，(1)如果積xy是定值P , 那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí), 和x+y有最小值．.(2)如果和x+y是定值S , 那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí), 積xy有最大值．
２．最值定理中隱含三個(gè)條件：． 【精典范例】
例1．(1).已知函數(shù)y=x+
51(x>－2), 求此函數(shù)的最小值.(2)已知x<, 求y=4x－1+的最大值;x+244x-5
(3)已知x>0 , y>0 , 且5x+7y=20 , 求xy的最大值;(4)已知x , y∈R+ 且x+2y=1 , 求
+的最小值.xy
例2.（１）求
2(x∈R)的最小值..（２）已知x , y∈R+ 且x+４y=1，求
11+ xy的最小值．
思維點(diǎn)拔：
１．利用基本不等式求最值問題時(shí)，一定要交代等號(hào)何時(shí)成立，只有等號(hào)成立了，才能求最值，否則要用其它方法了．而在證明不等式時(shí)，不必要交代等號(hào)何時(shí)成立．
２．例2是常見典型錯(cuò)誤，它違背了最值定理使用前提：“一正二定三相等”中的后兩條。
追蹤訓(xùn)練一
1.2.3.已知x>1 ,0 【選修延伸】 利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值.例3:求函數(shù) 9求函數(shù)y=4x+ 2x 1+x2的最小值；已知x<0 , 求y= x的最大值； 已知x , y∈R, 且+ xy + -x2+ 3=1 , 求x+y的最小值;已知x>-2 , 求y=的最大值； x+2 y?x? (x?4)的最小值.x?2 思維點(diǎn)拔： 利用基本不等式求解時(shí),等號(hào)不能成立,故改用函數(shù)單調(diào)性求解.追蹤訓(xùn)練二 求函數(shù) 第3課時(shí) y? ?sin2x的最小值.2 sinx 學(xué)習(xí)要求 1.初步學(xué)會(huì)不等式證明的三種常用方法：比較法，綜合法，分析法。 2.了解不等式證明的另三種方法：反證法，換元法，放縮法.【精典范例】 例１．（１）已知a,b?R+,且a1b，求證：a3+b3>a2b+ab2 （2）已知 a<1,b<1，求證： a+b <1 1+ab 追蹤訓(xùn)練一 １． 已知a,b,m? R+,且a a+ma >． b+mb ２．已知a,b,c?R,且a+b+c=1，求證：ab+bc+ca3 例２.（１）已知a,b,c?(0,1),求證：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于 1．4（２）已知a +b2=1,x2+y2=1，求證：ax+by 1 （３）求證： a+b1+a+b ? a1+a b1+b 追蹤訓(xùn)練二 1．求證：1+ 111++?+<2 22223n 學(xué)習(xí)要求 1． 會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大（?。┲档膶?shí)際問題。2.通過對(duì)實(shí)際問題的研究，體會(huì)數(shù)學(xué)建模的思想。3．開拓視野，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值． 【精典范例】 例１．用長(zhǎng)為4a的鐵絲圍成一個(gè)矩形, 怎樣才能使所圍矩形的面積最大.(用基本不等式求解)． 例２．某工廠建造一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體貯水池, 其容積為4800m3, 深度為3m , 如果池底每1m2的造價(jià)為150元, 池壁每1m2的造價(jià)為120元, 怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低? 最低總造價(jià)為多少元? 例３．某商場(chǎng)預(yù)計(jì)全年分批購(gòu)入每臺(tái)價(jià)值為2000元的電視機(jī)共3600臺(tái), 每批都購(gòu)入x臺(tái)(x為正整數(shù)), 且每批需付運(yùn)費(fèi)400元, 儲(chǔ)存購(gòu)入的電視機(jī)全年所付保管費(fèi)用與每批購(gòu)入電視機(jī)的總價(jià)值(不含運(yùn)費(fèi))成正比, 若每批購(gòu)入400臺(tái), 則全年需用去運(yùn)費(fèi)和保管費(fèi)43600元, 現(xiàn)在全年只有24000元資金可用于支付這筆費(fèi)用, 能否恰好當(dāng)?shù)匕才琶颗M(jìn)貨的數(shù)量, 使資金夠用, 寫出你的結(jié)論, 并說明理由.選修延伸： 先建目標(biāo)函數(shù)，再用基本不等式求最值，這是一種很常見題型，加以理解和掌握． 追蹤訓(xùn)練 １．建造一個(gè)容積為8m3, 深為2m的長(zhǎng)方體無蓋水池, 如果池底的造價(jià)為每平方米120元, 池壁的造價(jià)為每平方米80元, 求這個(gè)水池的最低造價(jià).２．巨幅壁畫畫面與地面垂直, 且最高點(diǎn)離地面14米, 最低點(diǎn)離地面2米, 若從離地面1.5米處觀賞此畫, 問離墻多遠(yuǎn)時(shí), 視角最大? 1．進(jìn)一步會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大（?。┲档膶?shí)際問題。2.