第一篇：算法總結(jié)
算法分析與設(shè)計總結(jié)報告
71110415 錢玉明
在計算機軟件專業(yè)中，算法分析與設(shè)計是一門非常重要的課程，很多人為它如癡如醉。很多問題的解決，程序的編寫都要依賴它，在軟件還是面向過程的階段，就有程序=算法+數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)這個公式。算法的學(xué)習(xí)對于培養(yǎng)一個人的邏輯思維能力是有極大幫助的，它可以培養(yǎng)我們養(yǎng)成思考分析問題，解決問題的能力。作為IT行業(yè)學(xué)生，學(xué)習(xí)算法無疑會增強自己的競爭力，修煉自己的“內(nèi)功”。
下面我將談?wù)勎覍@門課程的心得與體會。
一、數(shù)學(xué)是算法的基礎(chǔ)
經(jīng)過這門課的學(xué)習(xí)，我深刻的領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)是一切算法分析與設(shè)計的基礎(chǔ)。這門課的很多時間多花在了數(shù)學(xué)公式定理的引入和證明上。雖然很枯燥，但是有必不可少。我們可以清晰的看到好多算法思路是從這些公式定理中得出來的，尤其是算法性能的分析更是與數(shù)學(xué)息息相關(guān)。其中有幾個定理令我印象深刻。
①主定理
本門課中它主要應(yīng)用在分治法性能分析上。例如：T(n)=a*T(n/b)+f(n)，它可以看作一個大問題分解為a個子問題，其中子問題的規(guī)模為b。而f(n)可看作這些子問題的組合時的消耗。這些可以利用主定理的相關(guān)結(jié)論進行分析處理。當f(n)量級高于nlogba時，我們可以設(shè)法降低子問題組合時的消耗來提高性能。反之我們可以降低nlogba的消耗，即可以擴大問題的規(guī)?；蛘邷p小子問題的個數(shù)。因此主定理可以幫助我們清晰的分析出算法的性能以及如何進行有效的改進。
②隨機算法中的許多定理的運用
在這門課中，我學(xué)到了以前從未遇見過的隨機算法，它給予我很大的啟示。隨機算法不隨機，它可通過多次的嘗試來降低它的錯誤率以至于可以忽略不計。這些都不是空穴來風，它是建立在嚴格的定理的證明上。如素數(shù)判定定理是個很明顯的例子。它運用了包括費馬小定理在內(nèi)的各種定理。將這些定理進行有效的組合利用，才得出行之有效的素數(shù)判定的定理。尤其是對尋找證據(jù)數(shù)算法的改進的依據(jù)，也是建立在3個定理上。還有檢查字符串是否匹配也是運用了許多定理：指紋的運用，理論出錯率的計算，算法性能的評價也都是建立在數(shù)學(xué)定理的運用上。
這些算法都給予了我很大啟發(fā)，要想學(xué)好算法，學(xué)好數(shù)學(xué)是必不可少的。沒有深厚的數(shù)學(xué)功力作為地基，即使再漂亮的算法框架，代碼實現(xiàn)也只能是根底淺的墻上蘆葦。
二、算法的核心是思想
我們學(xué)習(xí)這門課不是僅僅掌握那幾個經(jīng)典算法例子，更重要的是為了學(xué)習(xí)蘊含在其中的思想方法。為什么呢？舉個例子。有同學(xué)曾問我這樣一個問題：1000只瓶子裝滿水，但有一瓶有毒，且毒發(fā)期為1個星期?，F(xiàn)在用10只老鼠在一個星期內(nèi)判斷那只瓶子有毒，每只老鼠可以喝多個瓶子的水，每個瓶子可以只喝一點。問如何解決？其實一開始我也一頭霧水，但是他提醒我跟計算機領(lǐng)域相關(guān)，我就立馬有了思路，運用二進制。因為計算機的最基本思想就是二進制。所以說，我們不僅要學(xué)習(xí)算法，更得學(xué)習(xí)思想方法。
①算法最基本的設(shè)計方法包括分治法，動態(tài)規(guī)劃法，貪心法，周游法，回溯法，分支定界法。我們可利用分治法做快速排序，降低找n個元素中最大元和最小元的量級，降低n位二進制x和y相乘的量級，做Strassen矩陣乘法等等。它的思想就是規(guī)模很大的問題分解為規(guī)模較小的獨立的子問題，關(guān)鍵是子問題要與原問題同類，可以采取平衡法來提高性能。
動態(tài)規(guī)劃法是把大問題分解為子問題，但是子問題是重復(fù)的，后面的問題可以利用前面解決過的問題的結(jié)果。如構(gòu)造最優(yōu)二叉查找樹，解決矩陣連乘時最小計算次數(shù)問題，尋找最長公共子序列等等。
貪心法就是局部最優(yōu)法，先使局部最優(yōu)，再依次構(gòu)造出更大的局部直至整體。如Kruscal最小生成樹算法，求哈夫曼編碼問題。
周游法就是簡單理解就是采取一定的策略遍歷圖中所有的點，典型的應(yīng)用就是圖中的深度優(yōu)先搜索(DFS)和廣度優(yōu)先搜索(BFS)。
回溯法就是就是在滿足一定的條件后就往前走，當走到某步時，發(fā)現(xiàn)不滿足條件就退回一步重新選擇新的路線。典型的應(yīng)用就是8皇后問題，平面點集的凸包問題和0-1背包問題。
分支定界法：它是解決整數(shù)規(guī)劃問題一種最常用的方法。典型應(yīng)用就是解決整數(shù)規(guī)劃問題。
②評價算法性能的方法如平攤分析中的聚集法，會計法和勢能法。聚集法就是把指令分為幾類，計算每一類的消耗，再全部疊加起來。會計法就是計算某個指令時提前將另一個指令的消耗也算進去，以后計算另一個指令時就不必再算了。勢能法計算每一步的勢的變化以及執(zhí)行這步指令的消耗，再將每一步消耗全部累計。
這幾種方法都是平攤分析法，平攤分析的實質(zhì)就是總體考慮指令的消耗時間，盡管某些指令的消耗時間很大也可以忽略不計。上述三種方法難易程度差不多，每種方法都有屬于它的難點。如聚集法中如何將指令有效分類，會計法中用什么指令提前計算什么指令的消耗，勢能法中如何選取勢能。因此掌握這些方法原理還不夠，還要學(xué)會去應(yīng)用，在具體的問題中去判斷分析。
三、算法與應(yīng)用緊密相關(guān)
我認為學(xué)習(xí)算法不能局限于書本上的理論運算，局限于如何提高性能以降低復(fù)雜度，我們要將它與實際生活聯(lián)系起來。其實算法問題的產(chǎn)生就來自于生活，設(shè)計出高效的算法就是為了更好的應(yīng)用。如尋找最長公共子序列算法可以應(yīng)用在生物信息學(xué)中通過檢測相似DNA片段的相似成分來檢測生物特性的相似性，也可以用來判斷兩個字符串的相近性，這可應(yīng)用在數(shù)據(jù)挖掘中?？焖俑盗⑷~變換（FFT）可應(yīng)用在計算多項式相乘上來降低復(fù)雜度，脫線min算法就是利用了Union-Find這種結(jié)構(gòu)。還有圖中相關(guān)算法，它對于解決網(wǎng)絡(luò)流量分配問題起了很大的幫助，等等。
這些應(yīng)用給了我很大的啟發(fā)：因為單純講一個Union-Find算法，即使了解了它的實現(xiàn)原理，遇到具體的實際問題也不知去如何應(yīng)用。這就要求我們要將自己學(xué)到的算法要和實際問題結(jié)合起來，不能停留在思想方法階段，要學(xué)以致用，做到具體問題具體分析。
四、對計算模型和NP問題的理解
由于對這部分內(nèi)容不是很理解，所以就粗淺的談一下我的看法。
首先談到計算模型，就不得不提到圖靈計算，他將基本的計算抽象化，造出一個圖靈機，得出了計算的本質(zhì)。并提出圖靈機可以計算的問題都是可以計算的，否則就是不可計算的。由此引申出一個著名論題：任何合理的計算模型都是相互等價的。它說明了可計算性本身不依賴于任何具體的模型而客觀存在。
NP問題比較復(fù)雜，我認為它是制約算法發(fā)展的瓶頸，但這也是算法分析的魅力所在。NP問題一般可分為3類，NP-C問題，NP-hard問題以及頑型問題。NP-C它有個特殊的性質(zhì)，如果存在一個NP-C問題找到一個多項式時間的解法，則所有的NP-C問題都能找到多項式時間解法。如哈密頓回路問題。NP-hard主要是解決最優(yōu)化問題。它不一定是NP問題。這些問題在規(guī)模較小時可以找出精確解，但是規(guī)模大時，就因時間太復(fù)雜而找不到最優(yōu)解。此時一般會采用近似算法的解法。頑型問題就是已經(jīng)證明不可能有多項式時間的算法，如漢諾塔問題。
最后談?wù)剬@門課程的建議
①對于這門算法課，我認為應(yīng)該加強對算法思想方法的學(xué)習(xí)。所以我建議老師可不可以先拋出問題而不給出答案，講完一章，再發(fā)課件。讓我們先思考一會兒，或者給出個獎勵機制，誰能解決這個問題，平時成績加分。這在一定程度上會將強我們思考分析問題的能力。因為我感覺到，一個問題出來，未經(jīng)過思考就已經(jīng)知曉它的答案，就沒什么意思，得不到提高，而且也不能加深對問題的思考和理解。下次遇到類似的問題也就沒有什么印象。而且上課讓我們思考，點名回答問題可以一定程度上有效的防止不認真聽課的現(xiàn)象。
