第一篇：彈性力學基礎知識歸納

一．填空題

1.最小勢能原理等價于平衡微分方程和應力邊界條件 2.一組可能的應力分量應滿足平衡微分方程和相容方程。二．簡答題

1.簡述圣維南原理并說明它在彈性力學中的作用。如果把物體一小部分邊界上的面力變換為分布不同但是靜力等效的面力（主矢和主矩相同），則近處的應力分布將有顯著改變，遠處所受的影響則忽略不計。

作用;(1)將次要邊界上復雜的集中力或者力偶變換成為簡單的分布的面力。

（2）將次要的位移邊界條件做應力邊界條件處理。2.寫出彈性力學的平面問題的基本方程。應用這些方程時，應注意什么問題？

(1).平衡微分方程:決定應力分量的問題是超靜定的。(2).物理方程：平面應力問題和應變問題的物理方程是不一樣的，注意轉(zhuǎn)換。

(3).幾何方程：注意物體的位移分量完全確定時，形變分量也完全確定。但是形變分量完全確定時，位移分量不完全確定。3.按照邊界條件的不同，彈性力學分為哪幾類邊界問題？ 應力邊界條件，位移邊界條件和混合邊界條件。

4.彈性體任意一點的應力狀態(tài)由幾個分量決定？如何確定他們的正負號？ 由六個分量決定。在確定方向的時候，正面上的應力沿正方向為正，負方向為負。負面上的應力沿負方向為正，正方向為負。

5.什么叫平面應力問題和平面應變問題？舉出工程實例。平面應力問題是指很薄的等厚度薄板只在板邊上受平行于板面并且不沿厚度變化的面力，同時體力也平行于板面并且不沿厚度變化。例如工程中的深梁和平板壩的平板支墩。平面應變問題是指很長的柱形體，它的橫截面在柱面上受有平行于橫截面并且不沿長度變化的面力，同時體力也不沿長度變化。例如

6.彈性力學中的基本假定有哪幾個？什么是理想彈性體？舉例說明。

（1）完全彈性假定。（2）均勻性假定。（3）連續(xù)性假定。（4）各向同性假定。（5）小變形假定。

滿足完全彈性假定，均勻性假定，連續(xù)性假定和各向同性假定的是理想彈性體。一般混凝土構(gòu)件和一般土質(zhì)地基可以看做為理想彈性體。

7.什么是差分法？寫出基本差分公式？

差分法是把基本方程和邊界條件近似地看改用差分方程（代數(shù)方程）來表示。把求解微分方程的問題變?yōu)榍蠼獯鷶?shù)方程問題。???f???x?f1?f3??02h?2??f????f1?f3?2f0??x2??0h2????f???y??f2???f402h

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第二篇：彈性力學論文

彈性力學論文

鋼2混凝土組合扁梁受力性能的有限

元分析

西安工業(yè)大學 建筑工程系 050705124 周博超

鋼2混凝土組合扁梁受力性能的有限元分析

周博超

摘要: 鋼2混凝土組合扁梁是將鋼梁內(nèi)嵌于混凝土之中的新型組合梁, 它能最大限度地降低結(jié)構(gòu)的高度, 形成類似“無梁樓蓋”的結(jié)構(gòu)體系, 已在住宅鋼結(jié)構(gòu)中推廣應用, 其承載性能和設計方法研究引起了結(jié)構(gòu)工程界的關注.本文采用通用有限元程序AN SYS 研究了組合扁梁的承載力問題, 通過建模計算了簡支組合扁梁、懸臂組合扁梁和框架組合扁梁的承載力和變形特征, 得到了相應的荷載2位移過程曲線, 并與組合扁梁的試驗結(jié)果進行了比較, 驗證了計算結(jié)果的正確性.關鍵詞: 組合扁梁;極限承載力;有限元在多層鋼結(jié)構(gòu)建筑, 特別是住宅鋼結(jié)構(gòu)中, 鋼2 混凝土組合扁梁樓蓋已成為深受歡迎的樓蓋體系,實現(xiàn)了“無梁樓蓋”建筑效果.組合扁梁是一種新型結(jié)構(gòu)體系, 受力性能比較特殊, 目前尚無成熟的分析和設計方法, 本文采用有限元方法對這種新型組合梁的受力性能和破壞過程進行了模擬, 并與試驗結(jié)果進行了比較, 得到了對設計和應用組合扁梁具有重要參考意義的結(jié)論.1 組合扁梁結(jié)構(gòu)

普通鋼2混凝土組合梁充分利用了材料的特性, 混凝土樓板擱置在鋼梁的上翼緣, 通過栓釘將鋼梁和混凝土樓板連成整體而共同工作, 混凝土受壓, 鋼梁受拉, 如圖1.為了進一步減小梁高, 組合扁梁將混凝土樓板放在了鋼梁的下翼緣, 看上去類似“無梁樓蓋”, 它充分考慮了樓蓋對梁剛度的加強作用, 如圖2.組合扁梁樓蓋可由鋼梁與預制混凝土空心樓板或深肋壓型鋼板樓板組成, 橫向鋼筋和鋼絲網(wǎng)是為了保證在扁梁達到強度極限狀態(tài)之前不發(fā)生混凝土板縱向剪切破壞, 剪力連接件保證混凝土板與鋼梁共同工作[ 1 ].圖1 普通組合梁

圖2 組合扁梁

與其它組合梁相比, 組合扁梁樓蓋的下表面平整, 一般不需要做吊頂, 便于房間的靈活布置及自由分隔, 同時降低了結(jié)構(gòu)高度, 提高了結(jié)構(gòu)的抗火能力.這種新型組合梁在工程上已開始應用, 需要對其分析和設計方法進行深入研究[ 223 ].2 有限元模型和計算參數(shù) 2.1 混凝土開裂的模擬

AN SYS 可以處理混凝土結(jié)構(gòu)的配筋、開裂和壓潰等復雜問題, 本文分析主要用到AN SYS 提供的線單元和塊單元兩種類型: L IN K8, SOL ID45和SOL ID65.L IN K8 單元模擬鋼筋的受力情況;SOL ID45單元模擬鋼梁的受力情況;SOL ID65單元用于模擬混凝土模型.建模時, 忽略鋼梁與混凝土之間的滑移, 鋼梁與混凝土之間連接采用共用節(jié)點以使其變形協(xié)調(diào).試驗結(jié)果也表明對于組合扁梁,鋼與混凝土之間的滑移對其剛度和承載力影響很小, 可以忽略[ 4 ].混凝土的抗拉強度低, 在加載初期就要開裂,能否正確地模擬混凝土的開裂是計算結(jié)果是否準確的關鍵.本文采用單元的“死活”概念來模擬混凝土的開裂, 其基本思想是如果混凝土開裂, 假設其對結(jié)構(gòu)的剛度和承載力的貢獻可以忽略, 在建模計算時, 將這些單元“殺死”.由于事先不知道哪些單元應該“殺死”, 所以結(jié)構(gòu)分析的有限元模型的單元是不確定的, 是動態(tài)的, 隨其受力狀態(tài)而改變.在計算分析中, 根據(jù)AN SYS 計算出來的應力和應變, 把滿足開裂條件的單元“殺死”, 讓其退出工作, 然后按新的模型重新計算, 如此反復迭代, 直到相鄰兩次迭代結(jié)果相差在可接受的范圍內(nèi)即可停止計算.2.2 網(wǎng)格的劃分 本模型所有的實體單元均為8節(jié)點的長方塊,便于分層, 這樣模擬混凝土開裂的效果比較自由網(wǎng)格的三角形單元要好的多, 也更接近混凝土開裂的實際情況, 采用“M erge”或“Glue”等命令把模型各部分連成空間的一個整體, 保證單元之間的位移協(xié)調(diào).2.3 邊界條件的處理

邊界條件一般有三種: 簡支端、自由端和固支端.簡支端約束邊界上節(jié)點所有的平動自由度;固支端約束住邊界上節(jié)點所有的平動自由度和轉(zhuǎn)動自由度;對于自由端, 讓邊界截面上所有節(jié)點的變形滿足平截面假定, 采用約束方程實現(xiàn), 這樣符合實際情況.2.4 分析中應注意的問題

