第一篇：從高考角度談?wù)劜坏仁降淖C明

從高考角度談?wù)劜坏仁降淖C明

賈廣素 在現(xiàn)實(shí)世界中，等是相對的，不等是絕對的.不等關(guān)系是現(xiàn)實(shí)生活中最普遍的數(shù)量關(guān)系，不等式是刻畫不等關(guān)系的一種重要的數(shù)學(xué)模型.不等式與數(shù)、式、方程、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等知識都有著天然緊密的聯(lián)系，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ).因此，在高考試題中，有關(guān)不等式的試題出現(xiàn)的頻率比較高.這就要求我們對不等式知識掌握以下幾個(gè)方面的內(nèi)容：

（1）了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系，了解不等式（組）的實(shí)際背景；

（2）經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出不等式模型的過程；

（3）了解不等式的幾何意義，并能用平面區(qū)域加以表示，能從實(shí)際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題并加以解決；

（4）掌握基本不等式和一些常見的不等式，并能運(yùn)用這些不等式求解一些簡單的最值問題.（5）注重不等式知識與函數(shù)、方程等其它知識間的聯(lián)系，加強(qiáng)不等式的應(yīng)用意識.不等式的有關(guān)知識滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)各個(gè)分支中，有著十分廣泛的應(yīng)用.諸如集合問題，方程（組）的解的討論，函數(shù)的單調(diào)性的研究，函數(shù)定義域的確定、三角、數(shù)列、立體幾何、解析幾何中的最值問題、范圍問題等都與不等式有著密切的聯(lián)系，最終往往都可歸結(jié)為不等式的求解或證明問題來處理.不等式的證明常用的一些方法主要有：比較法、綜合法、分析法和反證法等，另外，放縮法也是證明不等式的主要變形技巧之一，放縮要有的放矢，目標(biāo)可以從要證明的結(jié)論中.在證明不等式時(shí)，要依據(jù)題目、題設(shè)條件的特點(diǎn)和內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，并掌握相應(yīng)的步驟和技巧.對于一些含有參數(shù)的不等式的求解問題時(shí)，應(yīng)該注意分類討論的思想，學(xué)會分析引起分類討論的原因，合理分類，做到不重不漏.求解不等式的核心問題是不等式的同解變形，不等式的性質(zhì)則是這些不等式變形的理論依據(jù).在高考中，不等式問題主要集中于三個(gè)方面：不等式的性質(zhì)和證明、不等式的求解和應(yīng)用、不等式與函數(shù)、方程等知識間的聯(lián)系與融合.本周主要講述不等式的求解與證明問題.不等式的求解與證明一般沒有固定的程序，方法因題而異，靈活多樣，技巧性強(qiáng).有時(shí)，一個(gè)不等式的證明方法就不止是一種，而且一種證法中又可能會用到幾個(gè)技巧.但基本思路卻是一樣的，即把原來的不等式轉(zhuǎn)化為明顯成立的不等式.一．不等式證明的常用方法

1．1比較法

比較法證明不等式主要有兩種形式：一種是差值比較法；另一種是商值比較法.1．2分析法

分析是解決問題的基礎(chǔ)，這里所說的分析法是指先假設(shè)所給定的不等式成立，然后去尋

找不等式成立的充分條件，一直找到已知條件或明顯成立的不等式為止.在具體操作時(shí)，也可以找充要條件，或先找必要條件再驗(yàn)證步步可逆即可.1.3綜合法

1.4反證法

1.5放縮法

由不等式的傳遞性，為了證明A?B，往往可以把A放大到C(A?C)（或者把B縮小到D(B?D)），然后改證C?B（或證A?D），或者證A?C?D?B.1.6數(shù)學(xué)歸納法

凡是涉及到自然數(shù)n的不等式都可以考慮使用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，只出現(xiàn)有限整數(shù)的不等式也可以通過加強(qiáng)命題使用數(shù)學(xué)歸納法.見例5.二．另外幾種常見的證明不等式的方法