②作業(yè)安排的不是很恰當。本門課主要安排了三次作業(yè)，個人感覺只有第一次作業(yè)比較有意思。后面兩次作業(yè)只是實現(xiàn)一下偽代碼，沒有太多的技術(shù)含量。而且對于培養(yǎng)我們的解決問題的能力也沒有太多的幫助，因為這間接成為了程序設(shè)計題，不是算法設(shè)計題。
③本門課的時間安排的不太恰當，因為本學(xué)期的課程太多，壓力太大。沒有太多的時間去學(xué)習(xí)這門課程。因為我相信大家都對它感興趣，比較重視，想花功夫，但苦于沒時間。所以可不可以將課程提前一個學(xué)期，那時候離散數(shù)學(xué)也已經(jīng)學(xué)過，且課程的壓力也不是很大。錯開時間的話，我覺得應(yīng)該能夠更好提高大家算法分析設(shè)計的能力。
第二篇：算法總結(jié)
算法分塊總結(jié)
為備戰(zhàn)2005年11月4日成都一戰(zhàn)，特將已經(jīng)做過的題目按算法分塊做一個全面詳細的總結(jié)，主要突出算法思路，盡量選取有代表性的題目，盡量做到算法的全面性，不漏任何ACM可能涉及的算法思路。算法設(shè)計中，時刻都要牢記要減少冗余，要以簡潔高效為追求目標。另外當遇到陌生的問題時，要想方設(shè)法進行模型簡化，轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成我們熟悉的東西。
圖論模型的應(yīng)用
分層圖思想的應(yīng)用：
用此思想可以建立起更簡潔、嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)模型，進而很容易得到有效算法。重要的是，新建立的圖有一些很好的性質(zhì)： 由于層是由復(fù)制得到的，所以所有層都非常相似，以至于我們只要在邏輯上分出層的概念即可，根本不用在程序中進行新層的存儲，甚至幾乎不需要花時間去處理。由于層之間的相似性，很多計算結(jié)果都是相同的。所以我們只需對這些計算進行一次，把結(jié)果存起來，而不需要反復(fù)計算。如此看來，雖然看起來圖變大了，但實際上問題的規(guī)模并沒有變大。層之間是拓撲有序的。這也就意味著在層之間可以很容易實現(xiàn)遞推等處理，為發(fā)現(xiàn)有效算法打下了良好的基礎(chǔ)。
這些特點說明這個分層圖思想還是很有潛力的，尤其是各層有很多公共計算結(jié)果這一點，有可能大大消除冗余計算，進而降低算法時間復(fù)雜度。二分圖最大及完備匹配的應(yīng)用： ZOJ place the robots: 二分圖最優(yōu)匹配的應(yīng)用：
最大網(wǎng)絡(luò)流算法的應(yīng)用：典型應(yīng)用就求圖的最小割。最小費用最大流的應(yīng)用：
容量有上下界的最大流的應(yīng)用：
歐拉路以及歐拉回路的應(yīng)用：主要利用求歐拉路的套圈算法。最小生成樹：
求最小生成樹，比較常用的算法有Prim算法和Kruskal算法。前者借助Fibonacci堆可以使復(fù)雜度降為O(Vlog2V+E)，后者一般應(yīng)用于稀疏圖，其時間復(fù)雜度為O(Elog2V)。最小K度限制生成樹：
抽象成數(shù)學(xué)模型就是：
設(shè)G=(V,E,ω)是連通的無向圖，v0 ∈V是特別指定的一個頂點,k為給定的一個正整數(shù)。首先考慮邊界情況。先求出問題有解時k 的最小值：把v0點從圖中刪去后，圖中可能會出 現(xiàn)m 個連通分量，而這m 個連通分量必須通過v0來連接，所以，在圖G 的所有生成樹中 dT(v0)≥m。也就是說，當k 首先，將 v0和與之關(guān)聯(lián)的邊分別從圖中刪去，此時的圖可能不再連通，對各個連通分量，分別求最小生成樹。接著，對于每個連通分量V’，求一點v1，v1∈V’,且ω(v0,v1)=min{ω(v0,v’)|v’∈V’}，則該連通分量通過邊(v1,v0)與v0相連。于是，我們就得到了一個m度限制生成樹，不難證明，這就是最小m度限制生成樹。這一步的時間復(fù)雜度為O(Vlog2V+E)我們所求的樹是無根樹，為了解題的簡便，把該樹轉(zhuǎn)化成以v0為根的有根樹。 假設(shè)已經(jīng)得到了最小p度限制生成樹，如何求最小p+1 度限制生成樹呢？在原先的樹中加入一條與v0相關(guān)聯(lián)的邊后，必定形成一個環(huán)。若想得到一棵p+1 度限制生成樹，需刪去一條在環(huán)上的且與v0無關(guān)聯(lián)的邊。刪去的邊的權(quán)值越大，則所得到的生成樹的權(quán)值和就越小。動態(tài)規(guī)劃就有了用武之地。設(shè)Best(v)為路徑v0—v上與v0無關(guān)聯(lián)且權(quán)值最大的邊。定義father(v)為v的父結(jié)點，動態(tài)轉(zhuǎn)移方程：Best(v)=max(Best(father(v)),(father(v),v))，邊界條件為Best[v0]=-∞，Best[v’]=-∞|(v0,v’)∈E(T)。 狀態(tài)共|V|個，狀態(tài)轉(zhuǎn)移的時間復(fù)雜度O(1)，所以總的時間復(fù)雜度為O(V)。故由最小p度限制生成樹得到最小p+1度限制生成樹的時間復(fù)雜度為O(V)。1 先求出最小m度限制生成樹； 2由最小m度限制生成樹得到最小m+1度限制生成樹;3 當dT(v0)=k時停止。 加邊和去邊過程，利用動態(tài)規(guī)劃優(yōu)化特別值得注意。 次小生成樹： 加邊和去邊很值得注意。 每加入一條不在樹上的邊，總能形成一個環(huán)，只有刪去環(huán)上的一條邊，才能保證交換后仍然是生成樹，而刪去邊的權(quán)值越大，新得到的生成樹的權(quán)值和越小。具體做法： 首先做一步預(yù)處理，求出樹上每兩個結(jié)點之間的路徑上的權(quán)值最大的邊，然后，枚舉圖中不在樹上的邊，有了剛才的預(yù)處理，我們就可以用O(1)的時間得到形成的環(huán)上的權(quán)值最大的邊。如何預(yù)處理呢？因為這是一棵樹，所以并不需要什么高深的算法，只要簡單的BFS 即可。 最短路徑的應(yīng)用： Dijkstra 算法應(yīng)用： Folyed 算法應(yīng)用： Bellman-Ford 算法的應(yīng)用： 差分約束系統(tǒng)的應(yīng)用： 搜索算法 搜索對象和搜索順序的選取最為重要。一些麻煩題，要注意利用數(shù)據(jù)有序化，要找一個較優(yōu)的搜索出發(fā)點，凡是能用高效算法的地方盡量爭取用高效算法。基本的遞歸回溯深搜，記憶化搜索，注意剪枝： 廣搜（BFS）的應(yīng)用： 枚舉思想的應(yīng)用： ZOJ 1252 island of logic A*算法的應(yīng)用： IDA*算法的應(yīng)用，以及跳躍式搜索探索： 限深搜索，限次： 迭代加深搜索： 部分搜索+高效算法（比如二分匹配，動態(tài)規(guī)劃）： ZOJ milk bottle data: 剪枝優(yōu)化探索： 可行性剪枝，最優(yōu)性剪枝，調(diào)整搜索順序是常用的優(yōu)化手段。 動態(tài)規(guī)劃 動態(tài)規(guī)劃最重要的就是狀態(tài)的選取，以及狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，另外還要考慮高效的預(yù)處理（以便更好更快的實現(xiàn)狀態(tài)轉(zhuǎn)移）。最常用的思想就是用枚舉最后一次操作。 狀態(tài)壓縮DP，又叫帶集合的動態(tài)規(guī)劃：題目特點是有一維的維數(shù)特別小。類似TSP問題的DP： 狀態(tài)劃分比較困難的題目： 樹形DP： 四邊形不等式的應(yīng)用探索：四邊形不等式通常應(yīng)用是把O(n^3)復(fù)雜度O(n^2) 高檔數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的應(yīng)用 并查集的應(yīng)用： 巧用并查集中的路徑壓縮思想： 堆的利用： 線段樹的應(yīng)用： 總結(jié)用線段樹解題的方法 根據(jù)題目要求將一個區(qū)間建成線段樹，一般的題目都需要對坐標離散。