第一篇：考研線代的特點(diǎn)與復(fù)習(xí)要點(diǎn)

考研線代的特點(diǎn)與復(fù)習(xí)要點(diǎn)

考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，對(duì)于線性代數(shù)這門課，同學(xué)們普遍感覺書容易看懂，但題目不會(huì)做，或者題目會(huì)做，但一算就錯(cuò)，這主要是大家對(duì)線性代數(shù)的特點(diǎn)不太了解，其實(shí)線性代數(shù)復(fù)習(xí)要注意以下幾點(diǎn)。

一、注重對(duì)基本概念的理解與把握，正確熟練運(yùn)用基本方法及基本運(yùn)算

線性代數(shù)的概念很多，重要的有：

代數(shù)余子式，伴隨矩陣，逆矩陣，初等變換與初等矩陣，正交變換與正交矩陣，秩（矩陣、向量組、二次型），等價(jià)（矩陣、向量組），線性組合與線性表出，線性相關(guān)與線性無關(guān)，極大線性無關(guān)組，基礎(chǔ)解系與通解，解的結(jié)構(gòu)與解空間，特征值與特征向量，相似與相似對(duì)角化，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形，正定，合同變換與合同矩陣。

線性代數(shù)中運(yùn)算法則多，應(yīng)整理清楚不要混淆，基本運(yùn)算與基本方法要過關(guān)，重要的有：

行列式（數(shù)字型、字母型）的計(jì)算，求逆矩陣，求矩陣的秩，求方陣的冪，求向量組的秩與極大線性無關(guān)組，線性相關(guān)的判定或求參數(shù)，求基礎(chǔ)解系，求非齊次線性方程組的通解，求特征值與特征向量（定義法，特征多項(xiàng)式基礎(chǔ)解系法），判斷與求相似對(duì)角矩陣，用正交變換化實(shí)對(duì)稱矩陣為對(duì)角矩陣（亦即用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形）。

二、注重知識(shí)點(diǎn)的銜接與轉(zhuǎn)換，知識(shí)要成網(wǎng)，努力提高綜合分析能力

線性代數(shù)從內(nèi)容上看縱橫交錯(cuò)，前后聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣，相互滲透，因此解題方法靈活多變，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)當(dāng)常問自己做得對(duì)不對(duì)？再問做得好不好？只有不斷地歸納總結(jié)，努力搞清內(nèi)在聯(lián)系，使所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，接口與切入點(diǎn)多了，熟悉了，思路自然就開闊了。

正是因?yàn)榫€性代數(shù)各知識(shí)點(diǎn)之間有著千絲萬縷的聯(lián)系，代數(shù)題的綜合性與靈活性就較大，同學(xué)們整理時(shí)要注重串聯(lián)、銜接與轉(zhuǎn)換。

三、注重邏輯性與敘述表述

線性代數(shù)對(duì)于抽象性與邏輯性有較高的要求，通過證明題可以了解考生對(duì)數(shù)學(xué)主要原理、定理的理解與掌握程度，考查考生的抽象思維能力、邏輯推理能力。大家復(fù)習(xí)整理時(shí)，應(yīng)當(dāng)搞清公式、定理成立的條件，不能張冠李戴，同時(shí)還應(yīng)注意語(yǔ)言的敘述表達(dá)應(yīng)準(zhǔn)確、簡(jiǎn)明。

總之，數(shù)學(xué)題目千變?nèi)f化，有各種延伸或變式，同學(xué)們要在考試中取得好成績(jī)，一定要認(rèn)真仔細(xì)地復(fù)習(xí)，華而不實(shí)靠押題碰運(yùn)氣是行不通的，必須要重視三基，多思多議，不斷地總結(jié)經(jīng)驗(yàn)與教訓(xùn)，做到融會(huì)貫通。

第二篇：線代復(fù)習(xí)要點(diǎn)

線性代數(shù)期末復(fù)習(xí)要點(diǎn)

1.行列式及矩陣運(yùn)算(乘法、轉(zhuǎn)置、伴隨)的基本性質(zhì)；

2.可逆矩陣(含初等矩陣)的性質(zhì)及其逆矩陣的求法；

3.矩陣的秩及其分塊的性質(zhì)與計(jì)算；

4.向量組的線性關(guān)系和向量組的秩；

5.一般線性方程組的求解(含判定定理及結(jié)構(gòu)定理)；

6.向量空間的內(nèi)積的性質(zhì)及其標(biāo)準(zhǔn)正交基的求法(施密特正交化方法)；

7.正交矩陣的性質(zhì)；

8.方陣的特征值與特征向量的性質(zhì)及其求法；

9.矩陣的相似與對(duì)角化問題；

10.矩陣的合同與對(duì)角形問題；

11.實(shí)對(duì)稱矩陣(實(shí)二次型)的標(biāo)準(zhǔn)形的求法(配方法、合同變換法、正交變換法)；

12.正定矩陣(正定二次型)的性質(zhì)及判定.-----戴躍進(jìn)

