第一篇：淺析電磁彈性薄板振動(dòng)力學(xué)研究進(jìn)展論文

引言

電磁效應(yīng)是變形場(chǎng)同電磁場(chǎng)、溫度場(chǎng)在彈性固體內(nèi)外產(chǎn)生相互作用的一種效應(yīng)。在線性狀態(tài)的范圍內(nèi)，此效應(yīng)無(wú)論是對(duì)電介質(zhì)，還是對(duì)導(dǎo)電物體均具各式各樣的數(shù)學(xué)模型。最近幾年，把研究此效應(yīng)的新興學(xué)科稱為耦合場(chǎng)理論。其中，磁彈性理論將專門研究電磁場(chǎng)同變形場(chǎng)的耦合，即研究在彈性固態(tài)物體中電磁場(chǎng)同變形場(chǎng)的相互作用。這個(gè)理論基本是線彈性理論和在自由運(yùn)動(dòng)介質(zhì)中線性電動(dòng)力學(xué)理論的耦合。如果所研究的彈性體位于初始強(qiáng)大的磁場(chǎng)中，機(jī)械荷載、熱荷載在引起變形場(chǎng)的同時(shí)，將要產(chǎn)生電磁場(chǎng)。兩個(gè)場(chǎng)將發(fā)生相互作用和相互影響，出現(xiàn)耦合機(jī)制。電磁場(chǎng)對(duì)變形場(chǎng)的作用是由運(yùn)動(dòng)方程中的洛侖茲力引起。變形場(chǎng)會(huì)影響磁場(chǎng)的強(qiáng)度、磁彈性波和電磁波的傳播速度與位相，具體表現(xiàn)在歐姆定律中多了電流密度增長(zhǎng)項(xiàng)，而且該項(xiàng)取決于變形物體在磁場(chǎng)中的位移速度。

電磁結(jié)構(gòu)的磁彈性非線性問(wèn)題理論的廣泛研究對(duì)于處在高溫、高壓和強(qiáng)電磁場(chǎng)作用下的結(jié)構(gòu)元件的設(shè)計(jì)、制造及可靠性分析都具有非常重要的意義。當(dāng)電磁結(jié)構(gòu)處在外加電磁場(chǎng)環(huán)境中時(shí)，一方面電磁結(jié)構(gòu)受到電磁力作用而變形;另一方面結(jié)構(gòu)的變形又導(dǎo)致電磁場(chǎng)發(fā)生改變進(jìn)而使電磁力的分布發(fā)生變化。對(duì)于載流導(dǎo)電體，其電磁力為L(zhǎng)orentz 力;對(duì)于可極化或可磁化的電磁介質(zhì)材料，電磁力是通過(guò)電極化或磁化與外界電磁場(chǎng)相互作用而產(chǎn)生的。這種電磁場(chǎng)與力學(xué)場(chǎng)相互耦合的一個(gè)基本特征就是非線性，即使將電磁場(chǎng)與力學(xué)場(chǎng)分別處理為線性的，經(jīng)耦合后的電磁彈性力學(xué)邊值方程仍呈非線性，這無(wú)疑給磁彈性理論的力學(xué)行為的定量分析帶來(lái)難度，使它成為近代力學(xué)研究中的一個(gè)極富挑戰(zhàn)性的課題。薄板磁彈性振動(dòng)問(wèn)題的研究

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)電磁彈性振動(dòng)問(wèn)題已經(jīng)做了大量的研究，取得了很多成果。

Pan E 等研究了支持多層板的電磁彈性振動(dòng)解。C.L.Zhang 等研究了多鐵疊層板殼的電磁影響。Yang Gao 等總結(jié)了研究磁彈性板殼結(jié)構(gòu)的精細(xì)理論。A.Dorfmann 和R.W.Ogden 等學(xué)者對(duì)非線性磁彈性體的變形作了大量的研究工作，得到一些有益的結(jié)論。

胡宇達(dá)和白象忠以磁彈性基本假設(shè)為出發(fā)點(diǎn)，給出了傾斜磁場(chǎng)中無(wú)限長(zhǎng)條形薄板的磁彈性運(yùn)動(dòng)方程及電動(dòng)力學(xué)方程，并推得了兩長(zhǎng)邊簡(jiǎn)支薄板的磁彈性振動(dòng)特征方程式。算例表明，磁場(chǎng)因素的存在，將不同程度地影響著傳導(dǎo)薄板的振動(dòng)情況，從而可達(dá)到控制該磁場(chǎng)環(huán)境中薄板振動(dòng)的目的。

戴宏亮等給出了在橫向磁場(chǎng)作用下，各向異性厚壁圓筒磁彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的解析解。磁彈性運(yùn)動(dòng)平衡方程中考慮了慣性效應(yīng)和橫向磁場(chǎng)中的Lorentz 力的影響。利用相應(yīng)的有限Hankel 變換和Laplace 變換，求得在橫向磁場(chǎng)作用下，各向異性厚壁圓筒的動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)歷程及筒體內(nèi)磁場(chǎng)矢量擾動(dòng)響應(yīng)規(guī)律。

胡宇達(dá)由虛功原理給出了磁場(chǎng)中薄板的磁彈性耦合運(yùn)動(dòng)方程，采用多尺度法求出了橫向磁場(chǎng)中條形板非線性振動(dòng)的近似解，通過(guò)算例分析了磁場(chǎng)環(huán)境對(duì)振動(dòng)周期和幅值的影響。

茍興華和張發(fā)祥給出了多層彈性導(dǎo)電層合板在恒定磁場(chǎng)中的彎曲、穩(wěn)定和振動(dòng)的基本方程[11]。Амарцумян 等給出的均勻、各向同性、彈性導(dǎo)電扳的著名方程是此文的特殊情形。

Hasanyan 等研究了橫向磁場(chǎng)中幾何非線性、有限導(dǎo)電、各向同性彈性板帶的振動(dòng)行為。用基爾霍夫假設(shè)與馮卡門應(yīng)變概念來(lái)建立機(jī)械模型，而通過(guò)Ambartsumyan 等提出的假設(shè)建立電場(chǎng)和磁場(chǎng)干擾沿板帶的厚度方向分布模型。研究了磁場(chǎng)和電導(dǎo)率對(duì)板帶振動(dòng)的影響，并在弱磁場(chǎng)和高電導(dǎo)率兩個(gè)特殊情況下，通過(guò)多重尺度法求的了系統(tǒng)振動(dòng)的非線性固有頻率。最后，得出了一些有關(guān)的結(jié)論。

Hu YD 等研究了薄板受到機(jī)械載荷作用兩邊簡(jiǎn)支薄板的非線性主共振和組合共振及其解的穩(wěn)定性問(wèn)題。采用多尺度法和平均法進(jìn)行求解，得到了穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)下的幅頻響應(yīng)方程.最后，通過(guò)算例，給出了相應(yīng)的幅頻響應(yīng)曲線圖和時(shí)間歷程圖，分析了板厚、磁場(chǎng)及激勵(lì)幅值對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)的影響。薄板熱彈耦合振動(dòng)研究

熱彈耦合振動(dòng)是以熱彈耦合和振動(dòng)理論為基礎(chǔ)發(fā)展起來(lái)的一個(gè)新興的研究方向。熱效應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)的影響已經(jīng)成為科技和工程界日益關(guān)注的重大課題。溫度的改變經(jīng)常會(huì)導(dǎo)致工程構(gòu)件的破壞。國(guó)內(nèi)外學(xué)者在板的熱彈耦合振動(dòng)方面也作了大量的研究，并取得了許多成果。

李忠學(xué)和嚴(yán)宗達(dá)研究了周邊固支的矩形板上表面受均勻分布熱流沖擊的熱彈耦合問(wèn)題。首先利用算子法將熱傳導(dǎo)方程由三維降為二維，和二維的熱彈性運(yùn)動(dòng)方程相協(xié)調(diào)，然后利用雙重傅里葉級(jí)數(shù)和拉普拉斯變換的方法消去方程中對(duì)時(shí)間的微分相，最后利用正交奇異法求解方程。

蔣嘉俊和顧皓中研究了矩形板耦合熱沖擊問(wèn)題的攝動(dòng)解。通過(guò)對(duì)薄板耦合熱彎曲問(wèn)題的完備方程的無(wú)量綱化，引出了關(guān)于薄板的無(wú)量綱熱彈性耦合系數(shù)，并以此系數(shù)為攝動(dòng)參數(shù)，運(yùn)用奇異攝動(dòng)方法，導(dǎo)出了其攝動(dòng)方程，得到了關(guān)于矩形薄板耦合熱沖擊問(wèn)題的一致有效的漸近解。

吳曉在考慮溫度對(duì)傾斜矩形板材料彈性模量影響的基礎(chǔ)上，采用Galerkin 法、M elnikov-Holmes 及Melnikov 原理研究了傾斜矩形板在熱狀態(tài)下的振動(dòng)分岔，并討論分析了溫度、長(zhǎng)寬比、板厚、傾斜角對(duì)矩形板發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)區(qū)域的影響。

樹學(xué)鋒等人研究了圓板的非線性熱彈耦合振動(dòng)問(wèn)題，采用Galerkin 法進(jìn)行求解，他們認(rèn)為: 熱彈耦合效應(yīng)對(duì)非線性振動(dòng)的影響主要是引起振幅衰減，熱彈耦合效應(yīng)越大，振幅衰減的越快。當(dāng)圓板的初始撓度較小時(shí)，耦合效應(yīng)使板的振動(dòng)頻率加快，反之，則耦合效應(yīng)使板的振動(dòng)頻率減小。邊界條件對(duì)耦合效應(yīng)有較大的影響，較強(qiáng)的邊界條件使熱彈耦合自由振動(dòng)的頻率變低但振蕩幅度增大。尹益輝等利用有限Hankel 變換法，導(dǎo)出了周界等溫彈性支撐圓薄板在激光束輻照下的軸對(duì)稱耦合熱彈性彎曲振動(dòng)近似解;針對(duì)具有不同彈性模量和熱膨脹系數(shù)的薄板進(jìn)行了熱力耦合和非耦合彎曲振動(dòng)的解析和有限元計(jì)算與分析。

Yen-Liang Yeh 對(duì)大變形簡(jiǎn)支正交異性矩形薄板的熱彈耦合振動(dòng)作了研究。導(dǎo)出了大撓度正交異性矩形薄板的熱彈耦合振動(dòng)的偏微分方程并用遼金法簡(jiǎn)化為三階非線性常微分方程的。建模結(jié)果的數(shù)值模擬表明，簡(jiǎn)支正交異性矩形薄板振幅隨著正交異性材料各種參數(shù)衰變的。李世榮等研究了薄板在周期熱流作用下的溫度響應(yīng)。首先采用分離變量法，求解了以熱流矢量為基本未知量的熱傳導(dǎo)方程，得到了板內(nèi)熱流場(chǎng)分布，然后再利用能量守恒方程，獲得了板內(nèi)溫度響應(yīng)的解析表達(dá)式。

通過(guò)計(jì)算，分析了板內(nèi)溫度響應(yīng)隨不同熱流矢量延遲相以及邊界熱流頻率的變化趨勢(shì)，并與經(jīng)典的Fourier 熱傳導(dǎo)方程所得到的結(jié)果進(jìn)行了比較。

侯鵬飛等對(duì)表面熱力耦合均載作用下的簡(jiǎn)支圓板應(yīng)力作了研究。針對(duì)表面熱力耦合均載作用下的簡(jiǎn)支空心和實(shí)心圓板，構(gòu)造了3 個(gè)含有待定常數(shù)的單調(diào)和函數(shù)，將其代入用單調(diào)和函數(shù)表示的橫觀各向同性熱彈性材料的通解，獲得了表面熱力耦合均載作用下的簡(jiǎn)支空心圓板內(nèi)熱彈性場(chǎng)的解，再將所得解代入邊界條件獲得了確定待定常數(shù)和組合待定常數(shù)的線性方程組。經(jīng)過(guò)合理退化進(jìn)一步得到了實(shí)心圓板對(duì)應(yīng)問(wèn)題的解，所得各解都是用初等函數(shù)表示，非常方便工程應(yīng)用。算例給出了在熱力耦合載荷作用下的簡(jiǎn)支空心圓板內(nèi)熱彈性場(chǎng)的分布。

N.S.Al-Huniti 和M.A.Al-Nimr 采用雙曲熱傳導(dǎo)模式集中分析了加熱下的復(fù)合薄板的熱彈性響應(yīng)。P.Ram 等研究了具有調(diào)諧的弛豫時(shí)間下廣義熱彈性擴(kuò)散問(wèn)題的熱力響應(yīng)。板殼熱磁彈性理論研究