通過對(duì)實(shí)際問題的研究，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)建模的思想。.設(shè)x>0時(shí), y=3－3x－的最大值為______________x 【精典范例】 例１．過點(diǎn)(1 , 2)的直線l與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn), 當(dāng)△AOB的面積最小時(shí), 求直線l的方程 例２．如圖(見書P93), 一份印刷品的排版面積(矩形)為A , 它的兩邊都留有寬為a的空白, 頂部和底部都留有寬為b的空白, 如何選擇紙張的尺寸, 才能使紙的用量最小? 練習(xí)1過第一象限內(nèi)點(diǎn)P(a , b)的直線l與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn), 當(dāng)直線l的方程.2汽車行駛中, 由于慣性作用, 剎車后還要向前滑行一段距離才能停住, 我們把這段距離叫做“剎車距離”, 在某公路上, “剎車距離”S(米)與汽車車速v(米/秒)之間有經(jīng)驗(yàn)公式: S= PAPB 取最小值時(shí), 求 325 v+v, 為保證安全行駛, 要求在這條公路上行駛著的兩車之408 間保持的“安全距離”為“剎車距離”再加25米, 現(xiàn)假設(shè)行駛在這條公路上的汽車在平均車身長(zhǎng)5米, 每輛車均以相同的速度v行駛, 并且每?jī)奢v之間的間隔均是“安全距離”.(1)試寫出經(jīng)過觀測(cè)點(diǎn)A的每輛車之間的時(shí)間間隔T與速度v函數(shù)關(guān)系式;(2)問v為多少時(shí), 經(jīng)過觀測(cè)點(diǎn)A的車流量(即單位時(shí)間通過的汽車數(shù)量)最大? 課時(shí)九 基本不等式與不等式基本證明 第一部分：基本不等式變形技巧的應(yīng)用 基本不等式在求解最值、值域等方面有著重要的應(yīng)用，利用基本不等式時(shí)，關(guān)鍵在對(duì)已知條件的靈活變形，使問題出現(xiàn)積（或和）為定值，以便解決問題，現(xiàn)就常用技巧給以歸納。 技巧一：加減常數(shù) 例 1、求函數(shù)y?x? 點(diǎn)評(píng)：當(dāng)各項(xiàng)符號(hào)不確定時(shí)，必須分類討論，要保證代數(shù)式中的各項(xiàng)均為正。 技巧二：巧變常數(shù) 例 2、已知0?x? 點(diǎn)評(píng)：形如f(x)?x(1?ax)或f(x)?x2(1?ax2)等可有兩種變形方法：一是巧乘常數(shù)；二是巧提常數(shù)，應(yīng)用時(shí)要注意活用。 技巧 三、分離常數(shù) 例 3、已知x? 5452121x?1(x?1)的值域。，求函數(shù)y＝x（1－2x）的最大值。，則f(x)?x?3x?32x?4542有（）32A、最大值B、最小值C、最大值D、最小值 32點(diǎn)評(píng)：通過加減常數(shù)，分離出一個(gè)常數(shù)是分式函數(shù)求值域常用的方法，這里一定要加減好“常數(shù)”，以利于問題的解決。 技巧 四、活用常數(shù) 例 4、若x,y?R且滿足 點(diǎn)評(píng)：通過配湊“1”并進(jìn)行“1”的代換，整理后得到基本不等式的形式，減少了使用基本不等式的次數(shù)，有效地避免了等號(hào)不能同時(shí)取到的麻煩。 技巧 五、統(tǒng)一形式 ?例 5、已知a,b,c?R，求(a?b?c)(?4x?16y?1，求x＋y的最小值。1 a?b?1 c)的最小值。 點(diǎn)評(píng)：根據(jù)分母的特點(diǎn)，進(jìn)行結(jié)構(gòu)調(diào)整為統(tǒng)一的形式，這樣便能快速求解。含有根號(hào)的問題也要注意形式的統(tǒng)一（如求函數(shù)y?x?x2(0?x?1)可變形為y?第二部分：均值定理證明不等式的方法技巧 。x(1?x)等） 1．輪換對(duì)稱型 例1 若a,b,c是互不相等的實(shí)數(shù)，求 證：a?b?c 222 ?ab?bc?ac.點(diǎn)評(píng)：分段應(yīng)用基本等式，然后整體相加(乘)得結(jié)論，是證明輪換對(duì)稱不等式的常用技 巧。 2．利用“1”的代換型 111? 已知a,b,c?R,且 a?b?c?1,求證 ???9.abc例2 點(diǎn)評(píng)：做“1”的代換。 .3.逆向運(yùn)用公式型 a,b?R,a?b?1求證： a? ? ?b? ?2.例3已知 點(diǎn)評(píng)：依據(jù)求證式的結(jié)構(gòu)，湊出常數(shù)因子，是解決此類問題的關(guān)鍵。為脫去左邊的根號(hào)，a? 12,b? 將 1?1??? 轉(zhuǎn)換成 1??a??,1??b??,然后逆向運(yùn)22?2??? 用均值不等式： 若 a,b?R則 ab? ? a?b2 .4．挖掘隱含條件證明不等式 1??1?1?? a,b?R,a?b?1求證：?1???1???.a??b?9 ?例4 已知 ?a,b?R?,a?b?1 1??2 ?ab?說明a,b?R,a?b?1的背后隱含??a?b? 4??ab?? ?2?點(diǎn)評(píng):由于? 著一個(gè)不等式ab? .5．用均值不等式的變式形式證明不等式 a?b?例5已知a,b,c?R,求證： ? b?c ?c?a ? 2?a?b?c?.點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵在于對(duì)a?b,b?c,c?a的處理，如果能找出 a?b與a?b間的關(guān)系，問題就可以 222222 解決，注意到 ? a?b?2ab?2a?b ? ?? ?a?b?2 ?2a?b ?a?b ?