第一篇：基本不等式教案

基本不等式

【教學(xué)目標(biāo)】

1、掌握基本不等式，能正確應(yīng)用基本不等式的方法解決最值問題

2、用易錯(cuò)問題引入要研究的課題，通過實(shí)踐讓同學(xué)對(duì)基本不等式應(yīng)用的二個(gè)條件有進(jìn)一步的理解

3、會(huì)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想研究問題 【教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)】

教學(xué)重點(diǎn): 基本不等式應(yīng)用的條件和等號(hào)成立的條件 教學(xué)難點(diǎn)：基本不等式等號(hào)成立的條件 【教學(xué)過程】

一、設(shè)置情景，引發(fā)探究 問題一：x?1有最小值嗎？ x2問題二：x?3?1x?32?2正確嗎？

二、合作交流，研究課題

R中，a+b≥2ab，a+b≥?2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取到等號(hào)。22

22a2?b2a?b2 R中，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取到等號(hào)。??ab?，1122?ab?注意：

1、公式應(yīng)用的條件

2、等號(hào)成立的條件

三、實(shí)例分析，深化理解 例

1、求所給下列各式的最小值（1）y?a? 1(a?3)a?31(a?3)?3?2?3?5,a?3

1當(dāng)且僅當(dāng)a?3??a?3?1?a?4時(shí)，ymin?5。a?3x2?2x?2(?1?x?1)（2）y?2x?2y?a?3?(x?1)2?1x?11 y???2(x?1)22(x?1)在(-1,0)上單調(diào)遞減，在[0,1]上單調(diào)遞增，當(dāng)且僅當(dāng)x?11?(1?x??1)?x?0時(shí)，y有最小值1。22(x?1)11+的最小值.xy總結(jié)：想求和的最小值，乘積為定值

例

2、已知正數(shù)x、y滿足x+2y=1，（1）求xy的最大值（2）求解：（1）1=x+2y?22xy，∴xy?

1； 8（2）∵x、y為正數(shù)，且x+2y=1，1111∴+=（x+2y）（+）xyxy2yx=3++≥3+22，xy當(dāng)且僅當(dāng)

22yx=，即當(dāng)x=2－1，y=1－時(shí)等號(hào)成立.2xy∴11+的最小值為3+22.（目的：發(fā)現(xiàn)同學(xué)中的等號(hào)不成立的錯(cuò)解）xy總結(jié)：想求乘積的最大值，和為定值

四、總結(jié)提高，明確要點(diǎn)

五、布置作業(yè)，復(fù)習(xí)鞏固

教學(xué)反思：加強(qiáng)利用均值不等式及其他方法求最值的練習(xí)，在求最大（?。┲禃r(shí)，有三個(gè)問題必須注意：第一，注意不等式成立的充分條件，即x＞0，y＞0（x+y≥2xy）；第二，注意一定要出現(xiàn)積為定值或和為定值；第三，要注意等號(hào)成立的條件，若等號(hào)不成立，利用均值不等式x+y≥2xy不能求出最大（?。┲?

第二篇：《基本不等式》教案

《基本不等式》教學(xué)設(shè)計(jì)

教材：人教版高中數(shù)學(xué)必修5第三章

一、教學(xué)目標(biāo)

1．通過兩個(gè)探究實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生從幾何圖形中獲得兩個(gè)基本不等式，了解基本不等式的幾何背景，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想；

2．進(jìn)一步提煉、完善基本不等式，并從代數(shù)角度給出不等式的證明，組織學(xué)生分析證明方法，加深對(duì)基本不等式的認(rèn)識(shí)，提高邏輯推理論證能力；

3．結(jié)合課本的探究圖形，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究基本不等式的幾何解釋，強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合的思想； 4．借助例1嘗試用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問題，通過例2及其變式引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)運(yùn)用基本不等式方法與策略．

以上教學(xué)目標(biāo)結(jié)合了教學(xué)實(shí)際，將知識(shí)與能力、過程與方法、情感態(tài)度價(jià)值觀的三維目標(biāo)融入各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)．

二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索不等式難點(diǎn)：在幾何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式．

三、教學(xué)過程： 1．動(dòng)手操作，幾何引入

的證明過程； 的三個(gè)限制條件（一正二定三相等）在解決最值中的作用，提升解決問題的能力，體會(huì)

