第一篇：數(shù)列等差證明2010江西理數(shù)

數(shù)列等差證明2010江西理數(shù)

2010江西理數(shù)）22.（本小題滿分14分）

證明以下命題：

（1）對任一正整a,都存在整數(shù)b,c(b

（2）存在無窮多個互不相似的三角形△n，其邊長an，bn，cn為正整數(shù)且an，bn，cn

成等差數(shù)列。

【解析】作為壓軸題，考查數(shù)學綜合分析問題的能力以及創(chuàng)新能力。

（1）考慮到結(jié)構(gòu)要證a?c?2b，；類似勾股數(shù)進行拼湊。

證明：考慮到結(jié)構(gòu)特征，取特值1,5,7滿足等差數(shù)列，只需取b=5a，c=7a，對一切正整數(shù)a均能成立。

結(jié)合第一問的特征，將等差數(shù)列分解，通過一個可做多種結(jié)構(gòu)分解的因式說明構(gòu)成三角形，再證明互不相似，且無窮。

證明：當an，bn，cn成等差數(shù)列，則bn?an?cn?bn，分解得：(bn?an)(bn?an)?(cn?bn)(cn?bn)

選取關(guān)于n的一個多項式，4n(n?1)做兩種途徑的分解 ***22222

4n(n2?1)?(2n?2)(2n2?2n)?(2n2?2n)(2n?2)4n(n2?1)

?an?n2?2n?1?對比目標式，構(gòu)造?bn?n2?1(n?4)，由第一問結(jié)論得，等差數(shù)列成立，?c?n2?2n?1?n

考察三角形邊長關(guān)系，可構(gòu)成三角形的三邊。

下證互不相似。

任取正整數(shù)m，n，若△m，△n相似：則三邊對應成比例m2?2m?1m2?1m2?2m?1??，n2?2n?1n2?1n2?2n?1

由比例的性質(zhì)得：

m?1m?1??m?n，與約定不同的值矛盾，故互不相似。n?1n?1

第二篇：數(shù)列—等差、等比的證明

等差、等比數(shù)列的證明

1．數(shù)列{a327

?n}的前n項和為Sn?2n?2

n（n?N）．

（Ⅰ）證明：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足：an?log2bn，證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列．

2．已知數(shù)列{a?

n}的前n項和為Sn?4an?3(n?N)，證明：數(shù)列{an}是等比數(shù)列．

3．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足：a1?1，Sn?1?4an?2（n?N?）．

（Ⅰ）證明：數(shù)列??an?

?2n??

為等差數(shù)列；（Ⅱ）證明：數(shù)列{an?1?2an}為等比數(shù)列．

4．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足：

Sn?2a2n?n?4n（n?N?），證明：數(shù)列{an?2n?1}為等比數(shù)列．

5．（2008北京文20）數(shù)列?an?滿足：a1?1，a??)a?

n?1?(n2?nn，（n?N）?是常數(shù)．（Ⅰ）當a2??1時，求?及a3的值；

（Ⅱ）數(shù)列?an?是否可能為等差數(shù)列? 若可能，求出它的通項公式；若不可能，說明理由；

6．設(shè)函數(shù)f?x??x2?m，m?R，定義數(shù)列{an}如下：

a1?0，an?1?f(an)（n?N?）．（Ⅰ）當m?1時，求a2,a3,a4的值；

（Ⅱ）是否存在實數(shù)m，使a2,a3,a4構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列? 若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

6．（2008湖北21）已知數(shù)列{an}和{bn}滿足：a1??，a2

n?1?

an?n?4，bnn?(?1)(an?3n?21)，其中?為實數(shù)，n?N?．

（Ⅰ）證明：數(shù)列{an}不是等比數(shù)列；

（Ⅱ）試判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，證明你的結(jié)論．

7．（2010安徽20）設(shè)數(shù)列{an}中的每一項都不為0． 證明：數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是： 對任何n?N?，都有

111n

a?a??????

a． 1a22a3anan?11an?1

8．（2011北京文、理20）

若數(shù)列An:a1,a2,???,an(n?2)滿足

ak?1?ak?1(k?1,2,???,n?1)，則稱An為E數(shù)列．

（Ⅰ）寫出一個E數(shù)列A5滿足a1?a3?0；（Ⅱ）若a1?12，n?2000，證明：

E數(shù)列An是遞增數(shù)列的充要條件是an?2011．

第三篇：數(shù)列證明

數(shù)列證明

1、數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，已知a1?1,an?1?（Ⅰ）數(shù)列{

2、已知數(shù)列?an?的前n項和為Sn,Sn?n?2Sn(n?1,2,3?).證明： nSn}是等比數(shù)列；

（Ⅱ）Sn?1?4an.n1(an?1)(n?N?).3（Ⅰ）求a1,a2；

（Ⅱ）求證數(shù)列?an?是等比數(shù)列。

3、已知數(shù)列{an}的前項和為Sn，且滿足an?2Sn?Sn?1?0?n?2?a1?1。2?1?

○1 求證：??是等差數(shù)列

；○2求an的表達式；

S?n?

4、在數(shù)列?an?中，a1?2，an?1?4an?3n?1，（n∈N*）。

（Ⅰ）證明數(shù)列?an?n?是等比數(shù)列；

（Ⅱ）求數(shù)列?an?的前n項和Sn；

5、設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1?b1?1，a3?b5?21，a5?b3?13。

（Ⅰ）求{an}，{bn}的通項公式；

（Ⅱ）求數(shù)列?