對于某個節(jié)點, 與其連接的所有活單元被“殺死”后, 該節(jié)點變成一個漂移的節(jié)點, 具有浮動的自由度數(shù)值.在一些情況下, 需要約束住這些不被激活的自由度以減少求解方程的數(shù)目, 并防止出現(xiàn)位置錯誤.但是, 在重新激活與其相連的單元時要根據(jù)情況刪除這些人為施加的約束.另外, 在查看結(jié)果時, 盡管其對剛度矩陣的貢獻被忽略了, 但由于“殺死”的單元仍在模型中, 在單元顯示和其它的后處理操作之前, 需用選擇功能排除這些沒有被激活的單元以方便查詢處理.2.5 計算參數(shù)取值

本文采用上述有限元模型分析3個組合扁梁:簡支梁BL 1, 框架梁BL 2和懸臂梁BL 3.三根梁的截面尺寸、配筋率、栓釘間距以及混凝土板做法完全相同, 其截面和加載方式見示意圖3～ 5, 鋼筋、鋼材和混凝土的強度指標通過材料試驗測得.圖3 組合扁梁截面示意圖

圖4 BL 1梁加載示意圖

鋼材各向同性, 采用目前非線性分析中常用的Von M ises 等向強化準則, 本構(gòu)關系為雙直線模型, 實測彈性模量189 GPa, 塑性強化段切線模量750M Pa, 鋼材屈服強度為397.75M Pa;鋼筋取理想彈塑性模型, 初始彈性模量200 GPa, 混凝土的實測壓潰強度分別為37.7, 47.2和41.3M Pa[ 3 ].圖5 BL 2和BL 3梁加載示意圖 2.6 有限元模型

本文對上述3根組合扁梁建立了AN SYS 模型, 進行了計算分析.組合扁梁沿高度方向共分17層, 鋼梁上下翼緣各分2層, 長度方向每100 mm 分1段.截面的單元劃分見圖6.加載采用位移加載方式, 即在加載點施加足夠大的位移, 直到構(gòu)件完全破壞.計算過程中對所施加的外荷載和特征點撓度進行跟蹤.圖6 截面網(wǎng)格劃分 有限元數(shù)值模擬結(jié)果及與試驗結(jié)果的對 比分析

為了驗證有限元分析結(jié)果的正確性, 本文參考3個組合扁梁的試驗研究數(shù)據(jù)[ 4 ] , 與有限元分析結(jié)果進行了比較.3.1 扁梁BL1的分析結(jié)果

混凝土的抗拉強度很低, 簡支組合扁梁全跨承受正彎矩, 在加載初期, 處于中和軸以下的混凝土要開裂, 退出工作, 在進行有限元分析時是將這些不參與工作的混凝土單元“殺死”, 經(jīng)過反復迭代計算, 最后剩下只有參與工作的混凝土單元(圖7).圖7 扁梁BL 1開裂后剩余混凝土單元

1)簡支組合扁梁跨中彎矩較大, 開裂的混凝土也較多, 跨中等彎矩段的開裂程度是一樣的, 隨著向支座處彎矩的降低, 開裂的混凝土逐漸減少,開裂后剩余的混凝土呈拱形, 沿__________著梁長度方向中和軸是一條曲線, 而不是一條直線.2)荷載2撓度曲線是最重要的數(shù)據(jù), 常常是設計的依據(jù), 扁梁BL 1的荷載2撓度曲線見圖8, 為了便于比較, 同時給出了試驗的荷載2撓度曲線[ 3 ].圖8 扁梁BL 1荷載2撓度曲線比較

3)從圖8可見, 整個加載過程, 有限元分析和試驗曲線的結(jié)果吻合良好, 在彈性階段, 有限元分析剛度和試驗所測的剛度也比較接近.這說明對于簡支組合扁梁, 在進行有限元分析時忽略一些次要因素, 如鋼梁與混凝土板之間的滑移, 正彎矩區(qū)混凝土板中鋼筋的作用等, 而只考慮主要因素的影響, 如開裂的混凝土退出工作, 分析結(jié)果足夠精確.表1列出了有限元計算結(jié)果和試驗結(jié)果的定量比較, 有限元分析的結(jié)果與試驗結(jié)果的誤差在6% 以內(nèi), 有限元分析方法是可靠的.表1 BL1有限元結(jié)果與試驗結(jié)果的比較

3.2 扁梁BL2的分析結(jié)果

兩端剛接梁在桿端負彎矩最大, 跨中正彎矩最大, 在整個梁跨度范圍內(nèi)彎矩發(fā)生變號.在加載初期, 靠近支座處中和軸以上和跨中處中和軸以上的混凝土都要開裂, 退出工作.AN SYS 模擬的結(jié)果與實驗現(xiàn)象十分接近[ 4 ] , 多次迭代計算后剩下參與工作的混凝土, 見圖9, 從中可清楚的看到反彎點的位置, 但與簡支梁一樣, 受單元數(shù)目的限制, 數(shù)值模擬結(jié)果在某些區(qū)段沒有完全反映出彎矩變化的影響, 使得沒有退出工作的混凝土單元在軸向沒有呈連續(xù)的曲線.扁梁BL 2的荷載2撓度曲線比較見圖 10.圖9 扁梁BL 2沒有退出工作的混凝土單元

圖10 扁梁BL 2荷載2撓度曲線比較 3.3 扁梁BL3的分析結(jié)果

懸臂梁由于單元較少, 共迭代計算5次, 最終剩余的混凝土單元見圖11, 荷載2撓度曲線見圖12.圖11 懸臂梁沒有退出工作的混凝土單元 圖12 扁梁BL 3荷載2撓度曲線比較 從扁梁BL 3的荷載2撓度曲線可以看出:

1)在加載初期, 試驗實測剛度比有限元分析的結(jié)果要大, 這是由于混凝土在這時還沒有開裂,而有限元計算是按照最終該開裂的混凝土都完全開裂之后計算的剛度, 故偏小.2)在后期, 有限元計算剛度要比試驗剛度大,這是由于在試驗中, 焊在柱子翼緣板上的鋼筋能夠與鋼梁共同工作, 而焊在肋板上的鋼筋由于肋板剛度較小, 并沒有與鋼梁完全共同工作, 試驗時也觀察到肋板發(fā)生了明顯的扭曲, 直接影響組合扁梁的加載后期的剛度值, 但對于扁梁的極限承載力幾乎沒有影響, 因為這時候扁梁的變形足夠大, 使肋板發(fā)生了明顯的扭曲, 負彎矩區(qū)的鋼筋仍然屈服了.3)在實際工程設計時, 要想依靠負彎矩鋼筋來加強負彎矩區(qū)扁梁的剛度則須妥善處理好鋼筋與柱子之間的連接問題, 否則是不安全的.另外, 圖11也表明并非所有的混凝土都退出工作, 靠近鋼梁下翼緣仍有一定量的混凝土參與工作.為了定量比較, 表2列出了有限元計算結(jié)果和試驗結(jié)果, 有限元分析的結(jié)果與試驗結(jié)果的誤差在5% 以內(nèi).表2 BL3有限元結(jié)果與試驗結(jié)果的比較 主要結(jié)論

本文應用有限元分析軟件AN SYS, 以3根不同形式的組合扁梁為對象, 對正負彎矩區(qū)組合扁梁的受力性能進行了計算和模擬.分析結(jié)果表明:

1)有限元計算結(jié)果與試驗結(jié)果吻合較好, 表明數(shù)值模型和方法是正確有效的, 為深入研究組合扁梁的受力性能奠定了基礎.2)正彎矩區(qū), 受拉區(qū)混凝土的開裂、構(gòu)件的幾何尺寸是影響組合扁梁受力的主要因素, 忽略鋼梁與混凝土板之間的滑移及混凝土板中的鋼筋作用,分析結(jié)果誤差很小.3)負彎矩區(qū), 混凝土板中鋼筋對組合扁梁的彈性剛度和極限承載力有著明顯的影響, 鋼筋與柱子之間良好的連接是保證其共同作用的關鍵.而中和軸以下混凝土對組合扁梁受力也有相當?shù)挠绊?實際工程設計時忽略它是偏于安全的.參考文獻: [ 1 ] M ullett D L.Slim floor design and construction [M ].The Steel Construction Institute, 1997.[2 ] 陳 全, 石永久, 王元清, 等.帶組合扁梁多層輕型鋼框架結(jié)構(gòu)體系分析[J ].建筑結(jié)構(gòu), 2002, 32(2): 17220.Chen Q , Sh i Y J , W ang Y Q , et al.Structura lanalysis on ligh t steel frame w ith steel2concrete composite slim beam [J ].Building Structures, 2002,32(2): 17220.[ 3 ] 陳 全.組合扁梁受力性能分析[D ].北京: 清華大學 土木工程系, 2002.[ 4 ] Chen Q , Sh i Y J , W ang Y Q , et al.Loading capacity of steel2concrete composite slim beam [ J ].P roc.Of 7th International Symposium on Structural Engineering for Young Experts, 2002, 1(2): 9252929.