如圖是2002年在北京召開的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”設(shè)計(jì)的，該圖給出了迄今為止對(duì)勾股定理最早、最簡(jiǎn)潔的證明，體現(xiàn)了以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何是緊密結(jié)合、互不可分的．

探究一：在這張“弦圖”中能找出一些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎？ 在正方形中有4個(gè)全等的直角三角形．設(shè)直角三角形兩條

直角邊長(zhǎng)為，．于是，那么正方形的邊長(zhǎng)為4個(gè)直角三角形的面積之和正方形的面積由圖可知，即

．

．

探究二：先將兩張正方形紙片沿它們的對(duì)角線折成兩個(gè)等腰直角三角形，再用這兩個(gè)三角形拼接構(gòu)造出一個(gè)矩形（兩邊分別等于兩個(gè)直角三角形的直角邊，多余部分折疊）．假設(shè)兩個(gè)正方形的面積分別為和（），考察兩個(gè)直角三角形的面積與矩形的面積，你能發(fā)現(xiàn)一個(gè)不等式嗎？

通過學(xué)生動(dòng)手操作，探索發(fā)現(xiàn)：2．代數(shù)證明，得出結(jié)論

根據(jù)上述兩個(gè)幾何背景，初步形成不等式結(jié)論： 若若，則，則

． ．

學(xué)生探討等號(hào)取到情況，教師演示幾何畫板，通過展示圖形動(dòng)畫，使學(xué)生直觀感受不等關(guān)系中的相等條件，從而進(jìn)一步完善不等式結(jié)論：

（1）若，則

；（2）若，則

請(qǐng)同學(xué)們用代數(shù)方法給出這兩個(gè)不等式的證明． 證法一（作差法）：，當(dāng)（在該過程中，可發(fā)現(xiàn)證法二（分析法）：由于要證明 只要證明 即證 即，，該式顯然成立，所以，當(dāng)

時(shí)取等號(hào)．

時(shí)取等號(hào)． 的取值可以是全體實(shí)數(shù)），于是

得出結(jié)論，展示課題內(nèi)容 基本不等式: 若若，則，則

（當(dāng)且僅當(dāng)（當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，等號(hào)成立）時(shí)，等號(hào)成立）

深化認(rèn)識(shí)： 稱為的幾何平均數(shù)；稱

為的算術(shù)平均數(shù)

基本不等式又可敘述為：

兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù) 3．幾何證明，相見益彰

探究三：如圖，弦，連接． 是圓的直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，．過點(diǎn)作垂直于的根據(jù)射影定理可得：由于Rt中直角邊

斜邊，于是有當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn) 與圓心重合時(shí)，即

時(shí)等號(hào)成立．

故而再次證明： 當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，等號(hào)成立）

（進(jìn)一步加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，提升思維的靈活性）4．應(yīng)用舉例，鞏固提高

例1.（1）用籬笆圍一個(gè)面積為100平方米的矩形菜園，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？

（2）一段長(zhǎng)為36米的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？

（通過例1的講解，總結(jié)歸納利用基本不等式求最值問題的特征,實(shí)現(xiàn)積與和的轉(zhuǎn)化）對(duì)于（1）若，（定值），則當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，有最小值

；

（2）若（定值），則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值．

（鼓勵(lì)學(xué)生自己探索推導(dǎo)，不但可使他們加深基本不等式的理解，還鍛煉了他們的思維，培養(yǎng)了勇于探索的精神．）

例2.求變式1.若，求的值域． 的最小值． 的函數(shù)圖象，使學(xué)生再次感受在運(yùn)用基本不等式解題的基礎(chǔ)上，利用幾何畫板展示數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想． 并通過例2及其變式引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)運(yùn)用基本不等式的三個(gè)限制條件（一正二定三相等）在解決最值問題中的作用，提升解決問題的能力，體會(huì)方法與策略．

練一練（自主練習(xí)）：

1.已知2.設(shè)，且，且，求，求的最小值． 的最小值．

5．歸納小結(jié)，反思提高 基本不等式：若，則

（當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，等號(hào)成立）

若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）

（1）基本不等式的幾何解釋（數(shù)形結(jié)合思想）；（2）運(yùn)用基本不等式解決簡(jiǎn)單最值問題的基本方法． 媒體展示，滲透思想： 若將算術(shù)平均數(shù)記為，幾何平均數(shù)記為