其中a,b,c?R?即可。解題時(shí)要注意a ?b?2ab的a?b 變式應(yīng)用。常用 ? a?b2 (其中a,b?R)來解決有關(guān)根式不等式的問題.? 課題：基本不等式及其應(yīng)用 一、教學(xué)目的(1)認(rèn)知：使學(xué)生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))和 a?b?ab(a、b∈R+，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))，并能應(yīng)用它們證明一些不等 2式． (2)情感：通過對(duì)定理及其推論的證明與應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用綜合法進(jìn)行推理的能力． 二、教學(xué)重難點(diǎn) 重點(diǎn)：兩個(gè)基本不等式的掌握； 難點(diǎn)：基本不等式的應(yīng)用。 三、教材、學(xué)生分析 教材分析：兩個(gè)基本不等式為以后學(xué)習(xí)不等式的證明和求函數(shù)的最大值或最小值提供了一種 方法，基本不等式的理解和掌握對(duì)以后的解題是很有幫助的。 學(xué)生分析：學(xué)生在上新課之前都預(yù)習(xí)了本節(jié)內(nèi)容，對(duì)上課內(nèi)容有一定的理解。所以根據(jù)這一 情況多補(bǔ)充了一些內(nèi)容，增加了課堂容量。 四、教學(xué)過程 （一）引入新課 客觀世界中，有些不等式關(guān)系是永遠(yuǎn)成立的。例如，在周長(zhǎng)相等時(shí)，圓的面積比正方形的面積大，正方形的面積又比非正方形的任意矩形的面積大。對(duì)這些不等關(guān)系的證明，常常會(huì)歸結(jié)為一些基本不等式。今天，我們學(xué)習(xí)兩個(gè)最常用的基本不等式。 （二）推導(dǎo)公式 1．奠基 如果a、b∈R，那么有(a－b)2≥0① 把①左邊展開，得 a2－2ab＋b2≥0，∴a2＋b2≥2ab． ② ②式表明兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和不小于它們的積的2倍．這就是課本中介紹的定理1，也就是基本不等式1，對(duì)任何兩實(shí)數(shù)a、b都成立．由于取“=”號(hào)這種特殊情況，在以后有廣泛的應(yīng)用，因此通常要指出“=”號(hào)成立的充要條件．②式中取等號(hào)的充要條件是什么呢？ 學(xué)生回答：a=b，因?yàn)閍=b?a+b=2ab 2 2充要條件通常用“當(dāng)且僅當(dāng)”來表達(dá)．“當(dāng)”表示條件是充分的，“僅當(dāng)”表示條件是必要的．所以②式可表述為：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))． 以公式①為基礎(chǔ)，運(yùn)用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)公式②，這種由已知推出未知(或要求證的不等式)的證明方法通常叫做綜合法．以公式②為基礎(chǔ)，用綜合法可以推出更多的不等式．現(xiàn)在讓我們共同來探索． 2．探索 公式②反映了兩個(gè)實(shí)數(shù)平方和的性質(zhì)，下面我們研究?jī)蓚€(gè)以上的實(shí)數(shù)的平方和，探索可能得到的結(jié)果．先考查三個(gè)實(shí)數(shù)．設(shè)a、b、c∈R，依次對(duì)其中的兩個(gè)運(yùn)用公式②，有 a2＋b2≥2ab； b2＋c2≥2bc； c2＋a2≥2ca． 把以上三式疊加，得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca ③ （當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào))． 以此類推：如果ai∈R，i=1，2，?，n，那么有 22a12?a2???an?a1a2?a2a3???ana 1④ (當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=?=an時(shí)取“=”號(hào))． ④式是②式的一種推廣式，②式就是④式中n=2時(shí)的特殊情況．③和④式不必當(dāng)作公式去記，但從它們的推導(dǎo)過程中可以學(xué)到一種處理兩項(xiàng)以上的和式問題的數(shù)學(xué)思想與方法——迭代與疊加． 3．練習(xí) 222求證：a+b+c+3≥2（a+b+c） 4．基本不等式 2直接應(yīng)用基本不等式1可以得到基本不等式2 如果a、b、∈R，那么ab?R?，在公式②中用a替換a，用替換b，立即得+到 22a）?）?2ab 即a?b?2ab ∴a?b?ab⑤ 2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))． 這就是課本中基本不等式2 我們把a(bǔ)?b和ab分別叫做正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)。 25、公式小結(jié) (1)我們從公式①出發(fā)，運(yùn)用綜合法，得到許多不等式公式，其中要求同學(xué)熟練掌握的是公式①、②、③、⑤．它們之間的關(guān)系可圖示如下： 展開 迭代、疊加① 配方 ② ③ 降換 次元 ⑤ (2)上述公式的證法不止綜合法一種．