第三篇：彈性力學學習心得

彈性力學學習心得

大學時期就學習過彈性力學這門學科，當時的課本是徐芝綸教授的《簡明彈性力學》，書的內(nèi)容很豐富，但是由于課時有限加上我們自身能力的限制，本科期間只學習了前四章內(nèi)容，學的比較粗略，理解的也不是很多，研一的這學期又有了一次學習的機會，通過楊老師耐心細致的講解，我覺得彈性力學是一門十分有用并且基礎的學科，值得我們?nèi)パ芯繉W習。

彈性力學與材料力學、結(jié)構(gòu)力學的研究對象和研究方法上存在著一些差異，但是他們之間的界限卻又不是那么明顯。以彈性力學的平面問題為例，由彈性力學中平面問題的三套基本方程（平衡方程、幾何方程和物理方程）和兩種邊界條件（應力邊界、位移邊界和混合）聯(lián)立，就得到了求解兩類平面問題（平面應力和平面應變）的一些基本方程。但是要由這些基本方程求得解析解，又是一個復雜而困難的問題。此時，引入結(jié)構(gòu)力學中的力法和位移法，可以使得某些比較復雜的本來是無法求解的問題，得到解答。其中，位移法是以位移分量為基本未知函數(shù)，從基本方程和邊界條件中消去應力分量和形變分量，導出只含位移分量的方程和相應的邊界條件，求出位移分量后，再求出形變分量和應力分量的方法。由于位移法能更方便地處理方程中的邊界條件，因此，課本中多用位移法來進行求解。在這個章節(jié)的學習中，要先復習、回憶結(jié)構(gòu)力學中關于力法、位移法的知識概念，再總結(jié)彈性力學按位移求解平面應力問題的步驟和方法。

彈性力學也稱彈性理論，主要研究彈性體在外力作用或溫度變化等外界因素下所產(chǎn)生的應力、應變和位移，從而解決結(jié)構(gòu)設計中所提出的強度和剛度問題。在研究對象上，彈性力學同材料力學和結(jié)構(gòu)力學之間有一定的分工。材料力學基本上只研究桿狀構(gòu)件；結(jié)構(gòu)力學主要是在材料力學的基礎上研究桿狀構(gòu)件所組成的結(jié)構(gòu)，即所謂桿件系統(tǒng)；而彈性力學研究包括桿狀構(gòu)件在內(nèi)的各種形狀的彈性體。

彈性體是變形體的一種，它的特征為：在外力作用下物體變形，當外力不超過某一限度時，除去外力后物體即恢復原狀。絕對彈性體是不存在的。物體在外力除去后的殘余變形很小時，一般就把它當作彈性體處理。

通過對彈性力學的二次學習，加上楊老師詳盡而又有條理的講授，我相信將對之后塑性力學和有限元法甚至以后的學習都會有很大幫助。

第四篇：彈性力學題庫

彈性力學題庫

第一章

緒論

1、所謂“完全彈性體”是指（B）。

A、材料應力應變關系滿足虎克定律

B、材料的應力應變關系與加載時間、歷史無關

C、本構(gòu)關系為非線性彈性關系

D、應力應變關系滿足線性彈性關系

2、關于彈性力學的正確認識是（A）。

A、計算力學在工程結(jié)構(gòu)設計中的作用日益重要

B、彈性力學從微分單元體入手分析彈性體,因此與材料力學不同,不需要對問題作假設

C、任何彈性變形材料都是彈性力學的研究對象

D、彈性力學理論像材料力學一樣，可以沒有困難的應用于工程結(jié)構(gòu)分析

3、下列對象不屬于彈性力學研究對象的是（D）。

A、桿件

B、板殼

C、塊體

D、質(zhì)點

4、彈性力學研究物體在外力

作用下，處于彈性階段的應力、應變

和

位移。

5、彈性力學可以解決材料力學無法解決的很多問題；并對桿狀結(jié)果進行精確分析，以及驗算材力結(jié)果的適用范圍和精度。與材料力學相比彈性力學的特點有哪些？

答：1）研究對象更為普遍；

2）研究方法更為嚴密；

3）計算結(jié)果更為精確；

4）應用范圍更為廣泛。

6、材料力學研究桿件，不能分析板殼；彈性力學研究板殼，不能分析桿件。（×）

改：彈性力學不僅研究板殼、塊體問題，并對桿件進行精確的分析，以及檢驗材料力學公式的適用范圍和精度。

7、彈性力學對桿件分析（C）。

A、無法分析

B、得出近似的結(jié)果

C、得出精確的結(jié)果

D、需采用一些關于變形的近似假定

8、圖示彈性構(gòu)件的應力和位移分析要用什么分析方法？（C）

A、材料力學

B、結(jié)構(gòu)力學

C、彈性力學

D、塑性力學

解答：該構(gòu)件為變截面桿，并且具有空洞和鍵槽。

9、彈性力學與材料力學的主要不同之處在于（B）。

A、任務

B、研究對象

C、研究方法

D、基本假設

10、重力、慣性力、電磁力都是體力。（√）

11、下列外力不屬于體力的是（D）

A、重力

B、磁力

C、慣性力

D、靜水壓力

12、體力作用于物體內(nèi)部的各個質(zhì)點上，所以它屬于內(nèi)力。（×）

解答：外力。它是質(zhì)量力。

13、在彈性力學和材料力學里關于應力的正負規(guī)定是一樣的。（×）

解答：兩者正應力的規(guī)定相同，剪應力的正負號規(guī)定不同。

14、圖示單元體右側(cè)面上的剪應力應該表示為（D）

A、B、C、D、15、按彈性力學規(guī)定，下圖所示單元體上的剪應力（C）。

A、均為正

B、為正,為負

C、均為負

D、為正，為負

16、按材料力學規(guī)定，上圖所示單元體上的剪應力（D）。

A、均為正

B、為正,為負

C、均為負

D、為正，為負

17、試分析A點的應力狀態(tài)。

答：雙向受壓狀態(tài)

18、上右圖示單元體剪應變γ應該表示為（B）

A、B、C、D、19、將兩塊不同材料的金屬板焊在一起，便成為一塊（D）。

A、連續(xù)均勻的板

B、不連續(xù)也不均勻的板

C、不連續(xù)但均勻的板

D、連續(xù)但不均勻的板

20、下列材料中，（D）屬于各向同性材料。

A、竹材

B、纖維增強復合材料

C、玻璃鋼

D、瀝青

21、下列那種材料可視為各向同性材料（C）。

A、木材

B、竹材

C、混凝土

D、夾層板

22、物體的均勻性假定,是指物體內(nèi)

各點的彈性常數(shù)相同。

23、物體是各向同性的,是指物體內(nèi)

某點沿各個不同方向的彈性常數(shù)相同。

24、格林（1838）應用能量守恒定律，指出各向異性體只有

個獨立的彈性常數(shù)。

25、如圖所示受軸向拉伸的變截面桿，若采用材料力學的方法計算其應力，所得結(jié)果是否總能滿足桿段平衡和微元體平衡?