建樹時，不要拘泥于線段樹這個名字而只將線段建樹，只要是表示區(qū)間，而且區(qū)間是由單位元素(可以是一個點、線段、或數(shù)組中一個值)組成的，都可以建線段樹；不要拘泥于一維，根據(jù)題目要求可以建立面積樹、體積樹等等 樹的每個節(jié)點根據(jù)題目所需，設(shè)置變量記錄要求的值 用樹形結(jié)構(gòu)來維護這些變量：如果是求總數(shù)，則是左右兒子總數(shù)之和加上本節(jié)點的總數(shù)，如果要求最值，則是左右兒子的最大值再聯(lián)系本區(qū)間。利用每次插入、刪除時，都只對O(logL)個節(jié)點修改這個特點，在O(logL)的時間內(nèi)維護修改后相關(guān)節(jié)點的變量。 在非規(guī)則刪除操作和大規(guī)模修改數(shù)據(jù)操作中，要靈活的運用子樹的收縮與葉子節(jié)點的釋放，避免重復(fù)操作。 Trie的應(yīng)用：； Trie圖的應(yīng)用探索： 后綴數(shù)組的應(yīng)用研究： 在字符串處理當中，后綴樹和后綴數(shù)組都是非常有力的工具，其中后綴樹了解得比較多，關(guān)于后綴數(shù)組則很少見于國內(nèi)的資料。其實后綴數(shù)組是后綴樹的一個非常精巧的替代品，它比后綴樹容易編程實現(xiàn)，能夠?qū)崿F(xiàn)后綴樹的很多功能而時間復(fù)雜度也不太遜色，并且，它比后綴樹所占用的空間小很多。 樹狀數(shù)組的應(yīng)用探索：； 計算幾何 掌握基本算法的實現(xiàn)。凸包的應(yīng)用：； 半平面交算法的應(yīng)用：； 幾何+模擬類題目：幾何設(shè)計好算法，模擬控制好精度。掃描法：； 轉(zhuǎn)化法：ZOJ 1606 將求所圍的格子數(shù)，巧妙的轉(zhuǎn)化為求多邊形的面積。離散法思想的應(yīng)用：； 經(jīng)典算法：找平面上的最近點對。 貪心 矩形切割 二分思想應(yīng)用 活用經(jīng)典算法 利用歸并排序算法思想求數(shù)列的逆序?qū)?shù)： 利用快速排序算法思想，查詢N個數(shù)中的第K小數(shù)： 博弈問題 博弈類題目通常用三類解法：第一類推結(jié)論； 第二類遞推，找N位置，P位置； 第三類SG函數(shù)的應(yīng)用。第四類極大極小法，甚至配合上αβ剪枝。最難掌握的就是第四類極大極小法。 第一類：推結(jié)論。典型題目： 第二類：遞推。典型題目： 比如有向無環(huán)圖類型的博弈。在一個有向圖中，我們把選手I有必勝策略的初始位置稱為N位置(Next player winning)，其余的位置被稱為P位置(Previous player winning)。很顯然，P位置和N位置應(yīng)該具有如下性質(zhì)： 1． 所有的結(jié)束位置都是P位置。 2． 對于每一個N位置，至少存在一種移動可以將棋子移動到一個P位置。3． 對于每一個P位置，它的每一種移動都會將棋子移到一個N位置。 這樣，獲勝的策略就是每次都把棋子移動到一個P位置，因為在一個P位置，你的對手只能將棋子移動到一個N位置，然后你總有一種方法再把棋子移動到一個P位置。一直這樣移動，最后你一定會將棋子移動到一個結(jié)束位置（結(jié)束位置是P位置），這時你的對手將無法在移動棋子，你便贏得了勝利。 與此同時，得到了這些性質(zhì)，我們便很容易通過倒退的方法求出哪些位置是P位置，哪些位置是N位置，具體的算法為： 1． 將所有的結(jié)束位置標為P位置。 2． 將所有能一步到達P位置的點標為N位置。 3． 找出所有只能到達N位置的點，將它們標為P位置。 4． 如果在第三步中沒有找到新的被標為P位置的點，則算法結(jié)束，否則轉(zhuǎn)到步驟2。這樣我們便確定了所有位置，對于題目給出的任一初始位置，我們都能夠很快確定出是選手I獲勝還是選手II獲勝了。第三類：SG函數(shù)的應(yīng)用。 關(guān)于SG函數(shù)的基本知識：對于一個有向圖(X, F)來說，SG函數(shù)g是一個在X上的函數(shù)，并且它返回一個非負整數(shù)值，具體定義為 g(x)?min{n?0,n?g(y)對于所有y?F(x)} 1． 對于所有的結(jié)束位置x，g(x)= 0。 2． 對于每一個g(x)≠ 0的位置x，在它可以一步到達的位置中至少存在一個位置y使得g(y)= 0。 3．對于每一個g(x)＝ 0的位置x，所有可以由它一步到達的位置y都有g(shù)(y)≠ 0。 定理 如果g(xi)是第i個有向圖的SG函數(shù)值，i = 1,…,n，那么在由這n個有向圖組成的狀態(tài)的SG函數(shù)值g(x1,…xn)= g(x1)xor g(x2)xor … xor g(xn) 第四類：極大極小法。 典型題目：ZOJ 1155：Triangle War ZOJ 1993：A Number Game 矩陣妙用 矩陣最基本的妙用就是利用快速乘法O（logn）來求解遞推關(guān)系（最基本的就是求Fibonacci數(shù)列的某項）和各種圖形變換，以及利用高斯消元法變成階梯矩陣。典型題目： 數(shù)學(xué)模型舉例 向量思想的應(yīng)用： UVA 10089：注意降維和向量的規(guī)范化 ； 利用復(fù)數(shù)思想進行向量旋轉(zhuǎn)。 UVA 10253： 遞推 數(shù)代集合 數(shù)代集合的思想： ACM ICPC 2002-2003, Northeastern European Region, Northern Subregion 中有一題：Intuitionistic Logic 用枚舉+數(shù)代集合思想優(yōu)化，注意到題中有一句話：“You may assume that the number H = |H| of elements of H?doesn't exceed 100”，這句話告訴我們H的元素個數(shù)不會超過100，因此可以考慮用一個數(shù)代替一個集合，首先把所有的運算結(jié)果都用預(yù)處理算出來，到計算的時候只要用O(1)的復(fù)雜度就可以完成一次運算。 組合數(shù)學(xué) Polya定理則是解決同構(gòu)染色計數(shù)問題的有力工具。 補集轉(zhuǎn)化思想 ZOJ 單色三角形： 字符串相關(guān) 擴展的KMP算法應(yīng)用：；最長回文串； 最長公共子串； 最長公共前綴； 填充問題 高精度運算 三維空間問題專題 無論什么問題，一旦擴展到三難空間，就變得很有難度了。三維空間的問題，很考代碼實現(xiàn)能力。 其它問題的心得 解決一些判斷同構(gòu)問題的方法：同構(gòu)的關(guān)鍵在于一一對應(yīng)，而如果枚舉一一對應(yīng)的關(guān)系，時間復(fù)雜度相當?shù)母撸米钚”硎?，就能把一個事物的本質(zhì)表示出來。求最小表示時，我們一定要仔細分析，將一切能區(qū)分兩個元素的條件都在最小表示中體現(xiàn)，而且又不能主觀的加上其他條件。得到最小表示后，我們往往還要尋求適當?shù)摹⒏咝У钠ヅ渌惴ǎɡ鏚MP字符匹配之類的），來比較最小表示是否相同，這里常常要將我們熟悉的高效算法進行推廣 源程序代碼： } 一、自然數(shù)拆分（遞歸） } #include 二、快速排序（遞歸）int a[100];void spilt(int t)#include spilt(j+1);} } int partitions(int a[],int from,int to)void main(){ { int n,i; int value=a[from];printf(“please enter the number:”); while(from a[from]=a[to]; while(from ++from; a[to]=a[from]; } a[from]=value; return from; } void qsort(int a[],int from,int to){ int pivottag;if(from {pivottag=partitions(a,from,to);qsort(a,from,pivottag-1);qsort(a,pivottag+1,to); } scanf(“%d”,&n); for(i=1;i<=n/2;i++){ a[1]=i;a[2]=n-i;spilt(2); 三、刪數(shù)字（貪心） #include int a[11]={3,0,0,0,9,8,1,4,7,5,1}; int k=0,i=0,j; int m; while(i<11) { printf(“%d ”,a[i]); i++;} printf(“n please input delete number:”); 四、全排列（遞歸）#include int i;char temp;if(k==n) for(i=0;i<=3;i++) {printf(“%c ”,a[i]);} else { for(i=k;i<=n;i++) { temp=a[i]; a[i]=a[k]; a[k]=temp; A(a,k+1,n); } } } main(){ int n; char a[4]={'a','b','c','d'},temp; A(a,0,3); getch(); return 0;} 五、多段圖（動態(tài)規(guī)劃）#include “stdio.h” #define n 12 //圖的頂點數(shù) { while(from scanf(“%d”,&m);for(k=0;k { for(i=0;i<=11-k;i++) { if(a[i]>a[i+1]) { for(j=i;j<10;j++) {a[j]=a[j+1];} break;//滿足條件就跳轉(zhuǎn) } } } int quicksort(int a[],int n){ qsort(a,0,n);} } printf(“the change numbers:”); for(i=0;i<11-m;i++) { if(a[i]!