熱磁彈性理論是專門研究電磁場(chǎng)、溫度場(chǎng)同變形場(chǎng)的耦合效應(yīng)。熱磁彈性理論的產(chǎn)生，對(duì)于處在高溫、高壓和強(qiáng)電場(chǎng)作用下的結(jié)構(gòu)及結(jié)構(gòu)元件的強(qiáng)度與可靠性的分析具有非常重要的意義。對(duì)溫度場(chǎng)、電磁場(chǎng)與導(dǎo)體、變形物體間的相互作用問(wèn)題的研究才剛剛起步，與該理論相關(guān)的許多因素尚未考慮，其中大部分是在沒有考慮磁和電的極化特征的前提下進(jìn)行的。當(dāng)彈性物體材料具有磁極化特征時(shí)，場(chǎng)相互作用的機(jī)制將會(huì)顯著地復(fù)雜化。一些學(xué)者致力于磁彈性、熱磁彈性理論的實(shí)際應(yīng)用研究，同時(shí)在實(shí)驗(yàn)領(lǐng)域內(nèi)，開始對(duì)磁彈性、熱磁彈性力學(xué)效應(yīng)，以及對(duì)耦合場(chǎng)作用下的振型及其穩(wěn)定性進(jìn)行測(cè)試，提出了一些實(shí)際應(yīng)用的建議和設(shè)想。

戴宏亮和戴慶華研究了厚壁圓筒在熱、磁耦合作用下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。運(yùn)用力學(xué)和電磁場(chǎng)的知識(shí)對(duì)厚壁圓筒結(jié)構(gòu)建立平衡方程，并通過(guò)Laplace和Hankel 積分變化對(duì)物理方程進(jìn)行變換，得到一個(gè)可解的方程形式。提出了一種解析方法求解雜熱磁沖擊作用下厚壁圓筒的動(dòng)應(yīng)力和磁場(chǎng)矢量擾動(dòng)，得到柱體內(nèi)動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)歷程和分布規(guī)律及磁場(chǎng)矢量擾動(dòng)的響應(yīng)歷程和分布規(guī)律。實(shí)例計(jì)算表明，該方法是簡(jiǎn)單、有效，并給出了一些有實(shí)際意義的結(jié)果。

王省哲和鄭小靜利用鐵磁介質(zhì)的磁熱彈性廣義變分原理和模型，以及磁彈性線性化方法和攝動(dòng)技術(shù)，對(duì)鐵磁梁式薄板在磁場(chǎng)、溫度場(chǎng)共同作用下的多場(chǎng)耦合的力學(xué)行為進(jìn)行了研究，解析的分析了鐵磁梁式板的磁熱彈性屈曲失穩(wěn)，并給出了鐵磁梁式板隨外加磁場(chǎng)、溫度場(chǎng)變化下的多場(chǎng)耦合穩(wěn)定特征。

侯鵬飛等研究了耦合均載作用下的電磁熱彈性簡(jiǎn)支圓板。構(gòu)造了5 個(gè)含有待定常數(shù)的單調(diào)和函數(shù)，將其代入用單調(diào)和函數(shù)表示的橫觀各向同性電磁熱彈性材料的通解，獲得了表面力電磁熱耦合均載作用下的簡(jiǎn)支空心圓板內(nèi)耦合場(chǎng)的解，再將所得解代入邊界條件獲得確定待定常數(shù)的線性方程組。該解可以退化得到實(shí)心圓板對(duì)應(yīng)問(wèn)題的解。所得各解都是用初等函數(shù)表示，非常方便于工程應(yīng)用。算例比較了在相同熱力載荷作用下，具有相同物理常數(shù)的熱彈性空心圓板、壓電熱彈性空心圓板和電磁熱彈性空心圓板內(nèi)的彈性場(chǎng)。

何天虎和田曉耕基于Lord 和Shulman 廣義熱彈性理論，研究了熱、電可導(dǎo)的半無(wú)限大體電磁熱彈耦合的二維問(wèn)題。半無(wú)限大體受熱和外加恒定磁場(chǎng)的作用，文中建立了電磁熱彈性耦合的控制方程，零用正則模態(tài)法求解得到了所考慮物理量的解吸解，并用圖形反映了各物理量的分布規(guī)律，從分布圖上可以看出，介質(zhì)中出現(xiàn)了電磁熱彈耦合效應(yīng)，各物理量的非零值僅在一個(gè)有限的區(qū)域內(nèi)。

H.L.Dai 和X.Wang 等學(xué)者研究了磁場(chǎng)矢量在非均質(zhì)、正交異性熱彈性圓柱體和擾動(dòng)正交異性復(fù)合空心圓柱的磁熱應(yīng)力，以及在熱沖擊和激勵(lì)下壓電層合球殼應(yīng)力波的傳播。雖然這些研究在某種程度上還處于初級(jí)階段，但從目前研究的結(jié)果看，這對(duì)于改善殼體的工作狀態(tài)是非常有益的。彈性薄板混沌運(yùn)動(dòng)研究

混沌表示一類在確定性系統(tǒng)中發(fā)生的類隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，它不是由隨機(jī)性外因引起，而是由確定性方程直接得到的具有隨機(jī)性的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)?；煦邕\(yùn)動(dòng)是許多非線性系統(tǒng)的典型行為，在許多工程結(jié)構(gòu)中薄板薄殼就具有類似的工作特性。因此，對(duì)板殼的混沌運(yùn)動(dòng)特性研究具有重要的理論和實(shí)踐意思。國(guó)內(nèi)外學(xué)者在這方面都做了不少研究工作。J.Awrejcewicz 等研究了各種板、板帶在不同支撐和邊界條件以及載荷下的非線性振動(dòng)特性與分岔、混沌特性[30-31]。

Wei-Zhang 等用Galerkin 法從馮卡門方程導(dǎo)出一般方程，分析了在參數(shù)和外激勵(lì)力作用下的矩形薄板、2 自由度的條形板梁、懸臂梁以及非自治的屈曲薄板的局部和全局分岔。

葉建軍討論了具有均勻介質(zhì)的彈性矩形薄板在微擾下產(chǎn)生混沌運(yùn)動(dòng)的條件。徐耀寰和蔡宗熙用Melnikov-Holmes 方法研究四邊簡(jiǎn)支的彈性矩形薄板可能發(fā)生混沌振動(dòng)的臨界條件。米晉生等考慮材料的非線性粘彈性效應(yīng)，建立了板條的橫向動(dòng)力方程，利用Melnikov 函數(shù)法給出了系統(tǒng)發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)的臨界條件，最后對(duì)通向混沌的道路進(jìn)行了討論。

高原文等在磁體力分布的磁彈性理論模型和磁場(chǎng)準(zhǔn)靜態(tài)假定模式基礎(chǔ)上，對(duì)于處在周期時(shí)變磁場(chǎng)中的不可移簡(jiǎn)支鐵磁架式板非線性磁彈性動(dòng)力特性進(jìn)行定性與定量分析。首先利用磁場(chǎng)的攝動(dòng)技術(shù)和結(jié)構(gòu)變形的模態(tài)法，導(dǎo)出了關(guān)于模態(tài)坐標(biāo)的非線性動(dòng)力方程;然后利用Melnikov 方法，從理論上給出這一磁彈性動(dòng)力系統(tǒng)可能出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)的必要條件及參數(shù)范圍;最后利用變步長(zhǎng)Runlge-Kutta 數(shù)值積分方法對(duì)其磁彈性相互作用的混沌現(xiàn)象進(jìn)行了定量搜索與模擬，并利用其軌跡的Poincare 截面圖與Liapunov 指數(shù)加以判斷。結(jié)果表明，磁彈性簡(jiǎn)支粱式板在橫向周期時(shí)變磁場(chǎng)中存在混沌吸引子，且在機(jī)械阻尼很小時(shí)其混沌吸引子表現(xiàn)出稠的特性。

吳曉采用Melnikov 法及Galerkin 原理研究了屈曲黏彈性矩形板的非線性振動(dòng)分岔，并討論分析了長(zhǎng)寬比、板厚等因素對(duì)屈曲黏彈性矩形板發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)區(qū)域的影響。

Yeh YL 等對(duì)熱彈非耦合圓板和熱彈耦合矩形板的分岔與混沌作了研究。

王新志等推導(dǎo)出圓薄板的動(dòng)力變分方程，用Galerkin 法得到一個(gè)三次非線性振動(dòng)方程，用Flouquet指數(shù)和Melnikov 方法分別研究了圓板的分岔問(wèn)題和可能發(fā)生的混沌振動(dòng)。Hsin-Yi Lai 等利用分形維數(shù)和最大Lyapunov指數(shù)的判斷準(zhǔn)則，提出了一種新的方法來(lái)描述簡(jiǎn)支大撓度矩形板有可能導(dǎo)致混沌運(yùn)動(dòng)的條件首先推導(dǎo)得到簡(jiǎn)支矩形板控制偏微分方程，然后用Galerkin 方法將其簡(jiǎn)化為兩個(gè)常微分方程。

薛春霞和樹學(xué)鋒研究處于橫向均勻磁場(chǎng)中四邊簡(jiǎn)支的軟鐵磁矩形薄板，在橫向均布載荷作用下，主要考慮因磁化和渦電流引起的磁場(chǎng)力作用，由伽遼金法推導(dǎo)出磁彈性振動(dòng)微分方程，求得了系統(tǒng)的同宿軌道參數(shù)方程;并推導(dǎo)和求解了振動(dòng)系統(tǒng)的同宿軌道的Melnikov 函數(shù)，給出了判斷該系統(tǒng)發(fā)生Sma1e 馬蹄變換意義下混沌振動(dòng)的條件和混沌判據(jù)，進(jìn)一步應(yīng)用Matlab 程序?qū)ο到y(tǒng)的混沌特性進(jìn)行了數(shù)值模擬得到相應(yīng)的相圖、龐加萊截而圖和時(shí)程曲線圖，驗(yàn)證了混沌現(xiàn)象的存在。

Chin，C 和Nayfeh，A.H.研究了外激勵(lì)下圓柱彈性殼的分岔和混沌。P.Riberiro 和R.P.Duarte 研究了從周期向混沌振蕩的復(fù)合材料層合板。Xiaoling He 用解耦的模態(tài)分析法研究了受熱載作用下簡(jiǎn)支正交異性板薄的非線性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。

X.L.LENG 等對(duì)諧波激勵(lì)下隨機(jī)Duffing 系統(tǒng)的分岔和混沌進(jìn)行了分析。S.B.Samoylenko和W.K.Lee 研究了諧激勵(lì)下無(wú)阻尼圓板的全局分叉和混沌.燕山大學(xué)白象忠團(tuán)隊(duì)從2006 年起針對(duì)電磁彈性薄板在多場(chǎng)載荷作用下的分岔和混沌運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行了系列研究，取得了一些研究成果。結(jié)束語(yǔ)

本文回顧了電磁彈性薄板非線性振動(dòng)研究歷史，并重點(diǎn)介紹了國(guó)內(nèi)外薄板磁彈性振動(dòng)、熱彈耦合、熱磁彈性、分岔與混沌等方面的研究進(jìn)展，為薄板薄壁結(jié)構(gòu)在多物理場(chǎng)作用下性能優(yōu)化、提高工程結(jié)構(gòu)壽命提供了有益的理論指導(dǎo)。

第二篇：彈性力學(xué)論文

彈性力學(xué)論文

鋼2混凝土組合扁梁受力性能的有限

元分析

西安工業(yè)大學(xué) 建筑工程系 050705124 周博超

鋼2混凝土組合扁梁受力性能的有限元分析

周博超

摘要: 鋼2混凝土組合扁梁是將鋼梁內(nèi)嵌于混凝土之中的新型組合梁, 它能最大限度地降低結(jié)構(gòu)的高度, 形成類似“無(wú)梁樓蓋”的結(jié)構(gòu)體系, 已在住宅鋼結(jié)構(gòu)中推廣應(yīng)用, 其承載性能和設(shè)計(jì)方法研究引起了結(jié)構(gòu)工程界的關(guān)注.本文采用通用有限元程序AN SYS 研究了組合扁梁的承載力問(wèn)題, 通過(guò)建模計(jì)算了簡(jiǎn)支組合扁梁、懸臂組合扁梁和框架組合扁梁的承載力和變形特征, 得到了相應(yīng)的荷載2位移過(guò)程曲線, 并與組合扁梁的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了比較, 驗(yàn)證了計(jì)算結(jié)果的正確性.關(guān)鍵詞: 組合扁梁;極限承載力;有限元在多層鋼結(jié)構(gòu)建筑, 特別是住宅鋼結(jié)構(gòu)中, 鋼2 混凝土組合扁梁樓蓋已成為深受歡迎的樓蓋體系,實(shí)現(xiàn)了“無(wú)梁樓蓋”建筑效果.組合扁梁是一種新型結(jié)構(gòu)體系, 受力性能比較特殊, 目前尚無(wú)成熟的分析和設(shè)計(jì)方法, 本文采用有限元方法對(duì)這種新型組合梁的受力性能和破壞過(guò)程進(jìn)行了模擬, 并與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了比較, 得到了對(duì)設(shè)計(jì)和應(yīng)用組合扁梁具有重要參考意義的結(jié)論.1 組合扁梁結(jié)構(gòu)