利用電腦3D技術(shù)，在空間坐標(biāo)系中向?qū)W生展示基本不等式的幾何背景：

平面

在曲面的上方

6．布置作業(yè)，課后延拓（1）基本作業(yè)：課本P100習(xí)題

組1、2題

（2）拓展作業(yè)：請(qǐng)同學(xué)們課外到閱覽室或網(wǎng)上查找基本不等式的其他幾何解釋，整理并相互交流．（3）探究作業(yè)： 現(xiàn)有一臺(tái)天平，兩臂長(zhǎng)不相等，其余均精確，有人說要用它稱物體的重量，只需將物體放在左右托盤各稱一次，則兩次所稱重量的和的一半就是物體的真實(shí)重量．這種說法對(duì)嗎？并說明你的結(jié)論．

《基本不等式》教學(xué)設(shè)計(jì)說明

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

本節(jié)課是人教版高中數(shù)學(xué)必修5中第三章第4節(jié)的內(nèi)容。主要是二元均值不等式。它是在系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了不等關(guān)系和不等式性質(zhì)，掌握了不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上展開的，作為重要的基本不等式之一，為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。要進(jìn)一步了解不等式的性質(zhì)及運(yùn)用，研究最值問題，此時(shí)基本不等式是必不可缺的?；静坏仁皆谥R(shí)體系中起了承上啟下的作用，同時(shí)在生活及生產(chǎn)實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用，因此它也是對(duì)學(xué)生進(jìn)行情感價(jià)值觀教育的優(yōu)良素材，所以基本不等式應(yīng)重點(diǎn)研究。

教學(xué)中注意用新課程理念處理教材，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不僅要接受、記憶、模仿和練習(xí)，而且要自主探究、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)，師生互動(dòng)，教師發(fā)揮組織者、引導(dǎo)者、合作者的作用，引導(dǎo)學(xué)生主體參與、揭示本質(zhì)、經(jīng)歷過程。

就知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值上來看，基本不等式是從大量數(shù)學(xué)問題和現(xiàn)實(shí)問題中抽象出來的一個(gè)模型，在公式推導(dǎo)中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法如數(shù)形結(jié)合、抽象歸納、演繹推理、分析法證明等在各種不等式的研究中均有著廣泛的應(yīng)用；另外，在解決函數(shù)最值問題中，基本不等式也起著重要的作用。

就內(nèi)容的人文價(jià)值上來看，基本不等式的探究與推導(dǎo)需要學(xué)生觀察、分析、歸納，有助于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維和探索精神，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合意識(shí)和提高數(shù)學(xué)能力的良好載體。

二、教學(xué)目標(biāo)和目標(biāo)解析

教學(xué)目標(biāo)：了解基本不等式的幾何背景，能在教師的引導(dǎo)下探究基本不等式的證明過程，理解基本不等式的幾何解釋，并能解決簡(jiǎn)單的最值問題；借助于信息技術(shù)強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合的思想方法。

在教師的逐步引導(dǎo)下，能從較為熟悉的幾何圖形中抽象出基本不等式，實(shí)現(xiàn)對(duì)基本不等式幾何背景的初步了解。

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了不等式的基本性質(zhì)，可以運(yùn)用作差法給出基本不等式的證明，同時(shí)，介紹并滲透分析法證明的思想方法，從而完成基本不等式的代數(shù)證明。

進(jìn)一步通過探究幾何圖形，給出基本不等式的幾何解釋，加強(qiáng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識(shí)。

通過應(yīng)用問題的解決，明確解決應(yīng)用題的一般過程。這是一個(gè)過程性目標(biāo)。借助例1，引導(dǎo)學(xué)生嘗試用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問題，體會(huì)和與積的相互轉(zhuǎn)化，進(jìn)一步通過例2，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)運(yùn)用基本不等式的三個(gè)限制條件（一正二定三相等）在解決最值問題中的作用，并用幾何畫板展示函數(shù)圖形，進(jìn)一步深化數(shù)形結(jié)合的思想。結(jié)合變式訓(xùn)練完善對(duì)基本不等式結(jié)構(gòu)的理解，提升解決問題的能力，體會(huì)方法與策略。