第三篇：考研數(shù)學(xué)線代

考研數(shù)學(xué)常見的十種題型列出如下：

一、運(yùn)用洛必達(dá)法則和等價(jià)無窮小量求極限問題，直接求極限或給出一個(gè)分段函數(shù)討論基連續(xù)性及間斷點(diǎn)問題。

二、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求最值、極值或證明不等式。

三、微積分中值定理的運(yùn)用，證明一個(gè)關(guān)于“存在一個(gè)點(diǎn)，使得……成立”的命題或者證明不等式。

四、重積分的計(jì)算，包括二重積分和三重積分的計(jì)算及其應(yīng)用。

五、曲線積分和曲面積分的計(jì)算。

六、冪級(jí)數(shù)問題，計(jì)算冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，將一個(gè)已知函數(shù)用間接法展開為冪級(jí)數(shù)。

七、常微分方程問題?？煞蛛x變量方程、一階線性微分方程、伯努利方程等的通解、特解及冪級(jí)數(shù)解法。

八、解線性方程組，求線性方程組的待定常數(shù)等。

九、矩陣的相似對(duì)角化，求矩陣的特征值，特征向量，相似矩陣等。

十、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)。求概率分布或隨機(jī)變量的分布密度及一些數(shù)字特征，參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。

此外還需提醒考生，到考前一周，考研數(shù)學(xué)，這個(gè)時(shí)候就只能在考場(chǎng)上看看題型，總結(jié)失利原因了。若因晚上熬夜影響考試是最得不償失的事情，而在考前一周能預(yù)防的就是此事的發(fā)生了。即使開了夜車而在考場(chǎng)也沒有睡著，但頭腦不清楚，對(duì)數(shù)學(xué)的考試依然是非常不利的，因?yàn)閿?shù)學(xué)計(jì)算與證明思路最需要清醒和快速的反應(yīng)。

對(duì)于考數(shù)學(xué)的考生來說，數(shù)學(xué)的150分是很重要的，下面是一些考研數(shù)學(xué)的常識(shí)，希望對(duì)大家有幫助。

2015考研數(shù)學(xué)常識(shí)：卷種及考試內(nèi)容

考研數(shù)學(xué)從卷種上來看分為數(shù)學(xué)

一、數(shù)學(xué)

二、數(shù)學(xué)三;從考試內(nèi)容上來看，涵蓋了高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì);試卷結(jié)構(gòu)上來看，設(shè)有三種題型：選擇題(8道共32分)、填空題(6道共24分)、解答題(9道共94分)，其中數(shù)一與數(shù)三在題目類型的分布上是一致的，1-

4、9-

12、15-19屬于高等數(shù)學(xué)的題目，5-6、13、20-21屬于線性代數(shù)的題目，7-8、14、22-23屬于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的題目;而數(shù)學(xué)二不同，1-

6、9-

13、15-21均是高等數(shù)學(xué)的題目，7-8、14、22-23為線性代數(shù)的題目。

一、科目考試區(qū)別： 1.線性代數(shù)

數(shù)學(xué)一、二、三均考察線性代數(shù)這門學(xué)科，而且所占比例均為22%，從歷年的考試大綱來看，數(shù)一、二、三對(duì)線性代數(shù)部分的考察區(qū)別不是很大，唯一不同的是數(shù)一的大綱中多了向量空間部分的知識(shí)，不過通過研究近五年的考試真題，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)一獨(dú)有知識(shí)點(diǎn)的考察只在09、10年的試卷中出現(xiàn)過，其余年份考查的均是大綱中共同要求的知識(shí)點(diǎn)，而且從近兩年的真題來看，數(shù)

一、數(shù)

二、數(shù)三中線性代數(shù)部分的試題是一樣的，沒再出現(xiàn)變化的題目，那么也就是說從以往的經(jīng)驗(yàn)來看，2015年的考研數(shù)學(xué)中數(shù)

一、數(shù)