普通鋼2混凝土組合梁充分利用了材料的特性, 混凝土樓板擱置在鋼梁的上翼緣, 通過(guò)栓釘將鋼梁和混凝土樓板連成整體而共同工作, 混凝土受壓, 鋼梁受拉, 如圖1.為了進(jìn)一步減小梁高, 組合扁梁將混凝土樓板放在了鋼梁的下翼緣, 看上去類似“無(wú)梁樓蓋”, 它充分考慮了樓蓋對(duì)梁剛度的加強(qiáng)作用, 如圖2.組合扁梁樓蓋可由鋼梁與預(yù)制混凝土空心樓板或深肋壓型鋼板樓板組成, 橫向鋼筋和鋼絲網(wǎng)是為了保證在扁梁達(dá)到強(qiáng)度極限狀態(tài)之前不發(fā)生混凝土板縱向剪切破壞, 剪力連接件保證混凝土板與鋼梁共同工作[ 1 ].圖1 普通組合梁

圖2 組合扁梁

與其它組合梁相比, 組合扁梁樓蓋的下表面平整, 一般不需要做吊頂, 便于房間的靈活布置及自由分隔, 同時(shí)降低了結(jié)構(gòu)高度, 提高了結(jié)構(gòu)的抗火能力.這種新型組合梁在工程上已開始應(yīng)用, 需要對(duì)其分析和設(shè)計(jì)方法進(jìn)行深入研究[ 223 ].2 有限元模型和計(jì)算參數(shù) 2.1 混凝土開裂的模擬

AN SYS 可以處理混凝土結(jié)構(gòu)的配筋、開裂和壓潰等復(fù)雜問(wèn)題, 本文分析主要用到AN SYS 提供的線單元和塊單元兩種類型: L IN K8, SOL ID45和SOL ID65.L IN K8 單元模擬鋼筋的受力情況;SOL ID45單元模擬鋼梁的受力情況;SOL ID65單元用于模擬混凝土模型.建模時(shí), 忽略鋼梁與混凝土之間的滑移, 鋼梁與混凝土之間連接采用共用節(jié)點(diǎn)以使其變形協(xié)調(diào).試驗(yàn)結(jié)果也表明對(duì)于組合扁梁,鋼與混凝土之間的滑移對(duì)其剛度和承載力影響很小, 可以忽略[ 4 ].混凝土的抗拉強(qiáng)度低, 在加載初期就要開裂,能否正確地模擬混凝土的開裂是計(jì)算結(jié)果是否準(zhǔn)確的關(guān)鍵.本文采用單元的“死活”概念來(lái)模擬混凝土的開裂, 其基本思想是如果混凝土開裂, 假設(shè)其對(duì)結(jié)構(gòu)的剛度和承載力的貢獻(xiàn)可以忽略, 在建模計(jì)算時(shí), 將這些單元“殺死”.由于事先不知道哪些單元應(yīng)該“殺死”, 所以結(jié)構(gòu)分析的有限元模型的單元是不確定的, 是動(dòng)態(tài)的, 隨其受力狀態(tài)而改變.在計(jì)算分析中, 根據(jù)AN SYS 計(jì)算出來(lái)的應(yīng)力和應(yīng)變, 把滿足開裂條件的單元“殺死”, 讓其退出工作, 然后按新的模型重新計(jì)算, 如此反復(fù)迭代, 直到相鄰兩次迭代結(jié)果相差在可接受的范圍內(nèi)即可停止計(jì)算.2.2 網(wǎng)格的劃分 本模型所有的實(shí)體單元均為8節(jié)點(diǎn)的長(zhǎng)方塊,便于分層, 這樣模擬混凝土開裂的效果比較自由網(wǎng)格的三角形單元要好的多, 也更接近混凝土開裂的實(shí)際情況, 采用“M erge”或“Glue”等命令把模型各部分連成空間的一個(gè)整體, 保證單元之間的位移協(xié)調(diào).2.3 邊界條件的處理

邊界條件一般有三種: 簡(jiǎn)支端、自由端和固支端.簡(jiǎn)支端約束邊界上節(jié)點(diǎn)所有的平動(dòng)自由度;固支端約束住邊界上節(jié)點(diǎn)所有的平動(dòng)自由度和轉(zhuǎn)動(dòng)自由度;對(duì)于自由端, 讓邊界截面上所有節(jié)點(diǎn)的變形滿足平截面假定, 采用約束方程實(shí)現(xiàn), 這樣符合實(shí)際情況.2.4 分析中應(yīng)注意的問(wèn)題

對(duì)于某個(gè)節(jié)點(diǎn), 與其連接的所有活單元被“殺死”后, 該節(jié)點(diǎn)變成一個(gè)漂移的節(jié)點(diǎn), 具有浮動(dòng)的自由度數(shù)值.在一些情況下, 需要約束住這些不被激活的自由度以減少求解方程的數(shù)目, 并防止出現(xiàn)位置錯(cuò)誤.但是, 在重新激活與其相連的單元時(shí)要根據(jù)情況刪除這些人為施加的約束.另外, 在查看結(jié)果時(shí), 盡管其對(duì)剛度矩陣的貢獻(xiàn)被忽略了, 但由于“殺死”的單元仍在模型中, 在單元顯示和其它的后處理操作之前, 需用選擇功能排除這些沒有被激活的單元以方便查詢處理.2.5 計(jì)算參數(shù)取值

本文采用上述有限元模型分析3個(gè)組合扁梁:簡(jiǎn)支梁BL 1, 框架梁BL 2和懸臂梁BL 3.三根梁的截面尺寸、配筋率、栓釘間距以及混凝土板做法完全相同, 其截面和加載方式見示意圖3～ 5, 鋼筋、鋼材和混凝土的強(qiáng)度指標(biāo)通過(guò)材料試驗(yàn)測(cè)得.圖3 組合扁梁截面示意圖

圖4 BL 1梁加載示意圖

鋼材各向同性, 采用目前非線性分析中常用的Von M ises 等向強(qiáng)化準(zhǔn)則, 本構(gòu)關(guān)系為雙直線模型, 實(shí)測(cè)彈性模量189 GPa, 塑性強(qiáng)化段切線模量750M Pa, 鋼材屈服強(qiáng)度為397.75M Pa;鋼筋取理想彈塑性模型, 初始彈性模量200 GPa, 混凝土的實(shí)測(cè)壓潰強(qiáng)度分別為37.7, 47.2和41.3M Pa[ 3 ].圖5 BL 2和BL 3梁加載示意圖 2.6 有限元模型

本文對(duì)上述3根組合扁梁建立了AN SYS 模型, 進(jìn)行了計(jì)算分析.組合扁梁沿高度方向共分17層, 鋼梁上下翼緣各分2層, 長(zhǎng)度方向每100 mm 分1段.截面的單元?jiǎng)澐忠妶D6.加載采用位移加載方式, 即在加載點(diǎn)施加足夠大的位移, 直到構(gòu)件完全破壞.計(jì)算過(guò)程中對(duì)所施加的外荷載和特征點(diǎn)撓度進(jìn)行跟蹤.圖6 截面網(wǎng)格劃分 有限元數(shù)值模擬結(jié)果及與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì) 比分析

為了驗(yàn)證有限元分析結(jié)果的正確性, 本文參考3個(gè)組合扁梁的試驗(yàn)研究數(shù)據(jù)[ 4 ] , 與有限元分析結(jié)果進(jìn)行了比較.3.1 扁梁BL1的分析結(jié)果

混凝土的抗拉強(qiáng)度很低, 簡(jiǎn)支組合扁梁全跨承受正彎矩, 在加載初期, 處于中和軸以下的混凝土要開裂, 退出工作, 在進(jìn)行有限元分析時(shí)是將這些不參與工作的混凝土單元“殺死”, 經(jīng)過(guò)反復(fù)迭代計(jì)算, 最后剩下只有參與工作的混凝土單元(圖7).圖7 扁梁BL 1開裂后剩余混凝土單元

1)簡(jiǎn)支組合扁梁跨中彎矩較大, 開裂的混凝土也較多, 跨中等彎矩段的開裂程度是一樣的, 隨著向支座處彎矩的降低, 開裂的混凝土逐漸減少,開裂后剩余的混凝土呈拱形, 沿__________著梁長(zhǎng)度方向中和軸是一條曲線, 而不是一條直線.2)荷載2撓度曲線是最重要的數(shù)據(jù), 常常是設(shè)計(jì)的依據(jù), 扁梁BL 1的荷載2撓度曲線見圖8, 為了便于比較, 同時(shí)給出了試驗(yàn)的荷載2撓度曲線[ 3 ].圖8 扁梁BL 1荷載2撓度曲線比較

3)從圖8可見, 整個(gè)加載過(guò)程, 有限元分析和試驗(yàn)曲線的結(jié)果吻合良好, 在彈性階段, 有限元分析剛度和試驗(yàn)所測(cè)的剛度也比較接近.這說(shuō)明對(duì)于簡(jiǎn)支組合扁梁, 在進(jìn)行有限元分析時(shí)忽略一些次要因素, 如鋼梁與混凝土板之間的滑移, 正彎矩區(qū)混凝土板中鋼筋的作用等, 而只考慮主要因素的影響, 如開裂的混凝土退出工作, 分析結(jié)果足夠精確.表1列出了有限元計(jì)算結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果的定量比較, 有限元分析的結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的誤差在6% 以內(nèi), 有限元分析方法是可靠的.表1 BL1有限元結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的比較

3.2 扁梁BL2的分析結(jié)果

兩端剛接梁在桿端負(fù)彎矩最大, 跨中正彎矩最大, 在整個(gè)梁跨度范圍內(nèi)彎矩發(fā)生變號(hào).在加載初期, 靠近支座處中和軸以上和跨中處中和軸以上的混凝土都要開裂, 退出工作.AN SYS 模擬的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象十分接近[ 4 ] , 多次迭代計(jì)算后剩下參與工作的混凝土, 見圖9, 從中可清楚的看到反彎點(diǎn)的位置, 但與簡(jiǎn)支梁一樣, 受單元數(shù)目的限制, 數(shù)值模擬結(jié)果在某些區(qū)段沒有完全反映出彎矩變化的影響, 使得沒有退出工作的混凝土單元在軸向沒有呈連續(xù)的曲線.扁梁BL 2的荷載2撓度曲線比較見圖 10.圖9 扁梁BL 2沒有退出工作的混凝土單元

圖10 扁梁BL 2荷載2撓度曲線比較 3.3 扁梁BL3的分析結(jié)果

懸臂梁由于單元較少, 共迭代計(jì)算5次, 最終剩余的混凝土單元見圖11, 荷載2撓度曲線見圖12.圖11 懸臂梁沒有退出工作的混凝土單元 圖12 扁梁BL 3荷載2撓度曲線比較 從扁梁BL 3的荷載2撓度曲線可以看出:

1)在加載初期, 試驗(yàn)實(shí)測(cè)剛度比有限元分析的結(jié)果要大, 這是由于混凝土在這時(shí)還沒有開裂,而有限元計(jì)算是按照最終該開裂的混凝土都完全開裂之后計(jì)算的剛度, 故偏小.2)在后期, 有限元計(jì)算剛度要比試驗(yàn)剛度大,這是由于在試驗(yàn)中, 焊在柱子翼緣板上的鋼筋能夠與鋼梁共同工作, 而焊在肋板上的鋼筋由于肋板剛度較小, 并沒有與鋼梁完全共同工作, 試驗(yàn)時(shí)也觀察到肋板發(fā)生了明顯的扭曲, 直接影響組合扁梁的加載后期的剛度值, 但對(duì)于扁梁的極限承載力幾乎沒有影響, 因?yàn)檫@時(shí)候扁梁的變形足夠大, 使肋板發(fā)生了明顯的扭曲, 負(fù)彎矩區(qū)的鋼筋仍然屈服了.3)在實(shí)際工程設(shè)計(jì)時(shí), 要想依靠負(fù)彎矩鋼筋來(lái)加強(qiáng)負(fù)彎矩區(qū)扁梁的剛度則須妥善處理好鋼筋與柱子之間的連接問(wèn)題, 否則是不安全的.另外, 圖11也表明并非所有的混凝土都退出工作, 靠近鋼梁下翼緣仍有一定量的混凝土參與工作.為了定量比較, 表2列出了有限元計(jì)算結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果, 有限元分析的結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的誤差在5% 以內(nèi).表2 BL3有限元結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的比較 主要結(jié)論

本文應(yīng)用有限元分析軟件AN SYS, 以3根不同形式的組合扁梁為對(duì)象, 對(duì)正負(fù)彎矩區(qū)組合扁梁的受力性能進(jìn)行了計(jì)算和模擬.分析結(jié)果表明:

1)有限元計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好, 表明數(shù)值模型和方法是正確有效的, 為深入研究組合扁梁的受力性能奠定了基礎(chǔ).2)正彎矩區(qū), 受拉區(qū)混凝土的開裂、構(gòu)件的幾何尺寸是影響組合扁梁受力的主要因素, 忽略鋼梁與混凝土板之間的滑移及混凝土板中的鋼筋作用,分析結(jié)果誤差很小.3)負(fù)彎矩區(qū), 混凝土板中鋼筋對(duì)組合扁梁的彈性剛度和極限承載力有著明顯的影響, 鋼筋與柱子之間良好的連接是保證其共同作用的關(guān)鍵.而中和軸以下混凝土對(duì)組合扁梁受力也有相當(dāng)?shù)挠绊?實(shí)際工程設(shè)計(jì)時(shí)忽略它是偏于安全的.參考文獻(xiàn): [ 1 ] M ullett D L.Slim floor design and construction [M ].The Steel Construction Institute, 1997.[2 ] 陳 全, 石永久, 王元清, 等.帶組合扁梁多層輕型鋼框架結(jié)構(gòu)體系分析[J ].建筑結(jié)構(gòu), 2002, 32(2): 17220.Chen Q , Sh i Y J , W ang Y Q , et al.Structura lanalysis on ligh t steel frame w ith steel2concrete composite slim beam [J ].Building Structures, 2002,32(2): 17220.[ 3 ] 陳 全.組合扁梁受力性能分析[D ].北京: 清華大學(xué) 土木工程系, 2002.[ 4 ] Chen Q , Sh i Y J , W ang Y Q , et al.Loading capacity of steel2concrete composite slim beam [ J ].P roc.Of 7th International Symposium on Structural Engineering for Young Experts, 2002, 1(2): 9252929.