比如公式②，在課本上是用比較法證明的．但是不論哪種推導(dǎo)系統(tǒng)，其理論基礎(chǔ)都是實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)． (3)四個(gè)公式中，②、⑤是基礎(chǔ)，最重要．它們還可以用幾何法證明． +222幾何法：構(gòu)造直角三角形ABC，使∠C=90°，BC=a，AC=b(a、b∈R)，則a＋b=c表 示以斜邊c為邊的正方形的面積．而 2ab?4?ab?4S?ABC 2 如上左圖所示，顯然有c?4?21ab 2 ∴a＋b≥2ab 22 (當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)，這時(shí)Rt△ABC等腰，如上右圖)．這個(gè)圖是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時(shí)所用過的“勾股方圓圖”，同學(xué)們?cè)诔踔幸呀?jīng)見過． 公式 示： a?b?ab也可以用幾何法證明，它的幾何意義是半徑大于等于半弦，如下圖所2 （三）例題 1、已知x，y∈R，證明：+xy??2，并指出等號(hào)成立的條件。yx2、已知a,b∈R，并且ab=4，求證：a?b?8，并指出等號(hào)成立的條件。223、已知x，y∈R，并且x+y=1，求證：xy≤+1 4 （其中一題作為練習(xí)） （四）應(yīng)用 下面我們來解決開始上課時(shí)所提到的：在周長(zhǎng)相等時(shí)，正方形的面積又比非正方形的任意矩形的面積大。 求證：在周長(zhǎng)相等的矩形中，正方形的面積最大。 證明：設(shè)矩形的長(zhǎng)和寬分別a，b(a，b為正數(shù)，且a≠b)，同樣周長(zhǎng)的正方形的邊長(zhǎng)為a?b，2 '可計(jì)算得矩形的面積S=ab，正方形的面積S?(a?b2)，2 由基本不等式2，得a?b?ab?0（因?yàn)閍≠b等號(hào)不成立）。2 a?b2)?(ab)2，即S′>S.2又由不等式性質(zhì)，得（（五）作業(yè) 練習(xí)冊(cè)P10/6 重要不等式及其應(yīng)用教案 教學(xué)目的 (1)使學(xué)生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))和a3＋b3＋c3≥3abc(a、b、c∈R+，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào))及其推論，并能應(yīng)用它們證明一些不等式． (2)通過對(duì)定理及其推論的證明與應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用綜合法進(jìn)行推理的能力． 教學(xué)過程 一、引入新課 師：上節(jié)課我們學(xué)過證明不等式的哪一種方法？它的理論依據(jù)是什么？ 生：求差比較法，即 師：由于不等式復(fù)雜多樣，僅有比較法是不夠的．我們還需要學(xué)習(xí)一些有關(guān)不等式的定理及證明不等式的方法． 如果a、b∈R，那么(a－b)2屬于什么數(shù)集？為什么？ 生：當(dāng)a≠b時(shí)，(a－b)2＞0，當(dāng)a=b時(shí)，(a－b)2=0，所以(a－b)2≥0．即(a－b)2∈ R+∪{0}． 師：下面我們根據(jù)(a－b)2∈R+∪{0}這一性質(zhì)，來推導(dǎo)一些重要的不等式，同時(shí)學(xué)習(xí)一些證明不等式的方法． 二、推導(dǎo)公式 1．奠基 師：如果a、b∈R，那么有 (a－b)2≥0． ① 把①左邊展開，得 a2－2ab＋b2≥0，∴a2＋b2≥2ab． ② ②式表明兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和不小于它們的積的2倍．這就是課本中介紹的定理1，它是一個(gè)很重要的絕對(duì)不等式，對(duì)任何兩實(shí)數(shù)a、b都成立．由于取“=”號(hào)這種特殊情況，在以后有廣泛的應(yīng)用，因此通常要指出“=”號(hào)成立的充要條件．②式中取等號(hào)的充要條件是什么呢？ 師：充要條件通常用“當(dāng)且僅當(dāng)”來表達(dá)．“當(dāng)”表示條件是充分的，“僅當(dāng)”表示條件是必要的．所以②式可表述為：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))． 以公式①為基礎(chǔ)，運(yùn)用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)公式②，這種由已知推出未知(或要求證的不等式)的證明方法通常叫做綜合法．以公式②為基礎(chǔ)，用綜合法可以推出更多的不等式．現(xiàn)在讓我們共同來探索． 2．探索 師：公式②反映了兩個(gè)實(shí)數(shù)平方和的性質(zhì)，下面我們研究?jī)蓚€(gè)以上的實(shí)數(shù)的平方和，探索可能得到的結(jié)果．先考查三個(gè)實(shí)數(shù)．設(shè)a、b、c∈R，依次對(duì)其中的兩個(gè)運(yùn)用公式②，有 a2＋b2≥2ab； b2＋c2≥2bc； c2＋a2≥2ca． 把以上三式疊加，得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca ③ (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào))． 以此類推：如果ai∈R，i=1，2，?