2.1 變量代換法 所謂變量代換法，就是通過對數(shù)學(xué)式的變形，以顯化其內(nèi)在結(jié)構(gòu)本質(zhì).它常能化超越式為代數(shù)式、化無理式為有理式，化分式為整式、化高次式為低次式.其中，增量法是一個(gè)常用而有效的代換方法.在例4的證明過程中，令ai?1?bi，其實(shí)就是使用了變量代換法.2.2函數(shù)方法

所謂函數(shù)方法，就是將不等式的證明或求解問題轉(zhuǎn)化為對函數(shù)性質(zhì)的討論，如函數(shù)的單調(diào)性、正負(fù)區(qū)間、值域等問題，甚至函數(shù)的凸凹性等.2.3構(gòu)造法

構(gòu)造法就是根據(jù)待證不等式的條件和結(jié)論所具有的特征，以條件中的元素為“元件”，以數(shù)學(xué)關(guān)系式為“支架”，構(gòu)造出一種相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，使待證不等式獲得證明的一種方法.常見的構(gòu)造法有：

（1）代數(shù)構(gòu)造法

以主元法或韋達(dá)定理、方程根的定義來構(gòu)造函數(shù)、數(shù)列或方程來證明不等式.（2）幾何構(gòu)造

利用面積、余弦（勾股）定理、距離、斜率等來構(gòu)造幾何圖形或解析幾何中的點(diǎn)、曲線或問題來證明不等式；

（3）構(gòu)造反例或構(gòu)造輔助命題

利用特殊情形構(gòu)造反例說明不等式成立或構(gòu)造輔助命題證明不等式成立.附：數(shù)學(xué)課要教數(shù)學(xué)

章建躍

相信讀者看到標(biāo)題會心生疑惑：難道我們在數(shù)學(xué)課上教的不是數(shù)學(xué)嗎？的確，許多數(shù)學(xué)課教的不是數(shù)學(xué)！

為了說明上述觀點(diǎn)，先引用世界知名幾何學(xué)家伍鴻熙教授提出的數(shù)學(xué)的五個(gè)基本原則： 原則1 每個(gè)數(shù)學(xué)概念必須精確定義，而定義構(gòu)成邏輯推理的基礎(chǔ)；

原則2 數(shù)學(xué)表述要精確，在任何時(shí)候，什么已知什么未知都要很清楚；

原則3 每一個(gè)結(jié)論都是邏輯推理的結(jié)果，推理是數(shù)學(xué)的命脈，是解決問題的平臺； 原則4 數(shù)學(xué)是連貫的，數(shù)學(xué)的概念和方法組成了一個(gè)邏輯嚴(yán)密的整體；

原則5 數(shù)學(xué)是目標(biāo)明確的，每個(gè)數(shù)學(xué)概念和方法都有其目的。

這五個(gè)原則可以作為判斷數(shù)學(xué)課是否教數(shù)學(xué)的基本標(biāo)準(zhǔn)。反觀我們的課堂，與這些原則相悖的做法比比皆是。例如：

缺乏統(tǒng)領(lǐng)課堂的數(shù)學(xué)核心觀念，在“構(gòu)建前后一致的、邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程，引導(dǎo)學(xué)生開展有序的推理”上缺乏思考和得力措施，致使每一堂課都變成了“從頭開始”；

不重視知識的背景和基本思想，導(dǎo)致學(xué)生不了解為什么要引入這個(gè)概念、為什么要研究這個(gè)性質(zhì)（本質(zhì)上是不重視數(shù)學(xué)的連貫性）；

概念教學(xué)走過場，“精確定義”就更談不上了，有些老師甚至對什么是“精確定義”也不甚了了；

解題教學(xué)搞“題型+技巧”，教師常常講解各種各樣的“錦囊妙計(jì)”，而對“從概念和定理出發(fā)思考和解決問題”不予重視（本質(zhì)上是對邏輯推理不重視）；

例題、習(xí)題的選擇標(biāo)準(zhǔn)是“新、奇、特”，使用大量缺乏相互關(guān)聯(lián)的題目，目的是讓學(xué)生熟練更多的技巧（本質(zhì)上是缺乏方法的目的性）；