=0) { printf(“%d ”,a[i]);} } } #define k 4 //圖的段數(shù) #define MAX 23767 int cost[n][n];//成本值數(shù)組 int path[k];//存儲最短路徑的數(shù)組 void creatgraph()//創(chuàng)建圖的(成本)鄰接矩陣 { int i,j; for(i=0;i for(j=0;j scanf(“%d”,&cost[i][j]);//獲取成本矩陣數(shù)據(jù) } void printgraph()//輸出圖的成本矩陣 { int i,j; printf(“成本矩陣:n”); for(i=0;i { for(j=0;j printf(“%d ”,cost[i][j]); printf(“n”); } } //使用向前遞推算法求多段圖的最短路徑 void FrontPath(){ int i,j,length,temp,v[n],d[n]; for(i=0;i v[i]=0;for(i=n-2;i>=0;i--){ for(length=MAX,j=i+1;j<=n-1;j++) if(cost[i][j]>0 &&(cost[i][j])+v[j] {length=cost[i][j]+v[j];temp=j;} v[i]=length; d[i]=temp; } path[0]=0;//起點 path[k-1]=n-1;//最后的目標 for(i=1;i<=k-2;i++)(path[i])=d[path[i-1]];//將最短路徑存入數(shù)組中 } //使用向后遞推算法求多段圖的最短路徑 void BackPath(){ int i,j,length,temp,v[n],d[n]; for(i=0;i for(i=1;i<=n-1;i++) { for(length=MAX,j=i-1;j>=0;j--) if(cost[j][i]>0 &&(cost[j][i])+v[j] {length=cost[j][i]+v[j];temp=j;} v[i]=length; d[i]=temp; } path[0]=0; path[k-1]=n-1; for(i=k-2;i>=1;i--)(path[i])=d[path[i+1]];} //輸出最短路徑序列 void printpath(){ int i; for(i=0;i printf(“%d ”,path[i]);} main(){ freopen(“E:1input.txt”,“r”,stdin); creatgraph(); printgraph(); FrontPath(); printf(“輸出使用向前遞推算法所得的最短路徑:n”); printpath(); printf(“n輸出使用向后遞推算法所得的最短路徑:n”); BackPath(); printpath();printf(“n”);} 六、背包問題（遞歸）int knap(int m, int n){ int x; x=m-mn; if x>0 sign=1; else if x==0 sign=0; else sign=-1; switch(sign){ case 0: knap=1;break; case 1: if(n>1) if knap(m-mn,n-1) knap=1; else knap= knap(m,n-1); else knap=0; case-1: if(n>1) knap= knap(m,n-1); else knap=0; } } 七、8皇后（回溯）#include int i; i=1; while(i if((X[i]==X[k])||(abs(X[i]-X[k])==abs(i-k))) return 0; i++; } return 1;} void Nqueens(int X[N+1]){ int k, i; X[1]=0;k=1; while(k>0){ X[k]=X[k]+1; while((X[k]<=N)&&(!place(k,X))) X[k]=X[k]+1; if(X[k]<=N) if(k==N){ for(i=1;i<=N;i++) printf(“%3d”,X[i]);printf(“n”); } else{ k=k+1; X[k]=0; } else k=k-1; } } void main(){ int n, i; int X[N+1]={0}; clrscr(); Nqueens(X); printf(“The end!”);} 八、圖著色（回溯）#include int j,t; while(1){ nextValue(k); if(X[k]==0) return 0; if(k==(N-1)){ for(t=0;t printf(“%3d”,X[t]); printf(“n”); count++; } else mcoloring(k+1); } } int nextValue(int k){ int j; while(1){ X[k]=(X[k]+1)%(M+1); if(X[k]==0) return 0; for(j=0;j if((GRAPH[k][j]==1)&&(X[k]==X[j])) break; } if(j==N){ return 0; } } } void main(){ int k; clrscr(); k=0; mcoloring(k); printf(“ncount=%dn”,count);} 矩陣鏈乘法（動態(tài)規(guī)劃）? 符號S[i, j]的意義： 符號S(i, j)表示，使得下列公式右邊取最小值的那個k值 public static void matrixChain(int [ ] p, int [ ][ ] m, int [ ][ ] s) { int n=p.length-1; for(int i = 1;i <= n;i++)m[i][i] = 0; for(int r = 2;r <= n;r++) for(int i = 1;i <= n-r+1;i++){ int j=i+r-1; m[i][j] = m[i+1][j]+ p[i-1]*p[i]*p[j]; s[i][j] = i; for(int k = i+1;k < j;k++){ int t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j]; if(t < m[i][j]){ m[i][j] = t; s[i][j] = k;} } } } O的定義： 如果存在兩個正常數(shù)c和n0，對于所有的n≥n0時，有： |f(n)|≤c|g(n)|，稱函數(shù)f(n)當n充分大時的階比g(n)低，記為 f(n)=O(g(n))。計算時間f(n)的一個上界函數(shù) Ω的定義： 如果存在正常數(shù)c和n0，對于所有n≥n0時，有： |f(n)|≥c|g(n)|，則稱函數(shù)f(n)當n充分大時下有界，且g(n)是它的一個下界，即f(n)的階不低于g(n)的階。記為： f(n)=Ω(g(n))。Θ的定義： 如果存在正常數(shù)c1，c2和n0，對于所有的n>n0，有： c1|g(n)|≤f(n)≤c2|g(n)|，則記f(n)=Θ(g(n))意味著該算法在最好和最壞的情況下計算時間就一個常因子范圍內(nèi)而言是相同的。(1)多項式時間算法： O(1) (2)指數(shù)時間算法： O(2n) Move(n,n+1)(2n+1,2n+2)move(2n-1,2n)(n,n+1)call chess(n-1) 貪心方法基本思想： 貪心算法總是作出在當前看來最好的選擇。也就是說貪心算法并不從整體最優(yōu)考慮，它所作出的選擇只是在某種意義上的局部最優(yōu)選擇 所求問題的整體最優(yōu)解可以通過一系列局部最優(yōu)的選擇，即貪心選擇來達到。