第一篇：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的兩種通法

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的兩種通法

吉林省長春市東北師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校

金鐘植岳海學(xué)

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式主要有兩種通法，即函數(shù)類不等式證明和常數(shù)類不等式證明。下面就有關(guān)的兩種通法用列舉的方式歸納和總結(jié)。

一、函數(shù)類不等式證明

函數(shù)類不等式證明的通法可概括為：證明不等式f(x)?g(x)（f(x)?g(x)）的問題轉(zhuǎn)化為證明f(x)?g(x)?0（f(x)?g(x)?0），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)?f(x)?g(x)，然后利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)h(x)的單調(diào)性或證明函數(shù)h(x)的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。

例1 已知x?(0,?

2)，求證：sinx?x?tanx

分析：欲證sinx?x?tanx，只需證函數(shù)f(x)?sinx?x和g(x)?x?tanx在(0,單調(diào)遞減即可。

證明：

令f(x)?sinx?x，其中x?(0,則f(x)?cosx?1，而x?(0,所以f(x)?sinx?x在(0,所以sinx?x；

令g(x)?x?tanx，其中x?(0,則g(x)?1?/?2)上?2)/?2)?cosx?1?cosx?1?0 ?2)上單調(diào)遞減，即f(x)?sinx?x?f(0)?0 ?2)1?2??tanx?0(0,)上單調(diào)遞減，g(x)?x?tanx，所以在cos2x

2即g(x)?x?tanx?g(0)?0

所以x?tanx。

綜上所述，sinx?x?tanx

評(píng)注：證明函數(shù)類不等式時(shí)，構(gòu)造輔助函數(shù)比較容易，只需將不等式的其中一邊變?yōu)?，然后另一邊的函數(shù)作為輔助函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)證明其單調(diào)性或其最值，進(jìn)而構(gòu)造我們所需的不等式的結(jié)構(gòu)即可。根據(jù)不等式的對(duì)稱性，本例也可以構(gòu)造輔助函數(shù)為在(0,的函數(shù)（如：利用h(x)?x?sinx在(0,?2)上是單調(diào)遞增?

2)上是單調(diào)遞增來證明不等式sinx?x），另外不

等式證明時(shí)，區(qū)間端點(diǎn)值也可以不是我們所需要的最恰當(dāng)?shù)闹担ū热绱死械膄(0)也可以

不是0，而是便于放大的正數(shù)也可以）。因此例可變式為證明如下不等式問題： 已知x?(0,?)，求證：sinx?1?x?tanx?

1證明這個(gè)變式題可采用兩種方法：

第一種證法：運(yùn)用本例完全相同的方法證明每個(gè)不等式以后再放縮或放大，即證明不等式 sinx?x以后，根據(jù)sinx?1?sinx?x來證明不等式sinx?1?x；

第二種證法：直接構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)?sinx?1?x和g(x)?x?tanx?1，其中x?(0,然后證明各自的單調(diào)性后再放縮或放大（如：f(x)?sinx?1?x?f(0)??1?0）例2 求證：ln(x?1)?x

分析：令f(x)?ln(x?1)?x，經(jīng)過求導(dǎo)易知，f(x)在其定義域(?1,??)上不單調(diào)，但可以利用最值證明不等式。證明：令f(x)?ln(x?1)?x 函數(shù)f(x)的定義域是(?1,??),?1.令f'(x)=0，解得x=0，1?x

當(dāng)-10,當(dāng)x>0時(shí),f'(x)<0，又f(0)=0，f'(x)=

?)

故當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，f(x)取得最大值，最大值是0 所以f(x)?ln(x?1)?x?f(0)?0 即ln(x?1)?x

二、常數(shù)類不等式證明

常數(shù)類不等式證明的通法可概括為：證明常數(shù)類不等式的問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明不等式

f(a)?f(b)的問題，在根據(jù)a,b的不等式關(guān)系和函數(shù)f(x)的單調(diào)性證明不等式。

例3已知m?n?0,a,b?R且(a?1)(b?1)?0 求證：(a?b)?(a?b)分析：

n

nm

m

mn?

(an?bn)m?(am?bm)n

?ln(an?bn)m?ln(am?bm)n ?mln(an?bn)?nln(am?bm)

ln(an?bn)ln(am?bm)??

nm

?f(n)?f(m)

?ln(ax?bx)

在（0，??）上是減函數(shù)?f(x)?

??x

?m>n>0?

