第一篇：幾種簡單證明勾股定理的方法

幾種簡單證明勾股定理的方法

——拼圖法、定理法 江蘇省泗陽縣李口中學(xué)沈正中

據(jù)說對社會有重大影響的10大科學(xué)發(fā)現(xiàn)，勾股定理就是其中之一。早在4000多年前，中國的大禹曾在治理洪水的過程中利用勾股定理來測量兩地的地勢差。迄今為止，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種，各種證法融幾何知識與代數(shù)知識于一體，完美地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的魅力。讓我們動起手來，拼一拼，想一想，娛樂幾種，去感悟數(shù)學(xué)

圖的神奇和妙趣吧！

一、拼圖法證明（舉例12種）

拼法一：用四個相同的直角三角形（直角邊為a、b，斜邊為c）按圖2拼法。

問題：你能用兩種方法表示左圖的面積嗎？對比兩種不同的表示方法，你發(fā)現(xiàn)了什么？

圖

22分析圖2：S正方形=（a+b）= c2 + 4×ab

2化簡可得：a2+b2 = c2

拼法二：做8個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像左

圖那樣拼成兩個正方形。

從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a + b，所以面積相等.即

a2+b2+4×ab = c2+4×ab整理得a2+b2 = c2 2

2拼法三：用四個相同的直角三角形（直角邊為a、b，斜邊為c）按圖3拼法。

問題：圖3是由三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時給出的。在圖3中用同樣的辦法研究，你有什么發(fā)現(xiàn)？你能驗(yàn)證a2+b2=c2嗎？

圖

3圖

4分析圖3：S正方形= c2 =（a-b）2+ 4×ab 2化簡可得：a2+b2 = c

2觀察圖

2、圖3與圖4的關(guān)系，并用一句話表示你的觀點(diǎn)。

圖4為圖2與圖3面積之和。拼法四：用兩個完全相同的直角三角形（直角邊為a、b，斜邊為c）按圖5拼法。

背景：在1876年一個周末的傍晚，在美國首都華盛

頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就

B

E

圖

C

是當(dāng)時美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德（Garfield）．他發(fā)現(xiàn)附近的一個小石凳上，有兩個小孩正在談?wù)撝裁矗捎诤闷嫘牡尿?qū)使，伽菲爾德向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小

孩到底在干什么．只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形．于是伽菲爾德便問他們在干什么？只見那個小男孩頭也不抬地說：“請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那么斜邊長為多少呢？”伽菲爾德答到：“是5呀．”小男孩又問道：“如果兩條直角邊分別為5和7，那么這個直角三角形的斜邊長又是多少？”伽菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又說道：“先生，你能說出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時語塞，無法解釋了，心理很不是滋味。

于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題。他經(jīng)過反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法。

問題： 圖5就是伽菲爾德總統(tǒng)的拼法，你知道他是如何驗(yàn)證的嗎？你能用兩種方法表示圖5的面積嗎？

伽菲爾德總統(tǒng)是這樣分析的： S梯形ABCD=(a+b)2

2S梯形ABCD=S△ABE+ S△ECD+ S△AED=ab+ab+c2 222則有：(a+b)2=ab+ab+c22222化簡可得：a2+b2 = c2

比較圖5與圖2，你有什么發(fā)現(xiàn)？ 圖5面積為圖2之半。

拼法五：用四個相同的直角三角形（直角邊為a、b，斜邊為c），拼成圖6，得邊長分別為a、b、c正方形。

問題：觀察圖6，你能發(fā)現(xiàn)邊長分別為a、b、c的正方形嗎？你能通驗(yàn)證到：a2+b2 = c2嗎？

圖

6分析：其實(shí)，圖6可以轉(zhuǎn)化為下面兩圖： 圖a的面積可表示為：a2+b2+2×ab2圖b的面積可表示為：c2+2×ab 2比較a、b兩圖，你發(fā)現(xiàn)了什么？

圖

a

圖b

a2+b2+2×ab = c+2×ab

2化簡可得：a2+b2 = c2

D

拼法六：設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為a、b，斜邊的長為c.作邊長是a+b的正方形ABCD把正方形ABCD劃分成左圖所示的幾個部