第三篇：彈性力學(xué)學(xué)習(xí)心得

彈性力學(xué)學(xué)習(xí)心得

經(jīng)過(guò)一個(gè)學(xué)期的彈性力學(xué)學(xué)習(xí)，說(shuō)實(shí)話，學(xué)起來(lái)還真的比較的抽象，有很多知識(shí)理解起來(lái)不是很清楚，比如一些公式的推導(dǎo)以及解題方法。不過(guò)經(jīng)過(guò)彈性力學(xué)的學(xué)習(xí)，還是了解到了一些相關(guān)的基本理論和一些解題思想。

彈性力學(xué)，是固體力學(xué)的一個(gè)分支，研究彈性體由于受外力作用、邊界約束或溫度改變等原因而發(fā)生的應(yīng)力、形變和位移。彈性力學(xué)的研究對(duì)象是完全彈性體，彈性體是變形體的一種，在外力作用下物體變形，當(dāng)外力不超過(guò)某一限度時(shí)，出去外力后，除去外力后物體即恢復(fù)原狀。

根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)，忽略一些很小的次要因素，對(duì)物體的材料性質(zhì)采用了一些基本假定，即彈性力學(xué)的基本假定，主要有連續(xù)性、完全彈性、均勻性、各向同性，符合以上假定的物體，就稱為理想彈性體；此外，假定位移和形變是微小的。

在物體的任意一點(diǎn)，應(yīng)力分量?x，?y，?z，?yz，?zx，?xy，這六個(gè)應(yīng)力分量就可以完全確定該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)；形變分量?x，?y，?z，?yz，?zx，?xy，這六個(gè)應(yīng)變分量就可以完全確定該點(diǎn)的形變狀態(tài)。物體任意一點(diǎn)的位移，用它在x、y、z三軸上的投影表示。

研究討論的平面應(yīng)力彈性體的形狀為等厚度均勻薄板，厚度方向的尺寸小于其他兩個(gè)方向的尺寸。在解決彈性力學(xué)平面問(wèn)題時(shí)，需要建立基本方程：平衡方程—應(yīng)力與外力之間的關(guān)系；幾何方程—位移與應(yīng)變之間的關(guān)系；物理方程—應(yīng)變與應(yīng)力之間的關(guān)系。以及邊界條件的建立，邊界條件表示在邊界上位移與約束，或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式。位移分量已知的邊界，建立位移邊界；給定了面力分量，建立應(yīng)力邊界條件。圣維南原理，面力的改變，就只會(huì)使近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力改變，而遠(yuǎn)處的應(yīng)力改變可以忽略不計(jì)。

在解決平面問(wèn)題時(shí)，按位移求解平面以及在問(wèn)題或按應(yīng)力求解平面問(wèn)題。以及在直角坐標(biāo)和及極坐標(biāo)中建立基本方程和求解方法。彈性力學(xué)的學(xué)習(xí)中，對(duì)應(yīng)變、應(yīng)力等量的意義有了更深的了解，以及對(duì)量的表示方式有所了解；不過(guò)還是有很多問(wèn)題和疑惑，需要去思考。最后，感謝老師一學(xué)期以來(lái)的教誨！

第四篇：彈性力學(xué)題庫(kù)

彈性力學(xué)題庫(kù)

第一章

緒論

1、所謂“完全彈性體”是指（B）。

A、材料應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系滿足虎克定律

B、材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系與加載時(shí)間、歷史無(wú)關(guān)

C、本構(gòu)關(guān)系為非線性彈性關(guān)系

D、應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系滿足線性彈性關(guān)系

2、關(guān)于彈性力學(xué)的正確認(rèn)識(shí)是（A）。

A、計(jì)算力學(xué)在工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的作用日益重要

B、彈性力學(xué)從微分單元體入手分析彈性體,因此與材料力學(xué)不同,不需要對(duì)問(wèn)題作假設(shè)

C、任何彈性變形材料都是彈性力學(xué)的研究對(duì)象

D、彈性力學(xué)理論像材料力學(xué)一樣，可以沒有困難的應(yīng)用于工程結(jié)構(gòu)分析

3、下列對(duì)象不屬于彈性力學(xué)研究對(duì)象的是（D）。

A、桿件

B、板殼

C、塊體

D、質(zhì)點(diǎn)

4、彈性力學(xué)研究物體在外力

作用下，處于彈性階段的應(yīng)力、應(yīng)變

和

位移。

5、彈性力學(xué)可以解決材料力學(xué)無(wú)法解決的很多問(wèn)題；并對(duì)桿狀結(jié)果進(jìn)行精確分析，以及驗(yàn)算材力結(jié)果的適用范圍和精度。與材料力學(xué)相比彈性力學(xué)的特點(diǎn)有哪些？

答：1）研究對(duì)象更為普遍；

2）研究方法更為嚴(yán)密；

3）計(jì)算結(jié)果更為精確；

4）應(yīng)用范圍更為廣泛。

6、材料力學(xué)研究桿件，不能分析板殼；彈性力學(xué)研究板殼，不能分析桿件。（×）

改：彈性力學(xué)不僅研究板殼、塊體問(wèn)題，并對(duì)桿件進(jìn)行精確的分析，以及檢驗(yàn)材料力學(xué)公式的適用范圍和精度。

7、彈性力學(xué)對(duì)桿件分析（C）。

A、無(wú)法分析

B、得出近似的結(jié)果

C、得出精確的結(jié)果

D、需采用一些關(guān)于變形的近似假定

8、圖示彈性構(gòu)件的應(yīng)力和位移分析要用什么分析方法？（C）

A、材料力學(xué)

B、結(jié)構(gòu)力學(xué)

C、彈性力學(xué)

D、塑性力學(xué)

解答：該構(gòu)件為變截面桿，并且具有空洞和鍵槽。

9、彈性力學(xué)與材料力學(xué)的主要不同之處在于（B）。

A、任務(wù)

B、研究對(duì)象

C、研究方法

D、基本假設(shè)

10、重力、慣性力、電磁力都是體力。（√）

11、下列外力不屬于體力的是（D）

A、重力

B、磁力

C、慣性力

D、靜水壓力

12、體力作用于物體內(nèi)部的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)上，所以它屬于內(nèi)力。（×）

解答：外力。它是質(zhì)量力。

13、在彈性力學(xué)和材料力學(xué)里關(guān)于應(yīng)力的正負(fù)規(guī)定是一樣的。（×）

解答：兩者正應(yīng)力的規(guī)定相同，剪應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定不同。

14、圖示單元體右側(cè)面上的剪應(yīng)力應(yīng)該表示為（D）

A、B、C、D、15、按彈性力學(xué)規(guī)定，下圖所示單元體上的剪應(yīng)力（C）。

A、均為正

B、為正,為負(fù)

C、均為負(fù)

D、為正，為負(fù)

16、按材料力學(xué)規(guī)定，上圖所示單元體上的剪應(yīng)力（D）。

A、均為正

B、為正,為負(fù)

C、均為負(fù)

D、為正，為負(fù)

17、試分析A點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。

答：雙向受壓狀態(tài)

18、上右圖示單元體剪應(yīng)變?chǔ)脩?yīng)該表示為（B）

A、B、C、D、19、將兩塊不同材料的金屬板焊在一起，便成為一塊（D）。

A、連續(xù)均勻的板

B、不連續(xù)也不均勻的板

C、不連續(xù)但均勻的板

D、連續(xù)但不均勻的板

20、下列材料中，（D）屬于各向同性材料。

A、竹材

B、纖維增強(qiáng)復(fù)合材料

C、玻璃鋼

D、瀝青

21、下列那種材料可視為各向同性材料（C）。

A、木材

B、竹材

C、混凝土

D、夾層板

22、物體的均勻性假定,是指物體內(nèi)

各點(diǎn)的彈性常數(shù)相同。

23、物體是各向同性的,是指物體內(nèi)

某點(diǎn)沿各個(gè)不同方向的彈性常數(shù)相同。

24、格林（1838）應(yīng)用能量守恒定律，指出各向異性體只有

個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)。

25、如圖所示受軸向拉伸的變截面桿，若采用材料力學(xué)的方法計(jì)算其應(yīng)力，所得結(jié)果是否總能滿足桿段平衡和微元體平衡?

27、解答彈性力學(xué)問(wèn)題，必須從

靜力學(xué)、幾何學(xué)

和

物理學(xué)

三方面來(lái)考慮。

28、對(duì)棱邊平行于坐標(biāo)軸的正平行六面體單元，外法線與坐標(biāo)軸正方向

一致的面稱為正面，與坐標(biāo)軸

相反的面稱為負(fù)面，負(fù)面上的應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸

負(fù)

方向?yàn)檎?/p>

29、彈性力學(xué)基本方程包括

平衡微分

方程、幾何

方程和

物理

方程，分別反映了物體

體力分量

和

應(yīng)力分量，形變分量

和

位移分量，應(yīng)力分量

和

形變分量

之間的關(guān)系。

30、彈性力學(xué)研究彈性體由于受外力作用、邊界約束或溫度改變等原因而發(fā)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位移。但是

并不直接

作強(qiáng)度和剛度分析。

31、彈性力學(xué)可分為數(shù)學(xué)彈性力學(xué)和實(shí)用彈性力學(xué)兩個(gè)部分。前者只用精確的數(shù)學(xué)推演而不引用任何關(guān)于應(yīng)變狀態(tài)或應(yīng)力分布的假定

；在實(shí)用彈性力學(xué)里，和材料力學(xué)類同，也引用一些關(guān)于應(yīng)變或應(yīng)力分布的假設(shè)，以便簡(jiǎn)化繁復(fù)的數(shù)學(xué)推演，得出具有相當(dāng)實(shí)用價(jià)值

近似解。

32、彈性力學(xué)的研究對(duì)象是

完全彈性體。

33、所謂“應(yīng)力狀態(tài)”是指（B）。

A.斜截面應(yīng)力矢量與橫截面應(yīng)力矢量不同

B.一點(diǎn)不同截面的應(yīng)力隨著截面方位變化而改變

C.3個(gè)主應(yīng)力作用平面相互垂直

D.不同截面的應(yīng)力不同，因此應(yīng)力矢量是不可確定的34、切應(yīng)力互等定理根據(jù)條件（B）成立。

A.純剪切

B.任意應(yīng)力狀態(tài)

C.三向應(yīng)力狀態(tài)

D.平面應(yīng)力狀態(tài)

35、在直角坐標(biāo)系中，已知物體內(nèi)某點(diǎn)的應(yīng)力分量為：

；試：畫出該點(diǎn)的應(yīng)力單元體。

解：該點(diǎn)的應(yīng)力單元體如下圖（強(qiáng)調(diào)指出方向）；

36、試舉例說(shuō)明正的應(yīng)力對(duì)應(yīng)于正的應(yīng)變。

解答：如梁受拉伸時(shí)，其形狀發(fā)生改變，正的應(yīng)力（拉應(yīng)力）對(duì)應(yīng)正的應(yīng)變。

37、理想彈性體的四個(gè)假設(shè)條件是什么？

解答：完全彈性的假設(shè)、連續(xù)性的假設(shè)、均勻性的假設(shè)、各向同性的假設(shè)。凡是滿足以上四個(gè)假設(shè)條件的稱為理想彈性體。