證明：

ln(ax?bx)

令f(x)?

x

(x?0)

axlna?bxlnbx?ln(ax?bx)xxx(axlna?bxlnb)?(ax?bx)ln(ax?bx)/?則f(x)?

x2x2(ax?bx)axbxax?bxax?bxxxx

alnx?blnxalnx?blnx

xxxx

???0 2xx2xx

x(a?b)x(a?b)

x

ln(ax?bx)

在（0，??）上是減函數(shù) 所以，f(x)?

x

又因?yàn)閙?n?0，所以f(n)?f(m)

ln(an?bn)ln(am?bm)

?即

nm

mln(an?bn)?nln(am?bm)?ln(a?b)?ln(a?b)

即(a?b)?(a?b)

n

nm

m

mn

nnmmmn

評(píng)注：利用導(dǎo)數(shù)證明常數(shù)類不等式的關(guān)鍵是經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃?，將不等式證明的問題轉(zhuǎn)化為函

數(shù)單調(diào)性證明問題，其中關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)，如何構(gòu)造輔助函數(shù)也是這種通法運(yùn)用的難點(diǎn)和關(guān)鍵所在。通過本例，不難發(fā)現(xiàn)，構(gòu)造輔助函數(shù)關(guān)鍵在于不等式轉(zhuǎn)化為左右兩邊是相同結(jié)

ln(an?bn)ln(am?bm)

?構(gòu)的式子（本例經(jīng)過轉(zhuǎn)化后的不等式的兩邊都是相同式子

nm

ln(ax?bx)ln(ax?bx)的結(jié)構(gòu)，所以可以構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)?），這樣根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”

xx

可以構(gòu)造輔助函數(shù)。例4 已知0?????

?，求證：

tan??tan?

?1???1 tan??tan?

分析：欲證

tan??tan?tan??tan?

?1???1，只需證??（不然沒法構(gòu)造輔助函tan??tan?tan??tan?

數(shù)），即

tan?

??

?

tan?

?,?tan???tan?，則需證函數(shù)f(x)?

tanx,g(x)?xtanx都在x

函數(shù)區(qū)間(0,)上單調(diào)遞增即可。

tanx?，x?(0,)x21x.?tanx22xsecx?tanxx?sinxcosx/

f(x)??則f?(x)?2 22

2xxcosxx

證明：設(shè)f(x)?由例1知，x?(0,?)?x?sinx?sinxcosx?x?sinxcosx?0

tanx??

在(0,)上單調(diào)遞增，而0????? x22

/

即f(x)?0，所以f(x)?

所以

tan?

?

?

tan?

?，即

tan??tan??

?，進(jìn)而得到?1? tan??tan??

設(shè)g(x)?xtanx，x?(0,/

?)

則g(x)?tanx?xsecx，又因?yàn)閤?(0,進(jìn)而g(x)?xtanx在(0,?)，所以g/(x)?0，?)上單調(diào)遞增，而0?????

?

所以?tan???tan?，即

?tan??tan?

??1，進(jìn)而得到??tan??tan?

綜上所述

tan??tan?

?1???1 tan??tan?

x

b

a

三、同步練習(xí)題

1．當(dāng)x?1時(shí),求證:2x?3?

2．已知a,b為實(shí)數(shù)，并且e

x

（1）求函數(shù)f(x)的最小值；

x?y

（2）若0?y?x，求證：e?1?ln(x?1)?ln(y?1)

e

e?

4．求證：(??e)?(??e)參考答案： 1．證明：

??e

要證2x?3?，只要證4x3?(3x?1)2(x?1),x

即證4x3?(3x?1)2?4x3?9x2?6x?1?f(x)?0, 則當(dāng)x?1時(shí)，f'(x)?6(2x3?3x?1)?6(2x?1)(x?1)?0,?f(x)在(1,??)上遞增，?f(x)?f(1)?0即f(x)?0成立，原不等式得證

2．證明：

當(dāng)e

a

lnalnb

? ablnx

(0?x???)。因?yàn)楫?dāng)x?e時(shí)，考慮函數(shù)y?x

1?lnxlnxy???0,y?在(e,??)所以函數(shù)2

xx

lnalnbba

?因?yàn)閑

即只要證

3．（1）最小值為0

（2）因?yàn)??y?x?x?y?0，而由（1）知，對(duì)x?0，恒有f(x)?0，所以不等式f(x?y)?0恒成立 即e

x?y

?ln(x?y?1)?1?0 ?1?ln(x?y?1)

所以e

x?y

又因?yàn)?/p>

ln(x?y?1)?ln[(y?1)(x?y?1)]?ln(y?1)