分，則該正方形ABCD的面

積為（a＋b）＝a2＋b2＋2ab；

再把正方形ABCD劃分成右

圖所示的幾個部分，則正方形ABCD的面積為（a＋b）＝c2+4×ab

2由兩正方形面積相等得a2＋b2＋2ab＝c2+4×ab整理得a2+b2 = c2 2

拼法七：用四個相同的直角三角形（直角邊為a、b，斜邊為c）拼成圖7。

問題：你能把圖7轉(zhuǎn)化為圖c嗎？通過位置變換，你發(fā)現(xiàn)了什么？你能發(fā)現(xiàn)邊長分別為a、b、c的正方

圖7

圖c

形嗎？能否驗(yàn)證到：a2+b2 = c2呢？ 分析：圖7的面積可表示為：c2+4×ab

2圖c的面積可表示為：a2+b2+4×ab 2比較圖c、圖7，你發(fā)現(xiàn)了什么？

a2+b2+4×ab = c2+4×ab化簡可得：a2+b2 = c2 2

2拼法八、九、十、十一、十二：制作一個五巧

板，如圖8。

方法：先作一個直角三角形，直角邊為a、b，斜邊為c，以斜邊為邊長向內(nèi)作正方形，并把正方形按圖中實(shí)線分割為五個部分，這就是一個五巧板。

問題：運(yùn)用五巧板，拼出圖d、圖e、圖f、圖

圖8

a2+b2 = c2呢？你還有其它的拼法嗎？

圖d

圖e

g，并仔細(xì)觀察、比較，你發(fā)現(xiàn)了什么？能否驗(yàn)證到：

圖g

圖f

二、定理法證明（舉例3種）

利用切割線定理證明

在RtΔABC中，設(shè)直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c.如圖，以B為圓心a為半徑作圓，交AB及AB的延長線分別于D、E，則BD = BE = BC = a.因?yàn)椤螧CA = 90o，點(diǎn)C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切線.由切割線定理，得

AC2=AE·AD＝(AB＋BE)(AB－BD)＝（c＋a）（c－a）＝c2－a2從而可得a2+b2 = c

2利用托勒密定理證明

在RtΔABC中，設(shè)直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c（如圖）.過點(diǎn)A作AD∥CB，過點(diǎn)B作BD∥CA，則ACBD為矩形，矩形ACBD內(nèi)接于一個圓.根據(jù)托勒密定理，圓內(nèi)

接四邊形對角線的乘積等于兩對邊乘積之和，有

AB·DC＝AD·BC＋AC·BD從而可得a2+b2 = c2

利用射影定理證明

如圖，在RtΔABC中，設(shè)直角邊AC、BC的長度分別為a、b，斜邊AB的長為c，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足是D.根據(jù)射影定理，得

AC2＝AD·AB，BC2＝BD·BA

即AC2＋BC2＝AD·AB＋BD·BA＝AB（AD＋BD）＝AB2從而得a2+b2 = c

2品味各種拼圖，方法各異，妙趣橫生，證明思路別具匠心，極富創(chuàng)新。它們充分運(yùn)用了幾何圖形的截、割、拼、補(bǔ)來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，既具嚴(yán)密性，又具直觀性，深刻體現(xiàn)了形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨(dú)特魅力。

第二篇：勾股定理證明方法

勾股定理證明方法

勾股定理的種證明方法(部分)

【證法1】(梅文鼎證明)

做四個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c.把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使D、E、F在一條直線上.過C作AC的延長線交DF于點(diǎn)p.∵D、E、F在一條直線上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,∴∠EGF=∠BED，∵∠EGF+∠GEF=90°，∴∠BED+∠GEF=90°，∴∠BEG=180o―90o=90o.又∵AB=BE=EG=GA=c，∴ABEG是一個邊長為c的正方形.∴∠ABC+∠CBE=90o.∵RtΔABC≌RtΔEBD,∴∠ABC=∠EBD.∴∠EBD+∠CBE=90o.即∠CBD=90o.又∵∠BDE=90o，∠BCp=90o，BC=BD=a.∴BDpC是一個邊長為a的正方形.同理，HpFG是一個邊長為b的正方形.設(shè)多邊形GHCBE的面積為S，則,∴.【證法2】(項(xiàng)明達(dá)證明)

做兩個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b(b>a)，斜邊長為c.再做一個邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點(diǎn)在一條直線上.過點(diǎn)Q作Qp‖BC，交AC于點(diǎn)p.過點(diǎn)B作BM⊥pQ，垂足為M;再過點(diǎn)

F作FN⊥pQ，垂足為N.∵∠BCA=90o，Qp‖BC，∴∠MpC=90o，∵BM⊥pQ，∴∠BMp=90o，∴BCpM是一個矩形，即∠MBC=90o.∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90o，∠ABC+∠MBA=∠MBC=90o，∴∠QBM=∠ABC，又∵∠BMp=90o，∠BCA=90o，BQ=BA=c，∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.同理可證RtΔQNF≌RtΔAEF.【證法3】(趙浩杰證明)