27、解答彈性力學問題，必須從

靜力學、幾何學

和

物理學

三方面來考慮。

28、對棱邊平行于坐標軸的正平行六面體單元，外法線與坐標軸正方向

一致的面稱為正面，與坐標軸

相反的面稱為負面，負面上的應力以沿坐標軸

負

方向為正。

29、彈性力學基本方程包括

平衡微分

方程、幾何

方程和

物理

方程，分別反映了物體

體力分量

和

應力分量，形變分量

和

位移分量，應力分量

和

形變分量

之間的關系。

30、彈性力學研究彈性體由于受外力作用、邊界約束或溫度改變等原因而發(fā)生的應力、應變和位移。但是

并不直接

作強度和剛度分析。

31、彈性力學可分為數(shù)學彈性力學和實用彈性力學兩個部分。前者只用精確的數(shù)學推演而不引用任何關于應變狀態(tài)或應力分布的假定

；在實用彈性力學里，和材料力學類同，也引用一些關于應變或應力分布的假設，以便簡化繁復的數(shù)學推演，得出具有相當實用價值

近似解。

32、彈性力學的研究對象是

完全彈性體。

33、所謂“應力狀態(tài)”是指（B）。

A.斜截面應力矢量與橫截面應力矢量不同

B.一點不同截面的應力隨著截面方位變化而改變

C.3個主應力作用平面相互垂直

D.不同截面的應力不同，因此應力矢量是不可確定的34、切應力互等定理根據(jù)條件（B）成立。

A.純剪切

B.任意應力狀態(tài)

C.三向應力狀態(tài)

D.平面應力狀態(tài)

35、在直角坐標系中，已知物體內(nèi)某點的應力分量為：

；試：畫出該點的應力單元體。

解：該點的應力單元體如下圖（強調(diào)指出方向）；

36、試舉例說明正的應力對應于正的應變。

解答：如梁受拉伸時，其形狀發(fā)生改變，正的應力（拉應力）對應正的應變。

37、理想彈性體的四個假設條件是什么？

解答：完全彈性的假設、連續(xù)性的假設、均勻性的假設、各向同性的假設。凡是滿足以上四個假設條件的稱為理想彈性體。

38、和是否是同一個量？和是否是同一個量？

解答：不是，是。

39、第二章

平面問題的基本理論

1、如圖所示的三種情況是否都屬于平面問題？如果是平面問題，是平面應力問題還是平面應變問題？

答：平面應力問題、平面應變問題、非平面問題

2、當問題可當作平面應力問題來處理時，總有。（√）

解答：平面應力問題，總有

3、當物體可當作平面應變問題來處理時，總有。（√）

解答：平面應變問題，總有

4、圖示圓截面柱體<<，問題屬于平面應變問題。（×）

解答：平面應變問題所受外力應該沿柱體長度方向不變。

5、圖示圓截面截頭錐體<<，問題屬于平面應變問題。（×）

解答：對于平面應變問題，物體應為等截面柱體。

6、嚴格地說，一般情況下，任何彈性力學問題都是空間問題，但是，當彈性體具有某些特殊的形狀，且受有某種特殊的外力時，空間問題可簡化為平面問題。

7、平面應力問題的幾何形狀特征是

等厚度薄板（物體在一個方向的幾何尺寸遠小于其他兩個方向的幾何尺寸）。

8、平面應變問題的幾何形狀特征是很長的等截面柱體。

9、下列各圖所示結(jié)構(gòu)應力分析問題屬于什么問題？

答：平面應力、平面應變、平面應變

10、柱下獨立基礎的地基屬于

問題，條形基礎下的地基屬于

問題。

答：半空間半平面、平面應變

11、高壓管屬于

平面應變

問題；雨蓬屬于

板

問題。

12、平面應變問題的應力、應變和位移與那個（些）坐標無關（縱向為軸方向）（C）。

A、B、C、D、13、平面應力問題的外力特征是（A）。

A只作用在板邊且平行于板中面

B垂直作用在板面

C平行中面作用在板邊和板面上

D作用在板面且平行于板中面

14、在平面應力問題中（取中面作平面）則（C）。

A、，B、，C、，D、，15、在平面應變問題中（取縱向作軸）（D）。

A、，B、，C、，D、，16、下列問題可簡化為平面應變問題的是（B）。

A、墻梁

B、高壓管道

C、樓板

D、高速旋轉(zhuǎn)的薄圓盤

17、下列關于平面問題所受外力特點的描述錯誤的是（D）。

A、體力分量與坐標無關

B、面力分量與坐標無關

C、，都是零

D、，都是非零常數(shù)

18、在平面應變問題中，如何計算？（C）

A、不需要計算

B、由直接求

C、由求

D、解答：平面應變問題的，所以

19、平面應變問題的微元體處于（C）。

A、單向應力狀態(tài)

B、雙向應力狀態(tài)

C、三向應力狀態(tài)，且是一主應力

D、純剪切應力狀態(tài)

解答：因為除了以外，所以單元體處于三向應力狀態(tài)；另外作用面上的剪應力，所以是一主應力

20、對于兩類平面問題，從物體內(nèi)取出的單元體的受力情況

有（平面應變問題的單元體上有）

差別，所建立的平衡微分方程

無

差別。

21、平面問題的平衡微分方程表述的是（A）之間的關系。

A、應力與體力

B、應力與面力

C、應力與應變

D、應力與位移

22、設有平面應力狀態(tài)，，其中均為常數(shù)，為容重。該應力狀態(tài)滿足平衡微分方程，其體力是（D）。

A、，B、，C、，D、，解答：代入平衡微分方程直接求解得到

23、如圖所示，懸臂梁上部受線性分布荷載，梁的厚度為1，不計體力。試利用材料力學知識寫出，表達式；并利用平面問題的平衡微分方程導出，表達式。

分析：該問題屬于平面應力問題；在材料力學中用到了縱向纖維互不擠壓假定，即無存在，可以看出上邊界存在直接荷載作用，則會有應力存在，所以材料所得結(jié)果是不精確的；在平衡微分方程二式中都含有，聯(lián)系著第一、二式；材料力學和彈性力學中均認為正應力主要由彎矩引起。

解：橫截面彎矩：，橫截面正應力

代入平衡微分方程的第一式得：（注意未知量是的函數(shù)），由得出，可見

將代入平衡微分方程的第二式得：，24、某一平面問題的應力分量表達式：，，體力不計，試求，的值。

解答：兩類平面問題的平衡微分方程是一樣的，且所給應力分量是實體的應力，它對實體內(nèi)任意一點均是成立的。將所給應力分量代入平衡微分方程中：

代入第一式：，即：，，代入第二式：，即：，，設物體內(nèi)的應力場為，，試求系數(shù)。

解：由應力平衡方程的：

即：

（1）

（2）

有（1）可知：因為與為任意實數(shù)且為平方，要使（1）為零，必須使其系數(shù)項為零，因此，（3）

（4）

聯(lián)立（2）、（3）和（4）式得：

即：

25、畫出兩類平面問題的微元體受力情況圖。

26、已知位移分量函數(shù)，為常數(shù)，由它們所求得形變分量不一定能滿足相容方程。（×）

解答：由連續(xù)可導的位移分量按幾何方程求得的形變分量也一定能滿足相容方程。因為幾何方程和相容方程是等價的。

27、形變狀態(tài)是不可能存在的。（×）

解答：所給形變分量能滿足相容方程，所以該形變分量是可能存在的。

28、在為常數(shù)的直線上，如，則沿該線必有。（√）

29、若取形變分量，（為常數(shù)），試判斷形變的存在性？

解：利用得出，不滿足相容方程，由幾何方程第一式，積分得出，由第二式積分得，將，代入第三式，相互矛盾。

30、平面連續(xù)彈性體能否存在下列形變分量，？

解：代入相容方程有：，相互矛盾。

31、應力主面上切應力為零，但作用面上正應力一般不為零，而是。

32、試證明在發(fā)生最大與最小切應力的面上，正應力一般不為零，而是。

證明：

33、應力不變量說明（D）。

A.應力狀態(tài)特征方程的根是不確定的B.一點的應力分量不變

C.主應力的方向不變

D.應力隨著截面方位改變，但是應力狀態(tài)不變

34、關于應力狀態(tài)分析，（D）是正確的。

A.應力狀態(tài)特征方程的根是確定的，因此任意截面的應力分量相同

B.應力不變量表示主應力不變

C.主應力的大小是可以確定的，但是方向不是確定的D.應力分量隨著截面方位改變而變化，但是應力狀態(tài)是不變的35、應力狀態(tài)分析是建立在靜力學基礎上的，這是因為（D）。