三、教學(xué)問題診斷

在認(rèn)知上，學(xué)生已經(jīng)掌握了不等式的基本性質(zhì)，并能夠根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行數(shù)、式的大小比較，也具備了一定的平面幾何的基本知識(shí)。但是，倘若教師不加以引導(dǎo)，學(xué)生并不能自覺地通過已有的知識(shí)、記憶去發(fā)展和構(gòu)建幾何圖形中的相等或不等關(guān)系，這就需要教師逐步地引導(dǎo)，并選用合理的手段去激活學(xué)生的思維，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)。

另外，盡可能引領(lǐng)學(xué)生充分理解兩個(gè)基本不等式等號(hào)成立的條件，為利用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問題做好鋪墊。在用基本不等式解決最值時(shí)，學(xué)生往往容易忽視基本不等式件，同時(shí)又要注意區(qū)別基本不等式的使用條件為

使用的前提條

。因此，在教學(xué)過程中，借助例題落實(shí)學(xué)生領(lǐng)會(huì)基本不等式成立的三個(gè)限制條件（一正二定三相等）在解決最值問題中的作用。而對(duì)于“一正二定三相等”的進(jìn)一步強(qiáng)化和應(yīng)用，將放于下一個(gè)課時(shí)的內(nèi)容。

四、教學(xué)支持條件分析

為了能很好地展示幾何圖形,體會(huì)基本不等式的幾何背景,教學(xué)中需要有具體的圖形來幫助學(xué)生理解基本不等式的生成，感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，所以，借助于幾何畫板軟件來加強(qiáng)幾何直觀十分必要，同時(shí)演示動(dòng)畫幫助學(xué)生驗(yàn)證基本不等式等號(hào)取到的情況，并用電腦3D技術(shù)展示基本不等式的又一幾何背景，加深對(duì)基本不等式的理解，增強(qiáng)教學(xué)效果。

五、教學(xué)設(shè)計(jì)流程圖

教學(xué)過程的設(shè)計(jì)從實(shí)際的問題情境出發(fā)，以基本不等式的幾何背景為著手點(diǎn)，以探究活動(dòng)為主線，探求基本不等式的結(jié)構(gòu)形式，并進(jìn)一步給出幾何解釋，深化對(duì)基本不等式的理解。通過典型例題的講解，明確利用基本不等式解決簡(jiǎn)單最值問題的應(yīng)用價(jià)值。數(shù)形結(jié)合的思想貫穿于整個(gè)教學(xué)過程，并時(shí)刻體現(xiàn)在教學(xué)活動(dòng)之中。

六、教法和預(yù)期效果分析

本節(jié)課通過6個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，強(qiáng)調(diào)過程教學(xué)，在教師的引導(dǎo)下，啟動(dòng)觀察、分析、感知、歸納、探究等思維活動(dòng)，從各個(gè)層面認(rèn)識(shí)基本不等式，并理解其幾何背景。課堂教學(xué)以學(xué)生為主體，基本不等式為主線，在學(xué)生原有的認(rèn)知基本上，充分展示基本不等式這一知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展及再創(chuàng)造的過程。

同時(shí)，以多媒體課件、幾何畫板、電腦3D技術(shù)作為教學(xué)輔助手段，賦予學(xué)生直觀感受，便于觀察，從而把一個(gè)生疏的、內(nèi)在的知識(shí)，變成一個(gè)可認(rèn)知的、可交流的對(duì)象，提高了課堂效率。

通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，引領(lǐng)學(xué)生多角度、多方位地認(rèn)識(shí)基本不等式，并了解它的幾何意義充分滲透數(shù)形結(jié)合的思想；能在教師的引導(dǎo)下，主動(dòng)探索并了解基本不等式的證明過程，強(qiáng)化證明的各類方法；會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大(小)值問題并注意等號(hào)取到的條件。在教學(xué)過程中始終圍繞教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行評(píng)價(jià)，師生互動(dòng)，在教學(xué)過程的不同環(huán)節(jié)中及時(shí)獲取教學(xué)反饋信息，以學(xué)生為主體，及時(shí)調(diào)節(jié)教學(xué)措施，完成教學(xué)目標(biāo)，從而達(dá)到較為理想的教學(xué)效果。

第三篇：基本不等式的證明 教案

課題：基本不等式的證明(1)