做兩個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b(b>a)，斜邊長為c.再做一個邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形.分別以CF，AE為邊長做正方形FCJI和AEIG，∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，∴FI=a，∴G,I,J在同一直線上，∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB=∠CFD=90o，∴RtΔCJB≌RtΔCFD，同理，RtΔABG≌RtΔADE，∴RtΔCJB≌RtΔCFD≌RtΔABG≌RtΔADE

∴∠ABG=∠BCJ,∵∠BCJ+∠CBJ=90o,∴∠ABG+∠CBJ=90o,∵∠ABC=90o,∴G,B,I,J在同一直線上，【證法4】(歐幾里得證明)

做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)

BF、CD.過C作CL⊥DE，交AB于點(diǎn)M，交DE于點(diǎn)

L.∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠GAD，∴ΔFAB≌ΔGAD，∵ΔFAB的面積等于，ΔGAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半，∴矩形ADLM的面積=.同理可證，矩形MLEB的面積=.∵正方形ADEB的面積

=矩形ADLM的面積+矩形MLEB的面積

∴，即.勾股定理的別名

勾股定理，是幾何學(xué)中一顆光彩奪目的明珠，被稱為“幾何學(xué)的基石”，而且在高等數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中也有著極為廣泛的應(yīng)用。正因?yàn)檫@樣，世界上幾個文明古國都已發(fā)現(xiàn)并且進(jìn)行了廣泛深入的研究，因此有許多名稱。

我國是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最古老的國家。我國古代數(shù)學(xué)家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。在公元前1000多年，據(jù)記載，商高(約公元前1120年)答周公曰“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”，其意為，在直角三角形中“勾三，股四，弦五”.因此，勾股定理在我國又稱“商高定理”.在公元前7至6世紀(jì)一中國學(xué)者陳子，曾經(jīng)給出過任意直角三角形的三邊關(guān)系即“以日下為勾，日高為股，勾、股各乘并開方除之得邪至日。

在法國和比利時，勾股定理又叫“驢橋定理”。還有的國家稱勾股定理為“平方定理”。

在陳子后一二百年，希臘的著名數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了這個定理，因此世界上許多國家都稱勾股定理為“畢達(dá)哥拉斯”定理.為了慶祝這一定理的發(fā)現(xiàn)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個定理又有人叫做“百牛定理”.前任美國第二十屆總統(tǒng)加菲爾德證明了勾股定理(1876年4月1日)。

證明

這個定理有許多證明的方法，其證明的方法可能是數(shù)學(xué)眾多定理中最多的。路明思(ElishaScottLoomis)的pythagoreanproposition一書中總共提到367種證明方式。

有人會嘗試以三角恒等式(例如：正弦和余弦函數(shù)的泰勒級數(shù))來證明勾股定理，但是，因?yàn)樗械幕救呛愕仁蕉际墙ɑ诠垂啥ɡ?，所以不能作為勾股定理的證明(參見循環(huán)論證)。

第三篇：勾股定理證明方法（精選）

勾股定理證明方法

勾股定理是初等幾何中的一個基本定理。所謂勾股定理，就是指在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。這個定理有十分悠久的歷史，幾乎所有文明古國（希臘、中國、埃及、巴比倫、印度等）對此定理都有所研究。勾股定理在西方被稱為畢達(dá)哥拉斯定理，相傳是古希臘數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯于公元前550年首先發(fā)現(xiàn)的。

中國古代對這一數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用，遠(yuǎn)比畢達(dá)哥拉斯早得多。中國最早的一部數(shù)學(xué)著作——《周髀算經(jīng)》的開頭，記載著一段周公向商高請教數(shù)學(xué)知識的對話：周公問：“我聽說您對數(shù)學(xué)非常精通，我想請教一下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關(guān)于天地得到數(shù)據(jù)呢？” 商高回答說：“數(shù)的產(chǎn)生來源于對方和圓這些形體的認(rèn)識。其中有一條原理：當(dāng)直角三角形‘矩'得到的一條直角邊‘勾'等于3，另一條直角邊’股'等于4的時候，那么它的斜邊'弦'就必定是5。這個原理是大禹在治水的時候就總結(jié)出來的呵。” 如果說大禹治水因年代久遠(yuǎn)而無法確切考證的話，那么周公與商高的對話則可以確定在公元前1100年左右的西周時期，比畢達(dá)哥拉斯要早了五百多年。其中所說的勾3股4弦5，正是勾股定理的一個應(yīng)用特例。所以現(xiàn)在數(shù)學(xué)界把它稱為勾股定理是非常恰當(dāng)?shù)摹?/p>