，n，那么有 ④ (當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=?=an時(shí)取“=”號(hào))． ④式是②式的一種推廣式，②式就是④式中n=2時(shí)的特殊情況．③和④式不必當(dāng)作公式去記，但從它們的推導(dǎo)過程中可以學(xué)到一種處理兩項(xiàng)以上的和式問題的數(shù)學(xué)思想與方法——迭代與疊加． 3．再探索 師：考察兩個(gè)以上實(shí)數(shù)的更高次冪的和，又能得到什么有趣的結(jié)果呢？先考查兩個(gè)實(shí)數(shù)的立方和．由于 a3＋b3=(a＋b)(a2－ab＋b2)，啟示我們把②式變成 a2－ab＋b2≥ab，兩邊同乘以a＋b，為了得到同向不等式，這里要求a、b∈R+，得到 a3＋b3≥a2b＋ab2． ⑤ 考查三個(gè)正實(shí)數(shù)的立方和又具有什么性質(zhì)呢？ 生：由③式的推導(dǎo)方法，再增加一個(gè)正實(shí)數(shù)c，對(duì)b、c，c、a迭代⑤式，得到 b3＋c3≥b2c＋bc2，c3＋a3≥c2a＋ca2． 三式疊加，并應(yīng)用公式②，得 2(a3＋b3＋c3)≥a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2) ≥a·2bc＋b·2ca＋c·2ab=6abc． ∴a3＋b3＋c3≥3abc ⑥ (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào))． 師：這是課本中的不等式定理2，即三個(gè)正實(shí)數(shù)的立方和不小于它們的積的3倍．同學(xué)們可能想到n個(gè)正實(shí)數(shù)的立方和會(huì)有什么結(jié)果，進(jìn)一步還會(huì)想到4個(gè)正數(shù)的4次方的和會(huì)有什么結(jié)果，直至n個(gè)正數(shù)的n次方的和會(huì)有什么結(jié)果．這些問題留給同學(xué)們課外去研究． 4．推論 師：直接應(yīng)用公式②和⑥可以得到兩個(gè)重要的不等式． ⑦ (當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))． 這就是課本中定理1的推論． ⑧ (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào))．這就是課本中定理2的推論． 當(dāng)ai∈R+(i=1，2，?，n)時(shí)，有下面的推廣公式(在中學(xué)不講它的證明) ⑨ (當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=?=an時(shí)取“=”號(hào))． 何平均數(shù)．⑨式表明：n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．這是一個(gè)著名的平均數(shù)不等式定理．現(xiàn)在只要求同學(xué)掌握n=2、3時(shí)的兩個(gè)公式，即⑦和⑧． 三、小結(jié) (1)我們從公式①出發(fā)，運(yùn)用綜合法，得到許多不等式公式，其中要求同學(xué)熟練掌握的是公式②、⑥、⑦、⑧．它們之間的關(guān)系可圖示如下： (2)上述公式的證法不止綜合法一種．比如公式②和⑥，在課本上是用比較法證明的．又如公式⑦也可以由①推出；用⑦還可以推出⑧；由⑦、⑧也可以推出②、⑥．但是不論哪種推導(dǎo)系統(tǒng)，其理論基礎(chǔ)都是實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)． 四個(gè)公式中，②、⑦是基礎(chǔ)，最重要．它們還可以用幾何法或三角法證明． 幾何法：構(gòu)造直角三角形ABC，使∠C=90°，BC=a，AC=b(a、b∈R)，222則a＋b=c表示以斜邊c為邊的正方形的面積．而 + 如上左圖所示，顯然有 (當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)，這時(shí)Rt△ABC等腰，如上右圖)．這個(gè)圖是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時(shí)所用過的“勾股方圓圖”，同學(xué)們?cè)诔踔幸呀?jīng)見過． 三角法：在Rt△ABC中，令∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，則 2ab=2·c sin A· c sin B=2c2sinAcos A=c2·sin2A≤c2 =a2＋b2(∵sin2A≤1) (當(dāng)且僅當(dāng)sinA=1，A=45°，即 a=b時(shí)取“=”號(hào))． 2三、應(yīng)用公式練習(xí) 1．判斷正誤：下列問題的解法對(duì)嗎？為什么？如果不對(duì)請(qǐng)予以改正． a、b∈R+．若tgα、ctgα∈R+．解法就對(duì)了．這時(shí)需令α是第一、三象限的角．] 改條件使a、b∈R+；②改變證法．a(chǎn)2＋ab＋b2≥2ab＋ab=3ab．] 師：解題時(shí)，要根據(jù)題目的條件選用公式，特別注意公式中字母應(yīng)滿足的條件．只有公式①、②對(duì)任何實(shí)數(shù)都成立，公式⑥、⑦、⑧都要求字母是正實(shí)數(shù)(事實(shí)上對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)也成立)． 2．