A.沒有考慮面力邊界條件

B.沒有討論多連域的變形

C.沒有涉及材料本構(gòu)關系

D.沒有考慮材料的變形對于應力狀態(tài)的影響

36、下列關于幾何方程的敘述，沒有錯誤的是（C）。

A.由于幾何方程是由位移導數(shù)組成的，因此，位移的導數(shù)描述了物體的變形位移

B.幾何方程建立了位移與變形的關系，因此，通過幾何方程可以確定一點的位移

C.幾何方程建立了位移與變形的關系，因此，通過幾何方程可以確定一點的應變分量

D.幾何方程是一點位移與應變分量之間的唯一關系

37、下列關于“剛體轉(zhuǎn)動”的描述，認識正確的是（A）。

A.剛性轉(zhuǎn)動描述了微分單元體的方位變化，與變形位移一起構(gòu)成彈性體的變形

B.剛性轉(zhuǎn)動分量描述的是一點的剛體轉(zhuǎn)動位移，因此與彈性體的變形無關

C.剛性轉(zhuǎn)動位移也是位移的導數(shù)，因此它描述了一點的變形

D.剛性轉(zhuǎn)動分量可以確定彈性體的剛體位移。

38、已知位移分量可以完全確定應變分量，反之，已知應變分量（滿足相容方程）不能完全確定位移分量。

39、對兩種平面問題，它們的幾何方程是相同的，物理方程是不相同的。

40、已知圖示平板中的應力分量為：。試確定OA邊界上的方向面力和AC邊界上的方向面力，并在圖上畫出，要求標注方向。

解：1、OA邊界上的方向面力：，在處，=，正值表示方向和坐標軸正向一致，且成三次拋物線分布，最大值為。

2、AC邊界上的方向面力：，在處，==，負值表示方向和坐標軸正向相反，成直線分布，最小值為0，最大值為。

41、微分體繞軸的平均轉(zhuǎn)動分量是。

42、已知下列應變狀態(tài)是物體變形時產(chǎn)生的，試求各系數(shù)之間應滿足的關系。

解：為了變形連續(xù)，所給應變分量必須滿足相容方程，將其代入到式相容方程中得出，上式應對任意的均成立，所以有：，由此可得到各系數(shù)之間應滿足的關系是。系數(shù)可取任意值，同時也說明了常應變不論取何值，實體變形后都是連續(xù)的。

設，其中為常數(shù)，試問該應變場在什么情況下成立？

解：對求的2次偏導，即：，即：時上述應變場成立。

已知平面應變狀態(tài)下，變形體某點的位移函數(shù)為：，試求該點的應變分量。

解：，43、當應變?yōu)槌Ａ繒r，即，試求對應的位移分量。

某理想塑性材料在平面應力狀態(tài)下的各應力分量為，，（應力單位為），若該應力狀態(tài)足以產(chǎn)生屈服，試問該材料的屈服應力是多少？

注利用密席斯屈服準則直接求材料的屈服應力：

解：由由密席斯屈服準則得該材料的屈服應力為：

44、試由下述應變狀態(tài)確定各系數(shù)與物體體力之間的關系。，分析：該問題為平面應變問題，因為平面應變問題總有；所給應變存在的可能性，即應變分量必須滿足相容方程，才是物體可能存在的；因為要求求出體力，體力只是和平衡微分方程有關，需要先求出應力分量，而應力分量可通過應力與應變關系即物理方程求出，由應變求出應力，注意兩類問題的物理方程不一樣，需要應用平面應變問題的物理方程。

解：（1）檢驗該應變狀態(tài)是否滿足相容方程，因為：，即，滿足。

（2）將應變分量代入到平面應變問題的物理方程式（2-23）中求出應力分量：

（3）將上述應力分量代入到平衡微分方程式（2-2）中，可得到各系數(shù)與物體體力之間的關系：

（4）討論：若無體力（），則由上式可得，根據(jù)它對物體內(nèi)的任意一點均成立，又可得

結(jié)論：若體力不為零，各系數(shù)與物體體力之間的關系即是（3）的結(jié)果；若體力為零，則是（4）的結(jié)果；是任意值。

已知彈性實體中某點在和方向的正應力分量為，而沿方向的應變完全被限制住。試求該點的、和。（，）

解：代入物理方程中：

代入：，，得出：，45、如果在平面應力問題的物理方程式中，將彈性模量換為，泊松比換為，就得到平面應變問題的物理方程式。

46、列出應力邊界條件時，運用圣維南原理是為了

簡化

應力的邊界條件。

47、設有周邊為任意形狀的薄板，其表面自由并與坐標面平行。若已知各點的位移分量為，則板內(nèi)的應力分量為。

48、已知某物體處在平面應力狀態(tài)下，其表面上某點作用著面力為該點附近的物體內(nèi)部有則：，0。

49、有一平面應力狀態(tài)，其應力分量為：及一主應力，則另一主應力等于

4.92Mpa。

50、設某一平面應變問題的彈性體發(fā)生了如下的位移：，式中（）均為常數(shù)。試證明：各形變分量在實體內(nèi)為常量。

證明：利用幾何方程，對于平面應變問題有（常數(shù)），（常數(shù)），（常數(shù)），（常數(shù)）

50、在發(fā)生最大與最小切應力的面上，正應力一般不為零，而是。

51、微分體繞軸的平均轉(zhuǎn)動分量是。

52、下左圖示結(jié)構(gòu)腹板和翼緣厚度遠遠小于截面的高度和寬度，產(chǎn)生的效應具有局部性的力和力矩是（P2=M/h）（D）。

A、P1一對力

B、P2一對力

C、P3一對力

D、P4一對力構(gòu)成的力系和P2一對力與M組成的力系

53、下左圖中所示密度為的矩形截面柱，應力分量為：對圖（）和圖（）兩種情況由邊界條件確定的常數(shù)A及B的關系是（C）。

A、A相同，B也相同

B、A不相同，B也不相同

C、A相同，B不相同

D、A不相同，B相同

下圖中所示密度為的矩形截面柱，應力分量為：對圖（）和圖（）兩種情況由邊界條件確定的常數(shù)A及B的關系是（B）。

A、A相同，B也相同

B、A不相同，B也不相同

C、A相同，B不相同

D、A不相同，B相同

54、設有平面應力狀態(tài)，其中，均為常數(shù)，為容重。該應力狀態(tài)滿足平衡微分方程，其體力是（D）

A、B、C、D、55、某彈性體應力分量為：（不計體力），系數(shù)。

56、已知一平面應變問題內(nèi)某一點的正應力分量為：，則

18MPa。

57、將平面應力問題下的物理方程中的分別換成和就可得到平面應變問題下相應的物理方程。

58、平面應變問題的微元體處于（C）。

A、單向應力狀態(tài)

B、雙向應力狀態(tài)

C、三向應力狀態(tài)，且是一主應力

D、純剪切應力狀態(tài)

59、如圖所示為矩形截面水壩，其右側(cè)受靜水壓力，頂部受集中力作用。試寫出水壩的應力邊界條件（下邊界不寫）。

解：應力邊界條件公式為：。

1）左右邊界為主要邊界，利用面力邊值條件：

左面（）：，則：

右面（）：，則：

2）上端面（）為小邊界應用靜力等效：，60、應變狀態(tài)是不可能存在的。（×）

改：所給應變分量滿足相容方程，所以該應變狀態(tài)是可能存在的。

61、圖示工字形截面梁，在平衡力偶系的作用下，只在右端局部區(qū)域產(chǎn)生應力。（×）

改：對于一些薄壁桿件和薄殼等物體在應用圣維南原理時，必須滿足下述必要條件，即力系作用區(qū)域的尺寸與該區(qū)域物體的最小尺寸相當。在本例中，力系作用區(qū)域的尺寸（是工字形截面高和寬）遠遠大于該區(qū)域物體的最小尺寸（腹板和翼緣的厚度）。

62、彈性力學平面問題有

個基本方程，分別是

2個平衡微分方程、3個幾何方程、3個物理方程。

63、對于體力為常數(shù)的單連域的應力邊界問題，求解

應力

不需要區(qū)分兩類平面問題；求解

位移

需要區(qū)分兩類平面問題。

64、平面問題如圖所示，已知位移分量為：。若已知變形前點坐標為（1.5，1.0），變形后移至（1.503，1.001），試確定點的應變分量。

答：；

點的應變分量：。（3分）

65、試寫出如圖所示的位移邊界條件。

（1）圖（）為梁的固定端處截面變形前后情況，豎向線不轉(zhuǎn)動；

（2）圖（）為梁的固定端處截面變形前后情況，水平線不轉(zhuǎn)動；

（3）圖（）為薄板放在絕對光滑的剛性基礎上。

答：（1）圖（），；

（2）圖（），；

（3）圖（）邊界位移邊界條件為：，66、判斷下述平面問題的命題是否正確？

（1）若實體內(nèi)一點的位移均為零，則該點必有應變；

（2）在為常數(shù)的直線上，如，則沿該線必有；

（3）在為常數(shù)的直線上，如，則沿該線必有；

（4）滿足平衡微分方程又滿足應力邊界條件的應力必為準確的應力分布（設問題的邊界條件全部為應力邊界條件）。

答：（1）錯；（2）錯；（3）對；（4）錯

第三章

平面問題直角坐標系下的解答

1、物體變形連續(xù)的充分和必要條件是幾何方程（或應變相容方程）。（×）

改：（一）：物體（當是單連體時）；

改：（二）：對于多連體，還有位移單值條件。

2、對于應力邊界問題，滿足平衡微分方程和應力邊界的應力，必為正確的應力分布。（×）

改：應力還要滿足相容方程，對于多連體，還要看它是否滿足位移單值條件。

3、在體力是常數(shù)的情況下，應力解答將與彈性常數(shù)無關。（×）

改：如果彈性體是多連體或有位移邊界，需要通過虎克定理由應力求出應變，再對幾何方程積分求出位移，將其代入位移邊界和位移單值條件，并由此確定待定常數(shù)時，將與彈性常數(shù)有關。