這是貪心算法可行的第一個基本要素，也是貪心算法與動態(tài)規(guī)劃算法的主要區(qū)別。 多段圖： COST[j]=c(j,r)+COST[r]; 回溯法： (假定集合Si的大小是mi)不斷地用修改過的規(guī)范函數(shù)Pi(x1,…,xi)去測試正在構(gòu)造中的n-元組的部分向量(x1,…,xi)，看其是否可能導(dǎo)致最優(yōu)解。如果判定(x1,…,xi)不可能導(dǎo)致最優(yōu)解，那么就將可能要測試的mi+1…mn個向量略去。約束條件： (1)顯式約束：限定每一個xi只能從給定的集合Si上取值。 (2)解 空 間：對于問題的一個實例，解向量滿足顯式 約束條件的所有多元組，構(gòu)成了該實例 的一個解空間。 (3)隱式約束：規(guī)定解空間中實際上滿足規(guī)范函數(shù)的元 組，描述了xi必須彼此相關(guān)的情況?；咀龇ǎ?/p> 在問題的解空間樹中，按深度優(yōu)先策略，從根結(jié)點出發(fā)搜索解空間樹。算法搜索至解空間樹的任意一點時，先判斷該結(jié)點是否包含問題的解：如果肯定不包含，則跳過對該結(jié)點為根的子樹的搜索，逐層向其祖先結(jié)點回溯；否則，進入該子樹，繼續(xù)按深度優(yōu)先策略搜索。 8皇后問題 約束條件 限界函數(shù)： 子集和數(shù)問題： 約束條件 限界函數(shù)： 回溯法－－術(shù)語： 活結(jié)點：已生成一個結(jié)點而它的所有兒子結(jié)點還沒有 全部生成的結(jié)點稱為活結(jié)點。 E-結(jié)點：當前正在生成其兒子結(jié)點的活結(jié)點叫E-結(jié)點。 死結(jié)點：不再進一步擴展或其兒子結(jié)點已全部生成的結(jié)點稱為死結(jié)點。 使用限界函數(shù)的深度優(yōu)先節(jié)點生成的方法成為回溯法；E-結(jié)點一直保持到死為止的狀態(tài)生成的方法 稱之為分支限界方法 且用限界函數(shù)幫助避免生成不包含答案結(jié)點子樹的狀態(tài)空間的檢索方法。區(qū)別： 分支限界法本質(zhì)上就是含有剪枝的回溯法，根據(jù)遞歸的條件不同，是有不同的時間復(fù)雜度的。 回溯法深度優(yōu)先搜索堆?；蚬?jié)點的所有子節(jié)點被遍歷后才被從棧中彈出找出滿足約束條件的所有解 分支限界法廣度優(yōu)先或最小消耗優(yōu)先搜索隊列，優(yōu)先隊列每個結(jié)點只有一次成為活結(jié)點的機會找出滿足約束條件下的一個解或特定意義下的最優(yōu)解 一般如果只考慮時間復(fù)雜度二者都是指數(shù)級別的 可是因為分支限界法存在著各種剪枝，用起來時間還是很快的int M, W[10],X[10];void sumofsub(int s, int k, int r){ int j; X[k]=1; if(s+W[k]==M){ for(j=1;j<=k;j++) printf(“%d ”,X[j]); printf(“n”); } else if((s+W[k]+W[k+1])<=M){ sumofsub(s+W[k],k+1,r-W[k]); } if((s+r-W[k]>=M)&&(s+W[k+1]<=M)){ X[k]=0; sumofsub(s,k+1,r-W[k]); } } void main(){ M=30; W[1]=15; W[2]=9; W[3]=8; W[4]=7; W[5]=6; W[6]=5; W[7]=4; W[8]=3; W[9]=2; W[10]=1; sumofsub(0,1,60);} P是所有可在多項式時間內(nèi)用確定算法求解的判定問題的集合。NP是所有可在多項式時間內(nèi)用不確定算法求解的判定問題的集合 如果可滿足星月化為一個問題L，則此問題L是NP-難度的。如果L是NP難度的且L NP，則此問題是NP-完全的 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院 中期報告 學(xué)院: 專業(yè): 年級: 題目: 行列式的算法歸納 學(xué)生姓名: 學(xué)號: 指導(dǎo)教師姓名 職稱: 2012年6月20日 目錄 引言..................................................................................................................................................2 1 行列式性質(zhì)...................................................................................................................................2 2 行列式計算方法...........................................................................................................................5 2.1定義法.................................................................................................................................5 2.2遞推法.................................................................................................................................6 2.3化三角法.............................................................................................................................9 2.4拆元法...............................................................................................................................11.4加邊法..............................................................................................................................12 2.6數(shù)學(xué)歸結(jié)法.......................................................................................................................14 2.7降價法...............................................................................................................................15 2.8利用普拉斯定理...............................................................................................................16 2.9利用范德蒙行列式...........................................................................................................17 結(jié)論................................................................................................................................................18 參考文獻.........................................................................................................................................18 行列式的概念及應(yīng)用 摘要：本文先列舉行列式計算相關(guān)性質(zhì)，然后歸納總結(jié)出了行列式的計算方法，包括：定義法，化三角法，遞推法，拆元法，加邊法，數(shù)學(xué)歸結(jié)法，降價法，利用拉普拉斯定理和利用范德蒙行列式的方法。 