38、和是否是同一個(gè)量？和是否是同一個(gè)量？

解答：不是，是。

39、第二章

平面問(wèn)題的基本理論

1、如圖所示的三種情況是否都屬于平面問(wèn)題？如果是平面問(wèn)題，是平面應(yīng)力問(wèn)題還是平面應(yīng)變問(wèn)題？

答：平面應(yīng)力問(wèn)題、平面應(yīng)變問(wèn)題、非平面問(wèn)題

2、當(dāng)問(wèn)題可當(dāng)作平面應(yīng)力問(wèn)題來(lái)處理時(shí)，總有。（√）

解答：平面應(yīng)力問(wèn)題，總有

3、當(dāng)物體可當(dāng)作平面應(yīng)變問(wèn)題來(lái)處理時(shí)，總有。（√）

解答：平面應(yīng)變問(wèn)題，總有

4、圖示圓截面柱體<<，問(wèn)題屬于平面應(yīng)變問(wèn)題。（×）

解答：平面應(yīng)變問(wèn)題所受外力應(yīng)該沿柱體長(zhǎng)度方向不變。

5、圖示圓截面截頭錐體<<，問(wèn)題屬于平面應(yīng)變問(wèn)題。（×）

解答：對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，物體應(yīng)為等截面柱體。

6、嚴(yán)格地說(shuō)，一般情況下，任何彈性力學(xué)問(wèn)題都是空間問(wèn)題，但是，當(dāng)彈性體具有某些特殊的形狀，且受有某種特殊的外力時(shí)，空間問(wèn)題可簡(jiǎn)化為平面問(wèn)題。

7、平面應(yīng)力問(wèn)題的幾何形狀特征是

等厚度薄板（物體在一個(gè)方向的幾何尺寸遠(yuǎn)小于其他兩個(gè)方向的幾何尺寸）。

8、平面應(yīng)變問(wèn)題的幾何形狀特征是很長(zhǎng)的等截面柱體。

9、下列各圖所示結(jié)構(gòu)應(yīng)力分析問(wèn)題屬于什么問(wèn)題？

答：平面應(yīng)力、平面應(yīng)變、平面應(yīng)變

10、柱下獨(dú)立基礎(chǔ)的地基屬于

問(wèn)題，條形基礎(chǔ)下的地基屬于

問(wèn)題。

答：半空間半平面、平面應(yīng)變

11、高壓管屬于

平面應(yīng)變

問(wèn)題；雨蓬屬于

板

問(wèn)題。

12、平面應(yīng)變問(wèn)題的應(yīng)力、應(yīng)變和位移與那個(gè)（些）坐標(biāo)無(wú)關(guān)（縱向?yàn)檩S方向）（C）。

A、B、C、D、13、平面應(yīng)力問(wèn)題的外力特征是（A）。

A只作用在板邊且平行于板中面

B垂直作用在板面

C平行中面作用在板邊和板面上

D作用在板面且平行于板中面

14、在平面應(yīng)力問(wèn)題中（取中面作平面）則（C）。

A、，B、，C、，D、，15、在平面應(yīng)變問(wèn)題中（取縱向作軸）（D）。

A、，B、，C、，D、，16、下列問(wèn)題可簡(jiǎn)化為平面應(yīng)變問(wèn)題的是（B）。

A、墻梁

B、高壓管道

C、樓板

D、高速旋轉(zhuǎn)的薄圓盤

17、下列關(guān)于平面問(wèn)題所受外力特點(diǎn)的描述錯(cuò)誤的是（D）。

A、體力分量與坐標(biāo)無(wú)關(guān)

B、面力分量與坐標(biāo)無(wú)關(guān)

C、，都是零

D、，都是非零常數(shù)

18、在平面應(yīng)變問(wèn)題中，如何計(jì)算？（C）

A、不需要計(jì)算

B、由直接求

C、由求

D、解答：平面應(yīng)變問(wèn)題的，所以

19、平面應(yīng)變問(wèn)題的微元體處于（C）。

A、單向應(yīng)力狀態(tài)

B、雙向應(yīng)力狀態(tài)

C、三向應(yīng)力狀態(tài)，且是一主應(yīng)力

D、純剪切應(yīng)力狀態(tài)

解答：因?yàn)槌艘酝?，所以單元體處于三向應(yīng)力狀態(tài)；另外作用面上的剪應(yīng)力，所以是一主應(yīng)力

20、對(duì)于兩類平面問(wèn)題，從物體內(nèi)取出的單元體的受力情況

有（平面應(yīng)變問(wèn)題的單元體上有）

差別，所建立的平衡微分方程

無(wú)

差別。

21、平面問(wèn)題的平衡微分方程表述的是（A）之間的關(guān)系。

A、應(yīng)力與體力

B、應(yīng)力與面力

C、應(yīng)力與應(yīng)變

D、應(yīng)力與位移

22、設(shè)有平面應(yīng)力狀態(tài)，，其中均為常數(shù)，為容重。該應(yīng)力狀態(tài)滿足平衡微分方程，其體力是（D）。

A、，B、，C、，D、，解答：代入平衡微分方程直接求解得到

23、如圖所示，懸臂梁上部受線性分布荷載，梁的厚度為1，不計(jì)體力。試?yán)貌牧狭W(xué)知識(shí)寫出，表達(dá)式；并利用平面問(wèn)題的平衡微分方程導(dǎo)出，表達(dá)式。

分析：該問(wèn)題屬于平面應(yīng)力問(wèn)題；在材料力學(xué)中用到了縱向纖維互不擠壓假定，即無(wú)存在，可以看出上邊界存在直接荷載作用，則會(huì)有應(yīng)力存在，所以材料所得結(jié)果是不精確的；在平衡微分方程二式中都含有，聯(lián)系著第一、二式；材料力學(xué)和彈性力學(xué)中均認(rèn)為正應(yīng)力主要由彎矩引起。

解：橫截面彎矩：，橫截面正應(yīng)力

代入平衡微分方程的第一式得：（注意未知量是的函數(shù)），由得出，可見

將代入平衡微分方程的第二式得：，24、某一平面問(wèn)題的應(yīng)力分量表達(dá)式：，，體力不計(jì)，試求，的值。

解答：兩類平面問(wèn)題的平衡微分方程是一樣的，且所給應(yīng)力分量是實(shí)體的應(yīng)力，它對(duì)實(shí)體內(nèi)任意一點(diǎn)均是成立的。將所給應(yīng)力分量代入平衡微分方程中：

代入第一式：，即：，，代入第二式：，即：，，設(shè)物體內(nèi)的應(yīng)力場(chǎng)為，，試求系數(shù)。

解：由應(yīng)力平衡方程的：

即：

（1）

（2）

有（1）可知：因?yàn)榕c為任意實(shí)數(shù)且為平方，要使（1）為零，必須使其系數(shù)項(xiàng)為零，因此，（3）

（4）

聯(lián)立（2）、（3）和（4）式得：

即：

25、畫出兩類平面問(wèn)題的微元體受力情況圖。

26、已知位移分量函數(shù)，為常數(shù)，由它們所求得形變分量不一定能滿足相容方程。（×）

解答：由連續(xù)可導(dǎo)的位移分量按幾何方程求得的形變分量也一定能滿足相容方程。因?yàn)閹缀畏匠毯拖嗳莘匠淌堑葍r(jià)的。

27、形變狀態(tài)是不可能存在的。（×）

解答：所給形變分量能滿足相容方程，所以該形變分量是可能存在的。

28、在為常數(shù)的直線上，如，則沿該線必有。（√）

29、若取形變分量，（為常數(shù)），試判斷形變的存在性？

解：利用得出，不滿足相容方程，由幾何方程第一式，積分得出，由第二式積分得，將，代入第三式，相互矛盾。

30、平面連續(xù)彈性體能否存在下列形變分量，？

解：代入相容方程有：，相互矛盾。

31、應(yīng)力主面上切應(yīng)力為零，但作用面上正應(yīng)力一般不為零，而是。

32、試證明在發(fā)生最大與最小切應(yīng)力的面上，正應(yīng)力一般不為零，而是。

證明：

33、應(yīng)力不變量說(shuō)明（D）。

A.應(yīng)力狀態(tài)特征方程的根是不確定的B.一點(diǎn)的應(yīng)力分量不變

C.主應(yīng)力的方向不變

D.應(yīng)力隨著截面方位改變，但是應(yīng)力狀態(tài)不變

34、關(guān)于應(yīng)力狀態(tài)分析，（D）是正確的。

A.應(yīng)力狀態(tài)特征方程的根是確定的，因此任意截面的應(yīng)力分量相同

B.應(yīng)力不變量表示主應(yīng)力不變

C.主應(yīng)力的大小是可以確定的，但是方向不是確定的D.應(yīng)力分量隨著截面方位改變而變化，但是應(yīng)力狀態(tài)是不變的35、應(yīng)力狀態(tài)分析是建立在靜力學(xué)基礎(chǔ)上的，這是因?yàn)椋―）。

A.沒有考慮面力邊界條件

B.沒有討論多連域的變形

C.沒有涉及材料本構(gòu)關(guān)系

D.沒有考慮材料的變形對(duì)于應(yīng)力狀態(tài)的影響

36、下列關(guān)于幾何方程的敘述，沒有錯(cuò)誤的是（C）。

A.由于幾何方程是由位移導(dǎo)數(shù)組成的，因此，位移的導(dǎo)數(shù)描述了物體的變形位移

B.幾何方程建立了位移與變形的關(guān)系，因此，通過(guò)幾何方程可以確定一點(diǎn)的位移

C.幾何方程建立了位移與變形的關(guān)系，因此，通過(guò)幾何方程可以確定一點(diǎn)的應(yīng)變分量

D.幾何方程是一點(diǎn)位移與應(yīng)變分量之間的唯一關(guān)系

37、下列關(guān)于“剛體轉(zhuǎn)動(dòng)”的描述，認(rèn)識(shí)正確的是（A）。

A.剛性轉(zhuǎn)動(dòng)描述了微分單元體的方位變化，與變形位移一起構(gòu)成彈性體的變形

B.剛性轉(zhuǎn)動(dòng)分量描述的是一點(diǎn)的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)位移，因此與彈性體的變形無(wú)關(guān)

C.剛性轉(zhuǎn)動(dòng)位移也是位移的導(dǎo)數(shù)，因此它描述了一點(diǎn)的變形

D.剛性轉(zhuǎn)動(dòng)分量可以確定彈性體的剛體位移。

38、已知位移分量可以完全確定應(yīng)變分量，反之，已知應(yīng)變分量（滿足相容方程）不能完全確定位移分量。

39、對(duì)兩種平面問(wèn)題，它們的幾何方程是相同的，物理方程是不相同的。

40、已知圖示平板中的應(yīng)力分量為：。試確定OA邊界上的方向面力和AC邊界上的方向面力，并在圖上畫出，要求標(biāo)注方向。

解：1、OA邊界上的方向面力：，在處，=，正值表示方向和坐標(biāo)軸正向一致，且成三次拋物線分布，最大值為。

2、AC邊界上的方向面力：，在處，==，負(fù)值表示方向和坐標(biāo)軸正向相反，成直線分布，最小值為0，最大值為。

41、微分體繞軸的平均轉(zhuǎn)動(dòng)分量是。

42、已知下列應(yīng)變狀態(tài)是物體變形時(shí)產(chǎn)生的，試求各系數(shù)之間應(yīng)滿足的關(guān)系。

解：為了變形連續(xù)，所給應(yīng)變分量必須滿足相容方程，將其代入到式相容方程中得出，上式應(yīng)對(duì)任意的均成立，所以有：，由此可得到各系數(shù)之間應(yīng)滿足的關(guān)系是。系數(shù)可取任意值，同時(shí)也說(shuō)明了常應(yīng)變不論取何值，實(shí)體變形后都是連續(xù)的。

設(shè)，其中為常數(shù)，試問(wèn)該應(yīng)變場(chǎng)在什么情況下成立？

解：對(duì)求的2次偏導(dǎo)，即：，即：時(shí)上述應(yīng)變場(chǎng)成立。

已知平面應(yīng)變狀態(tài)下，變形體某點(diǎn)的位移函數(shù)為：，試求該點(diǎn)的應(yīng)變分量。

解：，43、當(dāng)應(yīng)變?yōu)槌Ａ繒r(shí)，即，試求對(duì)應(yīng)的位移分量。

某理想塑性材料在平面應(yīng)力狀態(tài)下的各應(yīng)力分量為，，（應(yīng)力單位為），若該應(yīng)力狀態(tài)足以產(chǎn)生屈服，試問(wèn)該材料的屈服應(yīng)力是多少？