4、對于多連體變形連續(xù)的充分和必要條件是相容方程和位移單值條件。

5、對于多連體，彈性力學基本方程的定解條件除了邊界條件外，還有位移單值條件。

6、對于平面應力問題，如果應力分量滿足了平衡微分方程，相容方程及應力邊界條件，則在單連體情況下，應力分量即可完全確定。

7、對于體力為常數(shù)的單連域的應力邊界問題，求解應力不需要區(qū)分兩類平面問題；求解位移需要區(qū)分兩類平面問題。

7、在體力不是常量的情況下，引入了應力函數(shù)，平衡微分方程可以自動滿足。（×）

改：在常體力情況下，————

8、在常體力下，引入了應力函數(shù)，平衡微分方程可以自動滿足。（√）

9、在不計體力或體力為常數(shù)

情況下，平面問題最后歸結(jié)為在滿足邊界條件的前提下求解四階偏微分方程。

10、在常體力情況下，用應力函數(shù)表示的相容方程等價于（D）。

A、平衡微分方程

B、幾何方程

C、物理關系

D、平衡微分方程、幾何方程和物理關系

解答：用應力函數(shù)表示的相容方程是彈性力學平面問題基本方程的綜合表達式。它包含了幾何方程和物理方程，在常體力情況下，應力函數(shù)又恒能滿足平衡微分方程。

11、用應力分量表示的相容方程等價于（B）。

A、平衡微分方程

B、幾何方程和物理方程

C、用應變分量表示的相容方程

D、平衡微分方程、幾何方程和物理方程

12、用應變分量表示的相容方程等價于（B）。

A、平衡微分方程

B、幾何方程

C、物理方程

D、幾何方程和物理方程

10、圖示物體不為單連域的是（C）。

11、對下圖所示偏心受拉薄板來說，彈性力學和材料力學得到的應力解答是相同的。（√）

12、某一應力函數(shù)所能解決的問題與坐標系的選擇無關。（）

改：三次及三次以上的應力函數(shù)所能解答的問題與坐標系的選取有關。

12、三次或三次以下的多項式總能滿足相容方程。（√）

答：相容方程中的每一項都是四階導數(shù)。

13、函數(shù)如作為應力函數(shù)，各系數(shù)之間的關系是（B）。

A、各系數(shù)可取任意值

B、C、D、14、對于承受均布荷載的簡支梁來說，彈性力學解答與材料力學解答的關系是（C）。

A、的表達式相同

B、的表達式相同

C、的表達式相同

D、都滿足平截面假定

解答：的表達式中多出一項修正項，沿截面高度不再按線性規(guī)律分布，這說明平截面假定也不再成立。

15、圖示承受均布荷載作用的簡支梁，材料力學解答（D）：。

A、滿足平衡微分方程

B、滿足應力邊界條件

C、滿足相容方程???????????????????????????????????D、不是彈性力學精確解

解答：該簡支梁的材料力學解答不滿足彈性力學的基本方程和邊界條件，所以不能作為彈性力學解答。

15、應力函數(shù)，不論取何值總能滿足相容方程。（√）

16、應力函數(shù)，不論取何值總能滿足相容方程。（）

改：系數(shù)應滿足一定的關系才能滿足相容方程。

17、對于純彎曲的細長的梁，由材料力學得到的撓曲線是它的精確解。（√）

解：對于純彎曲的細長的梁，材力和彈力得到的撓曲線方程是一樣的。

18、彈性力學分析結(jié)果表明，材料力學中的平截面假定，對純彎曲的梁來說是正確的。

19、應力函數(shù)必須是（C）。

A、多項式函數(shù)

B、三角函數(shù)

C、重調(diào)和函數(shù)

D、二元函數(shù)

20、彈性力學分析結(jié)果表明，材料力學中的平截面假定，對承受均布荷載的簡支梁來說是不正確的。

21、函數(shù)能作為應力函數(shù)，與的關系是（A）。

A、與可取任意值

B、=

C、=-

D、=

22、不論是什么形式的函數(shù)，由關系式所確定的應力分量在不計體力的情況下總能滿足（A）。

A、平衡微分方程

B、幾何方程

C、物理關系

D、相容方程

解答：關系式就是平衡微分方程的齊次解

23、對承受端荷載的懸臂梁來說，彈性力學和材料力學得到的應力解答是相同的。（√）

解答：端部切向面力必須按拋物線規(guī)律分布于端部，否則得到的是圣維南近似解。24、20、如果體力雖不是常數(shù)，卻是有勢的力，即體力可表示為：

10、試驗證應力分量，是否為圖示平面問題的解答（假定不考慮體力）。

解答：1）將應力分量代入平衡微分方程，得0+0=0，得，故不滿足平衡微分方程

2）將應力分量代入相容方程：，或?qū)懗?，故：滿足相容方程

3）將應力分量代入邊界條件：

主要邊界如下：

在邊界上：，即0=0，滿足；

在邊界上：，即0=0，滿足；

在邊界上：，將題所給表達式代入滿足；

在邊界上：，將題所給表達式代入滿足；

（在及次要邊界上，采用圣維南原理等效，不要求學生寫出）

4）結(jié)論：所給應力分量不是圖所示平面問題的解答。

11、圖所示楔形體，處形拋物線，下端無限伸長，厚度為1，材料的密度為。試證明：，為其自重應力的正確解答。

證明：該問題為平面應力問題，體力為常量，正確的應力解答要同時滿足相容方程、平衡微分方程和應力邊界條件。

1）考察是否滿足相容方程：將應力分量代入到相容方程中，代入滿足；

2）考察是否滿足平衡微分方程：

代入第一式：，即0+0+0=0，滿足；

代入第二式：，即，滿足；

3）考察邊界條件：,，，代入第一式：，即

（）；

代入第二式：，即

（）；

曲線的斜率為，而，則，將其連同應力分量代入到（）中，滿足；同理代入到（）中，也滿足，因此滿足邊界條件。

故是正確解答。

17、方向（垂直于板面）很長的直角六面體，上邊界受均勻壓力作用，底部放置在絕對剛性與光滑的基礎上，如圖所示。不計自重，且

>>。試選取適當?shù)膽瘮?shù)解此問題，求出相應的應力分量。

解答：1、確定應力函數(shù)

分析截面內(nèi)力：，故選取

積分得：，代入相容方程，有：，要使對任意的x、y

成立，有，積分，得：。

2、計算應力分量，3、由邊界條件確定常數(shù)

左右邊界（）：；；

上邊界（）：

4、應力解答為：

18、已知如圖所示懸掛板，在O點固定，若板的厚度為1，材料的相對密度為，試求該板在重力作用下的應力分量。

解答：1、確定應力函數(shù)

分析截面內(nèi)力：，故選取

積分得：，代入相容方程，有：，要使對任意的x、y

成立，有，積分，得：。

2、計算應力分量（含待定常數(shù)，體力不為0），3、由邊界條件確定常數(shù)