關(guān)鍵詞：行列式；線性方程組；范德蒙行列式 The concept and application of determinant In this article, it first lists some calculated properties of determinants, and then characterizes some methods to calculate determinant, including: definition, triangulation, recursive method, remove method, bordered，Mathematical induction，reduction，the method using Laplace theorem or the van demon determinant.Keywords: determinant;system of linear equations;Van demon determinant 引言 行列式的概念最初是伴隨著方程組的求解而發(fā)展起來的。行列式的提出可以追溯到十七世紀，最初的雛形由日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和與德國數(shù)學(xué)家戈特弗里德·萊布尼茨各自獨立得出，時間大致相同。日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和提出來的，他在1683年寫了一部名為解伏題之法的著作，意思是“解行列式問題的方法”，書中對行列式的概念和它的展開已經(jīng)有了清楚的敘述。歐洲第一個提出行列式概念的是德國數(shù)學(xué)家，微積分學(xué)奠基人之一萊布尼茨。十八世紀開始，行列式開始作為獨立的數(shù)學(xué)概念被研究。十九世紀以后，行列式理論進一步得到發(fā)展和完善。矩陣概念的引入使得更多有關(guān)行列式的性質(zhì)被發(fā)現(xiàn)，行列式在許多領(lǐng)域都逐漸顯現(xiàn)出重要的意義和作用，出現(xiàn)了線性自同態(tài)和向量組的行列式的定義。行列式的性質(zhì) 性質(zhì)1 行列互換，行列式值不變，即 a11a12?a1na21a22?a2n????an1an2?anna11[1] a21a22?a2n?an1?an2 ??anna12?a1n其實，元素aij在上式的右端位于第j行第i列，即此時i是列指標，j為行指標。 在行列式中，行與列的地位是對稱的，所以有關(guān)行的性質(zhì)，對列也成立。 性質(zhì)2 如果行列式中一行為零，那么行列式為零。 ?的元都是二項式，那么這個行列式等于把這些性質(zhì)3 如果行列式的某一行?或一列二項式各取一項作成相應(yīng)行?或列?而其余行?或列?不變的兩個行列式的和。 即 a11?b1j?c1ja21?b2j?c2j??an1?bnj?cnj?a1na11?b1j?a2na21?b2j?????annan1?bnj?a1na11?c1j?a2na21?c2j?????annan1?cnj?a1n?a2n ??ann這就是說，如果某一行是兩組數(shù)的和，那么這個行列式就等于兩個行列式的和，而這兩個行列式除這一行以外全與原來行列式的對應(yīng)的行一樣。 性質(zhì)4 如果行列式中有兩行相同，那么行列式為零，所謂兩行相同就是說兩行的對應(yīng)元素都相等。 性質(zhì)5 如果行列式中兩行成比例，那么行列式為零。性質(zhì)6 把一行的倍數(shù)加到另一行，行列式不變。性質(zhì)7 對換行列式中兩行的位置，行列式反號。 2.行列式的計算方法 2.1 定義法 n階行列式計算的定義[3]： a11Dn?a21?an1?其中，j1j2?jna12?a1na22?a2n??an2?ann(?1)?(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn ?j1j2?jn?表示對所有n級排列求和。j1j2?jn是1,2,?,n的一個排列，當j1j2?jn是?(j1j2?jn)偶排列時，(?1)是正號；當j1j2?jn是奇排列時，(?1)?(j1j2?jn)是負的。a1j1a2j2?anjn是D中取自不同行不同列的n個元素的乘積。 a11a21例2.1：證明D?a31a12a22a32a42a52a13a23000a14a24000a15a250?0.00a41a51分析 觀察行列式我們會發(fā)現(xiàn)有許多零,故直接用定義法.證明： 由行列式的定義知除去符號差別外行列式一般項可表示為a1j1a2j2?anjn 則 Dn?j1j2?j5?(?1)?(j1j2?j5)a1j1a2j2?anjn.（3） 其中j1,j1,?,j5為1,2,3,4,5的任意排列,在D中位于后三行后三列的元素為零,而在前兩行前兩列中,取不同行不同列的元素只有四個,就是說（3）式中每一項至少有一個來自后三行后三列.故D=0.注意 此方法適用于階數(shù)較低的行列式或行列式中零的個數(shù)較多.2.3 遞推法 應(yīng)用行列式的性質(zhì)，把一個較高階行列式表示為具有相同結(jié)構(gòu)的較低階行列式（比如，n-1階或n-1階與n-2階等）的線性關(guān)系式，這種關(guān)系式稱為遞推關(guān)系式。根據(jù)遞推關(guān)系式及某個低階初始行列式（比如二階或一階行列式）的值，便可遞推求得所給n階行列式的值，這種計算行列式的方法稱為遞推法。 注意：用此方法一定要看行列式是否具有較低階的相同結(jié)構(gòu)如果沒有的話，即很難 找出遞推關(guān)系式，從而不能使用此方.[4] 例2.2證如下行列式等式 ???Dn?10?0?????1?00?0000 ???0????0?0???1???n?1??n?1?,其中???（雖然這是一道證明題，但我們可以直接求 證明： Dn????出其值，從而證之）。 分析：此行列式的特點是：除主對角線及其上下兩條對角線的元素外，其余的元素 都為零，這種行列式稱“三對角”行列式。從行列式的左上方往右下方看，即知Dn?1與Dn具有相同的結(jié)構(gòu)。因此可考慮利用遞推關(guān)系式計算。 證明：Dn按第1列展開，再將展開后的第二項中n-1階行列式按第一行展開有： Dn?（?＋?）Dn－1－??Dn－2，這是由Dn?1 和Dn?2表示Dn的遞推關(guān)系式。若由上面的遞推關(guān)系式從n階逐階往低 階遞推，計算較繁，注意到上面的遞推關(guān)系式是由n-1階和n-2階行列式表示n階行列式，因此，可考慮將其變形為： Dn－?Dn－1＝?Dn－1－??Dn－2＝（?Dn－1－?Dn－2）或 Dn－?Dn－1＝?Dn－1－??Dn－2＝（。?Dn－1－?Dn－2）現(xiàn)可反復(fù)用低階代替高階，有： 23Dn－?Dn－1＝（?Dn－1－?Dn－2）＝?（Dn－2－?Dn－3）＝?（Dn－3－?Dn－4）＝?＝?（D2－?D1）=?同樣有 n?2n－2[(???)?????(???)]????(1)2n 23Dn－?Dn－1＝?（Dn－1－?Dn－2）＝?（Dn－2－?Dn－3）＝?（Dn－3－?Dn－4）[(???)?????(???)]????(2)?n?1??n?1因此當 ???時，由（1）（2）式可解得：Dn?。 ???＝?＝?（D2－?D1）=?n?2n－22n 小結(jié)：雖然我們從一個行列式中可以看出有低階的相同的結(jié)構(gòu)，然后得到一遞推關(guān)系式，但我們不要盲目亂代，一定要看清這個遞推關(guān)系式是否可以簡化我們的計算，如果不行的話，就要適當?shù)負Q遞 推關(guān)系式，如本題。 2.3化三角形法 運用行列式的性質(zhì)是計算行列式的一個重要途徑,大多數(shù)行列式的計算都依賴于行列式的性 [7]質(zhì),將行列式化成上三角(下三角或反三角)的形式,再根據(jù)行列式的定義來計算行列式.行列式的性質(zhì)告訴了我們該如何求行列式,而一切的行列式都可以根據(jù)以上性質(zhì)來進行初等行變換(列變換),變成階梯形(上三角)的行列式,再根據(jù)定義計算即可.其計算步驟可歸納如下: (ⅰ)看行列式的行和(列和),如果行列和相等,則均加到某一列(行)（直觀上加到第一列(行)）.(ⅱ)有公因子的提出公因子.(ⅲ)進行初等行變換(列變換)化成上三角(下三角或反三角)的行列式.