填空： (1)當(dāng)a________時(shí)，an＋a－n≥________； (3)當(dāng)x________時(shí)，lg2x＋1≥_________； (5)tg2α＋ctg2α≥________； (6)sinxcosx≤________； 師：從上述解題中，我們可以看到：(1)對(duì)公式中的字母應(yīng)作廣義的理解，可以代表數(shù)，也可以代表式子．公式可以順用，也可以逆用．總之要靈活運(yùn)用公式．(2)上述題目中右邊是常數(shù)的，說明左邊的式子有最大或最小值．因此，在一定條件下應(yīng)用重要不等式也可以求一些函數(shù)的最大(小)值．(3)重要不等式還可以用于數(shù)值估計(jì)．如 表明任何自然數(shù)的算術(shù)平方根不大于該數(shù)加1之半． 四、布置作業(yè) 略． 教案說明 1．知識(shí)容量問題 這一節(jié)課安排的內(nèi)容是比較多的，有些是補(bǔ)充內(nèi)容．這是我教重點(diǎn)中學(xué)程度比較好的班級(jí)時(shí)的一份教案．實(shí)踐證明是可行的，效果也比較好．對(duì)于普通班級(jí)則應(yīng)另當(dāng)別論．補(bǔ)充內(nèi)容(一般式，幾何、三角證法等)可以不講，例題和練習(xí)也須壓縮．但講完兩個(gè)定理及其推論，實(shí)現(xiàn)教學(xué)的基本要求仍是可以做到的．還應(yīng)看到學(xué)生接受知識(shí)的能力也非一成不變的．同是一節(jié)課，講課重點(diǎn)突出，深入淺出，富有啟發(fā)性，學(xué)生就有可能舉一反 三、觸類旁通，獲取更多的知識(shí)．知識(shí)容量增加了，并未增加學(xué)生的負(fù)擔(dān)．從整個(gè)單元來看，由于壓縮了講課時(shí)間，相應(yīng)的就增加了課堂練習(xí)的時(shí)間．反之，如果學(xué)生被動(dòng)聽講，目標(biāo)不清，不得要領(lǐng)，內(nèi)容講得再少，學(xué)生也是難以接受的．由此可見，知識(shí)容量的多少，既與學(xué)生的程度有關(guān)，與教學(xué)是否得法也很有關(guān)系．我們應(yīng)當(dāng)盡可能采用最優(yōu)教法，擴(kuò)大學(xué)生頭腦中的信息容量，以求可能的最佳效果． 2．教學(xué)目的問題 近年來，隨著教改的深入，教師在確定教學(xué)目的和要求時(shí)，開始追求傳授知識(shí)和培養(yǎng)能力并舉的課堂教學(xué)效果．在培養(yǎng)學(xué)生的能力方面，不僅要求學(xué)生能夠運(yùn)用知識(shí)，更重要的是通過自己的思考來獲取知識(shí)．據(jù)此，本節(jié)課確定如下的教學(xué)目的：一是在知識(shí)內(nèi)容上要求學(xué)生掌握四個(gè)公式；二是培養(yǎng)學(xué)生用綜合法進(jìn)行推理的能力．當(dāng)然，學(xué)生能力的形成和發(fā)展，絕不是一節(jié)課所能“立竿見影”的．它比掌握知識(shí)來得慢，它是長(zhǎng)期潛移默化的教學(xué)結(jié)果．考慮到中學(xué)數(shù)學(xué)的基本知識(shí)，大量的是公式和定理，如能在每一個(gè)公式、定理的教學(xué)中，都重視把傳授知識(shí)與開拓思維、培養(yǎng)能力結(jié)合起來，天長(zhǎng)日久，肯定會(huì)收到深遠(yuǎn)的效果． 3．教材組織與教法選用問題 實(shí)現(xiàn)上述教學(xué)目的，關(guān)鍵在于組織好教材，努力把傳授知識(shí)與開拓思維、培養(yǎng)能力結(jié)合起來．教材中對(duì)定理1和定理2的安排，可能是為了與前面講的比較法和配方法相呼應(yīng)．但這容易使人感到這兩個(gè)定理之間沒有什么內(nèi)在聯(lián)系，又似乎在應(yīng)用定理時(shí)才能用綜合法．事實(shí)上，可以用比較法證明兩個(gè)數(shù)的平方和或三個(gè)數(shù)的立方和的不等式，但當(dāng)n＞3，特別對(duì)n是奇數(shù)時(shí)，用比較法就困難了(因?yàn)檫@時(shí)難以配方與分解因式)．因此不具有一般性．而對(duì)綜合法，學(xué)生在初中證幾何題時(shí)已多次用過了(只是課本上沒有提到這個(gè)名稱)．現(xiàn)行課本中兩個(gè)不等式定理及其推論，是著名的平均值不等式： 和它的等價(jià)形式當(dāng) n=2，3時(shí)的特殊情況(當(dāng)n=2時(shí)，ai的取值有所變化)．在中學(xué)不講一般形式，只講特殊情況是符合大綱要求的．由于普遍性總是寓于特殊性之中，因此，這兩個(gè)特例應(yīng)是一般式的基礎(chǔ)．同時(shí)，這兩個(gè)特例之間應(yīng)有緊密的聯(lián)系，在推導(dǎo)方法上也應(yīng)該與一般式的證明有共性．這就是本教案的設(shè)計(jì)思想，因而改變了現(xiàn)行課本的證法． 這里，我們用由定理1先推出一個(gè)輔助不等式 a3＋b3≥a2b＋ab2，然后經(jīng)迭代、疊加，推出不等式 a3＋b3＋c3≥3abc，這種方法具有一般性．事實(shí)上，引入一個(gè)一般的輔助不等式 an＋bn≥an-1b＋abn-1(n＞1)，由迭代、疊加，再應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法就可以證出公式 正因?yàn)樯鲜鲎C法具有一般性，即揭示了證法的本質(zhì)(共性)，就必然有利于遞推與探索．又由(a－b)2≥0非常容易推出a2＋b2≥2ab，所以它是“天然”的奠基式．于 2ab，因此，凡能用配方法證明的問題，必能用基本不等式證明，反之亦真．