斜橋中學(xué)肖劍

一、教材分析

不等式是高中的重點(diǎn)也是難點(diǎn),而本節(jié)內(nèi)容又是該章的重中之重，是《考試說明》中八個(gè)C級(jí)考點(diǎn)之一?；静坏仁降淖C明方法（比較法、分析法、綜合法）為我們證明不等關(guān)系提供了主要的方法及應(yīng)用。用基本不等式求函數(shù)最值也是高考的一個(gè)熱點(diǎn)。

二、教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)目標(biāo)：⑴知道算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)的概念

⑵探索并了解基本不等式的證明過程，體會(huì)證明不等式的基本思想方法；

⑶能利用基本不等式證明簡(jiǎn)單的不等關(guān)系。

2.情感目標(biāo)：通過不等式基本性質(zhì)的探究過程，培養(yǎng)學(xué)生合作交流的思維品質(zhì)，滲透不等式

中的數(shù)學(xué)美，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，陶冶學(xué)生的數(shù)學(xué)情操。

3.能力目標(biāo):⑴通過對(duì)基本不等式證明的理解，體會(huì)三種證明方法，能準(zhǔn)確用三種證明中簡(jiǎn)

單的方法證明其它不等式問題。

⑵體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)其觀察、分析問題的能力和總結(jié)概括的能力

三、教學(xué)重、難點(diǎn)

以學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)定理來得出重點(diǎn)，以學(xué)生小組討論，教師點(diǎn)撥來突破難點(diǎn)。

四、教學(xué)方法

以學(xué)生自主探究為住，教師歸納總結(jié)，采用啟發(fā)式教學(xué)。

五、教學(xué)過程

1、創(chuàng)設(shè)情境、導(dǎo)入新課

利用多媒體顯示下面不等式，由學(xué)生完成比較大小。

3?42?94?

423

322222、問題探究、講授新課

提出問題：能否發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

通過比較，學(xué)生不難得出，兩數(shù)和的一半大于兩數(shù)積的算術(shù)平方根。從而得出數(shù)學(xué)表達(dá)式a?b?ab。從而得出本節(jié)課的第一個(gè)重點(diǎn)：基本不等式的定理。這樣由學(xué)生自主探索、2發(fā)現(xiàn)新知，可讓他們體會(huì)獲得成功的愉悅感。在這里，如果學(xué)生漏掉a和b是正數(shù)，可對(duì)他們進(jìn)行修正，并可擴(kuò)充到a?0，b?0。同時(shí)講明取“＝”當(dāng)且僅當(dāng)?shù)暮x，接著可向?qū)W生講

解算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)的概念。

得出這個(gè)定理后，下面我可利用多媒體生動(dòng)地向?qū)W生展示該不等式的幾何證明即不等式的幾何意義同時(shí)強(qiáng)調(diào)取等號(hào)時(shí)的位置，這樣可提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。展示完后，我便可提問，剛才我們是從圖中直觀地看出這個(gè)不等式是正確的，但我們數(shù)學(xué)是需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬜C明，同學(xué)們可用哪些方法去證明呢？這便是本節(jié)課的第二個(gè)重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。在此，可鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)揮集體的力量，一人不行兩人，兩人不行四人，大家一起探討，這樣以學(xué)生為主體，使他們?nèi)紖⑴c到課堂中去，使課堂達(dá)到高潮。在學(xué)生的討論過程中，我也深入到學(xué)生中去，并做適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥。

通過學(xué)生的討論，學(xué)生不難得出用作差的方法證明該不等式，對(duì)此，我對(duì)他們進(jìn)行鼓勵(lì)、肯定，豎立他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。同時(shí)向他們講明作差比較是我們高中階段證明不等式的重要方法之一。最后我用多媒體展示書寫過程，幫他們?cè)俅螐?qiáng)化該方法的書寫步驟。對(duì)于分析法，我估計(jì)學(xué)生可能會(huì)想到思路，會(huì)說出大致的證明過程，但對(duì)該方法的理解還是很模糊的，在這里，我首先向他們介紹這就是分析法，是我們證明不等式的另一個(gè)重要方法，接著講解該方法，即從結(jié)論出發(fā)，推到已知結(jié)論或恒等式或公理，最后由我在黑板上完成書寫，幫他們學(xué)會(huì)規(guī)范的書寫，即“要證，只要證”的形式