(ⅳ)由行列式的定義進行計算.由以上四步,計算一般行列式都簡潔多了.123?n?1234?[6]例2.3 計算行列式Dn?345?n1n12.?????n12?n?2n?1分析 直接用化三角形法化簡很煩,觀察發(fā)現(xiàn)對于任意相鄰兩列中的元素,位于同一行的元素中,后面元素與前面元素相差1,因此先從第n?1列乘-1加到第n列,第n?2列乘-1加到第n?1列, 這樣做下去直到第1列乘-1加到第2列,然后再計算就顯得容易.123?n?1234?解：Dn?345?n1n1212?31111?111?11?n1?1?n1 ?1000?10?00?????n12?n?2n?1 ???n1?n1?1?2???n12?n?111?21001?110?0?n10??n0?n?????n?1?n0?00000?0?n0 ?00?0?n0??n0 ?0?0???n0?000??n1n(n?1)?000?n2?????n0?0(n?1)(n?2)1n(n?1)?(?1)2 n2n(n?1)(n?1)n?1?n(?1)2.2問題推廣 在例2.3中1,2,?,n,這n個數(shù)我們可以看成有限個等差數(shù)列在循環(huán),那么對于一般的等差數(shù)列也應(yīng)該適應(yīng).計算行列式 [1] a1D?a1?da1?2d?a1?(n?1)da1?a1?da1?2d?a1?(n?1)da1?d2d?(n?1)da1??a1?da1?2da1?3d?a1ddd?a1?2d?a1?(n?1)da1?3d?a1?4d??a1?dd?da1?nda1??a1?(n?3)dda1?nda1a1?d?a1?(n?2)d d?dd?(1?n)d?d?dd?nd ?d(1?n)dd ?d(1?n)dd?d???nd??nd?0?0?0?00??00?nd?0 d(n?1)d???nnd2d?(n?1)d??nd??nd??0?0(n?1)(n?2)d(n?1)dn?1?(a1????)(?nd)(?1)2 nn(n?1)(n?2)1n(a1?a1?(n?1)d)n?1?()(?nd)(?1)2.n2 (n?1)(n?2)1n(a1?a1?(n?1)dn?1)(?nd)(?1)2結(jié)論如果將例2.3中的數(shù)a1?1，d?1代入?(n2顯然成立.2.4．拆元法 由行列式拆項性質(zhì)知，將已知行列式拆成若干個行列式之積，計算其值，再得原行 列式值，此法稱為拆行（列）法。 由行列式的性質(zhì)知道，若行列式的某行（列）的元素都是兩個數(shù)之和，則該行列式可拆成兩個行列式的和，這兩個行列式的某行（列）分別以這兩數(shù)之一為該行（列）的元素，而其他各行（列）的元素與原行列式的對應(yīng)行（列）相同，利用行列式的這一性質(zhì)，有時較容易求得行列式[2]的值。 例2.4求下列行列式的值 設(shè)n階行列式： a11a21?an1a12?a1na22?a2n?1 ??an2?ann且滿足aij??aji,i,j?1,2,?,n,對任意數(shù)b，求n階行列式 a11?ba12?b?a1n?ba21?ba22?b?a2n?b????? an1?ban2?b?ann?b 分析:該行列式的每個元素都是由兩個數(shù)的和組成，且其中有一個數(shù)是b，顯然 用拆行（列）法。 解： a11?ba12?b?a1n?ba11a12?b?a1n?bba12?b?Da21?ba22?b?a2n?ba21a22?b?a2n?bba22?b?n???????????an1?ban2?b?ann?ban1an2?b?ann?bban2?b?a11a12?a1n?ba11b?a1n?b1a12?a1n?a21a22?a2n?b1a22?a2n????a21b?a2n?b????b??? an1an2?ann?ban1b?ann?b1an2?anna11a12?a1na111?a1n1a12?a1n?a21a22?a2n???ba211?a2n1a22?a2n???????b??? an1an2?annan11?ann1an2?annnnn?1?b?A2i???b?A1i?1?bi?1i?Aij。 i?1,j?1又令 a11a12?a1nA=a21a22?a2n???,且aij??aji,i,j?1,2,?,n。 an1an2?ann 所以 有A?1,且A'??A。 由A－1＝A＊A得：A?A－1?A＊即A＊?A＝E 所以 A＊＝A－1。7 a1n?ba2n?b?ann?b 又（A＊）?(A?1)'?(A')?1??(A)?1??A＊，所以 A*也為反對稱矩陣。 *又 Aij(i,j?1,2,?,n)為A的元素，所以有i?1,j?1'?nAij?0。 從而知：Dn?1?bi?1,j?1?nAij?1。 2.5．加邊法 計算行列式往往采用降階的辦法，但在一些特殊的行列式的計算上卻要采用加邊法。行列式的加邊法是為了將行列式降階作準備的。更有利于將行列式化成上三角的形式，其加邊的元素，也可根據(jù)計算的難易程度來確定。具有隨意性。利用行列式按行（列）展開的性質(zhì)把n階行列式通過 [3]加行（列）變成與之相等的n?1階行列式,然后計算.添加行列式的四種方法[18]:設(shè)Dn?a11a21?an1a12?a1na22?a2n??an2?ann.（1）首行首列Dn?a11a21?an1a11a21?an1a11a21?an1a11a21?an1a12?a1na22?a2n??an2?anna12?a1na22?a2n??an2?anna12?a1na22?a2n??an2?anna12?a1na22?a2n??an2?ann1a1a2?an0a11?0a21?0a11?a21?an1a1a2?a3?1a11a21?a31?0?0a12a22?an2a11a21a31?0a12a22a32?0a12?a1na22?a2n.??an2?ann0?1a13?a1a23?a2.??an3?ana12?a1na22?a2na32?a3n.??0?0a13?a1a23?a2a33?a3.??0?10an1（2）首行末列Dn?（3）末行首列Dn?（4）末行末列Dn?例2.5 計算n 階行列式： [4] x12?1Dn?x1x2x1x2x1x2x22?1x1x2x1x2x1x2xn2?1 分析 我們先把主對角線的數(shù)都減1，這樣我們就可明顯地看出第一行為x1與x1,x2,?,xn相乘，第二行為x2與x1,x2,?,xn相乘，??，第n行為xn與x1,x2,?,xn相乘。這樣就知道了該行列式每行有相同的因子x1,x2,?,xn，從而就可考慮此法。解： 1x1x2?0x12?1x1x2?2Dn?0x2x1x2?1??0?xnx1nxn1x1x2?x1(i?1,?,n)x2xn?x2ri?1?xir1x110?0x2?xn0?01?0?0??1?xnx22i?1?2?xn?1x110?0??xnn?1 1??xic1?xici?1(i?1,?,n)x2?xn01?0???00?1?1??xi2。i?1n00?0n?1注意:加邊法最在的特點就是要找出每行或每列相同的因子，那么升階之后，就可利用行列式的性質(zhì)把絕大部分元素化為零，然后再化為三角形行列式，這樣就達到了簡化計算的效果。 2.6數(shù)學(xué)歸結(jié)法 數(shù)學(xué)歸納法有兩種一種是不完全歸納法,另一種是完全歸納法,通常用不完全歸納法尋找行列式 [5]的猜想,再用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想的正確性.基本方法 1)先計算n?1,2,3時行列式的值.2)觀察D1,D2,D3的值猜想出Dn的值.3)用數(shù)學(xué)歸納法證明.例2.6 證明： [6]2cos?1 Dn?12cos?1?0001?00??000?000?12cos??sin(n?1)?sin?(sin??0)0?002cos???2cos??1證：當n?1,2時，有 sin(1?1)?sin? 2cos?1sin(2?1)?D2??4cos2??1?12cos?sin?D1?2cos??結(jié)論顯然成立。 現(xiàn)假定結(jié)論對小于等于n?1時成立。即有 Dn?2?將Dn按第1列展開，得 sin(n?2?1)?,sin?Dn?1? sin(n?1?1)?。 sin?2cos?1Dn??001?2cos???0000?00?12cos?2cos?1??000?2cos???0000?00?12cos??2cos??1(n?1)?2cos??1(n?1)?2cos??Dn?1?Dn?2sin(n?1?1)?sin(n?2?1)??sin?sin?2cos??sinn??sin(n?1)??sin?2cos??sinn??sinn??cos??cosn??sin??sin?sinn??cos??cosn??sin??sin?sin(n?1)??sin??2cos?? 