左右邊界（）：，自然滿足；；，下邊界（）：

4、應力解答為：，20、試檢驗函數(shù)是否可作為應力函數(shù)。若能，試求應力分量（不計體力），并在圖所示薄板上畫出面力分布。

解答：檢驗函數(shù)：因為代入相容方程，滿足相容方程，因此該函數(shù)可作為應力函數(shù)。

應力分量：由應力函數(shù)所表示的應力分量表達式求得應力分量為：

板邊面力：根據(jù)應力邊界條件公式，求出對應的邊界面力。

上邊界：得出

下邊界：得出

左邊界：得出

右邊界：得出

面力分布如圖所示：

如圖所示，設有任意形狀的等厚度薄板，體力可以不計，在全部邊界上（包括孔口邊界上）受有均布壓力，試證明：，就是該問題的正確解答。

1、對于軸對稱問題，其單元體的環(huán)向平衡條件恒能滿足（√）。

解答：在軸對稱問題時，不存在剪力，正應力與無關。

2、軸對稱圓板（單連域），若將坐標原點取在圓心，則應力公式中的系數(shù)不一定為零。（×）。

解答：如存在，當=0時，則必產(chǎn)生無限大有應力，這當然是不合理的。

3、厚壁圓環(huán)（多連體），位移計算公式中的系數(shù)一定為零。（√）

解答：如存在B，便使同一點產(chǎn)生多值位移，這當然是不合理的。

4、在軸對稱問題中，應力分量和位移分量一般都與極角無關。（×）

解答：在軸對稱問題中，應力與無關。但一般情況下，位移分量與有關。

5、位移軸對稱時，其對應的應力分量一定也是軸對稱的；反之，應力軸對稱時，其對應的位移分量一定也是軸對稱的。（×）

解答：應力軸對稱時，應力分量與無關，位移分量通常與有關。當物體的約束也為軸對稱時，位移分量也與無關，此時為位移軸對稱情況。

6、曲梁純彎曲時應力是軸對稱的，位移并非軸對稱。（√）

解答：各截面受有相同的彎矩，因此，各截面應力分布相同，與無關，但各截面的轉(zhuǎn)角與有關。

7、軸對稱問題的平衡微分方程有

個。

8、位移表達式中的常數(shù)I,K,H

不影響

應力；I,K

表示物體的剛體平移；H

表示物體的剛體轉(zhuǎn)動

；它們由物體的位移約束條件

確定。

9、只有當物體的形狀、約束、荷載軸對稱

時，位移分量才是軸對稱的。

10、平面曲梁純彎曲時

產(chǎn)生

橫向的擠壓應力，平面直梁純彎曲時則

不產(chǎn)生

橫向的擠壓應力。

11、圓環(huán)僅受均布外壓力作用時，環(huán)向最大壓應力出現(xiàn)在內(nèi)周邊處。

12、圓環(huán)僅受均布內(nèi)壓力作用時，環(huán)向最大拉應力出現(xiàn)在內(nèi)周邊處。

13、對于承受內(nèi)壓很高的筒體，采用組合圓筒，可以降低

環(huán)向應力的峰值。

14、圓弧曲梁純彎時，（C）

A、應力分量和位移分量都是軸對稱

B、位移分量是軸對稱，應力分量不是軸對稱

C、應力分量是軸對稱，位移分量不是軸對稱

D、應力分量和位移分量都不是軸對稱

15、圓弧曲梁純彎時，（C）

A、橫截面上有正應力和剪應力

B、橫截面上只有正應力且縱向纖維互不擠壓

C、橫截面上只有正應力且縱向纖維互相擠壓

D、橫截面上有正應力和剪應力，且縱向纖維互相擠壓

16、如果必須在彈性體上挖孔，那么孔的形狀應盡可能采用（C）。

A、正方形

B、菱形

C、圓形

D、橢圓形

17、孔邊應力集中是由于受力面減小了一些，而應力有所增大。（×）

改：孔邊應力集中是由于孔附近的應力狀態(tài)和位移狀態(tài)完全改觀所引起的。

18、設受力彈性體具有小孔，則孔邊應力將遠大于

無孔時的應力，也將遠大于

距孔較遠

處的應力。

19、孔邊應力集中的程度與孔的形狀

有關，與孔的大小

幾乎無關。

20、孔邊應力集中的程度越高，集中現(xiàn)象的范圍越

?。ň植浚?/p>

21、如圖所示板的小圓孔處，若用厚度和大小相同的板緊密焊上，使孔邊位移一致。當所補材料與開孔板相同時，在開孔板的孔邊b處有=

；當所補材料的彈性模量小于開孔板的彈性模量時，在開孔板的孔邊b處有應該

介于實心與開孔之間

；當所補材料的彈性模量稍大于開孔板的彈性模量時，在開孔板的孔邊b處有。

22、上圖示開孔薄板中的最大應力應該是（B）。

A、點的B、點的C、點的D、點的23、上圖示開孔薄板的厚度為t，寬度為h，孔的半徑為r，則b點的（D）。

A、q

B、qh/(h-2r)

C、2q

D、3q

第五篇：彈性力學總結(jié)

彈性力學關于應力變分法問題

一、起源及發(fā)展

1687年，Newton在《自然哲學的數(shù)學原理》中提出第一個變分問題——定軸轉(zhuǎn)動阻力最小的旋轉(zhuǎn)曲面形狀問題； 1696年，Bernoulli提出了著名的最速降線問題；到18世紀，經(jīng)過Euler，Lagrange等人的努力，逐漸形成變分法。古典變分法的基本內(nèi)容是確定泛函的極值和極值點，它為許多數(shù)學、物理、科技、工程問題提供了強有力地數(shù)學工具。現(xiàn)代理論證明，微分方程（組）中的變分法是把微分方程（組）化歸為其對應泛函的臨界點（即化為變分問題），以證明其解的存在性及解的個數(shù)。討論對應泛函臨界點的存在性及其個數(shù)的基本方法是Morse理論與極小極大理論（Minimax Theory）。變分法有著深刻的物理背景，某種意義上，自然界一切物質(zhì)運動均可以用某種形式的數(shù)理方程表示，一般數(shù)理方程又與一定的泛函相對應，所以一切物質(zhì)運動規(guī)律都遵從“變分原理”。

由于彈性力學變分解法，實質(zhì)上就是數(shù)學中的變分法應用于解彈性力學問題，雖然在討論的近似解法中使用變分計算均甚簡單（類似微分），但“變分”的概念卻極為重要，它關系到我們隊一系列力學變分原理中“虛”的概念的建立與理解。以下，就應力變分法進行討論。

二、定義及應用

（1）、應力變分方程

設有任一彈性體，在外力的作用下處于平衡。命?ij為實際存在的應變分量，它們滿足平衡微分方程和應力邊界條件，也滿足相容方程，其相應的位移還滿足位移邊界條件?，F(xiàn)在，假想體力和應變邊界條件上給定的面力不變而應力分量發(fā)生了微小的改變??ij，即所謂虛應力或應力的變分，使應力分量成為?ij???ij

假定他們只滿足平衡微分方程和應力邊界條件。

既然兩組應力分量都滿足同樣體力和面力作用下的平衡微分方程和應力邊界條件，應力分量的變化必然滿足無體力時的平衡微分方程。即

??????x???xy???zx?0,??x?y?z??

（a）?????y???yz???xy?0,??y?z?x???????z???zx???yz?0。??z?x?y?在位移給定的邊界上，應力分量的變分必然伴隨著面力分量的變分?fx、?fy、?f。z

根據(jù)應力邊界條件的要求，應力分量的變分在邊界上必須滿足

l??x?m???xy?n??zx??m??y?n???l????f,yzxyy?