要證ab?a?b

2只要證2ab?a?b

只要證0?a?b?2ab

只要證0?a?b ?2

因?yàn)樽詈笠粋€(gè)不等式成立，所以ab? a?b成立，當(dāng)且僅當(dāng)a?b，即a?b時(shí)取“?” 2

對(duì)于綜合法，在證明這道題時(shí)，如果學(xué)生沒有先想到，就把本方法在最后的方法中講，因?yàn)榫C合法在本題中不易想到從哪個(gè)式子開始證明，但有了比較法和分析法后，學(xué)生自然能想到從哪個(gè)式子開始證明，同時(shí)講清綜合法的特點(diǎn)，即由條件，推倒結(jié)論。

講完三種證明方法后，留一定時(shí)間給學(xué)生，讓他們自己去感悟一下三種方法的特點(diǎn)及書寫過程，加深他們的印象。

b2a2

?最后，我以鞏固本節(jié)課所學(xué)知識(shí)為目的，讓學(xué)生比較:與a?b的大小(其中ab

a,b?R?)，在這里，我認(rèn)為比較兩個(gè)變量的大小，可引導(dǎo)學(xué)生利用我們上課一開始比較具體數(shù)大小的方法，代幾個(gè)具體的數(shù)去比較。這種方法在我們以后做填空題中比較大小是一種捷徑。而本題的證明可利用我們今天課上所講的三種方法，我打算讓兩位學(xué)生在黑板板演，以檢驗(yàn)他們掌握情況與書寫格式是否合理。如時(shí)間還有剩余，可由學(xué)生完成例一，幫他們鞏固基本不等式定理。

例一1．設(shè)a,b為正數(shù)，證明下列不等式成立：

ba1??2（2）a??2 aba

162．已知函數(shù)y?x?，x?(?2,??)，求此函數(shù)的最小值。x?2（1）

六、回顧反思：

本節(jié)課的最后，由學(xué)生思考今天所學(xué)到了哪些知識(shí)，這些知識(shí)可解決哪些問題？

七、板書設(shè)計(jì)

基本不等式

一、定理

a?b?ab（a?0，b?0）

2二、證明方法

⑴作差法

⑵分析法

⑶綜合法

三、探索 a?b比較?2a2?b2的大小 2

如何證明

例一

第四篇：“基本不等式”(第一課時(shí))教案

基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)（第一課時(shí)）

阮

曉

鋒

一、教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能目標(biāo)： 學(xué)會(huì)推證基本不等式，了解基本不等式的應(yīng)用。

2.過程與方法目標(biāo)：通過代數(shù)、幾何背景探究抽象出基本不等式；

3．情感與價(jià)值目標(biāo)：通過學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索其證明過程； 難點(diǎn)：在幾何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式．

三、教學(xué)過程：

1．設(shè)置情景，引入新課

如圖是2002年在北京召開的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”設(shè)計(jì)的，該圖給出了迄今為止對(duì)勾股定理最早、最簡(jiǎn)潔的證明。

探究一：在這張“弦圖”中借助面積能找出一些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎？

問題1：它們有相等的情況嗎？何時(shí)相等？

結(jié)論：一般地，對(duì)于正實(shí)數(shù)a、b，我們有a?b?2ab 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立.2．代數(shù)證明，推出結(jié)論

問題2：你能給出它的代數(shù)證明嗎？（請(qǐng)同學(xué)們用代數(shù)方法這個(gè)不等式的證明．）

證明（作差法）：

∵，當(dāng)（在該過程中，可發(fā)現(xiàn)a,b取值可以是全體實(shí)數(shù)）問題3：當(dāng) a,b為任意實(shí)數(shù)時(shí)，上式還成立嗎？

2222給出

時(shí)取等號(hào)．

重要不等式：對(duì)任意實(shí)數(shù)a、b，我們有a?b?2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立）特別地，若a>0且b>0可得a?b?ab，即基本不等式:若a>0且b>0，則

a?b?ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立）2a?b?ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立）2深化認(rèn)識(shí)：