?ln[(x?1)?y(x?y)]?ln(y?1)?ln(x?1)?ln(y?1)(?y(x?y)?0)

所以e

x?y

?1?ln(x?1)?ln(y?1)

ln(?x?ex)

(x?0)，證明：設(shè)f(x)?

x

?xln??exx?ln(?x?ex)xx

則f'(x)? 2

x

x(?xln??ex)?(?x?ex)ln(?x?ex)

?

x2(?x?ex)

ex?x?ex?x?exxx

?lnxx?elnxx?lnxx?elnxx

??0 ?2xx2xx

x(??e)x(??e)

x

x

?x

ln(?x?ex)

所以函數(shù)f(x)?在其定義域(0,??)單調(diào)遞減

x

所以f(?)?f(e)，即

ln(???e?)

?

ln(?e?ee)?

e

根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得，(?e?ee)??(???e?)e

第二篇：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

例1．已知x>0，求證：x>ln(1+x)分析：設(shè)f(x)=x－lnx。x?[0,+??。考慮到f(0)=0，要證不等式變?yōu)椋簒>0時(shí)，f(x)>f(0)，這只要證明：

f(x)在區(qū)間[0,??)是增函數(shù)。

證明：令：f(x)=x－lnx，容易看出，f(x)在區(qū)間[0,??)上可導(dǎo)。

且limf(x)?0?f(0)?x?0 由f'(x)?1?1x 可得：當(dāng)x?(0,??)時(shí)，f'(x)?f(0)?0 ?x?1x?1 即x－lnx>0，所以：x>0時(shí)，x>lnx 評(píng)注：要證明一個(gè)一元函數(shù)組成的不等式成立，首先根據(jù)題意構(gòu)造出一個(gè)

函數(shù)（可以移項(xiàng)，使右邊為零，將移項(xiàng)后的左式設(shè)為函數(shù)），并利 用導(dǎo)數(shù)判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要 證的不等式。

例2：當(dāng)x??0,??時(shí)，證明不等式sinx?x成立。證明：設(shè)f(x)?sinx?x,則f'(x)?cosx?1.∵x?(0,?),∴f'(x)?0.∴f(x)?sinx?x在x?(0,?)內(nèi)單調(diào)遞減，而f(0)?0.∴f(x)?sinx?x?f(0)?0, 故當(dāng)x?(0,?)時(shí)，sinx?x成立。

點(diǎn)評(píng)：一般地，證明f(x)?g(x),x?(a,b),可以構(gòu)造函數(shù)F(x)?f(x)?g(x)，如果F'(x)?0,，則F(x)在(a,b)上是減函數(shù)，同時(shí)若F(a)?0,由減函數(shù)的定義可知，x?(a,b)時(shí)，有F(x)?0,即證明了f(x)?g(x)。

x練習(xí)：1.當(dāng)x?0時(shí)，證明不等式e?1?x?12x成立。2證明：設(shè)f?x??e?1?x?x12x,則f'?x??ex?1?x.2xxx令g(x)?e?1?x,則g'(x)?e?1.當(dāng)x?0時(shí)，g'?x??e?1?0.?g(x)在?0,???上單調(diào)遞增，而g(0)?0.?g?x??g(0)?0,?g(x)?0在?0,???上恒成立，?f(x)在即f'(x)?0在?0,???恒成立。?0,???上單調(diào)遞增，又f(0)?0,?ex?1?x?1x2?0,即x?0時(shí)，ex222.證明:當(dāng)x?1時(shí),有l(wèi)n(x?1)?lnx?ln(x?2).?1?x?12x成立。2分析 只要把要證的不等式變形為

ln(x?1)ln(x?2)?,然后把x相對(duì)固定看作常數(shù),并選取輔助函

lnxln(x?1)數(shù)f(x)?ln(x?1).則只要證明f(x)在(0,??)是單調(diào)減函數(shù)即可.lnx證明: 作輔助函數(shù)f(x)?ln(x?1)(x?1)lnxlnxln(x?1)?xlnx?(x?1)ln(x?1)?于是有f?(x)?x?12x

lnxx(x?1)ln2x因?yàn)?1?x?x?1, 故0?lnx?ln(x?1)所以 xlnx?(x?1)ln(x?1)