二、數(shù)三線性代數(shù)部分的題目也不會(huì)有太大的差別!2.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

數(shù)學(xué)二不考察，數(shù)學(xué)一與數(shù)學(xué)三均占22%，從歷年的考試大綱來看，數(shù)一比數(shù)三多了區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)部分的知識(shí)，但是對(duì)于數(shù)一與數(shù)三的大綱中均出現(xiàn)的知識(shí)在考試要求上也還是有區(qū)別的，比如數(shù)一要求了解泊松定理的結(jié)論和應(yīng)用條件，但是數(shù)三就要求掌握泊松定理的結(jié)論和應(yīng)用條件，廣大的考研學(xué)子們都知道大綱中的“了解”與“掌握”是兩個(gè)不同的概念，因此，建議廣大考生在復(fù)習(xí)概率這門學(xué)科的時(shí)候一定要對(duì)照歷年的考試大綱，不要做無用功!3.高等數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)一、二、三均考察，而且所占比重最大，數(shù)一、三的試卷中所占比例為56%，數(shù)二所占比例78%。由于考察的內(nèi)容比較多，故我們只從大的方向上對(duì)數(shù)一、二、三做簡(jiǎn)單的區(qū)別。以同濟(jì)六版教材為例，數(shù)一考察的范圍是最廣的，基本涵蓋整個(gè)教材(除課本上標(biāo)有*號(hào)的內(nèi)容);數(shù)二不考察向量代數(shù)與空間解析幾何、三重積分、曲線積分、曲面積分以及無窮級(jí)數(shù);數(shù)三不考察向量空間與解析幾何、三重積分、曲線積分、曲面積分以及所有與物理相關(guān)的應(yīng)用。

二、試卷考試內(nèi)容區(qū)別 1.數(shù)學(xué)一

高等數(shù)學(xué)：同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)中除了第七章微分方程考帶*號(hào)的歐拉方程，伯努利方程外，其余帶*號(hào)的都不考；所有“近似”的問題都不考；第四章不定積分不考積分表的使用；第九章第五節(jié)不考方程組的情形；第十二章第五節(jié)不考?xì)W拉公式； 線性代數(shù)：數(shù)學(xué)一用的教材是同濟(jì)五版線性代數(shù)1-5章：行列式、矩陣及其運(yùn)算、矩陣的初等變換及其方程組、向量組的線性相關(guān)性、相似矩陣及二次型。其中向量組的線性相關(guān)性中數(shù)一考向量空間，線性方程組跟空間解析幾何結(jié)合數(shù)一也要考；

概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：

1、概率論的基本概念

2、隨機(jī)變量及其分布

3、多維隨機(jī)變量及其分布

4、隨機(jī)變量的數(shù)字特征

5、大數(shù)定律及中心極限定理

6、樣本及抽樣分布

7、參數(shù)估計(jì)

8、假設(shè)檢驗(yàn) 2.數(shù)學(xué)二

高等數(shù)學(xué)：同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)中除了第七章微分方程考帶*號(hào)的伯努利方程外，其余帶*號(hào)的都不考；所有“近似”的問題都不考；第四章不定積分不考積分表的使用；不考第八章空間解析幾何與向量代數(shù)；第九章第五節(jié)不考方程組的情形；到第十章二重積分、重積分的應(yīng)用為止，后面不考了。

線性代數(shù)：數(shù)學(xué)二用的教材是同濟(jì)五版線性代數(shù)，1-5章：行列式、矩陣及其運(yùn)算、矩陣的初等變換及其方程組、向量組的線性相關(guān)性、相似矩陣及二次型。概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：不考。3.數(shù)學(xué)三

高等數(shù)學(xué)：同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)中所有帶*號(hào)的都不考；所有“近似”的問題都不考；第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用不考曲率；第四章不定積分不考積分表的使用；不考第六章定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用以及曲線的弧長(zhǎng)。第七章微分方程不考可降階的高階微分方程，另外補(bǔ)充差分方程。不考第八章空間解析幾何與向量代數(shù)。第九章第五節(jié)不考方程組的情形，第十章二重積分為止，第十二章的級(jí)數(shù)中不考傅里葉級(jí)數(shù)；

線性代數(shù)：數(shù)學(xué)一用的參考教材是同濟(jì)五版線性代數(shù)，1-5章：行列式、矩陣及其運(yùn)算、矩陣的初等變換及其方程組、向量組的線性相關(guān)性、相似矩陣及二次型。數(shù)三不考向量組的線性相關(guān)性中的向量空間，線性方程組跟空間解析幾何結(jié)合的問題；