故當對n時，等式也成立。得證。 2.7降階法 n階行列式等于它的任意一行(列)各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積的和.即 D??aijAij(i?1,2,?,n)或D??aijAij(j?1,2,?,n).j?1i?1nn行列式按一行（列）展開將高階轉(zhuǎn)化為若干低階行列式計算方法稱為降階法.這是一種計算[9]行列式的常用方法.1301例2.7 計算D?30141121011001.1解 D?30?9110?2200110?911?1??220?110?21??4.21注意 對于一般的n階行列式若直接用降階法計算量會大大加重.因此必須先利用行列式的性質(zhì)將行列式的某一行（列）化為只含有一個非零元素,然后再按此行（列）展開,如此進行下去,直到二階.2.8 利用拉普拉斯定理 在利用行列式的一行(列)展開式時,我們可以發(fā)現(xiàn)計算行列式可以按某一行(列)展開,進行計算行列式.試想,我們可以根據(jù)行列式的某一個K級字式展開嗎? 拉普拉斯經(jīng)過對行列式的研究.終于發(fā)現(xiàn)此種方法可行,并給出了嚴密的證明,為了使行列式的計算更為簡潔,現(xiàn)引入拉普拉斯定理.拉普拉斯定理[12]:設(shè)在行列式D中任意取定了k?1?k?n?1?個行,由這k行元素所組成的一切K級字式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式D.拉普拉斯定理的四種特殊情形： 1）AnnCmn00BmmAnnCmn?Ann?Bmm Ann2） 0Cnm?Ann?Bmm Bmm3）Bmm?(?1)mnAnn?Bmm 4） CnmBmmAnn0?(?1)mnAnn?Bmm 例2.8計算n階行列式 ?aaa?ab?Dn?b??b???????????? ????? 解 ?Dn(i?2，n?1)aaa?ab??i?1??2???0?????0(n?1)a00?0?00???0??aa?0????a 0?????C2?Ci0b??(n?2)?(i?3,?n)0?0????0?0?0?0?00????????????利用拉普拉斯定理?(n?1)ab??(n?2)??2?20?0n?20?0????0??0????(n?2)?(n?2)?[????(n?2)??ab(n?1)]?(???)2.9 利用范德蒙行列式 范德蒙行列式[14] ： 1x1x12x1n?11x2x22n?1x21x3x32n?1x31xn2xn?1?j?i?nn?1xn?(xi?xj) (a?n?1)n?1(a?n?1)n?2例2.9[16] (a?n?2)n?1?(a?1)n?1(a?n?2)n?2?(a?1)n?2?a?n?21???a?11an?1an?2? a1：計算n階行列式 Dn??a?n?11解 ： 顯然該題與范德蒙行列式很相似，但還是有所不同，所以先利用行列式的性質(zhì)把它化為范德蒙行列式的類型。 先將的第n行依次與第n-1行，n-2行，?,2行，1行對換，再將得到到的新的行列式的第n行與第n-1行，n-2行，?,2行對換，繼續(xù)仿此作法，直到最后將第n行與第n-1行對換，這樣，共經(jīng)過（n-1）+（n-2）+?+2+1=n（n-1）/2次行對換后，得到 1Dn?(?1)n(n?1)21a?n?2???1a?1?1a? an?2an?1a?n?1?(a?n?1)n?2(a?n?1)n?1(a?n?2)n?2?(a?1)n?2(a?n?2)n?1?(a?1)n?1上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的結(jié)果得 ?En?AB??n?m?Em?BA Dn?(?1)n(n?1)21?j?i?n?[(a?n?i)?(a?n?j)]?(?1)n(n?1)21?j?i?n?(i?j) 結(jié)論： 綜上所述，針對行列式結(jié)構(gòu)特點而采用與之相適應(yīng)的計算技巧，從而總結(jié)出了多種類型題目所適用的計算方法，因此，對于計算行列式的方法，我們首先要熟練掌握并懂得如何選擇、運用，不管是哪一種行列式的計算，選取恰當?shù)姆椒?，才能較快地解出其值。 參考文獻 ［1］李師正等.高等代數(shù)復(fù)習(xí)解題方法與技巧.高等教育出版社, 2005 ［2］張賢科 許甫華.高等代數(shù)學(xué).清華大學(xué)出版社, 2000 ［3］劉學(xué)鵬等.高等代數(shù)復(fù)習(xí)與研究.南海出版公司, 1995 ［4］許甫華 張賢科.高等代數(shù)解題方法.清華大學(xué)出版社, 2001 ［5］李永樂.研究生入學(xué)考試線性代數(shù).北京大學(xué)出版社, 2000 ［6］王萼芳 石生明.高等代數(shù)學(xué).高等教育出版社, 2003 ［7］呂林根.許子道.解析幾何.高等教育出版社 2006 ［8］賈冠軍.菏澤師專學(xué)報, Journal of Heze Teachers College, 1999年 02期 ［9］吳曉慶，關(guān)豐宇.行列式的相關(guān)性質(zhì)與應(yīng)用.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究 2011年第3期 [10] 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High low method p62 ? Inventory control level p123 ? Formal of EOQ p125 ? Formal of EBQ p127 ? Efficiency，capacity and production volume ratios p140 ? Remuneration method p141—p146 ? Apportioning general overheads p165 ? Calculation of overhead absorption rates p171 ? Over and under absorption of overheads p176(over=budget>actual under=budget and absorption costing p188-p189(important)? Reconciling profits p191 ? Process costing p199 ? Losses in process costing e.g.p200-p201 ?(FIFO P215-p217and Weighted average cost p220-p221)? Losses with scrap value e.g.p205-p207 ? Losses with a disposal cost e.g.p210(三個相對比)? Equivalent units e.g.p211-p212 ? Joint products in process accounts p230-p231 ? By products in process accounts(4ways)p233-p234 ? Batch costing p246-p247 ? Flexible budgets and budgetary controlp274-p276 ? Breakeven point p324 注意 ? EOQ=order quantity which min inventory costs(Important e.g.)? Absorption costing p160 ? Apportion service department cost p165 ? The reciprocal method of apportionment p167 ? The reciprocal（algebraic）method of apportionment p168 ? Blanket absorption rates and department absorption rates p174 ? Contribution and fixed cost ?(contribution>fixed cost ===profit)? Job costing e.g.p242-p244 ? The production budget and direct labor budget e.g.p268.p270第三篇：算法總結(jié)材料
第四篇：行列式算法歸納總結(jié)
第五篇：F2 算法總結(jié)
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