可見配方法的重要作用．它的重要性應(yīng)在上一節(jié)比較法中就予以強(qiáng)調(diào)． 當(dāng)學(xué)生在教師的指導(dǎo)下和教師一起探索問題時(shí)，這個(gè)探索本身就是培養(yǎng)學(xué)生今后獨(dú)立去獲取知識(shí)的過程． 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式 常澤武指導(dǎo)教師：任天勝 （河西學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 甘肅張掖 734000） 摘要： 不等式在初等數(shù)學(xué)和高等代數(shù)中有廣泛的應(yīng)用，證明方法很多，本文以函數(shù)的觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí)不等式，以導(dǎo)數(shù)為工具來證明不等式。 關(guān)鍵字： 導(dǎo)數(shù) 不等式最值中值定理單調(diào)性泰勒公式 中圖分類號(hào)： O13 Application derivative to testify inequality ChangZeWu teachers: RenTianSheng (HeXi institute of mathematics and statistics Gansu zhang ye 734000)Abstract: He inequality in elementary mathematics and higher algebra is widely used, proved many methods, based on the function point of view to know inequality to derivative tools to prove to inequality.Key words: The most value of derivative inequality value theorem monotonicity Taylor formula 1.利用微分中值定理來證明不等式 在數(shù)學(xué)分析中，我們學(xué)到了拉格朗日中值定理，其內(nèi)容為： 定理1.如果函數(shù)f?x?在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，在開區(qū)間?a,b?上可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)???a,b?，使得f'(?)? 拉格朗日中值定理是探討可微函數(shù)的的幾何特性及證明不等式的重要工具，我們可以根據(jù)以下兩種方法來證明。 （1）首先，分析不等式通過變形，將其特殊化。其次，選取合適的函數(shù)和范圍。第三，利用拉格朗日中值定理。最后，在根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最大值和最小值。 （2）我們可根據(jù)其兩種等價(jià)表述方式 ①f(b)?f(a)?f'(a??(b?a))(b?a),0???1 ②f?a?h??f?a??f'?a??h?h,0???1 我們可以?的范圍來證明不等式。f(b)?f(a)。b?a 11(x?0)例1.1證明不等式ln(1?)?x1?x 證明第一步變形1 ln(1?)?ln(1?x)?ln(x)x 第二步選取合適的函數(shù)和范圍 令f(x)?lntt??x,1?x? 第三步應(yīng)用拉格朗日中值定理 存在???x,1?x?使得f'(?)?f(1?x)?f(x)(1?x)?(x) 即ln(1?x)?ln(x)?1 ?而 ?<1+x 1 1?x 1?x1)?而0?x??? 即ln(x1?x?ln(1?x)?ln(x)? 例 1.2證明：?h>-1且h?0都有不等式成立： h?ln(1?h)?h 1?h 證明：令f(x)=ln(1+x),有拉格朗日中值定理，????0,1?使得 ln(1?h)?f(h)?f(0)?f'(?h)h? 當(dāng)h>0時(shí)有 1??h?1?1?h,當(dāng)?1?h?0時(shí)有 1?1??h?1?h?0,即h.1??h1h??h;1?h1??h1h??h.1?h1??h 2．利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式 我們?cè)诔醯葦?shù)學(xué)當(dāng)中學(xué)習(xí)不等式的證明時(shí)用到了兩種方法：一種是判斷它們差的正負(fù)，另一種是判斷它們的商大于1還是小于1.而我們今天所要討論的是根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的思想來判斷大小。 定理：設(shè)函數(shù)f(x)在?a,b?上連續(xù)，在?a,b?可導(dǎo)，那么 （1）若在?a,b?內(nèi)f'(x)?0則f(x)在?a,b?內(nèi)單調(diào)遞增。 （2）若在?a,b?內(nèi)f'(x)?0則f(x)在?a,b?內(nèi)單調(diào)遞減。 使用定理：要證明區(qū)間?a,b?上的不等式f(x)?g(x)，只需令F(x)?f(?x)。g使在(x)?a,b?上F'(x)>0（F'(x)<0）且F(a)=0或（F(b)=0）例2.1 設(shè)x?0證明不等式ln(1?x)?xe?x 證明：令F(x)?ln(1?x)?xe?x（x>0） 顯然F(0)?0 1ex?x2?1?x?x（x>0）F'(x)??e?xe?x1?x(1?x)e 現(xiàn)在來證明ex?x2?1?0 令f(x)?ex?x2?1顯然f(0)?0 當(dāng)x?0時(shí)f'(x)?ex?2x?0 于是得f(x)在x?0上遞增 故對(duì)x?0有f(x)?f(0)?f(x)?0 而(1?x)ex?0 所以F'(x)?0故F(x)遞增 又因?yàn)镕(0)?0 所以F(x)?0 所以ln(1?x)?xe?x成立 3．