為了“加大容量”，教師往往只要求“講思路”，而對嚴(yán)格的邏輯推理過程及其表達(dá)缺少示范和要求；等等。

那么，該如何改變現(xiàn)狀呢？本期陳立軍老師的《“立體幾何引言課”的教學(xué)實(shí)踐與反思》可以給我們一些啟發(fā)。作為《立體幾何》的開篇課，陳老師圍繞“為什么學(xué)”“學(xué)什么”“怎么學(xué)”三個(gè)問題，從一個(gè)有智力挑戰(zhàn)性的（數(shù)學(xué)）問題和現(xiàn)實(shí)需要兩方面引入課題；通過類比平面幾何研究的問題和過程，引出立體幾何可以研究的問題和線索；最后，通過一些典型問題，引導(dǎo)學(xué)生從平面幾何的學(xué)習(xí)中得到啟發(fā)，獲得解決立體幾何問題的方法，并強(qiáng)調(diào)了解決立體幾何問題的普適性思路——“把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題”。這樣的“引言課”，較好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的連貫性、目標(biāo)的明確性、概念和方法的目的性等，特別是注重與平面幾何的聯(lián)系，使學(xué)生意識到立體幾何的學(xué)習(xí)不是“從零開始”，“空間問題平面化”是基本原則，這樣的認(rèn)識為立體幾何學(xué)習(xí)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。如果在具體內(nèi)容的教學(xué)中，繼續(xù)強(qiáng)調(diào)概念的精確定義，在定義的基礎(chǔ)上展開推理，并注重推理過程的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性，那么我們就可以肯定地說，陳老師的立體幾何課教得好。實(shí)際上，這樣的教學(xué)才真正發(fā)揮了立體幾何課程的力量——培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流的能力、幾何直觀能力。

總之，按上述五條原則進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，是“數(shù)學(xué)課教數(shù)學(xué)”的基本要求，這樣才能使學(xué)生在學(xué)會數(shù)學(xué)的過程中，提高思維能力，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，分析和解決問題的能力；只有這樣才能真正發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)育人”。

第二篇：比較法證明不等式(從課本到高考)

目錄

一．課本溯源（母題）...........................1二．比較法的理論依據(jù)...........................2三．子題...........................2

四．直擊高考（子題）...........................2

五．研究性學(xué)習(xí)課題（自主探索）.......................3《從課本到高考》系列內(nèi)容簡介....................4《從課本到高考》系列

一．課本溯源（母題）

人教A版，數(shù)學(xué)，選修4-5，《不等式選講》

人民教育出版社出版

2007年1月

?0，判斷

所以

(x?1)(x?2)?(x?3)(x?6)。結(jié)論

二．比較法的理論依據(jù)

課本第2頁。

符號法則：

a?b?a?b?0；

a?b?a?b?0；

a?b?a?b?0；

三．子題

【例1】設(shè)A?x?3，B?3x?x，且x?3，試比較A與B的大小。

【解析】A?B?(x3?3)?(3x2?x)32

?(x3?3x2)?(x?3)?x2(x?3)?(x?3)?(x2?1)(x?3)

?(x?1)(x?1)(x?3)

因?yàn)閤?3，所以x?1?0，x?1?0，x?3?0，因此(x?1)(x?1)(x?3)?0。

因此A?B。

【解題反思】

1．本題的思維過程：

?考查差的符號（難以確定）????考查積的符號????考查積中直接判斷（無法做到）???

各因式的符號（成功！）。

其中變形時(shí)關(guān)鍵，定號是目的。

2．在變形中，一般是變形得越徹底越有利于下一步的判斷，變形常用的技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等等。

【變式訓(xùn)練】設(shè)A?

轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化yB?，其中x?y?0，試比較A與B的大小。x四．直擊高考（子題）

【2013年高考江蘇卷】已知a?b?0，求證:2a?b?2ab?ab

332

2【證明】(2a3?b3)?(2ab2?a2b)作差

?2a(a2?b2)?b(a2?b2)?(a2?b2)(2a?b)?(a?b)(a?b)(2a?b)變形

因?yàn)閍?b?0，所以a?b?0，a?b?0，2a?b?0，所以(a?b)(a?b)(2a?b)?0。判斷 所以2a3?b3?2ab2?a2b。結(jié)論

五．研究性學(xué)習(xí)課題（自主探索）

1．不等式的解法（課本15頁）

（1）|x|?a(a?0)??a?x?a；

（2）|x|?a(a?0)?x??a或x?a。

2．合情推理

研究下面不等式解法的拓展形式的正確性：

（1.1）|x|?a??a?x?a；

（1.2）|f(x)|?a??a?f(x)?a；

（1.3）|f(x)|?g(x)??g(x)?f(x)?g(x)；

（2.1）|x|?a?x??a或x?a；

（2.2）|f(x)|?a?f(x)??a或f(x)?a；

（2.3）|f(x)|?g(x)?f(x)?g(x)或f(x)?g(x)；

3．給上面的6個(gè)解法加上等號，研究它們的正確性。例如：

（1.1’）|x|?a??a?x?a；

（1.2’）|f(x)|?a??a?f(x)?a；

4．特例練習(xí)

【練習(xí)1】解不等式|3x?1|?2。

【練習(xí)2】解不等式|2?3x|?7。

【練習(xí)3】解不等式|5x?x|?6。2

《從課本到高考》系列內(nèi)容簡介

《從課本到高考(數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí))》，設(shè)”課本溯源”、”解題反思”、”提出問題”、”自主探究”、”點(diǎn)石成金”、”直擊考題”、”研究性學(xué)習(xí)”等欄目，向讀者全面展示數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的素材、過程與方法，同時(shí)揭示許多相關(guān)高考題的來龍去脈?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》將研究性學(xué)習(xí)作為一項(xiàng)必修內(nèi)容和評價(jià)目標(biāo)；考試院專家提出要加強(qiáng)研究性試題的考查，充分地體現(xiàn)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的基本理念。作為全新的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式和高考命題趨勢，數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)到底是什么？其實(shí)，研究性學(xué)習(xí)并不可怕，很多研究型問題源自課本中的例題和習(xí)題?！稄恼n本到高考(數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí))》按現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)課本的知識體系編排，方便廣大教師和高中各年級學(xué)生共同使用。

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第三篇：高考沖刺不等式的證明

高考沖刺不等式的證明

【本周授課內(nèi)容】：不等式的證明

【重點(diǎn)】：正確使用不等式的基本性質(zhì)與定理，理解并掌握證明不等式的常用方法。

【難點(diǎn)】：據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征選擇證明方法以及把握不等式證明過程的基本過程及格式的規(guī)范。

主要內(nèi)容及重點(diǎn)例題參考：

1．不等式證明的理論依據(jù)：不等式的概念和性質(zhì)，實(shí)數(shù)的性質(zhì)，以及一些基本的不等式：

（1）若a∈R，則|a|≥0，a2≥0。

（2）若a,b∈R，則a2+b2≥2ab。

（3）若a,b∈R+，則

（4）若a,b同號，則

（5）若a,b,c∈R+，則

2．證明不等式的基本方法：比較法(作差、作商)，綜合法，分析法，數(shù)學(xué)歸納法及反證法；另外還有如換元法、放縮法等。

3．例題分析:

例1．a(chǎn),b,c∈R+，求證：a3+b3+c3≥3abc。

分析與解答：

證法一：（比較法）

∵ a3+b3+c3-3abc

=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc

=(a+b+c)[a2+2ab+b2-ac-bc+c2]-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)

=(a+b+c)[

證法二（綜合法）：

∵ a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)“=”成立）

b3+c3=(b+c)(b2+c2-bc)≥(b+c)bc（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)“=”成立）

c3+a3=(a+c)(c2+a2-ca)≥(c+a)ca（當(dāng)且僅當(dāng)c=a時(shí)“=”成立）

∴ 2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2

=b(a2+c2)+a(b2+c2)+c(a2+b2)

≥2abc+2abc+2abc=6abc。（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)“=”成立）