概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容包括：

1、概率論的基本概念

2、隨機(jī)變量及其分布

3、多維隨機(jī)變量及其分布

4、隨機(jī)變量的數(shù)字特征

5、大數(shù)定律及中心極限定理

6、樣本及抽樣分布

7、參數(shù)估計(jì)，其中數(shù)三的同學(xué)不考參數(shù)估計(jì)中的區(qū)間估計(jì)。

廣大的考研學(xué)子們，考研數(shù)學(xué)要想取得高分并不難，但是想要考得滿分也不容易，在這里老師提醒大家，在考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的初期一定要有一個(gè)考研數(shù)學(xué)考試大綱，14、13、12年的都可以，因?yàn)榭佳袛?shù)學(xué)的大綱這么多年來壓根就沒變過，唯一變化的是將克萊姆法則改成了克萊默法則。建議大家認(rèn)真研讀考試大綱要求，弄明白自己考試什么不考什么，做到有的放矢!最后，預(yù)祝2015的考生復(fù)習(xí)順利!最后，滬江考研祝全體考生取得好成績(jī)。

2015考研數(shù)學(xué)線代沖刺注意歷年考點(diǎn)

考研數(shù)學(xué)沖刺階段，把真題吃透，通過對(duì)歷年真題題型、機(jī)構(gòu)、安排，可以熟悉各位出題老師的出題意向、重點(diǎn)，融匯貫通對(duì)于后期大幅提高復(fù)習(xí)效果明顯。下面為同學(xué)們總結(jié)了歷年真題中線性代數(shù)各章節(jié)易考點(diǎn)，可以幫助大家在復(fù)習(xí)中查漏補(bǔ)缺。

第一章行列式，這一塊唯一的重點(diǎn)是行列式的計(jì)算，主要有數(shù)值型和抽象型兩類行列式的計(jì)算，06、08、10、12年的真題中均有抽象行列式的計(jì)算問題，而且均是以填空題的形式出現(xiàn)的，個(gè)別的還出現(xiàn)在了大題的第一問中。

第二章矩陣，重點(diǎn)在矩陣的秩、逆、伴隨、初等變換以及初等矩陣、分塊矩陣。這一章概念和運(yùn)算較多，考點(diǎn)也較多，而且考點(diǎn)以填空和選擇為主，當(dāng)然也會(huì)結(jié)合其他章節(jié)的知識(shí)考大題。06、09、11、12年均考了一個(gè)小題是有關(guān)初等變換與矩陣乘法之間的關(guān)系，10年考了一個(gè)小題關(guān)于矩陣的秩，08年考了一道抽象矩陣求逆的問題。

第三章向量，可以分為三個(gè)重點(diǎn)，第一個(gè)是向量組的線性表示，第二個(gè)是向量組的線性相關(guān)性，第三個(gè)是向量組的秩及極大線性無關(guān)組。這一章無論是大題還是小題都特別容易出考題，06年以來每年都有一道考題，不是向量組的線性表示就是向量組的線性相關(guān)性的判斷，10年還考了一道向量組秩的問題。

第四章線性方程組，有三個(gè)重點(diǎn)。第一個(gè)是線性方程組解的判定問題，第二個(gè)是解的性質(zhì)問題，第三個(gè)是解的結(jié)構(gòu)問題。06年以來只有11年沒有出大題，其他幾年的考題均是含參方程的求解或者是解的判定問題。

第五章矩陣的特征值與特征向量，也是分三個(gè)重點(diǎn)。第一個(gè)是特征值與特征向量的定義、性質(zhì)以及求法。第二個(gè)為矩陣的相似對(duì)角化問題，第三是實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)以及正交相似對(duì)角化的問題。實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)與正交相似對(duì)角化問題可以說每年必考，12年、11年、10年09年都考了。

第六章二次型有兩個(gè)重點(diǎn)。第一個(gè)是化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，同學(xué)們必須掌握兩種方法，第一個(gè)是配方法，第二個(gè)是正交變換法。第二個(gè)重點(diǎn)是正定二次型的判定。11年考的一個(gè)小題，用通過正交變換法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，12年、11年、10年均以大題的形式出現(xiàn)，但主要用的是正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。