（1，??）因而在內(nèi)恒有f'(x)?0,所以f(x)在區(qū)間(1,??)內(nèi)嚴(yán)格遞減.又因?yàn)??x?1?x,可知f(x)?f(x?1)即 ln(x?1)ln(x?2)?lnxln(x?1)所以 ln2(x?1)?lnx?ln(x?2).利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)證明不等式是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的一個(gè)重要方面，也成為高考的一個(gè)新熱點(diǎn)，其關(guān)鍵是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，判斷區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值與0的關(guān)系，其實(shí)質(zhì)就是利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，通過單調(diào)性證明不等式。

x2例3.證明不等式x??ln(1?x)?x,其中x?0.2x2分析 因?yàn)槔?中不等式的不等號(hào)兩邊形式不一樣,對(duì)它作差ln(1?x)?(x?),則發(fā)現(xiàn)作差以后

21?x)求導(dǎo)得不容易化簡(jiǎn).如果對(duì)ln(1,這樣就能對(duì)它進(jìn)行比較.1?xx2證明: 先證 x??ln(1?x)

2x2設(shè) f(x)?ln(1?x)?(x?)(x?0)

21x21?0)?0?0 f(x)?則 f(0)?ln(?1?x?1?x1?x'?　x?0 即 1?x?0 x2?0

x2?　f?(x)??0　,即在(0,??)上f(x)單調(diào)遞增

1?xx2?　f(x)?f(0)?0 ?　ln(1?x)?x?

21?x)?x;令 g(x)?ln(1?x)?x 再證 ln(則 g(0)?0 g?(x)?1?1 1?x１?ln(1?x)?x ?　x?0 ?　?1 ?　g?(x)?0 １?xx2?　x??ln(1?x)?x 練習(xí)：3（2001年全國卷理20）已知i,m,n是正整數(shù)，且1?i?m?n

證明：(1?m)n?(1?n)m

分析：要證(1?m)n?(1?n)m成立，只要證

ln(1?m)n?ln(1?n)m

即要證11ln(1?m)?ln(1?n)成立。因?yàn)閙

11ln(1?m)?ln(1?n)； mn從而：(1?m)n?(1?n)m。

評(píng)注：這類非明顯一元函數(shù)式的不等式證明問題，首先變換成某一個(gè)一元函數(shù)式分別在兩個(gè)不同點(diǎn)處的函數(shù)值的大小比較問題，只要將這個(gè)函數(shù)式找到了，通過設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)判斷它的單調(diào)性，就可以解決不等式證明問題。難點(diǎn)在于找這個(gè)一元函數(shù)式，這就是“構(gòu)造函數(shù)法”，通過這類數(shù)學(xué)方法的練習(xí)，對(duì)培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力是有很大好處的，這也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)所需要的。

第三篇：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

沒分都沒人答埃。覺得可以就給個(gè)好評(píng)!

最基本的方法就是將不等式的的一邊移到另一邊，然后將這個(gè)式子令為一個(gè)函數(shù)f(x).對(duì)這個(gè)函數(shù)求導(dǎo)，判斷這個(gè)函數(shù)這各個(gè)區(qū)間的單調(diào)性，然后證明其最大值(或者是最小值)大于0.這樣就能說明原不等式了成立了!

1.當(dāng)x>1時(shí),證明不等式x>ln(x+1)

設(shè)函數(shù)f(x)=x-ln(x+1)

求導(dǎo)，f(x)'=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0

所以f(x)在(1，+無窮大)上為增函數(shù)

f(x)>f(1)=1-ln2>o

所以x>ln(x+

12..證明：a-a^2>0其中0

F(a)=a-a^

2F'(a)=1-2a

當(dāng)00;當(dāng)1/2

因此，F(xiàn)(a)min=F(1/2)=1/4>0

即有當(dāng)00

3.x>0,證明：不等式x-x^3/6

先證明sinx

因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí)，sinx-x=0

如果當(dāng)函數(shù)sinx-x在x>0是減函數(shù)，那么它一定<在0點(diǎn)的值0，求導(dǎo)數(shù)有sinx-x的導(dǎo)數(shù)是cosx-1

因?yàn)閏osx-1≤0

所以sinx-x是減函數(shù)，它在0點(diǎn)有最大值0，知sinx

再證x-x3/6

對(duì)于函數(shù)x-x3/6-sinx

當(dāng)x=0時(shí)，它的值為0

對(duì)它求導(dǎo)數(shù)得

1-x2/2-cosx如果它<0那么這個(gè)函數(shù)就是減函數(shù)，它在0點(diǎn)的值是最大值了。

要證x2/2+cosx-1>0x>0

再次用到函數(shù)關(guān)系，令x=0時(shí)，x2/2+cosx-1值為0

再次對(duì)它求導(dǎo)數(shù)得x-sinx

根據(jù)剛才證明的當(dāng)x>0sinx

x2/2-cosx-1是減函數(shù)，在0點(diǎn)有最大值0

x2/2-cosx-1<0x>0

所以x-x3/6-sinx是減函數(shù)，在0點(diǎn)有最大值0

得x-x3/6

利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)單調(diào)性證明不等式X-X2>0，X∈(0,1)成立