∴ a3+b3+c3≥3abc。

例2．已知a,b,c為不等正數(shù)，求證：a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b。

≥+?！??！荨＃?）若a,b∈R，則||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|。(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0?！?a3+b3+c3≥3abc。

分析：由于所證不等式兩端都是冪和積的形式，且a,b,c為正數(shù)，可選用商值比較法。

證明：a,b,c為不等正數(shù)，不失一般性，設(shè)a>b>c>0，這時(shí)a2ab2bc2c>0，ab+cbc+aca+b>0。

=a(a-b)+(a-c)b(b-c)+(b-a)c(c-b)+(c-a)=()a-b()b-c()c-a

∵ a>b>c>0，∴ >1，a-b>0；>1，b-c>0；0<)b-c>1，(<1，c-a<0。)c-a>1。由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：()a-b>1，（∴ >1，即：a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b。

評述：例1的證法一與例2都是應(yīng)用比較法證明不等式，求差比較法的基本步驟是“作差——變形——判定差式的正負(fù)”；求商比較法的基本步驟是“作商——變形——判定商式大于1或小于1”，應(yīng)注意，求商比較法一般用于各字母均為正數(shù)的不等式的證明。

例3．已知a,b,c∈R，求證：

分析：不等式的左端是根式，而右端是整式，應(yīng)設(shè)法通過適當(dāng)?shù)姆趴s變換將左式各根式的被開方式轉(zhuǎn)化為完全平方式。

證明：∵ a2+b2≥2ab，∴ 2(a2+b2)≥a2+2ab+b2=(a+b)2，++≥(a+b+c)。

即a2+b2≥，兩邊開方，得：≥|a+b|≥(a+b)

同理可得≥(b+c)，≥(c+a)

三式相加，得：

++≥(a+b+c)

例4．已知a,b,c∈R+，且a+b+c=1，求證：（1）

分析：利用基本不等式，采用綜合法解決問題。

（1）證法一：++=+，∴ abc≤+，∴ ++≥9，（2）a2+b2+c2≥。=3+≥27，+++++≥3+2+2+2=9。證法二：∵ 1=a+b+c≥3

∴

++≥3≥3=9。

（2）∵ 1=a+b+c，∴ 1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

≤a2+b2+c2+(a2+b2)+(a2+c2)+(b2+c2)=3(a2+b2+c2)。

∴ a2+b2+c2≥。

評述：利用綜合法由因?qū)ЧC明不等式，就要揭示出條件與結(jié)論之間的因果關(guān)系，為此要著力分析已知與求證之間的差異與聯(lián)系，不等式左右兩端的差異和聯(lián)系，如例4是個(gè)條件不等式的證明問題。給出的特定條件是a+b+c=1，在分析所證不等式左右兩端的差異后，合理應(yīng)用已知條件，進(jìn)行有效的變換就是證明不等式的關(guān)鍵。

例5．已知|a|<1，|b|<1，求證：|

分析：利用分析法證明。

證明：要證||<1成立，只要證|a+b|<|1+ab|，|<1。

只要證(a+b)2<(1+ab)2，即a2+b2+2ab<1+2ab+a2b2，只要證a2+b2-1-a2b2<0，只要證(a2-1)(1-b2)<0，只要證(a2-1)(b2-1)>0。∵ |a|<1，|b|<1，∴ a2<1，b2<1，∴(a2-1)，(b2-1)同號，∴(a2-1)(b2-1)>0成立，∴ |

例6．已知a，b是不等正數(shù)，且a3-b3=a2-b2，求證：1

分析：已知條件中等式兩端和求證結(jié)論中不等式兩端有次數(shù)上的差異，因此在證明中應(yīng)采用從已知條件出發(fā)，施行降次變換，或從求證結(jié)論出發(fā)，施行升次變換的方法。