(1)兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng).(2)若稱a?b為a、b的算術(shù)平均數(shù),稱ab為它們的幾何平均數(shù)，則基本不等式又可2敘述為：兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù) 3．動(dòng)手操作、幾何證明，相見益彰 探究二：先將兩張正方形紙片沿它們的對(duì)角線折成兩個(gè)等腰直角三角形，再用這兩個(gè)三角形拼接構(gòu)造出一個(gè)矩形（兩邊分別等于兩個(gè)直角三角形的直角邊，多余部分折疊）．假設(shè)兩個(gè)正方形的面積分別為a和b（a?b），考察兩個(gè)直角三角形的面積與矩形的面積，你能發(fā)現(xiàn)一個(gè)不等式嗎？（通過學(xué)生動(dòng)手操作，探索發(fā)現(xiàn)）

探究三：如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，AC=a，BC=b．過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD．根據(jù)射影定理可得：CD?大于直角邊CD，于是有

AC?BC?ab由于RtCOD中斜邊OD

a?b?ab當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心O重合時(shí)，即a=b時(shí)等號(hào)成立.2（進(jìn)一步加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，提升思維的靈活性）4．應(yīng)用舉例，鞏固新知 例1.（1）用籬笆圍一個(gè)面積為100平方米的矩形菜園，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？

（2）一段長(zhǎng)為36米的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？

（通過例1的講析，總結(jié)歸納利用基本不等式求最值問題的特征,實(shí)現(xiàn)積與和的轉(zhuǎn)化）方法：一般地，對(duì)于x,y?R我們有：

142?（1）若xy=p（p為定值），則當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，x+y有最小值2xy；（2）若x+y=s（s為定值），則當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，xy有最大值s． 上述應(yīng)用基本不等式求最值的方法可簡(jiǎn)記為：

在“一證、二定、三相等”的前提下有“積定和最小，和定積最大”。

例2.設(shè)x?0,y?0，且2x?y?2，求xy的最大值．

1的最小值.x?21思考題：若x?2,你能求出x?的最小值嗎？能求出其最大值嗎？若能請(qǐng)求出來.x?2變式題.若x?2，求x?5．歸納小結(jié)，反思提高

22重要不等式：若a、b?R，則a?b?2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)等號(hào)成立）

基本不等式：若a、b?R，則

?a?b?ab（當(dāng)且僅a?b等號(hào)成立）2運(yùn)用基本不等式解決簡(jiǎn)單最值問題的基本方法．

在“一證、二定、三相等”的前提下有“積定和最小，和定積最大”。

6．布置作業(yè)，課后延拓

（1）基本作業(yè)：課本P100-101習(xí)題組2、4題（2）提高作業(yè)：求y?x?1的值域． x（3）探究作業(yè)：

現(xiàn)有一臺(tái)天平，兩臂長(zhǎng)不相等，其余均精確，有人說要用它稱物體的重量，只需將物體放在左右托盤各稱一次，則兩次所稱重量的和的一半就是物體的真實(shí)重量．這種說法對(duì)嗎？并說明你的結(jié)論．

第五篇：基本不等式練習(xí)題

基本不等式練習(xí)題

一、選擇題，本大題共10小題，每小題4分，滿分40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若a?R，下列不等式恒成立的是（）

A．a(chǎn)2?1?aB12?1C．a(chǎn)2?9?6aD．lg(a?1)?lg|2a| 2a?

12.若0?a?b且a?b?1，則下列四個(gè)數(shù)中最大的是（）

Ａ．1Ｂ．

2xa2?b2Ｃ．2abＤ．a(chǎn)3.設(shè)x>0,則y?3?3x?的最大值為（）

Ａ．3Ｂ

．3? Ｃ．

3?Ｄ．－1

4.設(shè)x,y?R,且x?y?5,則3x?3y的最小值是()

A.10

B.C.D.5.若x, y是正數(shù)，且14??1，則xyxy有（）

Ａ．最大值16 Ｂ．最小值11 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值 1616

6.若a, b, c∈R，且ab+bc+ca=1, 則下列不等式成立的是（）

A．a(chǎn)2?b2?c2?2B．(a?b?c)2?3

C

．1

a?1

b?1

c?D

．a(chǎn)?b?c?7.若x>0, y>0,且x+y?4,則下列不等式中恒成立的是（）

A．11111?B．??1C

2D．?1 x?y4xyxy

8.a,b是正數(shù)，則

Ａ

．

a?b,22ab三個(gè)數(shù)的大小順序是（）a?b a?b2aba?b2abＢ

．????2a?b2a?b

2aba?bＤ

．a(chǎn)?b22aba?b?a?b2Ｃ

．9.某產(chǎn)品的產(chǎn)量第一年的增長(zhǎng)率為p，第二年的增長(zhǎng)率為q，設(shè)這兩年平均增長(zhǎng)率為x，則有（）

Ａ．x?p?qp?qp?qp?qＢ．x?Ｃ．x?Ｄ．x? 2222

10.下列函數(shù)中，最小值為4的是（）

Ａ．y?x?Ｂ．y?sinx?