令f(x)=x-x2x∈

則f'(x)=1-2x

當(dāng)x∈時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增

當(dāng)x∈時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減

故f(x)的最大值在x=1/2處取得，最小值在x=0或1處取得

f(0)=0,f(1)=0

故f(x)的最小值為零

故當(dāng)x∈(0,1)f(x)=x-x2>0。

i、m、n為正整數(shù)，且1

第四篇：談利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.

談利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

數(shù)學(xué)組

鄒黎華

在高考試題中，不等式的證明往往與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列的內(nèi)容綜合，屬于在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處設(shè)計(jì)的試題，有一定的綜合性和難度，突出體現(xiàn)對(duì)理性思維的考查，特別是利用高中新增內(nèi)容的導(dǎo)數(shù)來證明不等式，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的工具，也是與高等數(shù)學(xué)接軌的有力點(diǎn)。本文通過一些實(shí)例，來說明利用導(dǎo)數(shù)增證明不等式的基本方法。

例1．已知x>0，求證：x>ln(1+x)

分析：設(shè)f(x)=x－lnx。x?[0,+???？紤]到f(0)=0，要證不等式變?yōu)椋簒>0時(shí)，f(x)>f(0)，這只要證明：

f(x)在區(qū)間[0,??)是增函數(shù)。

證明：令：f(x)=x－lnx，容易看出，f(x)在區(qū)間[0,??)上可導(dǎo)。

且limf(x)?0?f(0)?x?0

由f'(x)?1?1x

可得：當(dāng)x?(0,??)時(shí)，f'(x)?f(0)?0 ?x?1x?

1即x－lnx>0，所以：x>0時(shí)，x>lnx

評(píng)注：要證明一個(gè)一元函數(shù)組成的不等式成立，首先根據(jù)題意構(gòu)造出一個(gè)

函數(shù)（可以移項(xiàng)，使右邊為零，將移項(xiàng)后的左式設(shè)為函數(shù)），并利 用導(dǎo)數(shù)判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要 證的不等式。

例2：（2001年全國卷理20）已知i,m,n是正整數(shù)，且1?i?m?n

證明：(1?m)n?(1?n)m

分析：要證(1?m)n?(1?n)m成立，只要證

ln(1?m)n?ln(1?n)m

11ln(1?m)?ln(1?n)成立。因?yàn)閙

x1111'

證明：設(shè)函數(shù)f(x)?ln(1?x)，則f(x)??2ln(1?x)??

xx1?xx1x'?ln(1?x)] 即：f(x)?2[x1?xx?1,ln(1?x)?ln3?1 因?yàn)椋簒?2,0?1?x即要證所以：f(x)?0，所以f(x)在[2,??)是減函數(shù)，而m?n 所以f(m)?f(n)，即n''11ln(1?m)?ln(1?n)； mnm從而：(1?m)?(1?n)。

評(píng)注：這類非明顯一元函數(shù)式的不等式證明問題，首先變換成某一個(gè)一元函數(shù)式分別在兩個(gè)不同點(diǎn)處的函數(shù)值的大小比較問題，只要將這個(gè)函數(shù)式找到了，通過設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)判斷它的單調(diào)性，就可以解決不等式證明問題。難點(diǎn)在于找這個(gè)一元函數(shù)式，這就是“構(gòu)造函數(shù)法”，通過這類數(shù)學(xué)方法的練習(xí)，對(duì)培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力是有很大好處的，這也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)所需要的。

例3．（2004年全國卷理工22題）已知函數(shù)f(x)?ln(1?x)?x，g(x)?xlnx,設(shè)0?a?b

證明：0?g(a)?g(b)?2g(a?b)?(b?a)ln2 2證明：設(shè)g(x)?xlnx,g'(x)?lnx?1 設(shè)F(x)?g(a)?g(x)?2g(a?x)2則F'(x)?g'(x)?2[g(a?xa?x)]?lnx?ln22