第四篇：2014年考研數(shù)學(xué)：線代復(fù)習(xí)三策略

2014年考研數(shù)學(xué)：線代復(fù)習(xí)三策略

復(fù)習(xí)線性代數(shù)要注重知識(shí)點(diǎn)的銜接與轉(zhuǎn)換。由于線性代數(shù)各個(gè)部分之間的聯(lián)系非常緊密，而且歷年來的考題大多都涉及到幾個(gè)部分的內(nèi)容，所以復(fù)習(xí)線性代數(shù)一定要有一個(gè)整體意識(shí)。行列式和矩陣是基礎(chǔ)知識(shí)，還有向量、方程組、特征值等一直是考點(diǎn)。復(fù)習(xí)要注意以下幾點(diǎn)。

一、注重對(duì)基本概念的理解與把握，正確熟練運(yùn)用基本方法及基本運(yùn)算。

線性代數(shù)的概念很多，重要的有：代數(shù)余子式，伴隨矩陣，逆矩陣，初等變換與初等矩陣，正交變換與正交矩陣，秩(矩陣、向量組、二次型)，等價(jià)(矩陣、向量組)，線性組合與線性表出，線性相關(guān)與線性無關(guān)，極大線性無關(guān)組，基礎(chǔ)解系與通解，解的結(jié)構(gòu)與解空間，特征值與特征向量，相似與相似對(duì)角化，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形，正定，合同變換與合同矩陣。

線性代數(shù)中運(yùn)算法則多，應(yīng)整理清楚不要混淆，基本運(yùn)算與基本方法要過關(guān)，重要的有：行列式(數(shù)字型、字母型)的計(jì)算，求逆矩陣，求矩陣的秩，求方陣的冪，求向量組的秩與極大線性無關(guān)組，線性相關(guān)的判定或求參數(shù)，求基礎(chǔ)解系，求非齊次線性方程組的通解，求特征值與特征向量(定義法，特征多項(xiàng)式基礎(chǔ)解系法)，判斷與求相似對(duì)角矩陣，用正交變換化實(shí)對(duì)稱矩陣為對(duì)角矩陣(亦即用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形)。

二、注重邏輯性與敘述表述

線性代數(shù)對(duì)于抽象性與邏輯性有較高的要求，通過證明題可以了解考生對(duì)數(shù)學(xué)主要原理、定理的理解與掌握程度，考查考生的抽象思維能力、邏輯推理能力。大家復(fù)習(xí)整理時(shí)，應(yīng)當(dāng)搞清公式、定理成立的條件，不能張冠李戴，同時(shí)還應(yīng)注意語(yǔ)言的敘述表達(dá)應(yīng)準(zhǔn)確、簡(jiǎn)明。應(yīng)該說考研數(shù)學(xué)最簡(jiǎn)單的部分就是線性代數(shù)，這部分的難點(diǎn)就在于概念非常多而且相互聯(lián)系，但線代貫穿的主線就是求方程組的解，只要將方程組的解的概念和一般方法理解透徹，再回過頭看前面的內(nèi)容就非常簡(jiǎn)單。同時(shí)從考試內(nèi)容來看，考的內(nèi)容基本類似，可以說是最死的部分，這幾年出的考試題實(shí)際上就是以前考題的翻版，仔細(xì)專研一下以前考題對(duì)大家是最有好處的。

三、注重知識(shí)點(diǎn)的銜接與轉(zhuǎn)換，知識(shí)要成網(wǎng)，努力提高綜合分析能力。

線性代數(shù)從內(nèi)容上看縱橫交錯(cuò)，前后聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣，相互滲透，因此解題方法靈活多變，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)當(dāng)常問自己做得對(duì)不對(duì)?再問做得好不好?只有不斷地歸納總結(jié)，努力搞清內(nèi)在聯(lián)系，使所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，接口與切入點(diǎn)多了，熟悉了，思路自然就開闊了。例如：設(shè)A是m×n矩陣，B是n×s矩陣，且AB=0，那么用分塊矩陣可知B的列向量都是齊次方程組Ax=0的解，再根據(jù)基礎(chǔ)解系的理論以及矩陣的秩與向量組秩的關(guān)系，可以有r(B)≤n-r(A)即r(A)+r(B)≤n，進(jìn)而可求矩陣A或B中的一些參數(shù)。

凡此種種，正是因?yàn)榫€性代數(shù)各知識(shí)點(diǎn)之間有著千絲萬縷的聯(lián)系，代數(shù)題的綜合性與靈活性就較大，大家整理時(shí)要注重串聯(lián)、銜接與轉(zhuǎn)換。

第五篇：考研線代公式總結(jié)