（b）

?n??z?l???m????。fzxyzz??x?f,?則應變余能的變分應為

?VC?????vcdxdydz????(?vc??x???x??vc???yz)dxdydz。

?v?vc?v??x，c??y，c??z

??x??z??y?vc?v?v??yz，c??zx，c??xy

??zx??yz??xy將上式代入，得

?VC????(?x??x?再將幾何方程代入，得

??yz??yz?)dxdydz。

?w?v?(?)??yz??y?z?u?VC????[??x??x]dxdydz。

根據(jù)分部積分和奧—高公式，對上式右邊進行處理：

????u???xdxdydz???lu??xdS????u(??x)dxdydz, ?x?x最后可得

?Vc???[u(l?x?m??xy?n??zx)?]dS????[u(?????x???xy???zx)??x?y?z]dxdydz。

再將（a）、（b）代入，即得

?Vc=??(u?f?yf?w?z)f。d

S

x?v這就是所謂應力變分方程，有的文獻把它叫做卡斯蒂利亞諾變分方程。最小余能原理：

?Vc???(u?fx?v?fy?w?fz)dS?0。

上式也可以改寫為：

?[Vc???(ufx?vfy?wfz)dS]?0。

（2）、應力變分法

由推到出的應力變分方程，使其滿足平衡方程和應力邊界條件，但其中包含若干待定系數(shù)，然后根據(jù)應力變分方程解決這些系數(shù)，應力分量一般可設為：

?ij???ij?0??Am??ij?mm

（c）

其中Am是互不依賴的m個系數(shù)，??ij?0 是滿足平衡微分方程和應力邊界條件的設定函數(shù)，??ij?m是滿足“沒有體力和面力作用時的平衡微分方程和應力邊界條件”的設定函數(shù)。這樣，不論系數(shù)A m如何取值，??ij?0總能滿足平衡微分方程和應力邊界條件。

注意：應力的變分只是由系數(shù)Am的變分來實現(xiàn)。

如果在彈性體的每一部分邊界上，不是面力被給定，便是位移等于零，則應力變分方程 得?vc?0，即： ?Vc?0

（d）?Am

應變余能Vc是Am的二次函數(shù)，因而方程（d）將是Am的一次方程。這樣的方程共有m個，恰好可以用來求解系數(shù)，Am從而由表達式（c）求得應力分

量。

如果在某一部分邊界上，位移是給定的，但并不等于零，則在這一部分邊界上須直接應用變分方程（11-18），即

?Vc???(u?fx?v?fy?w?fz)dS。在這里，u、v、w是已知的，積分只包括該部分邊界，面力的變分與應力的變分兩者之間的關系即：

?fx?l??x?m??xy?n??zx,????fy?m??y?n??yz?l??xy,???fz?n??z?l??xz?m??yz。??

帶入方程的右邊積分后，將得出如下的結(jié)果：

??(u?fx?v?fy?w?fz)dS??Bm?Am。m

其中Bm是常數(shù)，另一方面，我們有：

?U*?Vc=??Am。m?Am 因而得：

?Vc?Bm。(m?1,2,)?Am

這將仍然是Am的一次方程而且總共有m個，仍然可以用來求解系數(shù)Am，從而由表達式（c）求得應力。

（3）、應力函數(shù)方法

由于應力分量的數(shù)量有點多，確定起來較為困難，通常用應力函數(shù)方法。在平面應力問題中，如果體力分量為常數(shù)，則存在應力函數(shù)。將應力函數(shù)設為：

???0??A?mmm,其中Am為互不依賴的m個系數(shù)。這樣就只需使?0給出的應力分量滿足實

際的應力邊界條件，并使?m給出的應力分量滿足無面力時的應力邊界條件。

在平面應力問題中，有?z??yz??zx?0，而且?x、?y、?xy不隨坐標z而變。在z方向取一個單位厚度，則用應力分量表示的應變余能表達式為

Vc?1??[?x2??y2?2??x?y?2(1??)?xy2]dxdy。

2E1+?2??[(1??)(?x2??y2)?2??x?y?2?xy]dxdy。

2E對于平面應變問題，Vc?如果所考慮的彈性體是單連體，體力為常量，應力分量?x、?y、?xy應當與可以取?=0，于是平面應力情況下的表達式和平面應力情況下的表達?無關，式都簡化為

Vc?1??(?x2??y2?2?xy2)dxdy。2E即得用應力函數(shù)表示應變余能的表達式

1?2??2??2?22Vc???[(2?fxx)?(2?fyy)?2()]dxdy。2E?y?x?x?y在應力邊界問題中，因為面力不能有變分，?Vc?0。應為應力分量以及應變余能的變分是通過系數(shù)Am的變分來實現(xiàn)的，所以上式歸結(jié)為

?Vc?0 ?Am將將應力函數(shù)表達式代入，即得

22?2???2????????[(2?fxx)()?(?fyy)()??y?Am?y2?x2?Am?x2

?2???2?2()]dxdy?0,?x?y?Am?x?y(m?1,2,)

可以用來決定系數(shù)Am，從而確定應力函數(shù)?，再由應力函數(shù)?求得應力分量。

由于是近似解，應力分量不能精確滿足相容條件，由應力分量求得的應變分量也不能精確滿足變形協(xié)調(diào)條件，不能根據(jù)幾何方程求得位移分量。

應力函數(shù)法的要點是要找到滿足全部邊界條件的應力函數(shù)，二這種函數(shù)一般任然難以找到，尤其在邊界不規(guī)整的情況下。所以應力方法的應用在這一點上受到極大的限制。

（4）、典型例題：

例1：設有寬度為2a，高度為b的矩形薄板，左右兩邊和下邊被固定約束，上邊的位移被給定為u?0應力分量。

解：取坐標系底部為x軸，對稱軸為y軸，則該問題是一個軸對稱問題——及約束情況，幾何形狀以及所受的外來因素都對稱于某個坐標軸。本題中，對稱軸顯然是y軸。這樣，位移u,v關于y軸對稱。

首先考察位移u：

薄板左右兩邊：(u)x??a?0（說明u中含有(x2?a2)項或(a2?x2)項）

薄板下邊：(u)y?0?0（說明u中含有（y-0)項）

薄板上邊：(u)y?b?0（說明u中含有（y-b)項或(b-y)項）

所以u所以表達成：u?A1(a2?x2)y(b?y)（這里m=1,即取一個系數(shù)A1）

由此可得u,v的表達式為：

x2v???(1?2)，不計體力。試求薄版的位移分量和

a?x2xyyu?A1(1?2)(1?)??aaaa ? 22xyxyyv???(1?2)?B1(1?2)(1?)?ababb??(u)x??z?0可以滿足位移邊界條件：

(v)x??a?0(v)y?0?0(v)y?bx2???(1?2)a

(u)y?0?0(u)y?b?0由于u是x的奇函數(shù)，v是x的偶函數(shù)，對稱條件滿足。

xx3yy2此外，由（i）得：u1?(?3)(?2)aabbx2yy2v1?(1?2)(?2)

abb即U?Eab(A1?B1?2vA1B1)

2(1?v2)由?U?U??fu1ds,??fv1ds

xy?A1?B1?U?U??q1ab,??q2ab ?A1?B1Eab(2A1?2vB1)??q1ab22(1?v)Eab(2B1?2vA1)??q2ab22(1?v)q1?vq2q?vq1,B1??2EEq1?vq2q2?vq1 u??x,v??yEEA1??例2：已知懸臂梁，抗彎剛度為EI，求最大撓度值。

解：設w?(a2x2?a3x3)滿足固定端的邊界條件。

LxFwx?0?0,w'x?0?0

2在不考慮剪切效應時，直桿彎曲的應變能為，1lM2(x)1?d2w??u??dx?EI?dx 2??02EI2?dx?下面用最小勢能原理來確定參數(shù)，u?1M(x)EIdx?(2a2?6a3)dx??002EI2v??Fwx?L??F(a2L2?a3L3)ll2EIl23Et?U?V?(2a?6a)dx?F(aL?aL)2323?0222

由最小勢能原理

?Et?0?Et1l2?4(2a?6a)dx?FL?023?0?a22EI?Et1l3?12(2a?6a)dx?FL?023?0?a22EI

三、總結(jié)與思考

所謂彈性力學的變分解法就是基于力學能量原理求解彈性力學的變分方法，這種方法從其本質(zhì)而言，是要把原來在給定的邊界條件下求解的微分方程組的問題變?yōu)榉汉髽O值的問題，而在求問題的近似解時，泛函的極值問題又可變成函數(shù)的極值問題，因而最終把問題歸結(jié)為求解線性代數(shù)方程組。

變分法在理論物理中非常重要：在拉格朗日力學中，以及在最小作用原理在量子力學的應用中。變分法提供了有限元方法的數(shù)學基礎，它是求解邊界值問題的強力工具。它們也在材料學中研究材料平衡中大量使用。而在純數(shù)學中的例子有，黎曼在調(diào)和函數(shù)中使用狄力克雷原理。

應力變分法在力學領域內(nèi)同樣擁有很高的地位，這正說明了力學在學術(shù)界的重要地位，通過應力變分法地學習，許多難題將更容易得到解答，所以，在以后的學習生活中，我們將不會停止對力學的探究和學習，相信力學對我們的影響將是巨大的。

參考文獻：【1】彈性力學 第四版 徐芝綸 高等教育出版社

【2】彈性力學復習解題指導致 王俊民 同濟大學

【3】彈性力學理論概要與典型題解 王光欽 西南交通大學出版社

【4】彈性力學內(nèi)容精要與典型題解 劉章軍 水利水電出版社