注利用密席斯屈服準(zhǔn)則直接求材料的屈服應(yīng)力：

解：由由密席斯屈服準(zhǔn)則得該材料的屈服應(yīng)力為：

44、試由下述應(yīng)變狀態(tài)確定各系數(shù)與物體體力之間的關(guān)系。，分析：該問(wèn)題為平面應(yīng)變問(wèn)題，因?yàn)槠矫鎽?yīng)變問(wèn)題總有；所給應(yīng)變存在的可能性，即應(yīng)變分量必須滿足相容方程，才是物體可能存在的；因?yàn)橐笄蟪鲶w力，體力只是和平衡微分方程有關(guān)，需要先求出應(yīng)力分量，而應(yīng)力分量可通過(guò)應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系即物理方程求出，由應(yīng)變求出應(yīng)力，注意兩類問(wèn)題的物理方程不一樣，需要應(yīng)用平面應(yīng)變問(wèn)題的物理方程。

解：（1）檢驗(yàn)該應(yīng)變狀態(tài)是否滿足相容方程，因?yàn)椋?，即，滿足。

（2）將應(yīng)變分量代入到平面應(yīng)變問(wèn)題的物理方程式（2-23）中求出應(yīng)力分量：

（3）將上述應(yīng)力分量代入到平衡微分方程式（2-2）中，可得到各系數(shù)與物體體力之間的關(guān)系：

（4）討論：若無(wú)體力（），則由上式可得，根據(jù)它對(duì)物體內(nèi)的任意一點(diǎn)均成立，又可得

結(jié)論：若體力不為零，各系數(shù)與物體體力之間的關(guān)系即是（3）的結(jié)果；若體力為零，則是（4）的結(jié)果；是任意值。

已知彈性實(shí)體中某點(diǎn)在和方向的正應(yīng)力分量為，而沿方向的應(yīng)變完全被限制住。試求該點(diǎn)的、和。（，）

解：代入物理方程中：

代入：，，得出：，45、如果在平面應(yīng)力問(wèn)題的物理方程式中，將彈性模量換為，泊松比換為，就得到平面應(yīng)變問(wèn)題的物理方程式。

46、列出應(yīng)力邊界條件時(shí)，運(yùn)用圣維南原理是為了

簡(jiǎn)化

應(yīng)力的邊界條件。

47、設(shè)有周邊為任意形狀的薄板，其表面自由并與坐標(biāo)面平行。若已知各點(diǎn)的位移分量為，則板內(nèi)的應(yīng)力分量為。

48、已知某物體處在平面應(yīng)力狀態(tài)下，其表面上某點(diǎn)作用著面力為該點(diǎn)附近的物體內(nèi)部有則：，0。

49、有一平面應(yīng)力狀態(tài)，其應(yīng)力分量為：及一主應(yīng)力，則另一主應(yīng)力等于

4.92Mpa。

50、設(shè)某一平面應(yīng)變問(wèn)題的彈性體發(fā)生了如下的位移：，式中（）均為常數(shù)。試證明：各形變分量在實(shí)體內(nèi)為常量。

證明：利用幾何方程，對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題有（常數(shù)），（常數(shù)），（常數(shù)），（常數(shù)）

50、在發(fā)生最大與最小切應(yīng)力的面上，正應(yīng)力一般不為零，而是。

51、微分體繞軸的平均轉(zhuǎn)動(dòng)分量是。

52、下左圖示結(jié)構(gòu)腹板和翼緣厚度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于截面的高度和寬度，產(chǎn)生的效應(yīng)具有局部性的力和力矩是（P2=M/h）（D）。

A、P1一對(duì)力

B、P2一對(duì)力

C、P3一對(duì)力

D、P4一對(duì)力構(gòu)成的力系和P2一對(duì)力與M組成的力系

53、下左圖中所示密度為的矩形截面柱，應(yīng)力分量為：對(duì)圖（）和圖（）兩種情況由邊界條件確定的常數(shù)A及B的關(guān)系是（C）。

A、A相同，B也相同

B、A不相同，B也不相同

C、A相同，B不相同

D、A不相同，B相同

下圖中所示密度為的矩形截面柱，應(yīng)力分量為：對(duì)圖（）和圖（）兩種情況由邊界條件確定的常數(shù)A及B的關(guān)系是（B）。

A、A相同，B也相同

B、A不相同，B也不相同

C、A相同，B不相同

D、A不相同，B相同

54、設(shè)有平面應(yīng)力狀態(tài)，其中，均為常數(shù)，為容重。該應(yīng)力狀態(tài)滿足平衡微分方程，其體力是（D）

A、B、C、D、55、某彈性體應(yīng)力分量為：（不計(jì)體力），系數(shù)。

56、已知一平面應(yīng)變問(wèn)題內(nèi)某一點(diǎn)的正應(yīng)力分量為：，則

18MPa。

57、將平面應(yīng)力問(wèn)題下的物理方程中的分別換成和就可得到平面應(yīng)變問(wèn)題下相應(yīng)的物理方程。

58、平面應(yīng)變問(wèn)題的微元體處于（C）。

A、單向應(yīng)力狀態(tài)

B、雙向應(yīng)力狀態(tài)

C、三向應(yīng)力狀態(tài)，且是一主應(yīng)力

D、純剪切應(yīng)力狀態(tài)

59、如圖所示為矩形截面水壩，其右側(cè)受靜水壓力，頂部受集中力作用。試寫出水壩的應(yīng)力邊界條件（下邊界不寫）。

解：應(yīng)力邊界條件公式為：。

1）左右邊界為主要邊界，利用面力邊值條件：

左面（）：，則：

右面（）：，則：

2）上端面（）為小邊界應(yīng)用靜力等效：，60、應(yīng)變狀態(tài)是不可能存在的。（×）

改：所給應(yīng)變分量滿足相容方程，所以該應(yīng)變狀態(tài)是可能存在的。

61、圖示工字形截面梁，在平衡力偶系的作用下，只在右端局部區(qū)域產(chǎn)生應(yīng)力。（×）

改：對(duì)于一些薄壁桿件和薄殼等物體在應(yīng)用圣維南原理時(shí)，必須滿足下述必要條件，即力系作用區(qū)域的尺寸與該區(qū)域物體的最小尺寸相當(dāng)。在本例中，力系作用區(qū)域的尺寸（是工字形截面高和寬）遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于該區(qū)域物體的最小尺寸（腹板和翼緣的厚度）。

62、彈性力學(xué)平面問(wèn)題有

個(gè)基本方程，分別是

2個(gè)平衡微分方程、3個(gè)幾何方程、3個(gè)物理方程。

63、對(duì)于體力為常數(shù)的單連域的應(yīng)力邊界問(wèn)題，求解

應(yīng)力

不需要區(qū)分兩類平面問(wèn)題；求解

位移

需要區(qū)分兩類平面問(wèn)題。

64、平面問(wèn)題如圖所示，已知位移分量為：。若已知變形前點(diǎn)坐標(biāo)為（1.5，1.0），變形后移至（1.503，1.001），試確定點(diǎn)的應(yīng)變分量。

答：；

點(diǎn)的應(yīng)變分量：。（3分）

65、試寫出如圖所示的位移邊界條件。

（1）圖（）為梁的固定端處截面變形前后情況，豎向線不轉(zhuǎn)動(dòng)；

（2）圖（）為梁的固定端處截面變形前后情況，水平線不轉(zhuǎn)動(dòng)；

（3）圖（）為薄板放在絕對(duì)光滑的剛性基礎(chǔ)上。

答：（1）圖（），；

（2）圖（），；

（3）圖（）邊界位移邊界條件為：，66、判斷下述平面問(wèn)題的命題是否正確？

（1）若實(shí)體內(nèi)一點(diǎn)的位移均為零，則該點(diǎn)必有應(yīng)變；

（2）在為常數(shù)的直線上，如，則沿該線必有；

（3）在為常數(shù)的直線上，如，則沿該線必有；

（4）滿足平衡微分方程又滿足應(yīng)力邊界條件的應(yīng)力必為準(zhǔn)確的應(yīng)力分布（設(shè)問(wèn)題的邊界條件全部為應(yīng)力邊界條件）。

答：（1）錯(cuò)；（2）錯(cuò)；（3）對(duì)；（4）錯(cuò)

第三章

平面問(wèn)題直角坐標(biāo)系下的解答

1、物體變形連續(xù)的充分和必要條件是幾何方程（或應(yīng)變相容方程）。（×）

改：（一）：物體（當(dāng)是單連體時(shí)）；

改：（二）：對(duì)于多連體，還有位移單值條件。

2、對(duì)于應(yīng)力邊界問(wèn)題，滿足平衡微分方程和應(yīng)力邊界的應(yīng)力，必為正確的應(yīng)力分布。（×）

改：應(yīng)力還要滿足相容方程，對(duì)于多連體，還要看它是否滿足位移單值條件。

3、在體力是常數(shù)的情況下，應(yīng)力解答將與彈性常數(shù)無(wú)關(guān)。（×）

改：如果彈性體是多連體或有位移邊界，需要通過(guò)虎克定理由應(yīng)力求出應(yīng)變，再對(duì)幾何方程積分求出位移，將其代入位移邊界和位移單值條件，并由此確定待定常數(shù)時(shí)，將與彈性常數(shù)有關(guān)。

4、對(duì)于多連體變形連續(xù)的充分和必要條件是相容方程和位移單值條件。

5、對(duì)于多連體，彈性力學(xué)基本方程的定解條件除了邊界條件外，還有位移單值條件。

6、對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題，如果應(yīng)力分量滿足了平衡微分方程，相容方程及應(yīng)力邊界條件，則在單連體情況下，應(yīng)力分量即可完全確定。

7、對(duì)于體力為常數(shù)的單連域的應(yīng)力邊界問(wèn)題，求解應(yīng)力不需要區(qū)分兩類平面問(wèn)題；求解位移需要區(qū)分兩類平面問(wèn)題。

7、在體力不是常量的情況下，引入了應(yīng)力函數(shù)，平衡微分方程可以自動(dòng)滿足。（×）

改：在常體力情況下，————

8、在常體力下，引入了應(yīng)力函數(shù)，平衡微分方程可以自動(dòng)滿足。（√）

9、在不計(jì)體力或體力為常數(shù)

情況下，平面問(wèn)題最后歸結(jié)為在滿足邊界條件的前提下求解四階偏微分方程。

10、在常體力情況下，用應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程等價(jià)于（D）。

A、平衡微分方程

B、幾何方程

C、物理關(guān)系

D、平衡微分方程、幾何方程和物理關(guān)系

解答：用應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程是彈性力學(xué)平面問(wèn)題基本方程的綜合表達(dá)式。它包含了幾何方程和物理方程，在常體力情況下，應(yīng)力函數(shù)又恒能滿足平衡微分方程。

11、用應(yīng)力分量表示的相容方程等價(jià)于（B）。

A、平衡微分方程

B、幾何方程和物理方程

C、用應(yīng)變分量表示的相容方程

D、平衡微分方程、幾何方程和物理方程

12、用應(yīng)變分量表示的相容方程等價(jià)于（B）。

A、平衡微分方程

B、幾何方程

C、物理方程

D、幾何方程和物理方程

10、圖示物體不為單連域的是（C）。

11、對(duì)下圖所示偏心受拉薄板來(lái)說(shuō)，彈性力學(xué)和材料力學(xué)得到的應(yīng)力解答是相同的。（√）

12、某一應(yīng)力函數(shù)所能解決的問(wèn)題與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)。（）

改：三次及三次以上的應(yīng)力函數(shù)所能解答的問(wèn)題與坐標(biāo)系的選取有關(guān)。

12、三次或三次以下的多項(xiàng)式總能滿足相容方程。（√）

答：相容方程中的每一項(xiàng)都是四階導(dǎo)數(shù)。

13、函數(shù)如作為應(yīng)力函數(shù)，各系數(shù)之間的關(guān)系是（B）。

A、各系數(shù)可取任意值

B、C、D、14、對(duì)于承受均布荷載的簡(jiǎn)支梁來(lái)說(shuō)，彈性力學(xué)解答與材料力學(xué)解答的關(guān)系是（C）。

A、的表達(dá)式相同

B、的表達(dá)式相同

C、的表達(dá)式相同

D、都滿足平截面假定

解答：的表達(dá)式中多出一項(xiàng)修正項(xiàng)，沿截面高度不再按線性規(guī)律分布，這說(shuō)明平截面假定也不再成立。

15、圖示承受均布荷載作用的簡(jiǎn)支梁，材料力學(xué)解答（D）：。

A、滿足平衡微分方程

B、滿足應(yīng)力邊界條件

C、滿足相容方程???????????????????????????????????D、不是彈性力學(xué)精確解

解答：該簡(jiǎn)支梁的材料力學(xué)解答不滿足彈性力學(xué)的基本方程和邊界條件，所以不能作為彈性力學(xué)解答。

15、應(yīng)力函數(shù)，不論取何值總能滿足相容方程。（√）

16、應(yīng)力函數(shù)，不論取何值總能滿足相容方程。（）

改：系數(shù)應(yīng)滿足一定的關(guān)系才能滿足相容方程。

17、對(duì)于純彎曲的細(xì)長(zhǎng)的梁，由材料力學(xué)得到的撓曲線是它的精確解。（√）

解：對(duì)于純彎曲的細(xì)長(zhǎng)的梁，材力和彈力得到的撓曲線方程是一樣的。

18、彈性力學(xué)分析結(jié)果表明，材料力學(xué)中的平截面假定，對(duì)純彎曲的梁來(lái)說(shuō)是正確的。

19、應(yīng)力函數(shù)必須是（C）。

A、多項(xiàng)式函數(shù)