1、行列式

1.n行列式共有n2個(gè)元素，展開后有n!項(xiàng)，可分解為2n行列式； 2.代數(shù)余子式的性質(zhì)：

①、Aij和aij的大小無關(guān)；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為0； ③、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為A； 3.代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：Mij?(?1)i?jAijAij?(?1)i?jMij

4.設(shè)n行列式D：

n(n?1)將D上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為D1，則D1?(?1)

D； n(n?1)將D順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90?，所得行列式為D2，則D2?(?1)2

D；

將D主對(duì)角線翻轉(zhuǎn)后（轉(zhuǎn)置），所得行列式為D3，則D3?D；

將D主副角線翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為D4，則D4?D； 5.行列式的重要公式：

①、主對(duì)角行列式：主對(duì)角元素的乘積；

n(n?1)②、副對(duì)角行列式：副對(duì)角元素的乘積??(?1)

2；

③、上、下三角行列式（?◥???◣?）：主對(duì)角元素的乘積； n(n?1)④、?◤?和?◢?：副對(duì)角元素的乘積??(?1)2；

⑤、拉普拉斯展開式：

AO?AC?AB、CA?OA

?(?1)m?nCBOBBOBC

AB ⑥、范德蒙行列式：大指標(biāo)減小指標(biāo)的連乘積； ⑦、特征值；

n

6.對(duì)于n階行列式A，恒有：?E?A??n??(?1)kSn?kk?，其中Sk為k階主子式；k?

12、矩陣

1.A是n階可逆矩陣：

?A?0（是非奇異矩陣）； ?r(A)?n（是滿秩矩陣）

?A的行（列）向量組線性無關(guān)； ?齊次方程組Ax?0有非零解； ??b?Rn，Ax?b總有唯一解； ?A與E等價(jià)；

?A可表示成若干個(gè)初等矩陣的乘積； ?A的特征值全不為0； ?ATA是正定矩陣；

?A的行（列）向量組是Rn的一組基； ?A是Rn中某兩組基的過渡矩陣；

2.對(duì)于n階矩陣A：AA*?A*A?AE 無條件恒成立； 3.(A?1)*?(A*)?1(A?1)T?(AT)?1(A*)T?(AT)*(AB)T?BTAT

(AB)*?B*A*

(AB)?1?B?1A?1

4.矩陣是表格，推導(dǎo)符號(hào)為波浪號(hào)或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和；

5.關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均A、B可逆：

?A1?若A??

???

A2

??

?，則： ??

?As?

Ⅰ、A?A1A2?As； ?A1?1?

Ⅱ、A?1??

????

?1

?1A2

???； ??

?As?1??

O?

?；（主對(duì)角分塊）B?1?

?A?1?AO?

②、????

OB???O

?O?OA?③、????1?

?BO??A

?A?1?AC?④、????

OB???O

?1?1

?1

B?1?

?；（副對(duì)角分塊）O?

?A?1CB?1?

?；（拉普拉斯）B?1?

O?

?；（拉普拉斯）B?1?

?A?1?AO?

⑤、?????1?1

CB????BCA3、矩陣的初等變換與線性方程組

1.一個(gè)m?n矩陣A，總可經(jīng)過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，其標(biāo)準(zhǔn)形是唯一確定的：F??r

?O

對(duì)于同型矩陣A、B，若r(A)?r(B)?????A?B； 2.行最簡(jiǎn)形矩陣：

①、只能通過初等行變換獲得；

②、每行首個(gè)非0元素必須為1；

③、每行首個(gè)非0元素所在列的其他元素必須為0；

3.初等行變換的應(yīng)用：（初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換）

①、若(A?,?E)???(E?,?X)，則A可逆，且X?A?1；

②、對(duì)矩陣(A,B)做初等行變化，當(dāng)A變?yōu)镋時(shí)，B就變成A?1B，即：(A,B)???(E,A?1B)；

③、求解線形方程組：對(duì)于n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程Ax?b，如果(A,b)?(E,x)，則A可逆，且x?A?1b； 4.初等矩陣和對(duì)角矩陣的概念：

①、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣；

??1?

②、???

???

r

r

?E

O?

?； O?m?n

等價(jià)類：所有與A等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱為一個(gè)等價(jià)類；標(biāo)準(zhǔn)形為其形狀最簡(jiǎn)單的矩陣；

c

?2

?

?

?，左乘矩陣A，?乘A的各行元素；右乘，?乘A的各列元素；

ii

??

??n?