證明：a，b是不等正數(shù)，且a3-b3=a2-b2，a2+ab+b2=a+b

3(a+b)<4(a+b)2=a2+2ab+b2>a2+ab+b2=a+b3(a+b)2<4(a+b)a+b>1。|<1。a+b<

3(a2+2ab+b2)<4(a2+ab+b2)a2-2ab+b2>0(a-b)2>0。

成立。即(a-b)2>0一定成立，故a+b<

評述：分析法是從求證的不等式出發(fā)，逐步尋求使不等式成立的條件，直至所需條件被確認(rèn)成立，就斷定求證的不等式成立。分析法的思路是：執(zhí)果索因：從求證的不等式出發(fā)，探索使結(jié)論成立的充分條件，直至已成立的不等式。在例6中證明a+b>1采用的是綜合法。證明a+b<

常常是相互配合交替進(jìn)行的。

例7．已知a,b,c∈(0,1)，求證：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一個(gè)不大于

證明：假設(shè)(1-a)b>，(1-b)c>，(1-c)a>。采用的是分析法，事實(shí)上，推理論證中，由因?qū)Ч蛨?zhí)果索因兩種方法

∵ a,b,c∈(0,1)，∴ 1-a，1-b，1-c∈(0,1)，∴ >，+>，+>，>。

三式相加，得：

由平均值定理可知：++≤++=

與上式相矛盾，故假設(shè)不成立。

∴(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a中至少有一個(gè)不小于。

評述：反證法：基本思路是“假設(shè)——矛盾——肯定”，采用反證法證明不等式時(shí)，從與結(jié)論相反的假設(shè)出發(fā)，推出矛盾的過程中，每一步推理都必須是正確的。由于本題（例7）題目的結(jié)論是：三個(gè)數(shù)中“至少有一個(gè)不大于

復(fù)雜，會出現(xiàn)多個(gè)由異向不等式組成的不等式組，一一證明十分繁雜，而對結(jié)論的否定是三個(gè)數(shù)“都大于

明了，為推出矛盾提供了方便，故采用反證法是適宜的。

4．課后練習(xí)：

（1）已知x∈R，求證：1+2x4≥x2+2x3

（2）已知a,b∈R，a≠b，求證：a2+ab+b2>0?！?，情況比較”，結(jié)構(gòu)簡單

（3）求證log56·log54<1。提示：先化成常用對數(shù)，然后用均值不等式，有

（4）設(shè)x≠0，求證：x+≥2或x+≤-2。

第四篇：高考重點(diǎn)18 不等式證明

004km.cnm+?+Cnm，22mm(1+n)m=1+C1mn+Cmn+?+Cmn，46332927(小學(xué))56954784(中學(xué))004km.cn=1，mCn=nCm=m·n，mCn＞nCm，?，mmCmnmCmm+1m，mCm?1n＞0，?，mnCnn＞n＞0，∴1+C1+C22nn122mmnmnm+?+Cnm＞1+Cmn+Cmn+?+Cmn，即(1+m)n＞(1+n)m成立.8.證法一：因a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以(a+b)3－23=a3+b3+3a2b+3ab2－8=3a2b+3ab2－6 =3［ab(a+b)－2］=3［ab(a+b)－(a3+b3)］=－3(a+b)(a－b)2≤0.即(a+b)3≤23，又a+b＞0，所以a+b≤2，因?yàn)?ab≤a+b≤2，所以ab≤1.證法二：設(shè)a、b為方程x2－mx+n=0的兩根，則??m?a?b，?n?ab因?yàn)閍＞0，b＞0，所以m＞0，n＞0，且Δ=m2－4n≥0

因?yàn)?=a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)=(a+b)［(a+b)2－3ab］=m(m2－3n)所以n=m223?3m

將②代入①得m2－4(m223?3m)≥0，即?m3?83m≥0，所以－m3+8≥0，即m≤2，所以a+b≤2，由2≥m 得4≥m2，又m2≥4n，所以4≥4n，即n≤1，所以ab≤1.證法三：因a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以

2=a3+b3=(a+b)(a2+b2－ab)≥(a+b)(2ab－ab)=ab(a+b)于是有6≥3ab(a+b)，從而8≥3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3，所以a+b≤2，(下略）