?an??的前n項和Sn ?bn? 2

6、已知數(shù)列?an?中，Sn是其前n項和，并且Sn?1?4an?2(n?1,2,?),a1?1，⑴設(shè)數(shù)列bn?an?1?2an(n?1,2,??)，求證：數(shù)列?bn?是等比數(shù)列； ⑵設(shè)數(shù)列cn?an,(n?1,2,??)，求證：數(shù)列?cn?是等差數(shù)列； n2⑶求數(shù)列?an?的通項公式及前n項和。

7、已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an?Sn?Sn?1(n?2,Sn?0),a1?

（Ⅰ）求證：數(shù)列{

2.91}為等差數(shù)列； Sn8、已知數(shù)列{an}滿足a1?1，an?1?2an?1

（1）求證：{an?1}是等比數(shù)列

（2）求an的表達式和Sn的表達式

9、數(shù)列?an?的前n項和為Sn，a1?1，an?1?2Sn(n?N*)．（Ⅰ）求數(shù)列?an?的通項an；（Ⅱ）求數(shù)列?nan?的前n項和Tn．

第四篇：數(shù)列證明

數(shù)列——證明

1．已知a1?3且an?Sn?1?2，(1)證明 數(shù)列?公式.n?Sn?是等差數(shù)列；（2）求Sn及an的通項n??2?

112.已知等比數(shù)列?an?的公比為q=-.（1）若a3?，求數(shù)列?an?的前n項和；（Ⅱ）證明：

42對任意k?N?，ak，ak?2，ak?1成等差數(shù)列。

3.已知等比數(shù)列?an?中，a1?1?an11（1）sn為數(shù)列?an?前n項的和，證明：sn?,q?，332

（2）設(shè)bn?log3a1?log3a2???log3an，求數(shù)列?bn?的通項公式.4.成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于15，并且這三個數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列{bn}中的b2、b4、b5(Ⅰ)求數(shù)列{bn}的通項公式；(Ⅱ)數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，求證：數(shù)列{Sn?是等比數(shù)列.5.在數(shù)列?an?中，a1=0，且對任意k?N，a2k?1,a2k,a2k+1成等差數(shù)列，其公差為2k.*54

（Ⅰ）證明a4,a5,a6成等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列?an?的通項公式；

第五篇：等差等比數(shù)列的證明

專題：等差（等比）數(shù)列的證明

1.已知數(shù)列{a}中，anan1?5且?2an?1?2n?1（n?2且n?N*）.?an?1?（Ⅰ）證明：數(shù)列?2n?為等差數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列{an}的前n??

項和S.n

2.已知數(shù)列{a}中，an1?2且an?1?an?2n?3?0（n?2且n?N*）.證明：數(shù)列?an?2n?為等差數(shù)列；

3.已知數(shù)列{a}中，an1?4且2an?1?an?2n?5?0（n?2且n?N*）.證明：數(shù)列?an?2n?1?為等比數(shù)列；

4．數(shù)列{an}滿足a1?2,a2?5,an?2?3an?1?2an.（1）求證：數(shù)列{an?1?an}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項公式；

5.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列?an?前n項和為

1a且n是和S2Sn，首項為a1，n的等差中項.求數(shù)列?a?的通項公式； n

6.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且對任意的n∈N*有an＋Sn＝

n.(1)設(shè)bn＝an－1，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列； 7.設(shè)數(shù)列?an?的各項都是正數(shù)，且對任意

n?N*，都有

a?a?a????????a?S

為數(shù)列的前n項和.3132333n2n，其中S

n

（I）求證：

a?2Sn?an;

n

（II）求數(shù)列?an?的通項公式；

8.數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，a(1)設(shè)bn＝an＋1－2an，求證：{bn}是等比數(shù)列；（2）.證明數(shù)列{n－2}

是等差數(shù)列

(3)設(shè)cn＝

9.已知正項數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足 2Sn＝an＋1.求證：{an}是等差數(shù)列．

10.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，a{cn}是等比數(shù)列． 3n－1

Sn*

an＝2(n－1)(n∈N)．

n

(1)

求證：數(shù)列{an}為等差數(shù)列,并求{an}的通項公式；

(2)求數(shù)列{的前n項和Tn，an·an+1

11.設(shè)Sn是數(shù)列{an}（n?N*）的前n項和，已知a1?4，an?1?Sn?3n，設(shè)bn?Sn?3n.（Ⅰ）證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項公式；（Ⅱ）令cn

12.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1?，an＋2SnSn?1＝0(n?2)． 問：數(shù)列{1是否為等差數(shù)列？并證明你的結(jié)論；

Sn

?2log2bn?

n

?2，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.bn

13.已知等差數(shù)列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程x2?14x?45?0的兩根，數(shù)列{bn}的前n項的和為Sn，且Sn=

an·bn。求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；

1?bn

(n∈N*),Cn=

14.已知數(shù)列{an}與{bn}滿足

n1

3＋?－1?

bn＋1an＋bnan＋1＝(－2)n＋1，bn＝n∈N*，且a1＝2.－

設(shè)cn＝a2n＋1－a2n－1，n∈N*，證明{cn}是等比數(shù)列

15.已知在正項數(shù)列{an}中，a1＝2，點An(an，an＋1)在雙曲線y－x＝1上，數(shù)列{bn}中，點(bn，Tn)在直線y＝－x＋1上，其

中Tn是數(shù)列{bn}的前n項和．

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；