?x

Ｃ．y?ex?4eＤ．

x

4(0?x??)sinx

y?log3x?4loxg 3

二、填空題, 本大題共4小題，每小題3分，滿分12分，把正確的答案寫在題中橫線上.11.函

數(shù)y?的最大值為12.建造一個(gè)容積為18m3, 深為2m的長(zhǎng)方形無(wú)蓋水池，如果池底和

池壁每m2 的造價(jià)為200元和150元，那么池的最低造價(jià)為_________元.13.若直角三角形斜邊長(zhǎng)是1，則其內(nèi)切圓半徑的最大值是.14.判斷下列不等式的證明過程中的正誤，并指出錯(cuò)因。（1）若a、b∈R，則

baba

＋≥2?＝2（）abab

?

（2）若x,y?R，則lgx＋lgy≥2lgx?lgy（）

（3）若x?0，則x＋

4≥－2x?＝－4（）xx

（4）若x∈R，則2x＋2?x≥22x?2?x＝2（）

三、解答題, 本大題共4小題，每小題12分，共48分，解答應(yīng)寫出

必要的文字說明、證明過程和演算步驟.15..16.設(shè)a, b, c?(0,??),且a+b+c=1，求證：(?1)(?1)(?1)?8.a

1b

1c

17.已知正數(shù)a, b滿足a+b=1（1）求ab的取值范圍;的最小值.18.2）求ab?

ab

（基本不等式

1.若a,b?R，則ab?a

?b2

2（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”）

2.若a,b?R*，則a?b?2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”）

3.若

x?0，則

x?

?2(當(dāng)且僅當(dāng)x

x?1時(shí)取“=”）;若x?0，則x?1??2(當(dāng)且僅當(dāng)

x

x??1時(shí)取“=”）

注：（1）當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植

時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”．

（2）求最值的條件“一正，二定，三取等”。

應(yīng)用一：求最值

例1：求下列函數(shù)的值域

（1）y＝3x＋

12x

（2）y＝x＋

x

解：（1）y＝3x＋

2≥22x

3x·

2＝2x

6∴值域?yàn)閇6，+∞）

（2）當(dāng)x＞0時(shí)，y＝x＋ ≥2

x

1x· ＝2；

x

x· =－2

x

當(dāng)x＜0時(shí)，y＝x＋ = －（－ x－）≤－2

xx

∴值域?yàn)椋ǎ蓿?]∪[2，+∞）

1.已知2.當(dāng)3.若

4已知

時(shí)，求

x?，求函數(shù)y?4x?2?

1的最大值 4x?

5y?x(8?2x)的最大值。

x,y?R?且2x?y?1，求

11的最小值 ?xy

a,b,x,y?R?且

ab

??1，求xy

x?y的最小值

應(yīng)用二：利用均值不等式證明不等式

5.已知

6.正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc

7.已知a、b、c?R，且

?

a,b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：a2?b2?c2?ab?bc?ca

?1??1??1?

a?b?c?1。求證：??1???1???1??8

?a??b??c?

應(yīng)用三：均值不等式與恒成立問題

8.已知

x?0,y?0且

??1，求使不等式x?y?m恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍。xy

應(yīng)用四：實(shí)際應(yīng)用題及比較大小

1a?b)，則P,Q,R的大小關(guān)系是例：若a?b?1,P?a?lgb,Q?(lga?lgb),R?lg（22

分析：∵a?b?1 ∴l(xiāng)ga?0,lgb?0Q?（lga?lgb)?a?lgb?p

a?b1R?lg()?lgab?lgab?Q∴R>Q>P。

9.建造一個(gè)容積為18m, 深為2m的長(zhǎng)方形無(wú)蓋水池，如果池底和池壁每m 的造價(jià)為200元和150元，那么池的最低造價(jià)為多少元.