證法四：因?yàn)閍3?b3a?b32?(2)(a?b)[4a2?4b2?4ab?a2?b2?2ab]3(a?b)(a?b)2?8?8≥0，所以對任意非負(fù)實(shí)數(shù)a、b，有a3?b32≥(a?b32)

因?yàn)閍＞0，b＞0，a3+b

3=2，所以1=a3?b3a?b32≥(2)，∴a?b2≤1，即a+b≤2，(以下略）

證法五：假設(shè)a+b＞2，則

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①②

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a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)=(a+b)［(a+b)2－3ab］＞(a+b)ab＞2ab，所以ab＜1，又a3+b3=(a+b)［a2－ab+b2］=(a+b)［(a+b)2－3ab］＞2(22－3ab)因?yàn)閍3+b3=2，所以2＞2(4－3ab)，因此ab＞1，前后矛盾，故a+b≤2(以下略)46332927(小學(xué))56954784(中學(xué))www.edusx.net 免費(fèi)數(shù)學(xué)資源網(wǎng)

第五篇：不等式證明

不等式證明

不等式是數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容之一，它是研究許多數(shù)學(xué)分支的重要工具，在數(shù)學(xué)中有重要的地位，也是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，在高考和競賽中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技巧性強(qiáng)，它不僅能夠檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的掌握程度，而且是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)水平的一個(gè)重要標(biāo)志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。

一、不等式的初等證明方法

1.綜合法：由因?qū)Ч?/p>

2.分析法：執(zhí)果索因?；静襟E：要證..只需證..，只需證..(1)“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件。

(2)“分析法”證題是一個(gè)非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進(jìn)行表達(dá)。

3.反證法：正難則反。

4.放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的。放縮法的方法有：

(1)添加或舍去一些項(xiàng)，如：

2)利用基本不等式，如：

(3)將分子或分母放大(或縮小)：

5.換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題

化難為易、化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。

6.構(gòu)造法：通過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式。

證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法仍是證明不等式的最基本方法。

7.數(shù)學(xué)歸納法：數(shù)學(xué)歸納法證明不等式在數(shù)學(xué)歸納法中專門研究。

8.幾何法：用數(shù)形結(jié)合來研究問題是數(shù)學(xué)中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時(shí)，可以考慮構(gòu)造相關(guān)幾何圖形來完成，若運(yùn)用得好，有時(shí)則有神奇的功效。

9.函數(shù)法：引入一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)達(dá)到證明不等式的目的。

10.判別式法：利用二次函數(shù)的判別式的特點(diǎn)來證明一些不等式的方法。當(dāng)a>0時(shí)，f(x)=ax2+bx+c>0(或<0).△<0(或>0)。當(dāng)a<0時(shí)，f(x)>0(或<0).△>0(或<0)。

二、部分方法的例題

1.換元法

換元法是數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的解題方法之一。有些不等式通過變量替換可以改變問題的結(jié)構(gòu)，便于進(jìn)行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡、化隱蔽為外顯的積極效果。

注意：在不等式的證明中運(yùn)用換元法，能把高次變?yōu)榈痛?，分式變?yōu)檎剑瑹o理式變?yōu)橛欣硎?，能簡化證明過程。尤其對含有若干個(gè)變元的齊次輪換式或輪換對稱式的不等式，通過換元變換形式以揭示內(nèi)容的實(shí)質(zhì)，可收到事半功倍之效。

2.放縮法

欲證A≥B，可將B適當(dāng)放大，即B1≥B，只需證明A≥B1。相反，將A適當(dāng)縮小，即A≥A1，只需證明A1≥B即可。

注意：用放縮法證明數(shù)列不等式，關(guān)鍵是要把握一個(gè)度，如果放得過大或縮得過小，就會導(dǎo)致解決失敗。放縮方法靈活多樣，要能想到一個(gè)恰到好處進(jìn)行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識，同時(shí)要求我們具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力和一定的解題智慧。

3.幾何法

數(shù)形結(jié)合來研究問題是數(shù)學(xué)中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時(shí)，可以考慮構(gòu)造相關(guān)幾何圖形來完成，若運(yùn)用得好，有時(shí)則有神奇的功效。