當(dāng)0?x?a時(shí)，F(xiàn)'(x)?0，當(dāng)x?a時(shí)，F(xiàn)'(x)?0 因此，F(xiàn)（x）

在區(qū)間（0，a）內(nèi)是減函數(shù)，在區(qū)間[a,??)內(nèi)為增函數(shù)，于是在x?a 時(shí)，F(xiàn)（x）有最小值F(a)?0又b?a，所以0?g(a)?g(b)?2g(a?b)2設(shè)G(x)?g(a)?g(x)?2g(a?x)?(x?a)ln2，則G'(x)?lnx?lna?x?ln2?lnx?ln(a?x)2當(dāng)x?0時(shí)，G'(x)?0，因此G（x）在區(qū)間(0,??)內(nèi)為減函數(shù)； 因?yàn)镚(a)?0，b?a，所以G(b)?0，即：g(a)?g(b)?2g(a?b)?(b?a)ln2。2評(píng)注：本題在設(shè)輔助函數(shù)時(shí)，考慮到不等式涉及的變量是區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)，因此，設(shè)輔助函數(shù)時(shí)就把其中一個(gè)端點(diǎn)設(shè)為自變量，范例中選用右

端點(diǎn)，讀者不妨設(shè)為左端點(diǎn)試一試，就更能體會(huì)到其中的奧妙了。

通過以上例題，我們可以體會(huì)到用導(dǎo)數(shù)來證明不等式的基本要領(lǐng)和它的簡(jiǎn)捷?？傊?，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵是“構(gòu)造函數(shù)”，解決問題的依據(jù)是函數(shù)的單調(diào)性，這一方法在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用的非常廣泛，因此，希望同學(xué)門能認(rèn)真對(duì)待，并通過適當(dāng)?shù)木毩?xí)掌握它。

第五篇：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

克維教育（82974566）中考、高考培訓(xùn)專家鑄就孩子輝煌的未來

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

（三）核心考點(diǎn)

五、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

一、函數(shù)類不等式證明

函數(shù)類不等式證明的通法可概括為：證明不等式f(x)?g(x)（f(x)?g(x)）的問題轉(zhuǎn)化為證明f(x)?g(x)?0（f(x)?g(x)?0），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)?f(x)?g(x)，然后利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)h(x)的單調(diào)性或證明函數(shù)h(x)的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。

例

1、已知函數(shù)f(x)?lnx?ax2?(2?a)x

（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

（2）設(shè)a?0，證明：當(dāng)0?x?111時(shí)，f(?x)?f(?x)； aaa

（3）若函數(shù)f(x)的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，證明：f`(x0)?0

【變式1】已知函數(shù)f(x)?ln(x?1)?x，求證：恒有1?1?ln(x?1)?x成立。x?

1x【變式2】（1）x?0，證明：e?1?x

x

2?ln(1?x)(2)x?0時(shí)，求證：x?2

二、常數(shù)類不等式證明

常數(shù)類不等式證明的通法可概括為：證明常數(shù)類不等式的問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明不等式 f(a)?f(b)的問題，在根據(jù)a,b的不等式關(guān)系和函數(shù)f(x)的單調(diào)性證明不等式。例

2、已知m?n?e,，求證：n?m

例

3、已知函數(shù)f(x)?ln(x?1)?

（1）求f(x)的極小值；

（2）若a,b?0，求證：lna?lnb?1?

mnx，1?xb a

【變式3】已知f(x)?lnx，g(x)?127，直線l與函數(shù)f(x)、g(x)的 x?mx?（m?0）22

圖像都相切，且與函數(shù)f(x)的圖像的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．

（Ⅰ）求直線l的方程及m的值；

（Ⅱ）若h(x)?f(x?1)?g?(x)（其中g(shù)?(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)），求函數(shù)h(x)的最大值；（Ⅲ）當(dāng)0?b?a時(shí)，求證：f(a?b)?f(2a)?b?a． 2a

【變式4】求證：

b?ab?lnba?b?aa(0?a?b)

1?x)?x?0(x??1)【變式5】證明：ln（ln22ln32lnn2(n?1)(2n?1)【引申】求證： 2?2???2?(n?2,n?N*)23n2(n?1)

【變式6】當(dāng)t?1時(shí)，證明：1??lnt?t?1 1t

x21(x?1)，各項(xiàng)不為零的數(shù)列?an?滿足4Sn?f()?1，【引申】已知函數(shù)f(x)?an2(x?1)

1n?11（1）求證：??ln??； an?1nan

（2）設(shè)bn??1，Tn為數(shù)列?bn?的前n項(xiàng)和，求證：T2008?1?ln2008?T2007。an