利用函數(shù)的最大值和最小值證明不等式 當(dāng)?shù)仁街泻小?”號(hào)時(shí)，不等式f(x)?g(x)(或f(x)?g(x))? g(x)?f(x)?0（或g(x)?f(x)?0），亦即等價(jià)于函數(shù)G(x)?g(x)?f(x)有最小值或F(x)?f(x?)g(有最大值。x) 證明思路：由待正不等式建立函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)求出極值并判斷時(shí)極大值還是極小值，在求出最大值或最小值，從而證明不等式。 1例3.1證明若p>1，則對(duì)于?0,1?中的任意x有p?1?xp?(1?x)p?1 2 證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)?xp?(1?x)p(0?x?1) 則有f'(x)?pxp?1?p(1?x)p?1?p(xp?1?(1?x)p?1) 令f'(x)?0，可得xp?1?(1?x)p?1，于是有x?1?x，從而求得x?1。由于2 函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?0,1?上連續(xù)，因而在閉區(qū)間?0,1?上有最小值和最大值。 由于函數(shù)f(x)內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，沒有不可導(dǎo)點(diǎn)，又函數(shù)f(x)在駐點(diǎn)x?1和2 111p1?)?p?1,f(0)?f(1),區(qū)間端點(diǎn)(x?0和x?1)的函數(shù)值為f()?)p?(1所以2222 1f(x)在?0,1?的最小值為p?1，最大值為1，從而對(duì)于?0,1?中的任意x有2 11?f(x)?1?xp?(1?x)p?1。，既有p?1p?122 4．利用函數(shù)的泰勒展式證明不等式 若函數(shù)f(x)在含有x0的某區(qū)間有定義，并且有直到(n?1)階的各階導(dǎo)數(shù)，又在x0處有n階導(dǎo)數(shù)f(n)(x0)，則有展式： f'(x0)f''(x0)fn(x0)2(x?x0)?(x?x0)??(x?x0)n?Rn(x)f(x)?f(x0)?1!2!n! 在泰勒公式中，取x0=0,變?yōu)辂溈藙诹止?/p> f'(0)f''(0)2fn(0)nf(x)?f(0)?(x)?(x)??(x)?Rn(x)1!2!n! 在上述公式中若Rn(x)?0(或?0)則可得 f'(0)f''(0)2fn(0)nf(x)?f(0)?(x)?(x)??(x)，1!2!n! f'(0)f''(0)2fn(0)n(x)?(x)??(x)?；騠(x)?f(0)?1!2!n! 帶有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式的實(shí)質(zhì)是拉格朗日微分中值定理的深化，他是一個(gè)定量估計(jì)式，該公式在不等式證明和微分不等式證明及較為復(fù)雜的極限計(jì)算中有廣泛的應(yīng)用。 用此公式證明不等式就是要把所證不等式化簡(jiǎn)，其中函數(shù)用此公式，在把公式右邊放大或縮小得到所證不等式。 例4.1若函數(shù)f(x)滿足：（1）在區(qū)間?a,b?上有二階導(dǎo)函數(shù)f''(x)，（2） f'(a)?f'(b)?0，則在區(qū)間?a,b?內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使 f''(c)?4f(b)?f(a)。2(b?a) 證明：由f(x)在x?a和x?b處的泰勒公式，并利用f'(a)?f'(b)?0，得f(x)?f(a)?f''(?)(x?a)2 2!f''(?)f(x)?f(b)?(x?b)2,于是2! a?bf''(?)(b?a)2a?bf()?f(a)??(a???),22!42 a?bf''(?)(b?a)2a?bf()?f(b)??(a???),22!42 f''(?)?f''(?)(b?a)2 相減，得f(b)-f(a)=,24 4f(b)?f(a)1(b?a)2 即?f''(?)?f(?)?,(b?a)224 當(dāng)f''(?)?f''(?)時(shí)，記c??否則記c=?,那么 f''(c)?4f(b)?f(a)(a?b?c)(b?a)2 參 考 文 獻(xiàn) 《數(shù)學(xué)分析》上冊(cè)，高等教育出版社，1990.?1?鄭英元，毛羽輝，宋國(guó)棟編，?2?趙煥光，林長(zhǎng)勝編《數(shù)學(xué)分析》上冊(cè)，四川大學(xué)出版社，2006。?3?歐陽光中，姚允龍，周淵編《數(shù)學(xué)分析》上冊(cè)，復(fù)旦大學(xué)出版社，2004.?4?華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編《數(shù)學(xué)分析》上冊(cè)，第三版，高等教育出版社2001.第二篇：基本不等式與不等式基本證明
第三篇：基本不等式的證明
第四篇：基本不等式的證明
第五篇：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式
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