B、三角函數(shù)

C、重調(diào)和函數(shù)

D、二元函數(shù)

20、彈性力學(xué)分析結(jié)果表明，材料力學(xué)中的平截面假定，對(duì)承受均布荷載的簡(jiǎn)支梁來(lái)說(shuō)是不正確的。

21、函數(shù)能作為應(yīng)力函數(shù)，與的關(guān)系是（A）。

A、與可取任意值

B、=

C、=-

D、=

22、不論是什么形式的函數(shù)，由關(guān)系式所確定的應(yīng)力分量在不計(jì)體力的情況下總能滿足（A）。

A、平衡微分方程

B、幾何方程

C、物理關(guān)系

D、相容方程

解答：關(guān)系式就是平衡微分方程的齊次解

23、對(duì)承受端荷載的懸臂梁來(lái)說(shuō)，彈性力學(xué)和材料力學(xué)得到的應(yīng)力解答是相同的。（√）

解答：端部切向面力必須按拋物線規(guī)律分布于端部，否則得到的是圣維南近似解。24、20、如果體力雖不是常數(shù)，卻是有勢(shì)的力，即體力可表示為：

10、試驗(yàn)證應(yīng)力分量，是否為圖示平面問(wèn)題的解答（假定不考慮體力）。

解答：1）將應(yīng)力分量代入平衡微分方程，得0+0=0，得，故不滿足平衡微分方程

2）將應(yīng)力分量代入相容方程：，或?qū)懗桑剩簼M足相容方程

3）將應(yīng)力分量代入邊界條件：

主要邊界如下：

在邊界上：，即0=0，滿足；

在邊界上：，即0=0，滿足；

在邊界上：，將題所給表達(dá)式代入滿足；

在邊界上：，將題所給表達(dá)式代入滿足；

（在及次要邊界上，采用圣維南原理等效，不要求學(xué)生寫出）

4）結(jié)論：所給應(yīng)力分量不是圖所示平面問(wèn)題的解答。

11、圖所示楔形體，處形拋物線，下端無(wú)限伸長(zhǎng)，厚度為1，材料的密度為。試證明：，為其自重應(yīng)力的正確解答。

證明：該問(wèn)題為平面應(yīng)力問(wèn)題，體力為常量，正確的應(yīng)力解答要同時(shí)滿足相容方程、平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件。

1）考察是否滿足相容方程：將應(yīng)力分量代入到相容方程中，代入滿足；

2）考察是否滿足平衡微分方程：

代入第一式：，即0+0+0=0，滿足；

代入第二式：，即，滿足；

3）考察邊界條件：,，，代入第一式：，即

（）；

代入第二式：，即

（）；

曲線的斜率為，而，則，將其連同應(yīng)力分量代入到（）中，滿足；同理代入到（）中，也滿足，因此滿足邊界條件。

故是正確解答。

17、方向（垂直于板面）很長(zhǎng)的直角六面體，上邊界受均勻壓力作用，底部放置在絕對(duì)剛性與光滑的基礎(chǔ)上，如圖所示。不計(jì)自重，且

>>。試選取適當(dāng)?shù)膽?yīng)力函數(shù)解此問(wèn)題，求出相應(yīng)的應(yīng)力分量。

解答：1、確定應(yīng)力函數(shù)

分析截面內(nèi)力：，故選取

積分得：，代入相容方程，有：，要使對(duì)任意的x、y

成立，有，積分，得：。

2、計(jì)算應(yīng)力分量，3、由邊界條件確定常數(shù)

左右邊界（）：；；

上邊界（）：

4、應(yīng)力解答為：

18、已知如圖所示懸掛板，在O點(diǎn)固定，若板的厚度為1，材料的相對(duì)密度為，試求該板在重力作用下的應(yīng)力分量。

解答：1、確定應(yīng)力函數(shù)

分析截面內(nèi)力：，故選取

積分得：，代入相容方程，有：，要使對(duì)任意的x、y

成立，有，積分，得：。

2、計(jì)算應(yīng)力分量（含待定常數(shù)，體力不為0），3、由邊界條件確定常數(shù)

左右邊界（）：，自然滿足；；，下邊界（）：

4、應(yīng)力解答為：，20、試檢驗(yàn)函數(shù)是否可作為應(yīng)力函數(shù)。若能，試求應(yīng)力分量（不計(jì)體力），并在圖所示薄板上畫出面力分布。

解答：檢驗(yàn)函數(shù)：因?yàn)榇胂嗳莘匠?，滿足相容方程，因此該函數(shù)可作為應(yīng)力函數(shù)。

應(yīng)力分量：由應(yīng)力函數(shù)所表示的應(yīng)力分量表達(dá)式求得應(yīng)力分量為：

板邊面力：根據(jù)應(yīng)力邊界條件公式，求出對(duì)應(yīng)的邊界面力。

上邊界：得出

下邊界：得出

左邊界：得出

右邊界：得出

面力分布如圖所示：

如圖所示，設(shè)有任意形狀的等厚度薄板，體力可以不計(jì)，在全部邊界上（包括孔口邊界上）受有均布?jí)毫Γ囎C明：，就是該問(wèn)題的正確解答。

1、對(duì)于軸對(duì)稱問(wèn)題，其單元體的環(huán)向平衡條件恒能滿足（√）。

解答：在軸對(duì)稱問(wèn)題時(shí)，不存在剪力，正應(yīng)力與無(wú)關(guān)。

2、軸對(duì)稱圓板（單連域），若將坐標(biāo)原點(diǎn)取在圓心，則應(yīng)力公式中的系數(shù)不一定為零。（×）。

解答：如存在，當(dāng)=0時(shí)，則必產(chǎn)生無(wú)限大有應(yīng)力，這當(dāng)然是不合理的。

3、厚壁圓環(huán)（多連體），位移計(jì)算公式中的系數(shù)一定為零。（√）

解答：如存在B，便使同一點(diǎn)產(chǎn)生多值位移，這當(dāng)然是不合理的。

4、在軸對(duì)稱問(wèn)題中，應(yīng)力分量和位移分量一般都與極角無(wú)關(guān)。（×）

解答：在軸對(duì)稱問(wèn)題中，應(yīng)力與無(wú)關(guān)。但一般情況下，位移分量與有關(guān)。

5、位移軸對(duì)稱時(shí)，其對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量一定也是軸對(duì)稱的；反之，應(yīng)力軸對(duì)稱時(shí)，其對(duì)應(yīng)的位移分量一定也是軸對(duì)稱的。（×）

解答：應(yīng)力軸對(duì)稱時(shí)，應(yīng)力分量與無(wú)關(guān)，位移分量通常與有關(guān)。當(dāng)物體的約束也為軸對(duì)稱時(shí)，位移分量也與無(wú)關(guān)，此時(shí)為位移軸對(duì)稱情況。

6、曲梁純彎曲時(shí)應(yīng)力是軸對(duì)稱的，位移并非軸對(duì)稱。（√）

解答：各截面受有相同的彎矩，因此，各截面應(yīng)力分布相同，與無(wú)關(guān)，但各截面的轉(zhuǎn)角與有關(guān)。

7、軸對(duì)稱問(wèn)題的平衡微分方程有

個(gè)。

8、位移表達(dá)式中的常數(shù)I,K,H

不影響

應(yīng)力；I,K

表示物體的剛體平移；H

表示物體的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)

；它們由物體的位移約束條件

確定。

9、只有當(dāng)物體的形狀、約束、荷載軸對(duì)稱

時(shí)，位移分量才是軸對(duì)稱的。

10、平面曲梁純彎曲時(shí)

產(chǎn)生

橫向的擠壓應(yīng)力，平面直梁純彎曲時(shí)則

不產(chǎn)生

橫向的擠壓應(yīng)力。

11、圓環(huán)僅受均布外壓力作用時(shí)，環(huán)向最大壓應(yīng)力出現(xiàn)在內(nèi)周邊處。

12、圓環(huán)僅受均布內(nèi)壓力作用時(shí)，環(huán)向最大拉應(yīng)力出現(xiàn)在內(nèi)周邊處。

13、對(duì)于承受內(nèi)壓很高的筒體，采用組合圓筒，可以降低

環(huán)向應(yīng)力的峰值。

14、圓弧曲梁純彎時(shí)，（C）

A、應(yīng)力分量和位移分量都是軸對(duì)稱

B、位移分量是軸對(duì)稱，應(yīng)力分量不是軸對(duì)稱

C、應(yīng)力分量是軸對(duì)稱，位移分量不是軸對(duì)稱

D、應(yīng)力分量和位移分量都不是軸對(duì)稱

15、圓弧曲梁純彎時(shí)，（C）

A、橫截面上有正應(yīng)力和剪應(yīng)力

B、橫截面上只有正應(yīng)力且縱向纖維互不擠壓

C、橫截面上只有正應(yīng)力且縱向纖維互相擠壓

D、橫截面上有正應(yīng)力和剪應(yīng)力，且縱向纖維互相擠壓

16、如果必須在彈性體上挖孔，那么孔的形狀應(yīng)盡可能采用（C）。

A、正方形

B、菱形

C、圓形

D、橢圓形

17、孔邊應(yīng)力集中是由于受力面減小了一些，而應(yīng)力有所增大。（×）

改：孔邊應(yīng)力集中是由于孔附近的應(yīng)力狀態(tài)和位移狀態(tài)完全改觀所引起的。

18、設(shè)受力彈性體具有小孔，則孔邊應(yīng)力將遠(yuǎn)大于

無(wú)孔時(shí)的應(yīng)力，也將遠(yuǎn)大于

距孔較遠(yuǎn)

處的應(yīng)力。

19、孔邊應(yīng)力集中的程度與孔的形狀

有關(guān)，與孔的大小

幾乎無(wú)關(guān)。

20、孔邊應(yīng)力集中的程度越高，集中現(xiàn)象的范圍越

?。ň植浚?。

21、如圖所示板的小圓孔處，若用厚度和大小相同的板緊密焊上，使孔邊位移一致。當(dāng)所補(bǔ)材料與開孔板相同時(shí)，在開孔板的孔邊b處有=

；當(dāng)所補(bǔ)材料的彈性模量小于開孔板的彈性模量時(shí)，在開孔板的孔邊b處有應(yīng)該

介于實(shí)心與開孔之間

；當(dāng)所補(bǔ)材料的彈性模量稍大于開孔板的彈性模量時(shí)，在開孔板的孔邊b處有。

22、上圖示開孔薄板中的最大應(yīng)力應(yīng)該是（B）。

A、點(diǎn)的B、點(diǎn)的C、點(diǎn)的D、點(diǎn)的23、上圖示開孔薄板的厚度為t，寬度為h，孔的半徑為r，則b點(diǎn)的（D）。

A、q

B、qh/(h-2r)

C、2q

D、3q

第五篇：彈性力學(xué)總結(jié)

彈性力學(xué)關(guān)于應(yīng)力變分法問(wèn)題

一、起源及發(fā)展

1687年，Newton在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中提出第一個(gè)變分問(wèn)題——定軸轉(zhuǎn)動(dòng)阻力最小的旋轉(zhuǎn)曲面形狀問(wèn)題； 1696年，Bernoulli提出了著名的最速降線問(wèn)題；到18世紀(jì)，經(jīng)過(guò)Euler，Lagrange等人的努力，逐漸形成變分法。古典變分法的基本內(nèi)容是確定泛函的極值和極值點(diǎn)，它為許多數(shù)學(xué)、物理、科技、工程問(wèn)題提供了強(qiáng)有力地?cái)?shù)學(xué)工具。現(xiàn)代理論證明，微分方程（組）中的變分法是把微分方程（組）化歸為其對(duì)應(yīng)泛函的臨界點(diǎn)（即化為變分問(wèn)題），以證明其解的存在性及解的個(gè)數(shù)。討論對(duì)應(yīng)泛函臨界點(diǎn)的存在性及其個(gè)數(shù)的基本方法是Morse理論與極小極大理論（Minimax Theory）。變分法有著深刻的物理背景，某種意義上，自然界一切物質(zhì)運(yùn)動(dòng)均可以用某種形式的數(shù)理方程表示，一般數(shù)理方程又與一定的泛函相對(duì)應(yīng)，所以一切物質(zhì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律都遵從“變分原理”。

由于彈性力學(xué)變分解法，實(shí)質(zhì)上就是數(shù)學(xué)中的變分法應(yīng)用于解彈性力學(xué)問(wèn)題，雖然在討論的近似解法中使用變分計(jì)算均甚簡(jiǎn)單（類似微分），但“變分”的概念卻極為重要，它關(guān)系到我們隊(duì)一系列力學(xué)變分原理中“虛”的概念的建立與理解。以下，就應(yīng)力變分法進(jìn)行討論。

二、定義及應(yīng)用

（1）、應(yīng)力變分方程

設(shè)有任一彈性體，在外力的作用下處于平衡。命?ij為實(shí)際存在的應(yīng)變分量，它們滿足平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件，也滿足相容方程，其相應(yīng)的位移還滿足位移邊界條件?，F(xiàn)在，假想體力和應(yīng)變邊界條件上給定的面力不變而應(yīng)力分量發(fā)生了微小的改變??ij，即所謂虛應(yīng)力或應(yīng)力的變分，使應(yīng)力分量成為?ij???ij

假定他們只滿足平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件。

既然兩組應(yīng)力分量都滿足同樣體力和面力作用下的平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件，應(yīng)力分量的變化必然滿足無(wú)體力時(shí)的平衡微分方程。即

??????x???xy???zx?0,??x?y?z??