?1

?1??1??????1

?1③、對(duì)調(diào)兩行或兩列，符號(hào)E(i,j)，且E(i,j)?E(i,j)，例如：?1???；

??1?1?????

?1?1

?1??

1???1

④、倍乘某行或某列，符號(hào)E(i(k))，且E(i(k))?E(i())，例如：?k???

?k??1???

?

?1

1k

??

?(k?0)； ?1??

k??k??1?1

???

⑤、倍加某行或某列，符號(hào)E(ij(k)),且E(ij(k))?1?E(ij(?k))，如：??1???1?(k?0)；

??1????1??

5.矩陣秩的基本性質(zhì)：

①、0?r(Am?n)?min(m,n)；

②、r(AT)?r(A)；

③、若A?B，則r(A)?r(B)；

④、若P、Q可逆，則r(A)?r(PA)?r(AQ)?r(PAQ)；（可逆矩陣不影響矩陣的秩）⑤、max(r(A),r(B))?r(A,B)?r(A)?r(B)；（※）⑥、r(A?B)?r(A)?r(B)；（※）⑦、r(AB)?min(r(A),r(B))；（※）

⑧、如果A是m?n矩陣，B是n?s矩陣，且AB?0，則：（※）Ⅰ、B的列向量全部是齊次方程組AX?0解（轉(zhuǎn)置運(yùn)算后的結(jié)論）；

Ⅱ、r(A)?r(B)?n

⑨、若A、B均為n階方陣，則r(AB)?r(A)?r(B)?n；

6.三種特殊矩陣的方冪：

①、秩為1的矩陣：一定可以分解為列矩陣（向量）?行矩陣（向量）的形式，再采用結(jié)合律；?②、型如?1ac??01b?

?的矩陣：利用二項(xiàng)展開式；

??001??

二項(xiàng)展開式：(a?b)n

?C0an

?C1an?1b1

???Cman?m

m

nn

n

n

b???C

n?11n?1n

ab

?Cbn

n

mmn?m

n

??Cnab；m?0

注：Ⅰ、(a?b)n展開后有n?1項(xiàng)；

Ⅱ、Cmn(n?1)??(n?m?1)n!

n?1?2?3???m?

m!(n?m)!

C0nn?Cn?1

Ⅲ、組合的性質(zhì)：Cm

?Cn?mn

n

C

m

m?1n

rn?1

?C?C

mnn

?C

n

?2n

rCr?nCr?1

nn?1

； r?0

③、利用特征值和相似對(duì)角化： 7.伴隨矩陣：

?r(A)?n?????①、伴隨矩陣的秩：r(A*)??

n

?1

r(A)?n?1； ??

0r(A)?n?1

②、伴隨矩陣的特征值：A

?1?

??(AX??X,A*?AA???A*X?

A

?

X)；

③、A*?AA?

1、A*?A

n?

18.關(guān)于A矩陣秩的描述：

①、r(A)?n，A中有n階子式不為0，n?1階子式全部為0；（兩句話）

②、r(A)?n，A中有n階子式全部為0； ③、r(A)?n，A中有n階子式不為0；

9.線性方程組：Ax?b，其中A為m?n矩陣，則：

①、m與方程的個(gè)數(shù)相同，即方程組Ax?b有m個(gè)方程；

②、n與方程組得未知數(shù)個(gè)數(shù)相同，方程組Ax?b為n元方程； 10.線性方程組Ax?b的求解：

①、對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換（只能使用初等行變換）；

②、齊次解為對(duì)應(yīng)齊次方程組的解； ③、特解：自由變量賦初值后求得；

4、向量組的線性相關(guān)性

1.m個(gè)n維列向量所組成的向量組A：?1,?2,?,?m構(gòu)成n?m矩陣A?(?1,?2,?,?m)； ??1T??T??TT

構(gòu)成m?n矩陣B??2?； ,?,?mm個(gè)n維行向量所組成的向量組B：?1T,?2

??????T???m?