在《九章算術(shù)》一書中，勾股定理得到了更加規(guī)范的一般性表達(dá)。書中的《勾股章》說；“把勾和股分別自乘，然后把它們的積加起來，再進(jìn)行開方，便可以得到弦?！薄毒耪滤阈g(shù)》系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢以來的數(shù)學(xué)成就，共收集了246個數(shù)學(xué)的應(yīng)用問題和各個問題的解法，列為九章，可能是所有中國數(shù)學(xué)著作中影響最大的一部。

中國古代的數(shù)學(xué)家們最早對勾股定理進(jìn)行證明的，是三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明。

上中間的那個小正方形組成的。

每個直角三角形的面積為ab/2；

中間的小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a）2。

于是便可得如下的式子：

4×（ab/2）+（b-a）2=c

2化簡后便可得： a2+b2=c2

在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個相等的直角三角形再加

劉徽在證明勾股定理時也是用以形證數(shù)的方法，劉徽用了“出入相補(bǔ)法”即剪貼證明法，他把勾股為邊的正方形上的某些區(qū)域剪下來(出)，移到以弦為邊的正方形的空白區(qū)域內(nèi)(入)，結(jié)果剛好填滿，完全用圖解法就解決了問題。

1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對勾股定理的證法。1881年，伽菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng)后來，人們?yōu)榱思o(jì)念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)”證法

古代數(shù)學(xué)家們對于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位。尤其是其中體現(xiàn)出來的“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法，更具有科學(xué)創(chuàng)新的重大意義。

第四篇：勾股定理五種證明方法

勾股定理五種證明方法

【證法1】

做8

個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a + b，所以面積相等.即

11a2?b2?4?ab?c2?4?ab22，整理得a2?b2?c2.【

證法2】（鄒元治證明）

以a、b 為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角

1ab2形的面積等于.把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點(diǎn)在一條直線上，B、F、C三點(diǎn)在一條直線上，C、G、D三點(diǎn)在一條直線上.∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,∴ ∠AHE = ∠BEF.∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o.∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o.∴ 四邊形EFGH是一個邊長為c的正方形.它的面積等于c2.∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,∴ ∠HGD = ∠EHA.∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o.又∵ ∠GHE = 90o,∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o.2??a?b∴ ABCD是一個邊長為a + b的正方形，它的面積等于.∴ ?a?b?21?4?ab?c

22222.∴ a?b?c.【證法3】（梅文鼎證明）

做四個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為

c.把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使D、E、F在一條直線上.過C作AC的延長線交DF于點(diǎn)P.∵ D、E、F在一條直線上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,∴ ∠EGF = ∠BED，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180o―90o= 90o.又∵ AB = BE = EG = GA = c，∴ ABEG是一個邊長為c的正方形.∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o.∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,∴ ∠ABC = ∠EBD.∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o.即∠CBD= 90o.又∵ ∠BDE = 90o，∠BCP = 90o，ABC = BD = a.∴ BDPC是一個邊長為a的正方形.同理，HPFG是一個邊長為b的正方形.設(shè)多邊形GHCBE的面積為S，則

11a2?b2?S?2?ab,c2?S?2?ab22,222∴a?b?c.【證法4】（1876年美國總統(tǒng)Garfield證明）

以a、b 為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角1ab2形的面積等于.把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點(diǎn)在一條直線上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o.∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o.∴ ΔDEC是一個等腰直角三角形，12c2它的面積等于.又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o,∴ AD∥BC.1?a?b?

2∴ ABCD是一個直角梯形，它的面積等于2.1?a?b?2?2?1ab?1c2

22.∴ 2

222∴ a?b?c.【證法5】（辛卜松證明）

DD

設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為a、b，斜邊的長為c.作邊長是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD劃分成上方左圖所示的幾個部分，則正方形ABCD

222??a?b?a?b?2ab；把正方形ABCD劃分成上方右圖所示的幾個的面積為

部分，則正方形ABCD的面積為

222∴a?b?2ab?2ab?c,222∴a?b?c.?a?b?21?4?ab?c222 =2ab?c.初二（1）

第五篇：勾股定理的證明方法

這個直角梯形是由2個直角邊分別為、，斜邊為 的直角

三角形和1個直角邊為的等腰直角三角形拼成的。因?yàn)?個直角三角形的面積之和等于梯形的面積，所以可以列出等式

化簡得。