（a）?????y???yz???xy?0,??y?z?x???????z???zx???yz?0。??z?x?y?在位移給定的邊界上，應(yīng)力分量的變分必然伴隨著面力分量的變分?fx、?fy、?f。z

根據(jù)應(yīng)力邊界條件的要求，應(yīng)力分量的變分在邊界上必須滿足

l??x?m???xy?n??zx??m??y?n???l????f,yzxyy?

（b）

?n??z?l???m????。fzxyzz??x?f,?則應(yīng)變余能的變分應(yīng)為

?VC?????vcdxdydz????(?vc??x???x??vc???yz)dxdydz。

?v?vc?v??x，c??y，c??z

??x??z??y?vc?v?v??yz，c??zx，c??xy

??zx??yz??xy將上式代入，得

?VC????(?x??x?再將幾何方程代入，得

??yz??yz?)dxdydz。

?w?v?(?)??yz??y?z?u?VC????[??x??x]dxdydz。

根據(jù)分部積分和奧—高公式，對(duì)上式右邊進(jìn)行處理：

????u???xdxdydz???lu??xdS????u(??x)dxdydz, ?x?x最后可得

?Vc???[u(l?x?m??xy?n??zx)?]dS????[u(?????x???xy???zx)??x?y?z]dxdydz。

再將（a）、（b）代入，即得

?Vc=??(u?f?yf?w?z)f。d

S

x?v這就是所謂應(yīng)力變分方程，有的文獻(xiàn)把它叫做卡斯蒂利亞諾變分方程。最小余能原理：

?Vc???(u?fx?v?fy?w?fz)dS?0。

上式也可以改寫為：

?[Vc???(ufx?vfy?wfz)dS]?0。

（2）、應(yīng)力變分法

由推到出的應(yīng)力變分方程，使其滿足平衡方程和應(yīng)力邊界條件，但其中包含若干待定系數(shù)，然后根據(jù)應(yīng)力變分方程解決這些系數(shù)，應(yīng)力分量一般可設(shè)為：

?ij???ij?0??Am??ij?mm

（c）

其中Am是互不依賴的m個(gè)系數(shù)，??ij?0 是滿足平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件的設(shè)定函數(shù)，??ij?m是滿足“沒有體力和面力作用時(shí)的平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件”的設(shè)定函數(shù)。這樣，不論系數(shù)A m如何取值，??ij?0總能滿足平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件。

注意：應(yīng)力的變分只是由系數(shù)Am的變分來(lái)實(shí)現(xiàn)。

如果在彈性體的每一部分邊界上，不是面力被給定，便是位移等于零，則應(yīng)力變分方程 得?vc?0，即： ?Vc?0

（d）?Am

應(yīng)變余能Vc是Am的二次函數(shù)，因而方程（d）將是Am的一次方程。這樣的方程共有m個(gè)，恰好可以用來(lái)求解系數(shù)，Am從而由表達(dá)式（c）求得應(yīng)力分

量。

如果在某一部分邊界上，位移是給定的，但并不等于零，則在這一部分邊界上須直接應(yīng)用變分方程（11-18），即

?Vc???(u?fx?v?fy?w?fz)dS。在這里，u、v、w是已知的，積分只包括該部分邊界，面力的變分與應(yīng)力的變分兩者之間的關(guān)系即：

?fx?l??x?m??xy?n??zx,????fy?m??y?n??yz?l??xy,???fz?n??z?l??xz?m??yz。??

帶入方程的右邊積分后，將得出如下的結(jié)果：

??(u?fx?v?fy?w?fz)dS??Bm?Am。m

其中Bm是常數(shù)，另一方面，我們有：

?U*?Vc=??Am。m?Am 因而得：

?Vc?Bm。(m?1,2,)?Am

這將仍然是Am的一次方程而且總共有m個(gè)，仍然可以用來(lái)求解系數(shù)Am，從而由表達(dá)式（c）求得應(yīng)力。

（3）、應(yīng)力函數(shù)方法

由于應(yīng)力分量的數(shù)量有點(diǎn)多，確定起來(lái)較為困難，通常用應(yīng)力函數(shù)方法。在平面應(yīng)力問(wèn)題中，如果體力分量為常數(shù)，則存在應(yīng)力函數(shù)。將應(yīng)力函數(shù)設(shè)為：

???0??A?mmm,其中Am為互不依賴的m個(gè)系數(shù)。這樣就只需使?0給出的應(yīng)力分量滿足實(shí)

際的應(yīng)力邊界條件，并使?m給出的應(yīng)力分量滿足無(wú)面力時(shí)的應(yīng)力邊界條件。

在平面應(yīng)力問(wèn)題中，有?z??yz??zx?0，而且?x、?y、?xy不隨坐標(biāo)z而變。在z方向取一個(gè)單位厚度，則用應(yīng)力分量表示的應(yīng)變余能表達(dá)式為

Vc?1??[?x2??y2?2??x?y?2(1??)?xy2]dxdy。

2E1+?2??[(1??)(?x2??y2)?2??x?y?2?xy]dxdy。

2E對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，Vc?如果所考慮的彈性體是單連體，體力為常量，應(yīng)力分量?x、?y、?xy應(yīng)當(dāng)與可以取?=0，于是平面應(yīng)力情況下的表達(dá)式和平面應(yīng)力情況下的表達(dá)?無(wú)關(guān)，式都簡(jiǎn)化為

Vc?1??(?x2??y2?2?xy2)dxdy。2E即得用應(yīng)力函數(shù)表示應(yīng)變余能的表達(dá)式

1?2??2??2?22Vc???[(2?fxx)?(2?fyy)?2()]dxdy。2E?y?x?x?y在應(yīng)力邊界問(wèn)題中，因?yàn)槊媪Σ荒苡凶兎郑?Vc?0。應(yīng)為應(yīng)力分量以及應(yīng)變余能的變分是通過(guò)系數(shù)Am的變分來(lái)實(shí)現(xiàn)的，所以上式歸結(jié)為

?Vc?0 ?Am將將應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式代入，即得

22?2???2????????[(2?fxx)()?(?fyy)()??y?Am?y2?x2?Am?x2

?2???2?2()]dxdy?0,?x?y?Am?x?y(m?1,2,)

可以用來(lái)決定系數(shù)Am，從而確定應(yīng)力函數(shù)?，再由應(yīng)力函數(shù)?求得應(yīng)力分量。

由于是近似解，應(yīng)力分量不能精確滿足相容條件，由應(yīng)力分量求得的應(yīng)變分量也不能精確滿足變形協(xié)調(diào)條件，不能根據(jù)幾何方程求得位移分量。

應(yīng)力函數(shù)法的要點(diǎn)是要找到滿足全部邊界條件的應(yīng)力函數(shù)，二這種函數(shù)一般任然難以找到，尤其在邊界不規(guī)整的情況下。所以應(yīng)力方法的應(yīng)用在這一點(diǎn)上受到極大的限制。

（4）、典型例題：

例1：設(shè)有寬度為2a，高度為b的矩形薄板，左右兩邊和下邊被固定約束，上邊的位移被給定為u?0應(yīng)力分量。

解：取坐標(biāo)系底部為x軸，對(duì)稱軸為y軸，則該問(wèn)題是一個(gè)軸對(duì)稱問(wèn)題——及約束情況，幾何形狀以及所受的外來(lái)因素都對(duì)稱于某個(gè)坐標(biāo)軸。本題中，對(duì)稱軸顯然是y軸。這樣，位移u,v關(guān)于y軸對(duì)稱。

首先考察位移u：

薄板左右兩邊：(u)x??a?0（說(shuō)明u中含有(x2?a2)項(xiàng)或(a2?x2)項(xiàng)）

薄板下邊：(u)y?0?0（說(shuō)明u中含有（y-0)項(xiàng)）

薄板上邊：(u)y?b?0（說(shuō)明u中含有（y-b)項(xiàng)或(b-y)項(xiàng)）

所以u(píng)所以表達(dá)成：u?A1(a2?x2)y(b?y)（這里m=1,即取一個(gè)系數(shù)A1）

由此可得u,v的表達(dá)式為：

x2v???(1?2)，不計(jì)體力。試求薄版的位移分量和

a?x2xyyu?A1(1?2)(1?)??aaaa ? 22xyxyyv???(1?2)?B1(1?2)(1?)?ababb??(u)x??z?0可以滿足位移邊界條件：

(v)x??a?0(v)y?0?0(v)y?bx2???(1?2)a

(u)y?0?0(u)y?b?0由于u是x的奇函數(shù)，v是x的偶函數(shù)，對(duì)稱條件滿足。

xx3yy2此外，由（i）得：u1?(?3)(?2)aabbx2yy2v1?(1?2)(?2)

abb即U?Eab(A1?B1?2vA1B1)

2(1?v2)由?U?U??fu1ds,??fv1ds

xy?A1?B1?U?U??q1ab,??q2ab ?A1?B1Eab(2A1?2vB1)??q1ab22(1?v)Eab(2B1?2vA1)??q2ab22(1?v)q1?vq2q?vq1,B1??2EEq1?vq2q2?vq1 u??x,v??yEEA1??例2：已知懸臂梁，抗彎剛度為EI，求最大撓度值。

解：設(shè)w?(a2x2?a3x3)滿足固定端的邊界條件。

LxFwx?0?0,w'x?0?0

2在不考慮剪切效應(yīng)時(shí)，直桿彎曲的應(yīng)變能為，1lM2(x)1?d2w??u??dx?EI?dx 2??02EI2?dx?下面用最小勢(shì)能原理來(lái)確定參數(shù)，u?1M(x)EIdx?(2a2?6a3)dx??002EI2v??Fwx?L??F(a2L2?a3L3)ll2EIl23Et?U?V?(2a?6a)dx?F(aL?aL)2323?0222

由最小勢(shì)能原理

?Et?0?Et1l2?4(2a?6a)dx?FL?023?0?a22EI?Et1l3?12(2a?6a)dx?FL?023?0?a22EI

三、總結(jié)與思考

所謂彈性力學(xué)的變分解法就是基于力學(xué)能量原理求解彈性力學(xué)的變分方法，這種方法從其本質(zhì)而言，是要把原來(lái)在給定的邊界條件下求解的微分方程組的問(wèn)題變?yōu)榉汉髽O值的問(wèn)題，而在求問(wèn)題的近似解時(shí)，泛函的極值問(wèn)題又可變成函數(shù)的極值問(wèn)題，因而最終把問(wèn)題歸結(jié)為求解線性代數(shù)方程組。

變分法在理論物理中非常重要：在拉格朗日力學(xué)中，以及在最小作用原理在量子力學(xué)的應(yīng)用中。變分法提供了有限元方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，它是求解邊界值問(wèn)題的強(qiáng)力工具。它們也在材料學(xué)中研究材料平衡中大量使用。而在純數(shù)學(xué)中的例子有，黎曼在調(diào)和函數(shù)中使用狄力克雷原理。

應(yīng)力變分法在力學(xué)領(lǐng)域內(nèi)同樣擁有很高的地位，這正說(shuō)明了力學(xué)在學(xué)術(shù)界的重要地位，通過(guò)應(yīng)力變分法地學(xué)習(xí)，許多難題將更容易得到解答，所以，在以后的學(xué)習(xí)生活中，我們將不會(huì)停止對(duì)力學(xué)的探究和學(xué)習(xí)，相信力學(xué)對(duì)我們的影響將是巨大的。

參考文獻(xiàn)：【1】彈性力學(xué) 第四版 徐芝綸 高等教育出版社

【2】彈性力學(xué)復(fù)習(xí)解題指導(dǎo)致 王俊民 同濟(jì)大學(xué)

【3】彈性力學(xué)理論概要與典型題解 王光欽 西南交通大學(xué)出版社

【4】彈性力學(xué)內(nèi)容精要與典型題解 劉章軍 水利水電出版社