含有有限個(gè)向量的有序向量組與矩陣一一對(duì)應(yīng)；

2.①、向量組的線性相關(guān)、無關(guān) ?Ax?0有、無非零解；（齊次線性方程組）

②、向量的線性表出（線性方程組）?Ax?b是否有解；③、向量組的相互線性表示（矩陣方程）?AX?B是否有解；

3.矩陣Am?n與Bl?n行向量組等價(jià)的充分必要條件是：齊次方程組Ax?0和Bx?0同解；(P101例14)4.5.r(ATA)?r(A)；(P101例15)

n維向量線性相關(guān)的幾何意義： ①、?線性相關(guān)???0；

②、?,?線性相關(guān) ??,?坐標(biāo)成比例或共線（平行）；

③、?,?,?線性相關(guān) ??,?,?共面；

6.線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理：

若?1,?2,?,?s線性相關(guān)，則?1,?2,?,?s,?s?1必線性相關(guān)；

若?1,?2,?,?s線性無關(guān)，則?1,?2,?,?s?1必線性無關(guān)；（向量的個(gè)數(shù)加加減減，二者為對(duì)偶）若r維向量組A的每個(gè)向量上添上n?r個(gè)分量，構(gòu)成n維向量組B：

若A線性無關(guān)，則B也線性無關(guān)；反之若B線性相關(guān)，則A也線性相關(guān)；（向量組的維數(shù)加加減減）簡(jiǎn)言之：無關(guān)組延長(zhǎng)后仍無關(guān)，反之，不確定；

7.向量組A（個(gè)數(shù)為r）能由向量組B（個(gè)數(shù)為s）線性表示，且A線性無關(guān)，則r?s(二版P74定理7)；

向量組A能由向量組B線性表示，則r(A)?r(B)；（P86定理3）向量組A能由向量組B線性表示

?AX?B有解；

?r(A)?r(A,B)（P85定理2）

向量組A能由向量組B等價(jià)??r(A)?r(B)?r(A,B)（P85定理2推論）①、矩陣行等價(jià)：A~B?PA?B（左乘，P可逆）?Ax?0與Bx?0同解

②、矩陣列等價(jià)：A~B?AQ?B（右乘，Q可逆）； ③、矩陣等價(jià)：A~B?PAQ?B（P、Q可逆）； 9.對(duì)于矩陣Am?n與Bl?n：

①、若A與B行等價(jià)，則A與B的行秩相等；

②、若A與B行等價(jià)，則Ax?0與Bx?0同解，且A與B的任何對(duì)應(yīng)的列向量組具有相同的線性相關(guān)性； ③、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩； ④、矩陣A的行秩等于列秩； 10.若Am?sBs?n?Cm?n，則：

cr

8.方陣A可逆?存在有限個(gè)初等矩陣P1,P2,?,Pl，使A?P1P2?Pl；

①、C的列向量組能由A的列向量組線性表示，B為系數(shù)矩陣； ②、C的行向量組能由B的行向量組線性表示，AT為系數(shù)矩陣；（轉(zhuǎn)置）

11.齊次方程組Bx?0的解一定是ABx?0的解，考試中可以直接作為定理使用，而無需證明；

①、ABx?0 只有零解???Bx?0只有零解；

②、Bx?0 有非零解???ABx?0一定存在非零解；

12.①、對(duì)矩陣Am?n，存在Qn?m，AQ?Em ?r(A)?m、Q的列向量線性無關(guān)；（P87）

②、對(duì)矩陣Am?n，存在Pn?m，PA?En

?r(A)?n、P的行向量線性無關(guān)；

5、相似矩陣和二次型

1.正交矩陣?ATA?E或A?1?AT（定義），性質(zhì)：

①、A的列向量都是單位向量，且兩兩正交，即aTiai?j

j??

?1

?0

i?j

(i,j?1,2,?n)； ②、若A為正交矩陣，則A?1?AT也為正交陣，且A??1； ③、若A、B正交陣，則AB也是正交陣；注意：求解正交陣，千萬不要忘記施密特正交化和單位化； 2.施密特正交化：(a1,a2,?,ar)

b1?a1；

b2?a2?

[b1,a2]

[b?b1 1,b1]

???

b[b1,ar]r?ar?

[b?b[b2,ar]?b[b?1,ar]

1?2???r?br?1;1,b1][b2,b2][br?1,br?1]

3.對(duì)于普通方陣，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無關(guān)；

對(duì)于實(shí)對(duì)稱陣，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交； 4.①、A與B等價(jià) ?A經(jīng)過初等變換得到B；

?PAQ?B，P、Q可逆； ?r(A)?r(B)，A、B同型；

②、A與B合同 ?CTAC?B，其中可逆；

?xTAx與xTBx有相同的正、負(fù)慣性指數(shù)； ③、A與B相似 ?P?1AP?B； 5.相似一定合同、合同未必相似；

若C為正交矩陣，則CTAC?B?A?B，（合同、相似的約束條件不同，相似的更嚴(yán)格）； 6.A為對(duì)稱陣，則A為二次型矩陣；